30930

Финансы и кредит. Конспект лекций

Конспект

Финансы и кредитные отношения

Размер процентной ставки зависит от ряда объективных и субъективных факторов: общего состояния экономики, в том числе денежно кредитного рынка, кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики, вида сделки, ее валюты, срока кредита и т.д.

Русский

2013-08-25

1.74 MB

102 чел.

Тема 1  

Временная стоимость денег. Операции   наращения и  дисконтирования

В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, но обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (или стоимость денег во времени – time value of money). Очевидно, что 100 000 грн., полученных через 5 лет, не равноценны этой же сумме поступившей сегодня.

Временная стоимость денег обуславливается наличием двух причин:

1) обесценением денежной наличности с течением времени. Так, если предприятие имеет свободные денежные средства в размере 10,0 млн. грн., а инфляция, то есть обесценение денег, составляет 20% в год, то это означает, что уже через год, в случае если предприятие никак их не инвестирует, они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в текущих ценах только 8 млн. грн.;

2) обращением капитала (денежных средств). Предположим, что предприятие имеет возможность участвовать в инвестиционном проекте, который может принести доход в размере 20,0 тыс. грн. по истечении двух лет. Имеется  возможность выбора  варианта  получения дохода:  либо  по    10 тыс. грн. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода. Очевидно, что второй вариант получения доходов менее выгоден по сравнению с первым, так как сумма, полученная в конце первого года, может принести дополнительные доходы.

(В Индии, на химическом заводе американской компании, произошла крупная авария. В качестве компенсации пострадавшим первоначально предложили выплатить 200 млн. долл. в течение 35 лет. Предложение было отклонено. Для иллюстрации влияния фактора времени скажем, что 57,6 млн. долл. в банк под 10% годовых обеспечит последовательную выплату 200 млн. долл. Т.е. 57.6 млн. выплаченных сегодня равнозначны 200 млн. долл. погашаемым ежемесячно в равных долях)

Простейшим видом финансовой операции является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV (present value) с условием, что через какое-то время t будет возвращена большая сумма FV (future value).

Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя либо путем расчета некоторого относительного показателя.

Абсолютным показателем является разность I=FV-PV, которая называется процентом (interest) или суммой процентных денег. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы PV.

Однако для оценки эффективности финансовых операций абсолютные показатели мало применимы ввиду их несопоставимости. Поэтому пользуются специальным коэффициентом – ставкой.

Под процентной ставкой (rate of interest) – понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег)  к сумме долга за единицу времени.

Временной интервал, которому соответствует процентная ставка, называют периодом начисления (год, полугодие, квартал, месяц, даже день).  

Размер процентной ставки зависит от ряда объективных и субъективных факторов: общего состояния экономики, в том числе денежно кредитного рынка, кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики, вида сделки, ее валюты, срока кредита и т.д.

В общем виде процентная ставка может быть представлена как сумма четырех основных компонент, определяющих величину r:

                                r = i + f + E + g

где      i – норма процента, отражающая компенсацию кредитору за отказ использовать в других целях предоставленную сумму в течение времени t (пока не вернут долг);

           f – так называемый фактор риска (эффект Фишера), представляющий собой для кредитора компенсацию за неопределенность (риск) неполучения процентов или всей суммы вообще при наступлении срока возврата долга;

Е – инфляционная добавка, т.е. компенсация за возможное изменение в уровне цен, за уменьшение покупательной способности денег вследствие инфляции;

gкомпенсация, зависящая от продолжительности срока, на который ссужены деньги, и тем большая, чем длительнее этот срок.

В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и  в более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой операции), независимо от того имел место или нет факт выдачи денег в долг и процесс наращения этой суммы.

Существует два принципа расчета процентов – наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют ставку наращения (interest base rate) и учетную ставку (discount base rate). Оба вида ставок применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной дисконтирование. Для учетной ставки наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Для расчета процентной ставки используется следующая формула:           

                                  ,                                                     (1)

Для расчета учетной ставки используется следующая формула:           

                                               .                                                  (2)

Оба вышеназванных показателя взаимосвязаны между собой, т.е. зная один показатель можно рассчитать и другой:

  (3)     или       .     (4)

Оба показателя могут выражаться либо в десятичных дробях, либо в процентах.

Из определения показателей следует, что r › 0 и   0 ‹ d ‹ 1. Случай, когда  r = 0 и d = 0, не рассматривается, так как тогда FV  = PV, т.е. можно считать, что финансовой сделки как таковой просто нет. Случай, когда d = 1 соответствует PV = 0 , т.е. не предоставляется никакая сумма в долг, а через некоторое время получаем FV.  

Степень расхождения между d(t) и r(t) зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если r = 7%, то  d = 6,54,  т.е. расхождение сравнительно невелико. Однако, если r = 70%, то d = 41,18%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

В прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов, как правило, имеют дело с процентной ставкой. Учетная ставка в основном используется в банковских операциях по учету векселей.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения (компаундинг). Причем величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины  PV при заданном уровне доходности.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (или возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования. Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. При этом случае искомая величина PV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, а во втором – о движении от будущего к настоящему.

Логика финансовых операций представлена на рис. 1.

         Настоящее                                                        Будущее

Исходная   сумма

                                        Наращение                        Возвращаемая сумма

Процентная ставка

                                                                          Ожидаемая к поступлению сумма

Приведенная сумма      Дисконтирование

                                                                       Коэффициент дисконтирования

Рис. 1.  Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, которая представляется  формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1) следует, что FV = PV * (1 + rt ), то   FVPV (так как (1 + rt) › 1), т.е. время генерирует деньги.

Естественно, такой же вывод можно сделать, используя формулу (2), так как из нее следует, что PV = FV*(1 – dt ), и справедливо  неравенство      1 – d ‹ 1.

Как уже отмечалось выше, в качестве ставки наращения может выступать как процентная, так и учетная ставка. Если наращенная сумма  находится по формуле FV = PV*(1 + rt ), то ставкой наращения является процентная ставка. С другой стороны, из формулы PV = FV*(1 – d) следует, что наращенную сумму можно определять по формуле:

                                        

Поэтому в этом случае ставкой наращения является учетная ставка. Учетная ставка используется для наращения в случае учета векселя в банке, если рассматривать эту операцию с позиции банка.

Аналогичные рассуждения можно высказать и в связи с процессом дисконтирования. Если приведенная сумма находится по формуле PV = FV*(1 – d), то в качестве ставки приведения выступает учетная ставка. С другой стороны, из формулы  FV= PV*(1 + r) следует, что приведенную сумму можно определить также по формуле . В этом случае в качестве ставки дисконтирования выступает процентная ставка.

Тема 2

Наращение и дисконтирование с использованием схемы простых процентов

Основу коммерческих вычислений составляют ссудно-заемные операции, в которых и проявляется, прежде всего, необходимость учета временной стоимости денег.

Несмотря на то, что в основе расчетов заложены  простейшие вычислительные схемы, эти расчеты весьма многообразны, так как предусматривают различные условия  контрактов, частоту и способы начислений, различные варианты предоставления и погашения ссуд.

Рассмотрев операции наращения, можно увидеть, что, предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

1) схема простых процентов;

2) схема сложных процентов.

По отношению к моменту времени начисления или выплаты проценты делятся на обычные и авансовые.

Обычные (заемные, декурсивные, postnumerando) проценты начисляются в конце периода финансовой операции.

Авансовые (антисипативные, дисконтные, учетные, prenumerando) начисляются в начале периода.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Если исходный инвестируемый капитал равен PV, а требуемая доходность в долях единицы составляет r, то считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину  PV r.

Таким образом, через n лет размер инвестированного капитала будет равен:

FV = PV + PV*r + … + PV*r = PV + PV*n*r = PV*(1 +n* r)

Из приведенной формулы видно, что проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока. Это выражение называется формулой наращения простыми процентами, а множитель (1 + n*r) – множителем наращения или коэффициентом наращения простыми процентами.

Из приведенной формулы видно, что приращение капитала составляет величину PV*n*r,  оно пропорционально сроку ссуды и ставке процента и растет линейно вместе с ростом n. Величину PV*n*r часто называют процентным платежом.

Необходимо обратить внимание на размерность величин, определяющих размер процентного платежа. Размерности n и r всегда должны быть согласованы. Таким образом, либо n должно измеряться в годах, либо с изменением размерности n (например, не годы, а кварталы) ставка процента должна отражать рост за новую единицу времени (за квартал).

Исходя из сказанного наращение по простым процентам в случае, если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет (например, меньше года), определяется по формуле:

                                    

где t – продолжительность финансовой операции в днях;

     Т - количество дней в году.

Наращение по простым процентам применяется при обслуживании депозитных вкладов с ежемесячной выплатой процентов, и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются вкладчику. Простые проценты применяют и при выдаче широко распространенных краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов.

При использовании схемы простых процентов частота начисления не оказывает никакого влияния на суммарную величину процентных денег.

 Пример

Клиент поместил в банк вклад в сумме 35 тыс. грн. под 15 % годовых.

Какова будет суммарная величина процентных денег, если:

а) проценты будут начисляться один раз в конце года;

б) проценты будут начисляться ежемесячно?

В первом случае FVPV = 35* 0,15* 1 год = 5,25 тыс. грн.

Во втором случае FVPV = 35* 1/12* 0,15 = 437,5 грн.

Т.е. во втором случае суммарный годовой доход клиента в виде начисленных процентов составит те же 437,5* 12 = 5,25 тыс. грн.

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать одним днем. В зависимости от того, чему принимается равной продолжительность периода сделки (год, квартал, месяц), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны следующие варианты:

1) точный процент (exact interest), определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

2) обыкновенный процент (ordinary interest), определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно, 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

1) в расчет принимается точное число дней, на которое выдана  ссуда;

2) в расчет принимается приближенное число дней, не которое выдана ссуда  (исходя из продолжительности месяца  30 дней).

Исходя из сказанного, расчет может выполняться одним из трех способов:

1) Точный процент с точным числом дней. Этот вариант дает самые точные результаты (Великобритания, США). Обозначение 365/365, ACT/ACT.

2) Обыкновенный процент с точным числом дней. Этот метод иногда называют банковским (Bankers Rule), распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во  Франции, Бельгии. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t=364, то n=364/360=1,011. Обычно это условие финансовой сделки  обозначается как 365/360, ACT/360.

3) Обыкновенный процент с приближенным числом дней. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в коммерческих банках Германии. Обозначение в условиях финансовой сделки 360/360, или немецкая практика;

Вариант с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

Величина эффекта от выбора того или иного способа зависит от размеров суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции.

 Пример. Банк выдал кредит 20.01. в размере 500 тыс. грн. Срок возврата кредита 05.10. Процентная ставка установлена в размере 15% годовых. Год не високосный.

        Точное число дней (по таблице) = 278 - 20 = 258 дня.

Приближенное число дней = 12 дней января + 30 дней февраля + 30 дней марта + 30 дней апреля + 30 дней мая + 30 дней июня + 30 дней июля + 30 дней августа + 30 дней сентября + 5 дней октября – 1 день = 256 дней.

точный процент и точное число дней

 тыс. грн.

обыкновенный процент и точное число дней

тыс. грн.

обыкновенный процент и приближенное число дней

тыс. грн.

Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы, при равной продолжительности ссуды существуют следующие соотношения:

    

    

Эти соотношения могут быть использованы при определении эквивалентных процентных ставок, то есть ставок, приносящих одинаковые  процентные доходы при различных временных базах, но равных первоначальных капиталах:

В мировой практике при расчете процента используют и другие величины.

Пусть . Тогда в формуле процентных денег  можно записать . Поделив числитель и знаменатель дроби правой части равенства на r, получим:

, где  .

В этих формулах –  т.н. процентное число;

процентный ключ или дивизор.

Естественно, что при одной и той же ставке , но при различных значениях  (360 или 365 дней) будет разным и дивизор.

Дивизор численно равен такому количеству денежных единиц, с которого при ставке процента  получается 1 денежная единица в день. 

Если  PV = грн. (при t=T), то I =  * *r = t (грн.в день).  

Пример. Вычислить процент с капитала в 2,4 млн. грн., отданного в долг по ставке 16% годовых на срок с 05.03. по 21.09. того же года, если расчет ведется способом 365/365.

t = 264 –64 = 200 дней.

D = 365/0,16 = 2281,25

I = 2,4*200/2281,25 = 0,210411 млн. грн.

Проверим: FV = 2281.25*(1 + 200/365*0,16) = 2481.25 грн.

Доход от операции 2481.25 – 2281.25  = 200 грн. за 200 дней или 1 грн. дохода за день финансовой операции (что и требовалось доказать).

Переменные ставки и реинвестирование.

Финансовое соглашение может предусматривать не только постоянную процентную ставку за весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени, т.е. переменную ставку.

Это, как правило, вызывается наличием инфляции, что вынуждает участников финансовой операции периодически варьировать величиной процентной ставки.

В частности, в соглашении м.б. оговорена т.н. плавающая процентная ставка, когда фиксируется не сама ставка, а изменяющаяся во времени ее база и маржа (или величина надбавки к базе).

Величина маржи м.б. на протяжении срока сделки как постоянной, так и переменной.

Пусть на период времени  установлена процентная ставка . Тогда приращение капитала за этот период будет равняться величине

. Если таких периодов будет  ( т.е. ), то наращенная сумма за время будет определяться по формуле:

                            .

Возможен и другой подход к решению подобной задачи, когда величина наращенной стоимости определяется с помощью средней процентной ставки за весь период времени финансовой операции.

