30570

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения

Доклад

Математика и математический анализ

Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения. ХФ нормального распределения: Выступление Характеристическая функция случайной величины один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях когда например плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Русский

2013-08-24

47.71 KB

11 чел.

17. Характеристическая функция случайной величины: определение и свойства. Характеристическая функция нормального распределения.

Доска

Пусть есть случайная величина  с распределением .

.

Свойства ХФ СВ:

  1.  . Тогда 
  2.  
  3.  
  4.  .
  5.  .
  6.  . Тогда .

ХФ нормального распределения:

Выступление

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид.

Пусть есть случайная величина  с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина  дискретна, то есть , то

.

Если случайная величина  абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

  1.  Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть  суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  2.  Характеристическая функция всегда ограничена: .
  3.  Характеристическая функция в нуле равна единице: .
  4.  Характеристическая функция всегда непрерывна: .
  5.  Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

.

  1.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть  суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда .

Дополнительная часть

Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда

  1.  если  дискретна и принимает целые значения, то

;

  1.  если  абсолютно непрерывна, и  — её плотность, то

.

Свойства:

  1.  Доказательство: ||=||<==E1=1.
  2.  Доказательство: =E=E()=E=.
  3.  Доказательство: Если   и  – независимые СВ, то независимыми так же будут  и .

=E=E()=EE=.

Характеристическая функция нормального распределения:

ξ € €

= dx =   dx =  du = .

=

ξ € €  , ξ = ση+a

(t) = (σt) =  = .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9690. Понятие управления. Кибернетика 46.5 KB
  Понятие управления. Кибернетика. Жизнедеятельность любого организма или нормальное функционирование технического устройства связаны с процессами управления. Процессы управления включают в себя получение, хранение, преобразование и передачу информаци...
9691. Основные понятия информатики. Информация и ее виды 38 KB
  Сообщение - это материальная форма информации. Сообщения могут передаваться между людьми с помощью самых разнообразных способов. Однако любое сообщение всегда материально, то есть, представлено некоторой материальной субстанцией...
9692. Правовая охрана программ и данных. Методы защиты информации. Лицензионные, условно бесплатные и бесплатные программы 43.5 KB
  Правовая охрана программ и данных. Методы защиты информации. Лицензионные, условно бесплатные и бесплатные программы. Все программы по их юридическому статусу можно разделить на три большие группы: лицензионные, условно бесплатные (shareware) и своб...
9693. Понятие структуры. Индекс массива 149.5 KB
  Понятие структуры До сих пор мы работали с простыми типами данных - логический (boolean), целый (integer, word, byte, longint), вещественный (real), символьный (char). Для оптимизации обработки больших объемов информации требуются да...
9694. Формы и виды оптовой продажи 35 KB
  Формы и виды оптовой продажи Оптовый товарооборот является одним из основных показателей хозяйственной деятельности оптовых предприятий. Его объем и структура характеризуют степень развития производства и уровень народного потребления. В зависимости...
9695. Транзитная форма продажи товаров с участием и без участия торговых посредников в расчетах 34 KB
  Транзитная форма продажи товаров с участием и без участия торговых посредников в расчетах. В сфере торговли широко распространены так называемые транзитные сделки. Транзитная торговля позволяет ускорить товарооборот и сократить цепочку последователь...
9696. Складская форма продажи товаров и ее особенности 31 KB
  Складская форма продажи товаров и ее особенности. Складская форма товародвижения подразумевает оптовую продажу товаров со складов. Это позволяет выполнять предварительную подсортировку имеющихся товаров и предлагать товары оптовым покупателям в необ...
9697. Методы оптовой продажи товаров 30.5 KB
  Методы оптовой продажи товаров. При оптовом складском обороте применяются следующие методы оптовой продажи товаров со складов: по личной отборке товаров покупателями по письменным, телефонным, телеграфным, телетайпным, телефаксным заявкам (зака...
9698. Сущность, содержание и виды страхования рисков 27 KB
  Сущность, содержание и виды страхования рисков. В системе управления рисками страхование является распространенным методом защиты имущественных интересов и других материальных и моральных потерь. Страховые организации обладают значительным капитало...