32229

Каноническое представление уравнения Эйлера

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi момент развиваемый двигателем См постоянная двигателя i якорный ток J момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

7 чел.

Лекция №5

Каноническое представление уравнения Эйлера

Каноническое представление уравнения Эйлера  является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Оно в определенной степени  улучшает методику решения задач по определению экстремалей.

Как уже было сказано выше, для экстремали х(t) функционала (3.1):

.                          (5.1)

Справедливо уравнение Эйлера (3.2):

.                             (5.2)

Для представления уравнения (5.2) или (3.2) вводятся новые переменные Н и q, которые определяются следующим образом:

,                            (5.3)

Второе уравнение в (5.3) еще можно записать как:

.                                 (5.4)

Используя выражение (5.4) найдем частную производную функции Н по переменной q:

.                          (5.5)

Из (5.4) также следует, что:

                             

С учетом этого уравнения Эйлера (5.2)  можно представить в следующем виде:

.                               (5.6)

Уравнение (5.6) и уравнение (5.5) дает систему:

                  Или     .                                 (5.7)

Эта система эквивалентна одному уравнению Эйлера.

Функция Н = Н(x,q,t) называется функцией Гамильтона. Она обладает тем свойством, что достигает экстремума по х при тех же условиях, что и функционал (9.1). Чтобы доказать это, найдем производную  от Н по х. Учитывая соотношение (5.7), получим

,        (5.8)

т.к. .

Выражение (5.8) свидетельствует, что Н экстремальна по х, при этом  удовлетворяется уравнение Эйлера, а значит при этом  х  будет иметь экстремальное значение и функционал J.

Для функционала, зависящего от многих переменных:

,                          (5.9)

где  X={x1,x2,…,xn}, U={u1,u2,…ur}.

Функция Н будет иметь вид:

,                      (5.10)

где .

Система уравнений, эквивалентная уравнению Эйлера (3.3) будет по аналогии с (5.7) иметь вид:

.                                (5.11)

При наличии связей в виде дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

,

решается общая задача Лагранжа на условный экстремум.

Функция F заменяется  на функцию  (см.4.4)

.                           (5.12)

Функция Н  в этом случае имеет вид:

.                      (5.13)

где , а система (5.11) остается справедливой и для этого случая.

В задачах синтеза оптимального управления часто встречается функционал вида:

,    (5.14)

где х12,…хm – переменные (координаты) объекта управления n-ого порядка (поэтому m<n), а u1,u2,…,ur – управляющие воздействия.

Уравнение динамики объекта:

, i=1,2,…n   (5.15)

является дифференциальными связями.

Вспомогательный функционал в этом случае будет иметь вид:

,   (5.16)

где .

Для экстремали в многомерном пространстве состояния объекта должна удовлетворяться система уравнений:

,                                       (5.17)

где                                             (5.18)

Если ввести коэффициент Лагранжа , то после преобразования получим, что

,                                  (5.19)

.                                          (5.20)

Выведем канонические переменные:

                        (5.21)

где q = {q0,q1,…,qn} – (n+1) мерный вектор.

Уравнение динамики объекта (5.15) и уравнения Эйлера (5.17) можно записать в Гамильтоновой форме:

.                                               (5.22)

Эти уравнения совместно с уравнениями (5.20)

                     ,  k=1,2,…,r

составляют замкнутую систему и дают возможность полностью определить экстремаль.

Рассмотрим задачу по определению  оптимального управления, обеспечивающего минимум расхода энергии. Эта задача имеет широкое практическое применение. Например,  требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока, который поворачивает платформу экскаватора. Сформулируем данную задачу как общую задачу Лагранжа.

Динамика двигателя описывается уравнением  равновесия моментов – момент,  развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления:

,                               (п.5.1)

где Мдв=См*i – момент, развиваемый двигателем,

См – постоянная двигателя,

i – якорный ток,

J – момент инерции, приведенный к валу двигателя,

- скорость вращения вала двигателя,

Мс – статический момент (момент сопротивления).

Величина потерь, равная мощности Q,  затрачиваемая на нагрев двигателя за  один цикл движения t=T, определяется как:

                          

Т.к. Q необходимо минимизировать, то критерий оптимальности уравнения очевиден:

.                       (п.5.2)

Система уравнений, описывающая динамику объекта на основании (п.5.1), будет следующей:

.                         (п.5.3)

где  - угол поворота вала двигателя.

                             .

На основании этих выражений сформулируем функцию Гамильтона вида (5.21)

.      (п.5.4)

Для нахождения экстремума Н по i на основании (п.5.4) запишем условие:

                           .

Следовательно

.                                    (п.5.5)

Для нахождения q1  и q3 запишем уравнения Гамильтона (5.22):

.                    (п.5.6)

Решая уравнения системы (п.5.6), находим:

q1 = c1; q2 = c2; q3 = -q2t+c3 = -c2t+c3.

Подставляя эти значения в (п.5.5) получим:

                                 i(t) = c4 + c5t,

где ,

т.е. ток якоря двигателя должен меняться по линейному закону.

