31275

Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Практичне заняття №1 Інтерполяція функції. 5 Практичне заняття №2 Апроксимація функції. Інтерполяція функції МЕТА: вивчення методів та придбання навичок інтерполяції функцій засобами пакету MathCAD Рекомендації щодо обробки результатів При експериментальному вивченні явища необхідно розв’язувати такі задачі: знайти аналітичний вираз для функції що задана таблицею або графіком; обчислити значення функції що задана таблицею у мимовільній точці деякого відрізку. Нехай для функції що задана вузлами необхідно знайти значення функції...

Украинкский

2013-08-28

4.9 MB

7 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОМЕХАНІКИ, ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ І КОМПЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ І САМОСТІЙНИХ ЗАНЯТЬ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

«Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ»

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ДЕННОЇ ТА ЗАОЧНОЇ ФОРМ НАВЧАННЯ

ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ

6.092200 – «ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЗАЦІЇ ТА ЕЛЕКТРОПРИВОД»

(СКОРОЧЕНИЙ ТЕРМІН НАВЧАННЯ)

ЧАСТИНА II

КРЕМЕНЧУК 2007


Методичні вказівки щодо практичних і самостійних занять з навчальної дисципліни «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальності 6.092200 – «Електромеханічні системи автоматизації та електропривод» (скорочений термін навчання)

Укладачі: к.т.н., доц. Т.В. Коренькова,

 д.т.н., проф. О.П. Чорний,

асист. Ю.О. Алєксєєва,

асист. В.О. Огарь

Рецензент к.т.н., доц. А.П. Калінов

Кафедра САУЕ

Затверджено методичною радою КДПУ ім. М. Остроградського

Протокол №_________від__________2007 р.

Заступник голови методичної ради ___________доц. С.А. Сергієнко


ЗМІСТ

                

Вступ……………...…………………………………………………………...

4

  1.  Практичне заняття №1

Інтерполяція функції....................................................................................

5

  1.  Практичне заняття №2

Апроксимація функції.……………….…………………………………....

  1.  Практичне заняття №3

Чисельне обчислення визначних інтеґралів ……...………...……………

  1.  Практичне заняття №4

Наближене вирішення диференціальних рівнянь та їх систем…………

  1.  Підготовка до модульного контролю…………………………………….

Список літератури……………………………………………………………

Додаток А Зразок оформлення титульного аркушу звіту з практичного заняття…………………………………………………………………………

Додаток Б Варіанти завдань для самостійної роботи……………………...


вступ

Розвиток інформаційних технологій і широке впровадження математичних методів в інженерні дослідження пред’являють підвищенні вимоги к підготовці інженерів з електромеханіки. Дисципліна «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» орієнтує студентів на використання сучасного прикладного програмного забезпечення при розв’язанні різноманітних інженерно-технічних задач. У результаті вивчення дисципліни студент повинен: вибирати та обґрунтовувати використання на практиці числових методів стійких до похибок та найбільш ефективних при їх практичній реалізації на ЕОМ; досліджувати обчислювальні алгоритми, виявляти їх переваги та недоліки, вибирати оптимальні алгоритми розв’язання науково-технічних задач, використовуючи для цього різноманітні пакети програм математичної обробки даних спеціального та загального використання.

Методичні вказівки щодо практичних і самостійних робіт з навчальної дисципліни «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» (частина 1) містять три практичних заняття, які охоплюють перелік питань, що входять до першого модулю з курсу «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» (скорочений термін навчання). Зміст кожного з практичного заняття складається з розгорнутих рекомендацій щодо обробки результатів, прикладів виконання самостійної роботи, містить порядок виконання і завдання для самостійної роботи, вказівки для користування літературними джерелами, контрольні питання для закріплення вивченого матеріалу. Методичні вказівки закінчуються переліком питань до модульного контролю №1.

Звіт з практичного заняття оформлюється на аркушах формату А4. Структура звіту: титульний аркуш (див. додаток А); тема, мета роботи, рекурентні формули використовуваних методів, лістинг проведених у MathCAD розрахунків з поясненнями; висновки.

Варіанти завдань визначаються згідно порядкового номеру студента в журналі академічної групи.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4

ТЕМА. Інтерполяція функції

МЕТА: вивчення методів та придбання навичок інтерполяції функцій засобами пакету MathCAD

Рекомендації щодо обробки результатів

При експериментальному вивченні явища необхідно розв’язувати такі задачі:

  •  знайти аналітичний вираз для функції, що задана таблицею або графіком;
  •  обчислити значення функції, що задана таблицею, у мимовільній точці деякого відрізку.

Нехай для функції , що задана  вузлами , необхідно знайти значення функції  для значень аргументу , які знаходяться в проміжках між вузлами , де . Обчислення значень функції для будь-яких значень аргументу в ділянці визначення функції, яка задана таблицею, виконується за побудовою наближеної функції, що складає задачу інтерполяції.

У більш загальному випадку за допомогою інтерполяції вирішують широке коло задач чисельного аналізу - диференціювання й інтегрування функцій, знаходження екстремумів функцій, вирішення диференціальних рівнянь тощо. Можливість вирішення подібних задач зумовлена достатньо простим виглядом наближеної функції.

Таким чином, задачею інтерполяції є побудова такої функції , яка б набувала в заданих вузлах , значення

, (4.1)

що заздалегідь співпадають із значеннями в заданих точках функції , а в інших точках інтервалу наближено її являла. Найчастіше, замість довільної функції  шукають поліном  ступеню не вище за n, що задовольняє умовам (4.1), тобто

. (4.2)

Нехай

. (4.3)

Коефіцієнти  можна визначити з системи рівнянь:

 (4.4)

Отриману інтерполяційну формулу  й використовують для наближеного обчислення значень функції  для аргументів , . Найбільш відомими методами інтерполяції є: поліноми Лагранжа, формули Ньютона, сплайн-інтерполяція та інше.

Інтерполяційний поліном Лагранжа

Інтерполяційний поліном Лагранжа застосовується в загальному випадку для довільно розташованих вузлів. Нехай є функція , задана таблицею 4.1.

Таблиця 4.1 – Функція, що задана таблицею

x

x0

x1

...

xn

f (x)

y0

y1

...

yn

Необхідно знайти аналітичну залежність, що наближено відображає функціональний зв'язок між аргументами x й відповідними значеннями функції y, та визначити проміжні значення функції , де .

Інтерполяційний поліном  ступеня не вище за n, що проходить через усі вузли інтерполяції, може бути представлений у вигляді:

 , (4.5)

де   Лагранжеві коефіцієнти,

при цьому  . (4.6)

Багаточлен  має вигляд:

  (4.7)

де   постійний коефіцієнт.

При :

 .

Звідси: .

Підставивши  в (4.7) і з урахуванням (4.5) отримаємо інтерполяційний поліном Лагранжа:

  (4.8)

Формула Лагранжа може бути записана у виді:

 (4.9)

де ;

 – диференціал  по .

При цьому в точках  значення поліному  і функції  співпадають. При інших значеннях x різниця  у загальному випадку відмінна від нуля і являє собою істинну похибку методу. Похибка інтерполяційної формули Лагранжа може бути оцінена як:

, (4.10)

де .

Інтерполяційні формули Ньютона

Інтерполяційні формули (поліноми) Ньютона використовуються у випадку значень аргументу (вузлів), що розташовані на однаковій відстані, тобто , . Величина h називається кроком інтерполяції. Розрізняють першу й другу інтерполяційні формули Ньютона.

Перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції в точках х, близьких до початку таблиці. Якщо початкова функція  задана в точках , , де h - крок інтерполяції, то інтерполяційний поліном Ньютона може бути записаний так:

  (4.4)

де

кінцеві різниці, починаючи з першого до n-1 порядку.