В этом случае:

,  а               

Пример. Вкладчик поместил в банк 10 тыс. грн. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 16% годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 1.5%. Найти наращенную сумму за три года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада.

15,55 тыс. грн.

или

0,185 (18.5%)

FV=10 000 (1+18.5*3)=15 000 (грн.)

Финансовые контракты могут предусматривать условия, согласно которым за период времени   установлена процентная ставка , но при изменении (или без изменения) ставки наращения к этому моменту времени полученная сумма вкладывается вновь под новый простой процент.

Такая финансовая операция называется реинвестированием (капитализацией) полученных на каждом этапе наращения средств. Согласно этому условию, через время  наращенная сумма составит величину , после чего она будет переоформлена на следующий срок . Через время  наращенная сумма станет равной величине: .

Рассуждая аналогичным образом, получим формулу для нахождения наращенной суммы за время  при реинвестировании:

.

В этой формуле множитель  представляет собой, по существу, индекс роста суммы  за время

 

Пример. Вкладчик поместил в банк 15 тыс. грн. на следующих условиях: в первый год процентная ставка составляет 20% годовых, а в каждые последующие полгода ставка повышается на 3%. Найти наращенную за 2 года сумму вклада, если проценты начисляются с одновременной капитализацией процентного дохода.

 тыс. грн.

 Дисконтирование по схеме простых процентов.

 

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать задачу, обратную задаче нахождения наращенной суммы.

Например, по заданной сумме FV, которую предполагают получить (или уплатить) за время , требуется определить величину капитала PV, который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы через время  при постоянной процентной ставке получить сумму FV. Аналогичная задача возникает и в том случае, если проценты удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма FV дисконтируется или учитывается, а сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом.

Термин дисконтирование употребляется и в более широком смысле – как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени.

Величину PV, найденную с помощью дисконтирования называют современной величиной, а иногда, в зависимости от контекста текущей или капитализированной стоимостью.

Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения учитывается такой фактор как время.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором случае – учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму FV при условии, что на долг начисляются проценты по ставке r?

Разность FV-PV в данном случае можно рассматривать не только как проценты, начисленные на  PV, но и как дисконт с суммы FV. Обозначим его символом D.

Пример. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. грн. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

287 328,59 тыс. грн.

Банковский учет (учет векселей).

Дисконтирование часто применяется при операциях по так называемому учету векселей банком или другими финансовыми учреждениями.

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда владелец векселя на сумму (сумма к погашению, номинал) предлагает банку раньше срока оплаты купить у него вексель.

Такая покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока (меньше номинала),  называется дисконтированием (учетом) векселя. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.

Таким образом, векселедержателю досрочно выплачивается обозначенная в векселе сумма за вычетом определенных процентов, удерживаемых банком в свою пользу и называемых дисконтом. В данном случае дисконт представляет собой проценты, начисленные за время  от дня дисконтирования до дня погашения векселя. Если банком объявлена ставка дисконтирования (учетная ставка) d, то величина дисконта составит D=FV*n*d, а владелец векселя получит на руки сумму PV=FV-FV*n*d=FV(1-n*d) 

Если продолжительность финансовой операции по учету векселя меньше года, то формула для определения дисконтированной стоимости векселя имеет следующий вид:

.

Из приведенных формул видно, что величина дисконта пропорциональна времени и ставке дисконтирования. Естественно, что чем выше значение ставки дисконтирования, тем большую сумму удержит банк в свою пользу. Учет векселя чаще всего осуществляется способом 365/360.

Пример. Векселедержатель предъявил 13.09 для учета вексель на сумму 50 тыс. грн. со сроком погашения 28.09. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.

 тыс. грн.

Разность между номинальной и дисконтированной величиной векселя представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу, в данном случае 625 грн.

 

В финансовых сделках возможны ситуации, когда вексель предусматривает начисление простых процентов на сумму по обязательству по процентной ставке. В этом случае при учете векселя исходят из наращенной к сроку погашения векселя суммы.

 Пример. Вексель на сумму 10 тыс. грн. был выдан на 150 дней, при этом предусматривалось начисление на указанную сумму простых процентов по ставке 16% годовых способом АСТ/АСТ. За 80 дней до срока погашения вексель вексель был учтен банком по учетной ставке 15% годовых способом 365/360. Определить дисконт, полученный банком.

Сумма, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:  тыс. грн.

Комиссионные банка:  тыс. грн.

 

Наращение по учетной ставке.

 

В финансовых операциях иногда рассматриваются задачи, обратные банковскому дисконтированию.  Пусть от учета капитала по учетной ставке за время  была получена сумма . Требуется определить величину .  Задачи такого типа возникают, например, при определении суммы, которую надо написать на векселе, если задана текущая величина долга.

 Пример. За вексель, учтенный за полтора года до срока по дисконтной ставке 8%, заплачено 2,2 тыс. грн. Определить номинальную величину векселя.

 тыс. грн.

Приращение капитала на основе простой учетной ставки вычисляется о формуле:

.

 

Из приведенной формулы видно, что приращение капитала на основе простой учетной ставки не пропорционально ни времени финансовой операции, ни ставке дисконтирования.

В данном случае величина  является множителем наращения. Этот множитель равен индексу роста капитала  за время финансовой операции и является обратной величиной коэффициента дисконтирования.

При наращении капитала на основе простой процентной ставки капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину .  Если же наращение осуществляется на основе простой учетной ставки, то величина начисляемых процентов с каждым годом увеличивается.

Пользуясь формулой , запишем приращение капитала  за каждый год финансовой операции.

За первый год исходный капитал увеличится на величину:

.

За два года капитал увеличится на , и, следовательно, его приращение за второй год составит:

.

За три года исходный капитал увеличится на величину  и, следовательно, его приращение за третий год составит:

и т.д.

Следовательно, за  год  капитал увеличится на величину:

.

 Пример. На капитал в 3 млн. грн. в течение 5 лет осуществляется начисление простыми процентами по учетной ставке 12%. Найти наращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.

Общая наращенная сумма составит млн. грн.

Приращение исходного капитала за 5 лет  млн. грн.

Приращение капитала за каждый год финансовой операции:

 млн. грн.

  млн. грн.

 млн. грн.

 млн. грн.

 млн.грн.

Просуммировав приращение капитала за каждый год финансовой операции, получим 4,5 млн. грн.

Для рассмотренного примера найдем соотношение между годовой процентной и учетной ставками, которые обеспечивают через период времени  получение одной и той же наращенной величины  из начального капитала .

Поскольку  и  , то из равенства

путем несложных преобразований получим   и .  В соответствии с этой формулой, процентная ставка, эквивалентная учетной ставке 12% годовых, составит 0,3 или 30%.

Значит, наращенная сумма составит:

млн. грн

.

 Видим, что приращение составляет те же 4,5 млн. грн. Однако, ежегодное наращение будет равномерным и составлять 0,9 млн. грн. в год.

 

 Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

 При заключении финансовых договоров часто приходится решать не только задачи определения наращенной суммы или приведенной стоимости. Кроме этого может возникнуть необходимость в нахождении других параметров, а именно, процентных и учетных ставок или срока финансовой операции.

Если заданы начальный капитал, наращенная сумма и процентная или учетная ставка, то срок ссуды находится по следующей формулам:

или .

 

В этих формулах срок финансовой операции измеряется в годах. Если возникает необходимость определения срока финансовой операции в других единицах времени (например, в днях, что часто бывает при использовании схемы простых процентов), то эти формулы примут соответственно вид:

и .

где    - срок ссуды в днях;

       - количество дней в году.

 

 Пример. Необходимо определить время, за которое первоначальный капитал в 3 тыс. грн. при простых процентах возрастет до 3,6 тыс. грн., если используется:

а) процентная ставка 10% годовых;

б) учетная ставка 15% годовых.

года и  года или примерно 1 год и 40 дней.

 Пример. На какой срок клиент может взять кредит в размере 4 тыс. грн. под простые проценты с условием, чтобы величина возвращаемой суммы не превышала 4,2 тыс. грн., если процентная ставка равна 12% годовых и в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней?

 дня.

 

При оценке эффективности различных финансовых операций зачастую необходимо определить размер необходимой процентной или учетной ставки. Это необходимо в тех случаях, когда при заключении финансового соглашения ставки не заданы в явном виде. В этом случае используются следующие формулы:

или ;

или .

 

 

Пример. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 5,3 тыс. грн. через 90 дней при взятом кредите в 5 тыс. грн. Определить доходность такой сделки для банка в виде годовых процентной и учетной ставок. В данной финансовой операции банком используются обыкновенные проценты.

 или

Пример. Вкладчик хочет положить на депозит 8 тыс. грн. и за 10 месяцев накопить не менее 9 тыс. грн. Определить требуемую простую процентную ставку, на основании которой вкладчик должен выбрать банк для размещения своих средств, если в расчете применяются обыкновенные проценты и приближенное число дней.

или 15% годовых.

Тема 3

Наращение и дисконтирование с использованием    схемы  сложных процентов

Если  инвестиция  сделана  на  условиях сложного процента, то  очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестируемого капитала, а с общей суммы, которая включает также ранее начисленные, но не востребованные инвестором  проценты. В этом случае имеет место капитализация процентов по мере их начисления, так как база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Таким образом, на протяжении срока финансовой операции размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: ;

к концу второго года: ;

и так далее …

к концу  n-го года:                                      

Это равенство называется формулой наращения по сложным процентам; множитель  - множителем наращения сложных процентов;  - коэффициентом наращения.

Согласно формулы сложных процентов приращение капитала составит:  

.

Формула наращения по сложным процентам является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования составлены специальные таблицы для определения  в зависимости от изменения значений r и n. В этом случае формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов трансформируется следующим образом:

где – мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при заданной процентной ставке r.

Рассмотренная формула предполагает, что  измеряется в годах, а является  годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и  процентной ставки. Так, если базовым периодом начисления процентов является квартал (месяц), то и в расчетах должна использоваться квартальная (месячная) ставка.

Как и в случае начисления простых процентов, финансовое соглашение может предусматривать плавающие процентные ставки и при наращении по сложным процентам.

Пусть  - следующие друг за другом временные периоды и на период  установлена процентная ставка  Тогда, учитывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время  определяется по формуле:

Обозначим  тогда формула для определения наращенной стоимости примет вид:     

Таким образом, в течение всего периода финансовой операции можно установить  сложную ставку , приводящую к такому же результату, как и с использованием переменных ставок.

Пример. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 40 тыс. грн. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 15% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,8% и на следующие годы маржа равна 0,9%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

 тыс.грн.

Такая же величина наращенной суммы получится, если в течение 6 лет проценты будут начисляться по средней процентной ставке за весь период финансовой операции.

 или 10,48%.

 тыс. грн.

Достаточно часто заключаются финансовые контракты, продолжительность которых отличается от целого числа лет.

В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих двух методов:

по схеме сложных процентов:

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

где  w - целое число лет;

       f - дробная часть года.

Пример. Банк предоставил ссуду в размере 50 тыс. грн. на 42 мес. под 16% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

         

По схеме сложных процентов:

 тыс. грн

По смешанной схеме:.

 тыс. грн.

Таким образом, в данном случае смешанная схема приводит к большей величине наращенной суммы.

При проведении финансовых операций важно знать, как соотносятся между собой величины сумм, наращенных по схеме простых и схеме сложных процентов.

Для ответа на этот вопрос сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним  и . Очевидно, что при  n=1 эти множители совпадают и равны 1+r. Для любых значений n справедливы следующие неравенства:

1) , если                     

2) , если 

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

При заключении финансовых контрактов зачастую необходимо определить время, которое необходимо для увеличения первоначальной суммы PV в k  раз при заданной доходности r в случае использования схемы простых и схемы сложных процентов:

для простых процентов из равенства  получаем :

для  сложных процентов из равенства  получаем

Из этих формул можно, например, найти период, за который происходит удвоение капитала при заданной процентной ставке. Полагая k=2, соответственно получим:  для простых процентов, и .

В практических расчетах при заключении финансовой сделки для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки процентов при  реализации схемы сложных процентов зачастую пользуются приблизительным расчетом периода времени, необходимого для удвоения инвестируемой суммы. С этой целью используются несколько эмпирических приближенных формул:

«правило 72». Суть правила заключается в том, что, если – r процентная ставка, выраженная в процентах, то n представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Здесь необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что, если в большинстве финансовых расчетов используется процентная ставка, выраженная десятичной дробью, то в алгоритме формулы «правило 72» ставка взята в процентах.

«правило 69». Алгоритмом вычисления удвоенной суммы в данном случае является . Заметим, что, как и в предыдущем правиле, размер процентной ставки выражается в процентах.

При использовании этих правил необходимо помнить, что при их применении речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке. Например, если длительностью финансовой операции является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая процентная ставка.

Пример. Необходимо определить период времени, в течение которого исходный инвестированный капитал удвоится при процентной ставке, равной 17% годовых.

«правило 72» : лет.

«правило 69» :  года.

точная формула:  года.

Как показывает практика, вышерассмотренные правила  хорошо срабатывают для небольших значений процентной ставки, где-то до 20%.

Внутригодовые процентные начисления.

В практике финансовых соглашений часто встречаются ситуации, когда капитализация процентов происходит несколько раз в году – по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. Это может иметь место при заключении депозитных договоров, при  получении банковского кредита, в акционерных обществах при выплате дивидендов и т.п.

