31997

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ ДЛЯ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ С ЦИКЛОМ

Дипломная

Информатика, кибернетика и программирование

При выбранной параметризации ребра функция оказывается обычной функцией на промежутке из . Если Из следует что функция возрастает от точки до и так как то на .5 получим = что равносильно равенству: Из следует что функция возрастает от точки до и так как то на . Из следует что функция возрастает от точки до и так как то на .

Русский

2013-09-01

1.25 MB

18 чел.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Математический факультет

Кафедра функционального анализа и операторных уравнений

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ  КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ ДЛЯ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ С ЦИКЛОМ

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Специальность – 010101  Математика

010109 – Функциональный анализ

Допущено к защите в ГАК

Зав. кафедрой

___________

М.И.Каменский

проф., док.физ.-мат.наук

__.06.2009

Студент

___________

Е.И.Собовая

Руководитель

___________

Т.В.Белоглазова

доц., канд.физ.-мат.наук

Воронеж 2009

Оглавление

Введение…………………….……………………………….………..стр.2

  1.  Основные понятия теории краевых задач на графах………………………………………………...…......……….стр.3

  1.  Постановка краевой задачи…………………….………………стр.6

  1.  Невырожденность………………………..……..………………стр.9

  1.  Построение функции Грина задачи………………...…………стр.12

  1.  Решение дифференциального неравенства…………...............стр.16

Введение

Дипломная работа посвящена актуальной в последнее время теории дифференциальных уравнений на графах, в частности графах с циклом. Изучаемый граф интересен тем, что,  имея ясную физическую природу, он содержит главные особенности, порождающие дополнительны проблемы в задачах на графах, а именно: сложные стыковки и наличие цикла.

В первой части работы приводятся основные понятия теории дифференциальных уравнений на графах [1], [2],[3].

Во второй части работы дано подробное описание модели  «треугольник из струн» и по классической вариационной схеме Лагранжа [4] построена неоднородная краевая задача для исследуемой модели.

Используя классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке и качественные методы задачи Штурма-Лиувилля [4] на графе для построенной неоднородной задачи для изучаемой модели, в третьей части исследована соответствующая однородная задача. Получено условие невырожденности построенной неоднородной задачи.

В четвертой части построена функции Грина, позволяющая представить решение исследуемой задачи в интегральном виде.

В пятой заключительной части работы было исследовано дифференциальное неравенство . Было установлено, что при неотрицательной правой части неоднородной задачи, ее решение неотрицательно.

1. Основные понятия теории краевых задач на графах

Напомним основные определения из теории краевых задач на графах.

Геометрическим графом  в  называется объединение непересекающихся интервалов =,  (называемых ребрами), и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначается через , каждая точка из  называется внутренней вершиной графа . Концы интервалов , не включенные в , называются граничными вершинами , их множество обозначим через .Обозначим множество всех вершин графа  через , и объединение всех ребер - . Тогда .

        Будем говорить, что вершины  и c примыкают к ребру , а ребро  примыкает к вершинам   и  . Для каждой вершины  введем множество , состоящее из  и всех ребер, примыкающих к .

          Будем рассматривать вещественнозначные функции , сужение которых на ребро,  будем обозначать .

        Для каждого ребра  можно ввести натуральную параметризацию по формуле , где  и  - длина ребра . При выбранной параметризации ребра  функция  оказывается обычной функцией на промежутке из .

        Если рассматривать замкнутые ребра , то  считать его параметризацией  при .

        Производная на графе определяется следующим образом. Если для данной параметризации  ребра при , оказывается, что для функции  при всех  и  существует производная , то будем говорить, что на  определена производная . При этом на ребре и в вершинах из  имеем , если , а в каждой вершине  имеем набор производных  для ребер , примыкающих к a. Аналогично определяются производные высших порядков . Заметим, что на каждом ребре можно ввести две натуральных параметризации с противоположной ориентацией, и, естественно, производные первого порядка зависят от ориентации ребра, а производные второго порядка – нет. При формулировании условий согласования, нам удобнее пользоваться производными по направлению “от вершины”, которые будем обозначать .