Формулу (4.4) зручно записати в іншому вигляді. Для цього вводиться змінна, наприклад,, тоді

    (4.5)

Друга інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції в точках х, близьких до кінця таблиці для функцій із значеннями аргументу, які знаходяться на однаковій відстані. Вона відрізняється від першої лише порядком перебору вузлів:

 (4.6)

Формулу (4.6) також зручно записати в іншому вигляді, ввівши нову змінну, наприклад, , тоді

(4.7)

Інтерполяційний поліном для функції, яка задана таблицею, є єдиним.

Похибка інтерполяційних формул Ньютона обчислюється так, як і для інтерполяційної формули Лагранжа, бо при одних й тих самих вузлах інтерполяції інтерполяційні поліноми Ньютона і Лагранжа співпадають.

Інтерполяція сплайнами

При великій кількості вузлів інтерполяції сильно зростає ступінь інтерполяційних поліномів, що робить їх незручними при обчисленнях. У подібних випадках зручно використовувати сплайн-функцію, яка складається з кусків поліномів. На практиці найбільше використовуються сплайни третього ступеня (так звані "кубічні сплайни"). Постанова задачі може виглядати так: для функції , що задана таблицею значень  необхідно на кожному частковому відрізку  довжиною  побудувати інтерполюючу функцію у вигляді кубічного сплайну

,

де - невідомі коефіцієнти (оскільки сплайн будується для n інтервалів, то необхідно знайти 4n невідомих коефіцієнтів).

Побудова кубічного сплайну грунтується на виконанні наступних умов:

  •  сплайн повинен проходити через ліву  та  праву межі інтервалу;
  •  сплайн повинен бути безперервним (мати однакову крутизну  та кривизну ) в усіх точках інтервалу включаючи вузли;
  •  сплайн у вузлах  та   повинен мати нульову кривизну (тобто друга похідна дорівнює нулю).

Якщо виконати вказані вимоги та вилучити n невідомих , можна записати систему з  рівнянь (з системи вилучені коефіцієнти  оскільки за першою вимогою ):

  (4.8)

Вирішивши систему (4.8) відносно невідомих  отримується сукупність усіх формул для шуканого інтерполяційного сплайну . Треба замітити, що при інтерполяції сплайнами виникають певні труднощі. По-перше, побудова сплайн-фунуції пов’язана з великим об’ємом обчислень, по-друге, форма кінцевого результату - сплайн має різноманітне представлення на різних часткових інтервалах інтерполяції. Деякі етапи побудови кубічного сплайну демонструються в прикладі 2.

Рекомендації щодо обробки результатів в пакеті MathCAD

Інтерполяція функцій

Пакет містить групу вбудованих функцій інтерполяції:

linterp(vx,vy,x) - повертає значення функції в точці x, що обчислюється методом лінійної інтерполяції на основі значень з векторів vx и vy.

lspline(vx,vy) - повертає вектор коефіцієнтів, який використовується функцією interp для побудови лінійного сплайна. При цьому побудований сплайн на межах інтервалу має рівні нулю другу та третю похідні.

pspline(vx,vy) - повертає вектор коефіцієнтів, який використовується функцією interp для побудови параболічного сплайна. При цьому побудований сплайн на межах інтервалу має рівну нулю третю похідну.

cspline(vx,vy) - повертає вектор коефіцієнтів, який використовується функцією interp для побудови кубічного сплайна. При цьому на поведінку сплайна на межах інтервалу ніяких обмежень не накладається.

interp(vs,vx,vy,x)  - повертає інтерпольоване значення в точці x. Вектор vs є результатом, який повертає одна з функцій cspline, pspline або lspline.

У даних функціях використовуються наступні аргументи:

  •  vx, vy - вектори одного розміру, які містять значення аргументу та відповідні значення табличної функції. Елементи векторів повинні бути відсортовані в порядку збільшення значень аргументу;
  •  vs - вектор коефіцієнтів, який повертає одна з функцій cspline, pspline або lspline;
  •  x - значення змінної, в якій необхідно обчислити інтерпольоване значенння у. Передбачається, що значення x лежить у межах зміни елементів vx.

Приклад виконання самостійної роботи

Приклад 1. Обчислити значення функції в точках  за інтерполяційною формулою Лагранжа для функції, що задана таблицею (табл.4.2).

Таблиця 4.2 - Функція, що задана таблицею

x

0

1

2

3

4

y

1.5

1

2.5

3

-0.5

Розв’язок

Приклад 21. Побудувати кубічний сплайн для функції, що задана таблицею (табл. 4.3)

Таблиця 4.3 - Функція, що задана таблицею

x

2

3

5

7

y

4

-2

6

-3

Розв’язок

Прилад 3. Для функції, що задана таблицею (табл. 4.4)

Таблиця 4.4 - Функція, що задана таблицею

Х

0.41

1.55

2.67

3.384

f(x)

2.63

3.75

4.87

5.03

обчислити значення функції в точці x = 1.91.

Розв’язок

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1. Для  функції, що задана таблицею (табл. 4.5), обчислити значення функції для проміжних значень аргументів () за формулами Лагранжа або Ньютона.

Завдання 2. Для  функції, що задана таблицею (табл. 4.5) обчислити значення функції для проміжних значень аргументів () з області існування функції, використовуючи вбудовану функцію пакету лінійної інтерполяції. Побудувати графіки початкової функції й відмітити на ньому вузлові точки (i = 0, 1, . . ., n), а також на цей графік нанести значення, які отримані за допомогою інтерпольованої функції.

Завдання 3. Виконати інтерполювання таблично заданої функції (завдання 1), використовуючи вбудовані сплайн-функції пакета. Побудувати графіки таблично заданої й інтерпольованої функцій.

Завдання за варіантами наведені в таблиці 4.5.

Таблиця 4.5

k

X

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

15

Y

0

N+0.9

N+1.12

N+1.21

1.12+k

0.79

610

X

0.78

2.34

3.12

3.81

4.5

5

-

-

Y

k-0.8

N+0.2

N+1.2

-

-

1115

X

0

0.52

1.04

2.1

2.5

3.1

4.2

5.2

Y

0.45

-1.4-k

1620

X

0

0.3

0.5

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

Y

0.15

-0.2-k

-4.2

2125

X

0

0.15

0.3

0.7

0.9

1

-

-

Y

4.7

0.25

-

-

N – порядковий номер  групи; k- номер варіанта.

Порядок виконання самостійної роботи

  1.  Для виконання завдання 1 необхідно:
  •  для зручності надати вбудованій змінній ORIGIN значення 1;
  •  задати дві матриці-стовпця для значень аргументу та відповідних значень функції (матриці повинні бути відсортовані в порядку збільшення значень аргументу) та проміжне значення аргументу, для якого необхідно обчислити наближення значення функції;
  •  скласти функцію користувача, наприклад Lagrang(x):=…;
  •  перевірити правильність введеної функції обчисленням її значень для табличних аргументів та обчислити інтерпольоване значення функції;
  •  за отриманою формулою побудувати графік інтерпольованої функції, на якому відмітити вузлові точки. (Використовуючи команду X-Y Plot Format, можна змінити вигляд графіка).
  1.  При застосуванні вбудованих функцій пакета (завдання 1 та 3) рекомендується:
  •  задати початкові дані (дивися перший пункт попередніх вказівок);
  •  скласти функцію користувача, наприклад, f(z):=interp (vc,vx,vy,z) (дивись приклади) й обчислити значення початкової функції в заданих вузлах. Порівняти табличні й обчислені значення функцій між собою у відповідних вузлах;
  •  за допомогою введених функції користувача побудувати графік початкової та обчисленої інтерпольованої функції. (Використовуючи команду X-Y Plot Format  можна змінити вигляд графіка).
  1.   У завданні 3 для побудови графіків початкової та інтерпольованих функцій можна використати введені функції користувача, попередньо визначивши аргумент функції, як ранжировану змінну.