В этом случае формула для нахождения наращенного капитала за n лет при m –кратном начислении процентов в год имеет следующий вид:

где  n – количество лет финансовой операции;

      m – количество начислений процентов в год;      

       r – годовая процентная ставка.

 

Пример.

        В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. грн. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых.

 тыс. грн.

 

Пример. В условиях предыдущего примера проанализирвать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально.

 тыс. грн.

Из приведенных примеров можно сделать два простых практических вывода:

  при начислении сложных процентов 12% годовых не эквивалентны 1% в месяц;

  чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше накопленная  сумма.

В зависимости от частоты начисления процентов, наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты начисленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Что же касается темпа прироста накопленной суммы, то с ростом частоты начисления процентов она постепенно уменьшается.

 Пример.

        Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год, если исходная сумма равняется 1000 грн. а годовая процентная ставка 10%.

Частота начисления

Наращенная сумма

Наращение базисное

Наращение цепное

Ежегодное

       1100,00

             -

              -

Полугодовое

       1102,50

          +2,5

           +2,5

Квартальное

       1103,81

          +3,81

           +1,31

Ежемесячное

       1104,71

          +4,71

           +0,90

Ежедневное

       1105,17

          +5,16

           +0,45

 

При заключении финансовых контрактов возможны случаи, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам и продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

схема сложных процентов:

2) по смешанной схеме:              

где:    – годовая процентная ставка;       

-  количество начислений в году;

 - целое число подпериодов в  годах;

–  дробная часть подпериода.

Пример.

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. грн. на 27 месяцев под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

Годовое начисление процентов.

схема сложных процентов:  тыс. грн.

смешанная схема:  тыс. грн.

 Полугодовое начисление процентов. 

 В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Значит, решаем задачу с параметрами:

; ; ;

схема сложных процентов:  тыс. грн.

смешанная схема:  тыс. грн.

 Квартальное начисление процентов.

В этом случае параметры задачи: ; ; , т.е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому обе схемы дают один и тот же результат:

 тыс. грн.

 

Определение срока ссуды и величины процентной ставки при использовании схемы сложных процентов.

Довольно часто в финансовой практике возникает необходимость рассчитать не только сумму денег, получаемую в результате начисления процентов, но и дополнительные параметры, связанные с этими расчетами, а именно: ставку прибыльности, время начисления процентов, количество раз начисления процентов в году.

Эти параметры легко выводятся из соответствующих формул для определения наращенной или приведенной суммы.

Мы помним, что будущая стоимость определяется по следующей формуле:  С помощью логарифмирования получим:

или

Так как разница логарифмов двух чисел равняется логарифму частного от деления этих чисел, получаем формулу для определения срока финансовой операции в случае использования схемы сложных процентов:

.

Пример. За какой период времени сумма в 75 тыс. грн. увеличится до 200 тыс. грн. при начислении процентов по сложной процентной ставке 15% годовых?

 лет или 7 лет и 6 дней.

Если необходимо определить срок финансовой операции при начислении сложных процентов m раз в году, то используется следующая формула:

Пример. За какой период времени первоначальный капитал в 50 тыс. грн. увеличится до 200 тыс. грн. , если на него ежеквартально будут начисляться сложные проценты по ставке 18% годовых?

 года.

Для определения величины процентной ставки воспользуемся формулой наращения по сложным процентам . Преобразуем ее следующим образом: , или , откуда

Если начисление  сложных процентов происходит  раз в году, то для определения величины процентной ставки следует воспользоваться формулой:

Пример. Вкладчик хотел бы в течение 5 лет увеличить свой капитал с 2 тыс. грн. до 7 тыс. грн. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каждые полгода?

 или 26,7%.

Дисконтирование с помощью сложной процентной став   ки.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, обычно исходят из того, является ли это вложение более прибыльным при допустимом уровне риска, чем вложения в государственные ценные бумаги. С этой целью анализируются будущие доходы предпринимателя при минимальном (безопасном) уровне доходности. Основная идея, при этом, заключается в оценке будущих поступлений FV с позиций текущего момента.

При определении объекта финансового вложения инвестор, обычно, руководствуется тем, что:

1) происходит перманентное обесценение денег (действие инфляции);

2) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые предприятием, может существенно отличаться от темпа инфляции;

3) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере, не ниже определенного минимума.

Исходя из сказанного, следует, что инвестор должен оценить, каким будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Для такого анализа используется следующая формула:

,

где FVдоход, планируемый к получению в n – ом году;

PVтекущая (приведенная) стоимость, или оценка величины FV с позиций текущего момента;

r – годовая процентная ставка.

Из приведенной формулы следует, что для инвестора сумма PV в данный момент времени и сумма FV через n лет будут одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, которые ожидаются к поступлению в течение ряда лет.

Поскольку дисконтирование является одним из базовых процессов в финансовых взаимоотношениях, поэтому для определения приведенной стоимости планируемых в будущем доходов используются специальные таблицы, в которых PV определяется в зависимости от заданных значений r и n. В этом случае используется формула:

где:  - дисконтный множитель.

Дисконтный множитель FM2 (r, n) показывает сегодняшнюю цену одной денежной единицы будущего, то есть чему с позиций текущего момента равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса, n периодов спустя от момента отсчета при заданной доходности и чистоте начисления процентов.

Значение дисконтного множителя убывает c сростом величины процентной ставки и длительности финансовой операции. Следовательно, при такого рода изменениях n и r,  величина приведенной стоимости уменьшается.

Если условиями финансовой операции предусмотрено m–кратное начисление процентов, то приведенная стоимость определяется по формуле:

Пример. Из какого капитала можно получить 4 тыс. грн. через 5 лет наращением сложных процентов по ставке 12% годовых, если наращение осуществляется: а) ежегодно; б) ежеквартально?

ежегодное начисление процентов:

                                                тыс. грн.

  ежеквартальное начисление процентов:

 ты. грн.

Выполним по тем же данным расчет с помощью финансовых таблиц:

ежегодное начисление процентов:

тыс. грн.  

ежеквартальное начисление процентов:

    тыс. грн.

Используя ранее рассмотренные формулы можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. В этом случае процентная ставка в дисконтном множителе устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Пример.

Что выгоднее: получить2,8 тыс. грн. через 3 года, или 2,9 тыс. грн. через 4 года, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 10% годовых?

Задача решается с позиции текущего момента.

 тыс. грн. .  тыс. грн.

Значит, с позиции текущего момента выгоднее получить 2,8 тыс. грн. через 3 года, т.к. 2,104 тыс. грн. больше, чем 1,981 тыс. грн.

Использование сложной учетной ставки в процессах наращения и дисконтирования по схеме сложных процентов.

Рассмотрим ситуацию предварительного начисления сложных процентов, т.е. когда сложный процент начисляется в момент заключения финансового соглашения. Такая ситуация может иметь место при покупке дорогостоящих товаров в кредит, или при продаже некоторого финансового инструмента до срока его погашения. В этом случае осуществляется операция дисконтирования и применяется сложная учетная ставка.

Предположим, что некоторое долговое обязательство на сумму FV и сроком погашения через n продается (учитывается) раньше срока с дисконтом по сложной учетной годовой ставке d.

Если долговое обязательство продается за n лет до срока, то продавец получит сумму

где множитель называется дисконтным множителем.

Таким образом, PV представляет собой текущую (современную) стоимость будущего платежа FV. Дисконт равен величине

Пример.

Долговое обязательство на выплату 20 тыс. грн. со сроком погашения 4 года учтено за 2 года до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8% годовых. Найти величину дисконта.

 тыс. грн.   тыс. грн.

Если срок, за который осуществляется дисконтирование, не является целым числом лет, то возможны следующие методы определения стоимости учтенного капитала:

использование сложной учетной ставки:

                                      

использование смешанной схемы:

где wцелое число лет;

      f  -  дробная часть года.

 Пример.

Долговое обязательство на выплату 20 тыс. грн. со сроком погашения 4 года учтено за 27 месяцев до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8% годовых.  Найти величину дисконта.

 тыс. грн.

 тыс. грн.

Если сравнивать между собой дисконтирование по простой и сложной учетным ставкам, то, для лица, осуществляющего предварительное (антисипативное) начисление процентов:

более выгодным является дисконтирование по сложной учетной ставке, если срок учета менее одного года;

более выгодным является дисконтирование по простой учетной ставке, если срок учета превышает один год;

дисконтирование в обоих случаях дает один и тот же результат, если срок учета равен одному году.

Если дисконтирование происходит m раз в году и задана сложная годовая учетная ставка d, то определение стоимости капитала, учтенного за n лет при m–кратном дисконтировании в течение года определяется по формуле:

 Пример.

 Долговое обязательство на выплату 3 тыс. грн. со сроком погашения 5 лет учтено за 2 года до срока. Определить полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное дисконтирование по номинальной учетной ставке 12% годовых.

а)  тыс. грн.

б)  тыс. грн.

Если антисипативное начисление процентов (или дисконтирование) осуществляется по внутригодовым подпериодам, но общий период не равен целому числу подпериодов, то для этой цели используются следующие формулы:

  или  

Пример.

Определить современное значение суммы в 4 тыс. грн., если они будут выплачены через 2 года и 3 месяца и дисконтирование производилось по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 10%.

Полагаем n = 2,25, m = 2, w = 2*2,25 = 4,5 = 4, f  = 4,5 – 4 = 0,5.

 тыс. грн. тыс.грн.

 Если необходимо определить время до срока погашения долгового обязательства, то используются следующие формулы:

или, если m=1  

 Пример.

За долговое обязательство в 30 тыс. грн. банком было выплачено 20 тыс. грн. За какое врямя до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась годовая сложная учетная ставка 8%?

года

Если необходимо определить величину номинальной учетной ставки при известных значениях остальных параметров финансовой операции, то необходимо пользоваться формулами:

 , или, если m=1   

Пример.

Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен вексель?

Поскольку PV = 0,8FV, то     или 13,82%.

Часто встречаются ситуации, когда условиями контракта предусматриваются плавающие учетные ставки.

Пусть на периоды времени  установлены сложные учетные ставки соответственно . Тогда при наращении сложными процентами итоговая сумма за время (если все периоды времени измеряются в одних единицах) определяется по формуле:

.

Обозначим , тогда формула для определения наращенной суммы примет вид: .

Таким образом, на все время можно установить вместо плавающих учетных ставок среднюю учетную ставку, которая обеспечит такой же результат.

Вышеприведенной формулой можно пользоваться и в случае, когда периоды времени выражены в различных единицах при условии согласования их размерностей с размерностями соответствующих учетных ставок.

 Пример.

Вклад в размере 1000 грн. положен в банк сроком на 7 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей учетной ставке: в первые два года – 8%, в последующие 4 года – 12%, а в оставшийся год – 15%. Найти наращенную сумму.

                        грн.

Эффективная годовая процентная ставка.

Различные виды финансовых контрактов могут предусматривать различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах обычно оговаривается номинальная процентная ставка, которая не принимает во внимание изменение стоимости денег в связи с инфляцией.

Номинальная процентная ставка имеет следующие недостатки:

1) она не отражает реальной эффективности сделки;

2) в связи с этим она не может быть использована для сопоставления эффективности различных инвестиционных проектов.

Поэтому, для обеспечения сравнительного анализа эффективности таких контрактов применяется другой показатель, который является универсальным для любой схемы начисления процентов.

Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка , которая обеспечивает переход от PV к FV при заданной годовой процентной ставке и однократным начислением процентов.

Общая постановка задачи формулируется следующим образом.

Задана исходная сумма PV, номинальная процентная ставка r и количество начислений сложных процентов m.

Естественно, что этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение будущей стоимости FV.

Требуется найти такую годовую ставку , которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при m = 1. Т.е. обе схемы должны быть равносильными.

В рамках одного года  

Из определения годовой эффективной ставки вытекает, что:

, откуда  .

Разделив обе части равенства на PV получим:

. Откуда .

Из полученной формулы видно, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку. Эти две ставки совпадают при  m = 1. Именно годовая эффективная процентная ставка является критерием эффективности финансовых операций и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Пример.

Предприниматель может получить ссуду на следующих условиях:

а) либо исходя из ежемесячного начисления процентов по номинальной процентной ставке 26% годовых;

б) либо исходя из полугодового начисления из расчета 27% годовых.

Какой вариант предпочтительнее?

а)

б)

 

Так как эффективная годовая процентная ставка характеризует относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды, то вариант б) для предпринимателя более предпочтителен. Необходимо также отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная процентная ставка.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно  важно для финансового менеджера. Дело  в том, что принятие решения о привлечении средств, например банковской ссуды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предполагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Пример.

Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 10%.

M

1

2

4

12

365

0,10

0,1025

0,10381

0,10471

0,10516

Различие между двумя ставками может быть гораздо более может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных кредитных договоров, например, при оформлении кредита на условиях добавленного процента.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать – эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку. В европейских странах, как правило, вначале определяется эффективная ставка, а затем используется формула .

Если в контракте указаны эффективная ставка и количество начислений сложных процентов, а необходимо найти номинальную ставку, то используется формула:

.

Пример.

Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

.

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% годовых дает какой же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%.

Если две номинальные годовые процентные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку, то они называются эквивалентными.

 Пример.

 Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные ставки с начислениями по полугодиям и ежеквартально, если соответствующая им эффективная ставка равна 20%?

для полугодового начисления ;

для ежеквартального начисления .

Таким образом, номинальные ставки 19,09% и 18,65% являются эквивалентными.

