31274

Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ. Методичні вказівки щодо практичних занять і самостійної роботи

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Практичне заняття № 2 Розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь. Практичне заняття № 3 Розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем. Розвиток інформаційних технологій і широке впровадження математичних методів в інженерні дослідження висувають підвищенні вимоги до підготовки інженерів з електромеханіки. Дисципліна Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ орієнтує студентів на використання сучасного прикладного програмного забезпечення під час розв’язання різноманітних інженернотехнічних задач.

Украинкский

2013-08-28

3.62 MB

10 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОМЕХАНІКИ, ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ І КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

«Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ»

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ДЕННОЇ ТА ЗАОЧНОЇ ФОРМ НАВЧАННЯ

ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ

6.092200 – «ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЗАЦІЇ ТА ЕЛЕКТРОПРИВОД»

(СКОРОЧЕНИЙ ТЕРМІН НАВЧАННЯ)

ЧАСТИНА I

КРЕМЕНЧУК 2008

Методичні вказівки щодо практичних занять і самостійної роботи з навчальної дисципліни «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальності 6.092200 – «Електромеханічні системи автоматизації та електропривод» (скорочений термін навчання). Частина І

Укладачі: к.т.н., доц. Т.В. Коренькова,

д.т.н., проф. О.П. Чорний,

асист. Ю.О. Алєксєєва,

асист. В.О. Огарь

Рецензент к.т.н., доц. А.П. Калінов

Кафедра САУЕ

Затверджено методичною радою КДПУ

Протокол №_________від__________2008 р.

Заступник голови методичної ради ___________доц. С.А. Сергієнко


ЗМІСТ

                

Вступ……………...…………………………………………………………...

4

  1.  Практичне заняття № 1

Основи роботи у середовищі пакета MathCAD.........................................

5

  1.  Практичне заняття № 2

Розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь ……………….…...

21

  1.  Практичне заняття № 3

Розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем ……………...……………

37

  1.  Підготовка до модульного контролю………………………………….

56

Список літератури……………………………………………………………

57

Додаток А Зразок оформлення титульної сторінки звіту з практичного заняття…………………………………………………………………………

58

Додаток Б Варіанти завдань для самостійної роботи……………………...

59


вступ

Розвиток інформаційних технологій і широке впровадження математичних методів в інженерні дослідження висувають підвищенні вимоги до підготовки інженерів з електромеханіки. Дисципліна «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» орієнтує студентів на використання сучасного прикладного програмного забезпечення під час розв’язання різноманітних інженерно-технічних задач. У результаті вивчення дисципліни студент повинен: вибирати та обґрунтовувати використання на практиці числових методів, стійких до похибок та найбільш ефективних під час їх практичної реалізації на ЕОМ; досліджувати обчислювальні алгоритми, виявляти їх переваги та недоліки, вибирати оптимальні алгоритми розв’язання науково-технічних задач, використовуючи для цього різноманітні пакети програм математичного оброблення даних спеціального та загального використання.

Методичні вказівки щодо практичних і самостійних робіт з навчальної дисципліни «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» (частина 1) містять три практичні заняття, які охоплюють перелік питань, що входять до першого модуля з курсу «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» (скорочений термін навчання). Зміст кожного з практичного заняття складається з розгорнутих рекомендацій щодо оброблення результатів, прикладів виконання самостійної роботи, містить порядок виконання і завдання для самостійної роботи, указівки для користування літературними джерелами, контрольні питання для закріплення вивченого матеріалу. Методичні вказівки закінчуються переліком питань до модульного контролю № 1.

Звіт з практичного заняття оформлюється на аркушах формату А4. Структура звіту: титульна сторінка (див. додаток А); тема, мета роботи, рекурентні формули використовуваних методів, лістинґ проведених у MathCAD розрахунків з поясненнями; висновки.

Варіанти завдань визначаються згідно з порядковим номером студента в журналі академічної групи.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 1

ТЕМА. Основи роботи у середовищі пакета MathCAD

МЕТА: ознайомлення з основними командами пакета MathCAD, вводу та виводу функцій, побудови графіків функції.

Рекомендації щодо оброблення результатів

Пакет MathCAD призначено для розв’язання різного роду обчислювальних задач, алгоритм яких описується в загальноприйнятих математичних термінах і позначеннях. Разом з цим пакет має розвинені засоби роботи з текстовою, графічною та ілюстративною інформацією, що забезпечує автоматизацію розв'язання задач обчислювального характеру.

Головні характеристики пакету можна поділити на наступні основні групи: інтерфейс з користувачем, обчислювальні можливості з роботи з графічно-текстовою інформацією, можливість програмування [5, 6].

Одразу після запуску система готова до створення документа з необхідними для користувача обчисленнями. Перша кнопка панелі інструментів (із зображенням чистого листа паперу), New WorkSheet, дозволяє створити новий документ. Відповідне йому вікно редаґування отримує назву Untitled: N, де N – порядковий номер документа. Спочатку вікно редаґування порожнє (рис. 1.1). Робочий лист містить текст, графічні об'єкти, усі обчислення, що проводять.

Рисунок 1.1 – Приклад робочого листа WorkSheet MathCAD

Зверху вікна системи MathCAD п’ять панелей:

  •  рядок заголовка – рядок з іменем системи і поточного документа, а також з кнопками керування вікнами системи;
  •  рядок меню – рядок з пунктами меню, що відкривають доступ до підменю з різними командами;
  •  стандартна панель інструментів – панель з кнопками, що забезпечують швидке виконання найбільш важливих команд під час роботи із системою;
  •  панель інструментів форматування – панель з кнопками, що забезпечують швидке форматування текстових і формульних блоків у документах;
  •  панель інструментів для вводу математичних об’єктів – панель з кнопками, що відкривають палітри спеціальних математичних знаків і грецьких літер.

На рис. 1.2 панель вводу математичних об’єктів з лівого боку, а панелі інструментів стандартна і форматування знаходяться у центрі вікна редаґування [5, 6]. Окремі деталі інтерфейсу можна видаляти або вводити за допомогою команд меню View (вид).

Рисунок 1.2 – Основні елементи інтерфейсу системи MathCAD

MathCAD має систему оперативної допомоги. Одним із її елементів є спливаючі підказки – невеликі текстові вікна жовтого кольору, що з’являються під час наведення покажчика миші на елементи інтерфейсу і блоки у вікні редаґування.

Рядок заголовка. На рис. 1.2 видно декілька рядків з типовими елементами інтерфейсу. Верхній рядок – рядок заголовка. Він відображає назву завантаженого або такого, що вводять з клавіатури документа. У лівій частині рядка знаходиться стандартна кнопка керування вікном, а в правій частині – три маленькі кнопки для згортання вікна, розгортання його на весь екран і закриття.

Рядок меню. Меню системи MathCAD має наступні команди:

File – робота з файлами, мережею Інтернет і електронною поштою;

Edit – редаґування документів;

Text – зміна засобів вікна і включення/виключення елементів інтерфейсу;

Insert – вставка об'єктів та їх шаблонів (включаючи графіку); 

Format – зміна формату (параметрів) об'єктів;

Math – керування процесом обчислень;

Graphics – робота з графічним редактором;

Symbolic – вибір операцій символьного процесора;

Window – керування вікнами системи;

Help – робота з довідковою базою даних про систему, центром ресурсів і електронними книгами.

Стандартна панель інструментів. Вона містить декілька груп кнопок керування, кожна з яких дублює одну з найважливіших команд меню.

Розглянемо дію кнопок панелі інструментів (їх номери відповідають наведеним на рис. 1.2).

Операції з файлами

1. New (створити) – створення нового документа з очищенням вікна редагування.

2. Open (відкрити) – завантаження раніше створеного документа з діалогового вікна.

3. Save (зберегти) – запис поточного документа з його ім'ям. Нижче ми розглянемо ці операції детальніше.

Друк і контроль документів

4. Print (друк) – роздрукування документа на принтері.

5. Print Preview (перегляд) – попередній перегляд документа.

6. Check Speling (орфографія) – перевірка орфографії документа.

Редаґування

7. Cut (вирізати) – перенесення виділеної частини документа в буфер обміну (Clipboard) з очищенням цієї частини документа.

8. Copy (копіювати) – копіювання виділеної частини документа в буфер обміну зі збереженням виділеної частини документа.

9. Paste (уставити) – перенесення вмісту буфера обміну у вікно редаґування на місце, в якому знаходиться курсор.

10. Undo (відмінити) – відміна попередньої операції редаґування.

11. Redo (повторити) – повторення відміненої операції.

Розміщення блоків

12. Align Across (вирівняти по горизонталі) – блоки вирівнюють по горизонталі.

13. Align Down (вирівняти вниз) – блоки вирівнюють по вертикалі, розташовуючи зверху вниз.

Операції над виразами

14. Insert Function (уставити функції) – уставити функцію зі списку, що з’являється в діалоговому вікні.

15. Insert Utit (вставити одиниці) – уставка розмірних одиниць.

16. Calculate (перерахувати) – обчислення виділеного виразу.

Доступ до нових можливостей MathCAD

17. Insert Giperlink (вставка гіперпосилання) – забезпечує створення гіперпосилання.

18. Component Wizard (Майстер компонентів) – відкриває вікно Майстра, що дає зручний доступ до всіх компонентів системи.

19. Run MathConnex (запуск системи MathConnex) – запуск системи для стимулювання блокових заданих пристроїв.

Масштаб документа

20. У полі списку, що розкривається, указано значення вибраного масштабу відображення документа.