Контрольні запитання

  1.  Сформулюйте задачу інтерполяції, назвіть галузі її використання?
  2.  Що називається вузлом інтерполяції?
  3.  Яку функцію називають інтерполяційною?
  4.  Як будується інтерполяційний поліном Лагранжа?
  5.  Що називається кінцевою різницею? Як обчислюються кінцеві різниці першого, другого й n-порядку?
  6.  Перша та друга формули Ньютона. В чому їх різниця?
  7.  В чому перевага інтерполяційних поліномів Лагранжа перед інтерполяційними поліномами Ньютона?
  8.  Який недолік інтерполяційних поліномів Ньютона? Як оцінюється похибка метода інтерполяції?
  9.  Що називається сплайн інтерполяцією? У чому її перевага?
  10.  Яким вимогам повинен задовольняти кубічний сплайн?
  11.  Які вбудовані функції інтерполяції ви знаєте? Як вирішується задача інтерполяції засобами пакету MathCAD?

Література: [12, с.223-295; 13, с.95-203; 14, с.5-101; 15, с. 425-446; 17, с.51-176; 19, с.127-128, 148-152; 20, с.5-88].


ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5

ТЕМА. Апроксимація функції

МЕТА: вивчення методів та придбання практичних навичок апроксимації функцій засобами пакету MathCAD. Порівняльний аналіз методів апроксимації.

Рекомендації щодо обробки результатів

Загальна постанова задачі апроксимації може бути сформульована в наступному вигляді. Функція f(x) задана таблицею значень, й необхідно знайти залежність (функцію заданого вигляду), значення якої при  мало відрізнялися б від експериментальних даних  . Зазвичай, функцію, що наближає табличну (отриману експериментально), називають емпіричною формулою або емпіричною залежністю.

Задача побудови емпіричної формули складається з двох етапів: підбору загального вигляду цієї формули й визначення найкращих значень параметрів, що в ній містяться. Якщо характер залежності невідомий, то вигляд емпіричної формули може бути довільним. Перевага звичайно надається простим формулам, що володіють достатньою точністю. З початку вони вибираються з геометричних міркувань: експериментальні точки наносяться на графік й приблизно визначається загальний вигляд залежності шляхом порівняння отриманої кривої з графіками відомих функцій (поліномом, показової, логарифмічної та інші), після чого обчислюються значення коефіцієнтів, що входять в опис вибраної наближеної функції.

На практиці велике поширення отримав метод найменших квадратів (МНК). Суть даного методу полягає в тому, що існує (вибрана) залежність , близька до заданої сукупності значень  () у сенсі мінімуму квадратичного відхилення:

 (5.1)

тобто відхилення апроксимованої функції від експериментальних значень

 (5.2)

Тобто задача полягає у виборі такої сукупності параметрів , при яких значення критерію (5.1) є мінімальним. При цьому , оскільки у випадку  - задача інтерполяції, в якій E може бути зведене до нуля. Необхідною умовою мінімуму критерію (5.1) є рівність нулю всіх частних похідних функції E за параметрами :

 (5.3)

Вирішуючи систему лінійних алгебраїчних рівнянь (5.3), отримують значення параметрів.

В багатьох випадках будують поліном ступеня , який має вигляд

, (5.4)

Для укладання системи (5.3) шукають часткові похідні функції E:

Після деяких перетворень, відповідно до рівнянь (5.3), отримують наступну систему рівнянь:

 (5.5)

Вирішуючи цю систему лінійних рівнянь, отримують значення коефіцієнтів, які й є параметрами емпіричної формули. Систему (5.5) можна записати більш компактно:

де .

Лінійне наближення за МНК

Нехай функція, яка апроксимує табличну, є лінійною відносно x, тобто . Тоді критерій (5.1) набуває вигляду:

 (5.6)

Умови мінімуму цього критерію:

 (5.7)

Система рівнянь (5.7), що одержана диференціюванням (5.6), набуває вигляду:

або після перетворень

 (5.8)

Знайдені значення  підставляються до лінійного рівняння.

Квадратичне наближення за МНК

Якщо лінійна апроксимована функція в заданих точках дає значні відхилення, використовується наближення поліномами другого й вищого ступеня. Так, для квадратичних наближень (при m=2) визначення параметрів  за методом МНК зводиться до знаходження мінімуму критерію (5.1), як функції трьох змінних :

Умови мінімуму квадратичного критерію мають вигляд:

або після перетворень:

 (5.9)

Для перевірки відповідності емпіричної формули експериментальним даним обчислюють (5.2), що й буде помилкою апроксимації. Якщо відхилення за модулем не перевищують граничних похибок вимірів функції, то можна вважати виведену емпіричну формулу прийнятою. В іншому випадку рекомендується змінити формулу, яка вибирається як апроксимована.

Види апроксимуючих функцій

Деякі види апроксимуючих функцій можуть бути зведені до лінійних, наприклад, у табл. 5.1 наведені функції та їх лінійні аналоги, отримані шляхом деяких перетворень.

Таблиця 5.1

Функція

Лінійний аналог

Значення параметрів

Ступенева

Показна

Гіперболічна

Дрібно-лінійна

Дрібно-раціональна

Логарифмічна

Апроксимація функцій рядом Фур’є

У деяких випадках замість поліноміальної апроксимації зручно застосовувати апроксимацію рядом Фур’є. Для такої апроксимації постановка задачі може виглядати наступним чином: функцію  (кусково-гладу), що задана на інтервалі , апроксимувати рядом Фур’є.

Ряд Фур’є на довільному інтервалі  може бути записаний так:

 (5.10)

де , ,   коефіцієнти розкладу ряду Фур’є. Якщо функція  задана парами величин ,  коефіцієнти ряду Фур’є обчислюються за формулами:

, ,

Якщо ряд (5.10) розвинути включно до K-го члену розкладу (тобто нескінчену кількість членів розкладу замінити кінцевою), то такий ряд називається тригонометричним поліномом найкращого наближення K-го ступеня (у подальшому позначений ) функції  на довільному інтервалі , квадратичне відхилення якого від функції  є мінімальним (критерій 5.1). Тобто для будь-якої обмеженої на  функції , що інтегрується часткова сума  її ряду Фур’є є тригонометричним поліномом найкращого наближення K5-го ступеня.

Для визначення ряду Фур’є треба знайти  коефіцієнтів, тобто , яким задається постійна складова, та по К значень коефіцієнтів  й  для косинусних та синусних членів. Для знаходження  невідомих необхідно мати N пар вибіркових значень , тобто . При  шукана крива проходить через значення вибірок, при  проводиться усереднення між опорними величинами.

При наближенні функції тригонометричним поліномом може спостерігатися явище Гіббса, суть якого в наступному (без доказу): в окілу точок безперервності функції  різниця між її значеннями та значеннями часткових сум ряду  у відповідних точках аргументу наближається до нуля при , а в граничних точках (точках розриву) часткові суми поводяться інакше, тому в цих точках спостерігається велика різниця між значеннями функції  та відповідним їй частковим сумам ряду  при .

Рекомендації щодо обробки результатів в пакеті MathCAD

Апроксимація функцій

Для виконання лінійної апроксимації в пакеті передбачені дві функції:

intercept(vx,vy) та slope(vx,vy).

Дані функції  дозволяють обчислити коефіцієнти  та  апроксимуючого рівняння. Функції intercept(vx,vy) і slope(vx,vy) повертають значення відповідно - зміщення прямої по вісі ординат та  - тангенс кута нахилу прямої, які найкращим чином наближають набір даних, що представлені в векторах vx та vy, в сенсі найменших квадратів.