Мы рассмотрели наиболее стандартный и широко распространенный подход к понятию эффективной ставки.

Однако, возможны и другие подходы, которые вытекают из разнообразия финансовых соглашений. Например, вполне реальна ситуация, когда условия начисления процентов меняются: в частности, после схемы сложных процентов начиная с какого то момента времени начинают использовать схему простых процентов без прерывания действия контракта. Для анализа таких ситуаций может быть предложен следующий подход к нахождению эффективной процентной ставки. Пусть известна первоначальная сумма PV и наращенная каким либо образом  за время n  сумма FV. Тогда по определению:

и поэтому .

 Пример.

В долг на 2,5 года предоставлена сумма в 30 тыс. грн. с условием возврата 40 тыс. грн. Найти эффективную ставку в этой финансовой сделке.

или 12,196%.

Проверим полученный результат. Предположим в банк помещен вклад в размере 30 тыс. грн. на 2,5 года под 12,196% годовых сложных процентов. Тогда наращенная сумма будет равна:

 тыс. грн.

Как и в случае процентной ставки можно также определить эффективную годовую учетную ставку . Она обеспечивает переход от к при заданных значениях этих параметров и однократном дисконтировании в течение года.

Поскольку согласно определению в рамках одного года

, то после соответствующих преобразований получим: .

Из приведенной формулы следует, что с ростом количества начислений величина годовой учетной ставки уменьшается.

Зная годовую учетную ставку можно определить коэффициент дисконтирования: .

Используя  можно определить эквивалентные номинальные учетные ставки.

Эффективную годовую учетную ставку можно определить иначе, если известна величина , и дисконтированная каким-либо образом за время   сумма .

В этом случае , откуда .

 Пример.

Долговое обязательство равное 5 тыс. грн.  со сроком погашения 4 года было сразу же учтено в банке и владелец обязательства получил 4,2  тыс. грн.

Найти эффективную годовую учетную ставку.

Тема 4

Финансовые потоки и их анализ

Одной из базовых концепций теории финансов является концепция денежных потоков.

Денежные потоки – это кровеносная система деятельности любого предприятия любой формы собственности.

В результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов образуется денежный поток с элементами   которые генерируются через временные интервалы

При рассмотрении денежных потоков мы будем исходить из следующих допущений:

1) элементы денежного потока могут быть либо независимыми, либо связанными между собой  определенным алгоритмом;

2) элементы денежного потока будем считать однонаправленными;

3) элементы денежного потока могут иметь место либо в начале, либо конце временного периода т.е. не рассредоточены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ;

Если элементы денежного потока сконцентрированы в его начале, то такой поток называется потоком пренумерандо. Если элементы денежного потока имеют место в конце временного периода, то такой денежный поток называется потоком постнумерандо.

4) временные периоды между отдельными элементами денежного потока чаще всего принимаются равными.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного года.

Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они, естественно, распределены во времени неравномерно и поэтому удобнее условно отнести их к концу временного периода.

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

1) т. н. прямая задача – предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость;

2) т.н. обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

При рассмотрении денежных потоков ключевым моментом является предпосылка по умолчанию о том, что анализ денежных потоков проводится с позиции т.н. «разумного инвестора».

Именно этим и объясняется тот факт, что при оценке будущих потоков как при реализации процессов наращения, так и при реализации процессов дисконтирования предполагается только капитализация ранее начисленных, но не востребованных процентов.

Аннуитет.

Одним из ключевых понятий в финансовых расчетах является понятие аннуитета.

Аннуитет – это частный случай денежного потока, а именно – это такой денежный поток, у которого длительность всех периодов равны между собой. Аннуитет в финансовой литературе часто называют финансовой рентой или просто рентой.

Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (ренты).

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным.

Если в течение каждого базового периода начисления процентов на денежные поступления происходит р раз, то аннуитет называют р-срочным.

Как и в общем случае оценки денежных потоков применительно к аннуитетам выделяют два типа аннуитетов: пренумерандо и постнумерандо.

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода.

В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Переменный аннуитет постнумерандо.

Ситуация, когда денежные поступления по периодам варьируют, является наиболее распространенной. В этом случае аннуитет называется переменным.

В этом случае общая постановка задачи такова.

Пусть  - аннуитет, период которого совпадает с базовым периодом начисления процентов по ставке . Требуется оценить стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции настоящего (т.е. решить прямую и обратную задачу оценки денежного потока).

Прямая задача предполагает оценку денежного потока с позиции будущего, т.е. когда реализуется схема наращения. Для переменного аннуитета постнумерандо эта схема имеет следующий вид  (см. рис.).

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Формула для определения будущей стоимости переменного аннуитета постнумерандо:

.

Если для определения будущей стоимости переменного аннуитета постнумерандо использовать финансовые таблицы, то формула принимает следующий вид:

.

 Обратная задача подразумевает оценку денежного потока с позиции текущего момента, т.е. на момент начала первого периода. В этом случае реализуется задача дисконтирования и суммирование проводится по дисконтированному денежному потоку. В этом случае приведенный денежный поток исходного потока постнумерандо имеет вид:

.

Приведенная стоимость  переменного аннуитета постнумерандо определяется по формуле:

Если пользоваться финансовыми таблицами, то вышеприведенная формула примет вид:

.

 Пример.

Рассчитать приведенную стоимость переменного аннуитета постнумерандо (тыс. грн.): 12, 15, 9, 25, если заданная процентная ставка составляет 12% и период равен одному году.

  Год

Денежный поток,          тыс. грн.

Дисконтный множитель при r= 12%

Приведенный поток, тыс. грн.

    1

                12

               0,8929

              10,71

    2

                15

               0,7972

              11,96

    3

                  9

               0,7118

                 6,41

    4

                25

               0,6355

               15,89

                            61                                                                      44,97

Переменный аннуитет пренумерандо.

Логика оценки переменного аннуитета пренумерандо аналогична ранее рассмотренной задачи. Некоторое расхождение в расчетных формулах объясняется тем, что элементы денежного потока сдвигаются к началу соответствующего временного интервала.

Для прямой задачи наращенный денежный поток имеет вид:

                                    .   

Будущая стоимость исходного переменного аннуитета пренумерандо может быть рассчитана по следующей формуле:

.

Между денежными потоками пренумерандо и постнумерандо имеет место следующая зависимость:

.

Для обратной задачи оценки переменного аннуитета постнумерандо приведенный денежный поток имеет вид:

                                           

Приведенная стоимость переменного аннуитета пренумерандо может быть рассчитана по формуле:

.

Как и в случае с будущей стоимостью .

 Постоянный аннуитет постнумерандо.

Аннуитет называется  постоянным, если все денежные поступления равны между собой. В этом случае .

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться ранее рассмотренными вычислительными формулами. Однако, благодаря специфике постоянных аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Прямая задача оценки срочного постоянного аннуитета постнумерандо при заданных величинах регулярного денежного поступления А и процентной ставке r  предполагает оценку будущей стоимости аннуитета .

Как следует из логики, присущей схеме постоянного аннуитета постнумерандо, записанный в порядке поступления платеже наращенный денежный поток имеет вид:

.

Откуда формулы для определения будущей стоимости принимают следующий вид:

или

Входящий в формулу множитель  называется коэффициентом наращения ренты (аннуитета) и представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии с знаменателем 1+r.

Таким образом, .

Откуда .

Экономический смысл множителя  заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного постоянного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия.

При этом предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано только по окончании срока действия аннуитета.

Величина факторного множителя зависит от величины процентной ставки м срока действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина множителя возрастает.

Значения факторного множителя для различных сочетаний процентной ставки и длительности периода табулированы и представлены в финансовых таблицах.

Факторный множитель  показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А.

В этой связи его называют также коэффициентом аккумуляции вкладов.

 

Пример.

Вам предлагается сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) по 10 тыс. грн. в конце каждого года; б) 35 тыс. грн. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант предпочтительнее, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

 тыс. грн.

 

Таким образом, расчет показывает, что вариант а) выгоднее.

Нами рассмотрен наиболее общий вариант постановки задачи, когда денежные поступления имеют место один раз в конце периода и сложные проценты начисляются один раз за период.

Так как логика срочных постоянных аннуитетов довольно часто встречается в финансовых контрактах, есть необходимость рассмотреть и другие возможные варианты финансовых условий, а именно: денежные поступления могут иметь место несколько раз за период, начисление процентов может проводиться не только ежегодно, но и несколько раз на год, может использоваться  не только схема сложных, но и схема простых процентов и пр.

 

Постоянный аннуитет постнумерандо с начислением процентов  m – раз за период.

Если r является процентной ставкой за базовый период, а начисление сложных процентов происходит m  раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления, имеет вид:

.

Другими словами, мы получили геометрическую прогрессию, первый член которой равен А и знаменатель которой - .  Следовательно, сумма первых n членов этой прогрессии будет равна:

Другой очень важной ситуацией, которая часто встречается в финансовых операциях, является ситуация, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода.

В рамках этой ситуации возможно решение двух задач:

1) используется для начисления схема сложных процентов;

2) используется схема простых процентов.

Рассмотрим первую из них.

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят p раз и один раз в конце периода начисляются сложные проценты в соответствии с ставкой r.

На последнее поступление проценты не начисляются и оно остается равным А. На предпоследнее р – 1 поступление начисляются сложные проценты за часть периода  1/р и оно будет равно . На  р – 2 поступление начисляются сложные проценты на часть периода 2/р и оно будет равно  и т.д. до первого денежного поступления включительно, которое будет равно . Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем  и числом членов, равным р.

Поэтому будущая стоимость такого аннуитета будет определяться из выражения:

, или .

Поскольку , значения  в финансовых таблицах как правило не приводятся. Поэтому для расчета коэффициента наращения такого аннуитета пользуются формулой: .

Рассмотрим вторую задачу, полагающую, что на отдельные взносы, поступающие в течение периода, происходит начисление простых процентов. Для этого определим сумму, которая накопится к концу любого периода.

Как и в предыдущем случае на последнее р-е поступление денежных средств проценты не начисляются и оно остается равным А.

На предпоследнее поступление за период р – 1 начисляются простые проценты за 1/р - часть периода и оно будет равно

Аналогичным образом предшествующее (р –2) – е поступление станет равным  и т.д. Наконец, первое поступление будет равняться .

Полученные величины образуют арифметическую прогрессию (разность равна; число членов р), следовательно сумма членов такой прогрессии будет равна:

Таким образом, имеем дело с аннуитетом, в котором денежные поступления в каждом периоде равны величине .

Для определения будущей стоимости такого аннуитета используется формула: .

Рассмотрим самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления происходят р  раз и проценты начисляются m  за период. Здесь возможны две ситуации: либо начисляются простые проценты, либо  - сложные.

Если происходит начисление только сложных процентов, то, как и ранее, определяем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода.

Последнее поступление в периоде остается равным А, т.к. на него не производится начисление процентов. Предпоследнее поступление после начисления сложных процентов составит  Предшествующее ему  поступление - и т. д. вплоть до первого, которое станет равным  Сумма полученных величин составит:

Будущая стоимость аннуитета с денежными поступлениями, равными полученной сумме, определяется по формуле:

Пример.

Вам предлагается сдать в аренду участок с арендной платой в размере 5 тыс. грн. в конце каждого полугодия. При этом возможно начисление процентов: а) ежегодное; б) полугодовое; в) ежеквартальное.

Какой из вариантов предпочтительнее?

а) ежегодное начисление процентов.

Возможно либо начисление сложных, либо простых процентов.

Будущая стоимость аннуитета при начислении сложных процентов:

тыс. грн.

Если в течение года начисляются простые процента, то будущая стоимость аннуитета составит:

 тыс. грн.

б) начисление процентов по полугодиям:

 тыс. грн.

в) ежеквартальное начисление процентов:

 тыс. грн.

Обратная задача оценки постоянного срочного

аннуитета постнумерандо.

В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, входящие в аннуитет.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из ранее выведенной основной формулы и имеет вид:

Множитель  называется коэффициентом дисконтирования ренты и как сумма членов геометрической прогрессии равен величине:

.

Экономический смысл дисконтного множителя  заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярным денежным поступлением в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r. Значения этого множителя табулированы в финансовых таблицах.

Дисконтный множитель  можно интерпретировать и как величину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку r, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение  n периодов.

Из ранее выведенной формулы для определения множителя  следует, что при возрастании процентной ставки величина множителя уменьшается и, таким образом, уменьшается величина приведенной стоимости.

В случае рассмотрения только сложных процентов формулы для нахождения приведенных стоимостей аннуитетов аналогичны формулам для нахождения наращенных сумм. Получающиеся при этом денежные потоки будут представлять собой геометрические прогрессии, знаменателями которых будут соответствующие дисконтные множители.

Так, для  постоянного аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов m раз за базовый период приведенный денежный поток имеет вид:

Следовательно, приведенная стоимость такого аннуитета будет равна:

Для р-срочных аннуитетов с начислением сложных процентов соответственно один раз за базовый период и m раз за базовый период аналогичным образом можем получить следующие формулы для определения приведенной стоимости:

              

Пример.

Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 20 тыс. грн. в конце каждого полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых.

Необходимо найти приведенную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если проценты будут начисляться: а) раз в полгода; б) ежемесячно.

а) полугодовое начисление процентов:

n = 4, r = 12%, m = 2, p = 2.

тыс. грн.

б) ежемесячное начисление процентов:

n = 4, r = 12%, m = 12, p = 2.

 тыс. грн.

Отсроченный аннуитет постнумерандо.