Найдем оптимальную диаграмму изменения скорости вращения двигателя :

.     (п.5.7)

Постоянные интегрирования находим  из граничных условий:

.

Следовательно: с6=0, из условия  и  из условия

Следовательно

.                     (п.5.8)

Взяв определенный интеграл от (п.5.8), получим:

Откуда получаем:

.

Окончательно выражения для графиков оптимального  изменения тока i(t) и скорости вращения  двигателя будут следующими:

Диаграммы этих зависимостей представлены на рис.п.5.1

Рис. 5.1. Графики оптимального изменения i  и ω по критерию минимального расхода энергии на нагрев двигателя.

Расчеты показывают, что при  прямоугольной диаграмме изменения тока потери увеличиваются на 33% .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84973. Короткі історичні відомості про старовинні обчислювальні прилади. Програма “Космодром” 203.18 KB
  Як потрібно заходити до компютерного класу Поведінка дітей в компютерному класі. Коли можна розпочинати роботу за компютером На якій відстані повинні сидіти діти за компютером Що потрібно робити по закінченню роботи в компютерному класі ІІІ. Які дії можна виконувати за допомогою компютерної миші ІV.
84974. Знайомство з обчислювальними приладами і прототипами ЕОМ. Програма “Слово в лабіринті” 93.92 KB
  Ознайомлення учнів з обчислювальними приладами і прототипами ЕОМ. Розвиток пізнавальних інтересів учнів, логічного мислення, просторової уяви. Виховання толерантності при роботі парами, культуру користування ЕОМ.
84975. З історії створення ЕОМ. Програма “Кубики із складами” 149.5 KB
  Розширення знань дітей про історію створення ЕОМ; Ознайомлення з програмою “Кубики із складами”; Відпрацювання навиків роботи з маніпулятором – мишею, зокрема перетягування об’єктів, використовуючи ліву кнопку “миші” (не відпускаючи її); Розвиток логічного мислення, мовлення, пам’яті, уваги...
84976. Робочий стіл. Піктограми. Основні компоненти робочого столу. Панель задач. Програма “Розгорни серветку” 144.3 KB
  Основні компоненти робочого столу. Ознайомлення учнів із робочим столом компютера з піктограмами панеллю задач. Компютер зразки піктограм роздатковий матеріал. Повторення правил безпечної поведінки у компютерному класі роботі з компютером.
84977. Робота у графічному редакторі Paint. Робота олівцем. 86.15 KB
  Не розкриваючи книжок пригадайте які речі зображені на столі олівець косинець книжка пензлик лампа каструля гиря чобіт Які речі зайві каструля гиря чобіт Чому бо це письмовий стіл А які ще бувають столи Який стіл має компютер Що на ньому розташовано піктограми Прочитайте по словнику тлумачення назви піктограми. Олівець Яку роботу виконує олівець Чи вмієш ти тримати олівець та малювати ним Прочитайте тему уроку...
84978. Що таке інформація? Робота в графічному редакторі Paint Робота з олівцем і гумкою 137.39 KB
  Що таке інформація Робота в графічному редакторі Pint Робота з олівцем і гумкою. Відпрацювання умінь роботи з гумкою. Якими інструментами ви користувалися Олівцем гумкою Яку операцію ви виконували гумкою ІV. Сьогодні ми познайомимося як працювати гумкою в графічному редакторі Pint.
84979. Інформаційні процеси. Що можна робити з інформацією. Робота в графічному редакторі Paint. Робота з пензликом 88.38 KB
  Робота в графічному редакторі Pint. Мета: Продовжувати знайомити учнів з можливостями графічних редакторів; Повторити вивчене про роботу в графічному редакторі Pint; Вчити учнів працювати з незнайомими інструментами в графічному редакторі Pint і створювати малюнок за допомогою пензлика змінюючи його колір і товщину; Здійснювати звязок з образотворчим мистецтвом; Розвивати логічне мислення творчі здібності просторову уяву та сприйняття кольорів; Виховувати інформаційну культуру. Обладнання: чисті аркуші паперу фарби пензлик...
84980. Як людина сприймає інформацію? Робота в графічному редакторі Paint. Робота за допомогою лівої і правої кнопки миші 82.83 KB
  Як людина сприймає інформацію Робота в графічному редакторі Pint. Формування навичок роботи з основними компонентами в графічному редакторі Pint. Сьогодні ми з вами ознайомимося з темою Як людина сприймає інформацію та продовжимо роботу в графічному редакторі Pint навчимося малювати бабусин сад. Повторення правил роботи з графічним редактором Pint.
84981. Велика буква в іменах, по-батькові та прізвищах людей 39.3 KB
  Формувати в учнів уміння розрізняти поняття „ім’я”, „по батькові”, „прізвище”; засвоювати правила написання з великої букви імен, по батькові та прізвищ людей; закріплювати знання про слова – назви предметів; розвивати вміння аналізувати, доводити; збагачувати словниковий запас учнів