30928

Топология. Функциональный анализ. Учебник

Книга

Математика и математический анализ

Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове «топология». Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико-множественной

Русский

2013-08-25

6.26 MB

40 чел.

ВВЕДЕНИЕ

Начало XX века было великой эпохой в истории математики. Многие из современных направлений математики родились или оформились именно в это время.

Одним из важнейших событий развития математики, происходившего в период от начала века до первой мировой войны, было рождение функционального анализа, в котором соединились многие концепции классического анализа, линейной алгебры и геометрии.

Параллельно возникли и интенсивно развивались разделы математики, сыгравшие важную в становлении функционального анализа: топология, теория меры и интеграла Лебега.

Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове «топология». Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико-множественной.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с планировкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора – Д.Гильбертом, Г.Вейлем и др.). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т.п. Основы общей топологии в ХХ веке были заложены немецким математиком Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем московской школы П.С.Александровым и другими.

В начале ХХ века Лебег завершил построение теории меры и интегрирования. В XIX веке вслед за Коши и Риманом интеграл понимали как предел римановых сумм. Лебег же предложил другой подход. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Но множества на оси абсцисс, для которых значения функции попадают в некоторый промежуток, у достаточно сложных функций могут быть устроены весьма причудливо, и для построения теории интегрирования необходимо было в первую очередь построить теорию меры, т.е. научиться «измерять» такие множества. Это было сделано Борелем и Лебегом.

Лебег весьма выразительно описал преимущество своего метода. «В методе Коши, – писал Лебег, – оперируют так, как делает это неопытный клерк, который подсчитывает монеты и кредитные билеты сообразно тому, как они попадаются под руку. Тогда как мы оперируем, как опытный и методичный клерк, говорящий: у меня n1 монет по одному франку, стоящих 1n1, у меня n2 монет по два франка, стоящих 2n2, у меня n5 монет по пять франков, стоящих 5n5 … Итого, у меня 1n1+ 2n2 + 5n5 +... франков. Конечно, и тот и другой клерки придут к одному и тому же результату. Но в случае сумм неделимых, число которых бесконечно, разница двух методов капитальная.» На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций – метрическая теория функций.

В двадцатые годы ведущая роль в теории функций перешла к русской школе, которую представляли Николай Николаевич Лузин и его ученики П.С.Александров, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин и др. Они и заложили основания московской математической школы. Сделав первые шаги в теории функций, ученики Лузина пошли в дальнейшем каждый своим путем. Колмогоров и Хинчин преобразовали теорию вероятностей, Александров и Урысон – топологию, Люстерник и Шнирельман - нелинейный анализ, Новиков внес выдающийся вклад в математическую логику, Лаврентьев сделал крупнейшие открытия в комплексном анализе и механике. Лишь Меньшов и Бари продолжали дело своего учителя. В тридцатые годы ни одна математическая школа мира не располагала таким созвездием выдающихся ученых.

Функциональный анализ возник на рубеже XIX-го и XX-го веков в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятельной дисциплиной.

Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теорией систем линейных уравнений конечного числа переменных и их бесконечномерных аналогов – линейных интегральных уравнений. Решающий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году. Интегральное уравнение Фредгольм заменил системой линейных уравнений, рассмотрев вместо интеграла интегральные суммы.

Методы решения систем линейных уравнений были разработаны еще в XVIII веке. Применив эти методы и переход к пределу, Фредгольм нашел условия разрешимости и алгоритмы нахождения решений уравнений. Это послужило стимулом к разработке теории, сочетавшей в себе элементы алгебры и геометрии, но в бесконечномерных пространствах.

Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа.

Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа и смежных областей алгебры и геометрии (таких как функциональная зависимость, предельный переход, близость, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях) переносятся на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет с единой точки зрения подходить к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных математических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и, тем самым, способствовать открытию новых математических фактов (достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных методами функционального анализа).

Характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Такое рассмотрение потребовало обобщение геометрических понятий – бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело, в конце концов, к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривающиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.

Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин.

ГЛАВА 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества

Понятие множества изучалось студентами в курсе математического анализа. Здесь мы напомним основные понятия и термины из этой теории.

Понятие множества является настолько общим, что затруднительно дать для него формальное определение (т.е. сведение его к другим понятиям, более простым и более ясным).

Мы будем рассматривать множества чисел, множества точек, множество линий, множества функций и т.д. Множества будем обозначать большими буквами: A, B, M, N и т.д. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества, будем обозначать их малыми буквами. Запись  (или ) означает, что a есть элемент множества A; запись  означает, что a не является элементом множества A. Запись  (или ) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B; в этом случае множество A называют подмножеством множества B. Если имеют место включения , В  А, то это означает, что множества A и B состоят из одних и тех же элементов и, значит, совпадают друг с другом. Этот факт записывается равенством A = B. Существует одно специальное множество, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом .

Рассмотрим простейшие операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и дополнение.

Пусть дано семейство множеств {A}, где индекс пробегает некоторое множество Т. Рассмотрим совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A. Эта совокупность есть новое множество, которое и называют объединением множеств A и обозначается .Отметим, что если какой либо элемент входит в несколько множеств, то в объединение этих множеств он включается только один раз. В соответствии с аксиомами теории множеств пустое множество является подмножеством любого множества.

Пусть снова дана совокупность множеств {A}Т. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из указанных множеств, называется пересечением множеств и обозначается .

В случае, если для   , ,  Т выполняется равенство АА = , то объединение  называется дизъюнктным и обозначается .

Из определения объединения и пересечения множеств видно, что эти операции обладают свойством коммутативности и ассоциативности. Легко показать также, что имеет место следующий закон дистрибутивности =.

Пусть даны множества A и B. Элементы множества A, не принадлежащие B, образуют множество, называемое разностью множеств A и B и обозначаемое A - B или A\B. Нетрудно видеть, что A\B=A\.

Введём ещё одно понятие. Если B есть подмножество A, то разность A\B называют дополнением множества B до множества A. Отметим очевидную формулу: если , то . Заметим, что для двух произвольных множеств A и B эта формула вообще неверна.

Из более сложных формул отметим следующие, которые часто будут встречаться.

Теорема (принцип двойственности). Пусть дана система множеств Аα и множество Ω, причём Аα  . Тогда

( - А) = - (А);

( - А) = - (А).

Отображением φ множества M1 в множество M2 (обозначение φ: M1M2) называется такой закон φ, при котором каждому элементу xM1 поставлен в соответствие один и только один элемент yM2, обозначаемый через φ(x) и называемый образом элемента x при отображении φ.

Совокупность всех тех элементов aM1, образом которых является данный элемент bM2, называется прообразом элемента b при отображении φ:M1M2 и обозначается через φ-1(b). Таким образом, φ-1(b) = {aM1: (a) = b}.

Пусть A - некоторое подмножество из M1; совокупность {φ(a): aA} всех элементов вида φ(a), где aA, называется образом A и обозначается φ(A). В свою очередь, для каждого множества BM2, определяется его полный прообраз φ-1(B), как совокупность всех тех элементов из M1, образы которых принадлежат B, т.е. φ-1(B) = {aM1: (a) В}

Напомним, что отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией, если φ(M1) = M2.

Если для любых двух различных элементов x1 и x2 из M1 их образы y1 = φ(x1) и y2 = φ(x2) также различны, то φ называется инъекцией. Отображение φ: M1M2, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между M1 и M2.

Имеют место следующие основные свойства отображений:

Теорема о прообразах. Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов соответственно:

φ-1(AB)= φ-1(A)φ-1(B),

φ-1(AB)= φ-1(A)φ-1(B).

Теорема об образах. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:

φ(AB)= φ(A)φ(B).

Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.

Отображение IM: MM называется тождественным (или единичным) отображением множества M, если IM(x) = x, xM.

Пусть даны отображения φ: M1 M2 и ψ: M2M3, тогда можно определить композицию отображений φ и ψ, как отображение ψφ: M1M3, определяемое формулой (ψφ)(x) = ψ(φ(x)) ,xM1.

Отображение φ: M1M2 называется обратимым, если существует такое отображение ψ:M2M1, что имеют место следующие соотношения:

φψ = IM2

ψφ = IM1

В этом случае отображение ψ называется обратным к отображению φ и обозначается через φ-1 .

Теорема о единственности обратного. Если отображение φ: М1→М2 обратимо, то обратное отображение φ-1 единственно.

Имеет место следующий критерий обратимости отображения.

Теорема о существовании обратного. Отображение φ: М1→М2 обратимо тогда и только тогда, когда φ – биективно.

В этом случае обратное отображение φ-1: М2→М1 определяется (однозначно) следующим образом: образом элемента у  М2 при отображении φ -1 будет такой элемент х  М1, который при отображении φ переходит в элемент у. Иными словами: φ-1(у) = х φ(х) = у.

2. Топология и топологическое пространство. База топологии

Определение 1 (основное определение). Пусть Х – произвольное множество и = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):

1) , Х  ;

2) объединение любой совокупности множеств из принадлежит ;

3) пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит .

Такая совокупность подмножеств называется топологией на X. Множество Х с заданной на нем топологией называется топологическим пространством и обозначается (X, ), подмножества из совокупности называются открытыми (в пространстве (X, )).

Пример 1. Х – числовая прямая R1. Топологию на R1 можно задать следующим набором подмножеств: пустое множество , всевозможные интервалы и их объединения U = . Аксиомы топологии проверяются несложно.

Пример 2. X = R2. Открытым множеством назовем всякое множество в X = R2, которое вместе с каждой своей точкой содержит достаточно малый открытый круг с центром в этой точке, а также пустое множество. Это определение соответствует стандартному пониманию открытых множеств, даваемому в курсе «Математического анализа». Легко проверить, что система всех открытых множеств в Х = R2 образует топологию.

Пример 3. Х – произвольное множество. Совокупность min = {, X} очевидно задает топологию на Х. Таким образом определенная топология на Х называется минимальной или тривиальной.

Пример 4. Х – произвольное множество, max = {всевозможные подмножества X}. Совокупность – топология на Х. Эта топология называется максимальной или дискретной.

Таким образом, на одном и том же множестве можно ввести различные топологии, например, тривиальную и дискретную.

С понятием открытого множества в топологическом пространстве (X, ) тесно связано двойственное понятие замкнутого множества: так называют множество, дополнение которого до Х открыто. Иными словами, если U  , то X\U замкнуто, и обратно: если F замкнуто, то X\F открыто.

В силу двойственного характера операций в теории множеств совокупность {F} всех замкнутых множеств топологического пространства (X, ) удовлетворяет следующим свойствам:

1) X,   {F};

2) пересечение любой совокупности множеств из {F} принадлежит {F};

3) объединение любого конечного числа множеств из {F} принадлежит {F}.

Эти свойства полностью характеризуют замкнутые множества топологического пространства (X, ), а следовательно, и топологию (так как множества из – это дополнения замкнутых множеств) и могут быть приняты в качестве аксиом топологического пространства. Таким образом, топологию на Х можно задать, указав совокупность {F} подмножеств X, удовлетворяющую свойствам 1) – 3); в этом случае топологией на Х будет совокупность {X\F}.

Различные топологии на одном и том же множестве образуют частично упорядоченное множество.

Определение 2. Говорят, что топология на Х слабее топологии ' на Х (  '), если из того, что U  , следует, что U  ', т. е. если   '. Топология ' в этом случае сильнее топологии .

Заметим, что для всякой топологии имеем min    max.

Очень часто получить описание всей топологии, как совокупности некоторых подмножеств Х, затруднительно. Для задания топологии используют построение совокупности подмножеств, порождающих топологию.

Определение 3. Совокупность = {V} открытых множеств топологического пространства (Х, ) называется базой топологии , если для всякого открытого множества U   и для всякой точки х  U найдется такое множество V  , что х  V и V  U.

Следовательно, всякое непустое открытое множество топологического пространства (Х, ) можно представить в виде объединения открытых множеств из базы топологии (это свойство характеризует базу и часто принимается за определение базы). Достаточно взять объединение всех открытых множеств из базы, которые вложены в это множество.

Пусть {V} – некоторая совокупность подмножеств Х. Возникает вопрос: при каких условиях можно построить топологию на Х так, чтобы семейство {V} было базой этой топологии?

Теорема 1 (критерий базы). Пусть {V}А – некоторая не пустая совокупность подмножеств Х. Тогда = {V}А является базой некоторой топологии на Х, если

1) Х = ,

2) для каждого V и каждого V из и каждого x  V  V существует V   такое, что х  V  V  V.

Доказательство. Если = {V}А – база топологии, то V  V – открытое множество, и по определению базы для каждого x  V  V существует V   такое, что х  V  V  V.

