31827

Поиск субоптимальных параметров в методе аддитивного расщепления

Дипломная

Информатика, кибернетика и программирование

Субоптимальные параметры расщепления максимально с точностью до малого параметра расширяют по вещественной оси спектральную область сходимости. Также проблематично бывает проверить условие сходимости которое обычно не выполняется. В связи с этим в данной дипломной работе для схемы МАР находятся такие параметры при которых спектральная область сходимости содержала бы интервал на вещественной оси наибольшей длины. Для случая когда спектральный радиус применяется метод аддитивного расщепления [13]: – произвольный набор начальных...

Русский

2013-09-01

240.81 KB

1 чел.

Кафе                                         Кафедра математики и информационных технологий в образовании                   

Поиск субоптимальных параметров в методе аддитивного расщепления

АННОТАЦИЯ(SUMMARY)

Решается уравнение  в банаховом пространстве с непрерывным линейным оператором  так называемым методом аддитивного расщепления, когда оператор делится на несколько частей и применяется соответствующая итерационная процедура. Субоптимальные параметры расщепления максимально, с точностью до малого параметра, расширяют по вещественной оси спектральную область сходимости.

An equation  in a Banach space with continuous linear operator   is solved by so called additive-split method when the operator is split to some parts and an appropriate iteration procedure is used.  The suboptimal parameters of splitting extend spectrial domain of convergence to along the real axis as much as possible, with the precision to the smallest parameter.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6

2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 10

3. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗЛП 15

4. НАХОЖДЕНИЕ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАР 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

ВВЕДЕНИЕ

Весьма широкий класс прикладных задач сводится к решению операторного уравнения 2-го рода

.

Здесь

– искомая разрешающая функция

– линейный оператор.

При расчете подкрепленных конструкций, рассмотрении контактных взаимодействий, исследовании моделей механики упругих сред с нелинейными возмущениями возникает необходимость  решения интегральных и интегро-дифференциальных операторных уравнений с линейными операторами, информацию о спектре которых получить иногда весьма затруднительно. Также проблематично бывает проверить условие сходимости, которое обычно не выполняется.

Рассмотрим это на примере расчета контактной системы «балка – упругое основание» [4].

Пусть имеется шарнирно опертая балка длиной  и на расстоянии  от ее оси – упругое основание жесткости  (Рис.).

Рис.

Балка испытывает действие равномерной нагрузки . В случае, если прогиб балки становится больше, чем , возникает контактная задача с неизвестной зоной контакта. Краевую задачу расчета прогиба такой контактной системы можно записать в виде:

Разрешающее уравнение

где  – вертикальный прогиб балки (положительный прогиб направлен вниз),  – модуль упругости материала сосуда,  – момент инерции кольцевого поперечного сечения;

Граничные условия

Решением данной задачи будет следующее уравнение:

где  , ,

Наиболее известным  практическим способом решить такое уравнение является метод простых итераций

Здесь ситуация такова, что если жесткость основания оказывает хоть какое-то ощутимое влияние на прогиб стержня, то итерационная схема метода простых итераций не сходится. Многослойная итерационная схема МАР, рассматриваемая в дипломной работе, возникла как раз при решении таких задач.

 В связи с этим в данной дипломной работе  для схемы МАР находятся такие параметры, при которых спектральная область сходимости содержала бы интервал на вещественной оси наибольшей длины.

  1.  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим уравнение

в банаховом пространстве  с непрерывным линейным оператором . Для решения этого уравнения применяется метод простых итераций:

При спектральном радиусе  процедура  сходится, то есть сходится к решению  при любых начальных значениях .

Для случая, когда спектральный радиус  применяется метод аддитивного расщепления [1-3]:

– произвольный набор начальных векторов из , параметры   удовлетворяют соотношениям

Спектральная область сходимости – это множество  на , такая что если спектр  принадлежит , то процедура сходится.

Спектральная область сходимости (3),(4) существенно зависит от выбора . Покажем это на примерах.

Пример 1.