           Через  обозначим множество, определенных на ребре  равномерно непрерывных  функций, для  которых существуют равномерно непрерывные производные до порядка n. Легко видеть, что функцию  можно доопределить предельными значениями до функции из , за доопределенной функцией сохраним прежнее обозначение.

          Будем писать , если  и сужения . Во внутренних вершинах графа Г каждая из таких функций может иметь различные пределы вдоль различных ребер, примыкающих к одной вершине . Если все пределы  вдоль ребер  совпадают, то для них будем использовать обозначение .

          Введем пространства: .

          Основным объектом исследований является следующая краевая задача на графе .

                                                                           (1.1.)

                                  (1.2.)

                                                  (1.3.)

,                              .                                    (1.4.)

           Решением задачи назовем функцию , удовлетворяющую уравнению (1.1.) на  и всем условиям (1.2.) - (1.4.).

           При исследовании разрешимости задачи будем рассматривать однородную задачу:

                                                                             (1.5.)

                                   (1.6.)

                                                  (1.7.)

    ,                              .                                    (1.8.)

2.  Постановка краевой задачи.

Рассмотрим струнную систему,

состоящую из трех струн, образующих треугольник, одна вершина которого закреплена:

 

,                                                  (2.1)

,                                                  (2.2)

а к двум другим вершинам прикреплены колечки, одетые на спицы:

,                                         (2.3)

                                         (2.4)

Обозначим всю геометрическую систему через . Рассмотрим на Г скалярную функцию  такую, что .  Сужение функции  на , , и  обозначим ,  и  соответственно.

Будем считать, что на систему действует сила с плотностью . Функции  и  ,        

                                                  

характеризуют упругость струн.

Будем считать, что смещение точек механической системы от положения равновесия происходит параллельно некоторой прямой под действием внешней нагрузки, направленной вдоль этой прямой.

Общая потенциальная энергия системы, соответствующая возможной деформации  может быть представлена в виде функционала:

.                              (2.8)

Согласно вариационному принципу: «Реальная деформация системы, отвечающая устойчивому равновесию, должна давать минимум потенциальной энергии».

Теорема 1.  

Пусть потенциальная энергия рассматриваемой системы определяется функционалом (2.8), тогда для  ,   удовлетворяющих условиям (2.1)-(2.4), стационарное значение  функционала  (2.8)  удовлетворяет уравнениям:

,                                            (2.7)

 

и условиям

.                                        (2.5)

.                                        (2.6)

 

Доказательство.

Пусть   min = ,

тогда    , , и удовлетворяет условиям (2.1) - (2.4)

Найдем:    

После интегрирования по частям  

,

получим:

                                      (2.9)

Выбирая , , () получаем уравнение  Эйлера:

на ,  .  Тогда, учитывая (2.1) и (2.2),  уравнение (2.9) примет вид:

          (2.9’)

Если   в остальных случаях, тогда получаем     , т.е. (2.5)

Пусть условие (2.5) выполнено для любого h, тогда из уравнения (2.9’), учитывая условия непрерывности (2.4) получаем условие (2.6).

Таким образом, на Г построена неоднородная задача:

,                                                  (2.1)

,                                                  (2.2)

,                                 (2.3)

,                                 (2.4)

,                        (2.5)

,                        (2.6)

           

                               (2.7)

Соответствующая ей однородная задача имеет вид:

,                                                  (2.1)

,                                                  (2.2)

,                                 (2.3)

,                                 (2.4)

,                        (2.5)

,                        (2.6)

                               (2.7’)

3.  Невырожденность.

Рассмотрим неоднородную задачу (2.1) – (2.7).

По левым частям равенств (2.1) – (2.6) построим функционалы     ,

                                          

                                          

                                          

                                          

                                          

                                          

По левой части равенства (2.7) построим дифференциальный оператор:                             

Тогда неоднородная задача (2.1) – (2.7) сводится к задаче:

 , .                                        (3.1)

А однородная задача (2.1) – (2.7’) к задаче:

                                            , .                                       (3.2)

Теорема 2. (Условие невырождености).

Задача (3.1) для  имеет только тривиальное реше- ние.

Доказательство.

