30570

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения. ХФ нормального распределения: Выступление Характеристическая функция случайной величины один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях когда например плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Русский

2013-08-24

47.71 KB

11 чел.

17. Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения.

Доска

Пусть есть случайная величина  с распределением .

.

Свойства ХФ СВ:

  1.  . Тогда 
  2.  
  3.  
  4.  .
  5.  .
  6.  . Тогда .

ХФ нормального распределения:

Выступление

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Пусть есть случайная величина  с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина  дискретна, то есть , то

.

Если случайная величина  абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

  1.  Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть  суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  2.  Характеристическая функция всегда ограничена: .
  3.  Характеристическая функция в нуле равна единице: .
  4.  Характеристическая функция всегда непрерывна: .
  5.  Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

.

  1.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть  суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда .

Дополнительная часть

Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда

  1.  если  дискретна и принимает целые значения, то

;

  1.  если  абсолютно непрерывна, и  — её плотность, то

.

Свойства:

  1.  Доказательство: ||=||<==E1=1.
  2.  Доказательство: =E=E()=E=.
  3.  Доказательство: Если   и  – независимые СВ, то независимыми так же будут  и .

=E=E()=EE=.

Характеристическая функция нормального распределения:

ξ € €

= dx =   dx =  du = .

=

ξ € €  , ξ = ση+a

(t) = (σt) =  = .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15477. Розвиток економіки на правобережжі та західноукраїнських землях у 18 ст. Захоплення західноукраїнських земель Австрією 26.5 KB
  Розвиток економіки на правобережжі та західноукраїнських землях у 18 ст. Захоплення західноукраїнських земель Австрією. Кінець XVIII ст. характеризується зростанням могутності Російської імперії агресивності її зовнішньої політики. Вона загарбала більшу частину укр
15478. Політика Австрійської монархії на західноукраїнських землях в кінці 18 - першій половині 19ст 29 KB
  Політика Австрійської монархії на західноукраїнських землях в кінці 18 першій половині 19ст. Наприкінці XVIII ст. внаслідок поділів Польщі західноукраїнські землі площею понад 60 тис кв. км з населенням 25 млн. осіб у тому числі 2 млн. українців стали колонією Австрійсько
15479. Політичне становище і соціально-економічний розвиток східноукраїнських земель у першій половині 19 ст. Колоніальна політика царизму щодо України 41 KB
  Політичне становище і соціальноекономічний розвиток східноукраїнських земель у першій половині 19 ст. Колоніальна політика царизму щодо України. Україна в російськотурецькій війни 18061812 рр. Як і в попередніх війнах Росії з Туреччиною Україна була найближчим тило...
15480. Механізм поширення збудження по нервових волокнах. Сальтаторна теорія проведення збудження. Фактори, що визначають швидкість поширення збудження 32 KB
  Механізм поширення збудження по нервових волокнах. Сальтаторна теорія проведення збудження. Фактори що визначають швидкість поширення збудження. Розповсюдження збудження по нервовим волокнам здійснюється на основі іонних механізмів генерації потенціалів дії і впли
15481. Ліквідація російським самодержавством автономного устрою України 76.5 KB
  КОЗАЦЬКИЙ ПЕРІОД ІСТОРІЇ УКРАЇНИ Лекція №8 Ліквідація російським самодержавством автономного устрою України 2. Коліївщина Назва Коліївщина найімовірніше означає повстання коліїв і походить від українського слова колій яким в українських селах і донині н
15482. Демографический потенциал рыночных реформ России 127.5 KB
  Значимость данной проблемы для граждан Российской Федерации очень велика, так как рыночные реформы влияют на: рост безработицы, пенсий, социальных пособий, ухудшением качества питания, снижением доступности социальных услуг, затяжным психологическим стрессом, неуверенностью в своём будущем и будущем детей.
15483. УКРАЇНСЬКІ ЗЕМЛІ ПІД ВЛАДОЮ РОСІЙСЬКОЇ ТА АВСТРІЙСЬКОЇ ІМПЕРІЙ (кінець XVIII - початокXXст.) 183 KB
  УКРАЇНСЬКІ ЗЕМЛІ ПІД ВЛАДОЮ РОСІЙСЬКОЇ ТА АВСТРІЙСЬКОЇ ІМПЕРІЙ кінець XVIII початокXXст.. Територіальноадміністративний устрій та населення. Криза феодальних відносин. Буржуазні реформи 60 70х років XIX ст. АвстроУгорська імперія самост...
15484. НАДАННЯ ПЕРШОЇ ДОПОМОГИ ПРИ НЕЩАСНИХ ВИПАДКАХ 198.5 KB
  Лекція 10 НАДАННЯ ПЕРШОЇ ДОПОМОГИ ПРИ НЕЩАСНИХ ВИПАДКАХ Програмна анотація Послідовність принципи та засоби надання першої допомоги. Дії у важких випадках Оживлення. Способи штучного дихання. Зовнішній масаж серця. Транспортування потерпілого Для ш
15485. Проблемы разработки многооконных интерфейсов 2.29 MB
  Microsoft Windows по-прежнему проповедует \"табовый\" однооконный интерфейс, популярные оконные менеджеры для Linux его в той или иной степени копируют (возможность использовать многооконность, разумеется, есть, но она не особенно популярна). Немного отличается от мейнстрима Mac OS X