У пакеті реалізована можливість виконання лінійної апроксимації загального вигляду

, (5.11)

що забезпечує найкращу апроксимацію лінійних комбінацій заданих функцій в сенсі найменших квадратів. Функція  linfit(vx,vy,f) повертає вектор коефіцієнтів лінійної апроксимації загального вигляду для лінійної комбінації функції F, яка дає найкращу апроксимацію даних з векторів vx и vy.  Вектор f повинен містити функції  в символьному вигляді.

Для виконання нелінійної апроксимації загального вигляду (5.11) в пакети передбачена функція genfit(vx,vy,vz,f), яка повертає вектор коефіцієнтів функції F, що дають мінімальну середньоквадратичну похибку наближення функцією F за даними з векторів vx и vy.  Параметр vz - вектор початкових наближень (оскільки нелінійна задача може мати більше одного вирішення), поблизу якого шукається рішення. Вектор f повинен містити функцію та її частинні похідні за всіма параметрами у символьному вигляді.

Функція regress(vx,vy,k) - повертає вектор, який потребує функція interp, щоб знайти поліном k-го порядку, коефіцієнти якого обчислюються за всією сукупністю заданих точок у векторах vx и vy.

Функція loess(vx,vy,span) - повертає вектор, який потребує функція interp, щоб знайти сукупність поліномів другого порядку, який найкращим чином наближає дані з векторів vx и vy. Аргумент span>0 вказує розмір локальної області наближених даних, тобто визначає, наскільки великі набори даних будут наближатися окремими поліномами. Чим більше значення span, тим дужче  згладжуються дані. При великому значенні span функція loess працює як regress.

Функція interp(vs,vx,vy,x) - повертає інтерпольоване значення y, яке відповідає значенню x. Вектор vs обчислюється  функціями regress або loess.

Можливість представлення періодичних (а за визначених умов й неперіодичних) функцій рядом Фур’є в пакеті забезпечується групою функцій, в яких реалізовано так званий, алгоритм швидкого перетворення Фур’є (перехід від функції, що задана множиною точок ,  до параметрів ряду Фур’є називається прямим перетворенням Фур’є, а зворотний перехід -  зворотним перетворенням Фур’є).

Функції fft(rx) та cfft(cx) виконують пряме, так зване, "швидке перетворення Фур’є" (ШПФ) для даних, що представлені відповідно функціям дійсними значеннями в векторі rx та комплексними - в векторі cx. Причому вектор vx повинен містити  елементів, де n - ціле число.

Функція ifft(cx) виконує зворотне ШПФ для вектора cz з комплексними елементами (вектор vx повинен містити  елементів). Функція повертає вектор з дійсними елементами. Функція icfft(cx) виконує зворотне ПФ за повним алгоритмом, при якому як початковий вектор, так й вектор результату містять елементи з комплексними значеннями.

Крім описаних функцій, пакет містить функції альтернативного перетворення Фур’є: FFT, CFFT, IFFT, ICFFT1, в яких використовуються інші нормуючі множники.

Приклад виконання самостійної роботи

Приклад 1. Для заданої табличної функції

X

2

4

6

8

10

Y

3,5

6,2

13

23

43

вибрати й розрахувати апроксимовану функцію. Порівняти отримані результати.

Розв’язок

У деяких випадках нелінійну апроксимацію зручно провести не через лінеаризацію, а через мінімізацію [8] (наприклад, коли лінеаризація пов’язана з логарифмуванням негативних значень) за алгоритмом пошуку параметричних коефіцієнтів, що мінімізують цільову функцію - суму квадратів відхилень точок від кривої. Вказану можливість демонструє наступний приклад:

Приклад 2. Для функції, що задана таблицею значень (табл. 5.), виконати квадратичну апроксимацію. Порівняти отримані результати.

Таблиця 5. - Функція, що задана таблицею значень

X

-3

-1

0

1

2

3

4

Y

2.9

1.0

-0.2

-1.5

-0.4

0.5

2.0

Розв’язок

Приклад 3. Тригонометричним рядом Фур’є апроксимувати функцію , що задана на інтервалі .

Розв’язок

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1. Для  функції, що задана таблицею значень, методом найменших квадратів побудувати дві різні емпіричні формулі й порівняти якість отриманих наближень. Побудувати їх графіки та точковий графік табличної функції.

Завдання за варіантами наведені в таблиці 5.2.

Завдання 2. Для функції , що задана на інтервалі  знайти тригонометричний поліном найкращого наближення найменшого ступеня із середньоквадратичним відхиленням, меншим за 0,05. Побудувати графіки заданої  функції  та її тригонометричний поліном найкращого наближення.

Завдання за варіантами наведені в таблиці 5.3.

Порядок виконання самостійної роботи

Для виконання завдання 1 необхідно:

  1.  Задати вектори, що будуть містити значення табличної функції.
  2.  Побудувати графік табличної функції та вибрати можливі типи апроксимуючих формул (мінімум дві).
  3.  Обчислити коефіцієнти, що входять до вибраних формул апроксимації (дивись приклади).
  4.  В одній графічній області побудувати графіки табличної та апроксимуючих функцій. Використовуючи команду X-Y Plot Format змінити (оформити) вигляд графіків.
  5.  Обчислити суму квадратів відхилень  яка відповідно до принципу найменших квадратів для заданого вигляду наближеної функції й знайдених значень параметрів повинна бути найменшою. З двох різних наближень вибрати (вказати) найкраще.

Для виконання завдання 2 необхідно:

  1.  Задати функцію та інтервал, на якому вона визначена.
  2.  Задати кількість коефіцієнтів розкладу K та обчислити кількість вибіркових значень N та крок дискретизації h.
  3.  Обчислити дискретизовані значення аргументу та функції.
  4.  Обчислити значень коефіцієнтів та  ряду Фур’є.
  5.  Задати функцію для обчислення часткових сум ряду  та вирази для обчислення квадрату відхилень та їх суми.
  6.  Задаючи кількість членів ряду (ступінь поліному) М, графічно та зі значення суми квадратів відхилень Е, дослідити, як змінюється  поведінка часткової суми.
  7.  Для визначення достатнього ступеня поліному найкращого наближення, необхідно обчислити .
  8.  Зауваження. При використанні функцій (intercept та slope) необхідно, щоб значення табличної функції були розташовані в порядку зростання її аргументів.

Таблиця 5.2

Номер

Варіанта

Номера пар значень аргументу та функції

Аргумент функції

0

1

2

3

4

5

6

1

0

1

2

3

4

5

6

0,2

0,6

1,0

1,2

1,4

1,6

1,7

2

-2

-1

0

1

2

3

4

3,1

2,8

2,5

2,0

1,7

2,2

2,9

3

-6

-4

-3

-1

0

1

3

2,5

1,2

0,4

-0,5

-1,3

-1,2

1,1

4

0

1

2

3

4

5

6

0,5

0,8

1,3

1,7

1,9

2,5

2,2

5

-3

-2

1

0

1

2

3

1,7

1,2

1,0

0,5

-0,2

0,5

0,8

6

-1

0

1

2

3

4

5

3,1

2,8

2,4

2,1

1,9

2,2

2,6

7

1

2

3

4

5

6

7

1,0

1,7

3,3

5,1

4,6

3,0

1,9

8

-2

-1

0

1

2

3

4

1,8

1,2

0,2

-0,9

-1,9

0,4

2,4

9

0

1

2

3

4

5

6

1,7

1,9

2,4

2,7

3,1

3,1

2,5

10

-1

0

1

2

3

4

5

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,5

2,4

Таблиця 5.2.

№ варіанту

Параметри

Функція

Рисунок

  1.  

