30574

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису

Доклад

Математика и математический анализ

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Русский

2013-08-24

46.5 KB

12 чел.

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Доска

Аксиомы:

  1.  α (x + y) = αx + αy
  2.  (α + β) x = αx + βx
  3.  α(βx) = (αβ)x
  4.  1x = x

Теорема 1. Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

01 + 02 = 01

01 + 02 = 02

Отсюда  01 = 02

Теорема 2. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

x + a + y = (x + a) + y = y

x + a + y = x + (a + y) = x

Отсюда x = y

Теорема 3. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

пусть y = -x

Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0

Базис

Пусть {ei} - базис, x – вектор, x = и x = .

= 0.

Отсюда все = 0

Выступление

Линейное пространство.

Пусть есть L – коммутативная группа относительно сложения и P – некоторое поле.

Пусть есть закон, который для α из P и x из L сопоставляет αx из L.

Тогда L называется линейным пространством над полем P, если выполнены 4 аксиомы

Примеры.

  1.  Множество векторов на плоскости (операции определяются как в аналитической геометрии).
  2.  Арифметическое линейное пространство Rn (с почленным сложением и умножением на число).
  3.  Множество полиномов степени, не превышающей некоторое число n (с обычными операциями).

Теорема 1.

Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

Действительно, пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Тогда с одной стороны, 01 + 02 = 01, с другой – 01 + 02 = 02, отсюда 01 = 02.

Теорема 2.

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Действительно, пусть a + x = x + a = 0 и a + y = y + a = 0.

С одной стороны, x + a + y = (x + a) + y = y. С другой стороны, x + a + y = x + (a + y) = x.

Отсюда x = y.

Теорема 3.

Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

Действительно, пусть y = -x. Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0.

Рассмотрим множество векторов {xi} из L.

Их линейная комбинация – сумма , где αi – произвольные числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в ней равны нулю.

Множество векторов называется линейно зависимым, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов называется линейно независимым, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через остальные.

Базис – линейно независимое множество векторов, такое что любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Коэффициенты в линейном разложении вектора по базису называются координатами вектора в базисе.

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Действительно, пусть {ei} – базис, x – вектор, x = и x = . Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = . Отсюда все = 0, т. к. вектора базиса линейно независимы.

Пусть {ai} и {bi} – базисы. Матрица перехода от базиса {ai} к {bi} базису – матрица T, в i-м столбце которой записаны координаты bi в базисе {ai}.

Пусть { β i} – координаты вектора x в базисе {bi}. Тогда x = . Отсюда αj =- координаты x в базисе {ai}.

В матричном виде: α = . (Здесь α и β – вектора-столбцы).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

612. Изучение геометрии скольжения на примере ГЦК монокристалла и расчет фактора Шмида для различных систем скольжения 71 KB
  Действующие системы скольжения и их количество для никеля при ориентировке кристалла. Системы скольжения и их количество при ориентации кристалла своей осью внутри стереографического треугольника 001\0-11\-1-11.
613. Развитие эмоционального общения со взрослым 68.5 KB
  Развитие эмоционального общения ребенка со взрослым, налаживание контакта. Игра проводится в течение некоторого времени, прекратить игру следует при первом признаке усталости или потере интереса со стороны ребенка.
614. Сварка давлением. Специальные термические процессы в сварочном производстве. Пайка 70.5 KB
  Сущность получения неразъемного сварного соединения двух заготовок в твердом состоянии состоит в сближении идеально чистых соединяемых поверхностей. Сварные соединения получаются в результате нагрева деталей проходящим через них током и последующей пластической деформации зоны соединения.
615. Интеллектуальные информационные системы в профессиональной деятельности 70.5 KB
  Понятие и классификация интеллектуальных информационных систем. Использование ИИТ в реальной практике. Множественность субъектов, участвующих в решении проблемы. Хаотичность, флюктуируемость и квантованность поведения среды. Слабая формализуемость, уникальность, нестереотипность ситуаций.
616. Теория и практика использования одномерных массивов. Строки 84.5 KB
  Описать одномерный массив размерностью 10. Заполнить массив случайными значениями из диапазона от 1 до 10. Вывести массив на экран. Вывести массив задом наперед. Отсортировать массив по возрастанию методом пузырька.
617. Вычисление сумм и произведений методом накопления 50 KB
  Вычислить значение функции, содержащее алгебраическое произведение методом накопления в системе Turbo Pascal. В рамках данной работы были выработаны практические навыки по вычислению произведения методом накопления в системе Turbo Pascal.
618. Исследование многоканальной системы передачи информации с нелинейным уплотнением каналов 56 KB
  Функциональная схема макета. Нелинейное уплотнение каналов. Используются адресные функции значности. Многоканальная система передачи информации.
619. Неврозы у детей и подростков 143.5 KB
  Невротические реакции. Невротические расстройства. Ипохондрический невроз. Истерический невроз. Астенический невроз (неврастения). Невроз навязчивых состояний (обсессивно-компульсивное расстройство). Системные неврозы. Невротические расстройства у детей раннего возраста. Механизмы социальной и школьной дизадаптации, профилактика и коррекция при невротических расстройствах в дошкольном и школьном возрасте.
620. Особенности невербальных средств общения 62.5 KB
  Познакомить педагогов с основными формами невербальной коммуникации. Разобрать с педагогами значение некоторых проявлений невербальной коммуникации. Способствовать развитию педагогической интуиции.