30571

Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Доклад

Математика и математический анализ

Центральная предельная теорема. Интегральная теорема МуавраЛапласа. Обратно если в каждой точке непрерывности функции является функцией распределения то в каждой точке t при этом есть характеристическая функция для функции распределения Интегральная теорема Муавра Лапласа: Если вероятность p события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля так и от единицы то вероятность того что событие появится в n испытаниях от до раз приближенно равна определенному интегралу: где .

Русский

2013-08-24

49.24 KB

6 чел.

  1.  Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Ответ:  Т. Непрерывности:   Пусть fn(t) есть характеристическая функция случайной величины ξn и (x) = Fn(x). Если при n   в каждой точке t  и  непрерывна  при , то

  1.   является характеристической функцией некоторой функции распределения
    1.   в каждой точке непрерывности предельной функции.

Обратно, если  в каждой точке непрерывности функции   является функцией распределения, то  в каждой точке t  при этом  есть характеристическая функция для функции распределения

Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность  p  события A в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где

.

Центральная предельная теорема: Пусть  — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через  математическое ожидание  и через  — дисперсию . Требуется доказать, что

На доске: Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Где

  

Центральная предельная теорема:

Дополнительно:  Доказательство центральной предельной теоремы:

Введём стандартизованные случайные величины  — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть  есть их сумма . Требуется доказать, что .

Характеристическая функция величины  равна

(*)

Характеристическую функцию случайной величины  можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты. Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (*) и устремим  к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости

ч.т.д.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61953. Складання таблиць додавання і віднімання числа 7. Розв’язання задач на знаходження остачі 55.97 KB
  Мета. В ході уроку скласти та засвоїти таблицю додавання і віднімання числа 7 поглибити знання і вміння учнів розвязувати задачі. Розвивати обчислювальні навички.
61956. Номенклатура алканов 152.97 KB
  Выбрать в структурной цепи наиболее длинную цепь атомов углерода. Пронумеровать атомы углерода в выбранной цепи с того конца к которому ближе находится разветвление. Если разветвлений два и они равноудалены от концов главной цепи то нумеровать углеродную...
61957. Новый год в разных странах 23.26 KB
  В какой стране сутулый дедушка с большим носом вместе с карликом гномом оставляют новогодние подарки прямо на подоконнике В Швеции. В какой стране раздает подарки не сам местный Дед Мороз Боббе Натале а фея Бефана с красным колпачком и в хрустальных башмачках В Италии.
61958. «Новый курс» Рузвельта 678.56 KB
  New Del название экономической политики проводимой администрацией Франклина Делано Рузвельта начиная с 1933 г. Экономические программы Нового курса были проведены через Конгресс во время первого президентского срока Рузвельта в 1933-1936 гг.
61959. Планирование уроков по русскому языку 19.95 KB
  Для составления поурочного плана нужно Определить тему и необходимый объём материала; Ознакомиться с теоретическими сведениями по теме и дополнительной литературой по ней; Отобрать материал для практических упражнений Требования к отбору: Чистые примеры Тематический и стилистический отбор единство материала Источники материала: литературные произведения возможно дополнительно насытить текст орфограммами сложными словами конструкциями; научнопопулярная литература; публицистика. План организационный момент; проверка...
61960. Химические процессы 40.07 KB
  Укажите характеристику эмульсии. 1) твердые частицы распределены в жидкости 2) жидкость раздроблена в другой, не растворяющей ее 3) газообразные частицы распределены в газе 4) газообразные частицы распределены в жидкости