3206

Виды средних величин и методы их вычисления

Контрольная

Математика и математический анализ

Виды средних величин и методы их вычисления Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака. Средняя должна вычисляться для совокупностей, состоящих из достаточно большого ч...

Русский

2012-10-26

93.42 KB

96 чел.

Виды средних величин и методы их вычисления

Средняя величинаэто обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Средняя должна вычисляться для совокупностей, состоящих из достаточно большого числа единиц. Соблюдение этого условия необходимо для того, чтобы вошел в силу закон больших чисел, в результате действия которого случайные отклонения индивидуальных величин от общей тенденции взаимно погашаются.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждой варианты осредняемого признака не изменился итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем. Например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и тоже время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы. Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя квадратическая.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где  Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

при m = -1 –  средняя гармоническая ;

при m =  0 – средняя геометрическая ;

при m =  1 – средняя арифметическая ;

при m =  2 – средняя квадратическая ;

при m =  3 – средняя кубическая .

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше показатель степени m в вышеприведенной формуле, тем больше значение средней величины:

.

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажорантности средних.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Формулы степенных средних приведены в табл. 1.

Таблица 1

Виды степенных средних

Вид степенной
средней

Показатель степени (m)

Формула расчета

Простая

Взвешенная

Гармоническая

-1

Геометрическая

0

Арифметическая

1

Квадратическая

2

Кубическая

3

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Средняя арифметическая применяется, когда объем совокупности представляет собой сумму всех индивидуальных значений варьирующего признака. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая. Ее логическая формула имеет вид:

Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным по формуле:         или   ,

где – отдельные значения признака; j – порядковый номер единицы наблюдения, которая характеризуется значением ; N – число единиц наблюдения (объем совокупности).

Пример. Объем реализованной продукции за первый квартал составил 47 ден. ед., за второй 54, за третий 65 и за четвертый 58 ден. ед. Среднеквартальный оборот составляет (47+54+65+58)/4 = 56 ден. ед. Если в хронологическом ряду приведены моментные показатели, то при вычислении средней они заменяются полусуммами значений на начало и конец периода. Если моментов больше двух и интервалы между ними равны, то средняя вычисляется по формуле средней хронологической

,

где n- число моментов времени. В случае, когда данные сгруппированы по значениям признака (т. е. построен  дискретный вариационный ряд распределения) средняя арифметическая взвешенная рассчитывается с использовании либо частот , либо частостей наблюдения конкретных значений признака , число которых (k) значительно меньше числа наблюдений (N)

,,

где k – количество групп вариационного ряда, i – номер группы вариационного ряда. Поскольку , а , получаем формулы, используемые для практических расчетов:

  и   .

В случае, когда данные сгруппированы по интервалам, т.е. представлены в виде интервальных рядов распределения, при расчете средней арифметической в качестве значения признака принимают середину интервала, исходя из предположения о равномерном распределении единиц совокупности на данном интервале. Расчет ведется по формулам:

и  

где - середина интервала:  ,

где  и  – нижняя и верхняя границы интервалов (при условии, что верхняя граница данного интервала совпадает с нижней границей следующего интервала).

Средняя арифметическая обладает рядом свойств.

1. Сумма отклонений вариант от средней равна нулю:.

2. Если все значения вариант увеличиваются или уменьшаются на величину А, то и средняя величина увеличивается или уменьшается на ту же   величину А:                              

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в В раз, то  средняя величина также  увеличится или уменьшатся в то же количество раз:

   или    

4. Сумма произведений вариант на частоты равна произведению средней величины на сумму частот:        

5. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая не изменится:  

6) если во всех интервалах частоты равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней арифметической:,где k – количество групп вариационного ряда.

Использование свойств средней позволяет упростить ее вычисление.