Обратно: если = {V}А удовлетворяет условию теоремы. Будем говорить, что множество U , если U = V. Принадлежность Х   вытекает из условия 1). Принадлежность    является следствием множественного равенства V = . Вторая аксиома проверяется непосредственно: , т.е. объединение множеств из представимо в виде объединения множеств из и, следовательно, также принадлежит . Проверим третью аксиому. Для этого возьмем произвольные два множества U1, U2  . Согласно определению системы справедливы представления U1 = V, U2 = V. Тогда

U1U2 = (V)(V) =  ( V V).

Для доказательства нам достаточно показать, что множество V V = , где . Тогда U1U2 = , т.е. объединение множеств из , а следовательно U1U2 из . В качестве системы множеств  в доказываемом равенстве берем все множества из , удовлетворяющие условию   V V. Тогда включение   V V очевидно. Докажем обратное включение. Возьмем произвольное х  V V. По определению системы найдется    такой, что х    V V. Это означает, что х   и справедливо включение V V  .

Заметим, что в доказательстве мы указали и способ построения топологии, если задано семейство = {V}А, удовлетворяющее условию теоремы.

Пример 5. Пусть Х = Rn есть n-мерное векторное пространство. В качестве базы топологии на Rn можно взять систему множеств = {Va, b }, где Va, b = Rn: аi < i < bi, i = 1, ..., n}, i координата вектора х = (1, 2,…, n); а = (а1, a2,…, аn), b = (b1, b2,..., bn)  произвольные векторы в Rn, причем аi < bi. 

Такие множества Va, b называются открытыми параллелепипедами в Rn.

В дальнейшем, если не будет указано, какая именно топология рассматривается на Rn, мы будем считать, что Rn снабжено топологией, база которой указана в примере 5.

В топологическом пространстве естественно выбирать базу топологии с возможно меньшим количеством элементов. Например, в R1 множества V = (t1, t2), где t1, t2 рациональные числа, образуют базу топологии из счетного числа элементов.

3. Структура открытых множеств и окрестности

Пусть (Х, )  топологическое пространство и х  Х  произвольная точка.

Определение 4. Окрестностью точки х  Х называется всякое подмножество U(х)  Х, удовлетворяющее условиям:

1) х  U(х);

2) существует V   такое, что х  V  U(х).

Отметим, что в силу этого определения любое открытое множество является окрестностью каждой своей точки. Окрестность точки, которая является открытым множеством, называется открытой окрестностью.

Можно рассматривать совокупность всех окрестностей данной точки х. Эта совокупность обладает следующими свойствами (докажите!):

1) всякое множество, содержащее некоторую окрестность точки х, является окрестностью точки х; 

2) пересечение конечного числа окрестностей точки хокрестность точки х;

3) объединение любой совокупности окрестностей точки х есть окрестность тачки х.

Теорема 2. Подмножество А   ) топологического пространства (Х, ) открыто тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую окрестность каждой своей точки.

Доказательство. Пусть А открыто, х  А. Тогда ясно, что А  окрестность х, следовательно, А содержит окрестность любой своей точки.

Пусть для каждого х  А существует окрестность U точки х, целиком лежащая в А: U  A. По определению окрестности в ней содержится некоторое открытое множество Vх, х  Vх  U  A. Рассмотрим объединение  вcex таких множеств. Оно открыто и совпадает с А. Действительно, так как всякая точка множества А принадлежит , то А  . С другой стороны, для каждого х имеем Vx  А, т. е.   А. Поэтому А =  значит, А открыто.

Теорема 3. Множество А R1 открыто тогда и только тогда, когда представимо в виде  (напомним, что под суммой множеств понимается их объединение, при условии, что эти множества не пересекаются друг с другом).

Доказательство. Достаточность утверждения очевидна, установим необходимость. На множестве А введем отношение х  у, если существует интервал (a; b) А, содержащий обе эти точки. Данное отношение является эквивалентностью. Первые два условия в определении эквивалентности проверяются просто. Последнее вытекает, что если два интервала принадлежат А и имеют общую точку, то их объединение также будет интервалом, причем принадлежащим А.

В результате множество А этим отношением эквивалентности разбивается на непересекаемые классы эквивалентности. Рассмотрим один такой класс [x] и пусть  и . Так как множество А открытое, то любая точка этого множества является внутренней, т.е. входит в А с некоторым интервало. Поэтому всегда c < d. Может случится, что эти числа бесконечности. В этом случае рассуждения более простые. Пусть - < c < d < +. Докажем, что (c; d) A. Действительно, пусть s  (c; d). В силу свойств точных граней и числовых множеств найдутся у и z из [x], такие, что c < y < s < z < d. Так как у  z, то существует интервал (r; q) A и такой, что y, z  (r; q). Но тогда и s  (r; q) А и этим доказано, что (c; d) A. Заметим, что одновременно мы практически показали принадлежность s  [x]. Это означает, что (c; d) [x]. Так как обратное вложение очевидно из определения c и d, то [x] = (c; d).

Последнее равенство завершает доказательство теоремы, так как таких интервалов, содержащихся в А, не может быть более чем счетное число. Действительно, в каждом интервале достаточно взять рациональное число. Разным интервалам будут соответствовать разные числа и количество интервалов биективно отображается в некоторое подмножество множества рациональных чисел. Последнее, как подмножество счетного множества, обязано быть не более чем счетным.

Следствие. Всякое замкнутое множество на прямой получается из прямой выбрасыванием конечного или счетного числа интервалов.

Окрестности используют для отделения точек друг от друга.

Определение 5. Топологическое пространство (Х, ) называется хаусдорфовым или отделимым, если для любых двух его различных точек, х, у, найдутся такие окрестности V(х), V(у) этих точек, что V(х) V(у) = .

Топологическое пространство (Х, ) с тривиальной топологией не является хаусдорфовым, если оно содержит более одной точки (проверьте!).

Свойства окрестностей точки, рассмотренные выше, можно положить в основу следующего определения топологического пространства, объявляя их аксиомами.

Определение 6. Топологическое пространство  это множество Х, для каждой точки х которого указана непустая система подмножеств {О(х)}, называемых окрестностями точки х, удовлетворяющих следующим свойствам:

1) х принадлежит каждой своей окрестности О(x);

2) если множество U  Х содержит некоторое О(х), то U также окрестность точки х;

3) для любых окрестностей O1(х), O2 (х) точки х их пересечение O1(х)  O2 (х) также является окрестностью точки х;

4) для всякой окрестности O(x) точки х найдется такая окрестность O1 (х) O(х), которая является окрестностью каждой своей точки.

4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств

Определение 7. Метрическим пространством называется пара (Х, d), где Х - произвольное множество, а d: XX  R - отображение, называемое метрикой, удовлетворяет следующим трем аксиомам:

1. d(x, y) 0; d(x, y) = 0  x = y (неотрицательность).

2. d(x, y) = d(y, x) (симметричность).

3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (неравенство треугольника).

Пример 6. Евклидово пространство Rn состоит из множества всех n-мерных векторов, метрика в котором задается равенством d(x, y) = . Справедливость аксиом метрики (за исключением неравенства треугольника) очевидна. Неравенство треугольника вытекает из неравенства Минковского для сумм (см. приложение). Введенная таким образом метрика на Rn называется евклидовой.

Пример 7. В пространстве непрерывных функций C[a, b] на отрезке [a, b] введем метрику d(x, y) = max |x(t) – y(t)|, где максимум берется по t [a, b]. Эта метрика называется метрикой Чебышева. Справедливость аксиом метрики практически очевидна.

Пример 8. Сk[a, b] – метрическое пространство всех непрерывных функций на [a, b], имеющих непрерывные производные до порядка k, с метрикой, определённой по формуле

d(x, y)=.

Справедливость аксиом метрики очевидна.

Пример 9. M[a, b] – пространство ограниченных вещественных функций x(t) заданных на отрезке [a, b] с метрикой d(x, y) = . Ясно, что C[a, b]  M[a, b]. Справедливость аксиом метрики очевидна.

Пример 10. lp (1 р < ) – пространство всех числовых последовательностей х = {xk}, для которых сходится ряд . Метрика в этом случае определяется так:

d(x, y) = < .

Выполнение двух первых аксиом очевидно. Неравенство треугольника вытекает из неравенства Минковского (см. приложение).

Пример 11. l = m - пространство ограниченных числовых последовательностей с метрикой

d(х, у) = sup|xk - yk|

Справедливость аксиом метрики очевидна.

Пример 12. с0 - пространство сходящихся к нулю последовательностей с той же метрикой, что и в m.

Пример 13. Для произвольного множества Х определим метрику

Справедливость аксиом метрики очевидна. Рассмотренное пространство называется дискретным метрическим пространством.

Пример 14. s - пространство всех числовых последовательностей. Введем в s метрику соотношением:

Аксиомы 1 и 2 метрики очевидны , выполнение 3 аксиомы следует из возрастания функции t/(1+t) (проверьте!).

Определение 8. Обозначим через S(x0, r) = {x: d(x0,x) < r } - открытый шар, S[x0, r] = {x: d(x0,x)  r} - замкнутый шар.

Пример 15. Пусть Х = R3 – трёхмерное евклидово пространство. Шар S(a, r) – это обычный шар радиуса r с центром в а = (а1, а2, а3).

Пример 16. Пусть Х = С[а, b] , тогда шар (a, r) в пространстве С[а, b] – это совокупность функций x(t) графики которых не выходят из полосы шириной 2r, образованной кривыми x0(t) – r и x0(t) + r (рис.).

Определение 9 (топология метрического пространства). Определим базу топологии  в метрическом пространстве (X, d) полагая, что = {S(x, r): r > 0,  x  X}. Очевидно, что данное семейство удовлетворяет условиям теоремы 1 и порождает топологию в метрическом пространстве.

Отметим следующее свойство расстояний, которые можно называть “неравенством четырёхугольника”: для любых четырёх точек x, y, z, u метрического пространства

|d(x, y) - d(z, u)|  d(x, z) + d(y, u).

Геометрически это означает, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.

Доказательство вытекает из неравенств

d(x, y)  d(x, z)+d(z, u)+d(u, y),

d(z, u) d(z, x)+d(x, y)+d(y, u),

если из первого вычесть d(z, u), а из второго d(x, y). При y = u неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника

|d(x, y) - d(y, z)|  d(x, z),

которое также часто применяется.

5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве

В этом параграфе мы снова обратимся к изучению свойств топологических пространств и рассмотрим операции замыкания, выделения внутренней части и границы множества и тесно связанное с этими операциями понятие предельных и граничных точек. Все эти понятия обобщают известные понятия математического анализа.

Пусть (Х, )  топологическое пространство.

Опрелеление 10. Замыканием А множества А  Х называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А.

Очевидны следующие утверждения.

1. Замыкание А  наименьшее замкнутое множество, содержащее А.

2. Если А замкнуто, то А = А.

Замкнутое множество можно охарактеризовать через понятие предельной точки, определяемое ниже.

Определение 11. Точка х  Х называется предельной для данного множества A  Х, если в каждой окрестности U(х) точки х содержится хотя бы одна точка х'  А, отличная от х.

Пример 17. Рассмотрим в R1 множества А = {n}, В = {1/n}, n = 1, 2,…, C = (0, 1), D = [0,1].

Множество А не имеет предельных точек, множество В имеет одну предельную точку 0, предельные точки множеств С и D заполняют весь отрезок [0, 1].

Понятие предельной точки в топологическом пространстве является, как легко видеть, обобщением понятия предельной точки в анализе. Докажем несколько полезных утверждений, связанных с понятием предельных точек.

Теорема 4. Множество А  Х замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. 

Доказательство. Пусть A замкнуто, х  предельная точка А и х  А. Тогда х принадлежат открытому множеству О(x) = Х\А, являющемуся окрестностью точки х. Но О(x)  А = , что противоречит тому, что х  предельная точка.

Пусть А содержит все свои предельные точки. Покажем, что оно замкнуто, т. е. что его дополнение U = Х\А открыто. Для этого достаточно в силу теоремы 2 показать, что для любой точки х  U найдется такая окрестность О(x) точки х, что О(x) U. Предположим противное, что для некоторой точки х0  U и всякой ее окрестности О(x0) найдется точка х' О(х0) такая, что х'  U. Тогда х'  Х\U = А, следовательно, x0  предельная точка для А, и, значит, х0  А в противоречие с предположением, что х0  U = Х\А. 

Множество всех предельных точек множества А называют производным множеством множества А и обозначают А'. Таким образом, возникает новая операция, сопоставляющая каждому множеству А  Х его производное множество А'.

Теорема 5. Для любого множества А  Х множество А  А' замкнуто. 