21. Кнопка дозволяє розкрити список, призначений для вибору масштабу відображення документа.

Керування ресурсами

22. Resource Center (центр ресурсів) – дає доступ до центру ресурсів.

23. Help (довідка) – дає доступ до ресурсів довідкової бази даних системи.

24. Закрити – закриття і видалення з екрана стандартної панелі інструментів.

Розглянемо дію кнопок панелі інструментів форматування (їх номери відповідають наведеним на рис. 1.2).

Стилі

1. Поле відображення назви поточного стилю текстових блоків.

2. Кнопка розкриття списку доступних стилів текстових блоків.

Шрифти

3. Поле відображення назви набору символів (шрифту).

4. Кнопка розкриття списку доступних шрифтів текстових блоків.

Розмір символів

5. Поле відображення розміру символів.

6. Кнопка розкриття списку доступних розмірів символів.

Зображення символів

7. Bold (напівжирний) – напівжирне зображення символів.

8. Italic (курсив) – похиле зображення символів.

9. Underline (підкреслений) – підкреслене зображення символів.

Вирівнювання

10. Align Left (вліво) – вирівнювання текстів по лівій межі.

11. Align Center (по центру) – вирівнювання текстів по центру.

12. Align Right (управо) – вирівнювання текстів по правій межі.

Створення списків

13. Bullets (маркірований) – створення маркованого списку.

14. Numbering (нумерований) – створення нумерованого списку.

Закриття панелі форматування

15. Закрити – закриття і видалення з екрана панелі форматування.

Панель інструментів для вводу математичних об’єктів

На рис. 1.2 показано призначення кнопок цієї панелі інструментів під час переміщення її в ліву частину екрана. Та або інша палітра з'являється у вікні редаґування документів під час натиснення на відповідну кнопку панелі інструментів.

На рис. 1.3 зображено всі палітри. За їх допомогою можна вводити в документи практично всі відомі математичні символи і операторів. Номери кнопок на панелі інструментів для виведення палітр відповідають номерам самих палітр [5].

Рисунок 1.3 – Вікно MathCAD з усіма палітрами математичних знаків

Палітри можна розташовувати в зручному місці вікна редаґування, причому користуватися відразу декількома. Натискаючи на кнопки палітр, можна вивести на екран усі палітри відразу або тільки потрібні для роботи.

Пакет дозволяє проводити обчислення в автоматичному і неавтоматичному (ручному) режимах (Auto and Manual mode). Якщо пакет знаходиться в режимі Auto, то кодування після математичної конструкції знака дорівнює ("="), приводить до її обчислення. Якщо пакет знаходиться в режимі Manual, то кодування знака дорівнює ("="), не приводить до обчислення функції.

Для обчислень необхідно скористатися одним з наступних способів:

  •  командою Calculate меню Math;
  •  клавішею <F9>;
  •  кнопкою Calculate на панелі інструментів.

Під час організації обчислень пакет використовує стійкі до особливих ситуацій стандартні та передбачувані алгоритми.

Дозволяє поміщати обчислювальну конструкцію або текст в будь-яке місце робочого листа. При цьому для кожної такої конструкції (обчислювальної, графічної тощо) пакет формує невидиму прямокутну область, що містить її. Для візуалізації цих областей необхідно скористатися командами підпункту Regions меню Edit:

View Regions  показати області;

Select All  вибрати всі області;

Separate розділити області.

Під час редаґування тієї або іншої конструкції ця область може змінюватися в розмірах або взагалі зникати.

Обчислювальні області підрозділяють на області виразів, графіків, рисунків і програмних конструкцій; текстові - підрозділяють на зони і області.

Область будь-якого типу (або групу областей) можна видалити з робочого листа, для чого достатньо ввести в неї курсор і використати команду Cut (вирізати) меню Edit або її клавішний еквівалент. У цьому випадку пакет поміщає видалену область до ClipBoard (буфер обміну), після чого її можна вставити в документ командою Сору (копіювати) меню Edit. Окрему область (або групу областей) можна скопіювати (один раз) у той же самий або інший робочий лист, не видаляючи її (їх) з робочого листа, і вставляти (потрібну кількість разів) в той же самий або інший робочий лист. Для цього використовують команду Paste (вставити) меню Edit [6].

Під час формування обчислювальних конструкцій слід враховувати, що пакет суворо дотримує пріоритет виконання операцій згідно із загальноприйнятими в математиці законами.

Пакет оперує константами і змінними. Слід пам'ятати, що імена змінних і констант літерозалежні.

У пакеті передбачено системні змінні, значення яких можна змінювати (табл. 1.1)

Таблиця 1.1 – Значення системних змінних

Назва

Значення за умовчанням

Призначення

TOL

ORIGIN

0,001

0

Точність, з якою пакет виконує численні обчислення

Початкове значення індексів матриці

Пакет виконує обчислення над константами і змінними, значення яких можуть бути подано (записано) десятинними, восьмеричними, шістнадцятирічними і комплексними числами.

Восьмеричні й шістнадцятирічні числа кодують символами відповідно “o, h” зразу ж (без пробілу) за молодшим розрядом числа. Для запису комплексних чисел (гаданої частини) можна використовувати символи або “i” або “j”.

Пакет дозволяє подавати результати обчислень у завданому вигляді, який визначений форматом результату. Для зазначення формату виводу результату (речовинні) можна скористатися наступним: двічі натиснути лівою кнопкою миші на результаті. Після цього на екрані з’явиться вікно Numerical Format з групами команд Radix – для зазначення системи обчислень, Imaginary - для зазначення символу, який використовують у представленні мнимої частини комплексного числа, Precision – для зазначення формату виводу результату; для речовинних чисел використовується поле Displayed Precision(3): (0-15), де (3) – кількість позицій для дробової частини числа, а (0-15) – діапазон, в якому можна подати дробову частину числа.

Пакет дозволяє виконувати різноманітні арифметичні операції. Для їх вводу можна використовувати як клавіатуру, так і Arithmetic Palette, в якій знаходяться ще і кнопки з позначенням цифр деяких тригонометричних функцій і передвизначені змінні.

Під час використання логічних і обчислювальних конструкцій також можна використовувати (у деяких випадках) клавіатуру і Evaluation and Boolean Palette.

Під час використання матричних операцій можна застосовувати (у деяких випадках) клавіатуру і Vector and Matrix Toolbar.

Під час використання обчислювальних конструкцій можна застосовувати (у деяких випадках) клавіатуру і Calculus Toolbar.

Команди меню Math:

Matrices (Cyrl+M) – слугує для визначення векторів і матриць. Викликавши цю команду на екран, виводять вікно Matrices з полями Rows (Строки), Columns (Стовпці) – для визначення кількості рядків і стовпців матриці; й кнопками Create (Створити) – уставити визначену матрицю (Rows х Columns), Insert (Уставити) – уставка рядків (або стовпців) завданих у полях Rows і Columns, у вже визначену матрицю на робочому листі, Delete (Видалити) – дії над рядками і стовпцями матриці, які зворотні дії команди Insert;

Calculate (F9) – виконати обчислення видимої частини робочого листа, коли пакет знаходиться в режимі Manual;

Calculate Worksheet – провести обчислення в усьому робочому листі.

Toggle Equation – виключити область під час обчислень. Відключена область позначається справа квадратиком;

Highlight Equation – відключену область виділити іншим кольором.

Команди меню Graphics:

Create X-Y Plot – визначити область для побудови плоского графіка. На екран виводить прямокутну область з шістьма показувачами: три по вертикалі зліва від області й три по горизонталі внизу області. Середній показувач по горизонталі визначає арґумент функції (ранжирувана змінна): середній показувач – функцію від арґументу (може бути як функція, так і ранжирувана змінна). Крайні показувачі визначають межі зміни відповідно до арґументу і функції (межі зміни арґументу і функції можна не вказувати, пакет сам обчислить ці значення і приведе їх значення до відповідного масштабу).

Х-У Р1ot Format – дозволяє змінювати розмір графічної області, параметри виведення графіка (наприклад, тип і колір лінії, вид точок і спосіб їх з'єднання).

Разом із звичайними обчисленнями виразів пакет дозволяє здійснити ітеративні обчислення, вибираючи для обчислення значень одного і того ж виразу різні значення змінних, що входять до нього. Досягається це використанням ранжируваних змінних, таблиць і векторів. Ранжирувана змінна – це змінна, якій приписано діапазон змінних значень, і кожне використання такої змінної сприймається пакетом як необхідність провести обчислення за всіма її значеннями.

Результати таких нарахувань можна або зберегти в масивах, або зобразити у вигляді векторів таблиць або графіків.

