31827

Поиск субоптимальных параметров в методе аддитивного расщепления

Дипломная

Информатика, кибернетика и программирование

Субоптимальные параметры расщепления максимально с точностью до малого параметра расширяют по вещественной оси спектральную область сходимости. Также проблематично бывает проверить условие сходимости которое обычно не выполняется. В связи с этим в данной дипломной работе для схемы МАР находятся такие параметры при которых спектральная область сходимости содержала бы интервал на вещественной оси наибольшей длины. Для случая когда спектральный радиус применяется метод аддитивного расщепления [13]: – произвольный набор начальных...

Русский

2013-09-01

240.81 KB

1 чел.

Кафе                                         Кафедра математики и информационных технологий в образовании                   

Поиск субоптимальных параметров в методе аддитивного расщепления

АННОТАЦИЯ(SUMMARY)

Решается уравнение  в банаховом пространстве с непрерывным линейным оператором  так называемым методом аддитивного расщепления, когда оператор делится на несколько частей и применяется соответствующая итерационная процедура. Субоптимальные параметры расщепления максимально, с точностью до малого параметра, расширяют по вещественной оси спектральную область сходимости.

An equation  in a Banach space with continuous linear operator   is solved by so called additive-split method when the operator is split to some parts and an appropriate iteration procedure is used.  The suboptimal parameters of splitting extend spectrial domain of convergence to along the real axis as much as possible, with the precision to the smallest parameter.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6

2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 10

3. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗЛП 15

4. НАХОЖДЕНИЕ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАР 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

ВВЕДЕНИЕ

Весьма широкий класс прикладных задач сводится к решению операторного уравнения 2-го рода

.

Здесь

– искомая разрешающая функция

– линейный оператор.

При расчете подкрепленных конструкций, рассмотрении контактных взаимодействий, исследовании моделей механики упругих сред с нелинейными возмущениями возникает необходимость  решения интегральных и интегро-дифференциальных операторных уравнений с линейными операторами, информацию о спектре которых получить иногда весьма затруднительно. Также проблематично бывает проверить условие сходимости, которое обычно не выполняется.

Рассмотрим это на примере расчета контактной системы «балка – упругое основание» [4].

Пусть имеется шарнирно опертая балка длиной  и на расстоянии  от ее оси – упругое основание жесткости  (Рис.).

Рис.

Балка испытывает действие равномерной нагрузки . В случае, если прогиб балки становится больше, чем , возникает контактная задача с неизвестной зоной контакта. Краевую задачу расчета прогиба такой контактной системы можно записать в виде:

Разрешающее уравнение

где  – вертикальный прогиб балки (положительный прогиб направлен вниз),  – модуль упругости материала сосуда,  – момент инерции кольцевого поперечного сечения;

Граничные условия

Решением данной задачи будет следующее уравнение:

где  , ,

Наиболее известным  практическим способом решить такое уравнение является метод простых итераций

Здесь ситуация такова, что если жесткость основания оказывает хоть какое-то ощутимое влияние на прогиб стержня, то итерационная схема метода простых итераций не сходится. Многослойная итерационная схема МАР, рассматриваемая в дипломной работе, возникла как раз при решении таких задач.

 В связи с этим в данной дипломной работе  для схемы МАР находятся такие параметры, при которых спектральная область сходимости содержала бы интервал на вещественной оси наибольшей длины.

  1.  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим уравнение

в банаховом пространстве  с непрерывным линейным оператором . Для решения этого уравнения применяется метод простых итераций:

При спектральном радиусе  процедура  сходится, то есть сходится к решению  при любых начальных значениях .

Для случая, когда спектральный радиус  применяется метод аддитивного расщепления [1-3]:

– произвольный набор начальных векторов из , параметры   удовлетворяют соотношениям

Спектральная область сходимости – это множество  на , такая что если спектр  принадлежит , то процедура сходится.

Спектральная область сходимости (3),(4) существенно зависит от выбора . Покажем это на примерах.

Пример 1.

Пусть , тогда , ,

*

Рис. 1. Вид спектральной области сходимости (3) при

Пример 2.  ,

**

Рис. 2. Вид спектральной области сходимости при

Пусть при любых   найдется интервал  такой, что  сходится. Если  содержится в , то есть если точка спектра находится в интервале, то процедура сходится.

Сходимость  эквивалентна сходимости  в пространстве  метода простых итераций.