В практике финансовых операций имеют место соглашения, когда первый из потока платежей начинает поступать не сразу, а через h периодов.

Предположим, что платежи поступают в течение периодов и сложные проценты по ставке начисляются один раз в конце базового периода, совпадающего с периодом аннуитета.

Стоимость этого аннуитета на начало периода, когда поступает первый платеж, находится по формуле  и затем, осуществляя учет полученной величины за периодов, определяем приведенную стоимость отсроченного аннуитета на начальный момент времени.

Для этой цели используется следующая формула:

Из приведенной формулы видно, что приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов с платежами, начиная с первого периода.

Пример.

Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой 100 грн. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной. По какой цене можно приобрести такую ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 2 года; в) через 3,5 года, а процентная ставка равна 2, 4, 12% годовых.

а) вариант немедленного начала выплат.

n = 10*4 = 40, r = 2%:4 = 0,5%.

 грн.

б) вариант начала выплат через 2 года.

N = 40, r = 4% : 4 = 1%, h = 2*4 = 8.

        грн.

в) вариант начала выплат через 3,5 года.

n = 40, r = 12% : 4 = 3%, h = 3,5 *4 = 14.

        грн.

Из рассмотренного примера видно, что с ростом процентной ставки и срока, после которого начнутся выплаты, приведенная стоимость аннуитета уменьшается. Так, если выплаты начнутся через 3,5 года и процентная ставка составит 12% годовых, то указанную ренту можно приобретать за 1528,15 грн. или, естественно, дешевле. В то же время приведенная стоимость ренты с отсрочкой выплаты на 2 года и при процентной ставке 4% годовых составляет вдвое больше – 3032,23 грн.

Как следует из формулы для определения будущей стоимости аннуитета постнумерандо в самом общем виде

для нахождения будущей стоимости необходимо, чтобы были заданы значения следующих параметров: A, r, n, m, p. Однако, при заключении некоторого контракта уже заранее может быть задана будущая стоимость аннуитета, а необходимо определить, например, величину разовых денежных поступлений А. В этом случае при заданных значениях остальных параметров, величина разового денежного поступления может быть определена по формуле:

Если известна приведенная стоимость и остальные параметры, а необходимо найти величину разового платежа, то используется формула:

Величину разового платежа можно определить иначе. Мы помним, что  Значит, , откуда с помощью несложных преобразований, получим:

Аналогичным образом можно получить формулу для определения величины разового платежа (или поступления), если имеет место аннуитет постнумерандо и задана его приведенная стоимость. В этом случае формула имеет вид:

Пример.

Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию в 65 лет фирма обязуется перечислять в конце каждого года в течение 20 лет на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию ежегодные дополнительные выплаты в 6000 тыс. грн. в течение 15 лет.

Какую сумму каждый год должна перечислять фирма, если работнику 45 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 10% годовых?

 грн.

 грн.

Зачастую при заключении финансовых контрактов имеют место случаи, когда заданы все остальные параметры, а необходимо определить срок действия аннуитета. В этом случае исходим из базовой формулы будущей стоимости аннуитета:  

Из этой формулы путем несложных преобразований получим:

Если решается обратная задача оценки срочного аннуитета постнумерандо и необходимо определить срок действия такого аннуитета, то в этом случае применяется формула:

Пример.

Предприятие хочет создать фонд в размере 200 тыс. грн. С этой целью в конце каждого года предприятие предполагает втосить по 50 тыс. грн. в банк под 18% годовых.

Найти срок, необходимый для создания фонда.

 года

Если известны все параметры аннуитета кроме величины процентной ставки, то в этом случае используется метод линейной интерполяции, так как непосредственно из ранее приведенных формул величину процентной ставки определить нельзя.

Рассмотрим метод линейной интерполяции на конкретном примере.

Пример.

В течение 4-х лет предполагается создать резервный фонд в размере 20 тыс. грн., для чего будут производиться ежегодные взносы в банк в размере 4 тыс. грн.

Необходимо определить размер процентной ставки при условии, что взносы и начисление на них процентов производится в конце года.

Прежде всего определим коэффициент наращения ренты, который равняется : .

По финансовым таблицам находим ближайшие значения факторного множителя:  и .

Для расчета  процентной ставки по методу линейной интерполяции используется формула:

где  нижнее и верхнее значение предполагаемой процентной

       ставки;

      значения коэффициентов наращения при использовании процентных ставок  и .

Для условий нашего примера значение процентной ставки, обеспечивающей за указанный срок создание резервного фонда в заданном объеме рассчитывается по формуле:

 или 15,09%.

Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для наращенных сумм аннуитета пренумерандо легко можно вывести из ранее рассмотренных формул для аннуитета постнумерандо.

Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо только количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями А и процентной ставкой r , наращенный денежный поток имеет вид:

Следовательно, будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть определена по формуле:

Т.е. наращенная стоимость аннуитета пренумерандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом можно получить формулы для определения будущей стоимости аннуитета пренумерандо с начислением процентов  m раз в течение базового периода и для р-срочных аннуитетов:

         

Несколько иной будет ситуация в р-срочном аннуитете пренумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты.

В отличие от аннуитета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос «действует» еще 1/р –ю часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину .

Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р , доставят величину

Таким образом, на последнее р-е поступление начисляются простые проценты за часть периода, равную 1/р , и оно будет равно  предпоследнее (р – 1)-е поступление станет равным  и т.д. вплоть до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметическую прогрессию, равна:

Таким  образом, будущая стоимость аннуитета пренумерандо будет равняться:

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей пренумерандо имеют вид, аналогичный ранее полученным для аннуитета постнумерандо:

 Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке – постнумерандо или пренумерандо. Содержание таблиц инвариантно к этому фактору. Однако, при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.

 

Пример.

 Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. грн. Банк платит 20% годовых.

Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

 тыс. грн.

 

Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим это на  следующем примере.

Пример.

Вам предложено инвестировать 100 тыс. грн. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями ежегодно по 20 тыс. грн. По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. грн.

Следует ли принимать это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Наращенная сумма депонирования:

 тыс. грн.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. грн. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. В этом случае денежный поток можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с параметрами: А= 20,

n = 5, r = 20% и единовременное получение 30 тыс. грн. в конце периода:

 тыс. грн.

б) как срочный аннуитет пренумерандо с параметрами: А = 20,

n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 30 и 20 тыс. грн. в конце финансовой операции:

 тыс. грн.

Таким образом, предложение экономически нецелесообразно.

Бессрочный аннуитет.

Аннуитет считается бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что . Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли – выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.

Определение будущей стоимости бессрочного аннуитета, естественно, не имеет смысла. Что же касается обратной задачи (определение приведенной стоимости), то она имеет вполне определенное решение.

Поток платежей в постоянном бессрочном аннитете при одном денежном поступлении А за период, являющися базовым для начисления процентов по ставке r, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом  и знаменателем . Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула для определения приведенной стоимости имеет вид:

где

Приведенная формула показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это вполне понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят, а при высокой инфляции и ничего не стоят. Эта же ситуация проявляется и при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов с большим сроком Для сравнения приведем в таблице значения  FM4(r,n) при r = 10%.

Cрок аннуитета

    40

     50

    60

    70

    90

   ∞

FM4(r = 10%,n)

 9,7791

  9,9148

 9,9672

 9,9873

9,9981

  10

Из приведенной таблицы видно, что при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.

Кроме того,  с ростом процентной ставки величина срока, начиная с которого величина факторного множителя FM4(r,n) перестают сильно отличаться друг от друга, уменьшается. Например, при r = 15% такой срок равняется 40 годам. Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета, при этом полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается гарантированная процентная ставка, например, предлагаемая государственным банком.

Пример.

Необходимо определить текущую стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. грн., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.

 тыс. грн.

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 30 тыс. грн., то инвестирование в него будет представлять выгодную для инвестора операцию.

С помощью вышеприведенной формулы можно определить истинную стоимость обыкновенной акции в том случае, когда выплачиваются одинаковые дивиденды (равные А) в течение всего времени финансовой операции. При этом предположении темп ростов дивидендов равен нулю и соответствующая модель называется моделью нулевого роста.

Такая ситуация в определенном смысле свойственна  привилегированным акциям высокого качества, выплаты дивидендов по которым  одинаковы, регулярны  и не зависят от величины прибыли на одну акцию, а время обращения привилегированных акций не ограничено.

Пример.

Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 6 тыс. грн. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени.

Имеет ли смысл покупать акции этой компании в течение неопределенно долгого времени по цене 35 тыс. грн., если можно поместить деньги на депозит под 15% годовых?

Из формулы  тыс. грн. следует, что истинная стоимость акции составляет 40 тыс. грн. Следовательно, это предложение может быть принято и акции компании можно приобретать.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями р раз за базовый период и начислением сложных процентов m - раз за период может быть получена из следующей формулы:

Пример.

Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам.

Необходимо определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 8 тыс. грн., если банк начисляет:

а) ежегодно сложные проценты по ставке 16%;

б) ежеквартально сложные проценты по ставке 14%;

в) непрерывные проценты с силой роста 13,5%.

Во всех трех случаях денежный поток является бессрочным аннуитетом постнумерандо. Необходимо найти  приведенную стоимость такого аннуитета.

а)  тыс. грн.

        б)  тыс. грн.

в)  тыс. грн.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо по следующей формуле:

Следовательно, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для аннуитета  постнумерандо на величину первого платежа.

 

Непрерывный аннуитет.

Предположим, что в течение каждого периода времени денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины.

В этом случае аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.

Соотношения, характеризующие непрерывный аннуитет, можно вывести из формул для р-срочного  аннуитета, переходя в них к пределу при  и несколько модифицируя величину члена аннуитета.

Ясно, что непрерывно не может поступать величина А, так как через любой малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма денег.

Пусть в конце каждого периода р-срочного аннуитета суммарная величина денежных поступлений составит , тогда каждое поступление будет равняться  и ранее рассмотренная формула  может быть использована для оценки будущей стоимости непрерывного аннуитета:

 

 Приведенная стоимость непрерывного аннуитета рассчитывается по формуле:

 

 Пример.

В течение 6 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя 40 тыс. грн.

Определить сумму, накопленную к концу шестого года при использовании процентной ставки 12% годовых.

Считая, что платежи поступают непрерывным образом, рассчитаем будущую стоимость непрерывного аннуитета:

 тыс. грн.

Эта же задача может быть решена иначе, если примем р = 360, а  А = 40/360:

 тыс. грн.

Выполнив расчет видим, что результаты вычислений по двум формулам привели практически к одинаковому результату.

Если проценты начисляются раз за период, то пользуются формулой:

Аннуитет с изменяющейся величиной платежа.

 На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. Например, при заключении договора аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое  увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Или другой пример, когда величина амортизационных отчислений может меняться  в связи с изменением количества и стоимости основных фондов.

В таких ситуациях поток платежей представляет собой переменный аннуитет (переменную ренту) и для определения будущей или приведенной стоимости необходимо пользоваться ранее рассмотренными формулами для переменного аннуитета. Однако, когда члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами, эти формулы существенно могут быть упрощены.

Предположим, что имеется аннуитет постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию с первым членом А и разностью z.

В этом случае говорят о переменном аннуитете с постоянным абсолютным изменением его членов. Если число периодов равно n, а r является процентной ставкой за базовый период, в соответствии с которой один раз в конце периода начисляются сложные проценты и период аннуитета совпадает с базовым, то наращенный денежный поток, записанный в порядке поступления платежей имеет вид:

Если z >0, то члены аннуитета возрастают. Если z <0, члены аннуитета убывают и число этих членов должно удовлетворять равенству n < 1 – A/z, иначе можно получить отрицательные платежи, что лишено смысла.

Сложив наращенные члены аннуитета и сгруппировав отдельно слагаемые, содержащие множители А и z, получим:

 Из этого выражения с помощью определенных преобразований получаем формулы для определения будущей и приведенной стоимости такого аннуитета:

    

 Пример.

Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 6 лет в конце года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 5 тыс. грн., а каждая последующая будет увеличиваться на 0,4 тыс. грн.

Необходимо оценить аннуитет, если банк применяет процентную ставку 10% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года.

Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,4 тыс. грн.?

а) для условия возрастания членов аннуитета:

 тыс.грн.

 тыс. грн.

б) для условия уменьшения членов аннуитета:

 тыс. грн.

 тыс. грн.

Для оценки аннуитетов пренумерандо используются следующие формулы:

    

Аналогичным образом можно получить оценки аннуитета для других ситуаций, например, для случая, если в указанных выше условиях начисление сложных процентов происходит раз за базовый период:

Пример.

В условиях предыдущего примера определить будущую стоимость аннуитета, если начисление сложных процентов происходит в конце каждого полугодия.

 тыс.грн.

Из формул для определения будущей и приведенной стоимости аннуитета можно определить величину аннуитета А и разность z:

  

Что касается процентной ставки и продолжительности аннуитета, то формулы для их определения в явном виде не могут быть получены. Поэтому для определения этих параметров используются приближенные методы.

Пример.

За 10 лет необходимо накопить 60 тыс. грн. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 300 грн. и процентная ставка равна 15% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года.

Определить, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2,5 тыс. грн.?

                           тыс.грн.        

                            тыс. грн.

Предположим, что платежи в аннуитете образуют геометрическую прогрессию с первым членом А и знаменателем q.

 В этом случае  имеет место переменный аннуитет с постоянным относительным изменением его членов.

