30570

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения. ХФ нормального распределения: Выступление Характеристическая функция случайной величины один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях когда например плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Русский

2013-08-24

47.71 KB

11 чел.

17. Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения.

Доска

Пусть есть случайная величина  с распределением .

.

Свойства ХФ СВ:

  1.  . Тогда 
  2.  
  3.  
  4.  .
  5.  .
  6.  . Тогда .

ХФ нормального распределения:

Выступление

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Пусть есть случайная величина  с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина  дискретна, то есть , то

.

Если случайная величина  абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

  1.  Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть  суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  2.  Характеристическая функция всегда ограничена: .
  3.  Характеристическая функция в нуле равна единице: .
  4.  Характеристическая функция всегда непрерывна: .
  5.  Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

.

  1.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть  суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда .

Дополнительная часть

Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда

  1.  если  дискретна и принимает целые значения, то

;

  1.  если  абсолютно непрерывна, и  — её плотность, то

.

Свойства:

  1.  Доказательство: ||=||<==E1=1.
  2.  Доказательство: =E=E()=E=.
  3.  Доказательство: Если   и  – независимые СВ, то независимыми так же будут  и .

=E=E()=EE=.

Характеристическая функция нормального распределения:

ξ € €

= dx =   dx =  du = .

=

ξ € €  , ξ = ση+a

(t) = (σt) =  = .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82771. Твоя домівка 196.5 KB
  Підручник з основ здоров’я ноутбук проектор екран слайд-шоу фрагменти з мультфільмів виставка Візитна карточка моєї домівки. Тож і ми часу не гаймо Урок основ здоров’я починаймо. Повторення вивченого Мозковий штурм Що ви зробили сьогодні зранку щоб бути здоровими Що зробите для цього ввечері...
82772. Овочі і фрукти, молочні продукти, їх значення для росту і розвитку 774 KB
  Вчити учнів розпізнавати корисні і шкідливі продукти харчування пояснити чому дітям потрібно вживати овочі фруктимолочні продукти щодня; пояснити значення харчування для здоров’’я; виховувати свідоме ставлення до свого здоров’’я. Сюжетні малюнки: овочі фрукти молочні і м’ясні продукти тістечка цукерки торти...
82773. Я і Україна. Довкілля 78 KB
  Мета уроку: розширити знання учнів про пори року; збагачувати уявлення молодших школярів про красу рідної природи; розвивати спостережливість, допитливість, творчу уяву, мислення, зв’язне мовлення; збагачувати словниковий запас; прищеплювати любов до природи та бережливе ставлення до довкілля.
82774. Досліджую свою оселю 107.5 KB
  Мета: вчити учнів досліджувати своє довкілля, робити висновки зі своїх досліджень, формувати у дітей уявлення про різноманітність архітектурних споруд, викликати інтерес до пізнання через дослідження, розвивати прагнення прикрасити, зробити комфортнішою свою оселю, виховувати активну позицію...
82775. В. Берестов Альбом для рисования. А. Лельевр Белые гуси 103 KB
  Какого цвета были гуси Почему люди говорили что они синие Как изменился цвет гусей ночью в Выборочное чтение. Рассказ учителя о цветах и их оттенках. Но люди заметили что цветовое разнообразие основано на трех цветах желтом красном синем.
82776. Лаймен Френк Баум. Чарівник Країни Оз 118.5 KB
  Організаційна частина Добрий день друзі Слайд В ефірі дитяча телепередача У світі веселих пригод та дивовижних мандрівок з казковими героями. Анонс нашої передачі: Слайд Отже ми будемо працювати у різних рубриках. Слайд Ми її проведемо у вигляді інтерв’ю.
82777. Растения. Деревья, кусты, травянистые растения 37 KB
  Цель: продолжить ознакомление учащихся с разнообразием растений формированием понятий дерево-куст травянистые растения; учить детей сравнивать обобщать и делать выводы; воспитывать любовь к природе. Сегодня мы поговорим о растениях об их группах научимся сравнивать обобщать и делать выводы.
82778. Вода в природі. Властивості води. Як берегти воду? 438 KB
  Мета: дати учням уявлення про властивості води (прозора, рідка, без кольору, без запаху, розчиняє деякі предмети), про зміни стану води (твердий рідкий, газоподібний); акцентувати увагу дітей на значення води для рослин, тварин, людини; розвивати активне пізнавальне ставлення до природи...
82779. Здоровий спосіб життя 52.5 KB
  Ознайомити учнів із визначенням понять здоров’я здоровий спосіб життя; Формувати вміння висувати аргументувати та захищати свої ідеї; Вчити учнів протидіяти шкідливим звичкам контролювати свою поведінку Розвивати увагу фантазію учнів уміння спостерігати порівнювати...