Средняя арифметическая применяется для расчета среднего значения признака в тех случаях, когда известны его варианты x и их частоты f. Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x  совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы вычислить среднюю, обозначим  , откуда  . Подставив эти выражения  в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу  средней гармонической взвешенной:

,

где  - объем (вес) значений признака показателя в интервале с номером  i (i=1,2, …, k).

Таким образом, средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

.

В тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице, т.е. индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу, применяется средняя гармоническая простая:

,

где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; N – число вариант.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

,

где – знак произведения, N – число осредняемых величин.


ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ, 6 ВАРИАНТ

Задача 1

Имеются следующие данные о продаже товаров:

Товар

Средняя цена единицы товара, грн.

Количество проданного товара, тыс. ед.

базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

Морковь, кг

1,5

1,7

60

80

Молоко, л

2,7

3,7

100

85

Вычислить:

  1.  Индивидуальные индексы цен и количества проданного товара.
  2. Общие индексы:

а) товарооборота; б) физического объема товарооборота; в) цен и сумму экономии или перерасхода от изменения цен; г) проверьте правильность расчёта, используя формулу взаимосвязи индексов.

Решение

1.Индивидуальные индексы цен и количества проданного товара вычисляются по формулам:

цен:     ,

где p1 – цена единицы товара в условиях отчетного периода

    p0– цена единицы товара в условиях базисного периода

количества:                                          ,

где  q1 – количество проданного товара в условиях отчетного периода

              q0– количество проданного товара в условиях базисного периода.

Результаты вычисления по этим формулам представим в виде таблицы:

Товар

Средняя цена единицы товара, грн

Количество проданного товара, тыс.ед.

Индекс цен

Инд.товарообо-рота

базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

Морковь, кг

1,5

1,7

60

80

1,13

1,33

Молоко, л

2,7

3,7

100

85

1,37

0,85

 

p0

p1

q0

q1

ip

iq

2.Вычислим общие индексы по формулам:

а) товарооборота найдем по формуле: ,

б) индекс физического объема:  

в) Индекс цен:     

Сумма экономии или перерасхода от изменения цен вычисляется по формуле:

г) Проверим правильность расчёта, используя формулу взаимосвязи индексов:

.

Результаты расчетов сведем в таблицу для наглядности:

Индекс товарооборота

Индекс физ. обьема

Индекс цен

Проверка

Сумма экономии

1,25

0,97

1,29

1,25

101

Задача 2

Фактический объем продукции за отчетный квартал составил 305 млн. грн. План по товарообороту за этот период выполнен на 97,5 %. Вычислить план по товарообороту в млн. грн.

Решение

 Из формулы определения относительной величины выполнения плана:

где Ф1 – фактически достигнутый уровень в отчетном периоде;

П – уровень планируемогоказателя показателя,

Определяем план  по товарообороту.

;

млн грн.

Задача 3

По заявленному на 1 декабря 2006 г. виду деятельности индивидуальные предприниматели в регионе распределились следующим образом:

Основные виды деятельности

Число индивидуальных предпринимателей, чел.

Всего

50220

Сельское хозяйство, охота, лесное хозяйство

850

Обрабатывающие производства

2415

Строительство

330

Оптовая и розничная торговля, ремонт автотранспортных средств, бытовых изделий

35236

Транспорт и связь

2665

Операции с недвижимым имуществом, аренда и предоставление услуг

1645

Прочие виды деятельности

7079

Определите:

1) удельный вес численности индивидуальных предпринимателей по видам деятельности в их общей численности в регионе;

2) отношение численности предпринимателей отдельного вида деятельности к численности предпринимателей, занятых в торговле, ремонтом автотранспортных средств и бытовых изделий;

3) определите виды относительных величин.

Решение

1.Вычислим удельный вес численности индивидуальных предпринимателей от общей численности в регионе вычислим по формуле:

Представим количество индивидуальных предпринимателей по основным видам деятельности в виде диаграммы (числовые обозначения приведены во второй таблице, 3 столбик):

Результат сведем в таблицу.

