3209

Методы приближённого вычисления определенного интеграла

Курсовая

Математика и математический анализ

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами.

Русский

2012-10-26

162.5 KB

186 чел.

Введение

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования,  которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл  при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией  на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b (Рис.1). Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

1 Одномерный случай

 Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где  — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа  — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций  и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

2.1. Метод прямоугольников (правых, левых, средних ).

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

 З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

 - некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка  такая, что среднее арифметическое  .

  В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам  и поделив результат на n, получим

   Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка  такая, что

.   

   Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений.  Определенный интеграл  есть площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой   на [a,b], ставится задача об определении этой площади.

Прежде всего, нужно разбить  фигуру (рис. 2) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

 (1)

где  , а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату  обозначить через , то формула перепишется в виде

.

2.1.1. Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

 У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

            (2)

Доказательство.

     Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную     Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

 

    Для первого из этих интегралов получим

    Для второго из интегралов аналогично получим

   Полусумма полученных для  и  выражений приводит к следующей формуле:

 

  (3)

  Оценим величину , применяя к интегралам  и  формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций  и . Мы получим, что найдутся точка  на сегменте [-h, 0] и точка  на сегменте

[0 ,h] такие, что

  В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка  такая, что      

Поэтому для полусуммы  мы получим следующее выражение:

 

 Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

 (4)

где

 .  (5)

 Так как величина  представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием  (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене  указанной площадью, имеет порядок

   Таким образом, формула  тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла  естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

  И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента  равна , мы получим формулу прямоугольников (1). При этом  воспользовавшись  формулой, доказанной в утверждении,  для функции  и учитывая что,  получим   дополнительный член в формуле прямоугольников

  

2.2. Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков представить прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция на [a,b].  Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (Рис.3 ). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

 Где f(xk-1)  и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Погрешность формулы трапеций:

где

2.3. Метод парабол (метод Симпсона).

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку.

 Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М1 1;  у1), М2 2;  у2), М3 3;  у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах2+Вх+С   (1)

Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2  , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно.

Отметим, что если А0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой

      (2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1h2h+С; у2=С; у3h2h+С, откуда следует, что

h2+2С=у13; С=у2         (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2 равных отрезков точками a=x0<x1<x2<...<x2k<x2k+1<x2k+2<...<x2n-1<x2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2k , М2k+1 , М2k+2, ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

 М0 М1 М2 , ..., М2k М2k+1 М2k+2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то по формуле (2) имеем  [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где yk=f(xk), k=0, 1, 2, ...,2n.  Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ..., х2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ..., х2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, х1, х2n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В высшей математике доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

  

где М - наибольшее значение  на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как n4 растет быстрее, чем n2, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

2.4. Увеличение точности.

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

  1.  Правило Рунге.

Правило Рунге - правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея  состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

  1.   Метод Гаусса.

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n − 1. Значения узлов метода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

  1.  Метод Гаусса-Кронрода.

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где xi — узлы метода Гаусса по n точкам, а 3n + 2 параметров ai, bi, yi подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен 3n + 1.

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

,

где IG — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по n точкам.

3. Заключение и выводы.

   Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов  с

помощью  квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает  нам

точного значения, а только приближенное.

    Чтобы максимально  приблизиться  к  достоверному  значению  интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и  формулу,  по  которой  будет  вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

      Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла,  но они очень важны, так  как  не  всегда  можно  решить  задачу интегрирования аналитическим способом.


6. Приложения


Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Рис. 2.

Рис.3.Метод трапеций


5. Список литературы

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1: Учебное пособие для втузов (Глава XI, пп.8,9).

2. Ильин В. А., Куркина А. В. Высшая математика: учебник (Глава XIII, пп.7).

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II. (пп. 332, 335).

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).

y

x

a

b


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65334. Створення генетичних джерел групової расоспецифічної стійкості проса до сажки (Sorosporium destruens (Schlecht) Yanki) 329 KB
  Актуальність теми обумовлена обмеженістю в існуючому світовому генофонді проса генетичних джерел стійкості до окремих рас сажки та відсутністю джерел одночасної стійкості до різних груп патотипів збудника цього захворювання.
65335. Розвиток і реалізація технології, методів розрахунку й управління параметрами процесів виробництва холоднокатаних штаб із високою площинністю та якісною поверхнею 1.08 MB
  Інтенсифікація швидкісних режимів холодної прокатки й зменшення середньої товщини холоднокатаних штаб у сортаменті більшості станів посилили вплив динамічного і температурного факторів процесу на показники якості готових штаб.
65336. Обґрунтування параметрів транспортно-технологічних схем проведення дільничних виробок при розширенні меж шахтних полів 1.73 MB
  Проблема доробки запасів біля меж шахтних полів особливо актуальна для шахт Західного Донбасу, виробничі потужності яких обмежені порівняно низькою вугленосністю родовища, нерівномірним розповсюдженням робочої потужності пластів...
65337. УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ ПРОФЕСІЙНОГО НАВЧАННЯ ДЕРЖАВНИХ СЛУЖБОВЦІВ В УКРАЇНІ: ТЕОРЕТИКО-ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ АСПЕКТ 237.5 KB
  Успіх перетворень залежить насамперед від професіоналізму державних службовців їх ефективної діяльності на всіх рівнях управління практичного впровадження ними інноваційних форм і методів роботи. Вирішення проблеми можливе за умови системного підходу...
65338. ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ ТА РОЗРОБКА ТЕХНОЛОГІЇ ЕЛЕКТРОШЛАКОВОГО ЛИТТЯ КОРПУСІВ ФЛАНЦЕВОЇ АРМАТУРИ ВИСОКОГО ТИСКУ 7.98 MB
  Метою роботи було розв’язання важливої народногосподарської задачі що полягає в створенні в Україні ефективного промислового виробництва високоякісних заготовок корпусів фланцевих засувок для видобутку нафти і природного газу з великих глибин методами електрошлакової технології.
65339. Оптимізація керування рухом судна в штормових умовах 556 KB
  Незважаючи на певні досягнення в теорії та практиці управління судном, погодні умови, як і раніше, залишаються одним з найбільш значущих факторів, що безпосередньо впливають на економічну ефективність та безпеку судноплавства.
65340. Формування субмікрокристалічної структури і властивостей металів методами комбінованої пластичної деформації 8.16 MB
  Аналіз стану питання показує, що одним із перспективних напрямків досліджень є вивчення впливу комбінованої пластичної деформації зі зсувом на формування структури і комплексу механічних властивостей металевих матеріалів.
65341. Розрахунок плитних фундаментів на в’язкопружній основі під впливом статичних і динамічних навантажень 440 KB
  Таким чином проблема побудови необхідних для визначення напруженодеформованого стану стінчастих фундаментів аналітичних розв’язків є актуальною і потребує вирішення. Методи дослідження: застосування та розвинення аналітичних методів розрахунку основну роль...
65342. ВПЛИВ ГУМОРАЛЬНИХ ФАКТОРІВ Т-ЛІМФОЦИТІВ НА ОСОБЛИВОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ КЛІТИН РАКУ МОЛОЧНОЇ ЗАЛОЗИ ЗА УМОВ СФЕРОЇДНОГО ТА МОНОШАРОВОГО РОСТУ 208.5 KB
  Розуміння особливостей клітинної взаємодії при пухлинному процесі залишається актуальною медико-біологічною проблемою. З огляду на це, розроблення та впровадження простих та доступних клітинних систем для діагностики та дослідження...