Для завдання ранжируваній змінній слугує наступна конструкція:

t=ПочатЗнач, НастЗнач..ОстанЗнач,

де арґументи ПочатЗнач і ОстанЗнач визначають значення меж зміни значень ранжируваній змінній (); арґумент НастЗнач визначається як ПочатЗнач + Крок, Крок – значення, з яким повинне змінюватися ранжирувана змінна (символ „..” вводиться за допомогою клавіші „:”) Якщо у визначенні ранжируваної змінної арґумент опущено – це означає, що значення ранжируваної змінної змінюються з кроком, що дорівнює одиниці.

Для визначення ранжируваної змінної з кроком 1 необхідно задати ; з кроком -1 .

Для визначення ранжируваної змінної з кроком :  чи

Кодування знака ‘‘=’’ після імені ранжируваної змінної приводить до виводу на екран її значень.

Для виведення ранжируваних змінних у вигляді стовпця необхідно задати ранжирувану змінну  та, закодувавши після неї знак ‘‘=’’, отримаємо:

чи

Приклади виконання самостійної роботи

Приклад 1. Обчислити a, b, якщо x=2, y=0,5, z=10,

; .

Розв’язок

Приклад 2. Знайти , якщо натуральне число n=9, ; ; ; 10.

Розв’язок

Приклад 3. Побудувати графіки функцій  та  на інтервалі [0, ] з кроком 0.01.

Розв’язок

Приклад 4. Побудувати графік функції, що заданий таблицею (векторами х і y).

Таблиця 1.2 – Значення х і y

Змінна

Значення змінних

х

-0,7

1,3

2,6

3,5

y

1,6

2,8

3,1

3,9

Розв’язок

Приклад 5. Провести наступні дії над матрицями:

  •  транспонувати матрицю ;
  •  додати матриці  і ;
  •  знайти добутки  і , якщо , ;
  •  обчислити , ;
  •  обчислити визначники матриць , ;
  •  визначити ранґ матриці , .

Розв’язок

Приклад 6. Обчислити визначені інтеґрали , .

Розв’язок

Порядок виконання і завдання для самостійної роботи

  1.  Завантажити пакет MathCAD.
  2.  Обчислити математичні вирази, наведені у табл. Б.1 додатка Б.
  3.  Обчислити вираз, наведений у табл. Б.2 додатку Б, якщо ; ; ; .
  4.  Обчислити визначені інтеґрали, наведені у табл. Б.3 додатка Б.
  5.  Побудувати графіки функцій , , де , , , які визначено на відрізку [а, b] для n точок (табл. Б.4, додаток Б). Графіки функцій подати в одній графічній області. Змінити розмір графічної області, тип з’єднання точок графіків.

Примітка. Для виконання завдання необхідно мати уявлення про принципи роботи у середовищі пакета MathCAD, знати команди математичної панелі інструментів, загальної панелі та панелі редаґування тексту; уміти проводити обчислення в автоматичному (Auto) та ручному (Manual) режимах, задавати ранжирувані змінні і будувати графіки функцій.

Контрольні запитання

  1.  Охарактеризуйте функціональні можливості прикладного пакета MathCAD.
  2.  Назвіть галузі використання пакета і основні об’єкти, з якими він працює.
  3.  Назвіть основні команди математичної панелі інструментів пакета MathCAD.
  4.  Назвіть основні команди загальної панелі та панелі редаґування тексту пакета MathCAD.
  5.  Що таке ранжирована змінна? Як вона задається?
  6.  Як побудувати графіки функцій у пакеті MathCAD?

Література: [5, С. 30-320; 6, С. 22-227].


ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 2

ТЕМА. Розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь

МЕТА: вивчення чисельних методів розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь і придбання навичок їх розрахунку на ЕОМ з використанням пакета MathCAD.

Рекомендації щодо оброблення результатів

Ряд задач аналізу і синтезу фізичних систем різної природи (механічних, гідравлічних, електричних тощо) зводяться до розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь (СЛАР). Система n лінійних алґебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд [1, 7, 11]:

 (2.1)

або у векторно-матричній формі

,  (2.2)

де   матриця коефіцієнтів;   вектор-стовпець вільних членів;   вектор-стовпець невідомих.

Запис системи (2.1) у вигляді матричного рівняння (2.2) відрізняється компактністю, дозволяє простіше оцінити властивості й закономірності явищ, спрощує і систематизує операції з перетворення і розв’язання початкових рівнянь.

Насамперед, під час розв’язання СЛАР треба переконатися, що вона має єдиний розв’язок (тобто матриця коефіцієнтів спільна) – якщо ранґ (rang) матриці A дорівнює ранґу розширеної матриці D: rang A = rang D. Система також має єдине розв’язання, якщо rang A дорівнює кількості невідомих n, і нескінченно багато розв’язань, якщо rang An. Якщо матриця A квадратна та її визначник (детермінант) не дорівнює нулю: detA0, то вона називається невласною (неособливою). Матриця, що є невласною, спільна, і має єдине розв’язання.

Для розв’язання рівняння (2.2) необхідно виконати наступні дії:

;

, (2.3)

де  – обернена матриця для матриці A.

Обчислення оберненої матриці здійснюють у такому порядку:

  •  транспонувати початкову матрицю А, тобто знайти  (замінити рядки матриці її стовпцями);
  •  замінити кожний елемент отриманої матриці її алґебраїчним доповненням , де  – мінор елемента , визначник (n-1)-го порядку, утворений з даного визначника закреслюванням і-го рядка та і-го стовпця;
  •  обчислити визначник  матриці ;
  •  розділити кожне значення  на .

Розв’язання рівнянь матричним способом не завжди ефективно, оскільки пов’язано з тим, що коефіцієнти матриці А можуть мати різні порядки і при переводу в обернену матрицю накопичується помилка.

Якщо матриця А невироджена, тобто якщо її визначник не дорівнює нулю , то система рівнянь має єдине розв’язання. Значення невідомих  може бути отримано за формулами Крамера:

, , … , , (2.4)

де  і  – відповідно визначники матриць  і А.

Визначник (детермінант)  отримують з  заміною стовпця, складеного з коефіцієнтів  при невідомому , стовпцем, складеним з вільних членів .

Так, наприклад: .

Обчислення визначника матриці 2-го порядку здійснюють за схемою:

. (2.5)

Обчислення визначника матриці 3-го порядку (за правилом Саррюса приписують перші два стовпці) здійснюють таким чином:

 . (2.6)

На практиці для розв’язання матричних рівнянь застосовують прямі (точні) та ітераційні (наближені) чисельні методи. 

Прямими називають методи, які в припущенні, що обчислення ведуть без округлень, дозволяють отримати точне розв'язання за кінцеве число арифметичних операцій.

До прямих методів відносять: метод Крамера, методи Ґаусса і його модифікації. Такі методи застосовують на практиці для розв’язання систем на ЕОМ з числами порядку не вище ніж 103.

Ітераційні методи навіть у припущенні, що обчислення ведуть без округлень, дають наближене розв'язання системи з наперед заданою точністю. Точне розв'язання в даному випадку теоретично може бути отримано як результат нескінченного процесу. Характерними представниками цього класу є метод простих ітерацій, метод Зейделя. На практиці ітераційні методи застосовують для розв’язання систем з числами порядку 106.

Відомо, що у випадках, коли матриця коефіцієнтів містить велику кількість нульових елементів, ітераційні методи заздалегідь дають краще розв’язання, ніж прямі методи.

Обчислення за методом Ґаусса полягає в проведенні двох етапів: прямого і зворотного ходів. Серед елементів  де  матриці А вибирають найбільший за модулем , який називають головним елементом. Відповідний рядок матриці А з номером р називають головним рядком. Припустимо, що . Якщо ця рівність не виконується, то міняємо місцями перший рядок з рядком р і перший стовпець зі стовпцем  і здійснюємо відповідну перенумерацію коефіцієнтів і невідомих. Інформація о перенумерації запам’ятовується. У результаті цих операцій перший рядок стає головним [1, 11].

Прямий хід методу Ґаусса полягає в приведенні початкової матриці до матриці коефіцієнтів трикутного вигляду, у якій елементи під головною діагоналлю дорівнюють нулю. Для цього розділимо на  коефіцієнти першого рівняння (2.1). З кожного рівняння віднімемо перше рівняння, попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при . Над іншими рівняннями системи проводимо аналогічні перетворення. Повторюючи цей процес, отримаємо рівносильну систему з трикутною матрицею. У матричному вигляді прямий хід методу Ґаусса можна записати так:

,  (2.7)

де D розширена матриця;   перетворені коефіцієнти матриці A та вектора B.

Зворотний хід методу Ґаусса полягає в перетворенні трикутної матриці так, щоб у перших n стовпцях отримали одиничну матрицю, а в останньому (n+1)-ому стовпчику цієї матриці містилось розв’язання системи. Розв’язання матриці трикутного вигляду (2.7):

. (2.8)

Вибір як головного найбільшого за модулем елемента матриці А забезпечує найменшу величину , на яку помножують головний рядок у процесі послідовного виключення невідомих. Це, у свою чергу, істотно зменшує похибку обчислень. Метод Ґаусса з вибором головного елемента надійний, простий і широко застосовується під час розв’язання СЛАР на ЕОМ.