Доказательство. Покажем, что множество Х\(А  А') открыто. Пусть х  произвольная точка из Х\(А  А'). Тогда х не предельная точка для А, поэтому найдется такая ее открытая окрестность О(x), что О(x)  А = . Пусть х'  О(х) произвольная точка. Тогда О(х) окрестность точки х', причем О(x)  А = . Следовательно, х' не предельная точка для А и О(x)  А' = . Таким образом, О(x)  Х\(А  А'); ввиду произвольности х множество Х\ А') открыто, следовательно, А  А' замкнуто.

Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.

Теорема 6. А = А  А' для всякого множества А, А  X.

Доказательство. По теореме 5 множество АА' замкнуто. Следовательно, по определению замыкания А  АА'. С другой стороны, любое замкнутое множество, содержащее А, содержит все свои предельные точки (см. теорему 4) и тогда все предельные точки А, а следовательно, содержит А'. Отсюда следует, что А  А' А. Таким образом, А = А  А'.

Определение 12. Точка х  А называется изолированной точкой множества А, если существует окрестность О(x) точки х, не содержащая точек множества А, отличных от х.

Очевидно, что точка х А изолирована тогда и только тогда, когда х  А\ А'.

Определение 13. Множество А называется дискретным, если каждая его точка изолирована.

6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества

Рассмотрим еще два важных понятия, связанных с понятием окрестности.

Определение 14. Точка х  А называется внутренней точкой множества А, если найдется такая ее окрестность О(x), что О(x)  А.

Множество всех внутренних точек множества А называется внутренностью А и обозначается Int А.

Пример 18. Пусть А = [0, 1]  отрезок вещественной прямой, тогда Int [0, 1] = (0, 1).

Операция Int двойственна операции замыкания, что видно из ее свойств, формулируемых в следующей теореме.

Теорема 7. Для любого множества А  Х имеем: 

1) Int А  открытое множество, 

2) Int А  наибольшее открытое множество, содержащееся в А;

3)  - открыто)  (Int А = А);

4) (x  Int А) (х  А и х не является предельной точкой для Х\А);

5)  = X\Int А.

Доказательство. Свойства 1)  3) почти очевидны. Проверим, например, свойство 1). Пусть х  Int А; тогда найдется такая открытая окрестность О(х) точки х, что О(х) А. Но О(х) открыто, т.е. каждая ее точка внутренняя для А и следовательно О(х) IntА. Поэтому по теореме 2 Int Аоткрытое множество.

Проверим свойство 4). Если x  Int А, то, очевидно, х  А и х  (Х\А)'. Обратно: если х  А и х  (Х\А)', то найдется окрестность U(x)  А, следовательно, х  Int А.

Проверку свойства 5) предоставим читателям.

Следующие важные понятия понятия граничной точки и границы множества А, ассоциируются с интуитивным представлением о «перегородке», отделяющей область.

Определение 15. Граничной точкой множества А называется точка х из топологического пространства Х, которая обладает свойством, что пересечение любой окрестности О(х) с множеством А и с множеством Х\А не пусто. Границей дА множества А назовем множество всех граничных точек А.

Таким образом, х  дА тогда и только тогда, когда каждая окрестность х содержит точку как из А, так и из Х\А.

Пример 19. Пусть Х = R1 и А = (0, 1) Тогда дА = {0, 1}  множество из двух точек: 0 и 1.

Мы снова получили операцию над множеством. Ее связь с операциями замыкания и Int выясняет следующая теорема.

Теорема 8. Для любого А  Х имеем:

1) дА = А   ;

2) дА = А\IntА; 

3) А = А  дА; 

4) Int А = А\дА; 

5) (А замкнутo)  (дА  А);

6) (А открыто)  ((дА)  А =).

Доказательство. Докажем некоторые из этих утверждений, оставив другие в качестве упражнения. 1) Пусть х  дА. Тогда в любой окрестности О(x) точки х найдутся точки х1, х2 такие, что х1  A, х2  Х\А. Отсюда х  A и х  , т. е. х  A  . Обратно: если х  А , то х  А, х   и значит для любой окрестности О(х) пересечения О(х)А   и О(х) (Х/А)  . Следовательно х граничная точка.

2) Согласно пункту 1) дА  А. С другой стороны, если х  IntA, то существует окрестность этой точки, которая полностью лежит в А и, следовательно, не пересекается с Х/А, т.е. х  дА. Значит дА  А\IntA. Наоборот, если х А\IntA, то пересечение любой окрестности точки с А не будет пустым (принадлежность замыканию), но также не будет пустым и пересечение любой окрестности с Х\А, т.к. точка не является внутренней.

3) Так как Int A  A, то из 2) следует A = Int A  дА  А  дА; так как дА А и А А, то А  дА  А 

7. Сепарабельные топологические пространства

Определение 16. Если топологическое пространство X имеет не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с Х, то оно называется сепарабельным. В противном случае пространство называется несепарабельным.

Для метрического пространства (Х, d) это означает, что существует последовательность x1, x2,... элементов из Х такая, что для xX,>0 n(, x): d(xn, x) < .

Пример 20. s - сепарабельное пространство. Действительно, рассмотрим r подмножество из s последовательностей, координаты которых являются рациональными числами и начиная с некоторого номера все координаты равны 0. Если обозначить r(n) – множество последовательностей, у которых первые n координат рациональные числа, а последующие координаты 0, то это множество будет счетным, как конечное объединение счетных множеств. Так как r = r(n), то оно счетно, как счетное объединение счетных множеств. С другой стороны, для заранее заданного >0 найдется номер m такой, что

.

Тогда для любой последовательности х = {xn} и любого n найдется такое рациональное число rn, что |rn - xn|< /2. Обозначим через r последовательность, у которой первые m координат равны rn а последующие равны 0. Тогда r  r и

Пример 21. lp, 1p< - сепарабельно. В этом случае в качестве счетного всюду плотного подмножества можно взять тоже самое множество r из предыдущего примера. При этом рациональные числа подбираются исходя из неравенств: |rn-xn|< /2n/p (проверьте самостоятельно нужное неравенство).

Пример 22. m- несепарабельно. Для проверки этого докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Если в метрическом пространстве Х  >0 и несчетное множество {x}: d(x, x)  ,   , Х – несепарабельное пространство.

Доказательство. От противного предположим, что Х - сепарабельно. Тогда существует счетное множество {yk} такое, что для = /2, S(yk) = X. Так как {yk} - счетное, {x} -несчетное, то найдется хотя бы один шар S(yk), в котором будет более одного элемента из {x}. Пусть x, xS(yk)   . Тогда   d(x, x) d(x,yk) + d(yk, x) < 2 = и < - получили противоречие.

Для доказательства несепарабельности пространства m достаточно воспользоваться этой леммой. В качестве нужного семейства рассматриваются элементы из m, у которых координаты равны либо 0, либо 1. Тогда расстояние между различными элементами этого семейства равно единице. Используя диагональный метод Кантора можно убедиться, что рассмотренное семейство несчетно.

Отметим без доказательства, что сепарабельность топологического пространства влечет наличие в нем счетной базы. Обратное вообще говоря неверно. Однако в случае метрических пространств, наличие счетной базы топологии влечет сепарабельность.

8. Индуцированные топологии и фактортопология

Пусть (Х, )  топологическое пространство, Y  Х  подмножество в Х. Рассмотрим систему подмножеств множества Y: Y = (V: V = UV, U  ).

Теорема 9. Система Y является топологией на Y.

Доказательство этой теоремы не представляет сложности. Топология Y называется индуцируемой или наследственной топологией из Х. Пространство (Y, Y) называется подпространством пространства (Х, ).

Подмножества топологических пространств рассматривают, как правило, с индуцированной топологией. Однако, необходимо иметь ввиду, что переход к индуцированной топологии может изменить сам вид открытых множеств, их структуру. Так, если взять промежуток [a; b) с индуцированной из числовой прямой естественной топологией, то в этой топологии множества вида [a; c), где a < c < b, будут являтся открытыми. В исходной же топологии они не являются открытыми.

Пусть в абстрактном множестве Х между некоторыми элементами х, у  Х определено отношение хRу. Это отношение называется эквивалентностью если выполнены следующие свойства:

1) хRх для любого х  Х (рефлексивносгь); 

2) если хRу, то уRх (симметричность);

3) если хRу и уRz, то хRz (транзитивность) . 

Множество Х распадается на непересекающиеся множества эквивалентных между собой элементов, или классы эквивалентности. 

Множество (Dх) всех классов эквивалентности обозначим через Х/R.

Определение 17. Множество X/R называется фактормножеством множества Х по отношению эквивалентности R.

Пусть (Х, )  топологическое пространство, пусть в множестве Х определено отношение эквивалентности R. Тогда на фактормножестве Х/R можно ввести естественную топологию следующим образом: подмножество V  (Dх), состоящее из элементов Dх назовем открытым тогда и только тогда, когда объединение классов эквивалентности Dх, которые попали в V, как подмножество Х открыто в пространстве (Х, ); к открытым множествам, естественно, отнесем и пустое множество. Как нетрудно проверить, эта совокупность открытых подмножеств в Х/R является топологией и обозначается R.

Примеры 23. Если Х  прямоугольник (a; b)(с; d), а отношение эквивалентности R задано так, что хRу тогда и только тогда, когда х и у лежат на одной горизонтали в Х, то Х/R  топологическое пространство, которое можно отождествить с интервалом (c; d).

9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм

Обсудим теперь определение непрерывного отображения топологических пространств. Пусть (Х, ), (Y, )  два топологических пространства с топологиями  и  соответственно. Пусть f: X  Y  отображение множеств.

Определение 18. Говорят, что f  непрерывное отображение топологических пространств, если полный прообраз f -1(V) любого открытого множества V пространства (Y, ) является открытым множеством пространства (Х, ).

Если f: Х У, g: У  Z  отображения топологических пространств, то естественно определяется суперпозиция gf: Х Z по правилу (gf): х  g(f(x)).

Теорема 10. Если f, g непрерывные, то и gf непрерывно. 

Доказательство легко следует из равенства

(gf)-1(W) = f -1(g -1(W)),

где W  Z  произвольное множество. Проверим это равенство. Пусть х  (gf)-1(W). Тогда g(f(x)) W  f(x)  g -1(W)  x  f -1(g -1(W)). Аналогично доказывается противоположное включение.

Определение 19. Отображение f: Х Y называется открытым (замкнутым), если образ каждого открытого (замкнутого) множества в Х открыт (замкнут) в Y.

Определение 20. Два топологических пространства, (Х, ), (Y, '), называются гомеоморфными, если существует отображение f: Х Y, удовлетворяющее условиям:

1) f: X  Yбиективное отображение;

2) f непрерывно;

3) f открыто.

Из биективности отображения f вытекает существование обратного отображения. Обозначим его через g. Если взять в Х открытое множество U, то g -1(U) = f (U) – является открытым множеством. Таким образом, обратное отображение к гомеоморфному также является непрерывным.

Сопоставление каждому открытому множеству U пространства Х его образа f (U) при гомеоморфизме f: X  Y устанавливает биективное соответствие между топологиями пространств Х и Y. Поэтому любое свойство пространства Х, формулируемое в терминах топологии этого пространства, будет верным и для пространства Y, гомеоморфного Х, и так же будет формулироваться в терминах топологии У. Таким образом, гомеоморфные пространства Х и Y обладают идентичными свойствами и с этой точки зрения являются неразличимыми.

Если f: X  Z  непрерывное отображение топологических пространств (Х, ), (Z, ), а Y  подпространство Х, то можно рассматривать и отображение f: Y  Z, которое называется сужением f на Y и обозначается fY.

Теорема 11. Отображение fY : Y  Z непрерывно.

Доказательство. Пусть W, тогда (fY)-1(W) = f -1(W) У. Так как f -1(W), то (fY)-1 (W) Y.

Определение 21. Отображение f: Х  Y топологических пространств непрерывно в точке х0Х, если для всякой окрестности О(f(x0)) точки f (х0) существует окрестность O(x0) точки х0 такая, что f(O(x0))  O(f(x0)).

Теорема 12. Отображение f: Х Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке х  Х.

Доказательство. Пусть f: Х Y непрерывно, х0  Хпроизвольная точка и O(f(x0))  произвольная окрестность точки f (х0). Тогда найдется открытое множество V  Y такое, что V  O(f (x0)) и f (х0)  V. Положим U = f -1(V), U  открытое множество, x0  U. Тогда f(U) = V O(f (х0)), что по теореме 2 и доказывает непрерывность f в точке х0. 

Обратно: пусть f непрерывно в каждой точке х  Х. Пусть V  Y произвольное открытое множество и пусть А = f -1(V). Так как V окрестность любой своей точки и f непрерывно в каждой точке, то для всякого х  А есть окрестность O(x) точки х такая, что f (O(x))  V. Следовательно, O(x)  А, т.е. любая точка А является внутренней, что и доказывает открытость А. Непрерывность f доказана.

