32229

Каноническое представление уравнения Эйлера

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов – момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi – момент развиваемый двигателем См – постоянная двигателя i – якорный ток J – момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

5 чел.

Лекция №5

Каноническое представление уравнения Эйлера

Каноническое представление уравнения Эйлера  является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Оно в определенной степени  улучшает методику решения задач по определению экстремалей.

Как уже было сказано выше, для экстремали х(t) функционала (3.1):

.                          (5.1)

Справедливо уравнение Эйлера (3.2):

.                             (5.2)

Для представления уравнения (5.2) или (3.2) вводятся новые переменные Н и q, которые определяются следующим образом:

,                            (5.3)

Второе уравнение в (5.3) еще можно записать как:

.                                 (5.4)

Используя выражение (5.4) найдем частную производную функции Н по переменной q:

.                          (5.5)

Из (5.4) также следует, что:

                             

С учетом этого уравнения Эйлера (5.2)  можно представить в следующем виде:

.                               (5.6)

Уравнение (5.6) и уравнение (5.5) дает систему:

                  Или     .                                 (5.7)

Эта система эквивалентна одному уравнению Эйлера.

Функция Н = Н(x,q,t) называется функцией Гамильтона. Она обладает тем свойством, что достигает экстремума по х при тех же условиях, что и функционал (9.1). Чтобы доказать это, найдем производную  от Н по х. Учитывая соотношение (5.7), получим

,        (5.8)

т.к. .

Выражение (5.8) свидетельствует, что Н экстремальна по х, при этом  удовлетворяется уравнение Эйлера, а значит при этом  х  будет иметь экстремальное значение и функционал J.

Для функционала, зависящего от многих переменных:

,                          (5.9)

где  X={x1,x2,…,xn}, U={u1,u2,…ur}.

Функция Н будет иметь вид:

,                      (5.10)

где .

Система уравнений, эквивалентная уравнению Эйлера (3.3) будет по аналогии с (5.7) иметь вид:

.                                (5.11)

При наличии связей в виде дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

,

решается общая задача Лагранжа на условный экстремум.

Функция F заменяется  на функцию  (см.4.4)

.                           (5.12)

Функция Н  в этом случае имеет вид:

.                      (5.13)

где , а система (5.11) остается справедливой и для этого случая.

В задачах синтеза оптимального управления часто встречается функционал вида:

,    (5.14)

где х12,…хm – переменные (координаты) объекта управления n-ого порядка (поэтому m<n), а u1,u2,…,ur – управляющие воздействия.

Уравнение динамики объекта:

, i=1,2,…n   (5.15)

является дифференциальными связями.

Вспомогательный функционал в этом случае будет иметь вид:

,   (5.16)

где .

Для экстремали в многомерном пространстве состояния объекта должна удовлетворяться система уравнений:

,                                       (5.17)

где                                             (5.18)

Если ввести коэффициент Лагранжа , то после преобразования получим, что

,                                  (5.19)

.                                          (5.20)

Выведем канонические переменные:

                        (5.21)

где q = {q0,q1,…,qn} – (n+1) мерный вектор.

Уравнение динамики объекта (5.15) и уравнения Эйлера (5.17) можно записать в Гамильтоновой форме:

.                                               (5.22)

Эти уравнения совместно с уравнениями (5.20)

                     ,  k=1,2,…,r

составляют замкнутую систему и дают возможность полностью определить экстремаль.

Рассмотрим задачу по определению  оптимального управления, обеспечивающего минимум расхода энергии. Эта задача имеет широкое практическое применение. Например,  требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока, который поворачивает платформу экскаватора. Сформулируем данную задачу как общую задачу Лагранжа.

Динамика двигателя описывается уравнением  равновесия моментов – момент,  развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления:

,                               (п.5.1)

где Мдв=См*i – момент, развиваемый двигателем,

См – постоянная двигателя,

i – якорный ток,

J – момент инерции, приведенный к валу двигателя,

- скорость вращения вала двигателя,

Мс – статический момент (момент сопротивления).

Величина потерь, равная мощности Q,  затрачиваемая на нагрев двигателя за  один цикл движения t=T, определяется как:

                          

Т.к. Q необходимо минимизировать, то критерий оптимальности уравнения очевиден:

.                       (п.5.2)

Система уравнений, описывающая динамику объекта на основании (п.5.1), будет следующей:

.                         (п.5.3)

где  - угол поворота вала двигателя.