В работе В.Л.Никитенкова и А.А.Холопова [3] решена задача о нахождении таких параметров , при которых  – максимально:


Рис. 3. Спектральная область сходимости для (5)

На рис.3. точки  не входят в область сходимости, поэтому не весь интервал  содержится в .

В моей дипломной работе ставится следующая задача:

найти , зависящие от параметра , чтобы:

Такие параметры в дальнейшем будем называть субоптимальными.

Будем решать задачу как в статье [3].

  1.  СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Запишем МАР  в виде процедуры простых итераций.

Пусть . Тогда

где  - единичный тождественный оператор в , а линейный матричный оператор  действует из  в . Известно, что (7) – сходится тогда и только тогда, когда все точки спектра  находятся в открытом единичном круге () .

 – необратимо, где – тождественный оператор в .

Установим связь между спекторами операторов  и . Для этого рассмотрим операторную матрицу

где - комплексный параметр. Элементами данной матрицы являются , которые представляют собой попарно коммутативные  элементы кольца операторов из  в .

Тогда удовлетворяет условию теоремы об эквивалентности обратимости  и его формального определителя ([5]).

Пусть  – оператор из  в , формальный определитель матричного оператора , то есть посчитанный по формулам линейной алгебры.

Легко убедиться, что , где  – формальный определитель матрицы, полученной из отбрасыванием первой строки и первого столбца.

Отсюда получаем, что

, где

Из теоремы Крупника об эквивалентной обратимости  следует, что  необратим  .

Пусть ,- точки спектра оператора С, удовлетворяющие условию , где  - зафиксировано.

Так как  сходится при , то для того, чтобы  принадлежала спектральной области сходимости , необходимо, чтобы все  лежали в единичном круге.

Рассмотрим функцию  , которая переводит границу области сходимости (, где ) в некоторую линию на комплексной плоскости, которая может иметь несколько точек самопересечения (см. Рис.3.) и разбивает комплексную плоскость на несколько областей. При этом спектральной областью сходимости  будет та область, которая содержит 0. Таким образом при  получаем все . Так как ,  симметрично на комплексной плоскости относительно , то достаточно рассмотреть случай .

где

где   -  полином Чебышева II рода, .

Рассмотрим  .

Тогда

,

Обозначим через . Пусть  не содержит точек спектра. Приходим к задаче параметрического программирования:

Так как обычно задачи математического программирования с условиями строгого неравенства не имеют оптимального решения ( не достигается), то заменим условия  на , а так же  на .

Переходим к задаче линейного параметрического программирования:

Эта задача решена в [3] и получены значения «оптимальных»  из формулы .

Чтобы (-1,М) не содержал точек спектра, достаточно заменить условия  на , где  – параметр малости. Таким образом, мы отодвигаем от вещественной оси на небольшое расстояние при  (см. Рис.4.).

Рис.4. Вид спектральной области сходимости при субоптимальных параметрах

  1.  НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗЛП

В данном разделе описывается идея вывода формул , , изложенных в [3]. Получение аналогичных формул для субоптимальных параметров использует ту же идею и будет приведено далее в разделе 4.

В  обозначим через  и поставим задачу оптимизации.

.

В [3] показано, что  имеет решение, причем в оптимальном решении . Тогда замена задачи  на  корректна.

Задачу  превратим в задачу линейного программирования (ЗЛП), выбрав произвольное множество , которое включает в себя все корни .

Двойственная ЗЛП к задаче  имеет вид:

Рассмотрим систему

Вычтем из первого уравнения третье, из второго уравнения четвертое и так далее. Дополнительно вычтем последнее равенство из предпоследнего и получим условия в виде

Оказывается, что система уравнений  с условиями  имеет единственное решение  . Очевидно, это единственное решение и будет оптимальным и, тем самым, будет показана разрешимость  и

и выполняется условие дополняющей  нежесткости:

Если не является корнем  , т.е. , то, очевидно,  .

Оставим в  те ,  которые больше нуля. Значения , соответствующие ненулевым значениям  должны быть корнями . Обозначим через ненулевые значения . Соответствующие им корни  обозначим через . Очевидно, что  не больше числа всех различных корней

Для решения  рассмотрим случаи соотношения целых неотрицательных чисел , где  при нечетном  и при четном ,  – число различных внутренних корней среди ,  (обозначим их, не умоляя общности, через ).

Так как  в окрестности любого внутреннего корня, то  являются корнями четной (не менее 2) кратности. Всего корней с учетом кратности должно быть не более, чем – порядок   при . Тогда для  справедливы неравенства

  1.  (возможно есть еще корни ),
  2.   (внутренние корни имеют кратность не менее двух)
  3.  

