30570

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения. ХФ нормального распределения: Выступление Характеристическая функция случайной величины один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях когда например плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Русский

2013-08-24

47.71 KB

11 чел.

17. Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения.

Доска

Пусть есть случайная величина  с распределением .

.

Свойства ХФ СВ:

  1.  . Тогда 
  2.  
  3.  
  4.  .
  5.  .
  6.  . Тогда .

ХФ нормального распределения:

Выступление

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Пусть есть случайная величина  с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина  дискретна, то есть , то

.

Если случайная величина  абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

  1.  Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть  суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  2.  Характеристическая функция всегда ограничена: .
  3.  Характеристическая функция в нуле равна единице: .
  4.  Характеристическая функция всегда непрерывна: .
  5.  Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

.

  1.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть  суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда .

Дополнительная часть

Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда

  1.  если  дискретна и принимает целые значения, то

;

  1.  если  абсолютно непрерывна, и  — её плотность, то

.

Свойства:

  1.  Доказательство: ||=||<==E1=1.
  2.  Доказательство: =E=E()=E=.
  3.  Доказательство: Если   и  – независимые СВ, то независимыми так же будут  и .

=E=E()=EE=.

Характеристическая функция нормального распределения:

ξ € €

= dx =   dx =  du = .

=

ξ € €  , ξ = ση+a

(t) = (σt) =  = .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50128. Визначення горизонтальної й вертикальної складових індукції магнітного поля Землі за допомогою земного індуктора 176 KB
  Визначення горизонтальної й вертикальної складових індукції магнітного поля Землі за допомогою земного індуктора. Вертикальну площину в якій лежить вектор а отже й вісь магнітної стрілки називають площиною магнітного меридіану. Прилад під'єднаний до затискачів мілівеберметр або балістичний гальванометр можна проградуювати так щоб він безпосередньо показував зміну магнітного потоку який пронизує витки індуктора. Нехай вісь індуктора орієнтована горизонтально в площині магнітного меридіана площина витків теж горизонтальна.
50129. Исследование процессов накопления и релаксации заряда в диэлектрических материалах 1.32 MB
  Определение постоянной времени RCцепи. Даже если цепь не содержит конденсаторов всегда присутствует электрическая емкость изоляции и в ней возникают токи смещения обусловленные изменением электрического поля во времени. В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно то есть неизменно во времени. Если на какомто участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения то другие участки цепи могут почувствовать эти изменения только через некоторое время которое по...
50130. Определение коэффициента термического расширения (объемного) жидкости 116 KB
  Цель работы: 1 измерить изменение объема воды при нагреве ее от 0 С до 90 С; 2 определить показатель коэффициента термического расширения. Особенный интерес представляет поведение воды в диапазоне температур 0 10 С. В данной работе исследуется изменение объема воды в диапазоне температур от 0 С до 40 90 С максимальная температура ограничена длиной измерительной трубки. Для проведения измерений в интервале 0 20 С термостат в начале работы заполняется смесью льда и воды что обеспечивает начальную температуру 0 С.
50131. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ С ПОМОЩЬЮ МИКРОСКОПА 160 KB
  Углы падения отражения и преломления отсчитываются от нормали к границе раздела двух сред ON. Направления этих лучей определяются следующими законами геометрической оптики: луч падающий АО луч отраженный ОВ луч преломленный ОД и нормальON восстановленная в точке падения О лежат в одной плоскости; угол отражения NOB численно равен углу падения ON; синус угла падения i относится к синусу угла преломления r как скоростьсвета в первой среде υ1 относится к скорости света во второй среде υ2. 1 Последний закон в оптике известен как...
50132. Тактика гри у футболі. Індивідуальні, групові і командні дії в нападі і захисті 27.5 KB
  Індивідуальні групові і командні дії в нападі і захисті. Система гри -– це основний спосіб гри команди який визначає особливості розташування і пересування гравців у захисті і нападі для досягнення успіху в матчі. Гра в захисті й нападі вимагає від гравців оперативного розв’язання ігрових ситуацій використання різноманітних тактичних засобів. Тактика гри у футбол реалізується в індивідуальних групових і командних діях у нападі й захисті.
50134. ВЕРОЯТНОСТНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 172.5 KB
  Принципиальное отличие этого метода от заложенного в нормы метода расчета по предельным состояниям состоит в том что в расчет вводится не нормативные или расчетные значения нагрузок и прочностных свойств конструкционных материалов а СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ их распределений СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ВАРИАЦИИ. Коэффициент надежности по ответственности не используется. Таблица 1 Статистические характеристики давления ВЕТРА Ветровой район Среднее значение давления ветра кПа кг м2 Коэффициенты вариации Vf k = qo I II III IV...
50135. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА 92.5 KB
  Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: Введение Первый закон термодинамики утверждает что количество теплоты DQ сообщенное газу расходуется на изменение внутренней энергии газа DU и на работу А совершаемую газом: DQ = DU . Теплоемкостью газа называется величина равная количеству теплоты необходимой для нагревания данной массы газа на один кельвин. T0...
50136. Фреймы, плавающие фреймы, сегментирование изображения, формы, бегущая строка 46.5 KB
  Клик на сегментах Бегущая строка и Сегментированные изображения должен открывать файл с любой картинкой в новом окне. Страница с фреймами Бегущая строка top Бег.