30574

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису

Доклад

Математика и математический анализ

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Русский

2013-08-24

46.5 KB

12 чел.

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Доска

Аксиомы:

  1.  α (x + y) = αx + αy
  2.  (α + β) x = αx + βx
  3.  α(βx) = (αβ)x
  4.  1x = x

Теорема 1. Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

01 + 02 = 01

01 + 02 = 02

Отсюда  01 = 02

Теорема 2. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

x + a + y = (x + a) + y = y

x + a + y = x + (a + y) = x

Отсюда x = y

Теорема 3. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

пусть y = -x

Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0

Базис

Пусть {ei} - базис, x – вектор, x = и x = .

= 0.

Отсюда все = 0

Выступление

Линейное пространство.

Пусть есть L – коммутативная группа относительно сложения и P – некоторое поле.

Пусть есть закон, который для α из P и x из L сопоставляет αx из L.

Тогда L называется линейным пространством над полем P, если выполнены 4 аксиомы

Примеры.

  1.  Множество векторов на плоскости (операции определяются как в аналитической геометрии).
  2.  Арифметическое линейное пространство Rn (с почленным сложением и умножением на число).
  3.  Множество полиномов степени, не превышающей некоторое число n (с обычными операциями).

Теорема 1.

Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

Действительно, пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Тогда с одной стороны, 01 + 02 = 01, с другой – 01 + 02 = 02, отсюда 01 = 02.

Теорема 2.

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Действительно, пусть a + x = x + a = 0 и a + y = y + a = 0.

С одной стороны, x + a + y = (x + a) + y = y. С другой стороны, x + a + y = x + (a + y) = x.

Отсюда x = y.

Теорема 3.

Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

Действительно, пусть y = -x. Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0.

Рассмотрим множество векторов {xi} из L.

Их линейная комбинация – сумма , где αi – произвольные числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в ней равны нулю.

Множество векторов называется линейно зависимым, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов называется линейно независимым, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через остальные.

Базис – линейно независимое множество векторов, такое что любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Коэффициенты в линейном разложении вектора по базису называются координатами вектора в базисе.

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Действительно, пусть {ei} – базис, x – вектор, x = и x = . Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = . Отсюда все = 0, т. к. вектора базиса линейно независимы.

Пусть {ai} и {bi} – базисы. Матрица перехода от базиса {ai} к {bi} базису – матрица T, в i-м столбце которой записаны координаты bi в базисе {ai}.

Пусть { β i} – координаты вектора x в базисе {bi}. Тогда x = . Отсюда αj =- координаты x в базисе {ai}.

В матричном виде: α = . (Здесь α и β – вектора-столбцы).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77878. Принятие наследства 29.5 KB
  Принятие наследства Правила принятия наследства: наследство можно принять только все целиком или отказаться от всего; для приобретения выморочного имущества принятие наследства не требуется; не допускается принятие наследства под условием или с оговорками; каждый наследник приобретает самостоятельно независимо от других; независимо от времени принятия наследства оно считается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства. Способы принятии наследства...
77879. Право общей собственности 31.5 KB
  Право общей собственности Общая собственность – имущество находящееся в собственности двух или нескольких лиц. Существует несколько точек зрения определения в праве собственности доли: теория идеальной доли при наличии неделимого имущества деление в уме; теория реальной доли материальная часть целого объекта общей собственности; теория доли в праве собственности. Сособственник имеет долю не в объекте а в праве общей собственности. Общая долевая собственность – в ней определяется доля каждого участника в праве общей...
77880. Гражданско-правовая защита 30 KB
  Обязательственно-правовые способы защиты носят относительный характер и могут иметь объектом любое имущество включая как вещи так и различные права. Если к этому моменту вещи у ответчика не окажется то виндикационный иск к нему предъявлять нельзя ибо исчез сам предмет виндикации. Содержание такого иска – возврат конкретной вещи а не ее замена другой вещью или вещами того же рода и качества.
77881. Авторское право 33 KB
  Авторское право. Функций: признание авторства на произведения науки литературы и искусства; установление режима использования произведений; наделение авторов и иных правообладателей личными и имущественными правами; защита данных прав. Субъекты: создатели произведений; работодатели; правопреемники; другие лица приобретшие права по закону или договору. Права автора: личные неимущественные права: право авторства; право на имя; право на обнародование; право на защиту репутации.
77882. Право на защиту чести, достоинства и деловой репутации 28.5 KB
  Диффамации которое распространяется на разглашение не только ложных но и действительных сведений позорящих честь и достоинство гражданина или юридического лица. Под распространением сведений следует понимать сообщение их различными способами как любому третьему лицу так и нескольким лицам неопределенному кругу лиц. При рассмотрении исков о защите чести и достоинства суду необходимо установить: имело ли место распространение сведений которые оспаривает истец; порочат ли они честь и достоинство истца; соответствуют ли они...
77883. Понятие, виды и исполнение обязательств в гражданском праве 28.5 KB
  Признаки обязательства: относительное гражданское правоотношение его субъектами являются строго определенные лица конкретный должник и конкретный кредитор; объектом обязательства является действие обязанного лица; содержанием являются права и обязанности сторон; опосредуют динамику гражданскоправовых правоотношений – процесс перехода имущественных благ от одних лиц к другим; за невыполнение наступает гражданскоправовая ответственность; 6 реализация кредитором своего права возможно только через исполнение обязанности...
77884. Поручительство и банковская гарантия как способы обеспечения исполнения обязательств 30.5 KB
  Поручительство и банковская гарантия как способы обеспечения исполнения обязательств Поручительство – способ по которому поручитель обязуется исполнить обязательство за должника. При поручительстве ответственным перед кредитором за неисполнение основного обеспечиваемого обязательства становится наряду с должником еще и другое лицо – поручитель...
77885. Залог как способ обеспечения исполнения обязательств 28 KB
  Общие признаки: носят имущественный характер то есть интересы кредитора удовлетворяются за счет имущества должника; направлены на обеспечение удовлетворения интересов кредитора которое состоит в надлежащем исполнении ему обязательства; между должником и кредитором чаще всего существует два обязательства; возникает на основании закона или договора...
77886. Понятие и виды гражданско-правовых договоров 28.5 KB
  Свобода договора: недопущение понуждения к заключению договора; свобода выбора партнера при заключении договора; свобода участников гражданского оборота в выборе вида договора; свобода усмотрения сторон при определении условий договора кроме условий которые предусмотрены законом. Значение договора: договор представляет собой одно из самых уникальных правовых средств в рамках которого интерес каждой стороны в принципе может быть удовлетворен лишь посредством удовлетворения интереса другой стороны; договор...