32229

Каноническое представление уравнения Эйлера

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi момент развиваемый двигателем См постоянная двигателя i якорный ток J момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

7 чел.

Лекция №5

Каноническое представление уравнения Эйлера

Каноническое представление уравнения Эйлера  является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Оно в определенной степени  улучшает методику решения задач по определению экстремалей.

Как уже было сказано выше, для экстремали х(t) функционала (3.1):

.                          (5.1)

Справедливо уравнение Эйлера (3.2):

.                             (5.2)

Для представления уравнения (5.2) или (3.2) вводятся новые переменные Н и q, которые определяются следующим образом:

,                            (5.3)

Второе уравнение в (5.3) еще можно записать как:

.                                 (5.4)

Используя выражение (5.4) найдем частную производную функции Н по переменной q:

.                          (5.5)

Из (5.4) также следует, что:

                             

С учетом этого уравнения Эйлера (5.2)  можно представить в следующем виде:

.                               (5.6)

Уравнение (5.6) и уравнение (5.5) дает систему:

                  Или     .                                 (5.7)

Эта система эквивалентна одному уравнению Эйлера.

Функция Н = Н(x,q,t) называется функцией Гамильтона. Она обладает тем свойством, что достигает экстремума по х при тех же условиях, что и функционал (9.1). Чтобы доказать это, найдем производную  от Н по х. Учитывая соотношение (5.7), получим

,        (5.8)

т.к. .

Выражение (5.8) свидетельствует, что Н экстремальна по х, при этом  удовлетворяется уравнение Эйлера, а значит при этом  х  будет иметь экстремальное значение и функционал J.

Для функционала, зависящего от многих переменных:

,                          (5.9)

где  X={x1,x2,…,xn}, U={u1,u2,…ur}.

Функция Н будет иметь вид:

,                      (5.10)

где .

Система уравнений, эквивалентная уравнению Эйлера (3.3) будет по аналогии с (5.7) иметь вид:

.                                (5.11)

При наличии связей в виде дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

,

решается общая задача Лагранжа на условный экстремум.

Функция F заменяется  на функцию  (см.4.4)

.                           (5.12)

Функция Н  в этом случае имеет вид:

.                      (5.13)

где , а система (5.11) остается справедливой и для этого случая.

В задачах синтеза оптимального управления часто встречается функционал вида:

,    (5.14)

где х12,…хm – переменные (координаты) объекта управления n-ого порядка (поэтому m<n), а u1,u2,…,ur – управляющие воздействия.

Уравнение динамики объекта:

, i=1,2,…n   (5.15)

является дифференциальными связями.

Вспомогательный функционал в этом случае будет иметь вид:

,   (5.16)

где .

Для экстремали в многомерном пространстве состояния объекта должна удовлетворяться система уравнений:

,                                       (5.17)

где                                             (5.18)

Если ввести коэффициент Лагранжа , то после преобразования получим, что

,                                  (5.19)

.                                          (5.20)

Выведем канонические переменные:

                        (5.21)

где q = {q0,q1,…,qn} – (n+1) мерный вектор.

Уравнение динамики объекта (5.15) и уравнения Эйлера (5.17) можно записать в Гамильтоновой форме:

.                                               (5.22)

Эти уравнения совместно с уравнениями (5.20)

                     ,  k=1,2,…,r

составляют замкнутую систему и дают возможность полностью определить экстремаль.

Рассмотрим задачу по определению  оптимального управления, обеспечивающего минимум расхода энергии. Эта задача имеет широкое практическое применение. Например,  требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока, который поворачивает платформу экскаватора. Сформулируем данную задачу как общую задачу Лагранжа.

Динамика двигателя описывается уравнением  равновесия моментов – момент,  развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления:

,                               (п.5.1)

где Мдв=См*i – момент, развиваемый двигателем,

См – постоянная двигателя,

i – якорный ток,

J – момент инерции, приведенный к валу двигателя,

- скорость вращения вала двигателя,

Мс – статический момент (момент сопротивления).

Величина потерь, равная мощности Q,  затрачиваемая на нагрев двигателя за  один цикл движения t=T, определяется как:

                          

Т.к. Q необходимо минимизировать, то критерий оптимальности уравнения очевиден:

.                       (п.5.2)

Система уравнений, описывающая динамику объекта на основании (п.5.1), будет следующей:

.                         (п.5.3)

где  - угол поворота вала двигателя.

                             .

На основании этих выражений сформулируем функцию Гамильтона вида (5.21)

.      (п.5.4)

Для нахождения экстремума Н по i на основании (п.5.4) запишем условие:

                           .