Під час використання ітераційних методів СЛАР необхідно привести систему (2.1) до ітераційного вигляду [1]:

 (2.9)

або у матричній формі [7]:

 , k=1, 2, . . .  (2.10)

де k – номер ітерації.

Елементи матриці та вектора обчислюють за формулами:

; ; ; i, j=1,2,..., n

Ітераційний процес припиняється при виконанні умови:

, (2.11)

де – задана точність.

Приведення початкової СЛАР до вигляду (2.10) може бути виконано різними засобами, але необхідно вибрати такий, щоб система (2.10) приводила до ітераційного процесу, який збігається. Таку задачу завжди розв’язують за допомогою лінійних комбінацій, якщо система має розв’язання. Аналіз збіжності ітераційних методів розв’язання СЛАР пов'язаний з поняттям норми матриці. Найбільше поширення отримали наступні норми матриць [1, 7]:

  максимальна із сум модулів коефіцієнтів при невідомих у правій частині системи (2.9), узятих по рядках, має бути менше одиниці;

максимальна із сум модулів коефіцієнтів при невідомих у правій частині системи (2.9), узятих по стовпцях, має бути менше одиниці;

 сума квадратів усіх коефіцієнтів при невідомих у правій частині системи (2.9) має бути менше одиниці.

Існує правило: якщо хоча б одна з перелічених норм матриці коефіцієнтів рівняння (2.10) менше одиниці, то ітераційний процес буде збіжним при будь-якому виборі початкового наближення. Для застосування ітераційного процесу можна скористатися нерівністю

. (2.12)

Тобто, якщо діагональні елементи матриці A переважають інші, то для даної матриці можна застосовувати ітераційний процес. Якщо нерівність (2.11) не виконується, то за допомогою лінійних комбінацій можна досягти виконання вказаної вимоги.

У деяких випадках, зручно оцінити кількість ітерацій для досягнення заданої точності розв’язання системи (2.8):

, (2.13)

де   норма вектора коефіцієнтів вільних членів системи (2.10).

Рекомендації щодо оброблення результатів у пакеті MathCAD

Пакет MathCAD має достатній арсенал засобів роботи з матрицями. Зокрема, що стосується розв’язання СЛАР, то для перевірки вимог щодо визначення, чи має система розв’язання, можна використовувати функцію rank(A) обчислення рангу матриці та оператор   обчислення визначника матриці коефіцієнтів.

Чисельне розв’язання СЛАР у пакеті MathCAD можна здійснити різноманітними засобами. Зокрема, СЛАР можна розв’язати матричним методом за допомогою запису (2.3), а також убудованими функціями: lsolve(A,B) і rref(D), де параметри A і B відповідають параметрам рівняння (2.3). Функція rref(D) реалізує прямий та зворотний хід методу Ґаусса [5, 6].

Крім того, у пакеті MathCAD можна отримати розв’язання СЛАР ітераційними методами, реалізуючи їх як засобами пакета, так і звичайним математичним записом. Однак слід зазначити, що реалізація останнього засобу в пакеті MathCAD не є ефективною (далі як демонстрацію наведено приклад організації ітераційного методу засобами пакета).

Для реалізації першого засобу (вбудованими можливостями) розв’язання СЛАР можна використовувати так званий "обчислювальний блок" з директивою Given та функціями Find, Minerr1. Обчислювальний блок починається службовим словом – директивою Given і має таку структуру [5, 6]:

Given

Рівняння

Обмеження

Вирази з функціями Find або Minerr

У блоці використовується одна з двох функцій:

Find(v1,v2,…,vn) – повертає значення однієї або кількох змінних для точного розв’язання;

Minerr(v1,v2,…,vn) – повертає значення однієї або кількох змінних для наближеного розв’язання.

Між цими функціями існує принципова різниця. Перша функція намагається знайти точне розв’язання. Друга функція намагається знайти максимальне наближення до точного розв’язання (навіть до неіснуючого розв’язання) шляхом мінімізації середньоквадратичної похибки розв’язання. Для обчислення та перевірки збіжності ітераційного процесу (тобто обчислення норми матриці) можна застосувати одну з передбачених функцій пакета (наведені у тій самій послідовності, як і вище):

norm1(A),   norm2(A),   norme(A).

Слід зауважити, що розв’язання СЛАР з використанням обчислювального блока залежить від значення змінної TOL (точність, з якою пакет виконує обчислення).

Приклади виконання самостійної роботи

Приклад 1. Розв’язати СЛАР методом Ґаусса:

 

Розв’язок

Розділивши рівняння (1) на коефіцієнт при  цього рівняння, отримаємо

 . (2.14)

Помножимо рівняння (2.14) на коефіцієнт при  рівняння (2) і результат віднімемо з (2). Отримаємо

.

Помножимо рівняння (2.14) на коефіцієнт при  рівняння (3) і результат віднімемо з (3). Отримаємо

.

Таким чином, система рівнянь має вигляд:

 

Розділивши рівняння (4) на коефіцієнт при  цього рівняння, маємо:

 (2.15)

Помноживши рівняння (2.15) на коефіцієнт при  рівняння (5) і віднявши з (5), отримуємо:

.

Отже, . Тоді , .

Приклад 2. Привести задану систему до вигляду, придатного для застосування методу ітерацій:

 (2.21)

Знайти приблизне розв’язання системи з точністю .

Розв’язок

Система (2.21) не містить рівнянь з коефіцієнтами, модулі яких більше суми модулів інших коефіцієнтів рівнянь. Шляхом еквівалентних перетворень приводимо задану систему до вигляду:

 (2.22)

Перед кожним рівнянням системи (2.22) відносно , друге – відносно , третє – відносно , отримаємо систему вигляду

  (2.23)

Обчислимо норму матриці А системи (2.23)

.

Перевіряємо достатні умови збіжності методу простої ітерації за умови: , отже, збіжність за методом ітерацій ґарантовано.

Перевіряємо умови припинення ітераційного процесу. Використовуючи (2.10), отримуємо

 

Знаходимо наближене розв’язання системи методом простої ітерації. Візьмемо як початкове наближення стовпець вільних членів, тобто

; ;.

Підставляючи , ,  до правої частини системи (2.23), отримуємо , , .

Продовжуючи ітераційний процес, при  маємо:

; ;.

При :

; ;.

Знаходимо модулі різниць  при , :

 

Обчислення можна припинити при , оскільки вказані оцінки свідчать про досягнення необхідної точності. Як розв’язання візьмемо:

; ; .

Приклад 3. Розв’язати СЛАР прямими методами засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Приклад 4. Розв’язати СЛАР ітераційними методами засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Приклад 5. Розв’язати СЛАР за допомогою обчислювального блока пакета MathCAD.

Розв’язок

Завдання для самостійної роботи

  1.  Розв’язати СЛАР методом Ґаусса:

 

  1.  Знайти наближене розв’язання системи

методом простої ітерації з точністю

  1.  Розв’язати СЛАР, використовуючи розглянуті прямі та ітераційні методи:

 

Коефіцієнти і вільні члени СЛАР заданої системи рівнянь наведено у табл. Б.5 додатка Б.

Порядок виконання самостійної роботи

Розв’язання СЛАР матричним методом і за допомогою функції lsolve.

Для виконання завдання необхідно:

  1.  Задати матрицю коефіцієнтів системи, матрицю-стовпець вільних членів.
  2.  Упевнитися, що СЛАР має розв’язання, для чого необхідно обчислити детермінант або ранґ матриці (як зроблено в прикладах).
  3.  Розв’язати СЛАР за формулою (2.3).
  4.  Перевірити правильність розв’язання множенням матриці коефіцієнтів на матрицю-стовпець розв’язання, зробити висновки.
  5.  Знайти розв’язання системи за допомогою функції lsolve.

Розв’язання СЛАР методом Ґаусса

  1.  Задати матрицю коефіцієнтів системи, матрицю-стовпець вільних членів.
  2.  Отримати розширену матрицю системи, наприклад, за допомогою функції augment.
  3.  Привести розширену матрицю системи до матриці, що має вигляд сходинки (функція rref).
  4.  Отримати матрицю-стовпець розв’язання системи.
  5.  Перевірити правильність розв’язання множенням матриці коефіцієнтів на матрицю-стовпець розв’язання, зробити висновки.

