30574

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису

Доклад

Математика и математический анализ

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Русский

2013-08-24

46.5 KB

12 чел.

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Доска

Аксиомы:

  1.  α (x + y) = αx + αy
  2.  (α + β) x = αx + βx
  3.  α(βx) = (αβ)x
  4.  1x = x

Теорема 1. Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

01 + 02 = 01

01 + 02 = 02

Отсюда  01 = 02

Теорема 2. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

x + a + y = (x + a) + y = y

x + a + y = x + (a + y) = x

Отсюда x = y

Теорема 3. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

пусть y = -x

Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0

Базис

Пусть {ei} - базис, x – вектор, x = и x = .

= 0.

Отсюда все = 0

Выступление

Линейное пространство.

Пусть есть L – коммутативная группа относительно сложения и P – некоторое поле.

Пусть есть закон, который для α из P и x из L сопоставляет αx из L.

Тогда L называется линейным пространством над полем P, если выполнены 4 аксиомы

Примеры.

  1.  Множество векторов на плоскости (операции определяются как в аналитической геометрии).
  2.  Арифметическое линейное пространство Rn (с почленным сложением и умножением на число).
  3.  Множество полиномов степени, не превышающей некоторое число n (с обычными операциями).

Теорема 1.

Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

Действительно, пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Тогда с одной стороны, 01 + 02 = 01, с другой – 01 + 02 = 02, отсюда 01 = 02.

Теорема 2.

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Действительно, пусть a + x = x + a = 0 и a + y = y + a = 0.

С одной стороны, x + a + y = (x + a) + y = y. С другой стороны, x + a + y = x + (a + y) = x.

Отсюда x = y.

Теорема 3.

Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

Действительно, пусть y = -x. Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0.

Рассмотрим множество векторов {xi} из L.

Их линейная комбинация – сумма , где αi – произвольные числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в ней равны нулю.

Множество векторов называется линейно зависимым, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов называется линейно независимым, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через остальные.

Базис – линейно независимое множество векторов, такое что любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Коэффициенты в линейном разложении вектора по базису называются координатами вектора в базисе.

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Действительно, пусть {ei} – базис, x – вектор, x = и x = . Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = . Отсюда все = 0, т. к. вектора базиса линейно независимы.

Пусть {ai} и {bi} – базисы. Матрица перехода от базиса {ai} к {bi} базису – матрица T, в i-м столбце которой записаны координаты bi в базисе {ai}.

Пусть { β i} – координаты вектора x в базисе {bi}. Тогда x = . Отсюда αj =- координаты x в базисе {ai}.

В матричном виде: α = . (Здесь α и β – вектора-столбцы).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82364. Социальные конфликты в процессе интеграции инвалидов в общество 150.5 KB
  В статье Интеграция инвалидов в современное российское общество: основные этапы затрагивает вопрос инклюзивного образования где говорит что по сути своей дети инвалиды не равны по отношению друг к другу дети с нарушением опорно-двигательного аппарата чувствуют и воспринимаются другими лучше а значит...
82365. Проектирование и расчеты верхнего строения пути 534 KB
  Железнодорожный транспорт России имеет исключительно важное значение в жизнеобеспечении многоотраслевой экономики и реализации социально значимых услуг по перевозке пассажиров. На его долю приходится более 75% грузооборота и 40% пассажирооборота, выполняемых транспортом общего пользования.
82366. Факторы повышения социальной значимости системы среднего профессионального и среднего специального образования 207 KB
  Главной проблемой нашей работы стало то что в наше время система среднего профессиональное и среднего специального образования считается не разумной потерей времени. Неопределенность статуса диплома об окончании обучения в связи с вступлением России в Болонский процесс и интеграцией российского...
82368. Расчёт и проектирование двуступенчатого редуктора 53.88 KB
  Кинематическая схема привода. Определение мощности на ведущем валу и выбор электродвигателя. Определение общего передаточного числа. Основные параметры передачи. Выбор материалов. Допускаемые напряжения. Определение межосевого расстояния и расчёт тихоходной ступени. Геометрические параметры передачи.
82369. ПРОЕКТУВАННЯ КАРКАСНОЇ ДЕРЕВ’ЯНОЇ БУДІВЛІ 921.5 KB
  Мета курсового проекту – практично застосувати знання, які отримані при вивченні теоретичного курсу, оволодіти вмінням конструювати складові каркаса будівлі з використанням деревини, деревинних плитних матеріалів і пластмас.
82370. Бизнес план: Автотранспортного предприятия. ООО«Сибирь» 162.34 KB
  Сумма оплат за перевезенные тонны и выполненные тоннокилометры составляет сдельный фонд зарплаты водителей Участие водителей в ТО и ремонте оплачивается в соответствии с присвоенным им квалификационным разрядам ремонтных рабочих обычно по четвертому разряду где руб.
82371. Психология аномального развития 575 KB
  Проблемы эмоционального развития детей. Постоянное увеличение детей с нарушениями развития особо выделяет проблему изучения данной категории детей. Необходимо отметить что клинико-психолого-педагогическая картина развития детей с ограниченными возможностями сложна и многообразна.