Из 1)-3) следует, что возможны следующие 9 случаев:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  .

В работе [3] показано, что  разрешима только в случаях V и IX, причем имеет единственное решение , зависящее от , а так же

Случай V. Соответствует нечетному значению . В этом случае [3]:

Случай IX. Соответствует четным . Тогда [3]:

Так же получены значения «оптимальных» параметров :

  1.  НАХОЖДЕНИЕ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАР

Рассмотрим теперь  из раздела 2. Как и в разделе 3, поставленная задача сводится к ЗЛП

Двойственная ЗЛП к ней имеет вид

Вычитая последовательно равенства  так же, как и в разделе 3, получим такую же (с точностью до обозначений) систему , которая имеет (с точностью до нулевых значений) единственное решение  которое является оптимальным и тот же набор значений . Обозначим снова через  ненулевые значения .

Из  получаем, что  являются корнями полинома .

Выпишем решения  для нечетного и четного случаев.

Нечетное ;

, где 

где ;

Найдем

Четное . .

Таким образом, при четном и нечетном  

«Оптимальное» значение  из  получается при  

Отсюда

Получили явную формулу для  через :

Обозначим разницу правых границ интервала  в оптимальном и субоптимальном случаях через :

Получаем связь параметра субоптимальности с параметром отклонения полинома  от вещественной оси.

Найдем теперь явные формулы для субоптимальных параметров

Из равенств   и условия  получаем СЛАУ:

Обозначим через  . Получаем следующую задачу:

Система  отличается от системы  для  в [2] только правой частью (вместо стоит ). Из линейности системы получаем

.

Окончательно

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом мы получили для поставленной задачи следующий результат: субоптимальные параметры, обеспечивающие сходимость  при спектре, содержащемся в , даются формулой . Значения  находятся по формуле . Формула  показывает связь между параметрами  малости.  

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. Л. Никитенков, А. А. Холопов. Оптимальные области сходимости линейных многослойных итерационных процедур. // Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения): Межвуз. сб. науч. тр. /Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1991. С. 134–142.

2. В.Л. Никитенков, А.А. Холопов. Оптимальные параметры  метода аддитивного расщепления (МАР). //Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 12.2010. С.53–70.

3. В.Л. Никитенков, А.А. Холопов. Точные формулы для оптимальных параметров МАР. //Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 14.2011. С.67–94.

4. Е.И. Михайловский, В.Л. Никитенков, А.А. Холопов. Итерационные методы решения операторных уравнений. Учебно-методическое пособие. Изд-во Сыктывкарского университета. 2009, 322 с.