Контрольні запитання

  1.  Сформулюйте задачу апроксимації, назвіть області її застосування?
  2.  Що називають емпіричною функцією (або формулою)?
  3.  В чому різниця задачі апроксимації від задачі інтерполювання?
  4.  З яких етапів складається побудова емпіричної формули?
  5.  В чому сутність МНК?
  6.  Як обчислюється відхилення апроксимуючої функції від експериментальних значень?
  7.  Як отримати систему рівнянь для визначення коефіцієнтів при лінійному та квадратичному наближеннях за методом МНК?
  8.  Назвіть приклади апроксимуючих функцій та їх лінійні аналоги.
  9.  Назвіть особливості застосування ряду Фур’є.
  10.  Який ряд називається тригонометричні поліномом найкращого наближення n-го ступеня?
  11.  Як вирішується задача апроксимації в пакеті MathCAD?

Література: [12, с.223-295; 13, с.95-203; 14, с.5-101; 15, с. 425-446; 17, с.51-176; 19, с.127-128, 148-152; 20, с.5-88].


ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №6

ТЕМА Чисельне обчислення визначних інтеґралів

МЕТА: Вивчення чисельних методів та придбання навичок обчислення визначних інтегралів засобами пакету MathCAD.

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ

На практиці при обчисленні визначних інтеґралів за відомою формулою Ньютона-Лейбниця виникають певні труднощі, які можуть бути пов’язані з двома основними причинами:

  •  вигляд функції  не допускає безпосереднього інтеґрування, тобто первісну не можна виразити через елементарні (алгебраїчні та трансцендентні) функції;
  •  функція  задається таблицею (масивом значень) чи графіком. У цьому випадку поняття первісної втрачає сенс.

У подібних випадках застосовують різні методи наближеного (чисельного) інтеґрування. Задача чисельного інтегрування безперервної функції  на заданому відрізку  полягає в обчисленні ряду значень підінтеґральної функції на вказаному інтервалі. Оскільки визначний інтеґрал можна трактувати як площу фігури, визначену ординатами  й , віссю абсцис  і графіком підінтеґральної функції . Суттєвість чисельного інтеґрування зводиться до розбиття заданого інтервалу на множину менших та знаходження сумарної площі  як сукупності елементарних площ, отриманих у результаті розбиття. Таким чином, цей підхід дозволяє наближено замінити визначний інтеграл інтегральною сумою:

,

де .

Залежно від способу обчислення елементарної площі  отримують різні методи чисельного інтегрування. Найбільш розповсюдженими на практиці є:

  •  методи трапецій, Сімпсона, Гаусса, Ромберга та інші, основані на використанні так званих "квадратурних формул", що отримуються заміною  інтерполяційним поліномом;
  •   методи Монте-Карло, основані на використанні статистичних моделей.

Метод прямокутників

Це найбільш простий метод, оснований на заміні площі часткової криволінійної трапеції площею прямокутника:

,   (6.1)

де  - значення функції  в  i-й лівії межі елементарного відрізка, n - число відрізків розбиття інтервалу . Якщо використати праву межу елементарного відрізка, то отримаємо формулу правих прямокутників:

.   (6.2)

Більш точною є формула прямокутників, в якій використовується значення функції, обчислене у середніх точках елементарних відрізків:

 (6.3)

Внаслідок низької точності метод прямокутників та його модифікації практично не застосовується.

Метод трапецій

Суттєвість даного методу полягає в заміні площі часткової криволінійної трапеції площею прямокутної трапеції - хордою, що стягує кінці інтервалів розбиття, й кроком розбиття:

 (6.4)

Метод Сімпсона

Метод Сімпсона полягає в наступному: через кожні послідовні три точки проводиться парабола й обчислюється інтеґрал від функції вираженої у вигляді цієї параболи. Таким чином, площа часткової криволінійної трапеції замінюється площею, освіченою подвоєним інтервалом розбиття й параболою, що проходить через ці точки:

(6.5)

Оцінка похибки квадратурних формул

Для оцінки похибки методів інтегрування за квадратурними формулами можна скористуватися наступними співвідношеннями:

для методу прямокутників - ,     (6.6)

де ;

для методу трапецій - ,    (6.7)

де ;

для методу Сімпсона - ,    (6.8)

де .

При обчисленні інтегралу із заданою точністю з формул (6.6 - 6.8) можна оцінити початковий крок інтегрування:

  •  для методу прямокутників - ,
  •  для методу трапецій -
  •  для методу Сімпсона - ,

де  - задана точність інтеґрування.

Як видно з формул (6.6 - 6.8), оцінка похибки методу інтегрування за формулами трапецій та Сімпсона можлива лише тоді, коли підінтеґральна функція задана аналітично. На практиці можна використати спосіб, придатний для кожного з розглянутих методів. Інтеґрал обчислюється двічі: перший раз інтеґрал (позначений ) обчислюється при розбитті інтервалу інтеґрування  на  частин (причому для методу Сімпсона  повинно бути парним); другий раз інтеґрал (позначений ) обчислюється при розбитті інтервалу інтеґрування  на  частин. Отримані значення  й  порівнюються, й перші десяткові знаки, які співпадають, вважаються вірними. У цьому випадку оцінити похибки обчислення можна з допомогою першої формули Рунге:

,    (6.9)

де  - величина, що визначається числом розбиття інтервалу інтеґрування  (тобто ); - порядок методу інтегрування. Ступінь кроку , пропорційний величині  (похибка методу), називається порядком методу інтеґрування. Наприклад, для оцінки похибки обчислень формула (5.9) для методу трапецій запишеться так:

.

Після визначення значення  можна обчислити уточнене значення величини :

.   (6.10)

Формула (5.10) називається другою формулою Рунге.

Метод Монте-Карло

Розглянуті раніше методи чисельного інтегрування передбачають одержання суми, кількість додатків у якій визначається числом точок розбиття інтервалу інтеґрування. У задачах, де підінтеґральна функція задана таблицею або вхідні дані носять випадковий характер, використовується метод Монте-Карло (метод статистико-ймовірносного моделювання).

Метод Монте-Карло полягає в тому, що розглядається деяка випадкова величина , математичне сподівання якої дорівнює величині :

Проводиться серія n незалежних випробувань, у результаті яких одержується (ґенерується) послідовність n випадкових чисел , за сукупністю цих значень близько визначається величина

Математичне сподівання послідовності випадкових чисел  буде тим точніше, чим більше об’єм вибірки (кількість випробувань) . Тоді, вважаючи, що підінтеґральна функція  безперервна на інтервалі інтеґрування й вибравши в цьому інтервалі n випадкових точок  можна вважати:

,   (6.11)

де  - відрізок інтегрування;  - випадкові точки, що належать інтервалу . Отримати такі випадкові точки можна на основі послідовності випадкових значень  рівномірно розподілених у інтервалі . Для цього достатньо виконати перетворення .

Похибка методу Монте-Карло визначається похибкою генерації псевдовипадкової числової послідовності на комп'ютері, об'ємом й буде зменшуватися зі зростанням числа випробувань N за законом  ~.

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ в пакеті MathCAD

Для обчислення визначного інтеґралу засобами пакета MathCAD  необхідно скористатися кнопкою із зображенням визначного інтеґрала в математичній панелі інструментів (Calculus Palette). Після чого на экрані  з’явиться макет інтеґрала з чотирма вказівниками. Для визначення й обчислення інтеґрала необхідно заповнити ці вказівники: вказати межі інтеґрування, задати підінтеґральний вираз й після знака диференціювання вказати змінну, по якій проводиться інтеґрування. Після цього можна обчислити значення інтеґрала (якщо воно існує й може бути отримане пакетом), вказавши після нього знак ‘=’ (обчислювальне дорівнює). Якщо процес отримання результату складний у обчислювальному відношені, інтеґрал ідентифікується зображенням регіону, що містить обчислювальну конструкцію й словом WAIT у службовому рядку пакета.