Если r является процентной ставкой за базовый периолд, совпадающий с периодом аннуитета, n равно числу периодов и в конце каждого периода начисляются сложные проценты, то наращенный денежный поток имеет вид:

Представленная последовательность чисел представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом  и знаменателем . Поэтому будущая стоимость такого аннуитета будет равна:

Приведенная стоимость аннуитета определяется по формуле:

Пример.

По условиям контракта на счет в банке поступают в течение 5 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 3 тыс. грн., а каждый следующий год по отношению к предыдущему увеличивается на 15%

Необходимо оценить такой аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из расчета 12% годовых.

Увеличение платежа на 15% означает его рост в1,15 раза, т.е. поток платежей образует геометрическую прогрессию с знаменателем q =1,15.

 тыс. грн.

 тыс. грн.

Используя вышеприведенные формулы для расчета будущей и приведенной стоимости аннуитета можно напистаь в явном виде формулы для определения только величины аннуитета:

   

Что касается знаменателя геометрической прогрессии, процентной ставки и продолжительности аннуитета, то эти параметры могут быть определены только с помощью приближенных методов.

Если же члены переменного аннуитета не образуют ни арифметическую, ни геометрическую прогрессию, то, тем не менее, во многих случаях оценка таких аннуитетов может быть выполнена с помощью финансовых таблиц. Рассмотрим технику подобных вычислений на следующем примере.

Пример.

Садовый участок сдается в аренду на 10 лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые шесть лет – по 10 тыс. грн., а в оставшиеся четыре года – по 11 тыс. грн.

Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15%.

Решать данную задачу можно различными способами, в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком.

Ествественн, приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временного интервала.

Рассмотрим два возможных варианта. Оба варианта основываются на свойстве аддитивности рассмотренных алгоритмов в отношении величины аннуитетного платежа.

1) Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А = 10 тыс. грн. и продолжается 10 лет, второй имеет А = 1 тыс. грн. и продолжается четыре года.

По формуле  оцениваем приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала седьмого года. Поэтоому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы  к началу первого года. В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока:

 тыс. грн.

2) Исходный поток можно представить как разность двух аннуитетов: первый имеет А = 11 тыс. грн. и продолжается десять лет; второй имеет А = 1 тыс. грн. и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом. В этом случае расчет выглядит так:

 тыс. грн.

Аннуитеты с периодом,  большим, чем базовый.

Ранее были рассмотрены аннуитеты, периоды которых не превосходили базовые периоды начисления процентов. В частности, мы говлрили, что если базовый период равен году, то период аннуитета не превышал одного года. Однако, в финансовых операциях бывают случаи срочных аннуитетов, у которых  их период больше года. Предположим, речь идет о срочном аннуитете с денеежными поступлениями каждые два года.

Предположим есть постоянный аннуитет постнумерандо, денежные поступления которого каждое в размере А происходят в течение n периодов, являющихся базовым для начисления процентов по ставке r. Причем денежные поступления происходят каждые  u периодов, а начисление сложных процентов – в конце каждого периода. Оценим будущую стоимость аннуитета.

Последнее  поступление равняется А. На предпоследнее  поступление начисляются сложные проценты за u  периодов и оно будет равно . На  поступление начисляютя сложные проценты за 2u периодов и оно будет равно  и т.д. до первого включительно, которое равняется

Полученные величины образуют геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем  и числом членов, равным u. Поэтому сумма этих величин будет равна:

 

 Пример.

Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 10 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать 1,4 тыс. грн.

Требуется определить наращенную к концу действия контракта сумму, если на денежные поступления будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 12% годовых.

В соответствии с контрактом денежные суммы образуют аннуитет длительностью 10 лет и периодом 2 года. Т.о. период аннуитета больше базового периода начисления процентов.

 тыс. грн.

Если начисление сложных процентов происходит раз m в течение этого периода, то для нахождения будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:

Пример.

Фирма решила образовать фонд для обеспечения будущих расходов, связанных с реконструкцией производства. С этой целью в конце каждых трех лет фирма перечисляет в банк 8 тыс. грн.

Какая сумма будет на счете фирмы через 15 лет, если на поступающие суммы будут ежеквартально начисляться сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 16%?

 тыс. грн.

Если начисление сложных процентов происходит раз за базовый период и необходимо найти приведенную стоимость будущих поступлений то используется формула:

Откуда:

 Пример.

 Определить сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 8 лет в конце каждого двухлетнего периода иметь возможность снимать со счета 3 тыс. грн., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся  на счете денежные суммы будут начисляться каждые полгода сложные проценты по ставке 12% годовых.

 тыс. грн.

Формулы для оценок аннуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценки аннуитета постнумерандо:

     и     

Тема 5. Учет инфляции в финансовых расчетах.

 Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют, чтобы они учитывались при выполнении финансовых расчетов и определении условий финансовых операций.

 Инфляция определяется как процесс, характеризующийся повышением общего уровня цен в экономике или, что практически эквивалентно, снижением покупательной способности денег. При этом инфляция может проявляться двояко:

  1.  в переполнении сферы обращения бумажными деньгами вследствие их чрезвычайного выпуска;
  2.  в сокращении товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег.

Во время инфляции цены на потребительские товары растут быстрее, чем увеличиваются номинальная заработная плата и доходы членов общества, что приводит к негативным последствиям  в виде падения реальных доходов населения и его обнищанию, анархии производства и т.д.

Основополагающим сущностным признаком инфляции является рост цен в среднем. При этом речь идет не об увеличении цены какого-то отдельного товара или группы товаров, а об увеличении усредненной цены всей номенклатуры (корзины) товаров и услуг, которые выбраны в качестве базы выявления уровня инфляции. Вполне понятно, что в зависимости от состава выбранных товаров количественное выражение ее уровня будет различным.

Темпы инфляции определяются с помощью системы индексов цен – относительных показателей, характеризующих среднее изменение уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за выбранный период времени.

Пусть выбран определенный набор товаров и услуг и пусть за время   его стоимость изменилась от суммы   до суммы . Индексом цен (индексом инфляции) за время  называется величина .

Индекс цен показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый промежуток времени. Индекс цен является безразмерной величиной и измеряется либо в десятичных дробях, либо в процентах.

Наиболее широко используемым индексом цен является индекс потребительских цен,   отражающий рост цен на  некоторый постоянный набор потребительских товаров и услуг, который часто называют потребительской корзиной.

Темпом инфляции за время t будет являться величина

Темп инфляции, умноженный на 100 показывает, на сколько процентов выросли цены за период времени t.

Из приведенных формул следует, что между индексом цен и темпом инфляции за время  t имеет место следующее соотношение:

Например, если , то , т.е. цены за рассматриваемый период выросли в 2,4 раза, или, что эквивалентно, на 140%.

Индекс цен за данный период показывает, во сколько раз выросли цены по отношению к уровню цен предыдущего периода. Поэтому, если известны индексы цен (или темпы инфляции) за соответствующие периоды времени и эти периоды расположены последовательно друг за другом, то индекс цен за время   будет равен величине:

В частности, если  то

Пример. Определить годовой индекс инфляции, если известен среднемесячный тем инфляции.

Будем измерять время в годах и воспользуемся только что полученной формулой. Полагая  получим:

Результаты расчетов для некоторых значений среднемесячного темпа инфляции приведены ниже в таблице.

   

   1%

   3%

   5%

  8%

 10%

  15%

  20%

  28%

   

1,1268

1,4258

1,7959

2,5182

3,1384

5,3503

8,9161

19,343

Из проведенных расчетов видно, что, например, при темпе инфляции 10% в месяц цены за год увеличатся более чем в 3,1 раза.

Если за время t была получена некоторая наращенная сумма FV, а индекс цен составил величину Ip , то это сумма с учетом ее обесценения составит:

Например, при годовой инфляции в 20% сумма в 3 тыс. грн. через год по своей покупательной способности в ценах текущего дня составит величину  тыс. грн.

Учет инфляции при использовании схемы простых процентов.

Пусть на капитал PV происходит начисление простых процентов по ставке r в течение времени n и индекс цен за это время равен Ip, тогда учитывая обесценение денег за это время, получим:

где  представляет собой множитель наращения простых процентов с учетом инфляции.

Из приведенной выше формулы следует, что реальное наращение первоначального капитала с учетом покупательной способности денег будет происходить только в том случае, если  Если , то наращение только компенсирует негативное действие инфляции. Из этого выражения следует, что:

Ставка  является минимально допустимой процентной ставкой, при которой не происходит реального уменьшения (эрозии) капитала, несмотря на начисление процентов. Эту ставку называют реальной.

Ставка, превышающая , называется положительной процентной ставкой , так как только в этом случае будет происходить реальное увеличение капитала.

Если же полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности капитала в результате инфляции, то такую банковскую ставку называют отрицательной.

Пример. На сумму 5 тыс. грн. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 40% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 15, 12, и 10%.

Необходимо найти наращенную с учетом инфляции сумму и величину положительной процентной ставки.

Индекс цен за квартал составит:

Будущая стоимость с учетом инфляции:

 тыс. грн.

При 40% годовых при заданном уровне инфляции реального наращения капитала не будет, а будет, наоборот, иметь место эрозия капитала.

Величина положительной процентной ставки составит:

.

Следовательно, при данном росте цен реальное наращение капитала будет происходить только при ставке, превышающей 166,72%.

В целях уменьшения негативного воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используются различные методы. Одним из них является индексация процентной ствки, используемой при заключении финансового соглашения. Сущность этого метода заключается в том, что процентная ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции. Величина коррекции оговаривается в условиях контракта. Это делается для того, чтобы в условиях инфляции стоимость первоначального капитала действительно увеличивалясь с течением времени.

Такую новую с поправкой на инфляцию ставку  называют брутто-ставкой. В этом контексте исходную процентную ставку называют иногда нетто-ставкой.

Для обеспечения полной компенсации негативного дейстия инфляции и получения доходности согласно первоначальной ставке r , определяется размер брутто ставки из равенства:

 т.е.

Пример. Для условий последнего примера определить брутто-ставку, которая обеспечила бы реальную доходность финансовой операции на уровне 40% годовых.

Проведенные расчеты показывают, что ставка в 223,4% годовых при наращении простыми процентами обеспечивает при заданных условиях реальную доходность в 40% годовых.

Если объявлена норма доходности, т.е. задана брутто-ставка, то из ранее рассмотренного равенства можно определить реальную процентную ставку, т.е. доходность финансовой операции с учетом инфляции при начислении простых процентов:

Таким образом, при инфляции различают следующие виды процентных ставок.

Номинальная процентная ставка – это исходная базовая, как правило, годовая процентная ставка, указанная в договоре. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректирована на инфляцию.

Реальная процентная ставка – показывает доходность с учетом инфляции Характеризующейся снижением покупательной способности денег. Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной.

Положительная процентная ставка – это любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции.

Брутто-ставка – это по существу, любая процентная ставка, превышающая номинальную. Но, как правило, брутто-ставка является положительной процентной ставкой.

Если наращение капитала  происходит на основе простой учетной ставки  в течение времени  и индекс цен за это время равен , то в этом случае величина учетной ставки , компенсирующей инфляционные потери, определяется из равенства:

Из этого выражения путем несложных преобразований можно получить:

Если задана ставка, то из вышеприведенного равенства можно определить реальную учетную ставку, позволяющую оценить соответствующим образом доходность финансовой операции с учетом инфляции:

Пример. Банк выдает клиенту кредит на 2 месяца, в течение которых по оценкам экспертов ежемесячный индекс инфляции составит 1,01.

Необходимо найти значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 25% годовых.

Индекс инфляции за 2 месяца (или за ) составит: .

 или 36,33%.

Учет инфляции при использовании схемы сложных процентов.

Предположим, что на капитал  PV в течение n лет начисляются сложные проценты по ставке  r и индекс цен за это время составил Ip.

Тогда накопленная с учетом инфляции сумма составит:

Отсюда ясно, что для того, чтобы не происходило эрозии капитала должно выполняться неравенство , что равносильно

Если имеет место строгое равенство, то такая ставка только нейтрализует отрицательное действие инфляции, т.е. нет эрозии капитала.

Если имеет место строгое неравенство, то ставка, обеспечивающее наращение капитала, называется положительной:

Если в финансовой операции используется сложная учетная ставка, то размер положительной учетной ставки должен удовлетворять выражению:

В рассматриваемых формулах в качестве базовой единицы измерения не обязательно брать год. Если в качестве базовой единицы выбирается месяц, то индекс инфляции, темп инфляции и пр. характеристики также необходимо рассматривать за месяц.

Пример. На вклад в 30 тыс. грн. ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%.

Необходимо оценить сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции 2% в месяц.

Какова должна быть величина положительной процентной ставки?

Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 4% в месяц?

Будущая стоимость вклада без учета инфляции:

 тыс. грн.

Индекс инфляции за 1,5 года при темпе инфляции 2% в месяц:

Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности:

 тыс. грн.

Реальный доход владельца вклада: 37,902 – 30,0 = 7,902 тыс. грн.  

Положительная процентная ставка:

Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежемесячном начислении  сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить при процентной ставке, превышающей 24% годовых.

При темпе инфляции в 4% в месяц:   тыс. грн., т.е. вкладчик с точки зрения покупательной способности потерпит убытки в размере 26,721 – 30,0 = -3,279 тыс. грн.

Как отмечалось ранее, для обеспечения реальной доходности на уровне объявленной номинальной процентной ставке, ее необходимо индексировать, т.е. найти так называемую брутто-ставку.