Так как       на , ,  то  ,

В частности на  имеем

    Возможны 3 случая: , , .

  1.  Если

Из   следует, что функция  возрастает от точки   до , и так как , то на . Тогда  .

Из условия непрерывности (2.3) имеем: .

Из условия (2.5) получим,

=, что равносильно равенству:

Из   следует, что функция  возрастает от точки   до , и так как , то на . Тогда, , что из условия непрерывности (4) имеем: .

Из условия (2.6) получим:

=, что равносильно равенству: .

Из   следует, что функция  возрастает от точки   до , и так как , то на . Тогда, , что противоречит (2.2). Следовательно случай  невозможен.

  1.  Аналогично, при так же придем к противоречию (2.2)
  2.  Если .

Из   следует, что функция , и так как , то на . Следовательно, .

Из условия непрерывности (2.3) и условия (2.5), имеем:

=.

Тогда , и ,а это означает, что  на . Следовательно, , что по условию непрерывности (2.4) означает: .

Из равенства (2.6) имеем,

=.

Тогда , и ,а это означает, что  на .

Итак, из трех рассмотренных случаев возможен только один:

, при котором  на , .

Итак,   на  Г.

  1.  Построение функции Грина задачи.

Если задача (2.1) – (2.7) невырождена (т.е. имеет единственное решение) на Г, то ее решение для функции , и любой  может быть представлено в виде:

.                                  (4.1)

Определение.  

Функцией Грина  на отрезке называют функцию двух переменных  и , при каждом фиксированном  из отрезка, обладающую свойствами:

1. при     удовлетворяет по  однородному дифференциальному уравнению;

2. при     удовлетворяет по  краевым условиям;

3. при   непрерывна по , т.е.

,

(для уравнения порядка )

4. при   имеет скачек, т.е.

,

(где  - коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения порядка ).

Функцию Грина задачи (2.1) - (2.7) на графе  можно построить по формуле:

                                                            (4.2)

где  - фундаментальная система решений однородного уравнения .

                                                                                     (4.3)

Положим в задаче (2.1) - (2.7) .

Функцию  можно построить по функциям Грина двухточечных задач (задач на отрезках) на :

 (4.4)

где  - функция Грина двухточечной краевой задачи на отрезке :

на ,

                                                    ,                                                    (4.5)

                     , , ()

Согласно определению функции Грина  на отрезке, она должна  удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения :   ,    .

По левым частям краевых условий  (2.16) построим функционалы: ,  .

Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то

 

                               ,       

                 ,       .                  (4.6)

Функцию Грина задачи (4.5) будем искать в виде:

,

где по равенствам (4.6) можно найти   ,

функция  - какое-либо решение неоднородного уравнения задачи (4.5), которое может быть найдено, например, с помощью функции Коши:

.

Итак

,        .

        Построим  на  :

      

        Аналогично строим  и :

,  

Построим  по формуле (4.3):

,

Тогда функция Грина задачи (2.1) - (2.7) определяемая по формуле (4.2), имеет вид:

,

где       ,    

H(x,s) определяется по формуле (4.4).

  1.  Решение дифференциального неравенства .

Рассмотрим задачу (2.1)-(2.7).

 

Теорема 3.

Если   на Г, то   на Г.

Доказательство.

    Возможны 3 случая:    

1) ;  2)  ;   3)   .

Рассмотрим 1-ый случай:  

Если , и  функция  убывает на . Так как , то    , . Пусть , . Функция  убывает, возможны 3 случая: 1.1 ; 1.2 ; 1.3 . Рассмотрим случай 1.1: Если  убывает и положительна на , то  на . Тогда, учитывая условие (2.1): ,   возрастает от точки   до  и, имеем   на .

Из условия непрерывности (2.3) имеем:  и условия баланса (2.5) имеем: , следовательно,  функция  возрастает от точки   до . Тогда  на .

Из условия непрерывности (2.4) имеем:  и условия баланса (2.6) имеем: , следовательно, функция  возрастает от точки   до . Тогда  на , что противоречит условию (2.2):  .