10. Компактные пространства

Вначале обсудим некоторые понятия, связанные с покрытиями топологических пространств. Пусть = {А}  некоторая система подмножеств А множества Х. Объединение всех А из  обозначим  и назовем телом системы . 

Определение 22. Система  называется покрытием подпространства Х топологического пространства Y, если   Х .

Определение 23. Говорят, что покрытие подпространства Х является подпокрытием покрытия ' подпространства Х, если каждый элемент  является элементом системы '.

Отношение подпокрытие вводит частичную упорядоченность в множестве всех покрытий подпространства Х. Покрытия, состоящие из конечного или счетного числа элементов, называются соответственно конечными или счетными.

Особое значение имеют покрытия, состоящие из открытых множеств. Такие покрытия называются открытыми.

Со свойствами открытых покрытий связаны многие важные свойства пространства. В связи с этим выделяют следующие классы пространства.

Определение 24. Пусть Y - топологическое пространство. Множество Х  Y называется компактным, если для всякого его открытого покрытия существует конечное открытое подпокрытие.

В этом случае говорят, что любое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Компактное множество Х с индуцированной топологией является топологическим пространством. Его называют компактным пространством.

Пример 18. Пусть Х = [а, b] – из R1. Множество Х компактно, так как по теореме Гейне  Бореля из любого покрытия Х интервалами можно выделить конечное подпокрытие. 

Теорема 13. Всякое замкнутое подмножество X компактного пространства Y само компактно.

Доказательство. Пусть = {A} - открытое покрытие Х. Тогда, по определению индуцируемой топологии, для любого множества А из покрытия справедливо предстваление А = В Х , где В – открытые множества из Y. В силу замкнутости Х, множество Y\X является открытым и система множеств {B}{Y\X} образует открытое покрытие Y. Так как Y компактно, из этого покрытия можно выделить конеченое подпокрытие, которое содержит множества В1, В2, …, Вn и, возможно, множество Y\X. Следовательно, Y = Вk ( Y\X). Но тогда множества Аk = ВkХ, k = 1, 2, …, n, являются конечным открытым покрытием для Х. Последнее означает, что Х компактное множество.

Следующая теорема часто применяется в анализе.

Теорема l4. Всякое бесконечное множество Z  Х компактного множества Х имеет в Х предельную точку. 

Доказательство. Предположим противное, т. е. что Z' = . Тогда Z = Z, значит, Z замкнуто, а следовательно, и компактно. С другой стороны, каждая точка z  Z не является по предположению предельной. Тогда существует открытая окрестность О(z) в Х с условием О(z)Z = {z}. Такие окрестности О(z) образуют бесконечное покрытие пространства Z, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие в противоречии с компактностью Z.

Понятие компактности тесно связано с понятием замкнутости, как показывает следующее утверждение.

Теорема 15. Пусть Х  компактное подножество хаусдорфова пространства Y. Тогда Х замкнуто.

Доказательство. Пусть у  Y\Х. Для любой точки х  Х в силу хаусдорфовости Y найдутся такие открытые окрестности Ux(y), Vy (х) точек у, х, что Ux(у)  Vy (х) = .

Система (Vy(х))x  X образует открытое покрытие Х. В силу компактности Х имеется конечное подпокрытие (Vy(хk))k=1n . Легко видеть, что множества V(X) = Vy(хk) и U(у) =  открыты и не пересекаются. Таким образом, показано, что в хаусдорфовом пространстве компактное множество Х и точку, не лежащую в нем, можно разделить непересекающимися окрестностями U(х) и U(y). Отсюда следует, что дополнение Y открыто, поэтому Х замкнуто.

Задачи

1. Что представляет собой шар S(0, 1)m с центром в точке 0 = (0,0, 0, …) и радиуса 1.

2. Пусть l1 – множество элементов x вида x = {i}, где <, с расстоянием

(x, y) = , где y={}.

Доказать, что l1 - метрическое пространство. Что представляет собой шар S(0, 1) в этом пространстве?

3. Показать, что если множество Е на прямой покрыто произвольной системой интервалов, то из нее можно выделить (не более чем счетную) подсистему, также покрывающую Е.

4. Показать, что если множество Е на плоскости покрыто произвольной системой кругов, то из нее можно выделить не более чем счетную подсистему, также перекрывающую Е.

5. Обозначим множество предельных точек любого множества А через А′. Построить на прямой множество А так, чтобы А″=( А′)′ было не пустым, а А′″ – пустым.

6. Доказать, что множество А′ (см. задачу 5) замкнуто, каково бы ни было А.

7. Известно, что А′ счетно. Доказать, что А счетно (А – на прямой).

8. Точка x на прямой называется точкой конденсации несчетного множества А, если в любой окрестности точки x имеется несчетное множество точек множества А. Доказать, что у всякого несчетного множества А имеются точки конденсации.

9. Величина (x,A)= называется расстоянием от точки x до множества А. Доказать, что для замкнутого множества А соотношение (x,A)=0 и , эквивалентны; если же А не замкнуто, то они не эквивалентны.

10. Доказать, что для любого множества А совокупность точек х, для которых (x,A)<ε, открыта, а совокупность точек y, для которых (x,A)ε, замкнута.

11. Непосредственно из определения замкнутого множества вывести, что любое конечное множество точек метрического пространства замкнуто.

12. Доказать, что (AB)′=AB′.

13. Следует ли из , что AB?

14. Доказать, что =F, где F – всевозможные замкнутые множества, содержащие M.

15. В пространстве С[a, b] множество Mn есть совокупность всех полиномов степени, не превышающей n. Что представляет собой ?

16. Доказать включение . Можно ли знак включения заменить знаком равенства?

17. Обозначим через  множество всех внутренних точек множества. Доказать, что открыто.

18. Пусть М множество точек  пространства , у которых все координаты положительны. Будет ли М открыто?

19. Пусть  функция, определенная и непрерывная на всей числовой оси . Доказать, что множество точек x,  открыто.

20. В пространстве  множество A состоит из функций , значение которых при любом t принадлежит заданному замкнутому множеству M вещественных чисел. Будет ли A замкнуто? Будет ли A открыто, если M открыто?

21. Доказать, что множество всех изолированных точек сепарабельного метрического пространства не более чем счётно.

22. Показать, что если F - замкнутое множество, то  но, вообще говоря (показать на примере), равенства здесь может и не быть (нуликом обозначена внутренность).

23. Верно ли утверждение: внутренняя часть пересечения двух множеств равна пересечению их внутренних частей. Верно ли аналогичное утверждение для объединений двух множеств.

24. Доказать, что граница каждого множества замкнута.

25. Построить на числовой прямой множество, обладающее следующими тремя свойствами: 1) все его точки изолированые; 2) точная нижняя грань расстояний между различными точками равна нулю; 3) оно не имеет предельных точек.

26. Пусть Ф – дважды непрерывно дифференцируемая на [0, ) функция, которая удовлетворяет следующим условиям: а) Ф(0) = 0; Ф(х) > 0 при х > 0; б) Ф(х) 0 и Ф(х) 0 при х  0. Доказать, что функция (х, у) = Ф(|xy|) определячет метрику на R.

ГЛАВА 2 СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства

В метрическом пространстве вводится понятие сходимости последовательности. Пусть (Х, d) – метрическое пространство.

Определение 1. Говорят, что xnХ сходится к xХ (xn x; ), если d(xn, x) 0 при n  .

Понятие сходимости можно сформулировать и на языке «-n». Для   > 0  n0(): для  n  n0 справедливо неравенство d(xn, x) < .

Лемма 1. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный.

Доказательство. Пусть хn  а, хn  b. Применяя неравенство треугольника, получим: d(а, b)  d(а, хn) + d(хn, b). Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю. Так как d(а,b) неотрицательное и не зависит от n, то по известным теоремам о переходе к пределу в неравенствах получаем d(а,b) = 0, а тогда по свойствам метрики а = b, что и требовалось доказать.

Определение 2. Последовательность хn элементов метрического пространства Х называется ограниченной, если существует шар S(y, r), которому принадлежат все члены последовательности.

Лемма 2. Если последовательность сходится в метрическом пространстве, то она ограничена.

Доказательство. Утверждение легко вытекает из определения сходящейся последовательности, если заметить, что если хn  х, то для фиксированного > 0 найдется n0, для которого xnS(x, ) для всех n  n0. Следовательно, все члены последовательности за исключением конечного числа попадают в окрестность S(x, ). Так как любой конечный набор элементов является всегда ограниченным, отсюда уже следует ограниченность всей последовательности.

Следствие. Если последовательность {xn} точек из X сходится к точке xX, то числа d(xn, y) ограничены для любой фиксированной точки у пространства X.

Лемма 3. Если xn → x, yn→ y, то d(xn, yn) → d(x, y) (иначе говоря, метрика является непрерывной функцией своих аргументов).

Доказательство. По неравенству четырёхугольника

|d(x, y) - d(xn, yn)|  d(x, xn) + d(y, yn).

Отсюда предельным переходом при n →  легко получаем утверждение леммы.

В метрическом пространстве предельными для множества являются такие точки х0, для которых существует последовательность точек хn множества сходящаяся к х0. Замкнутый шар S[a, r] есть замкнутое множество. В самом деле, пусть xn S[a, r] и xn → x0. Тогда d(xn, a)  r, и при n →  это неравенство в пределе дает d(x0, a)  r, т.е. х0S[a, r]. А так как каждая предельная точка шара есть предел некоторой последовательности точек шара, то замкнутость шара доказана.

Выясним конкретный смысл сходимости в метрических пространствах Rn, C[a, b], l2 и m.

Пример 1. Пусть Х = Rn. Если хк→х0, где хк ={ξ1(к),…, ξn(к) } и х0 ={ξ1(0),…, ξn(0) }, то

d(хк, х0) = →0 при к → ∞.

Но в силу несложно проверяемых неравенств

,

верных для любого i, это возможно тогда и только тогда, когда ξi(k) → ξi(0), i = 1,..., n, при k → ∞.

Отсюда следует, что сходимость в Rn есть сходимость координат точек последовательности к соответствующим координатам точки – предела, т.е. сходимость в Rn есть сходимость по координатам.

Пример 2. Пусть Х = C[a, b]. Если {xn(t)} C[a, b] сходится к х0(t)  C[a, b], то

d(хn, х0) =  |xn(t) – x0(t)| → 0

или иначе: ε >0 N: n > N =>  |xn(t) – x0(t)|< ε. Это условие эквивалентно условию, что n > N => |xn(t) – x0(t)|< ε t [a, b]. Но это означает равномерную сходимость последовательности {xn(t)} к х0(t). Таким образом, сходимость в пространстве С[a, b] есть равномерная сходимость функциональной последовательности {xn(t)}.

Пример 3. Пусть Х = l2. Можно показать ,что сходимость последовательности {xn}  l2 к х0  l2, где хn ={ξi(n) }, х0 ={ξi(0) } означает, что

1) ξi(n) → ξi(0) для i = 1,2,...

2) ε>0  N: <ε для всех n =1,2,.....

Таким образом, сходимость в l2 содержит в себе более сильные требования, чем сходимость по координатам. Покажем это на примере, показывающем, что в l2 сходимость по координатам не влечёт сходимости последовательности точек в l2.

Возьмем в пространстве l2 последовательность em ={ξi(m)}, где ξi(m)= δmi (символ Кронекера). Берём х0 = (0, 0,…, 0,…)  l2. Тогда последовательность {em} по координатам стремиться к точке х0. Однако d(em, x0) = 1, следовательно {em} не стремится к х0 по метрике.

Пример 4. Пусть X = m. Сходимость последовательности хn = {ξ1(n),…, ξn(n),…}  m к элементу х0 ={ξ1(0),…, ξn(0), …} означает равномерную сходимость по координатам, т.е. ε>0  N: n > N | ξi(n) – ξi(0) | <ε i = 1,2,... Доказывается это также как в примере 2.

Можно показать, что в метрическом пространстве s всех числовых последовательностей сходимость по метрике совпадает со сходимостью по координатам.

Определение 3. Последовательность xnX называется фундаментальной последовательностью, если для  > 0 N: d(xn, xm) < , если n, m N.

Лемма 4 (о сходимости последовательностей). Пусть {xn} – последовательность из метрического пространства Х. Следующие условия эквивалентны:

1. {xn} – сходится к х;

2. Любая подпоследовательность {xn} сходится х;

3. Для любой подпоследовательности {} существует подпоследовательность {} сходящаяся к х;

4. {xn} – фундаментальная и любая подпоследовательность {} сходится к х;

5. {xn} – фундаментальная и существует подпоследовательность {}, сходящаяся к х.

Доказательство.

1. 2. и 2. 3. Стандартные утверждения из математического анализа: подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу: доказательство абсолютно аналогично.

4. 5. Очевидно.

