3209

Методы приближённого вычисления определенного интеграла

Курсовая

Математика и математический анализ

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами.

Русский

2012-10-26

162.5 KB

186 чел.

Введение

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования,  которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл  при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией  на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b (Рис.1). Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

1 Одномерный случай

 Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где  — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа  — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций  и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

2.1. Метод прямоугольников (правых, левых, средних ).

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

 З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

 - некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка  такая, что среднее арифметическое  .

  В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам  и поделив результат на n, получим

   Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка  такая, что

.   

   Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений.  Определенный интеграл  есть площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой   на [a,b], ставится задача об определении этой площади.

Прежде всего, нужно разбить  фигуру (рис. 2) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

 (1)

где  , а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату  обозначить через , то формула перепишется в виде

.

2.1.1. Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

 У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

            (2)

Доказательство.

     Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную     Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

 

    Для первого из этих интегралов получим

    Для второго из интегралов аналогично получим

   Полусумма полученных для  и  выражений приводит к следующей формуле:

 

  (3)

  Оценим величину , применяя к интегралам  и  формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций  и . Мы получим, что найдутся точка  на сегменте [-h, 0] и точка  на сегменте

[0 ,h] такие, что

  В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка  такая, что      

Поэтому для полусуммы  мы получим следующее выражение:

 

 Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

 (4)

где

 .  (5)

 Так как величина  представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием  (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене  указанной площадью, имеет порядок

   Таким образом, формула  тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла  естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

  И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента  равна , мы получим формулу прямоугольников (1). При этом  воспользовавшись  формулой, доказанной в утверждении,  для функции  и учитывая что,  получим   дополнительный член в формуле прямоугольников

  

2.2. Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков представить прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция на [a,b].  Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (Рис.3 ). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

 Где f(xk-1)  и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Погрешность формулы трапеций:

где

2.3. Метод парабол (метод Симпсона).

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку.

 Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М1 1;  у1), М2 2;  у2), М3 3;  у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах2+Вх+С   (1)

Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2  , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно.

Отметим, что если А0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой

      (2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1h2h+С; у2=С; у3h2h+С, откуда следует, что

h2+2С=у13; С=у2         (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2 равных отрезков точками a=x0<x1<x2<...<x2k<x2k+1<x2k+2<...<x2n-1<x2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2k , М2k+1 , М2k+2, ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

 М0 М1 М2 , ..., М2k М2k+1 М2k+2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то по формуле (2) имеем  [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где yk=f(xk), k=0, 1, 2, ...,2n.  Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ..., х2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ..., х2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, х1, х2n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В высшей математике доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

  

где М - наибольшее значение  на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как n4 растет быстрее, чем n2, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

2.4. Увеличение точности.

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

  1.  Правило Рунге.

Правило Рунге - правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея  состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

  1.   Метод Гаусса.

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

  1.  Метод Гаусса-Кронрода.

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где xi — узлы метода Гаусса по n точкам, а 3n + 2 параметров ai, bi, yi подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен 3n + 1.

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

,

где IG — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по n точкам.

3. Заключение и выводы.

   Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов  с

помощью  квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает  нам

точного значения, а только приближенное.

    Чтобы максимально  приблизиться  к  достоверному  значению  интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и  формулу,  по  которой  будет  вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

      Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла,  но они очень важны, так  как  не  всегда  можно  решить  задачу интегрирования аналитическим способом.


6. Приложения


Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Рис. 2.

Рис.3.Метод трапеций


5. Список литературы

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1: Учебное пособие для втузов (Глава XI, пп.8,9).

2. Ильин В. А., Куркина А. В. Высшая математика: учебник (Глава XIII, пп.7).

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II. (пп. 332, 335).

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).

y

x

a

b


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70861. Основные требования к преподавателю общественных дисциплин 89 KB
  Педагоги используют различные способы мотивирования студентов к учебе. Первый использует собственный авторитет свою личность для того чтобы привлечь студентов а затем пытается перенести интерес студентов от себя к предмету.
70862. Дискуссия как эффективный метод проведения семинарского занятия по правоведческим наукам 120 KB
  Дискуссии и диалоги их преимущества и недостатки. Роль преподавателя в проведении дискуссии. Приемы и методы проведения дискуссии. Дискуссии и диалоги их преимущества и недостатки.
70863. Демократический идеал и методика преподавания общественно- правовых дисциплин 57 KB
  По содержанию гуманитарное образование можно определить как учебно-воспитательный процесс преподавания и усвоения широкого круга гуманитарных дисциплин исторических философских политологических социологических экономических культурологических филологических...
70864. Использование семинаров и школьных уроков в преподавании правовых дисциплин 116.5 KB
  Помогает расширить закрепить и обогатить знания студентов по отдельным темам курса активизировать работу студентов привить им вкус к публичным выступлениям. Иные авторы подчеркивают что неформальная структура семинара дает возможность большему числу...
70865. Методика организации коллективно-творческого дела 18.83 KB
  Хотелось бы сразу отметить что методика КТД мало эффективна в условиях одновозрастных отрядов и скоротечности смен обычного ДОЛ в условиях которых коллектив как правило не успевает вызреть до реального использования данной методики поэтому в ДОЛ используются как правило хоть широко...
70867. МЕТОДИКИ ВЫЯВЛЕНИЯ ЛИДЕРОВ В ДЕТСКИХ КОЛЛЕКТИВАХ 38.24 KB
  Лидеры-инициаторы выделяются в деятельности на этапе выдвижения идей в поиске новых сфер деятельности для коллектива. Лидер-умелец это наиболее подготовленный в конкретном виде деятельности член коллектива например в походе самый опытный турист.
70868. Содержание деятельности и основные мероприятия в различные периоды смены 22 KB
  Многообразие предлагаемых форм деятельности с различным содержанием составом участников. Это будет способствовать наибольшей свободе выбора сферы деятельности подростком а следовательно и эффективному социальному становлению его личности.