Розв’язання СЛАР ітераційним методом та за допомогою обчислювального блока

  1.  Задати матрицю коефіцієнтів системи, матрицю-стовпець вільних членів і точність обчислень (можна скористатись вбудованою змінною пакета TOL, наприклад ; значення за замовчуванням ).
  2.  Перетворити початкову систему до вигляду (2.9).
  3.  Перевірити збіжність ітераційного процесу (обчислити будь-яку норму матриці: функції norm1(A),   norm2(A),   norme(A)).
  4.  Задати кількість ітерацій (можна скористатися формулою (2.13)).
  5.  Задати у вигляді матриці-стовпця початкове (нульове) наближення до шуканого розв’язання.
  6.  Увести формулу ітераційного процесу, за якою й розв’язати СЛАР.
  7.  Обчислити похибку отриманого наближення, зробити висновки.
  8.  Задати початкові наближення (можна окремими змінними, як це зроблено в прикладі 5; можна матрицею-стовпцем; можна індексованими змінними через клавішу "[").
  9.  Записати обчислювальний блок, використовуючи функції Find або Minerr (під час запису рівнянь системи необхідно  використовувати символьне дорівнює “Ctrl – ‘‘=”).

Примітка. Для виконання завдання необхідно мати уявлення про процедуру розв’язання матричних рівнянь з використанням формул Крамера, оберненої матриці, метода Ґаусса, ітераційних методів і застосування засобів пакета MathCAD.

Контрольні запитання

  1.  Наведіть загальний вигляд СЛАР.
  2.  Запишіть СЛАР у матричному вигляді й наведіть її розв’язання, використовуючи формули Крамера.
  3.  Назвіть основні типи й властивості матриці.
  4.  Як обчислюють визначник матриці?
  5.  Які дії виконують над матрицями?
  6.  Які матриці називають однорідними, визначеними?
  7.  Як здійснюють обернення й транспонування матриць?
  8.  На які групи поділяють на практиці методи, що використовують для розв’язання СЛАР? Дайте порівняльну оцінку методам розв’язання СЛАР.
  9.  У чому полягає суть методу Ґаусса з вибором головного елемента? Поясніть поняття “прямий” та “зворотний” хід методу Ґаусса. Навіщо у методі Ґаусса потрібний етап “вибір головного елемента”?
  10.  Як перевірити збіжність методу?
  11.   У чому полягає метод простих ітерацій?
  12.   Що є умовою закінчення ітераційного процесу?
  13.   Як засобами пакета MathCAD розв’язують СЛАР?

Література: [1, C. 24-59; 7, C. 65-118; 11, C. 55-63].


ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 3

ТЕМА. Розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем

МЕТА: набуття навичок застосування методів розв’язання нелінійних рівнянь

та їх систем з використанням засобів пакету MathCAD.

Рекомендації щодо оброблення результатів

У практиці наукових та інженерних розрахунків часто виникає необхідність у розв’язанні рівнянь вигляду

,  (3.1)

де  – функція, яка визначена і неперервна на деякому кінцевому або нескінченному інтервалі .

Якщо функція являє алґебраїчний поліном, то рівняння (3.1) називають алґебраїчним. Якщо функція містить логарифмічні, тригонометричні та інші спеціальні функції, то рівняння (3.1) називають трансцендентним. Алґебраїчні та трансцендентні рівняння обчислюють однаковими методами.

Переважну більшість нелінійних рівнянь з однією змінною не розв’язують шляхом аналітичних перетворень. На практиці їх розв’язують лише чисельними методами. Розв’язати таке рівняння – це означає встановити, має воно корені, скільки коренів і знайти значення коренів із заданою точністю [2, 7, 11].

Розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною

Процес відшукання кореня рівняння  складається з двох етапів:

1) відділення коренів, тобто відшукання інтервалів, у яких міститься по одному кореню рівняння, єдиному на даному інтервалі;

2) уточнення значень окремих коренів до деякої заданої міри точності.

Найбільш поширеними на практиці чисельними методами розв’язання рівнянь вигляду (3.1) є: метод поділу навпіл, метод хорд, метод дотичних (Ньютона), метод простої ітерації.

На першому етапі під час виділення області, у межах якої знаходяться дійсні корені рівняння, можна скористатися наступною умовою. Якщо на кінцях деякого відрізка значення неперервної функції  має різні знаки, то на цьому відрізку рівняння  має хоча б один корінь.

Під час графічного способу визначення наближених коренів будують графік функції, абсциси точок перетину якого з віссю Ох дадуть наближені значення коренів.

На другому етапі виконують уточнення коренів різноманітними ітераційними методами. Для розв’язку рівняння (3.1), функція  має бути неперервною на проміжку  й задовольняти умові . Крім того, як й у всіх ітераційних методах, головною характеристикою є збіжність ітераційного процесу.

У методі поділу навпіл відрізок  ділять навпіл і вибирають той напівінтервал, на кінцях якого знаки функції  різні (рис. 3.1). Потім процес поділу повторюється доти, доки довжина інтервалу, що містить корінь, не стане меншою за точність . Метод поділу навпіл досить повільний, однак він завжди збігається, тобто під час його використання розв’язання отримують завжди, причому із заданою точністю.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація методу ділення навпіл

У методах простих ітерацій, хорд, Ньютона (метод дотичних) використовують значення початкового (нульового) наближення до шуканого кореня. У цих методах ітераційний процес здійснюють за формулою, яку в загальному вигляді можна записати так:

, (3.2)

де за  позначено вираз, який для кожного зі згаданих методів свій; k – номер ітерації.

У методі простої ітерації (послідовних наближень) рівняння (3.1) замінюють рівносильним рівнянням , за яким і здійснюють ітераційний процес. На практиці функцію часто вибирають у вигляді: , де  – константа (). Якщо,  усюди на відрізку , на якому вхідне рівняння має єдиний корінь, то, виходячи з деякого початкового значення , що належить відрізку , можна побудувати таку послідовність [2]:

, , …, .

Межею цієї послідовності є єдиний корінь рівняння  на відрізку . Похибку наближеного значення  кореня , знайденого методом ітерацій, оцінюють нерівністю

.

Для знаходження наближеного значення кореня з похибкою, що не перевищує , достатньо визначити  так, щоб виконувалася нерівність:

.

Метод хорд. Нехай необхідно обчислити дійсний корінь рівняння , ізольований на відрізку . Розглянемо графік функції  (рис. 3.2). Нехай  и . Точки графіка  и  з’єднаємо хордою. За наближене значення шуканого кореня візьмемо абсцису  точки перетину хорди АВ з віссю Ох [2].

Це наближене значення знаходять за формулою:

,

де  належить інтервалу .

Нехай, наприклад, , тоді за новий (більш вузький) проміжок ізоляції кореня можна взяти . З’єднавши точки  і , отримаємо у точці перетину хорди з віссю Ох друге наближення , яке обчислюють як:

,

і т.д.

Послідовність чисел , , , … прагне до шуканого кореня рівняння . Обчислення наближених значень коренів рівнянь слід вести доти, доки не буде досягнуто заданого ступеня точності.

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація методу хорд

Якщо  – точний корінь рівняння , ізольований на відрізку , а  – наближене значення кореня, знайдене методом хорд, то оцінка похибки цього наближеного значення:

.

Ідея методу Ньютона зводиться до заміни функції  на кожній ітерації дотичною до неї в точці . У цьому методі за початкове наближення  вибирають той з кінців відрізка , у якому знаки  і  співпадають, тобто  і обчислення проводять за формулою:

.

Найчастіше вибирають  або  залежно від того, для якої з цих точок виконується вказана умова.

Застосовуючи цей спосіб, отримуємо:

,

Геометричну інтерпретацію методу Ньютона наведено на рис. 3.3.

Рисунок 3.3 – Геометрична інтерпретація методу Ньютона

Таким чином, у цих методах відстань між черговим  і попереднім , наближеннями до кореня буде зменшуватися з кожною ітерацією. Процес уточнення кореня закінчується, коли виконується умова:

, (3.3)

де – допустима похибка визначення кореня.

Для оцінки похибки наближеного значення кореня за методом Ньютона може бути використано нерівність:

.

Ефективність чисельного методу розв’язання нелінійних рівнянь значною мірою визначається його універсальністю, простотою організації обчислювального процесу, швидкістю збіжності.

Найбільшою універсальністю володіє метод ділення навпіл. Він ґарантує отримання розв’язання для будь-якої неперервної функції , якщо знайдено інтервал, на якому вона міняє знак. Методи послідовних наближень і Ньютона ставлять до функції жорсткіші вимоги. Обчислення методом ділення навпіл можна починати з будь-якого відрізка , на кінцях якого функція має різні знаки. При цьому процес сходиться до кореня  рівняння . Збіжність методу послідовних наближень і Ньютона залежить від вибору початкової точки. Під час розв’язання практичних завдань не завжди вдається перевірити виконання необхідних обмежень на вибір початкового наближення. Під час реалізації вказаних методів необхідно передбачати обчислення похідних функції для організації ітераційного процесу і перевірки умов збіжності. Це істотно ускладнює обчислення.

Важливою перевагою методу Ньютона є висока швидкість збіжності, що забезпечує значну економію машинного часу під час розв’язання складних нелінійних рівнянь.

Розв’язання систем нелінійних рівнянь

Систему n нелінійних (алґебраїчних чи трансцендентних) рівнянь з n невідомими в загальному випадку може бути записано так:

.

Такі системи розв’язують практично тільки ітераційними методами, найбільше поширення серед яких отримали методи Ньютона і Зейделя.