3. 4. вытекает из 5. 1. Действительно, если 5. 1. уже доказано, то в силу условий п.4. подпоследовательность {} фундаментальна, но по п. 3 у нее существует сходящаяся к х подпоследовательность. Тогда из 5. 1. вытекает, что {} сама сходится к х.

5. 1. Пусть {xn} – фундаментальная последовательность и  – ее сходящаяся к х подпоследовательность. Для   > 0 N1: d(xp, xm) < , p, m > N1. Полагая здесь m = nk, nk N1, k N, имеем d(xp, ) < . Следовательно, d(x, xp) d(x, ) + d(, xp)  +  2 (p > N1) и xp  x  Х.

Определение 4. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится к элементу этого пространства.

Пример 5. Для случая Rn – евклидова n–мерного пространства – полнота следует из критерия Коши существования предела последовательности точек этого пространства.

Пример 6. Рассмотрим введенное выше пространство С[0, 1]. По определению фундаментальной последовательности {xn} и метрики для  >0 N: <  n, m N. Если мы зафиксируем t, то хn(t) будет обычной числовой фундаментальной последовательностью, у которой существует в силу критерия Коши поточечный предел х(t). Переходя к поточечному пределу в неравенстве верном для любого t  [0, 1] при m   получаем   для  n  N. Таким образом, последовательность хn(t) равномерно на отрезке [0, 1] сходится к функции х(t). Тогда по теореме Вейерштрасса о непрерывности равномерного предела непрерывных функций x(t) - непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Отсюда C[0, 1] является полным пространством.

Пример 7. На множестве C[0, 1] можно ввести другую метрику, например:

d(x, y) =

но в этом случае пространство не будет полным. Для доказательства этого достаточно рассмотреть следующую последовательность непрерывных функций:

хn(t) =

Покажите, что эта последовательность фундаментальна по приведенной метрике (используйте геометрический смысл определенного интеграла), но сходится к разрывной функции.

Пример 8. Покажем полноту пространства l2. Пусть последовательность х(m) = (x1(m), x2(m),..., xn(m),....), m = 1, 2, .... является фундаментальной в l2. Следовательно, для произвольно выбранного > 0 существует такой номер n0, что для всех k, m  n0 выполняется неравенство < . Из неравенства |xn(m) - xn(k)| , верного для любого n  N, вытекает фундаментальность последовательности {xn(m)} в пространстве R и следовательно ее сходимость xn(m)  хn при m . Переходя в очевидном неравенстве

<

при фиксированном m к пределу сперва при k , затем при p , получим неравенство

  .

Из неравенства треугольника

 

вытекает принадлежность х к l2. Из предыдущего же неравенства вытекает сходимость х(m) к х в l2.

2. Теорема о пополнении метрического пространства

Если метрическое пространство не является полным, то существует его пополнение. Для введения этого пополнения приведем еще ряд определений. Пусть существует два метрических пространства (X, d), (Y, p) и f – биекция X на Y.

Определение 5. Биекция f называется изометрическим изоморфизмом, если p(f(x), f(y)) = d(x, y).

Два метрических пространства изометрически изоморфные друг другу отождествляются.

Например, пространства C[0, 1] и C[0, 2] непрерывных функций на отрезках [0, 1] и [0, 2] соответственно являются изометричными. Изометрический изоморфизм между их элементами можно установить по формуле

C[0, 1]x(t)y(t)=x()C[0, 2].

Определение 6. Пусть (X, d) - метрическое пространство и Y X. Множество Y называется всюду плотным в Х, если для >0, xX yY: d(x, y)<.

Теорема 1. Пусть дано неполное метрическое пространство (X, d), тогда существует такое полное метрическое пространство (Y, p) и его всюду плотное подпространство Y0, что (X, d) изометрически изоморфно (Y0, p).

Доказательство. Пусть {xn} и {yn} - фундаментальные последовательности в Х. Будем считать, что {xn} ~ {yn} d(xn, yn) = 0 (свойства отношения эквивалентности легко проверяются). Пусть [xn] - класс эквивалентности, а Y- множество всех классов эквивалентности фундаментальных последовательностей. Положим ([xn], [yn]) = d(xn, yn).

Для доказательства корректности этого определения необходимо показать: 1) существование предела, 2) независимость его от выбора элементов из класса эквивалентности, 3) выполнение аксиом метрики.

1) Из неравенства четырехугольника следует, что |d(xn, yn) - d(xm, ym)| d(xn, xm) + d(yn, ym). Так как последовательность {xn} и {yn} фундаментальны, то для   > 0 N: n, m N d(xn, xm) < /2 и d(yn, ym) < /2. Обозначим через n = d(xn, yn). Из полученных выше неравенств вытекает, что при   > 0 N: n, m N имеем |n - m| < и следовательно последовательность n фундаментальная, т. е. существует предел этой числовой последовательности. Таким образом, нужный предел существует и метрика ([xn], [yn]) = d(xn, yn) определена.

2) Докажем, что это определение не зависит от выбора представителя класса эквивалентности. Пусть {xn}, {x*n}[xn], {yn}, {y*n}[yn]. Тогда d(x*n, y*n) d(x*n, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y*n). В силу определения классов эквивалентности имеем d(x*n, xn) = 0 и d(y*n, yn) = 0. Следовательно, d(x*n, y*n) d(xn, yn). Последнее неравенство было установлено для произвольных представителей класса эквивалентности. Тогда поменяв местами xn и x*n, yn и y*n, получим противоположное неравенство. Итак, d(x*n, y*n) = d(xn, yn).

3) Аксиомы метрики легко доказываются при помощи предельного перехода.

Таким образом, мы установили, что (Y, p) - метрическое пространство. Докажем, что оно полно. Пусть {[xn](m)} - фундаментальная последовательность в Y. Надо доказать, что [xn](m) [xn](0) Y. Пусть {xn(m)}[xn](m) . Так как для любого m последовательности {xn(m)} фундаментальны, то для р kp: n

d(xn(р) , ) < 1/р. (1)

Построим последовательность {}. Имеем

d(,)  d(, xm(p)) + d(xm(p), xm(n)) + d(xm(n), ).

В силу неравенства (1) за счет выбора m, kp, kn можно первое и третье слагаемое в правой части этого неравенства сделать меньше любого наперед заданного числа. Так как {[xn](m)} – фундаментальная последовательность, то справедливо ([xk](m), [xk](n)) = 0. Из определения метрики на Y  ([xk](m), [xk](n)) = d(xk(m), хk(n)) вытекает, что и второе слагаемое можно сделать меньше любого наперед заданного числа. Таким образом, последовательность {} фундаментальна в Х. Обозначим класс ее эквивалентности через [xn](0). Покажем, что [xk](m) [xn](0). Очевидно, имеем ([xn](0), [xk](m)) = d(, xp(m))  d(,) + d(, xp(m)) < d(,) + 1/m. Последний предел, стоящий в неравенстве, в силу фундаментальности последовательности  может быть сделан за счет выбора m коль угодно маленьким. Это означает, что [xk](m) [xn](0) в Y.

Рассмотрим [xn = x] - стационарную фундаментальную последовательность, xX, порождающую класс эквивалентности [х]. Обозначим через Y0 - множество всех классов эквивалентности стационарных последовательностей в Х. Докажем, что Y0 изометрически изоморфно X.

Пусть хX. Тогда этому элементу соответствует стационарная фундаментальная последовательность [х] Y0. Очевидно, что такое соответствие является сюрьекцией. Докажем, что это и иньекция. Пусть x y. Тогда

([x], [y]) = lim d(x, y) 0   ([x], [y]) 0 [x] [y].

Таким образом, данное отображение биекция, при этом ([х], [у]) = lim d(x, y) = d(x, y) (изометрия).

Пусть [хn]Y. Тогда {хn} - фундаментальная последовательность в Х, т.е. для >0  s: d(xp, xm) < при всех p, m > s. Построим стационарную последовательность {x = xs}. Тогда [x]Y0 и p([x], [xk]) = d(xs, xk). В силу выбора s при достаточно больших k выполняется неравенство d(xs, xk) < . Этим показана плотность Y0 в пространстве Y и доказательство теоремы завершено.

3. Критерий полноты пространства

Определение 7. Пусть дано метрическое пространство (X, d) и последовательность замкнутых шаров S[xk, rk]. Такая система шаров называется вложенной, если:

1. S[x1, r1]  S[x2, r2] ...;

2. rn = 0.

Теорема 2. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому шару системы).

Необходимость. По 2) условию для вложенной системы для   > 0 N: 0 < rk < , если k N. Рассмотрим последовательность центров этих шаров. В силу условия 1) xk  S[xN, rN], если k N, то есть d(xN, xk) rN < . Тогда по неравенству треугольника легко получаем, что d(xn, xk) < 2 для всех n, k  N. Таким образом, {xk} - фундаментальная последовательность в пространстве Х. В силу полноты этого пространства существует х = хn. По 1) условию xn  S[xk, rk] при n  k и xn  x. В силу замкнутости шара S[xk, rk] это означает, что x  S[xk, rk] и это верно для произвольного k. Отсюда x принадлежит пересечению этих шаров.

Используя свойство 2) вложенной системы шаров и неравенство треугольника для метрики покажите самостоятельно единственность этой точки.

Достаточность. Возьмем yk X - произвольную фундаментальную последовательность в пространстве Х. Тогда для k = (1/2)k nk: d(, ym) < (1/2)k при m nk. По последовательности {} построим следующую систему вложенных шаров . Для проверки вложенности этой системы очевидно достаточно проверить лишь первое условие в определении. Пусть у. Тогда d(, y) d(,) + d(, y) (1/2)k + (1/2)k  (1/2)k-1, т.е. у и   .

Следовательно  = {x0}. Тогда 0 d(, x0) (1/2)k-1, то есть   x0 (k  ). Тогда в силу леммы 4 сама последовательность {yk} сходится к х0.

Теорема доказана.

Определение 8. Диаметром множества М метрического пространства (Х, d) называется число diamM = sup d(x, y), где супремум берется по всем х, у М.

Определение 9. Система замкнутых множеств Мn метрического пространства (X, d) называется вложенной, если выполнены следующие два условия:

  1.  М1 М2 М3 ... Мn ...;
  2.  diam Mn 0 при n  .

Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается точно таким же образом.

Теорема 3. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система замкнутых множеств Мn в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому множеству системы).

Следующий пример показывает важность условия стремления к нулю диаметра множеств в определении вложенной системы.

Пример 9. В пространстве l2 положим Mn = {x = (0, ..., 0, xn, xn+1, ...)}l2:  = 1}. Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, удовлетворяют условию 1) и не удовлетворяют условию 2) (вычислите диаметры рассмотренных множеств) определения 9. Достаточно очевидно, что их пересечение является пустым множеством.

4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа

Пусть (X, d) - полное метрическое пространство и M X.

Определение 10. Множество М называется секвенциально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого множества.

Определение 11. Множество М называется относительно секвециально компактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

С понятием секвенциально компактного множества обычно впервые студенты встречаются в курсе математического анализа, в котором устанавливается теорема Больцано-Вейерштрасса: множество М в пространстве Rn является относительно секвенциально компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено.

В случае полного метрического пространства замыкание относительно секвенциально компактного множества является секвенциально компактным.

Теорема 4 (Хаусдорфа). Множество М относительно секвенциально компактно  >0 конечная -сеть, т.е. >0, x1, x2,..., xnX: xM k(x): d(x, xk) <  или S (xk, ) M.

Необходимость. Пусть  >0 фиксировано. Возьмем произвольное x1M. Тогда либо d(x1,x)< для всех хМ (в этом случае х1 образует нужную нам -сеть), либо существует х2М такое, что d(x1, x2). Рассмотрим S(x1)S(x2). Возможно М S(x1)S(x2). Тогда конечная -сеть состоит из х1 и х2. Либо x3М: d(x1, x3)  , d(x2, x3)  . Рассмотрим S(x1)S(x2)S(x3). Возможно М S(x1)S(x2)S(x3). Тогда конечная -сеть состоит из х1, х2, х3. Либо x4М: d(x1, x4)  , d(x2, x4)  , d(x3, x4)  . Продолжим процесс далее. Докажем, что этот процесс конечен методом от противного: предположим, что найдется последовательность хnМ: d(xk, xm)  , k, m: k m. Так как множество М относительно секвенциально компактно, можно выделить фундаментальную подпоследовательность: {}. Следовательно, для заданного > 0 n0: n0 d(, ) < . Получаем противоречие.

