30574

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису

Доклад

Математика и математический анализ

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Русский

2013-08-24

46.5 KB

12 чел.

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Доска

Аксиомы:

  1.  α (x + y) = αx + αy
  2.  (α + β) x = αx + βx
  3.  α(βx) = (αβ)x
  4.  1x = x

Теорема 1. Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

01 + 02 = 01

01 + 02 = 02

Отсюда  01 = 02

Теорема 2. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

x + a + y = (x + a) + y = y

x + a + y = x + (a + y) = x

Отсюда x = y

Теорема 3. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

пусть y = -x

Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0

Базис

Пусть {ei} - базис, x – вектор, x = и x = .

= 0.

Отсюда все = 0

Выступление

Линейное пространство.

Пусть есть L – коммутативная группа относительно сложения и P – некоторое поле.

Пусть есть закон, который для α из P и x из L сопоставляет αx из L.

Тогда L называется линейным пространством над полем P, если выполнены 4 аксиомы

Примеры.

  1.  Множество векторов на плоскости (операции определяются как в аналитической геометрии).
  2.  Арифметическое линейное пространство Rn (с почленным сложением и умножением на число).
  3.  Множество полиномов степени, не превышающей некоторое число n (с обычными операциями).

Теорема 1.

Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

Действительно, пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Тогда с одной стороны, 01 + 02 = 01, с другой – 01 + 02 = 02, отсюда 01 = 02.

Теорема 2.

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Действительно, пусть a + x = x + a = 0 и a + y = y + a = 0.

С одной стороны, x + a + y = (x + a) + y = y. С другой стороны, x + a + y = x + (a + y) = x.

Отсюда x = y.

Теорема 3.

Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

Действительно, пусть y = -x. Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0.

Рассмотрим множество векторов {xi} из L.

Их линейная комбинация – сумма , где αi – произвольные числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в ней равны нулю.

Множество векторов называется линейно зависимым, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов называется линейно независимым, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через остальные.

Базис – линейно независимое множество векторов, такое что любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Коэффициенты в линейном разложении вектора по базису называются координатами вектора в базисе.

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Действительно, пусть {ei} – базис, x – вектор, x = и x = . Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = . Отсюда все = 0, т. к. вектора базиса линейно независимы.

Пусть {ai} и {bi} – базисы. Матрица перехода от базиса {ai} к {bi} базису – матрица T, в i-м столбце которой записаны координаты bi в базисе {ai}.

Пусть { β i} – координаты вектора x в базисе {bi}. Тогда x = . Отсюда αj =- координаты x в базисе {ai}.

В матричном виде: α = . (Здесь α и β – вектора-столбцы).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74011. Левые силы Европы между двумя мировыми войнами. Народные фронты и Гражданская война в Испании 32.25 KB
  Для политической жизни Великобритании ХХ в. харак-но усил-е влияния лев.идей. Их представитель лейборист.партия(1900г). Особ.яркие успехи лейбористов в 20-х,когда стремит.увеличился их электорат возросло их представит-во в Парламенте.
74012. Международные отношения в Европе в предвоенные годы. Политика «умиротворения агрессора» и ее итоги 21.5 KB
  ВОСТОЧНЫЙ ПАКТ проект договора о взаимопомощи между СССР Чехословакией Польшей Финляндией Латвией Эстонией и Литвой против агрессии фашистской Германии. Из крупных держав только СССР не имевший дипломатических отношений с Абиссинией решительно выступил в ее защиту. международные позиции СССР значительно окрепли. явное нежелание Англии и Франции договориться с СССР о коллективной безопасности ставили его в условия полной изоляции перед агрессором.
74013. Комплексная характеристика Второй Мировой войны и ее итогов 27.83 KB
  Ослабла роль Западной Европы в общемировой политике. Главными державами в мире стали СССР и США. Gb и Фр были значительно ослаблены. Война показала неспособность их и других западноевропейских стран содержать огромные колониальные империи. В странах Африки и Азии усилилось антиколониальное движение. В результате войны часть стран смогла добиться независимости: Эфиопия, Исландия, Сирия, Ливан, Вьетнам, Индонезия.
74014. Международные отношения в период «холодной войны» (1946 -1991 гг.) 32.76 KB
  Проблема репараций: Формы репараций с Германии и её союзников были определены на Ялтинской конференции 1945 г На Потсдамской конф-ии 1945г: репарац. претензии СССР будут удовлетворены путём изъятия из вост.зоны Германии и за счёт германских активов, находящихся в Болгарии
74016. Становление, развитие и крах социалистической системы в странах Восточной Европы. Государства региона на современном этапе исторического развития 48.84 KB
  В известной мере этому способствовала внутренняя и внешняя политика правящих кругов СССР. Руководство КПСС оставило в неприкосновенности режим безраздельной власти партийно-государственного аппарата,продолжало сохранять стиль авторитаризма в отношениях
74017. Страны Запада на рубеже XX – XXI вв.: становление и эволюция постиндустриального общества 39.5 KB
  США отменили золотое содержание доллара. А поскольку именно арабские страны являлись основным поставщиком нефти то вскоре они заявили что не будут поставлять нефть странам поддержавшим Израиль это касалось прежде всего США и их союзников в Западной Европе.