2.Отношение численности предпринимателей отдельного вида деятельности к численности предпринимателей, занятых в торговле, ремонтом автотранспортных средств и бытовых изделий найдем аналогично предыдущей формуле, приняв за суммарный уровень совокупности величину предпринимателей в заданной области. Обозначим её единицей. Для наглядности построим диаграмму, обозначив используемые данные  цифрами, как на диаграмме, так и в столбике 4 с данными:

Основные виды деятельности

Число индивидуальных предпринимателей, чел.

Удел. вес по видам деятельности, %

Отношение

Всего

50220

100

 

Сельское хозяйство, охота, лесное хозяйство

850

1). 1,69

  1.  0,024

Обрабатывающие производства

2415

2). 4,81

  1.  0,069

Строительство

330

3). 0,66

  1.  0,009

Оптовая и розничная торговля, ремонт автотранспортных средств, бытовых изделий

35236

4). 70,16

 1

Транспорт и связь

2665

5). 5,31

  1.  0,076

Операции с недвижимым имуществом, аренда и предоставление услуг

1645

6). 3,28

  1.  0,047

Прочие виды деятельности

7079

7). 14,10

  1.  0,201

Относительные величины структуры характеризуют доли, удельные веса составных элементов в общем итоге. Как правило, их получают в форме процентного содержания. Совокупность относительных величин структуры показывает строение изучаемого явления.

Задача 4

Объем капитальных вложений по предприятиям области составляет:

Объем капитальных вложений,

тыс. грн

Количество

предприятий

До 200

10

200-400

11

400-600

6

Свыше 600

7

Определить средний объем капитальных вложений одного предприятия.

Решение

Для определения среднего объема капиталовложений воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, поскольку число единиц 2х интервалов (верхнего и нижнего) отличаются от остальных. Поскольку ряд интервальный, для вычисления используем середины интервалов, при этом величины верхнего и нижнего открытых интервалов условно приравняем к величинам, примыкающих к ним интервлов (втрого и четвертого соответственно).

Где fi – количество предприятий,

Xi – середина интервала.

Согласно принятым условиям середины интервалов будут равны: 100, 300, 500, 700 тыс.грн.

Объем средних капиталовложений одного предприятия тыс.грн.

Задача 5

Товарoоборот страны в 2006 г. по сравнению с 2005 г. уменьшился на 10 %, розничные цены в среднем повысились на 8 %. Как изменился физический объём товарооборота?

Решение

Примем 2005 год за базовый и зададим товарооборот, розничные цены за этот период равными 100%, соответственно рассчитаем товарооборот и цены в отченом периоде, согласно условию.