Брутто-ставки для номинальной процентной и номинальной учетной ставки определяются по следующим формулам:

и   

Для условий ранее рассмотренного примера при темпе инфляции 2% в месяц размер брутто ставки составит:

Т.е. ставка 64,8% годовых при ежемесячном начислении  сложных процентов и данном темпе инфляции обеспечивает реальную доходность в 40% годовых. Аналогичным образом при темпе инфляции в 4% в месяц брутто-стака составит 89,6%.

Ранее отмечалось, что между индексом цен и темпом инфляции существует соотношение . Если n=1, m=1, то из выражения получаем . Это равенство называется формулой Фишера, а величина h+rh – инфляционной премией, которую необходимо прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.

В практических расчетах при малом значении rh  пользуются приближенной формулой . Это допустимо при малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке.

Задаваясь брутто-ставкой и пользуясь ранее полученными формулами можно определить реальную процентную и реальную учетную ставки. В случае m-кратного начисления сложных процентов эти формулы имеют следующий вид:

      

Тема 6

Изменение условий коммерческих сделок

 Изменение хозяйственной ситуации нередко побуждает одну из сторон – участниц коммерческой сделки обратиться к другой стороне с предложением изменить условия ранее заключенных соглашений.

Наиболее часто эти изменения касаются изменения сроков платежей в сторону их увеличения или уменьшения, объединения нескольких платежей в один (т.н. консолидация платежей) с установлением одного или нескольких новых сроков погашения и т.п.

Естественно, что предлагаемые изменения должны быть безубыточными для обеих сторон финансовой операции.

Поэтому в такого рода ситуациях руководствуются принципом финансовой эквивалентности, который устанавливает неизменность финансовых отношений участников до и после изменения финансового соглашения.

На практике при изменении условий выплат денежных сумм этот принцип реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени.

6.1. Изменение условий контрактов с использованием простых   процентных ставок.

Для краткосрочных контрактов при изменении условий финансовых сделок, как правило, используется схема простых процентов.

Рассмотрим ситуацию, когда платеж Р1 со сроком n1 необходимо заменить платежом Р0 со сроком n0, причем сроки измеряются от одного момента времени и используется простая процентная ставка r .

Уравнения эквивалентности будут иметь следующий вид:

а) если n0>n1, то:

                                 б) если n0<n1, то:  

                                 в) если n0=n1, то:  

Эти три уравнения можно объединить в одно с помощью функции  («сигнум икс») и понятия абсолютной величины числа.

                                                   1, если   x > 0

                        y = sign (x) =      0, если   х = 0

                                                  -1, если  x < 0

Обозначая x=n0-n1 , получим уравнение эквивалентности в компактной форме:

Например, если n0>n1, то n0-n1 и поэтому    В результате получаем: .

Пример. Платеж в 5 тыс. грн. и сроком уплаты 4 мес. заменить платежом со сроком уплаты: а) 2 месяца; б) 6 месяцев. Используется простая процентная ставка 10%.

а) P1=5, n1=4, n0 =2. Поскольку n0<n1, то:

тыс. грн.

б) P1=5, n1=4,n0=6. Поскольку n1<n0 , то:

Часто в финансовых операциях, связанных с изменением ранее заключенных условий, устанавливается новый размер нового платежа Ро, а необходимо определить его время n0.

Из ранее приведенных уравнений эквивалентности легко получить формулы для определения срока нового платежа:

а) если P0<P1, то    

б) если P0>P1, то  

Пример. Найти величину нового срока, если платеж 5 тыс. грн. со сроком платежа 4 месяца заменяется платежом в 4,918 тыс. грн. и используется простая процентная ставка 10% годовых.

Так как P0<P1, то  года или 2 мес.

6.2. Консолидация платежей с использованием простой процентной  ставки.

Рассмотрим теперь задачу замены платежей , выплачиваемых соответственно через время  , одним платежом  с выплатой через время .

Рассуждая, как и ранее, можно получить уравнение эквивалентности следующего вида:

Пример. Клиент получил в банке кредит на сумму 3 тыс. грн. под 12% годовых.

В соответствии с финансовым контрактом клиент обязался погасить кредит тремя платежами с процентами: 1,5 тыс. грн., 0,5 тыс. грн. и 1 тыс. грн. соответственно через 30, 90 и 150 дней. Однако через некоторое время по обоюдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через 120 дней.

Необходимо найти величину консолидированного платежа, если начисляются простые проценты.

       

Найдем платежи с процентами согласно первоначальному соглашению:

 тыс. грн.     тыс. грн.

тыс. грн.

Величина консолидированного платежа составит:

тыс. грн.

Для проверки полученного результата величину консолидированного платежа дисконтируем на момент предоставления кредита:

тыс. грн. Это сумма выданного кредита.

Срок консолидированного платежа определяется из равенства приведенных стоимостей соответствующих платежей:

 откуда

Этой формулой можно пользоваться в тех случаях, когда справедливо неравенство:

Пример. Платежи в 2 тыс. грн. и 3 тыс. грн. должны быть погашены соответственно через 45 и 90 дней. Кредитор и должник согласились заменить два платежа одним в 5 тыс. грн.

Найти срок оплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 12% годовых и способ 360/360.

 

следовательно

года или 72 дня.

Если имеет место равенство  то для определения срока консолидированного платежа используется приближенная формула:

Для условий последнего примера с помощью приближенной формулы получим:

года, или 72 дня

Рассмотренные выше формулы для определения консолидированного платежа Р0 и срока n0 , конечно, не охватывают все возможные случаи. Например, пять погасительных платежей объединяются в два погасительных платежа; или изменяются сроки платежей без изменения их числа и т.п.

Как правило, в каждой конкретной ситуации составляется соответствующее уравнение  эквивалентности, отражающее содержание контракта. Причем необходимо оговаривать и некоторые ньюансы, возникающие при составлении этих уравнений. Так, при использовании приведенных значений платежей необходимо согласовывать дату (ее называют базовой), на которую производят приведение. Это делается потому, что от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются значения новых искомых характеристик.

Пример. По условию контракта суммы 3тыс. грн., 1 тыс. грн. и 2,5 тыс. грн. должны быть выплачены соответственно 05.05., 15.06. и 25.10.

Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 3,5 тыс. грн. выплачиваются 01.06.; 1,5 тыс. грн. – 01.07. и остаток долга погашается 10.09.

Определить величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 15%, по способу 365/365. Все операции проводятся в пределах одного года.

За дату приведения (базовую дату) примем, например, 15.06. – время выплаты 1 тыс. грн. Для лучшего понимания вида уравнения эквивалентности укажем порядковые номера в году представленных в контракте дат: 05.05. – 125; 15.06. – 166; 25.10. – 298; 01.06. – 152; 01.07. – 182; 10.09. – 253.

Обозначив остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:

Решив это уравнение относительно Р, получим Р = 1,462 тыс. грн.

6.3. Замена платежей и сроков их выплат с использованием

сложной процентной ставки.

Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей с использованием сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравнения.

Если платеж Р1 со сроком n1 надо заменить платежом Р0 со сроком n0  при использовании сложной процентной ставки r (причем n1 и n0 измеряются от одного момента времени), то уравнение эквивалентности имеет вид:

если n0 > n1 ;

 если n0 = n1 ;

если n0 < n1.   

       

Эти три уравнения можно объединить в одно, так как для любых сроков n1 и  n0 должно выполняться условие , что равносильно:

.

Отсюда можно сделать следующий вывод: для эквивалентной согласно сложной процентной ставке замены  платежей необходимо, чтобы их приведенные стоимости совпадали.  Причем расчет приведенных стоимостей можно осуществлять на любой момент времени, так как:

где t – произвольное вещественное число.

Таким образом, при сравнении платежей можно выбирать любой удобный или интересующий нас момент времени.

Пример. Платеж в 6 тыс. грн. и сроком уплаты через 4 года заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 5 лет. Применяется сложная процентная ставка 12% годовых.

а) P1=3, n1= 4, n0= 2, r = 0,12.

тыс. грн.

б) P1 = 3, n1 = 4, n0 = 5, r =0,12.

                         тыс. грн.

Пример. Предлагается выплатить за пользование земельным участком выплатить либо 20 тыс. грн. через 5 лет, либо 30 тыс. грн. через 10 лет.

Определить, какое предложение выгоднее, если есть возможность инвестирования денежных средств под сложную процентную ставку 15% годовых.

Согласно ранее приведенной формуле можно найти приведенные стоимости платежей на любой момент времени.

Предположим, что мы выбрали в качестве момента приведения конец 10-го года. В этом случае наращенная стоимость 20 тыс. грн. через 5 лет составит:  тыс. грн.Т.е. первое предложение выгоднее.

Если осуществить приведение платежей, например, к исходному моменту времени, то при учете 20 тыс. грн. за 5 лет и30 тыс. грн. за 10 лет получим соответственно:

тыс. грн.            тыс. грн.

Следовательно, опять делаем вывод о предпочтительности первого предложения. Вообще такой вывод будет при выборе любого момента времени для расчета приведенных или наращенных стоимостей платежей, если используется сложная процентная ставка.

Однако, если использовать простую процентную ставку и такой же метод оценки предложений, то можно прийти к противоречивым выводам.

Так, выбирая конец 10-го года и сравнивая  тыс. грн. и 30 тыс. грн. получаем, что первое предложение лучше. Однако, если выберем исходный момент времени и сравним  тыс. грн. и  тыс. грн. , получаем, что выгоднее второе предложение.

Если известен размер нового платежа Р0 , а необходимо найти срок его выплаты n0, то для этого используется следующая формула:

Пример. Определить величину нового срока, если платеж в 2 тыс. грн. через 5 лет заменяется платежом в 3 тыс. грн. и используется сложная процентная ставка 15% годовых.

P1  = 2, n1= 5, P0= 3, r = 0,15.

                                           

Рассмотрим более общую ситуацию, когда платежи Р1, Р2, …, Рm, выплачиваемые соответственно через время n1, n2, …, nm, заменяются одним платежом P0 выплатой через время n0. В составляемом уравнении эквивалентности платежу Pk, будет соответствовать слагаемое  т.е. при n0 > nk , будет иметь место наращение сложных процентов на капитал Pk , а при n0 <  n1 капитал Pk будет учитываться.

Уравнение эквивалентности имеет вид:

или что то же самое   

Если стоит задача сравнения на основании сложной процентной ставки платежа Р0  с заменяемыми платежами, то за момент оценки можно выбирать любой произвольный момент времени.

Если известен размер консолидированного платежа, а необходимо найти новый срок его выплаты, то используется формула:

Пример. Три платежа в 3,0, 1,0 и 1,5 тыс. грн. со сроками выплаты соответственно через 1, 2,5 и 4 года заменяются одним платежом, выплачиваемым через 3 года.

Найти величину консолидированного платежа, если используется сложная процентная ставка 14% годовых.

Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей?

P1=3, P2= 1, P3=1,5, n1=2, n2=2,5, n3= 4, n0= 3, r = 0,14.

тыс. грн.

Если же Р0= 3 + 1 + 1,5 = 5,5 тыс. грн., то

года.

Этот же результат можно получить и иначе: считаем, что платеж 6,282 тыс. грн., выплачиваемый через 3 года, необходимо заменить платежом в 5,5 тыс. грн. Тогда новый срок рассчитывается следующим образом:

года.

Если несколько платежей заменяются одним, используется сложная процентная ставка и сложные проценты начисляются z раз, то уравнение эквивалентности имеет вид:

откуда    

Пример. В условиях предыдущего примера начисление процентов осуществляется ежеквартально.

Найти величину консолидированного платежа и новый срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен 5,5 тыс. грн.

тыс. грн.

года.

Существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, поэтому имеется большое многообразие уравнений эквивалентности. Поэтому охватить готовыми формулами все возможные варианты изменения условий финансовых сделок не представляется возможным. Однако в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется по ранее рассмотренной методике, что подтверждается приведенными примерами.

Задача замены платежей при использовании учетной ставки или непрерывных процентов рассматривается аналогичным образом, как и при использовании процентной ставки. Поэтому можно ограничиться приведением основных формул, не останавливаясь подробно на их рассмотрении.

Если платежи Р1, Р2, …, Рm, выплачиваемые соответственно через время n1, n2,…, nm, консолидируются в один платеж Р0 с выплатой через время n0 и используется номинальная годовая учетная ставка d , то уравнение эквивалентности имеет следующий вид:

Если необходимо для этих условий определить новый срок выплаты консолидированного платежа, то используется формула:

Тема 7

Кредитные расчеты предприятия

 Расходы, связанные с погашением займа, т.е. погашением основного займа и выплатой процентов по нему, называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа.

Существуют различные способы погашения задолженности. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план  погашения задолженности.

Одним из важнейших элементов плана погашения задолженности является определение числа выплат в течение года, т.е. определение так называемых срочных уплат и их величины.

Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначенные для погашения как основного долга, так и текущих процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися по каким-либо законам, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, будет выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются только проценты за кредит, а сам долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом.

Погашение кредита может также производиться платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина такого платежа может быть постоянной, а может изменяться в арифметической или геометрической прогрессии.

Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и пр. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться в льготном периоде. Ниже будут рассмотрены основные методы, применяемые для разработки планов погашения кредитов.

 

Погашение долга равными срочными уплатами.

Условиями кредитного контракта может предусматриваться погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода.

Каждая срочная уплата (A) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга (R) и процентного платежа по займу (I), т.е.: 

A = R + I

В этом случае остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты будут являться аннуитетом ренты постнумерандо.