Рассмотрим случай 1.2: Функция  убывает и  из этого следует, что   на . Тогда, учитывая условие (2.1):  ,   убывает от точки   до и, имеем:   на .

Из условия непрерывности (2.3) имеем:  и условия баланса (2.5) имеем: , следовательно, функция  убывает от точки   до . Тогда  на .

Из условия непрерывности (2.4) имеем:  и условия баланса (2.6) имеем: , следовательно, функция  убывает от точки   до . Тогда   на . Что противоречит условию (2.2): .

Рассмотрим случай 1.3: Функция  убывает и ,  . Так как , то функция  возрастает от точки   до . Так как  функция  убывает от точки   до , и по условию (2.1): . Из условий (2.5),(2.6) имеем: , из условия непрерывности  и так как , то функция  убывает от точки   до  и  на . Из условия непрерывности  и так как функция  убывает от точки   до , и по условию (2.2): , следует, что  внутри  и . Следовательно функция  на Г, и   на .

Рассмотрим 2-ой случай:  

    Пусть теперь . Если , и  функция  убывает на . Так как , то    , . Пусть , . Функция  убывает, возможны 3 случая: 2.1 ;  2.2 ;  2.3  и .

Рассмотрим случай 2.1: Если  убывает и положительна на , то  на . Тогда, из условий баланса имеем:

 и . Так как  на  и  , то  на . Тогда  возрастает от точки   до , и по условию (2.1):  , следует, что  на .  Из условия непрерывности .

Так как  на  и , то  на . Тогда функция  возрастает от точки   до , из условия непрерывности: , следует, что  на , что , противоречит условию (2.2).

Рассмотрим случай 2.2: Если функция  убывает и  на , то   на . Тогда, из условий баланса имеем:

 и . Так как  на  и  , то  на . Тогда  убывает от точки   до , и по условию (2.1):  , следует, что  на .  Из условия непрерывности .

Так как  на  и , то  на . Тогда функция  убывает от точки   до , из условия непрерывности: , следует, что  на , что , противоречит условию (2.2).

Рассмотрим случай 2.3: Если функция  убывает и  и . Так как  , то  возрастает от точки  до . Так как  , то  убывает от точки  до . Тогда, из условий баланса имеем:

 и . Так как  на  и  , то  на . Тогда  возрастает от точки   до , и по условию (2.1):  , следует, что  на .  Из условия непрерывности .

Так как  на  и , то  на . Тогда функция  убывает от точки   до , из условия непрерывности: , следует, что  на . Следовательно функция  на Г, и   на .

Рассмотрим 3-ий случай:  

    Заметим, что если поменять направление на каждом из  , , на противоположное, то рассуждения случая 3 будут аналогичными рассуждениям при доказательстве случая 1.

Следствие:  Если   на Г, то  внутри Г и   на .

ЛИТЕРАТУРА

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Серия: «Курс высшей математики и математической физики» -3выпуск/Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука,1969.-424с.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 1961.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред.  И.Е. Морозова – М. :Наука, 1964.- 272с.

4. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. К.П. Лазарев, С.А. Шабров  М. : Физматлит, 2004.- 272с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79852. АУДИТ ФОНДОВ И РЕЗЕРВОВ 49 KB
  Фактическое поступление вкладов учредителей проводится по кредиту счета 75 Расчеты с учредителями в корреспонденции со счетами денежных средств и других ценностей. На предприятиях созданных в форме акционерных обществ к счету 85 Уставный фонд могут быть открыты субсчета Простые акции и Привилегированные акции. После внесения соответствующих изменений в учредительные документы предприятия и регистрации нового размера уставного фонда должна быть сделана бухгалтерская запись...
79853. ПРОВЕРКА ДОСТОВЕРНОСТИ ИСЧИСЛЕНИЯ НАЛООГООБЛАГАЕМОЙ БАЗЫ ПО НАЛОГАМ (НА ДОБАВЛЕННУЮ СТОИМОСТЬ И СПЕЦИАЛЬНЫЙ НАЛОГ, НАЛОГИ НА ПРИБЫЛЬ, ИМУЩЕСТВО И ДР.) И ОТРАЖЕНИЯ РАСЧЁТОВС БЮДЖЕТОМ В СИСТЕМЕ СЧЕТОВ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА 332 KB
  Поэтому значительную часть своей работы аудитор посвящает выявлению того по всем ли хозяйственным операциям облагаемым налогом на добавленную стоимость начислен этот налог и правильны ли расчеты с бюджетом. Налоги финансируемые потребителями Налог на добавленную стоимость НДС Специальный налог...
79854. АУДИТОРСКИЕ ЗАКЛЮЧЕНИЯ 53.5 KB
  АУДИТОРСКИЕ ЗАКЛЮЧЕНИЯ Порядок составления аудиторского заключения о бухгалтерской отчётности Данный порядок утверждён комиссией по аудиторской деятельности при Президенте РФ от 9. Аудиторское заключение о бухгалтерской отчётности экономического субъекта представляет мнение аудиторской фирмы о достоверности отчётности. Мнение о достоверности бухгалтерской отчётности должно выражать оценку аудиторской фирмой АФ соответствия во всех существенных аспектах бухгалтерской отчётности нормативному акту регулирующему бухгалтерский учёт и отчётность...
79855. ПОНЯТИЕ АУДИТОРСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. ЦЕЛИ И ОРГАНИЗАЦИЯ АУДИТОРСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 51.5 KB
  Аудит проверка и подтверждение достоверности бухгалтерского учёта отчётности и финансовых показателей а также подтверждение соответствия учётной политики предприятия общепринятым стандартам законодательным и подзаконным актам регулирующим порядок ведения учёта на предприятии проводимая специализированной аудиторской организацией на договорной коммерческой основе за счёт проверяемых предприятий и организаций. Основной целью аудиторской деятельности является установление соответствия...
79856. АУДИТОРСКИЕ СТАНДАРТЫ 296.5 KB
  Письмо-обязательство аудиторской организации о согласии на проведение аудита. Правило стандарт аудиторской деятельности Внутрифирменный контроль качества аудита Общие положения. Настоящее правило стандарт подготовлено для регламентации аудиторской деятельности и соответствует Временным правилам аудиторской деятельности в Российской Федерации утвержденным Указом Президента Российской Федерации № 2263 от 22 декабря 1993 г. Целью правила стандарта является установление требований к организации и функционированию внутрифирменной...
79857. АУДИТ БУХГАЛТЕРСКИХ ДОКУМЕНТОВ 42 KB
  Анализ организации бухгалтерского учёта и формирование учётной политики Организация бухгалтерского учёта на предприятии система построения учётного процесса с целью получения достоверной и своевременной информации о его финансовой и хозяйственной деятельности и осуществления контроля за рациональным использованием производственных и финансовых ресурсов собственных и привлечённых оборотных средств. Эта система включает: составление рабочего плана счетов бухгалтерского учёта выбор форм учёта подбор регистров...
79858. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ АУДИТА ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ 303.5 KB
  Основные средства. Основные средства фонды предприятий и хозяйственных организаций представляют собой совокупность средств труда действующих в неизменной натуральной форме в течение длительного периода как в сфере материального производства так и в непроизводственной сфере. Основные средства многократно используются в процессе производства сохраняют первоначальный внешний вид в течении длительного периода и передают свою стоимость на стоимость производимой продукции частями в сумме...
79859. АУДИТ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАПАСОВ 161.5 KB
  Первичные документы по движению материалов должны тщательно оформляться обязательно содержать подписи лиц совершивших операции и коды соответствующих объектов учета. На поставку материалов предприятия заключают с поставщиками договора в которых определяют права обязанности и ответственность сторон по поставкам продукции. Контроль за выполнением плана...
79860. Организация платежного оборота 6.73 MB
  Безналичные расчеты это денежные расчеты путем записей по счетам в банках когда деньги списываются со счета плательщика и зачисляются на счет получателя. и базируются на следующих принципах: 1 Безналичные расчеты осуществляются по банковским счетам которые открываются клиентам юридическим и физическим лицам для хранения и перевода средств. Каждое предприятие организация могут иметь в банке только один основной счет расчетный или текущий. Для открытия расчетного счета в банк представляются следующие документы: заявление об открытии...