30571

Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Доклад

Математика и математический анализ

Центральная предельная теорема. Интегральная теорема МуавраЛапласа. Обратно если в каждой точке непрерывности функции является функцией распределения то в каждой точке t при этом есть характеристическая функция для функции распределения Интегральная теорема Муавра Лапласа: Если вероятность p события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля так и от единицы то вероятность того что событие появится в n испытаниях от до раз приближенно равна определенному интегралу: где .

Русский

2013-08-24

49.24 KB

6 чел.

  1.  Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Ответ:  Т. Непрерывности:   Пусть fn(t) есть характеристическая функция случайной величины ξn и (x) = Fn(x). Если при n   в каждой точке t  и  непрерывна  при , то

  1.   является характеристической функцией некоторой функции распределения
    1.   в каждой точке непрерывности предельной функции.

Обратно, если  в каждой точке непрерывности функции   является функцией распределения, то  в каждой точке t  при этом  есть характеристическая функция для функции распределения

Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность  p  события A в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где

.

Центральная предельная теорема: Пусть  — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через  математическое ожидание  и через  — дисперсию . Требуется доказать, что

На доске: Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Где

  

Центральная предельная теорема:

Дополнительно:  Доказательство центральной предельной теоремы:

Введём стандартизованные случайные величины  — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть  есть их сумма . Требуется доказать, что .

Характеристическая функция величины  равна

(*)

Характеристическую функцию случайной величины  можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты. Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (*) и устремим  к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости

ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21110. Образотворче мистецтво доби Київської Русі 25.17 KB
  Образотворче мистецтво доби Київської Русі. Розвиток живопису в Київській Русі цілком пов'язаний з поширенням християнства. Майстерність ювелірів що набула розквіту в добу Київської Русі зростала від важких і примітивних браслетів масивних перснів гривнів та намист із міді або сплетених зі срібного дроту до тонких ажурних прикрас оздоблених довершеною насічкою що передавала не лише прості візерунки а й складні сюжетні малюнки як наприклад знахідки з Чорної могили Чернігів X ст. Від часів зміцнення держави збільшується на Русі...
21111. Усна народна творчість, доби пізнього Середньовіччя (XIV – перша половина XVII ст.) 19.05 KB
  Значні світоглядні зрушення відбуваються в усній народній творчості. Розвиток народної творчості українців відбувався на основі давньоруських фольклорних традицій проте нові умови життя народжували й нові форми народної творчості. Натомість в обрядовій творчості зявляються насамперед у жнивних та обжинкових піснях соціальні мотиви та настрої які мають антифеодальне забарвлення.
21112. Освіта доби пізнього Середньовіччя (XIV - перша полови-на XVII ст.) 23.76 KB
  В Україні були протестантські школи в Дубні Хмельнику. Здебільшого рівень освіти в Україні якщо не враховувати протестантські заклади був початковим. Безпосередньо в Україні книгодрукування поширилося тільки у другій половині XVI ст. тут побачив світ Апостол перша друкована книга в Україні яка призначалася для церковнобогослужбового вжитку.
21113. Література і літописання XIV – першої половини XVII ст. 25.69 KB
  Література і літописання XIV першої половини XVII ст. зявляються також нові розширені версії перекладних повістей про Олександра Македонського Олександрія оповідання про Трою Бовукоролевича у XVI ст. До найзначніших літописів тієї доби слід віднести Короткий Київський літопис XIV XVI ст. Виробництво власного паперу в Україні почалося в Галичині тільки в першій половині XVI ст.
21114. Релігійна полеміка другої половини XVI – першої половини XVII ст 23.14 KB
  У творчості цього полеміста чи не найповніше виражено віру у швидке відродження національної культури та її майбутній розквіт. Він виступав проти вищої ієрархії що призвела до унії а також проти католицької та західної культури. Якщо в часи ренесансних віянь в Україні та за її межами під враженням від давніх київських руїн часто висловлювалася думка що Київ це ніщо інше як гомерівська Троя то з початком поширення барокової культури в Україні виникає концепція Києва як Другого Єрусалима Й. який має стати надійним оплотом не тільки...
21115. Архітектура доби пізнього Середньовіччя (XIV – перша половина XVII ст.) 22.82 KB
  Найбільшими будівлями цього стилю були католицькі костели у Львові кінець XIV ст. Найстарішою памяткою готичної доби де готичні елементи співіснують з візантійськомало азійським стилем є Вірменська церква у Львові закладена у 1363 р. особливо у Львові панував стиль пізнього Ренесансу. У цьому стилі у Львові збудовані Високий замок будинок Гепнера Чорна камяниця 1570 будинок грецького купця й уславленого мецената Корнякта 1580 каплиця Трьох святителів 1578 вежа Вірменської церкви 1576 а також вежа Корнякта дзвіниця...
21116. Образотворче мистецтво у XIV – першій половині XVII ст 28.59 KB
  Образотворче мистецтво у XIV першій половині XVII ст. У фресковий розпис проникають народні й світські мотиви повязані з раннім Ренесансом хоча в цілому памятки монументального фрескового живопису XIV середини XVI ст. У цілому ж до середини XVI ст. З XVI ст.
21117. Театральне мистецтво і музична культура доби пізнього Середньовіччя (XIV - перша половина XVII ст.) 15.84 KB
  Театральне мистецтво і музична культура доби пізнього Середньовіччя XIV перша половина XVII ст. Театральне мистецтво. Зароджується також театральне мистецтво. Розвиваються народні ігри та мистецтво скоморохів виконавців і творців розважальної усної поезії музичного фольклору.
21118. Освіта у другій половині XVII – XVIII ст. 21.54 KB
  періодично то набував то втрачав статус академії доки цей статус не було остаточно затверджено 1701 р. Студенти Київської академії здебільшого йшли до війська пожежі та військова руїна нищили шкільні будинки та надані маєтності. починається новий розквіт діяльності академії який свого апогею досягає на межі століть. У стінах Академії відбуваються численні публічні диспути з різних наук затверджується звичай рекреацій культурномистецьких свят з виставами та іграми приуроченими до завершення навчального року.