Пусть , тогда , ,

*

Рис. 1. Вид спектральной области сходимости (3) при

Пример 2.  ,

**

Рис. 2. Вид спектральной области сходимости при

Пусть при любых   найдется интервал  такой, что  сходится. Если  содержится в , то есть если точка спектра находится в интервале, то процедура сходится.

Сходимость  эквивалентна сходимости  в пространстве  метода простых итераций.

В работе В.Л.Никитенкова и А.А.Холопова [3] решена задача о нахождении таких параметров , при которых  – максимально:


Рис. 3. Спектральная область сходимости для (5)

На рис.3. точки  не входят в область сходимости, поэтому не весь интервал  содержится в .

В моей дипломной работе ставится следующая задача:

найти , зависящие от параметра , чтобы:

Такие параметры в дальнейшем будем называть субоптимальными.

Будем решать задачу как в статье [3].

  1.  СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Запишем МАР  в виде процедуры простых итераций.

Пусть . Тогда

где  - единичный тождественный оператор в , а линейный матричный оператор  действует из  в . Известно, что (7) – сходится тогда и только тогда, когда все точки спектра  находятся в открытом единичном круге () .

 – необратимо, где – тождественный оператор в .

Установим связь между спекторами операторов  и . Для этого рассмотрим операторную матрицу

где - комплексный параметр. Элементами данной матрицы являются , которые представляют собой попарно коммутативные  элементы кольца операторов из  в .

Тогда удовлетворяет условию теоремы об эквивалентности обратимости  и его формального определителя ([5]).

Пусть  – оператор из  в , формальный определитель матричного оператора , то есть посчитанный по формулам линейной алгебры.

Легко убедиться, что , где  – формальный определитель матрицы, полученной из отбрасыванием первой строки и первого столбца.

Отсюда получаем, что

, где

Из теоремы Крупника об эквивалентной обратимости  следует, что  необратим  .

Пусть ,- точки спектра оператора С, удовлетворяющие условию , где  - зафиксировано.

Так как  сходится при , то для того, чтобы  принадлежала спектральной области сходимости , необходимо, чтобы все  лежали в единичном круге.

Рассмотрим функцию  , которая переводит границу области сходимости (, где ) в некоторую линию на комплексной плоскости, которая может иметь несколько точек самопересечения (см. Рис.3.) и разбивает комплексную плоскость на несколько областей. При этом спектральной областью сходимости  будет та область, которая содержит 0. Таким образом при  получаем все . Так как ,  симметрично на комплексной плоскости относительно , то достаточно рассмотреть случай .

где

где   -  полином Чебышева II рода, .

Рассмотрим  .

Тогда

,

Обозначим через . Пусть  не содержит точек спектра. Приходим к задаче параметрического программирования:

Так как обычно задачи математического программирования с условиями строгого неравенства не имеют оптимального решения ( не достигается), то заменим условия  на , а так же  на .

Переходим к задаче линейного параметрического программирования:

Эта задача решена в [3] и получены значения «оптимальных»  из формулы .

Чтобы (-1,М) не содержал точек спектра, достаточно заменить условия  на , где  – параметр малости. Таким образом, мы отодвигаем от вещественной оси на небольшое расстояние при  (см. Рис.4.).

Рис.4. Вид спектральной области сходимости при субоптимальных параметрах

  1.  НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗЛП

В данном разделе описывается идея вывода формул , , изложенных в [3]. Получение аналогичных формул для субоптимальных параметров использует ту же идею и будет приведено далее в разделе 4.

В  обозначим через  и поставим задачу оптимизации.

.

В [3] показано, что  имеет решение, причем в оптимальном решении . Тогда замена задачи  на  корректна.

Задачу  превратим в задачу линейного программирования (ЗЛП), выбрав произвольное множество , которое включает в себя все корни .