Достаточность. Пусть n = 1/n. Для n построим конечную n - сеть {yin}i=1m(n). Тогда M S[yi1, 1]. Рассмотрим произвольную последовательность {xn}M. Так как последовательность бесконечная, а шаров покрывающих М (и всю последовательность) конечное число, то существует шар в котором бесконечно много элементов последовательности. Обозначим через S1 такой шар, соответствующий 1. Пусть Т1 бесконечная часть последовательности {xn}, попавшая в шар S1. Возьмем теперь n = 2. Тогда Т1 M  S[yi2, 2]. Аналогично, найдется шар S2, радиуса 2 и содержащий Т2 – бесконечную часть Т1. Продолжаем этот процесс до бесконечности, получим последовательность шаров Sk радиуса k и последовательность бесконечных вложенных в друг друга подмножеств последовательности {xn}: Т1 Т2 Т3 ... Так как Тk  Sk, то расстояние между элементами множества Тk не превосходит 2k. Выберем теперь из множества Т1 произвольный элемент, он является членом последовательности {xn} и имеет в ней индекс n1: . Выберем из множества Т2 также произвольный элемент лишь налагая условие, что его индекс n2>n1: . Такой элемент можно выбрать, т.к. n1 конечное число, а Т2 - бесконечное множество. Продолжаем этот процесс: выбираем из Т3 элемент, налагая условие n3>n2. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим подпоследовательность {} последовательности {xn}, обладающую тем свойством, что Тm, если km. Последнее означает, что в случае, когда 1/m < /2 расстояние d(,) < . Отсюда следует, что построенная нами подпоследовательность {} является фундаментальной. Теорема доказана.

Следствие 1. Для того чтобы множество М в полном метрическом пространстве было относительно секвенциально компактно необходимо и достаточно чтобы у него существовала компактная -сеть.

Следствие 2. Любое секвенциально компактное множество является ограниченным.

Следствие 3. Секвенциально компактное метрическое пространство X сепарабельно.

Доказательство этих следствий не представляет особой сложности и предоставляется читателю.

Теорема 5. Для того чтобы замкнутое множество М в полном метрическом пространстве было секвенциально компактно необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно.

Необходимость. Предположим противное: пусть {G} - открытое покрытие секвенциально компактного множества М, для которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Положим n = 1/n и построим конечные n - сети для М: {уk(n)}k=1m(n). Пусть n = 1. Тогда M  S[yi1, 1] и М = Мi(1), где Мi(1) = S[yi1, 1]М. Так как нет конечного подпокрытия, то хотя бы одно из Мi не будет покрываться конечным числом множеств системы {G}. Обозначим это множество . Как пересечение двух замкнутых множеств множество  является замкнутым и, как часть М, секвенциально компактным, при этом диаметр множества  не превосходит 21 (S[yi1, 1] для некоторого i). Кроме того,  S[yi2, 2]. Тогда  = , где  = S[yi2, 2] . Так как для  не существует конечного подпокрытия , то хотя бы одно из множеств  также не покрывается конечным подпокрытием. Обозначим его через . Так же как выше, нетрудно видеть, что множество  является замкнутым, секвенциально компактным, с диаметром меньше 22, при этом  М.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность вложенных в друг друга, замкнутых компактных множеств , диаметры которых не превосходят 2n. Таким образом, мы имеем систему вложенных замкнутых множеств, причем каждое из этих множеств нельзя покрыть конечной подсистемой множеств из {G}. Согласно критерия полноты метрического пространства существует точка х0, которая принадлежит всем этим множествам. Так как система {G} является покрытием множества М, то существует такое множество G, что х0 G. Множество G является открытым, следовательно существует такой открытый шар S(x0, r), что S(x0, r)  G. Тогда найдется такой номер n0, что 2n < r при n > n0. Но в этом случае d(x0, y) 2n < r для любого у . Следовательно, у S(x0, r) и  Sr(x0)  G и мы пришли к противоречию, что ни одно из множеств  нельзя покрыть конечным числом множеств системы {G}.

Достаточность. Пусть множество М компактно. Рассмотрим систему множеств {S(x, )}xM, где >0 фиксировано. Очевидно, что  xM S(x, ) M и система {S(x, )}xM является открытым покрытием множества М. По условиям теоремы из этого покрытия мы можем выделить конечное подпокрытие {S(xk, )}k=1n. Но в этом случае {xk}k=1n является конечной -сетью множества М и множество М секвенциально компактно по критерию Хаусдорфа и в силу замкнутости.

Теорема доказана.

В n-мерном евклидовом пространстве относительная секвенциальная компактность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную  -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не компактного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

………………………,

еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

……………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n  m) равно . Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной -сети ни при каком </2.

Рассмотрим в l2 множество П точек x=(x1, x2, , xn, ...), удовлетворяющих условиям:

| x1|1, | x2|1/2, ,| xn|1/2n-1, ...

Это множество называется «гильбертовым кирпичом» пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного компактного множества. Для доказательства этого поступим следующим образом (сравни с доказательством критерия компактности множеств в пространстве lp). Пусть > 0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1 < /2. Каждой точке x = (x1, x2, , xn, ...) из П сопоставим точку x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из того же множества. При этом

Множество П* точек вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из П компактно (как изометрически изоморфное множество ограниченному множеству в n-мерном пространстве) и следовательно является компактной -сетью для П, так как d(x, x*)<. В силу следствия из теоремы Хаусдорфа множество П компактно.

5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела

Приведем критерии компактности в конкретных метрических пространствах.

Определение 12. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равномерно ограниченным, если C: |x(t)| C, t[0, 1], xM.

Определение 13. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равностепенно непрерывным, если для >0 ()>0: |t1 - t2| < , t1, t2[0,1] |x(t1) - x(t2)|<,xM.

Теорема 5 (Арцела). Множество M C[0, 1] - относительно компактно 1)М - равномерно ограниченно, 2)М – равностепенно непрерывно.

Необходимость. Положим = 1 и построим для этого конечную -сеть x1(t),..., xn(t) C[0, 1] для множества М. Тогда S(xk(t), 1) M. Для любого yМ S(xk(t), 1) найдется такое m, 1 m n, что d(y, xm(t))<1. Следовательно, |y(t) – xm(t)| < 1 и |y(t)| |xm(t)| + 1. Так как существует С такое, что |xk(t)|  C для любого k = 1, 2, 3,..., n, то |y(t)| C + 1. В силу произвольности уМ в этом неравенстве и так как правая часть последнего неравенства от выбора этого у не зависит, мы получим равномерную ограниченность множества функций из М.

Возьмем теперь > 0 произвольно и также построим конечную -сеть, {xk(t)}, k=1, 2,..., n. Для конечного набора функций {xk(t)} в силу его конечности и равномерной непрерывности каждой из функций можно указать такое >0, что из |t1 – t2| < , t1, t2[0, 1] |xk(t2) – xk(t2)| < для любого k = 1, 2, ..., n. Возьмем произвольное хМ. Тогда m такое, что |x(t) – xm(t)| < для t[0, 1]. В силу неравенств

|x(t1) – x(t2)| |x(t1) – xm(t1)| + |xm(t1) – xm(t2)| + |xm(t2) – x(t2)| < + + = 3

для |t1 – t2| < , t1, t2 [0, 1], следует, что |x(t1) – x(t2)| 3, если |t1 – t2| < , t1, t2 [0, 1]. Этим показана равностепенная непрерывность функций из множества М.

Достаточность. Пусть множество функций M C[0, 1] - равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим для М компактную -сеть. По предположению о равностепенной непрерывности множества М для  >0  >0: из |t1 – t2|<  |x(t1) – x(t2)| < для х M. Подберем натуральное число n так, чтобы 1/n < и разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей. Для каждой функции х M поставим ей в соответствие набор чисел (х(0), х(1/n), х(2/n), ..., х(1)). Этим построено отображение функций множества М в вектор (x1, x2,..., xn+1)  Rn+1. Рассмотрим множество Mn+1 = {(x1,..., xn+1)  Rn+1: хM: (х(0), х(1/n), х(2/n),..., х(1)) = (x1, x2, x3,..., xn+1) }. Так как |х(t)|M,t[0, 1], хM, то |xk|  C для k = 1, 2,..., n + 1, т.е. множество Mn+1 – ограничено в Rn+1, а значит относительно компактно в Rn+1.

Построим множество кусочно-линейных функций Mкл по множеству Mn+1. Именно, для (x1, x2, x3,..., xn+1)Mn+1 полагаем хкл(t) = n(t - k/n)(xk+2 - xk+1) + xk+1, при t[k /n, (k + 1)/n], k = 0, 1, 2, …, n – 1. Геометрически последнее означает, что мы соединяем точки (k/n, хk+1) и ((k+1)/n, хk+2) отрезком прямой. Вычислим расстояние между двумя функциями из Mкл в метрике пространства С[0, 1]. Имеем

При этом второе равенство выполняется, так как разность линейных функций на отрезке достигает своих меньших и больших значений на концах отрезка. Этим мы установили изометрический изоморфизм между метрическими пространствами Мn+1 с метрикой d(x, y) =  |xkyk| и Mкл с метрикой пространства С[0, 1].

Пусть х(n) M и х(n)клMкл - построенные по х(n) указанным выше способом кусочно-линейные функции. Так как множество Мn+1 является ограниченным в Rn+1 и следовательно относительно компактным, а сходимость по метрике в Rn+1 эквивалентна сходимости по метрике d(x, y) = maxk |xkyk| (покажите это), то и множество Mкл также является относительно компактным в C[0, 1]. Для завершения доказательства покажем, что Мкл компактная -сеть для множества М.

В силу равностепенной непрерывности и выбора n из t1, t2[(k–1)/n, k/n] следует, что |x(t1) – x(t2)| < для х M. Пусть для определенности на концах отрезка x((k–1)/n)  x(k/n). Последнее означает, что функция xкл(t) возрастает на отрезке [(k–1)/n, k/n]. Тогда – < x(t) – x(k/n)  x(t) – xкл(t)  x(t) – x((k–1)/n) < для любого t[(k–1)/n, k/n]. Таким образом,  , d(x(t), xкл(t))< и Мкл компактная -сеть для М. Теорема доказана.

Теорема 6. Множество M lp (1  p < ) - относительно компактно тогда и только тогда, когда 1) множество M - ограничено, 2) для >0 N():  < для nN,xM.

Необходимость. Необходимость 1) условия очевидна. Докажем второе условие. Пусть y(1), y(2),..., y(r) - конечная /2 - сеть для множества М. В силу конечности этого набора для >0 N():  < /2 для nN, m = 1, 2,..., r. Тогда для произвольного хM выберем у(m) так, что d(x, y(m)) < /2. В результате имеем:   d(x, y(m)) + /2 < . Получаем необходимое неравенство.

Достаточность. Пусть х = (х1, х2,..., хm, xm+1, xm+2,..) и Pmx = (x1, x2,..., xm, 0, 0,...), Qmx = x - Pmx. По условиям теоремы для >0  m: d(Qnx, 0)<, nm, xM. Множество Mm = {Pmx, xM} является изометрически изоморфным ограниченному множеству в Rm, следовательно, оно относительно компактно. Тогда для xM , РmxMm и d(x, Pmx) = d(Qmx, 0)<. Отсюда Мm - компактная -сеть для М, следовательно М -компактно. Теорема доказана.

6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность С[0, 1]

Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то существует последовательность многочленов {Рn(х)}, равномерно на отрезке [а, b] сходящаяся к f(x), т. е. для любого > 0 найдется многочлен Рn(х) с номером n, зависящим от , такой, что |Pn(x) - f(x)| < сразу для всех х из отрезка [а, b].

Иными словами, непрерывную на сегменте [а, b] функцию f(x} можно равномерно на этом отрезке приблизить многочленом с наперед заданной точностью .

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, b] рассматривать сегмент [0, 1], поскольку линейным преобразованием х = (ba)t + a, один отрезок переводится в другой. Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции f(x), обращающейся в нуль на концах отрезка [0, 1], т. е. удовлетворяющей условиям f(0) = 0 и f(1) = 0. В самом деле, если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то, положив g(x) = f(x) – f(0) - x[f(l) -f(0)] мы получили бы непрерывную на отрезке [0, 1] функцию g(x), удовлетворяющую условиям g(0) = 0 и g(1) = 0. Тогда из возможности представления g(x) в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и f(x) представима в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов (так как разность f(x) – g(x) является многочленом первой степени).

Итак, пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 1] и удовлетворяет условиям f(0) = 0, f(1) = 0. Такую функцию f(x) можно продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за пределами отрезка [0, 1], и утверждать, что так продолженная функция является в силу теоремы Кантора равномерно непрерывной на всей прямой.

Рассмотрим следующую последовательность многочленов степени 2n:

Qn(x) = cn(1 – x2)n (n = 1, 2, …), (2)

у каждого из которых постоянная сп выбрана так, чтобы выполнялось равенство

(n = 1, 2, …). (3)

Очевидно, что все многочлены принимают неотрицательные значения. Не вычисляя точного значения постоянной сn оценим ее сверху. Для этого заметим, что для любого номера n = 1, 2, ... и для всех х из отрезка [0, 1] справедливо неравенство

(1 - х2)n  1 - nx2. (4)

(данное неравенство легко доказывается если показать, что функция h(x) = (1 - х2)n - 1 + nx2 равна нулю в нуле и возрастает на отрезке – производная положительна).