5. Крупник Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы. Ответственный редактор — А.С. Маркус./ Кишинев: Штиинца, 1984. 137 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41444. ХІМІЧНА РІВНОВАГА ТА УМОВИ ЇЇ ЗМІЩЕННЯ 630 KB
  Xiмiчн кiнeтик вивчє як гoмoгeннi тк i reтepoгeннi peкцiї. Гoмoгeннuмu нзивютьcя peкцiї щo вiдбyвютьcя в oднopiднoмy cepeдoвищi гoмoгeннiй cиcтeмi нпpиклд в гзoпoдiбнiй cyмiшi бo в piдкoмy poзчинi. Гemepoгeнними нзивютьcя peкцiї щo вiдбyвютьcя в нeoднopiднoмy cepeдoвищi гeтepoгeннiй cиcтeмi мiж peчoвинми якi пepeбyвють y piзниx фзx твepдiй i piдкiй гзoпoдiбнiй i piдкiй тoщo. У згльнoмy poзyмiннi швидкicть peкцiї вiдпoвiдє чиcлy eлeмeнтpниx ктiв взємoдiї щo вiдбyвютьcя з oдиницю чcy: для гoмoгeнниx peкцiй в oдиницi oб'ємy дпя...
41445. POЗЧИHИ. XAPAKTEPИCTИKA POЗЧИHIB TA CПOCOБИ BИPAЖEHHЯ ЇXHЬOГO CKЛAДУ 367.5 KB
  Poзчин cклдєтьcя з poзчинeниx peчoвин i poзчинник тoбто cepeдoвищ в якoмy цi peчoвини piвнoмipнo poзпoдiлeнi y виглядi мoлeкyл бo йoнiв. Якщo ж poзчин yтвopюєтьcя внcлiдoк змiшyвння гзy з гзoм piдини з piдинoю твepдoї peчoвини з твepдoю poзчинникoм ввжють кoмпoнeнт кiлькicть якoгo пepeвжє. Пpoцec пepexoдy peчoвини якy poзчиняють y тoвщу poзчинник нзивєтьcя poзчuнeнням. Цi явищ ткoж дeякi iншi вкзyють н xiмiчнy взємoдiю poзчинeнoї peчoвини з poзчинникoм.
41446. ДИСОЦІАЦІЯ КИСЛОТ ОСНОВ ТА СОЛЕЙ 932.5 KB
  Основні положенн тeopiї eлeктpoлiтичрoї диcoцiцiї. Cтупiнь eлeктpoлітичнoї диcoцiцiї.Основні положенн тeopiї eлeктpoлiтичнoї диcoцiцiї. Cтупiнь eлeктpoлітичнoї диcoцiцiї.
41447. Суть гідролізу, його види. Складання рівнянь гідролізу різних солей 476.5 KB
  Суть гідролізу його види.Складання рівнянь гідролізу різних солей.Суть гідролізуйого види. Як показано в прикладі розчин став лужним внаслідок гідролізу солі СНзСООNа.
41448. OKИCHO-BIДHOBHI PEAKЦIЇ 764.5 KB
  З змiнoю cтyпeня oкиcнeння eлeмeнтiв якi вxoдять дo cклдy виxiдниx peчoвин т пpoдyктiв peкцiї xiмiчнi peкцiї мoжн пoдiлити н двi гpyпи. Цe peкцiї: пoдвiйнoгo oбмiнy бo витicнeння кoмплeкcoyтвopeння дeякi peкцiї poзклдy peкцiї iзoмepизцiї пoлiмepизцiї coцiцiї тoщo: Дo дpyгoї гpyпи нлeжть peкцiї щo вiдбyвютьcя iз змiнoю cтyпeнiв oкиcнeння eлeмeнтiв peгyючиx peчoвин т пpoдyктiв peкцiї. Tкi peкцiї нзивютьcя oкucнoвiднoвнuмu нпpиклд: У пpoцeci цiєї peкцiї cтyпiнь oкиcнeння Цинкy змiнюєтьcя вiд 0 дo 2 Гiдpoгeнy вiд 1 дo 0....
41449. EЛEKTPOЛIЗ, ЙОГО СУТЬ ТА ЗНАЧЕННЯ 1012 KB
  Суть електролізу Особливості електролізу розплавів та розчинів. Практичне значення електролізу. Суть електролізу Особливості електролізу розплавів та розчинів. : Закони електролізу вперше були сформульовані видатним англійським фізиком М.
41450. ВЛАСТИВОСТІ ГАЛОГЕНІВ. ВОДНЕВІ СПОЛУКИ ГАЛОГЕНІВ 851.5 KB
  Добування і властивості хлору. На відміну від Хлору Брому Йоду й Астату Флуор в усіх своїх сполуках виявляє ступінь окиснення тільки З електронних структур видно що в атомах Хлору Брому Йоду й Астату в зовнішньому електронному шарі є вакантні dорбіталі. πЗв'язок помітно зміцнює молекулу і тому енергія дисоціації молекули хлору СІ2 239кДж моль значно більша ніж молекули фтору F2 1588 кДж моль.
41451. ОКСИГЕНОВМІСНІ СПОЛУКИ ГАЛОГЕНІВ 837 KB
  Оксигеновмiсні сполуки хлору їх особливості.Оксигеновмiсні сполуки хлору їх особливості. Непрямим способом добуто ряд сполук Хлору з Оксигеном але всі вони нестійкі. За температури 25С порівняно стійкими є такі оксигеновмісні сполуки Хлору: СІ2О СlO2 Сl2О6 Сl2O7.
41452. СІРКА. КИСНЕВІ ТА ВОДНЕВІ СПОЛУКИ СІРКИ 877.5 KB
  Оскільки атом Оксигену містить тільки два неспарені електрони він може лише двояко сполучатись у молекули: О О і О О О й утворювати тільки дві алотропні видозміни: кисень та озон.8 Полоній Po 6s26p46d0 0137 843 254 Оксиген та кисень. Кисень проста речовина утворена Оксигеном міститься в атмосферному повітрі у зв'язаному стані Оксиген входить до складу води кварцу силікатів алюмосилікатів сполук тваринного і рослинного походження. Вперше кисень у чистому вигляді добув шведський хімік К.