Двойственная ЗЛП к задаче  имеет вид:

Рассмотрим систему

Вычтем из первого уравнения третье, из второго уравнения четвертое и так далее. Дополнительно вычтем последнее равенство из предпоследнего и получим условия в виде

Оказывается, что система уравнений  с условиями  имеет единственное решение  . Очевидно, это единственное решение и будет оптимальным и, тем самым, будет показана разрешимость  и

и выполняется условие дополняющей  нежесткости:

Если не является корнем  , т.е. , то, очевидно,  .

Оставим в  те ,  которые больше нуля. Значения , соответствующие ненулевым значениям  должны быть корнями . Обозначим через ненулевые значения . Соответствующие им корни  обозначим через . Очевидно, что  не больше числа всех различных корней

Для решения  рассмотрим случаи соотношения целых неотрицательных чисел , где  при нечетном  и при четном ,  – число различных внутренних корней среди ,  (обозначим их, не умоляя общности, через ).

Так как  в окрестности любого внутреннего корня, то  являются корнями четной (не менее 2) кратности. Всего корней с учетом кратности должно быть не более, чем – порядок   при . Тогда для  справедливы неравенства

  1.  (возможно есть еще корни ),
  2.   (внутренние корни имеют кратность не менее двух)
  3.  

Из 1)-3) следует, что возможны следующие 9 случаев:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  .

В работе [3] показано, что  разрешима только в случаях V и IX, причем имеет единственное решение , зависящее от , а так же

Случай V. Соответствует нечетному значению . В этом случае [3]:

Случай IX. Соответствует четным . Тогда [3]:

Так же получены значения «оптимальных» параметров :

  1.  НАХОЖДЕНИЕ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАР

Рассмотрим теперь  из раздела 2. Как и в разделе 3, поставленная задача сводится к ЗЛП

Двойственная ЗЛП к ней имеет вид

Вычитая последовательно равенства  так же, как и в разделе 3, получим такую же (с точностью до обозначений) систему , которая имеет (с точностью до нулевых значений) единственное решение  которое является оптимальным и тот же набор значений . Обозначим снова через  ненулевые значения .

Из  получаем, что  являются корнями полинома .

Выпишем решения  для нечетного и четного случаев.

Нечетное ;

, где 

где ;

Найдем

Четное . .

Таким образом, при четном и нечетном  

«Оптимальное» значение  из  получается при  

Отсюда

Получили явную формулу для  через :

Обозначим разницу правых границ интервала  в оптимальном и субоптимальном случаях через :

Получаем связь параметра субоптимальности с параметром отклонения полинома  от вещественной оси.

Найдем теперь явные формулы для субоптимальных параметров

Из равенств   и условия  получаем СЛАУ:

Обозначим через  . Получаем следующую задачу:

Система  отличается от системы  для  в [2] только правой частью (вместо стоит ). Из линейности системы получаем

.

Окончательно

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом мы получили для поставленной задачи следующий результат: субоптимальные параметры, обеспечивающие сходимость  при спектре, содержащемся в , даются формулой . Значения  находятся по формуле . Формула  показывает связь между параметрами  малости.  

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. Л. Никитенков, А. А. Холопов. Оптимальные области сходимости линейных многослойных итерационных процедур. // Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения): Межвуз. сб. науч. тр. /Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1991. С. 134–142.

2. В.Л. Никитенков, А.А. Холопов. Оптимальные параметры  метода аддитивного расщепления (МАР). //Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 12.2010. С.53–70.

3. В.Л. Никитенков, А.А. Холопов. Точные формулы для оптимальных параметров МАР. //Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 14.2011. С.67–94.

4. Е.И. Михайловский, В.Л. Никитенков, А.А. Холопов. Итерационные методы решения операторных уравнений. Учебно-методическое пособие. Изд-во Сыктывкарского университета. 2009, 322 с.