Як межі інтеґрування можуть бути тільки дійсні константи, змінні та вирази (також символ нескінечнності). Функція, що інтеґрується, може бути як дійсною, так й комплексною. Усі константи й змінні (крім змінної інтеґрування), що входять у підінтеґральну функцію  повинні бути попередньо визначені.

Приклад 1. Демонстрація обчислення визначних інтеґралів засобами пакета.

Розв’язок

Пакет дозволяє обчислити інтеґрали підінтеґральна функція яких складна (наприклад, функції, які мають особливості на границях інтеґрування). Однак у подібних випадках обчислення інтеґрала може привести до повідомлення: ‘Not converning’. Також на обчислення інтеґрала може впливати маленьке значення змінної TOL. Якщо особливості функції, що інтеґрується відомі (наприклад, розриви, сингулярність тощо), то для обчислення интеґралу можна представити його в вигляді суми інтеґралів з межами, що являють собою особливі точки, або спеціальним чином записати підінтеґральну функцїю, визначити й обчислити  інтеґрал.

Приклад 2. Обчислити інтеґрал , де

Розв’язок

Можливість пакета щодо використання ранжируваних змінних як меж інтеґрування, констант та змінних підінтеґрального виразу дозволяє виводити результати обчислення інтеґрала у вигляді таблиць та графіків первісних функцій. Наступний приклад ілюструє побудову графіка первісної для функції  на основі табуляції значень інтеґралу за його верхньою межою інтеґрування:

Для обчислення визначних інтегралів за методом Монте-Карло важливим питанням є отримання випадкових чисел. У пакеті для отримання випадкових (псевдовипадкових) чисел, що рівномірно розподілені в интервалі [0,1] передбачена функція , яка має наступний формат

,

де  - права межа інтервала [0,x]. Таким чином, для отримання випадкових чисел у межах [0,1] необходно параметру x надати значення 1, тобто x:=1.

Приклад 3. Обчислити  методом Монте-Карло1.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Обчислити значення визначного інтеґрала на відрізку  наближеним методом (використовуючи одну з квадратурних формул, узгоджену з викладачем), методом пакета та методом Монте-Карло, оцінити похибки методів та результатів. Порівняти отримані результати.

Побудувати графік первісної для функції f(x) на основі табуляції значень інтеґралу за його верхньою межею інтеґрування.

Завдання за варіантами наведені у таблиці 6.1.

Таблиця 6.1

Варіанти k

a

b

h

15

0.3

0.7

0.02

0.001

610

0.1

0.5

0.025

0.001

1115

0.4

0.5

0.02

0.0005

16

1.2

2.7

17

1

2

18

1

2

19

0.2

1

20

0.6

1.4

n – номер групи.

Порядок виконання самостійної роботи

  1.  Якщо точність обчислень вказана, то необхідно обчислити кількість інтервалів розбиття, використовуючи формули (6.6-6.8) залежно від методу.
  2.  Якщо точність обчислень не вказана, то необхідно обчислити інтеграл двічі: при діленні відрізка  на  й  рівних частин. Обчислити оцінку похибки методу інтеґрування, що використовується, й порівняти (оцінити) точність отриманих результатів. Для оцінки похибки обчислень використовуються формули Рунге 6.9 й 6.10.

Вияснити як впливає на точність результату значення змінної TOL.

3. Для обчислення визначних інтеґралів методом Монте-Карло скористатись методикою, що наведена в прикладі 3. Визначити як впливає на точність результату кількість випадкових чисел N (можна побудувати графік отриманої залежності).

Примітка: для виконання завдання необхідно мати уявлення про процедуру обчислення визначних інтеґралів методами прямокутників, трапецій, за допомогою формули Самсона та засобами пакету MathCAD, а також вміти оцінювати похибки кожного з запропонованих методів [12, с.223-295; 13, с.95-203; 14, с.5-101; 15, с. 425-446; 17, с.51-176; 19, с.127-128, 148-152; 20, с.5-88].

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

  1.   Чому виникає необхідність використання чисельних методів інтеґрування?
  2.    В чому суттєвість чисельних методів інтеґрування?
  3.   Пояснити, на чому заснований метод прямокутників. Яким чином можна обчислити площі часткових прямокутників?
  4.   У чому суттєвість методу трапецій?
  5.   У чому суттєвість методу Сімпсона?
  6.   Як позв’язані точність інтеґрування й крок інтеґрування для методів прямокутників, трапецій, Сімпсона?
  7.   Як оцінити похибку обчислення інтеґралу?
  8.   В чому полягає оцінка похибки обчислень за формулами Рунге?
  9.   В чому полягає сенс метода Монте-Карло?
  10.   В чому полягають особливості обчислення інтеґралів у пакеті MathCAD?


ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №7

ТЕМА. Наближене вирішення диференціальних рівнянь та їх систем

МЕТА. Вивчення чисельних методів та придбання навичок вирішення диференціальних рівнянь та  їх систем засобами пакета MathCAD

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ

Розроблені аналітичні методи вирішення диференціальних рівнянь мають обмежене коло прикладних задач. Тому виникає необхідність у використанні чисельних методів їх вирішення. В основі чисельних методів вирішення диференціальних рівнянь лежить розклад функції y ряд Тейлора в окілу точки :

,

де  - відстань (крок) між точкою  й точкою  , в якій обчислюється рішення. Причому в різних методах враховується різна кількість членів розкладу, що й визначає точність обчислень.

Для вирішення систем диференціальних рівнянь використовуються методи, що є узагальненням методів вирішення одного диференціального рівняння першого порядку.

Метод Ейлера

В цьому методі для оцінки наступної точки функції  використовується лише один лінійний член у формулі Тейлора, тобто

,

де  - права частина диференціального рівняння . Користуючись значенням  з розкладу  в h-окілу точки , одержують наступне значення

.

Цей процес розповсюджується на наступні кроки:

i =1, 2,... n.  (7.1)

Диференціальне рівняння першого порядку за методом Ейлера обчислюється за формулою (6.1). Для системи диференціальних рівнянь першого порядку обчислення за методом Ейлера проводяться за формулою (6.2):

.    (7.2)

Метод Ейлера має велику похибку . За рахунок систематичного накопичування помилок часто буває нестійкий (малі локальні помилки призводять до значного збільшення глобальної помилки). Цей метод можна вдосконалити різними засобами, що дозволяють збільшити його точність й досягти . Однак на практиці метод Ейлера та його модифікації використовуються вкрай рідко.

Ще більш висока точність може бути досягнута при обчисленні вищих порядків похідних й збереженні більшої кількості членів ряду Тейлора.

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта - найбільш розповсюджений метод вирішення диференціальних рівнянь та їх систем, що забезпечує більшу швидкість вирішення за рахунок більшої точності обчислень на кожному кроці, меншу схильність до виникнення нестійкого рішення. Точність цього методу оцінюється величиною. Уточнення досягається за рахунок спеціального підбору координат чотирьох точок, в яких обчислюється перша похідна функції . Існує ряд засобів знаходження цих точок. Частіше за інших використовується класичний метод четвертого порядку. Алгоритм реалізації методу Рунге-Кутта 4-го порядку з постійним кроком для диференціального рівняння першого порядку полягає в циклічному обчисленні  на кожному  кроці за наступними формулами:

  (7.3)

Або для системи диференціальних рівнянь n-ого порядку:

,  (7.4)

де jномер диференційного рівняння.

Якщо вимагається отримати вирішення із заданою точністю у вигляді кривих, що сильно розрізняються крутизною, використовуються методи з автоматичною зміною кроку h (у розглянутих раніше методах h=const). Автоматична зміна кроку в ході вирішення диференціального рівняння (системи) забезпечує зменшення загального числа кроків у декілька разів, різко зменшує ймовірність виникнення числової нестійкості, дає більш рівномірне розміщення точок графіка кривих (рішень) при тій ж похибці.