Следовательно

.                                    (п.5.5)

Для нахождения q1  и q3 запишем уравнения Гамильтона (5.22):

.                    (п.5.6)

Решая уравнения системы (п.5.6), находим:

q1 = c1; q2 = c2; q3 = -q2t+c3 = -c2t+c3.

Подставляя эти значения в (п.5.5) получим:

                                 i(t) = c4 + c5t,

где ,

т.е. ток якоря двигателя должен меняться по линейному закону.

Найдем оптимальную диаграмму изменения скорости вращения двигателя :

.     (п.5.7)

Постоянные интегрирования находим  из граничных условий:

.

Следовательно: с6=0, из условия  и  из условия

Следовательно

.                     (п.5.8)

Взяв определенный интеграл от (п.5.8), получим:

Откуда получаем:

.

Окончательно выражения для графиков оптимального  изменения тока i(t) и скорости вращения  двигателя будут следующими:

Диаграммы этих зависимостей представлены на рис.п.5.1

Рис. 5.1. Графики оптимального изменения i  и ω по критерию минимального расхода энергии на нагрев двигателя.

Расчеты показывают, что при  прямоугольной диаграмме изменения тока потери увеличиваются на 33% .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33092. Філософія української національної ідеї 31.64 KB
  Ми українець і як такий ми член нації яка не лише пригноблюється в русской державі в Росії й урядом а почасти і суспільністю панівної національності. Поет і прозаїк громадський діяч і політик науковий дослідник проблем історії й теорії літератури етнографії й фольклору політичної й економічної історії філософії досконалий знавець німецької польської російської мов він спрямовував усе своє надбання на народне відродження розвій української нації; збагачення української духовної культури. Франко був переконаний що...
33093. Поняття буття 12.67 KB
  Проблема буття виникла в епоху античності як своєрідна відповідь на її нові потреби. Буття на його думку гарант надійності і незнищенності світу та раз і назавжди заведеного порядку в ньому. Не змінюється лише буття тобто абсолютна думка.
33094. Матерія та її розуміння 15.73 KB
  Досліджуючи фундамент матерії сучасна фізика відкрила всезагальне перетворення матеріальних об'єктів. Простір і час це атрибути тобто суттєві властивості рухомої матерії. Однак філософи ідеалісти заперечують залежність часу і простору від матерії. Кантом простір і час апріорні й абсолютно порожні форми чуттєвого споглядання речей внутрішньо і споконвічно притаманні людській свідомості.
33095. Рух матерії 12.92 KB
  Рух є способом існування матерії. Ніде і ніколи не було і не може бути матерії без руху як і руху без матерії. Рух матерії абсолютний і вічний. Такий стан руху матерії називається спокоєм.
33096. Простір та час як філософські категорії 12.45 KB
  Простір і час це атрибути тобто суттєві властивості рухомої матерії. Однак філософи ідеалісти заперечують залежність часу і простору від матерії. Кантом простір і час апріорні й абсолютно порожні форми чуттєвого споглядання речей внутрішньо і споконвічно притаманні людській свідомості.
33097. Проблема свідомості в філософії 13.7 KB
  Жодна наукова проблема не є предметом таких далеких від науки і таких широких за змістом інтелектуальних спекуляцій як проблема свідомості. Варте уваги те що з кожним кроком уперед у дослідженнях психіки і свідомості людини кількість такого роду спекуляцій не зменшується. Однак слід пам'ятати що лише наукове осягнення природи свідомості може відкрити істину.
33098. Суспільна свідомість 13.6 KB
  Виділяють буденну і теоретичну свідомості. В основу цього членування покладено відношення свідомості до практики ступінь її узагальнення глибина зв'язку з практичними основами життя. У свідомості виділяють два рівні ідеологію і суспільну психологію. Суспільна психологія є частиною буденної свідомості.
33099. Формы собственности в условиях рыночной экономики 38 KB
  Содержание собственности в экономической литературе в том числе и учебной рассматривается как правило в трех проявлениях: социальном экономическом и правовом. Социальноэкономическую сущность собственности экономисты определяют неоднозначно. В этом определении очевидным является тесное взаимодействие социальной и экономической сторон собственности.
33100. Хозяйственные ситуации (операции), их виды и классификация 39 KB
  Хозяйственные операции фиксируются отражаются в первичных документах и регистрируются в текущем учете. Определение во времени необходимо для того чтобы установить момент регистрации хозяйственной операции. Стоимостная оценка проводится по первичным документам подтверждающим факт осуществления хозяйственной операции.