30571

Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Доклад

Математика и математический анализ

Центральная предельная теорема. Интегральная теорема МуавраЛапласа. Обратно если в каждой точке непрерывности функции является функцией распределения то в каждой точке t при этом есть характеристическая функция для функции распределения Интегральная теорема Муавра Лапласа: Если вероятность p события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля так и от единицы то вероятность того что событие появится в n испытаниях от до раз приближенно равна определенному интегралу: где .

Русский

2013-08-24

49.24 KB

6 чел.

  1.  Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Ответ:  Т. Непрерывности:   Пусть fn(t) есть характеристическая функция случайной величины ξn и (x) = Fn(x). Если при n   в каждой точке t  и  непрерывна  при , то

  1.   является характеристической функцией некоторой функции распределения
    1.   в каждой точке непрерывности предельной функции.

Обратно, если  в каждой точке непрерывности функции   является функцией распределения, то  в каждой точке t  при этом  есть характеристическая функция для функции распределения

Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность  p  события A в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где

.

Центральная предельная теорема: Пусть  — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через  математическое ожидание  и через  — дисперсию . Требуется доказать, что

На доске: Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Где

  

Центральная предельная теорема:

Дополнительно:  Доказательство центральной предельной теоремы:

Введём стандартизованные случайные величины  — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть  есть их сумма . Требуется доказать, что .

Характеристическая функция величины  равна

(*)

Характеристическую функцию случайной величины  можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты. Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (*) и устремим  к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости

ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3543. Тенденции развития печатной техники 342.84 KB
  Тенденции современного рынка печатной продукции оказали большое влияние и на развитие полиграфической техники. Всем понятно, что типографии будут приобретать то оборудование, которое позволит им успешнее работать на рынке в сложившейся ситу...
3544. СМИ как инструмент PR в условиях региона (на примере города Брянска) 1.48 MB
  Актуальность исследования. Одной из основных форм PR-деятельности является подготовка текстовых материалов для целевой общественности и для СМИ. PR-материалы любой организации создаются с целью продвижения информации для достижения понимани...
3545. Реконструкция газоочистных устройств ТЭЦ г. Анжеро-Судженск 2.9 MB
  Энергия – это движущая сила любого производства. Тот факт, что в распоряжении человека оказалось большое количество относительно дешевой энергии, в значительной степени способствовало индустриализации и развитию общества. Топливно-энер...
3546. Холодная штамповка 142.5 KB
  Холодная штамповка - одна из самых прогрессивных технологий получения заготовок, ;а в ряде случаев и готовых деталей изделий машиностроения, приборостроения, радиоэлектронных и вычислительных средств. По данным приборостроительных и ма...
3547. Машины для дробления, сортировки и мойки каменных материалов 131 KB
  Строительные машины в настоящее время неотъемлемая часть в любой сфере косвенно или прямо связанной со строительством. Позволяют улучшить и проконтролировать качество строительства. Ускорить сроки строительства. Облегчить труд человека в ка...
3548. Основные пути увеличения прибыли на предприятии ООО Гриант 114.5 KB
  Основную цель деятельности любого производителя (фирмы, делового предприятия) составляет максимизация прибыли. Возможности её получения ограничены, во-первых, издержками производства и, во-вторых, спросом на произведенную продукцию. Произво...
3549. Понятие социальной группы. Классификация групп 77 KB
  Понятие социальной группы. Классификация групп Общество – это не просто совокупность отдельных людей. Среди больших социальных общностей классы, социальные слои, сословия. Каждый человек принадлежит к какой-либо из этих социальных групп или мож...
3550. Теории экономического цикла и их эволюция 136 KB
  Новые реалии экономики побуждают к некоторому переосмыслению многих, казалось бы, вполне устоявшихся трактовок теоретических проблем. Одна из них циклы и кризисы. Сегодня их объяснение освобождается от политизированных оценок, в частности о...
3551. Технология машиностроения 43.5 KB
  Технология машиностроения Введение Технология машиностроения как отрасль науки. Особенности технологии машиностроения как учебной дисциплины. Содержание дисциплины "Основы технологии машиностроения". Перспективы развития технологии машиностроения. П...