Метод Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку полягає в тому, що після обчислення  з кроком h всі обчислення проводяться повторно з кроком h/2. Отриманий результат  порівнюється з . Якщо , обчислення продовжуються з кроком h, в іншому випадку крок потрібно зменшити. Якщо вказана нерівність не виконується, крок, навпаки, необхідно збільшити.

Оцінювання похибки чисельних методів вирішення

диференціальних рівнянь

Для оцінки похибки методів вирішення диференціальних рівнянь з постійним кроком h можна скористуватися першою формулою Рунге:

,    (7.5)

де k - величина, що визначається виразом kn (n - початкове число розбиття інтервалу ); p - порядок методу;  - чисельне вирішення диференціального рівняння в точці x, отримане з кроком h; - чисельне вирішення того самого рівняння з кроком h/k.

Після визначення значення R можна обчислити уточнене значення за другою формулою Рунге:

.     (7.6)

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ в пакеті MathCAD

У пакеті реалізовано набір різноманітних методів у вигляді функцій для вирішення диференціальних рівнянь та їх систем різного порядку. Назва функцій говорить про реалізований в ній метод (алгоритм). Нижче наведені функції, що використовуються для вирішення задачі Коши1:

rkfixed(y, xn, xk, n, D) - метод Рунге-Кутта 4-го порядку з фіксованим кроком.

rkadapt(y, xn, xk, n, D) - метод Рунге-Кутта 4-го порядку з кроком, що змінюється.

Bulstoer(y, xn, xk, n, D) - метод Булирш-Штера.

Аргументи функцій:

y - вектор початкових значень;

xn, xk - межі інтервалу, на якому повинно бути знайдено рішення;

n - кількість кроків інтегрування;

D - вектор-функція правих частин диференціального рівняння.

Наведені функції повертають таблицю рішень одного рівняння або системи рівнянь, в якій нульовий стовбець - значення аргументу x (їх задає користувач через xn, xk, n), перший стовбець - значення ординат рішення (якщо диференціальне рівняння, що вирішується, першого порядку); якщо вирішується диференціальне рівняння n-го порядку або система з n диференціальних рівнянь, то рішення буде міститися в n стовпцях, починаючи з першого (нумерація стовбців наводиться для випадку коли значення змінної ORIGIN=0, якщо значення ORIGIN=1, то в першому стовбці буде міститися значення аргументу, а в наступних - рішення).

Функція rkfixed майже завжди справляється з поставленою задачею. Однак у деяких випадках краще використовувати більш складні методи. Для диференціальних рівнянь та їх систем, в яких функції поводяться плавно, для більш точного вирішення краще застосовувати функцію rkadapt. Матриця результатів, яку повертає ця функція, буде представлена для точок, що знаходяться на однаковій відстані, яку задає користувач. Коли відомо, що рішення гладке, краще використовувати функцію Bulstoer. У цьому випадку рішення буде точніше.

Приклад 1. Вирішити рівняння  на інтервалі [0, 1] з початковою умовою y(0)=1 методом Рунге-Кутта 4-го порядку фіксованим кроком.

Розв’язок

Дане рівняння може бути вирішено аналітично. При заданих початкових умовах це вирішення має вигляд:

Слід зауважити, що вирішення диференціального рівняння (це стосується й систем) за формулами Рунге-Кутта в пакеті MathCAD можна реалізувати (в математичному записі) кількома варіантами. Нижче наведено приклади вирішення диференціального рівняння з прикладу 1, використовуючи функції пакета та можливий варіант обчислення похибки результатів.

Приклад 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь

 на інтервалі [0, 1] з початковими умовами .

Розв’язок

Приклад 3. Вирішити  диференціальне рівняння  на інтервалі [0, 1] з початковими умовами .

Розв’язок

Зауваження. Система диференціальних рівнянь n-го порядку приводиться до системи диференціальних рівнянь першого порядку: вводяться позначення для шуканої функції та її (n-1)-х похідних. Для даного прикладу ці позначення мають вигляд , , тобто система диференціальних рівняннь запишеться так:

.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Вирішити задачу Коши на відрізку , використовуючи чисельні методи. Зробити оцінку похибки обчислень й порівняти (оцінити) точність отриманих результатів вбудованими функціями пакета.

Варіанти завдань наведені в таблицях 7.1-7.3.

Таблиця 7.1   Задача Коши: , .  

a

b

1

1

N

1

3

0.005

0.01

2

0

0

1

0.005

0.01

3

1

N

1

2

0.0001

0.001

4

0

0

1

0.01

0.001

5

2

2N

2

4

0.005

0.01

6

0

0

2

0.0001

0.001

7

1

1

2

0.01

0.001

8

1

N

1

3

0.01

0.001

9

0

N

0

2

0.001

0.0001

10

0

1

0

2

0.001

0.0001

N порядковий номер групи на курсі.

Таблиця 7.2  Задача Коши: , , . 

k

a

b

1

1

5

-1

1

1.5

0.005

0.01

2

0

4

-3

0

1

0.01

0.005

3

1

0.83

0.66

1

2

0.001

0.0001

4

1

-1

0

1

2

0.001

0.01

5

0

0.8

2

0

1

0.005

0.01

6

0

0

0

0

1.5

0.0001

0.001

7

0

2.2

08

0

0.2

0.05

0.01

8

0

2.5

1.5

0

1

0.01

0.001

9

1

2

3.5

0

1

0.001

0.0001

10

2

1

-2

2

4

0.05

0.01

Задача Коши: , , .

Таблиця 7.3

a

b

1

-1

1

0

-1

1

2

0

0

0

0

4

3

0

-1

1

0

4

4

-1

0.5

-0.5

-1

3

5

2

-0.6

2

2

5

6

-1

0

0

-1

3

7

1

1

1

1

3

8

2

0.8

3.5

2

4

9

0

0

0

0

2

10

1

-2

-1

1

4

Порядок виконання самостійної роботи

  1.   Для виконання завдання необхідно вирішити диференціальне рівняння (метод узгоджується з викладачем), використовуючи відповідні методу чисельні формули (див. приклади). Визначення оцінки похибки обчислень проводиться за формулами Рунге: початкове диференціальне рівняння вирішується двічі - з кроком h та 2h на одному й тому самому відрізку інтегрування, після чого використовуються формули Рунге.
  2.   Вирішити диференціальне рівняння (систему диференціальних рівнянь) функціями пакета з точністю  та  (змінюючи значення передбаченої змінної TOL). Порівняти отримані рішення.

Пункти 1, 2 виконуються для диференціальніх рівнянь з таблиць 6.1 та 6.2.

  1.   За обчисленою таблицею (будь-якого вирішення диференціального рівняння або системи) побудувати графік.
  2.   Вирішення системи диференціальних рівнянь (таблиця 6.3) виконати з кроком  та побудувати графіки рішень. Зробити висновки. 

Примітка: для виконання завдання необхідно мати уявлення про процедуру розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем методами Ейлера, Рунге-Кутта та засобами пакету MathCAD, вміти оцінювати похибки чисельних методів вирішення диференціальних рівнянь [12, с.223-295; 13, с.95-203; 14, с.5-101; 15, с. 425-446; 17, с.51-176; 19, с.127-128, 148-152; 20, с.5-88].

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

  1.   Що називається диференціальним рівнянням n-го порядку?
  2.   Сформулюйте задачу Коши.
  3.   Що є вирішенням диференціального рівняння?
  4.   Чому виникає необхідність застосовувати чисельні методи вирішення диференціальних рівнянь?
  5.   В чому відміна чисельних методів вирішення диференціальних рівнянь?
  6.   В чому суть методу Ейлера та його модифікацій?

Розробити й намалювати схему алгоритму, що реалізує метод Ейлера

  1.   В чому суть методу Рунге-Кутта?
  2.   В яких випадках краще використовувати чисельні методи вирішення диференціальних рівнянь з постійним та змінним кроком?

