31294

Мінімізація логічних функцій

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Основна задача при побудові систем керування дискретними обєктами і процесами на основі логічних функцій: приведення логічних функцій керування до найбільш простого виду при якому система керування буде виконувати свої задачі. Для ручної мінімізації логічних функцій використовуються карти Карно і діаграми Вейча причому останні будують як розгорнення кубів на площині карти Карно.

Украинкский

2013-08-28

449.5 KB

22 чел.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 3

 

Тема:    Мінімізація логічних функцій

Мета заняття:  Закріпити отримані теоретичні знання з алгебри логіки та практичні навички з мінімізації логічних схем з використанням карт Карно, навчитися будувати контактні та безконтактні схеми на основі отриманих мінімальних логічних форм

1 ТЕОРЕТИЧНІ  ВІДОМОСТІ

Основою ефективності мінімізації будь-яких логічних схем поряд з досвідом і інтуїцією проектувальника служить обов'язкове знання ним фундаментальних основ алгебри логіки, до яких відносяться теореми, аксіоми і властивості основних логічних операцій, основні з який перераховано нижче.

Аксіоми алгебри логіки.

1.  - можливість виключення з логічного виразу всіх  членів, що мають подвійне заперечення, замінивши їх вихідною величиною;

2. ;  – правила подібних перетворень, що дозволяють скоротити довжину логічних виразів;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Властивості диз'юнкції і кон’юнкції:

а) асоціативності (сполучний закон)

; ;

б)  комутативності (переміщувальний закон)

;  ;

в) дистрибутивності (розподільний закон)

; ;

Теореми:

а) склеювання

;

б) поглинання

; ;

в) де Моргана

; ;

Для функції Що виключає АБО:

Закони:

а) комутативності

;

б) асоціативності

;

в) дистрибутивності

.

Аксіоми:

;

;

;

.

Правила вираження базисів І, АБО, НЕ через базис Що виключає АБО:

;

;

.

Основна задача при побудові систем керування дискретними об'єктами і процесами на основі логічних функцій: приведення логічних функцій керування  до найбільш простого виду, при якому система керування буде виконувати свої задачі.

Мінімальна форма логічної функції – форма, що містить мінімальну кількість термів чи змінних у термах.

Для ручної мінімізації логічних функцій використовуються карти Карно і діаграми Вейча, причому останні будують як розгорнення кубів на площині карти Карно.

Порядок ручної мінімізації логічних функцій за допомогою карт Карно наступний:

1. Терми заносяться в карту (для СКНФ – нулі, для СДНФ - одиниці). Розташування термів у карті Карно для чотирьох логічних змінних проілюстровано на рис. 3.1.

00

01

11

10

00

0

1

3

2

01

4

5

7

6

11

12

13

15

14

10

8

9

11

10

Рис. 3.1

2. Терми поєднують у контури, причому число контурів повинне бути мінімальним, але як можна більшого розміру.

3.  Контури можуть бути прямокутної чи квадратної форми; терми, що розміщуються по діагоналі, у контури не поєднуються.

4. Проводиться операція склеювання. Число розрядів, на яке зменшується вихідний терм, визначається в залежності від величини контуру (2-1, 4-2, 8-3, 16-4) і т.п. Склеюванню підлягають ті аргументи, що змінюються в межах контуру.

5. Записується мінімальна форма.

Карти Карно і діаграми Вейча доцільно застосовувати при числі змінних не більше 5. Якщо їх більше – користуються методами Квайна і Квайна – Мак-Класки.

При необхідності реалізації схеми на контактних елементах за синтезованою функцією слід пам'ятати, що сигнал без інверсії – це розімкнутий контакт, сигнал з інверсією – замкнений (див. рис. 3.2), логічна кон’юнкція – послідовне поєднання контактів, а логічна диз’юнкція – паралельне (див. рис. 3.3).

Рис. 3.2 Рис. 3.3

При реалізації схеми на безконтактних елементах слід застосовувати теорему де Моргана.

Тут варто відмітити, що форма, одержувана при мінімізації по карті Карно, не завжди є самою мінімальною, і до неї можна застосовувати всі теореми й аксіоми алгебри логіки, намагаючись спростити схемну реалізацію отриманої логічної функції.

Щоб показати ефективність логічних перетворень і множинність одержуваних мінімальних форм, розглянемо наступний приклад. Нехай необхідно побудувати на логічних мікросхемах серії К155 декілька варіантів схем, що реалізують задану мінімальну ДНФ (3.1) і порівняти отримані результати.

(3.1)

Схемну реалізацію цієї формули представлено на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Оскільки, на підставі довідкової даних, затримки поширення сигналу для елементів ЛР3 і ЛН1 серії К155 однакові, затримка всієї схеми дорівнює . Апаратні витрати складаються з п'яти інверторів ЛН1, кожний з який займає 1/6 корпуса, і елемента І-АБО-НІ - ЛР3, що займає цілий корпус. Разом для схеми за рис. 3.4:

Невикористані елементи частково зайнятого корпуса (у даному випадку шостий інвертор) не враховуються, оскільки вони можуть бути використані в інших вузлах. Підрахунки зручно робити в дванадцятих частках корпуса: 12 – це число логічних виводів корпуса найменшого розміру. Оцінка устаткування в дванадцятих частках корпуса чисельно близька до оцінки устаткування по сумі входів і виходів всіх елементів.

Оскільки в ЛР3 частина входів залишилися невикористаними, можна спробувати реалізувати за допомогою елементів І-НЕ, набір яких має дрібну градацію по числу входів. Застосувавши до (3.1) правило де Моргана, отримаємо:

(3.2)

Реалізацію (3.2) представлено на рис. 3.5.