Применяя неравенство (4) и учитывая, что  при любом n 1, будем иметь

. (5)

Из (2), (3) и (5) заключаем, что для всех номеров n = 1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоянной сn

сn  (6)

Из (6) и (2) вытекает, что при любом > 0 для всех х из сегмента   |x| 1 справедливо неравенство

0  Qn(x) (1 - 2)n. (7)

Из (7) следует, что при любом фиксированном > 0 последовательность неотрицательных многочленов {Qn(x)} сходится к нулю равномерно на сегменте   |x| 1.

Положим теперь для любого х из отрезка [0, 1]

Pn(x) =  (8)

и убедимся в том, что для любого n = 1, 2, ... функция Рп(х) есть многочлен степени 2n, причем {Рn(х)} и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на отрезке [0, 1] к функции f(x).

Так как изучаемая функция f(x) равна нулю за пределами сегмента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (8) можно записать в виде

Pn(x) =

Заменяя в последнем интеграле переменную t на tx, мы придадим ему вид

Pn(x) =  (9)

Из (9) и (2) ясно, что функция Рn(х) представляет собой многочлен степени 2n.

Остается доказать, что последовательность {Рn{х)} сходится к f(x) равномерно на отрезке [0, 1]. Фиксируем произвольное > 0. Для фиксированного в силу равномерной непрерывности f(х) на всей числовой прямой найдется > 0 такое, что

|f(x) - f(y)| < /2 при |х – у| < . (10)

Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на отрезке [0, 1], то она ограничена на этом отрезке, а следовательно, и всюду на числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А такая, что для всех х

|f(x)|  A. (11)

Используя (3), (6), (10) и (11) и учитывая неотрицательность Qn(x), оценим разность Pn(x) – f(x). Для всех х из отрезка [0, 1] будем иметь

| Pn(x) – f(x)| =

.

Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров n справедливо неравенство .

Теорема 8. Пространство С[a, b] сепарабельно.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве C[a, b] множество всех многочленов Z, коэффициенты которых являются рациональными числами. Это множество можно рассматривать как счетное объединение счетных множеств (по координатам). Покажем, что это множество всюду плотно в C[a, b].

Пусть f(x) C[a, b]. В силу теоремы Вейерштрасса для произвольного > 0 найдется многочлен Pn(x) = а0 + а1х + …+anxn такой, что d(f(x), Pn(x)) < /2. Выберем в множестве Z многочлен Zn = b0 + b1x + … + bnxn такой, чтобы |akbk| < /(2nmax(|a|, |b|, |a|n, |b|n)). Тогда, как нетрудно проверить, d(Pn(x), Zn) < /2. В силу неравенства треугольника это доказывает всюду плотность счетного множества Z в С[a, b].

7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией

Теорема 9. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, а f: Х У – непрерывное отображение. Тогда образ f(Х) – компактное пространство в У.

Доказательство. Пусть {V} - произвольное открытое покрытие f (Х). В силу определения непрерывного отображения, множества f -1(V) также являются открытыми и, очевидно, образуют открытое покрытие для Х. В силу компактности Х существует конечный набор из этого покрытия такой, что . Но в этом случае и f (Х) , что доказывает компактность f (Х).

Теорема 10. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х У – непрерывное отображение. Тогда f замкнутое отображение.

Доказательство. Всякое замкнутое множество компактного пространства само является компактным множеством (теорема 1.13). Итак, пусть В – замкнутое множество в пространстве Х (следовательно компактное). По предыдущей теореме f (В) – компактное множество. В силу отделимости У это множество обязано быть замкнутым (теорема 1.15).

Теорема 11. Пусть Х, У – топологические пространства, Х компактно, У – отделимое, а f: Х У – непрерывное биективное отображение. Тогда f - гомеоморфизм.

Доказательство практически очевидное.

Теорема 12 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная функция f : Х  R на компактном пространстве Х ограничена и достигает на Х своей верхней (нижней) грани.

Доказательство. В силу компактности Х и непрерывности f образ f (X) является компактным множеством в R. Но любое компактное множество в R ограничено и замкнуто. Ограниченность f (X) означает ограниченность функции. Замкнутость числового множества f (X) влечет принадлежность ему его точных граней. Это означает, что точная грань (например, супремум) достигается на каком-то элементе х0 Х, т.е. f (x0) = sup f (X).

Теорема 13 (Кантора). Всякая непрерывная функция f(x), определённая на компактном множестве Q, метрического пространства (Х, ), равномерно непрерывна на нём: иными словами, для любого ε > 0 можно найти такое δ>0, что из ρ(x, y)< δ следует |f(x) - f(y)| < ε

Доказательство. Допуская противное, мы для некоторого ε0 сможем указать такие последовательности xn и yn, что 

ρ (xn, yn)< , |f(xn) - f(yn)|  ε0 (12)

Последовательность {xn} в силу предположения содержит подпоследовательность {xni}, сходящуюся к некоторой точке х0. Тогда и подпоследовательность {yni} сходится к точке х0. Начиная с некоторого номера, точки xni и yni попадают в такую окрестность точки х0 , в которой выполняется неравенство |f(x ) - f(x0)|<. Но тогда

|f(xni ) - f(yni)| |f(xni) - f(х0)| + |f(x0) - f(yni)| < + = ε0

что противоречит условию (12). Теорема доказана.

8. Принцип сжимающих отображений и его применение

Определение 14. Отображение А метрического пространства X в себя называется сжимающим, если d(Ax, Ay)  d(x, y), где 0<<1.

Теорема 14 (Принцип сжимающих отображений). Если А: XX сжимающее отображение в полном метрическом пространстве (X, d), то единственная точка уХ: Ay = y (неподвижная точка).

Доказательство. Для произвольного x1X определим x2 = Ax1, x3 = Ax2, ... xk = Axk-1. Получим последовательность {xk}, для которой d(x3, x2) = d(Ax2, Ax1)  d(x2, x1). По такой же схеме выводим общую формулу: d(xn+1 , xn) = d(Axn, Axn-1)  d(xn, xn-1) ...  n-1 d(x2, x1). По неравенству треугольника и выведенной формуле получаем

d(xn+p, xn) d(xn+p, xn+p-1) +...+ d(xn+1, xn) (n+p-2 + n+p-3 +...+ n-1) d(x2, x1) = n-1(1 – p)d(x2, x1)/(1 – )  n-1d(x2, x1)/(1 – )

(внутреннее равенство – сумма геометрической прогрессии).

В силу неравенства 0<<1 и неравенства d(xn+p, xn)  n-1d(x2, x1)/(1 - ) для >0 N: d(xn+p, xn) < , n N и любого натурального р. Таким образом, последовательность {xn} является фундаментальной, а следовательно в силу полноты пространства xn x0 Х

Теперь докажем, что Аx0 = x0. Имеем d(Ax0, x0) d(Ax0, xn) + d(xn, x0) < d(Ax0, Axn-1) +   d(x0, xn-1) + < 2 (<1) при достаточно больших n. В силу произвольности >0 из этого неравенства вытекает, что d(Ax0, x0) = 0. Из аксиом метрики вытекает нужное нам равенство.

Докажем единственность неподвижной точки. Пусть y0X: Ay0 = y0 и y0 x0. Тогда d(x0, y0) = d(Ax0, Ay0)  d(x0, y0) < d(x0, y0) и мы получили противоречие.

Метод отыскания решения уравнения, предложенный в теореме о сжимающих отображениях, называется методом итераций.

Принцип сжимающих отображений имеет многочисленные приложения при доказательствах существования решения и его отыскания. Мы приведем лишь три достаточно важных применения.

1. Задача Коши: Найти решение дифференциального уравнения y = f(x, y) с начальным условием y(x0) = y0.

На функцию f (х, у) наложим следующие условия: f(х, у) определена и непрерывна в некоторой открытой области G, которой принадлежит точка (х0, у0), и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у, т.е.

|f(x, y1) - f(x, y2)|  M|y1 -y2|.

Теорема 15 (Пикара). В приведенных выше условиях существует такое d > 0, что поставленная задача Коши на отрезке |x - x0|  d имеет единственное решение у = (х).

Доказательство. Поставленная задача Коши очевидно эквивалентна следующему интегральному уравнению

(х) = у0 +

В силу непрерывности функции f(х, у) имеем |f(x, y)|  K в некоторой замкнутой ограниченной области D  G, для которой точка (х0, у0) является внутренней точкой. Выберем d > 0 так, чтобы выполнялись условия:

  1.  (х, у)  D, если |х - х0|  d, |y - y0|  Kd;
  2.  Md < 1.

Достаточно очевидно, что эти условия можно удовлетворить. Рассмотрим множество Х – непрерывных функций (х), определенных на отрезке |x - x0|  d и таких, что |(x) - y0|  Kd с метрикой d(1, 2) = max |1(x) - 2(x)|, где максимум ищется на отрезке [x0 - d, x0 + d]. Несложно видеть, что Х является замкнутым множеством в пространстве С[x0 - d, x0 + d] и следовательно является полным метрическим пространством. Рассмотрим на этом пространстве Х отображение = А, определяемое равенством

(х) = у0 +

Это отображение переводит пространство Х в себя и является сжатым. Действительно, если Х, |x - x0|  d, то |(x) - y0| =   Kd. Последнее означает, что (х) = (А)(х) Х. Далее, по условию Липшица,

|1(x) - 2(x)|   Md|1(х) - 2(х)|.

В силу предположений Md < 1 и оператор А является сжимающим. Тогда по принципу сжимающих отображений уравнение (х) = (А)(х), а с ним и исходная задача Коши, имеет единственное решение в пространстве Х.

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций. Рассмотрим n - мерное пространство Rn. Если Rn,  Rn, то положим . Нетрудно видеть, что определённое так метрическое пространство Rn будет полным. Рассмотрим в этом пространстве отображение Ax = y, заданное с помощью равенств

, i=1, … , n.

Тогда получаем

Если теперь предположить, что <1 для всех i, то мы окажемся в условиях применимости принципа сжатых отображений и, следовательно, отображение будет иметь единственную неподвижную точку. Таким образом, мы получили теорему.

Теорема 16. Если матрица  такова, что <1 для всех i, то система уравнений

 i=1, 2, … , n,

имеет единственное решение

Это решение можно получить методом итераций, исходя из произвольного вектора .

Условие теоремы 16 есть достаточное условие сходимости метода итераций для рассматриваемой системы. Если в Rn ввести другую метрику, то получим другое условие сходимости. Пусть, например, . При такой метрике

Поэтому условием сходимости метода итераций будет на этот раз неравенство

.

Нетрудно видеть, что полученные здесь условия существования и единственности решений для систем линейных уравнений, могут быть распространены достаточно легко на случай бесконечных систем линейных уравнений в соответствующих метрических пространствах.

3. Интегральное уравнение Фредгольма. Применим теперь принцип сжимающих отображений для разрешимости так называемого неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

f(x) = + (x).

Здесь К(х, у) - называется ядром интегрального оператора, (x) - заданная функция, - произвольный параметр, f(х) - искомая функция.

Предположим, что К(х, у) и (x) - непрерывные функции при a  x  b, a  y  b. Тогда в силу теоремы Кантора |K(x, y)|  M. Рассмотрим отображение Аf в метрическом пространстве C[a, b], задаваемое равенством:

(Af)(x) = + (x).

Следующие неравенства вполне очевидны:

d(Af1, Af2) = |(Af1)(x) - (Af2)(x)| ||M(b - a) |f1(x) – f2(x)|.

Следовательно, при || <1/M(b - a) отображение А является сжимающим в пространстве C[a, b]. В силу принципа сжимающих отображений заключаем, что интегральное уравнение Фредгольма при || <1/M(b - a) имеет единственное решение, которое можно получить методом итераций по формуле:

fn(x) = + (x).

В этой формуле в качестве начального приближения f0(х) можно взять нулевую функцию.

9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра

Определение 15. Пусть Х – метрическое пространство Множество А Х называется нигде не плотным, если его замыкание А не имеет внутренних точек. Последнее эквивалентно тому, что в любом шаре найдется шар, не содержащий точек из А.

Действительно, возьмем любой шар S. Он не может лежать полностью в множестве А, т.к. в этом случае все его внутренние точки окажутся внутренними для А. Следовательно, S(X - А)  . Тогда для любой точки х  S(X - А) (множество Х - А – открыто) найдется шар малого радиуса S1, который полностью лежит в S(X - А), а следовательно не имеет общих точек с А. Обратное очевидно.