Метод Ньютона ґрунтується на введенні матриці Якобі - матриця перших частинних похідних функцій за змінними  причому функції  є неперервно диференційованими. Якщо матриця  не є виродженою, то система має єдине розв’язання. Вибирають вектор початкових наближень  і розв’язують лінійну систему: , де  – вектор, що є розв’язанням системи. Наступне наближення обчислюють за формулою: . Ітераційний процес припиняється, якщо виконується умова  для кожного .

За початкове наближення  може бути взято будь-яке значення шуканого кореня. Однак метод Ньютона ефективний у достатньо малому окілу кореня.

У методі Зейделя початкову систему нелінійних рівнянь замінюють еквівалентною . Задають початкові наближення і здійснюють ітераційний процес Зейделя, аналогічний однойменному процесу розв’язання СЛАР:

,

тобто вже обчислені наближення невідомих  використовують під час обчислення . Як критерій припинення ітераційного процесу може бути використано умову: ,

де – задана точність обчислень. Обчислення за методом Зейделя достатньо прості. Однак отримання системи , еквівалентній початковій  з одночасним забезпеченням збіжності, є складною задачею. Ітераційний процес збігається за умови:

.

Рекомендації щодо оброблення результатів в пакеті MathCAD

Етапи відділення та уточнення коренів нелінійного рівняння достатньо легко реалізувати як засобами пакета MathCAD, так і методами, що описано вище.

Для чисельного обчислення коренів рівнянь з однією змінною в пакеті призначені функції polyroots і root. Перша функція має наступний формат polyroots (“Вектор”), і дозволяє обчислити корені (як дійсні, так і комплексні) звичайного полінома ступеня n. Аргумент “Вектор” – матриця-стовбець розмиру , елементами якого є коефіцієнти полінома. Функція повертає розв’язання у вигляді матриці-стовпця.

Функція root обчислює один корінь (дійсний або комплексний) і має наступний формат

root (“Вираз”, “Змінна”).

Арґумент “Вираз” визначає ліву частину рівняння (3.1), арґумент “Змінна” вказує ім’я ведучої змінної (початкове наближення), відносно якої розв’язують рівняння. Перед використанням функції root значення ведучої змінної повинно бути визначено (наприклад, з графіка функції). Пакет використовує це значення () як початкову точку для організації послідовних наближень до шуканого кореня , припиняючи обчислення під час виконання вимоги , тобто наближене обчислення кореня проводять з точністю, що визначається значенням зумовленої змінної пакета TOL (за замовчанням TOL = 0.001). Під час обчислення дійсного кореня змінній  надається дійсне значення, а під час обчислення комплексного – комплексне. При перевищенні наперед заданої кількості ітерацій без виконання даної вимоги пакет припиняє обчислення та ідентифікує функцію root діагностичним повідомленням “Not converning” – немає збіжності. Основними причинами появлення даного повідомлення є:

  •  відсутність у функції f(x) кореня даного типу;
  •  некоректне визначення першого наближення ;

Розв’язок систем нелінійних рівнянь здійснюють за допомогою обчислювального блока (Given, Find та Minerr), застосування якого описано у практичній роботі 2.

Приклад виконання самостійної роботи

Приклад 1. Методом простої ітерації знайти наближене значення кореня рівняння  з точністю 0,001.

Розв’язок

Знайдемо інтервал ізоляції дійсного кореня рівняння. Подамо дане рівняння у вигляді  і побудуємо графік функції  і . Абсциса точки М перетину цих графіків знаходиться на проміжку [1, 2], тому за початкове значення  можна взяти  (рис. 3.4).

Рисунок 3.4 – До прикладу 1

Запишемо вхідне рівняння у вигляді . Тут , , тобто  на проміжку [1, 2] і тому метод ітерацій можна застосовувати. Знайдемо перше наближене значення:

.

Знайдемо друге і наступні наближення:

;

;

;

Таким чином, шуканий корінь .

Приклад 2. Методом хорд знайти позитивний корінь рівняння  з точністю до 0,01.

Розв’язок

Позитивний корінь поміщений у проміжку (1; 1,7), оскільки , а .

Знайдемо перше наближене значення кореня за формулою:

.

Так як , то знову застосуємо метод хорд до проміжку (1,588; 1,7):

; .

Знайдемо третє наближене значення:

; .

Знайдемо четверте наближене значення:

; .

Отже, з точністю до 0,01 шуканий корінь дорівнює 1,64.

Приклад 3. Розв’язати приклад 2 методом Ньютона (дотичних).

Розв’язок

Тут , , . Так як  і  при  мають один і той же самий знак, а саме  і , то скористуємося формулою , де . Тоді

.

Застосуємо знову метод дотичних. Маємо  де , ; значить

.

Аналогічним чином знаходимо ; , тобто

.

Отже, шуканий корінь з точністю до 0,01 дорівнює 0,64.

Приклад 4. Обчислити корені рівняння  засобами пакету MathCAD з точністю .

Розв’язок

Зауваження. Операція  – називається векторизацією – поелементна робота зі значеннями матриці.

Приклад 5. Обчислити корені рівняння  засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Для графічного відділення коренів рівняння зручно окремо побудувати графіки функцій  та . З графіка видно, що рівняння має один корінь, який належить відрізку [1; 1.5].

Приклад 6. Обчислити корені рівняння  на інтервалі  засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Під час розв’язання цієї задачі можливі два підходи: а) послідовне визначення (із графіка) початкового наближеного значення кореня й уточнення його функцією root; б) автоматизоване обчислювання значень коренів із допомогою введеної функції користувача.

Приклад 7. Обчислити корінь рівняння  на інтервалі [0, 3] з точністю  методом поділу навпіл та Ньютона засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Приклад 8. Обчислити корінь рівняння  на інтервалі [0,1; 2] методом хорд засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Приклад 9. Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь з використанням обчислювального блока пакета MathCAD.

Розв’язок

а) за допомогою обчислювального блока Given-Find:

б) за допомогою оптимізаційного блока Given-Minerr:

Не завжди можна отримати розв’язання системи нелінійних рівнянь за допомогою обчислювального блока Given-Find. У цьому випадку застосовують оптимізаційний блок Given-Minerr, який дозволяє здійснити вибір методу пошуку розв’язання системи нелінійних рівнянь з таких як: Квазі-Ньютона, Левенберга-Маркварда, З’єднаного ґрадієнта. Вибір методу здійснюють натисканням правою клавішею миші на команді „Minerr”. На рисунку продемонстровано вибір методу Левенберга-Маркварда. За замовчуванням оптимізаційний блок розв’язує запропоновану систему нелінійних рівнянь методом З’єднаного ґрадієнта.

Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь за допомогою оптимізаційного блока Given-Minerr різними методами:

Квазі-Ньютона

З’єднаного градієнта

Левенберга-Маркварда

Зважаючи на отримані результати, необхідно проводити розрахунок різними методами розв’язання систем нелінійних рівнянь і проводити перевірку отриманих коренів. У результаті вибирати той метод, який дає найменшу похибку обчислення.

Приклад 10. Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь

методом Ньютона з точністю  засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Видно, що  є розв’язком системи, що розв’язують.

Матриця Якобі  задається функцією користувача, кожний елемент якої обчислюють так: з транспонованого (позначка "Т") вектора  виділяється (позначка "<n>") стовбець з номером n залежно від номера стовпця матриці Якобі. За допомогою функції tr вибирають перший елемент n-го стовпця транспонованого вектора , для якого й обчислюють частинну похідну за вказаною змінною.

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1. Методом ітерацій розв’язати рівняння  з точністю до 0,01.

Завдання 2. Методом хорд знайти наближене значення дійсного кореня рівняння  на інтервалі [0; 0,6]. Наближене значення  і  обчислити з двома знаками після коми. Оцінити похибку наближеного значення .

Завдання 3. Методом Ньютона знайти наближене значення дійсного кореня рівняння  на інтервалі [1,6; 2]. Наближене значення  і  обчислити з двома знаками після коми. Оцінити похибку наближеного значення .

Завдання 4. Для заданої функції відділити корені використовуючи графічні методи та знайти наближене розв’язання нелінійного рівняння методом поділу навпіл, Ньютона, хорд, а також використовуючи обчислювальний блок з точністю до 0,001 засобами пакета MathCAD. Варіанти нелінійних рівнянь наведено у табл. Б.6 додатка Б.

Завдання 5. Знайти наближене розв’язання системи нелінійних рівнянь за допомогою обчислювального блоку та методу Ньютона засобами пакета MathCAD. Варіанти системи нелінійних рівнянь наведено у табл. Б.7 додатку Б.

Порядок виконання самостійної роботи

  1.  Для виконання завдання 4 необхідно:
  •  задати функцію користувача;
  •  побудувати графік функції;
  •  відділити корені будь-яким раніше описаним засобом та обчислити всі корені рівняння за допомогою функції root, змінюючи точність обчислень (приклад 5, 6);
  •  обчислити корні рівняння, застосовуючи узгоджений з викладачем метод, який розглянуто в теоретичній частині.
  1.  Для виконання завдання 5 необхідно:
  •  задати початкові наближення (окремими змінними);
  •  записати обчислювальний блок, використовуючи функції Find або Minerr (під час запису рівнянь системи необхідно використовувати символьне дорівнює “Ctrl – ‘‘=”).
  1.  Виконати перевірку та аналіз обчислених значень коренів.