Рис. 3.5

Параметри схеми: ; . Схема виявилась помітно більш економічною.

Можна спробувати використати формулу де-Моргана для зменшення числа інверторів на вході. Тоді:

(3.3)

Схему, що реалізує (3.3), показано на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Для неї ;  корпуса. Вдалося виграти і в часі, і в устаткуванні. Ще одне застосування формули де-Моргана дає:

(3.4)

Схему за формулою (3.4) представлено на рис. 3.7. Її параметри: ; . Схема виявилася дуже економічною, хоча і досить повільною.

Рис. 3.7

Якщо в (3.4) розкрити дужки, то можна отримати ще один варіант схеми (рис. 3.8):

; ; . (3.5)

Рис. 3.8

Затримка цієї схеми виявилася найменшої з усіх розглянутих.

На рис. 3.4-3.8 показано всі отримані схеми, хоча для спрощення функції  просто кілька разів використовувалося правило де-Моргана. Продовжуючи перетворення логічного виразу, можна побудувати ще ряд схем і порівняти зі вже отриманими.

 

2 КОНТРОЛЬНИЙ ПРИКЛАД

Здійснити мінімізацію функції  згідно з завданням: . За допомогою карти Карно отримати мінімальну форму функції, побудувати контактну та безконтактну (на базі елементів І-НІ) схеми.

Рішення

В даному випадку маємо (див. рис. 3.9)

Рис. 3.9

. (3.6)

Контактну схему з урахуванням вихідних теоретичних відомостей  зображено на рис. 3.10.

Рис. 3.10

Для переходу до базису І-НЕ використаємо теорему де-Моргана і отримаємо

. (3.7)

Безконтактну схему для (3.7) зображено на рис. 3.11.

Рис. 3.11

3 ЗАВДАННЯ НА САМОСТІЙНУ РОБОТУ

1. Провести мінімізацію функцій за допомогою карт Карно, та побудувати контактні та безконтактні схеми в логічному базисі І-НІ.

а)

б) .

Для переходу до базису І-НІ використати теорему де-Моргана.

2. Провести можливу мінімізацію форми, отриманої за картою Карно, користуючись теоремою де-Моргана.

4 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

  1.  Назвіть основні аксіоми алгебри логіки.
  2.  Сформулюйте та докажіть основні теореми алгебри логіки.
  3.  Сформулюйте основні властивості логічних операцій.
  4.  Покажіть правила переходу між різними логічними базисами.
  5.  Назвіть етапи мінімізації логічних функцій за допомогою карти Карно.
  6.  В чому заключаються основні принципи побудови контактних схем на основі заданих логічних функцій?
  7.  Як реалізувати безконтактну схему, задану логічною функцією, в конкретному логічному базисі?

 

30


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3856. Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта 163 KB
  Розв’язування задачі Кошіметодом Рунге-Кутта Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта. Короткі теоретичні відомості Тільк...
3857. Методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних 130.5 KB
  Методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних Мета роботи: Засвоїти теоретичний матеріал і методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних, набути практичні навики знаходження їхніх наближених значень...
3858. Информационные возможности непрерывного канала связи 1.01 MB
  Дайте определение понятию «Информационные возможности» каналов связи на физическом уровне. Изобразите модель передачи информации по каналу с помехами с описанием количественных характеристик. Под информационными возможностями канала будем понимат...
3859. Експлуатація повітряних суден 726 KB
  Експлуатація повітряних суден. На методологічній основі вивчення авіаційної техніки як об'єкту експлуатації, конструктивно-експлуатаційних властивостей і показників повітряних суден, розглянуті структура та зміст системи технічної експлуатації повітряних суден, її організаційні аспекти, а також характеристика програми та основних стратегій технічного обслуговування і ремонту АТ.
3860. Оцінка радіаційної обстановки після аварії на АЕС 62.61 KB
  Оцінка радіаційної обстановки після аварії на АЕС Завдання На північній АЕС сталася аварія з викидом шкідливих радіоактивних речовин в навколишнє середовище. Промисловий об’єкт розташований на відстані Rвід АЕС, може попасти в зону радіац...
3861. Фрейми. Інтерактивні Web-сторінки 33.5 KB
  Фрейми. Інтерактивні Web-сторінки Мета роботи - після виконання роботи студент повинен знати: базові команди мови HTML з реалізації фреймів основи мови HTML зі створення форм базові команди мови HTML із реалізації меню принципи створення інтеракт...
3862. Философия как дисциплина научного познания. Генезис философии 470 KB
  Генезис философии. Нужно отметить, что генезис является проблемой для самой философии, развиваясь, она постоянно сталкивается с проблемой собственного возникновения, ибо, только решив ее, философия сможет в полной мере осознать свою сущность. Сущест...
3863. Контрольна робота. Механіка матеріальної точки 86.01 KB
  Механіка матеріальної точки За заданими рівняннями руху х=х(t), у=у(y) (та z=z(t) для 2 рівня складності) матеріальної точки масою т =1кг встановити: Рівняння та вид траєкторії точки побудувати графік. Вектори переміщення, середньої швидкості та їх...
3864. Управляющие операторы или принятие решений в VB6 428.5 KB
  Управляющие операторы или принятие решений в VB6. Операторы, которые могут изменить последовательность выполнения операторов процедуры. Основанием для принятия решений в управляющих операторах являются условные (логические) выражения. Логические вы...