Следовательно, величина кредита PV , будет равняться сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является современной величиной всех срочных уплат:

  (1)

где - срочные уплаты;

                             r  -  ставка процентов по займу.

Умножив выражение (1) на величину (1 + r), получим:

   (2)

Если вычесть из выражения (2) выражение (1), и проделать необходимые преобразования, то получим:

                      (3)

Из выражения (3) можно получить величину срочной уплаты:    или       (4)

Величина  называется коэффициентом погашения задолженности.

Пример. Банк выдал кредит в сумме 40 тыс. грн. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в году. Необходимо составить план погашения долга.

Ежегодная выплата будет составлять:

 тыс. грн.

За первый год величина процентного платежа составит:

Так как А = R + I, то выплата основного долга определится величиной:

 тыс. грн.

Остаток основного долга после первого года составит:

   тыс. грн.

Процентный платеж во втором году будет равняться:

Величина выплаты основного долга во втором году составит:

Изложенная процедура повторяется до конца срока погашения долга.

Итоговая расчетная таблица погашения долга представлена ниже.

Годы

Остаток долга PV

Процентный платеж I

Погашение ос-

новного долга R

Годовая сроч- ная уплата A

   1       

    40,0000

    2,4000

       7,0960

     9,4960

   2

    32,9040

    1,9742

       7,5218

     9,4960

   3

    25,3822

    1,5229

       7,9731

     9,4960

   4

    17,4091

    1,0445

       8,4515

     9,4960

   5

      8,9576

    0,5375            

       8,9585

     9,4960

         -

    7,4791

     40,0000

   47,4791

 Рассмотренная методика составления плана погашения займа равными платежами не является единственной. Рассмотрим некоторые другие.

При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга (см. табл.). Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода – k и (k +1) –й.

В kрасчетном периоде годовая срочная уплата составит:

а остаток невыплаченного долга соответственно определяется как

Однако для определения необходимо предварительно определить . В периоде (k + 1) остаток основного долга составит:

,

следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в виде следующего выражения:

.

По условию , значит. Решив это уравнение относительно  , получим:

.                    (5)

То есть каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущей на величину . Зная эту зависимость можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде.

Зная эту зависимость, можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде. Так ; , и т.д. .

Зная размер кредита , процентную ставку  и срок погашения кредита , рассчитаем величину первой выплаты погашения основного долга .

Величина займа равна сумме выплат , т.е.:

.

После некоторых преобразований данного выражения величину  можно определить по следующей формуле:

.

В этой формуле величина  называется ставкой погашения.

 Пример. Для условий ранее рассмотренного примера рассчитать величину первого и четвертого платежа для погашения основного долга.

тыс.грн.

тыс. грн.

Размер платежа основного долга в любом периоде можно определить не только по формуле (5), но и другим способом.

Известно, что первая выплата определяется выражением: ,

а величина кредита равняется:

.

Подставив значение PV в формулу расчета величины первого платежа, получим:

.

Так как , то, подставляя в это выражение значение , получим:  

или             (6)

Используя выражение (6), можно рассчитать для любого периода величину процентного платежа .

Так как,  то  .

Подставим в это выражение значение , и получим:  

 

Пример. Для условий ранее рассмотренного примера рассчитать величину первого платежа и величину процентного платежа  на конец последнего года погашения займа.

тыс. грн.

тыс. грн.

Для расчета остатка невыплаченного основного долга на любой момент времени воспользуемся выражением:

Подставив в это выражение значения  и , получим:

 Пример. По данным ранее рассмотренного примера рассчитать остаток основного невыплаченного долга на начало 3-го года погашения.

тыс. грн.

Для определения размера годовой срочной уплаты можно воспользоваться также методом депозитной книжки.

Суть метода депозитной книжки заключается в следующем. Рассуждая с позиции кредитора, для банка рассматриваемый контракт будет представлять инвестицию в размере 40 тыс. грн., т.е. отток денежных средств. В дальнейшем в течение 5 лет банк будет ежегодно в конце года получать сумму А, которая будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Таким образом, мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годового платежа воспользуемся финансовыми таблицами и формулой:

.

Для и лет значение FM4 будет равняться 4,2124. Значит искомая величина аннуитета составит 40 : 4,2124 = 9,4958 тыс. грн.

 

 План погашения долга при изменяющейся процентной ставке. Финансовыми контрактами часто предусматриваются условия, когда на протяжении финансовой сделки процентная ствка не является постоянной, а изменяется от периода к периоду.

Вышерассмотренная методика может быть использована и для решения таких финансовых задач.

 

Пример. Предприятием получен кредит в сумме 100 млн. грн. Сроком на 7 лет. Процентная ставка по годам изменяется следующим образом.

          Годы

        1-2

           3-4

        5-7   

Процентная  ставка, %

        7,0

          10,0

      16,0

 План погашения долга приведен в таблице.

Годы

Процентная ставка, r

Сумма долга на начало года, PV

Сумма процентных денег, I

Сумма погашения основного долга, R 

Годовая срочная уплата, A

   1

      0,07      

   10,0000

      0,7000

    1,1555

    1,8555

   2

      0,07  

     8,8445

      0,6191

    1,2364

    1.8555

   3

      0,10     

     7,6081

      0,7608

    1,2462

    2,0070

   4

      0,10

     6,3619

      0,6362

    1,3708

    2,0070

   5

      0,16

     4,9911

      0,7986

    1,4237

    2,2223

   6

      0,16

     3,5674

      0,5708

    1.6516

    2.2223

   7

      0,16

     1,9158

      0,3065

    1,9158

    2,2223

Итого

      4,3919

  10,0000

  14,3919

 Погашение займа равными выплатами основного долга.

В кредитном контракте может быть оговорено условие производить погашение основного долга равными ежегодными платежами. В этом случае размеры платежей по основному долгу будут равны:

Остаток основного долга в начале каждого расчетного периода определится как:

г  де –PVсумма основного долга;

 -  номер расчетного периода.

Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде составит:

                   (7)

Подставив в (7) значение , получим:

Пример. Кредит размером 2,5 млн. грн. выдан на 5 лет под 20% годовых. По условиям контракта погашение основного долга должно производиться равными платежами, начисление процентов в конце года. Составить план погашения кредита.

           

План погашения кредита представлен в таблице.

Годы

Величина долга, D

Процентный платеж, I

Погашение основного долга, R

Годовая срочная уплата, Y

   1

        2,5

         0,5

          0,5

       1,0

   2

        2,0

         0,4

          0,5

       0,9

   3

        1,5

         0,3

          0,5

       0,8

   4

        1,0

         0,2

          0,5

       0,7

   5

        0,5

         0,1

          0,5

       0,6

Итого   

         1,5

          2,5

       4,0

 

Величина процентного платежа для  расчетного периода определяется по формуле:

 Пример. Для условий предыдущего примера определить величину процентного платежа для 4-го года.

 Погашение займа переменными выплатами основного долга.

 а) выплаты изменяются в арифметической прогрессии.

 В этом случае формулы для вычисления величины первой выплаты имеют вид:

         (8)    или                   (9)  

По формуле (8) вычисляется  для возрастающей прогрессии, а

по формуле (9) – для убывающей.

 

Пример. Кредит размером 4 млн. грн. выдан на 5 лет под 15% годовых с начислением процентов в конце каждого расчетного периода. Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 0,1 млн. грн. Составить план погашения кредита.

По условию примера

План погашения кредита представлен в таблице.

Годы

Величина долга, D

Процентный платеж, I

Годовой платеж по погашению основного долга, R

Годовая срочная  уплата, Y

  1

         4,0

         0,600

          0,6

           1,200

  2          

         3,4

         0,510

          0,7

           1,210

  3

         2,7

         0,405       

          0,8

           1,205

  4

         1,9

         0,285

          0,9

           1,185

  5

         1,0

         0,150

          1,0

           1,150

       

          -

        1,950

          4,0

           5,95

 б) выплаты изменяются в геометрической прогрессии.

Одним из вариантов погашения кредитной задолженности может быть такой, при котором погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в раз. Таким образом, эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии, которые имеют вид:

Величина основного долга является сумой этих членов и определяется по формуле геометрической прогрессии, где  - первый член прогрессии и одновременно первый платеж основного долга, а  - знаменатель прогрессии. Основной долг  будет равен:

если  или   если

Решив эти два уравнения относительно , получим:

где     (10)  и                где .        (11)

 Пример. Кредит в размере 300 тыс. грн. должен быть погашен в течение 6 лет ежегодными выплатами. Процентная ставка 15% годовых, начисление процентов один раз в конце года. Платежи, обеспечивающие погашение основного долга, должны увеличиваться в геометрической прогрессии на 5% ежегодно. Составить план погашения кредита.

 Величина первого платежа    тыс. грн.

План погашения кредита представлен ниже в таблице.

Годы

Величина долга, D

Процентный платеж, I

Годовое погашение основного долга, R 

Годовая срочная уплата, Y

  1

   300,0000

    45,0000

        44,1052

     89,1052

  2

   255,8948

    38,3842

        46,3105

     84,6947

  3

   209,5843

    31,4376

        48,6260

     80,0636

  4

   160,9583

    24,1437

        51,0573

     75,2010

  5

   109,9010

    16,4852

        53,6102

     70,0954

  6

     56,2907

      8,4436

        56,2907

     64,7343

  163,8942

       300,0000

   463,8942


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39790. Общественное движение в России во второй половине XIX в 68.5 KB
  Общественное движение в России во второй половине XIX в. Огарев и в России вокруг журнала Современник Н. Кроме того предполагалось ввести народное представительство широкое самоуправление передать землю народу а фабрики и заводы – рабочим предоставить демократические свободы всему населению России. Энгельса и распространением их в России.
39791. Внешняя политика России во второй половине XIX начале XX вв. 49.5 KB
  Внешняя политика России во второй половине XIX начале XX вв. Участие России в европейских коалициях связано прежде всего с так называемым Балканским вопросом. После поражения в Крымской войне России было запрещено иметь военный флот на Черном море строить там крепости и форты. разрушили систему тяжелого и унизительного для России Парижского мирного трактата 1856 года.
39792. Экономическая модернизация России в конце XIX – начале ХХ вв. 42 KB
  Экономическая модернизация России в конце XIX – начале ХХ вв. Экономическое развитие России и государственная программа Развития страны. верст новых железных дорог что позволило России выйти на второе место в мире по их протяженности. Своеобразие развития капитализма в России по сравнению с Западом заключалось в том что государство активно вмешивалось в экономическую жизнь страны.
39793. Первая русская революция 1905-1907 гг. 39 KB
  Второй путь объединял самые разнообразные слои общества с плохо сформулированными устремлениями и самые разнообразные формы социального протеста: от стихийных крестьянских антипомещичьих бунтов до забастовок рабочих и создания альтернативных органов власти – Советов. рабочих. В поддержку рабочих начали выступать студенты. Забастовки длившиеся неделями и охватывавшие тысячи рабочих требовали своих организационных центров.
39794. Возникновение парламентаризма и многопартийности в России начале XX в 77.5 KB
  Манифест от 17 октября обещал: – даровать народу гражданские свободы на основе незыблемых принципов неприкосновенности личности свободы совести свободы слова свободы собраний и организаций; – провести выборы в Государственную Думу и обеспечить участие в них рабочих которые согласно указу от 6 августа были лишены права голоса; – ввести за непременное правило что ни один закон не может войти в силу без согласия Думы дабы народные избранники смогли на деле участвовать в контроле за законностью действий государя. I и II Государственные думы....
39795. Россия в условиях I мировой войны и национального кризис 64 KB
  в Петрограде по призыву большевиков состоялась антивоенная манифестация посвященная Международному дню работниц перешедшая в крупную городскую стачку в которой приняло участие 128 тыс. На следующий день под лозунгами Хлеба Мира бастовало 214 тыс. а 25 марта – 305 тыс. Единственной либеральной партией оставались кадеты чья численность в тот момент составляла 100 тыс.
39796. DVD-технология 213.5 KB
  Появление DVD udio с поддержкой многоканальной записи звука стало очередным шагом к нахождению решения отвечающего высоким требованиям предъявляемым к качеству записи и воспроизведения звука. Из истории развития аудио и видеотехнологии 1950 – LP UDIO Грамзапись 1970 – VTR MOVIE Видеозапись 1980 – CD аудио компакт диски компьютерные компакт диски игры системы навигации в автомобилях 1996 – DVD Звук кино игры системы навигации ROM RM CD Изобретение в 1980 году компакт диска – было первым значительным шагом вперед в развитии...
39797. Распределение оперативной памяти в современных ОС 110.5 KB
  Распределение оперативной памяти в современных MSDOS В состав MS DOS входят следующие основные компоненты: Базовая система ввода вывода BIOS bse inputoutput system включающая в себя помимо программы тестирования ПК POST программа самотестирования при включении ПК.SYS 580 Кб Область памяти для выполнения программ пользователя и утилит MSDOS. Область и размер используемого видеобуфера зависит от используемого режима При работе в текстовом режиме область памяти А0000В0000 свободна и м.
39798. Логическая структура дисков 71 KB
  должна быть создана физическая и логическая структура диска. Формирование физической структуры диска состоит в создании на диске концентрических дорожек которые делятся на секторы. Для этого в процессе форматирования магнитная головка дисковода расставляет в определенных местах диска метки дорожек и секторов. После форматирования гибкого диска 35 его параметры будут следующими: Информационная емкость сектора – 512 байтов; Количество секторов на дорожке – 18; Дорожек на одной стороне – 80; Сторон – 2.