5. Крупник Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы. Ответственный редактор — А.С. Маркус./ Кишинев: Штиинца, 1984. 137 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24460. Погрешность и сходимость метода Монте-Карло 49.5 KB
  таблица настройки адресов имеет переменную длину состоит из элементов по 4 байта которые указывают на адрес который должен быть настроен. Смещение от начала файлов: 0001: 4D5A; 0203: длина абзаца задачи по модулю 512; 0405: длина файла в блоках колво блоков по 512 байт; 0607: число элементов таблицы настройки адресов; 0809: длина заголовка в параграфе; 0А0В: минимальный объем памяти который нужно выделить после конца абзаца задачи MIN ALLOC 0000; 0С0D: максимальный объем памяти который нужно выделить после конца абзаца...
24461. Процессы восстановления. Уравнение восстановления 129.5 KB
  Процессы восстановления. Уравнение восстановления. Определение: Под процессом восстановления понимается последовательность неотрицательных взаимнонезависимых случайных величин которые при i 1 имеют одно и тоже распределение. случайная наработка системы после i1 восстановления.
24462. Восприятие и его характеристики 45.5 KB
  В отличие от ощущений отражающих лишь отдельные свойства предметов в образе восприятия представлен весь предмет в совокупности его постоянных свойств. Образ восприятия выступает как результат синтеза ощущений. При этом особенно важную роль во всех видах восприятия играют двигательные или кинестетические ощущения которые регулируют по принципу обратной связи реальные взаимоотношения субъекта с предметом. В процессе слухового восприятия активную роль играют слабые движения артикуляционного аппарата.
24463. Сфера вторичных образов: эмпирические характеристика представления в сравнении с характеристиками восприятия 58.5 KB
  Сфера вторичных образов: эмпирические характеристика представления в сравнении с характеристиками восприятия. К вторичным образом относятся образы представления сновидения галлюцинации. При этом степень обобщенности того или иного представления может быть различной в связи с чем различают единичные и общие представления. Представления различаются по ведущему анализатору зрительные слуховые осязательные обонятельные по их содержанию математические технические музыкальные.
24464. Понятие о памяти, её видах и процессах. Способы повышения эффективности запоминания 72.5 KB
  Память – форма психического отражения действительности заключающаяся в закреплении сохранении и последующем воспроизведении прошлого опыта делающая возможным его повторное использование в деятельности или возвращение в сферу сознания. Память является процессом обеспечивающим построение всестороннего образа мира связывающим разрозненные впечатления в целостную картину прошлое с настоящим и будущим. По длительности сохранения информации выделяют сенсорную кратковременную долговременную память. В соответствии с видом стимула сенсорная...
24465. Внимание: его характеристики и методы диагностики 69 KB
  Объектом внимания могут быть предметы явления отношения свойства предметов действия мысли чувства других людей и свой собственный внутренний мир. Внимание обладает следующими основными характеристиками: Устойчивость внимания проявляется в способности в течение длительного времени сохранять состояние внимания на какомлибо объекте предмете деятельности не отвлекаясь и не ослабляя внимание. Концентрация внимания противоположное качество – рассеянность проявляется в различиях которые имеются в степени концентрированности...
24466. Понятие мышления, его виды. Фазы мыслительного процесса и мыслительные операции 70.5 KB
  Мышление – это социально обусловленный неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы. Мышление является базовым компонентом интеллекта. 1 Наиболее распространена среди них классификация рассматривающая такие разновидности мыслительной деятельности как нагляднодейственное нагляднообразное и...
24467. Речь и язык. Виды речи и ее функции 31 KB
  Речь и язык. Речь – исторически сложившаяся форма общения людей посредством языковых конструкций создаваемых на основе определенных правил. Речь включает процессы порождения и восприятия сообщений для целей общения передачи информации или для целей регуляции и контроля собственной деятельности. Речь имеет полифункциональный характер.
24468. Эмоции и их функции. Психологические теории эмоций 32 KB
  Психологические теории эмоций. Эмоции выполняют следующие функции: Сигнальная функция эмоций выражается в том что переживания возникают и изменяются в связи с происходящими изменениями в окружающей среде или в организме человека. Регулирующая функция эмоций выражается в том что стойкие переживания направляют поведение человека поддерживают его заставляют преодолевать встречающиеся на пути преграды или мешают протеканию деятельности блокируют ее. Дифференцирующая и синтезирующая функция эмоций проявляется в таких феноменах как...