Определение 16. Счетное объединение нигде не плотных множеств называется множеством первой категории, а множество, не являющееся множеством первой категории, - множеством второй категории.

Теорема 17 (Бэра). Полное метрическое пространство является множеством второй категории, т.е. не может быть объединением счетного множества нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное, что полное метрическое пространство X является счетным объединением нигде не плотных в X множеств X = . Рассмотрим непустое открытое множество XА1 и некоторую точку x1 из этого множества. Найдется открытый шар S(xl, r1), который содержится в множестве XА1. Для этого шара справедливы соотношения S(x1, r1/2)  S[x1, r1/2]  S(x1, r1). Следовательно, S[x1, r1/2] А1 = .

Возьмем точку х2 из непустого открытого множества S(x1, r1/2) (XА2) (см. рассуждения после определения 15). Найдется открытый шар S(х2, r2), содержащийся в этом пересечении. Не умаляя общности, можно считать, что r2  r1/2, т.е. можно уменьшить радиус шара, не нарушая включения

S(х2, r2)  S(x1, r1/2) (XА2).

Тогда справедливы включения

S(х2, r2/2) S[х2, r2/2] S(х2, r2) S(x1, r1/2) S[x1, r1/2],

причем S[x2, r2/2] А2 = .

Далее, по индукции, в непустом открытом множестве

S(xn - 1, rn - 1/2) (XАn)

найдется открытый шар Sn, rn), rn  rn – 1/2, для которого выполняются включения

S(хn, rn/2) S[хn, rn/2] S(хn, rn) S(xn - 1, rn - 1/2) S[xn - 1, rn - 1/2],

причем S[xn, rn/2] Аn = .

Мы построили последовательность { S[xn, rn/2]} замкнутых вложенных шаров с радиусами rn/2  rn – 1/22  r1/2n, стремящимися к нулю при n  , для которых S[xn, rn/2] Аn = . По критерию полноты метрических пространств существует точка х, принадлежащая всем шарам. Из равенства X =  следует, что х принадлежит какому-то из множеств, скажем Am.. Мы получили противоречие: x  S[xm, rm/2] Аm, в тоже время по построению шаров S[xm, rm/2] Аm =  и тем более S[xm, rm/2] Аm = .

Следствие. Если полное метрическое пространство X является счетным объединением замкнутых множеств, то хотя бы одно из них содержит шар положительного радиуса.

Задачи

1. Пусть M нигде не плотное множество метрического пространства. Каким будет его дополнение?

2. Пусть X – пространство элементов вида , где n – фиксировано, - рациональные числа, с метрикой

Будет ли это пространство полным? Что будет являться его пополнением?

3. В пространстве  построить последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств с пустым пересечением.

4. Показать, что пространство  непрерывных функций с метрикой

неполно ни при каком p.

5. Ввести на прямой  метрику по формуле

Проверить выполнение всех аксиом метрического пространства. Будет ли это пространство полным?

6. Доказать, что пространство Сm[a, b] полно при любом m.

7. Является ли полным пространство всех числовых последовательностей

где , с метрикой по формуле

?

8. Рассмотрим три пространства функций на прямой с метрикой d(f(x), g(x)) = :

а) всех ограниченных непрерывных функций;

б) всех непрерывных функций, у которых ;

в) всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю вне некоторого интервала.

Будут ли указанные пространства полными?

9. Отображение A на полупрямой  переводит точку x в . Является ли отображение сжимающим? Имеет ли неподвижную точку?

10. Пусть функция , заданная и дифференцируемая на отрезке [0, 1], удовлетворяет неравенствам

Будет ли уравнение  иметь решение?

11. В пространстве  элементов вида  с метрикой . Найти условие разрешимости системы

12. Непрерывны ли функции , где B – множество в метрическом пространстве X.

13. Дано отображение компакта в себя, удовлетворяющее условию  при . Показать, что у этого отображения существует единственная неподвижная точка.

14. Может ли компактное множество быть неограниченным?

15. Привести пример компактного в пространстве m множества, все точки которого имеют бесконечное множество координат, отличных от нуля.

16. Будет ли компактным в пространстве C[a, b] множество всех степеней ?

17. Показать, что последовательность непрерывных функций на отрезке [0, 1], где

сходится по расстоянию к и в  и в (см. задачу 4), но не стремящуюся в С[a, b] в метрике Чебышева (пример 7, гл. 1) к единице при t = 0.

18. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.

19. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup n |xn - yn| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

20. Показать, что пространство С(-, ) всех определенных на числовой прямой непрерывных функций, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого интервала, с метрикой

является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

21. Показать, что множество F замкнуто тогда и только тогда, когда из d(x, F) = 0 следует хF.

22. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?

23. Обозначим АК множество всех функций из С[a, b], удовлетворяющих условию Липшица с одной и той же константой К:

|x(t) - x(s)| K|t - s|.

Показать, что множество АК совпадает с замыканием множества всех дифференцируемых на сегменте [a, b] функций x(t) таких, что |x(t)| K.

24. Указать в эвклидовой плоскости два таких замкнутых непересекающихся множества А и В, что d(А, В) = 1, но не существует точек аА и bВ таких, что d(а, b) = 1.

25. Показать, что если А - компактное, а В замкнутое множества в метрическом пространстве Х и АВ = , то d(А, В) > 0.

26. Пусть f(х) - непрерывное взаимооднозначное отображение компактного метрического пространства Х на метрическое пространство У. Доказать, что обратное отображение f -1(у) пространства У на пространство Х непрерывно.

27. Доказать, что если возрастающая последовательность {xn(t)} вещественных непрерывных функций, заданных на компактном метрическом пространстве Х, поточечно сходится к непрерывной функции х(t), то она сходится к х(t) равномерно.

28. Пусть d(x, y) - метрика на Х. Показать, что

также является метрикой на Х и что эти три метрики попарно эквивалентны.

29. Пусть Х - метрическое пространство, в котором любая последовательность точек содержит фундаментальную подпоследовательность. Доказать, что пространство Х сепарабельно.

30. Показать, что пространств h всех числовых последовательностей, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля членов, с метрикой d(x, y) = sup n |xn - yn| является неполным сепарабельным метрическим пространством. Каково пополнение этого пространства?

31. Пусть Х - метрическое пространство с метрикой

Ответить на следующие вопросы: 1) В каком случае {xn} будет сходящейся последовательностью в Х? 2) В каком случае {xn} будет фундаментальной последовательностью в Х? 3) Будет ли Х полным пространством? 4) Какие множества всюду плотны в Х? 5) В каком случае Х является сепарабельным пространством? 6) Какие множества в Х открыты, замкнуты?

32. В любом ли метрическом пространстве замыкание открытого шара S(x, r) совпадает с замкнутым шаром S[x, r]?

ГЛАВА 3 МЕРА И ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА

1. Системы множеств

Определение 1. Пусть М - произвольное множество. Непустая система некоторых его подмножеств называется кольцом, если для А, В  

  1.  AB  .
  2.  A\B  .

Из этого определения следуют ряд простых следствий. В частности, любое кольцо содержит пустое множество ( = А\А); вместе с множествами А и В кольцо содержит и симметрическую разность АВ = (А\В)(В\А); кольцо также замкнуто относительно операции пересечения АВ = (АВ)\(АВ).

Замечание. В учебниках можно встретить разные определения кольца множеств. Эти определения эквивалентны между собой.

Определение 2. Непустая система подмножеств множества М называется алгеброй, если

  1.  Если А, В  , то A  В  .
  2.  Если А , то АС = М\А  .

Теорема 1. Для того чтобы система подмножеств множества М была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и М  .

Необходимость. Пусть система множеств является алгеброй и А, В  . Тогда по второму АС, ВС. Следовательно (1 свойство) АС ВС и снова по второму свойству (АС ВС)С = АВ . Следовательно алгебра замкнута относительно операции пересечения.

Используя представление А\В = (АВС) получаем, что алгебра замкнута также и относительно операции вычитания множеств. Последнее доказывает, что она является кольцом.

Так как пустое множество принадлежит кольцу , то и С = М также принадлежит .

Достаточность. Пусть кольцо содержит множество М. Тогда, по свойствам кольца, будут выполнены первое и второе свойство алгебры.

Определение 3. Непустая система подмножеств множества М называется -кольцом, если оно кольцо, замкнутое по отношению к объединению не только конечного, но и счетного множества множеств, т.е. если

1.из Ai  , (i = 1, 2,...) следует, что А =  Ai  

2.из А, В   следует, что А\В  .

Требование, чтобы объединение конечного числа множеств из входило в , здесь уже содержится, т.к. в условии 1, в частности, можно взять все Ai, начиная с некоторого, равными пустому множеству.

Определение 4. Непустая система A подмножеств множества М называется -алгеброй, если она удовлетворяет условию (1) из определения -кольца и условию (2) из определения алгебры.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Для того чтобы совокупность была -алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была -кольцом и чтобы М  .

Определение 5. Пусть К – произвольная непустая совокупность подмножеств множества М, тогда всегда существует наименьшее кольцо (алгебра, -кольцо или -алгебра), содержащее К  .

Действительно, таким будет пересечение всех колец ' (алгебр, -колец или -алгебр), состоящих из подмножеств множества М и содержащих К (такие ' существуют, например, совокупность всех подмножеств множества М), эта совокупность называется кольцом (алгеброй, -кольцом или -алгеброй), порожденным совокупностью К.

Определение 6. Система подмножеств множества М называется полукольцом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.   ;

  1.  если А, В  , то АВ  ;
  2.  если A, B  и B  A, то существует конечная совокупность таких дизъюнктных множеств Сn  , что А \ В = Cn.

Из указанных свойств кольца вытекает, что любое кольцо является полукольцом.

2. Системы множеств в евклидовом пространстве

Определение 7. Пусть заданы n пар вещественных чисел аi и bi, где i = 1,..., n, так, что ai < bi i. При этом мы допускаем, что некоторые из этих чисел могут быть несобственными, т.е. возможно, что ai = - и bi = + при некоторых i. Множество 0 всех точек х = (x1,..., xn) n, координаты которых удовлетворяют неравенству ai < xi < bi, i = 1, …, n, называется открытым n-мерным параллелепипедом.

Ранее было показано (пример 1.5), что открытые параллелепипеды образуют базу топологии в Rn.

Определение 8. Множество * всех точек х  n, координаты которых удовлетворяют неравенству аi  xi  bi, i = 1,..., n, называется замкнутым n-мерным параллелепипедом.

Если рассматривать Rn с топологией, порожденной метрикой Евклида, то открытый параллелепипед является открытым множеством, замкнутый – замкнутым множеством (проверьте).

Определение 9. Параллелепипед  – это любое множество, удовлетворяющее условию: 0  Δ  *. Далее мы его будем обозначать так {a1, b1;...; аn, bn}.

Определение 10. Если - < аi < bi < + при всех i, то будем говорить, что -параллелепипед с конечными ребрами. Если же хоть одна из величин аi и bi является бесконечной, то будем говорить, что имеет бесконечное ребро.

Определение 11. Будем говорить, что два параллелепипеда дизъюнктны, если у них нет общих внутренних точек.

Определение 12. Объемом n-мерного параллелепипеда {a1, b1;...; аn, bn} называется: V =

Он равен + , если у параллелепипеда есть бесконечное ребро.

Определение 13. Параллелепипед {a1, b1;...; аn, bn} называется (n-мерной) ячейкой, если он состоит из всех точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам аi  xi < bi, где i = 1,..., n.

Пусть 1 и 2 – полукольца на множествах Х1 и Х2, соответственно. Построим систему множеств = 12, т.е. АВ тогда и только тогда, когда А1 и В2.

Лемма 1. Система является полукольцом в Х1Х2.

Доказательство. 1) = .

2) Если А1В1, А2В2, то А1В1 А2В2 = (А1А2)(В1В2)  (в силу свойств полуколец 1 и 2).

3) Пусть А1В1, А2В2 и А1В1 А2В2, последнее влечет вложения множеств А1 А2 и В1 В2. В силу свойств полуколец 1 и 2 найдутся множества Сn 1 и Dk 2, такие, что А2 = А1 +  и В2 = В1 + . В силу свойств произведения дизъюнктных множеств получаем представление А2В2 = А1В1 +  +  + , что эквивалентно третьему условию в определении полукольца.

Рассмотрим ячейки на числовой прямой, т.е. систему 1 промежутков вида [a; b).

Теорема 3. Система 1 промежутков вида [a; b) образует полукольцо пространства R1.

Доказательство. 1) Справедливо = [a; a).

2) Пусть [a1; b1), [a2; b2). Тогда нетрудно видеть, что пересечение этих промежутков либо пусто, либо [a1; b1) [a2; b2) = [max{a1, a2}; min{b1; b2})(сделайте рисунок).

3) Пусть [a1; b1) [