Оформим наши данные в виде таблицы

Показатели

Изменение показателей в %

базисный период

отчетный период

Iqp

Товарооборот

100

90

Ip

Розничная цена

100

108

Iq

физический объем товарооборота

100

-

Воспользуемся формулой взаимосвязи индексов

,

где  Ip  - товарооборот

      Iq – физический объем товарооборота

      Ip – индекс цены

Iq=Ipq/Ip=0,9/1,08=0,83

Делаем вывод, что физический объем товарооборота уменьшился на 17



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26305. Хронологические границы новой истории. Периодизация курса. Ключевые проблемы курса 15.12 KB
  Хронологические границы новой истории. Хронологические границы новой истории: НОВАЯ ИСТОРИЯ общепринятая в исторической науке название третьего периода всемирной истории которому предшествуют древний и средневековый. Это деление всемирной истории на древнюю средневековую и новую уже с XVII в. были приняты советской исторической наукой которая положила в основу периодизации всемирной истории марксистский тезис об изменениях общественноэкономической формации и революционного перехода от одной формации к другой.
26306. Политическая карта Европы в начале нового времени 32.49 KB
  Политическая карта Европы в начале нового времени. политическая карта Европы сложилась в следующем виде. Всю среднюю полосу Европы занимали территориально сильно раздробленные Священная Римская империя и Италия между которыми располагался Швейцарский Союз. На Севере Европы политическую карту определяли Дания с Норвегией и Исландией и Швеция с Финляндией.
26307. Экономика стран Западной Европы в период новой истории. Переход к капиталистическому хозяйству 25.36 KB
  XVI в. вторая треть XVIII в. На экономическое развитие западноевропейских стран периода разложения феодализма и зарождения капитализма решающее влияние оказали: великие географические открытия XV XVI вв. В XVI в.
26308. Причины великих географических открытий 16.73 KB
  Причины великих географических открытий Особое место в процессе зарождения рыночных отношений занимали Великие географические открытия конец XVXVII век благодаря которым удалось установить новые торговые пути вовлечь в мировой хозяйственный оборот огромные ресурсы других стран и континентов. главными из которых были открытие Америки и морского пути в Индию вокруг Африки. В XIIIXV веках все кратчайшие торговые пути туда были перекрыты: турки захватили Балканы и Ближний Восток арабы Северную Африку Русь находилась под гнетом монгол...
26309. Важнейшие открытия XV – середины XVII в 19.21 KB
  В 14821486 годах Диогу Кан Cao пересек экватор открыл устье реки Конго и прошел вдоль побережья Африки до мыса Кросс. В 14871488 годах Бартоломеу Диаш совершил новое беспримерное плавание на юг. В 15921504 годах он совершил четыре плавания через Атлантический океан открыл Большие Антильские и часть Малых Антильских островов побережье Южной и Центральной Америки. В 14971498 годах Васко да Гама на четырех судах обогнул Африку и с помощью арабских кормчих достиг настоящей Индии.
26310. Последствия Великих географических открытий 17.9 KB
  Важнейшим следствием открытия и колонизации новых земель явилась революция цен которая дала мощный импульс первоначальному накоплениюкапитала в Европе и ускорила формирование капиталистического уклада в хозяйстве. цен на сельскохозяйственные и промышленные товары. цены были в основном стабильными то за 70 лет с 30х годов XVI в. Такое движение цен современники связывали либо с большим притоком драгоценных металлов в Европу либо с их утечкой.
26311. Колониальные захваты Испании и Португалии в XVI – XVII в 26.59 KB
  Плантационное рабство получило наибольшее развитие в Бразилии где выращивались сахарный тростник рис кукуруза и табак а также в ВестИндии Венесуэле и Новой Гранаде. С совершенно иными условиями встретились португальцы в Индии. Но португальцы сумели воспользоваться одним важным преимуществом: они обладали более сильным флотом чем мелкие феодальные владетели в Индии Индонезии ИндоКитае. Пиратскими методами захватывая грабя истребляя экипажи кораблей мусульманских купцов державших в своих руках морскую торговлю Индии до прихода...
26312. Реформация в Германии. М.Лютер 42.72 KB
  Религиозное настроение Германии проявлялось в переводах Библии и в развитии церковной песни еще до Лютера; своим знаменитым переводом и своей богослужебной лирикой он только затмил более ранние проблески стремления читать Священное Писание и молиться на родном языке. Годы непосредственно предшествовавшие выступлению Лютера и избранию на престол Карла V были временем большого возбуждения выразившегося в развитии литературы памфлетов и летучих листков. когда Лютер выступил со своими тезисами против индульгенций. после того как и Лютер и...
26313. Крестьянская война в Германии. Т.Мюнцер 40.51 KB
  Крестьянская война в Германии: Обострение классовой борьбы народных масс в деятельность союза Башмак С наступлением феодальной реакции нарастала борьба крестьян. характерно значительно более тесное сближение крестьянской массы с городскими низами чем в предшествовавший период. Усиление же крестьянскоплебейского лагеря не могло не оказать влияния на радикальные элементы в бюргерстве и на известный подъём бюргерской оппозиции вообще. Такое крестьянское общество было раскрыто в 1502 г.