Примітка. Для виконання завдання необхідно мати уявлення про процедуру розв’язання нелінійних рівнянь і систем методами поділу навпіл, послідовних ітерацій, хорд, Ньютона, Зейделя та засобами пакета MathCAD.

Контрольні запитання

  1.  Наведіть класифікацію нелінійних рівнянь.
  2.  Що є розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем?
  3.  Чим викликана необхідність застосування чисельних методів розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем?
  4.  З яких етапів складається знаходження коренів нелінійних рівнянь?
  5.  Що значить відділити та уточнити корені?
  6.  Як графічне відділення коренів уточнюють за допомогою обчислень? Які властивості функції однієї змінної при цьому використовують?
  7.  У чому суть методу відділення коренів?
  8.  У чому суть методу поділу навпіл?
  9.  Як оцінюють похибку кореня, знайденого методом поділу навпіл?
  10.  У чому суть методу хорд? Як вибирають початкове наближення?
  11.  У чому суть методу Ньютона для розв’язку нелінійних рівнянь та їх систем? Як вибирають початкове наближення?
  12.  У чому суть методу простої ітерації для розв’язку нелінійних рівнянь?
  13.  У чому суть методу Зейделя для розв’язку систем нелінійних рівнянь?
  14.  Провести порівняльний аналіз ефективності розглянутих методів.
  15.  Як функціями пакета MathCAD обчислити корені алґебраїчних, трансцендентних рівнянь та їх систем?
  16.  Як впливає значення змінної TOL на обчислення коренів рівнянь?

Література: [2, С. 321-330; 7, С. 119-136; 11, С. 63-76].


ПІДГОТОВКА ДО МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЮ

Перелік питань до модуля 1

  1.  Джерела та класифікація похибок.
  2.  Похибки вихідних даних.
  3.  Похибки апроксимації.
  4.  Похибки обчислень.
  5.  Ефективність методу.
  6.  Абсолютна та відносна похибки.
  7.  Похибки арифметичних операцій.
  8.  Прямі та наближені методи розв’язання СЛАР.
  9.  Матричний метод. Формули Крамера.
  10.  Метод виключення Ґаусса.
  11.  Метод Ґаусса єдиного розподілу.
  12.  Схема Ґаусса з вибором головного елемента.
  13.  Умови збіжності ітераційного процесу. Метод простої ітерації (метод Якобі).
  14.   Метод Ґаусса-Зейделя.
  15.  Рівняння з одним невідомим. Методи розв’язання.
  16.  Методи відділення коренів: графічні та числові.
  17.  Метод поділу навпіл.
  18.  Метод Ньютона.
  19.  Метод хорд.
  20.  Метод простих ітерацій.
  21.  Перевірка та обчислення похибки знайденого розв’язку нелінійних рівнянь.


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1.  Заварыкин В.М. и др. Численные методы: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальности пед. институтов. – М.: Просвещение, 1990. –
    340 с.
  2.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1997. – 416 с.
  3.  Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
  4.  Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики: Перевод с английского В.Н. Жаркова– М.: Издательство «МИР», 1970. – 352 с.
  5.  Дьяконов В.П. Mathcad 8/2000: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 592 с.
  6.  Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 7 в математике, физике и в Internet. – М.: Нолидж, 1999. – 352 с.
  7.  Луговой А.В., Путятин Е.П., Смагин Д.М., Степанов В.П. С++. Решение инженерных задач: Учеб. пособие. – Кременчуг: КГПУ, 2004. – 340 с.
  8.  Майзер Х., Эйджин Н., Тролл Р. и др. Исследование операций: В 2 томах Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби: Пер. с англ. – М.: Мир, 1981.
  9.  Метьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с.
  10.  Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: Наука,1987. – 157 с.
  11.  Фурунжиев Р.И. и др. Применение математических методов и ЭВМ. – Мн.: Выш. шк., 1988. –  191 с.
  12.  Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1972. – 400 с.


Додаток А

Зразок оформлення титульної сторінки звіту з практичної роботи

Міністерство освіти і науки України

Кременчуцький державний політехнічний університет

імені Михайла Остроградського

Інститут електромеханіки, енергозбереження і комп’ютерних технологій

Кафедра систем автоматичного управління та електроприводу

навчальна дисципліна

«Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ»

Звіт

З практичного заняття № 1

Виконав:

студент групи ________

_____________________

Перевірив:

викладач кафедри САУЕ

_____________________

Кременчук 200__


Додаток Б

Варіанти завдань для самостійної роботи

Таблиця Б.1 – Варіанти математичних виразів

№ вар.

Вираз

Початкові дані

1

,

; ;

2

,

; ;

3

,

; ;

4

,

; ;

5

,

;

6

,

; ;

7

,

; ;

8

,

; ;


Продовження таблиці Б.1

9

,

; ;

10

,

;

11

,

;

12

,

;

13

,

;

14

,

;

15

,

;

16

,

;

17

,

;

18

,

;

19

,

;


Продовження таблиці Б.1

20

,

;

21

,

;

22

,

;

23

,

;

24

,

; ;

25

,

;

26

,

; ;

;

27

,

; ;

28

,

;

29

,

; ;

30

,

;


Таблиця Б.2 – Варіанти виразів

№ вар.

Вираз

№ вар.

Вираз

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28


Продовження таблиці Б.2

14

29

15

30

Таблиця Б.3 – Варіанти визначених інтеґралів

№ вар.

Вираз

№ вар.

Вираз

№ вар.

Вираз

1

11

21

2

12

22

3

13

23

4

,

14

24

5

15

25

6

16

26


Продовження таблиці Б.3

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30

Таблиця Б.4 – Графіки функцій

№ варіанту

Функції

Відрізок

n

1

,

40

2

,

50

3

,

[0,5, 2]

30

4

,

[-2, 3]

40

5

,

[-4, 4]

50

6

,

[-1, 3]

40


Продовження таблиці Б.4

7

,

[, ]

50

8

,

[-4, 4]

10

9

,

[-2, 2]

20

10

,

[0,1, 0,5]

30

11

,

[, ]

10

12

,  

[-1, 2]

50

13

,

[-3, 2]

30

14

,

[0,1, 0,5]

20

15

,

[-4, 4]

50

16

,

[-1, 1]

10

17

,

[-3, 3]

20

18

,

[-0,5, 0,5]

30

19

,

[, ]

50

20

,

[-3, 2]

10

21

,

[0,1; 2]

20

22

,

[, ]

40

23

,

[, ]

30


Продовження таблиці Б.4

24

,

[-3, 4]

50

25

,

[1, 2]

20

26

,

[0, ]

10

27

,

[-1, 1,5]

40

28

,

[0,2; 2]

30

29

,

30

,

[-3, 3]

50

Таблиця Б.5 – Коефіцієнти і вільні члени СЛАР

№ вар.

