30571

Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Доклад

Математика и математический анализ

Центральная предельная теорема. Интегральная теорема МуавраЛапласа. Обратно если в каждой точке непрерывности функции является функцией распределения то в каждой точке t при этом есть характеристическая функция для функции распределения Интегральная теорема Муавра Лапласа: Если вероятность p события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля так и от единицы то вероятность того что событие появится в n испытаниях от до раз приближенно равна определенному интегралу: где .

Русский

2013-08-24

49.24 KB

6 чел.

  1.  Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Ответ:  Т. Непрерывности:   Пусть fn(t) есть характеристическая функция случайной величины ξn и (x) = Fn(x). Если при n   в каждой точке t  и  непрерывна  при , то

  1.   является характеристической функцией некоторой функции распределения
    1.   в каждой точке непрерывности предельной функции.

Обратно, если  в каждой точке непрерывности функции   является функцией распределения, то  в каждой точке t  при этом  есть характеристическая функция для функции распределения

Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность  p  события A в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где

.

Центральная предельная теорема: Пусть  — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через  математическое ожидание  и через  — дисперсию . Требуется доказать, что

На доске: Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Где

  

Центральная предельная теорема:

Дополнительно:  Доказательство центральной предельной теоремы:

Введём стандартизованные случайные величины  — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть  есть их сумма . Требуется доказать, что .

Характеристическая функция величины  равна

(*)

Характеристическую функцию случайной величины  можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты. Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (*) и устремим  к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости

ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32996. Интерфейс для офисного служащего 276.5 KB
  Выводится критерий для оценки качества интерфейса. Создается прототип интерфейса с шаблонами основных частозаполняемых документов для офисного служащего, удовлетворяющий полученному критерию. Проводится пилотный эксперимент для оценки работоспособности интерфейса.
32997. Философская концепция человека 20.64 KB
  Б Жизнь человека подчиняется биологическим законам Биоорганизация человека есть результат развития длинного ряда его предков животное обезъяналюди гомениды современный человек Человек в отличие от животных имеет такие биологические структуры которые служат материальными предпосылками для развития чисто человеческих особенностей: возникают органы позволяющие человеку трудиться рука мозг и прямая походка 2. Человек обладает качественными надбиологическими образованиями которые формируют социальную характеристику человека....
32998. Понятие науки, её функции 20.99 KB
  Теоретические уровни отдельных наук смыкаются в общетеоретическом философском объяснении открытых принципов и законов в формировании мировоззренческих и методологических сторон научного познания в целом. Социологический анализ деятельности института науки в современном обществе дает основание утверждать что главной функцией науки является производство и умножение достоверного знания позволяющего раскрывать и объяснять закономерности окружающего мира Указанная выше основная функция науки в современном обществе может быть конкретизирована и...
32999. Философия техники, Исследование первопричин техники 24.35 KB
  Исследование первопричин техники. Основоположником этого раздела философии является Эрнст Капп написавший Основные направления философии техники 1877. философия техники во-первых исследует феномен техники в целом во-вторых не только ее имманентное развитие но и место в общественном развитии в целом в-третьих принимает во внимание широкую историческую перспективу.
33000. Философия и ее предмет. Исторические условия возникновения философии 42.2 KB
  Философия - любовь к мудрости (от греч. phileo - люблю и sophia - мудрость) - возникает в VII-VI веках до н.э. в Древней Греции и на Востоке - в Индии и Китае. С тех пор не утихают споры о предмете философских размышлений, назначении философии, ее соотношении с другими формами человеческой духовной деятельности.
33001. ФИЛОСОФИЯ ДРЕВНЕГО ВОСТОКА 35.04 KB
  РВ вобрала в себя миф и ритуал в таком виде она несла зачаток как религиозного так и философского видения мира и человека. Есть там и идея макрокосмической эмбриогонии согласно которой рождение космоса рассматривается по аналогии с зачатием и рождением человека в материнском лоне. Космос порождает человека. В рамках древнеиндийской философии подчёркивается значение духовной стороны человека она приобретает здесь космический смысл.
33002. Милетская школа. Милетская школа философии 26.78 KB
  Обратимся к наиболее известному опровержению возможности движения знаменитым апориям Зенона которого Аристотель назвал изобретателем диалектики. Но для философа вопрос ставиться не в плоскости эмпирического существования движения а в плане мыслимости его противоречивости и в системе понятия в диалектике его соотношения с пространством и временем. Элиатам не удалось доказать что движения нет. Они своими тонкими рассуждениями показали то что едва ли кто из их современников осмысливал что такое движение Сами они в своих размышлениях...
33003. Платон и Аристотель 17.61 KB
  Философскоэтические взгляды Платона изложены в многочисленных диалогах главное действующее лицо которых как правило его учитель Сократ. В дошедших до нас произведениях нет законченной философской системы поэтому воззрения Платона на те или иные вопросы служили и продолжают служить предметом спора между исследователями. Образы идеи по мнению Платона находятся вне времени и пространства недоступны восприятию но их может созерцать разум который и связывает два мира: потусторонний и реальный. Трудно назвать область знаний которая не...
33004. Философия поздней античности 17.13 KB
  В смысловой мир человека вторгалось чувство безосновности и негарантированности существования. Именно они порабощают человека. Его основатель Зенон из Китая утверждал что основная цель человека жить в согласии с природой и это то же самое что жить согласно с добродетелью. Стоический мудрец идеал человека является воплощенным разумом.