30574

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису

Доклад

Математика и математический анализ

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Русский

2013-08-24

46.5 KB

12 чел.

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Доска

Аксиомы:

  1.  α (x + y) = αx + αy
  2.  (α + β) x = αx + βx
  3.  α(βx) = (αβ)x
  4.  1x = x

Теорема 1. Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

01 + 02 = 01

01 + 02 = 02

Отсюда  01 = 02

Теорема 2. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

x + a + y = (x + a) + y = y

x + a + y = x + (a + y) = x

Отсюда x = y

Теорема 3. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

пусть y = -x

Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0

Базис

Пусть {ei} - базис, x – вектор, x = и x = .

= 0.

Отсюда все = 0

Выступление

Линейное пространство.

Пусть есть L – коммутативная группа относительно сложения и P – некоторое поле.

Пусть есть закон, который для α из P и x из L сопоставляет αx из L.

Тогда L называется линейным пространством над полем P, если выполнены 4 аксиомы

Примеры.

  1.  Множество векторов на плоскости (операции определяются как в аналитической геометрии).
  2.  Арифметическое линейное пространство Rn (с почленным сложением и умножением на число).
  3.  Множество полиномов степени, не превышающей некоторое число n (с обычными операциями).

Теорема 1.

Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

Действительно, пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Тогда с одной стороны, 01 + 02 = 01, с другой – 01 + 02 = 02, отсюда 01 = 02.

Теорема 2.

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Действительно, пусть a + x = x + a = 0 и a + y = y + a = 0.

С одной стороны, x + a + y = (x + a) + y = y. С другой стороны, x + a + y = x + (a + y) = x.

Отсюда x = y.

Теорема 3.

Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

Действительно, пусть y = -x. Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0.

Рассмотрим множество векторов {xi} из L.

Их линейная комбинация – сумма , где αi – произвольные числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в ней равны нулю.

Множество векторов называется линейно зависимым, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов называется линейно независимым, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через остальные.

Базис – линейно независимое множество векторов, такое что любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Коэффициенты в линейном разложении вектора по базису называются координатами вектора в базисе.

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Действительно, пусть {ei} – базис, x – вектор, x = и x = . Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = . Отсюда все = 0, т. к. вектора базиса линейно независимы.

Пусть {ai} и {bi} – базисы. Матрица перехода от базиса {ai} к {bi} базису – матрица T, в i-м столбце которой записаны координаты bi в базисе {ai}.

Пусть { β i} – координаты вектора x в базисе {bi}. Тогда x = . Отсюда αj =- координаты x в базисе {ai}.

В матричном виде: α = . (Здесь α и β – вектора-столбцы).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

424. Философское учение о ценностях (аксиология) 164.5 KB
  В качестве философской категории ценность — то, что чувства людей диктуют признать стоящим над всем и к чему можно стремиться, созерцать, относиться с уважением, признанием, почтением. Жизненные ценности: их роль в воспитательной деятельности. Типы ценностного сознания в истории культуры.
425. Использование стекла в архитектуре 79 KB
  Сырьем для производства обычного стекла служит главным образом оксид кремния (71-73%), или, иначе говоря, обычный песок. Оксиды магния и алюминия выполняют стабилизирующую функцию, повышая прочность стекла.
426. Финансовые институты. Биржа как финансовый институт 136 KB
  Банки, их виды и функции. Совокупность кредитно-финансовых учреждений, аккумулирующих и предоставляющих в долг денежные средства. Биржа как финансовый институт, её роль и функции. Прочие финансовые институты, их роль в организации финансового обращения.
427. Общепринятые теории происхождения жизни на планете Земля 83.5 KB
  Теории происхождения жизни на Земле. Абиогенная теория происхождения жизни на Земле. Поиск жизни во Вселенной. Вероятность самозарождения живого организма из неорганических веществ практически равняется нулю.
428. Вибір стратегічного профілю зовнішньоекономічної діяльності 132 KB
  Нині у практиці міжнародного бізнесу сформувалося чотири основних стратегічних профілі міжнародних компаній, з урахуванням яких доцільно виробляти основні стратегічні рішення. Процес формування, оцінювання і прийняття стратегій розвитку бізнесу.
429. Разработка программы Каталогизатор дисков 605.5 KB
  В данной пояснительной записке рассматривается описание программы Dark Catalog. В качестве основного инструмента разработки применяется Microsoft Visual Studio 2005. Язык программирования C#.
430. Нормирование труда и использование рабочего времени на предприятии 287.5 KB
  Изучение методов нормирования труда и использования рабочего времени и разработка рекомендаций по их совершенствованию. Анализ нормирования труда и использования рабочего времени на примере ОАО КЭМЗ. Методы определения экономической эффективности мероприятий по совершенствованию организации и нормированию труда.
431. ЭВМ в практических задачах 729.5 KB
  Основные сведения о компьютере и работе с ним. Коротко о некоторых других возможностях Microsoft Word. Основные понятия операционной системы Windows. Основные термины и понятия электронной таблицы. Некоторые специальные возможности Microsoft Excel.
432. Двенадцать нитей ДНК: История, теория и практика перекодирования ДНК 992 KB
  История и теория перекодирования ДНК. Очищение от токсинов как подготовка к перекодированию. Управление энергией двенадцати нитей. Удивительная история открытия этой системы, в которой не обошлось без внеземного разума и ченнелинга.