30574

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису

Доклад

Математика и математический анализ

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Русский

2013-08-24

46.5 KB

14 чел.

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Доска

Аксиомы:

  1.  α (x + y) = αx + αy
  2.  (α + β) x = αx + βx
  3.  α(βx) = (αβ)x
  4.  1x = x

Теорема 1. Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

01 + 02 = 01

01 + 02 = 02

Отсюда  01 = 02

Теорема 2. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

x + a + y = (x + a) + y = y

x + a + y = x + (a + y) = x

Отсюда x = y

Теорема 3. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

пусть y = -x

Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0

Базис

Пусть {ei} - базис, x – вектор, x = и x = .

= 0.

Отсюда все = 0

Выступление

Линейное пространство.

Пусть есть L – коммутативная группа относительно сложения и P – некоторое поле.

Пусть есть закон, который для α из P и x из L сопоставляет αx из L.

Тогда L называется линейным пространством над полем P, если выполнены 4 аксиомы

Примеры.

  1.  Множество векторов на плоскости (операции определяются как в аналитической геометрии).
  2.  Арифметическое линейное пространство Rn (с почленным сложением и умножением на число).
  3.  Множество полиномов степени, не превышающей некоторое число n (с обычными операциями).

Теорема 1.

Существует единственный нулевой (нейтральный по сложению) вектор.

Действительно, пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Тогда с одной стороны, 01 + 02 = 01, с другой – 01 + 02 = 02, отсюда 01 = 02.

Теорема 2.

Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.

Действительно, пусть a + x = x + a = 0 и a + y = y + a = 0.

С одной стороны, x + a + y = (x + a) + y = y. С другой стороны, x + a + y = x + (a + y) = x.

Отсюда x = y.

Теорема 3.

Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0.

Действительно, пусть y = -x. Тогда 0x = 0x + x + y = 0x + 1x + y = (0 + 1)x + y = 1x + y = x + y = 0.

Рассмотрим множество векторов {xi} из L.

Их линейная комбинация – сумма , где αi – произвольные числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в ней равны нулю.

Множество векторов называется линейно зависимым, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов называется линейно независимым, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через остальные.

Базис – линейно независимое множество векторов, такое что любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Коэффициенты в линейном разложении вектора по базису называются координатами вектора в базисе.

Координаты вектора в базисе определяются единственным образом. Действительно, пусть {ei} – базис, x – вектор, x = и x = . Вычитая одно равенство из другого, получаем 0 = . Отсюда все = 0, т. к. вектора базиса линейно независимы.

Пусть {ai} и {bi} – базисы. Матрица перехода от базиса {ai} к {bi} базису – матрица T, в i-м столбце которой записаны координаты bi в базисе {ai}.

Пусть { β i} – координаты вектора x в базисе {bi}. Тогда x = . Отсюда αj =- координаты x в базисе {ai}.

В матричном виде: α = . (Здесь α и β – вектора-столбцы).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55762. ВІДЧУВАТИ В СОБІ ВІЛЬНУ ЛЮДИНУ 49 KB
  Навчання - це лише одна з пелюсток тієї квітки що називається вихованням у широкому розумінні цього поняття. Отже виховання не просто складова освіти а її внутрішня сутність що й виражене в завданні освіти сформувати людину.
55763. Виховна година «Єдина справжня розкіш — це розкіш людського спілкування» (А. Екзюпері) 60 KB
  Мета: озброїти учнів знаннями і практичними рекомендаціями про основи спілкування; дати їм практичні рекомендації щодо удосконалення свого мовлення уміння спілкуватися; спонукати учнів застосовувати набуті знання у повсякденному спілкуванні...
55765. Механізми формування психологічних проблем і психосоматичних розладів 57 KB
  Найбільш загальним підходом до опису тілеснопсихологічних проблем що слугують точкою прилягання тілесної психокорекції служить уявлення про порушення психологічної адаптації як механізм їх формування.
55766. Як розмовляти, щоб тебе розуміли 43 KB
  Мета: ознайомити дітей з основними правилами спілкування; вчити застосовувати їх у житті; залучати учнів до рольового моделювання з метою набуття власного досвіду...
55767. Стилизация в декоративной росписи 1.15 MB
  Цель: продолжить знакомство учащихся с декоративно-прикладным искусством петриковской росписи; Ознакомить со стилизацией учить выполнять стилизованные декоративные изображения...
55768. Петриківський розпис. Композиція «Задрімали на калині золоті жар-птиці» 52 KB
  Мета уроку: розширити поняття про види декоративноприкладного мистецтва ознайомити з традиціями і технікою петриківського розпису формувати уміння та навички посильного виконання елементів розпису...
55769. Суспільно – політичне життя й політична боротьба в Україні 1953 – 1964 рр. 444.5 KB
  Обладнання: підручник хрестоматія настінна карта атласи фрагменти відеофільмів Хрущов на XX зїзді КПРС Усунення М. Основні поняття і терміни: десталінізація реабілітація відлига Програма КПРС. XX зїзд КПРС; 1957 р. ухвалення нової Програми КПРС; 1963 р.
55770. Утворення давньоруської держави, її значення в історії українського народу 139 KB
  Але ці слабкості були настільки непомітними що неозброєним оком їх не побачиш тому що їх затьмарює відвага войовничість хоробрість простота мудрість і любов до рідної землі; по-друге вся діяльність князя була спрямована на зміцнення...