                             .

На основании этих выражений сформулируем функцию Гамильтона вида (5.21)

.      (п.5.4)

Для нахождения экстремума Н по i на основании (п.5.4) запишем условие:

                           .

Следовательно

.                                    (п.5.5)

Для нахождения q1  и q3 запишем уравнения Гамильтона (5.22):

.                    (п.5.6)

Решая уравнения системы (п.5.6), находим:

q1 = c1; q2 = c2; q3 = -q2t+c3 = -c2t+c3.

Подставляя эти значения в (п.5.5) получим:

                                 i(t) = c4 + c5t,

где ,

т.е. ток якоря двигателя должен меняться по линейному закону.

Найдем оптимальную диаграмму изменения скорости вращения двигателя :

.     (п.5.7)

Постоянные интегрирования находим  из граничных условий:

.

Следовательно: с6=0, из условия  и  из условия

Следовательно

.                     (п.5.8)

Взяв определенный интеграл от (п.5.8), получим:

Откуда получаем:

.

Окончательно выражения для графиков оптимального  изменения тока i(t) и скорости вращения  двигателя будут следующими:

Диаграммы этих зависимостей представлены на рис.п.5.1

Рис. 5.1. Графики оптимального изменения i  и ω по критерию минимального расхода энергии на нагрев двигателя.

Расчеты показывают, что при  прямоугольной диаграмме изменения тока потери увеличиваются на 33% .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16908. Создание WEB – страниц на основе таблиц 117.87 KB
  Лабораторная работа № 11 Создание WEB – страниц на основе таблиц. Оборудование: ПЭВМ Программное обеспечение: Windows Kompozer. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы во Kompozer. Задание: Включите ПК. Запустить Kompozer.
16909. Создание WEB узла 36 KB
  Лабораторная работа № 12 Создание WEB узла. Оборудование: ПЭВМ Программное обеспечение: Windows Kompozer. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы во Kompozer. Задание: Перекопируйте папку...
16910. Создание электронных таблиц в OpenOffice.org Calc 299.5 KB
  Лабораторная работа №13 Создание электронных таблиц в OpenOffice.org Calc Оборудование: ПК Программное обеспечение: Windows OpenOffice.org Calc. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в OpenOffice.org Calc Теоретическая часть Что такое Calc Calc это модуль электрон
16911. Адресация ячеек в OpenOffice.org Calc 160 KB
  Лабораторная работа № 14Адресация ячеек в OpenOffice.org Calc Оборудование: ПК Программное обеспечение: Windows OpenOffice.org Calc. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в OpenOffice.org Calc Теоретическая часть У каждой ячейки есть свой адрес. Он однозначно оп
16912. Порядок разработки теста в OpenOffice.org Calc 126.5 KB
  Лабораторная работа № 15 Порядок разработки теста в OpenOffice.org Calc Оборудование: ПЭВМ Программное обеспечение: Windows OpenOffice.org Calc. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в OpenOffice.org Calc Теоретическая часть. Тест на тему ЛИЧ...
16913. Логические функции в OpenOffice.org Calc 203.5 KB
  Лабораторная работа № 16 Логические функции в OpenOffice.org Calc Оборудование: ПК Программное обеспечение:Windows OpenOffice.org Calc. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в OpenOffice.org Calc Теоретическая часть Логические функции в OpenOffice.org Calc: 1. IF Условие; Выр
16914. Создание диаграммы в OpenOffice.org Calc 120 KB
  Лабораторная работа №17 Создание диаграммы. Оборудование: ПЭВМ Программное обеспечение: OpenOffice.org Calc. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в OpenOffice.org Calc. Таблица 1. Запустите OpenOffice.org Calc. Сохраните...
16915. Работа с несколькими листами в OpenOffice.org Calc 89.5 KB
  Лабораторные работы № 18Работа с несколькими листами Оборудование: ПК Программное обеспечение: Windows OpenOffice.org Calc. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в OpenOffice.org Calc Задание: 1. Запустить OpenOffice.org Calc. 2. Вычислить объем продаж в магазине То
16916. Решение практических задач в Windows EXCEL 53 KB
  Лабораторная работа № 1920 Решение практических задач. Оборудование: ПЭВМ Программное обеспечение: Windows EXCEL. Цель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в EXCEL Логические функции в EXCEL: ЕСЛИ Условие; Выражение