1

1

0,21

-0,45

-0,20

1,91

2

0,30

0,25

0,43

0,32

3

0,60

-0,35

-0,25

1,83

2

1

-3

0,5

0,5

-56,5

2

0,5

-6

0,5

-100

3

0,5

0,5

-3

-210

3

1

0,45

-0,94

-0,15

-0,15

2

-0,01

0,34

0,06

0,31

3

-0,35

0,05

0,63

0,37

4

1

0,63

0,05

0,15

0,34

2

0,15

0,10

0,71

0,42

3

0,03

0,34

0,10

0,32

5

1

-0,20

1,60

-0,10

0,30

2

-0,30

0,10

-1,50

0,40

3

1,20

-0,20

0,30

-0,60


Продовження таблиці Б.5

6

1

0,30

1,20

-0,20

-0,60

2

-0,10

-0,20

1,60

0,30

3

0,05

0,34

0,10

0,32

7

1

0,20

0,44

0,81

0,74

2

0,58

-0,29

0,05

0,02

3

0,05

0,34

0,10

0,32

8

1

6,36

11,75

10

-41,40

2

7,42

19,03

11,75

-49,49

3

5,77

7,48

6,36

-27,67

9

1

-9,11

1,02

-0,73

-1,25

2

7,61

6,25

-2,32

2,33

3

-4,64

1,13

-8,88

-3,75

10

1

-9,11

1,02

-0,73

-1,25

2

7,61

6,25

-2,32

2,33

3

-4,64

1,13

-8,88

-3,75

11

1

1,02

-0,73

-9,11

-1,25

2

6,25

-2,32

7,62

2,33

3

1,13

-8,88

4,64

-3,75

12

1

0,06

0,92

0,03

-0,82

2

0,99

0,01

0,07

0,66

3

1,01

0,02

0,99

-0,98

13

1

0,10

-0,07

-0,96

-2,04

2

0,04

-0,99

-0,85

-3,73

3

0,91

1,04

0,19

-1,67

14

1

0,62

0,81

0,77

-8,18

2

0,03

-1,11

-1,08

0,08

3

0,97

0,02

-1,08

0,06

15

1

0,63

-0,37

1,76

-9,29

2

0,90

0,99

0,05

0,12

3

0,13

-0,95

0,69

0,69

16

1

0,98

8,88

-0,24

1,36

2

0,16

-0,44

-0,88

-1,27

3

9,74

-10,00

1,71

-5,31


Продовження таблиці Б.5

17

1

0,21

-0,94

-0,94

-0,25

2

0,98

-0,19

0,93

0,23

3

0,87

0,87

-0,14

0,33

18

1

3,43

4,07

-106,00

46,8

2

74,4

1,84

-1,85

-26,5

3

3,34

94,3

1,02

92,3

19

1

0,66

0,44

0,22

-0,58

2

1,54

0,74

1,54

-0,32

3

1,42

1,42

0,86

0,83

20

1

0,78

-0,02

-0,12

0,56

2

0,02

-0,86

0,04

0,77

3

0,12

0,44

-0,72

1,01

21

1

1,2357

2,1742

-5,4834

-2,0735

2

6,0696

-6,2163

-4,6921

-4,8388

3

3,4873

6,1365

-4,7483

4,8755

22

1

3,1

1,5

1,0

10,83

2

1,5

2,5

0,5

9,2

3

1,0

0,5

4,2

17,1

23

1

6,1

2,2

1,2

16,55

2

2,2

5,5

-1,5

10,55

3

1,2

-1,5

7,2

16,8

24

1

0,15

2,11

30,75

-26,38

2

0,64

1,21

2,05

1,01

3

3,21

1,53

1,04

5,23

25

1

1,15

0,42

100,71

-198,7

2

1,19

0,55

0,32

2,29

3

1

0,35

3

-0,65

26

1

1,02

-0,25

-0,3

0,515

2

-0,41

1,13

-0,15

1,555

3

-0,25

-0,14

1,21

2,78

27

1

1

2

6

23

2

2

4

-1

7

3

5

-1

-1

0


Продовження таблиці Б.5

28

1

1

1

-1

-2

2

4

-3

1

1

3

2

1

-1

1

29

1

1

1

1

-2

2

1

-1

2

-7

3

2

3

-1

1

30

1

1

-1

3

1

2

2

3

-1

7

3

1

9

-11

11

Таблиця Б.6 – Варіанти нелінійних рівнянь

№ вар.

Рівняння

№ вар.

Рівняння

1

, [-1; 1]

16

, [1; 1,5]

2

, [0,5; ]

17

, [0,2; 1]

3

, [0; 2]

18

,[-1,2;0]

4

, [0; 2]

19

, [0,1; 2]

5

, [0; 1,5]

20

, [0; 2]

6

, [-2; 1]

21

, [0,1; 2]

7

, [-1; 1]

22

, [-2,5; 1,5]

8

, [-2; 1]

23

, [1; 1,2]

9

, [0; 2]

24

, [0,1; 0,6]

10

, [0; 2]

25

, [0,1; 1]

11

, [-2; 2]

26

12

27

, [1; 2,5]

13

, [-2; 1]

28

, [0; 2,5]

14

29

, [-3; -1]

15

, [-2; 1]

30

,[-1;0,2]


Таблиця Б.7 – Варіанти систем нелінійних рівнянь

вар.

Система нелінійних рівнянь

Початкове наближення

1

1; 1

2

1; 2,2; 2

3

0; 0; 0

4

0,5; 0,5

5

3,4; 2,2

6

0; 0

7

1; 0

8

2; 1

9

0; 0

10

0,65; 0,35


Продовження таблиці Б.7

11

0,5; 0,2

12

1,2; 1,7

13

0; 0,5

14

0; 0

15

1; 0,47

16

-

17

2; 3,4

18

-

19

1; 0,5

20

-

21

-

22

1; 4


Продовження таблиці Б.7

23

-

24

2,5; 3

25

-

26

1; 1

27

-

28

1,4;1,2

29

-

30

1; 5


Методичні вказівки щодо практичних занять і самостійної роботи з навчальної дисципліни «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальності 6.092200 – «Електромеханічні системи автоматизації та електропривод» (скорочений термін навчання). Частина І

Укладачі: к.т.н., доц. Т.В. Коренькова,

д.т.н., проф. О.П. Чорний,

асист. Ю.О. Алєксєєва,

асист. В.О. Огарь

Відповідальний за випуск завідувач кафедри САУЕ Д.Й. Родькін

Підп. до др. __________. Формат 60х84 1/16. Папір тип. Друк ризографія.

Ум. друк. арк. ______.  Наклад ___ прим.  Зам. № ________. Безкоштовно.

Видавничий відділ КДПУ

39614, м. Кременчук, вул. Першотравнева, 20

1 Функції Find і Menerr  призначено для розв’язання нерівностей і нелінійних рівнянь. Однак їх можна використовувати й для розв’язання СЛАР.

PAGE  73


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42250. Організація виконання вантажних операцій 540.5 KB
  Структура управління вантажними операціями на залізничному транспорті. Вибір раціонального варіанта механізації навантажувально-розвантажувальних робіт. Основні параметри вантажно-розвантажувальних машин. Показники надійності вантажно-розвантажувальних машин. Застосування і класифікація навантажувачів...
42251. ЭЛЕКТРОМАГНИТ ПОСТОЯННОГО ТОКА 66 KB
  При протекании тока по обмоткам электромагнита создается электромагнитная сила притягивающая магнитную систему к неподвижному якорю. Сила тяги электромагнита через рамку 6 воздействует на пружину 7 которая действует на индикатор перемещения поворачивая стрелку 8. Питание электромагнита осуществляется от источника 220 В через трансформатор Тр и двухполупериодный выпрямительный мост В. Изучить принципиальную схему электромагнита.
42252. КОНТРОЛЬ МАЛОЙ КЛИНОВИДНОСТИ ПЛАСТИН НА ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ ЧАПСКОГО 302 KB
  Рассмотрим возникновение полос равного наклона и определим величину разности хода лучей отраженных под некоторым углом от плоскопараллельной пластины рис. Если поверхности пластины образуют между собой малый угол  то изображения источника 1 в фокальной плоскости 6 разойдутся на расстояние l =n где  фокусное расстояние линзы 5. Первый случай соответствует перемещению пластины в сторону увеличения её толщины второй в сторону уменьшения. Появление или исчезновение кольца соответствует изменению толщины пластины на величину .
42253. Выполнение базовых преобразований на плоскости 98.5 KB
  Трансляция точки выполняется путем добавления смещения [m n] к ее координатам [x y], в результате чего получается точка с новыми координатами. Для объекта, описываемого множеством точек, все точки объекта перемещаются на одинаковые расстояния вдоль параллельных прямых. В матричной форме трансляция выполняется путем умножения однородных координат точки на матрицу трансляции
42254. Базовые алгоритмы 2D-геометрии 638.5 KB
  Геометрически каждая точка на плоскости задается значениями координат радиусвектора относительно выбранной системы координат. В этом случае объект поворачивается относительно оси вращения перпендикулярной плоскости xoy. Наиболее распространен сдвиг в направлении оси x и сдвиг в направлении оси y. Сдвиг выполняется путем умножения однородных координат точки на матрицу сдвига: сдвиг в направлении оси y сдвиг в направлении оси x.
42255. МИКРОПРОГРАММИРОВАНИЕ КОМАНД СМ ЭВМ 75 KB
  Знакомство с принципами микропрограммной эмуляции ЭВМ с программным управлением микропрограммирование машинных команд СМ ЭВМ. Вывод: В ходе работы я ознакомился с принципами микропрограммной эмуляции ЭВМ с программным управлением приобрел навыки микропрограммирования машинных команд СМ ЭВМ.
42256. EMBED PBrush 1007.5 KB
  rry1 db 123423 rry2 db 1500 dup rry3 db 2000 dup 56h В першому випадку кожний елемент масиву ініціалізується незалежно. Багатовимірний масив задається шляхом використання вкладених повторень dup наприклад r1 db 4 dup 3 dup 2 dup В мові Паскаль це еквівалентно наступному оператору r1:rry[0. Наприклад Instr32 struc Opcode dw Modrm db Sib db Disp dd Instr32 ends Сама структура задається в форматі директив визначення даних де в полі мнемокода задається ім'я структури наприклад In1 instr32 Або Min1 instr32 5...
42257. Микропрограммирование кмашинных манд СМ ЭВМ 72 KB
  Знакомство с принципами микропрограммной эмуляции ЭВМ с программным управлением, микропрограммирование машинных команд СМ ЭВМ.
42258. Создание экспертной системы с помощью программы VP-EXPERT 97 KB
  VP-EXPERT – интеллектуальная программа, способная делать логические выводы на основании знаний в конкретной предметной области и обеспечивающая решение специфических задач. VP-EXPERT и другие экспертные системы призваны заменить специалиста в конкретной предметной области, то есть решать задачи в отсутствии эксперта