Розробити й намалювати схему алгоритму, що реалізує метод Рунге-Кутта.

  1.   Як оцінюється похибка різноманітних чисельних методів вирішення диференціальних рівнянь?

В чому полягає ідея вирішення системи диференціальних рівнянь?

  1.   В чому полягає ідея вирішення диференціальних рівнянь n-го порядку?
  2.   В чому полягають особливості вирішення диференціальних рівнянь та їх систем у пакеті MathCAD?



СПИСОК
ЛІТЕРАТУРИ

  1.  Заварыкин В.М. и др. Численные методы: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальности пед. институтов. - М.: Просвещение, 1990. –
    340 с.
  2.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1997. – 416 с.
  3.  Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
  4.  Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики: Перевод с английского Жаркова В.Н. – М.: Издательство «МИР», 1970. – 352 с.
  5.  Дьяконов В.П. Mathcad 8/2000: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 592 с.
  6.  Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 7 в математике, физике и в Internet. – М.: «Нолидж», 1999. – 352 с.
  7.  Луговой А.В., Путятин Е.П., Смагин Д.М., Степанов В.П. С++. Решение инженерных задач: Учебное пособие. – Кременчуг: КГПУ, 2004. – 340 с.
  8.  Майзер Х., Эйджин Н., Тролл Р. и др. Исследование операций: В 2 томах Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби: Пер. с англ. – М.: Мир, 1981.
  9.  Метьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с.
  10.  Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. Пособие. - М.: «Наука»,1987. – 157 с.
  11.  Фурунжиев Р.И. и др. Применение математических методов и ЭВМ. –Мн.: Выш. шк., 1988. –  191 с.
  12.  Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1972. – 400 с.


Методичні вказівки щодо практичних і самостійних занять з навчальної дисципліни «Математичні методи в обчисленнях на ЕОМ» для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальності 6.092200 – «Електромеханічні системи автоматизації та електропривод» (скорочений термін навчання)

Укладачі: к.т.н., доц. Т.В. Коренькова,

д.т.н., проф. О.П. Чорний,

асист. Ю.О. Алексєєва,

асист. В.О. Огарь

Відповідальний за випуск завідувач кафедри САУЕ Д.Й. Родькін

Підп. до др. __________. Формат 60х84 1/16. Папір тип. Друк ризографія.

Ум. друк. арк. ______.  Наклад ___ прим.  Зам. № ________. Безкоштовно.

Видавничий відділ КДПУ

39614, м. Кременчук, вул. Першотравнева, 20

1 Приклад взято з [ 1 ].

1 В посібнику наводяться приклади використання описаних типів побудови наближених функцій не застосовуючи функції пакета (крім  intercept та slope), їх опис та приклади використання можна подивитись, наприклад, у літературі [7,8 ] та в довідковій базі MathCAD.

1 В цьму прикладі при виведенні результатів на екран змінено значення опції Displayed Precision (точність виводу результату на екран дісплея) з меню Number Format з 3 на 6.

1 Пакет має функції, що тут не розглядаються, які призначені для вирішення диференціальних рівнянь та їх систем у випадках, коли необхідно отримати вирішеня тільки в кінцевій точці (більш ефективно й без зайвої праці).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46234. Основные системные группировки лексики в языке. Критерии классификации 14.36 KB
  функциональнограмматическая на основе частей речи 2. по стилистической характеристике – нейтральная межстилевая и стилистически маркированной высокой официальной научной – книжной речи разговорной и просторечной – устной речи. Общенародные слова – общеупотребительная лексика для всех говорящих на русском языке основная масса таких слов устойчива и употребительна во всех стилях речи.
46235. Понятие операции. Особенности конкретных операций 14.36 KB
  Понятие операции. На определенном этапе развития обобщенные схемы действий превращаются в операции операторные структуры поэтому концепция Пиаже называется операциональной. Операции это интериоризированные внутренние предметные действия ставшие обратимыми и сгруппированными в системы. Посредством обратной операции мысль может вернуться к начальному исходному моменту рассуждений.
46236. Исследование языковой семантики. Ономасиологический и семасиологический подходы 14.32 KB
  Таковы споры о происхождении значений слов и их отношений к бытию и мышлению ведущиеся аналогистами и аномалистами в древности и номиналистами реалистами концептуалистами в Средние века; Ономасиология отрасль семантики изучающая наименования использование языковых средств для обозначения внеязыковых объектов. основывается на движении от обозначаемого предмета к средствам его обозначения шире от содержания к форме. лингвистическом направлении слова и вещи прежде всего на материале романской диалектологии исследовавшей способы...
46237. Ж. Пиаже. «Комментарии к критическим замечаниям Л.С. Выготского на книги «Речь и мышление ребенка» и «Суждения и рассуждения ребенка» 14.27 KB
  Пиаже. Выготского на книги Речь и мышление ребенка и Суждения и рассуждения ребенка Пиаже обнаруживает через 25 лет после опубликования работу коллеги который уже умер. а те из работ Пиаже которые он обсуждает относятся к 1923 и 1924. Пиаже постарался увидеть оправдываются ли критические замечания Выготского в свете его позднейших работ.
46238. Грамматика как научная дисциплина. Основные подходы к изучению языковой грамматики. Виды и уровни языковой грамматики 14.26 KB
  Грамматический строй языка имеет свои категории и единицы словоформы и словообразовательные модели словосочетания и предложения. В русской грамматике выделяются именные морфологические категории рода одушевлённости неодушевлённости числа падежа степени сравнения; глагольные категории вида залога наклонения времени и лица; грамматическая форма внешнее языковое выражение грамматического значения в каждом конкретном случае употребления слова. Синтаксические категории = тип предложения – специфическая характеристика присущая только...
46239. НОИСТРУНТОРСНИЕ, ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ И ТЕХНОЛОГИЯ ЕС HUE ВАЗЫ 14.23 KB
  Конструкторская база это база используемая для определения положения детали или сборочной единицы в изделии ГОСТ 21495 76. В обычной практике конструкторской работы конструкторской базой называется поверхность линия или точка детали по отношению к которым определяются на чертеже расчетные положения других деталей или сборочных единиц изделия^ а также других поверхностей и геометрических элементов данной детали. Основной называется конструкторская база принадлежащая дайной детали или сборочной единице...
46240. Структура лексического значения. Функциональный статус составляющих лексическое значение компонентов (денотативное и сигнификативное содержание значения) 14.17 KB
  Прямое значение слова – это непосредственная связь между звуковым комплексом и явлением действительности. Ядро лексического значения – концептуальное значение: а денотативный аспект выражает отношение содержания слова к предмету который оно означает. б сигнификативный аспект выражает отношение слова к понятию которое стоит за этим словом. г лингвистический аспект определяет место данного слова среди других единиц языка.
46241. Структуры. Действия со структурами. Передача структур в функции 14.1 KB
  Объявление структуры следует рассматривать как объявление типа. В C структуры заключают в себе не только данные но и код и относятся к средствам объектноориентированного программирования. Объявление структуры которая хранит сведения о журнале: название год номер.mgzinmg = { Nture 3 1995;Доступ к элементам структуры осуществляется по составному имени:имя_структуры.
46242. Проявление категории вежливости в русском языке. О социальных аспектах культуры речи 14.09 KB
  Проявление категории вежливости в русском языке. Принципу вежливости и его использованию в речи посвящено немало работ. Например Лакофф формулирует принцип вежливости в виде трех правил: не навязывай своего мнения предоставляй собеседнику возможность выбора будь доброжелательным Цель принципа вежливости – поддерживать социальное равновесие и такие социальноречевые отношения которые позволят результативно общаться При выражении вежливости большое значение играет взгляд. Средством выражения вежливости являются также модуляции голоса.