32229

Каноническое представление уравнения Эйлера

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi момент развиваемый двигателем См постоянная двигателя i якорный ток J момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

7 чел.

Лекция №5

Каноническое представление уравнения Эйлера

Каноническое представление уравнения Эйлера  является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Оно в определенной степени  улучшает методику решения задач по определению экстремалей.

Как уже было сказано выше, для экстремали х(t) функционала (3.1):

.                          (5.1)

Справедливо уравнение Эйлера (3.2):

.                             (5.2)

Для представления уравнения (5.2) или (3.2) вводятся новые переменные Н и q, которые определяются следующим образом:

,                            (5.3)

Второе уравнение в (5.3) еще можно записать как:

.                                 (5.4)

Используя выражение (5.4) найдем частную производную функции Н по переменной q:

.                          (5.5)

Из (5.4) также следует, что:

                             

С учетом этого уравнения Эйлера (5.2)  можно представить в следующем виде:

.                               (5.6)

Уравнение (5.6) и уравнение (5.5) дает систему:

                  Или     .                                 (5.7)

Эта система эквивалентна одному уравнению Эйлера.

Функция Н = Н(x,q,t) называется функцией Гамильтона. Она обладает тем свойством, что достигает экстремума по х при тех же условиях, что и функционал (9.1). Чтобы доказать это, найдем производную  от Н по х. Учитывая соотношение (5.7), получим

,        (5.8)

т.к. .

Выражение (5.8) свидетельствует, что Н экстремальна по х, при этом  удовлетворяется уравнение Эйлера, а значит при этом  х  будет иметь экстремальное значение и функционал J.

Для функционала, зависящего от многих переменных:

,                          (5.9)

где  X={x1,x2,…,xn}, U={u1,u2,…ur}.

Функция Н будет иметь вид:

,                      (5.10)

где .

Система уравнений, эквивалентная уравнению Эйлера (3.3) будет по аналогии с (5.7) иметь вид:

.                                (5.11)

При наличии связей в виде дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

,

решается общая задача Лагранжа на условный экстремум.

Функция F заменяется  на функцию  (см.4.4)

.                           (5.12)

Функция Н  в этом случае имеет вид:

.                      (5.13)

где , а система (5.11) остается справедливой и для этого случая.

В задачах синтеза оптимального управления часто встречается функционал вида:

,    (5.14)

где х12,…хm – переменные (координаты) объекта управления n-ого порядка (поэтому m<n), а u1,u2,…,ur – управляющие воздействия.

Уравнение динамики объекта:

, i=1,2,…n   (5.15)

является дифференциальными связями.

Вспомогательный функционал в этом случае будет иметь вид:

,   (5.16)

где .

Для экстремали в многомерном пространстве состояния объекта должна удовлетворяться система уравнений:

,                                       (5.17)

где                                             (5.18)

Если ввести коэффициент Лагранжа , то после преобразования получим, что

,                                  (5.19)

.                                          (5.20)

Выведем канонические переменные:

                        (5.21)

где q = {q0,q1,…,qn} – (n+1) мерный вектор.

Уравнение динамики объекта (5.15) и уравнения Эйлера (5.17) можно записать в Гамильтоновой форме:

.                                               (5.22)

Эти уравнения совместно с уравнениями (5.20)

                     ,  k=1,2,…,r

составляют замкнутую систему и дают возможность полностью определить экстремаль.

Рассмотрим задачу по определению  оптимального управления, обеспечивающего минимум расхода энергии. Эта задача имеет широкое практическое применение. Например,  требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока, который поворачивает платформу экскаватора. Сформулируем данную задачу как общую задачу Лагранжа.

Динамика двигателя описывается уравнением  равновесия моментов – момент,  развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления:

,                               (п.5.1)

где Мдв=См*i – момент, развиваемый двигателем,

См – постоянная двигателя,

i – якорный ток,

J – момент инерции, приведенный к валу двигателя,

- скорость вращения вала двигателя,

Мс – статический момент (момент сопротивления).

Величина потерь, равная мощности Q,  затрачиваемая на нагрев двигателя за  один цикл движения t=T, определяется как:

                          

Т.к. Q необходимо минимизировать, то критерий оптимальности уравнения очевиден:

.                       (п.5.2)

Система уравнений, описывающая динамику объекта на основании (п.5.1), будет следующей:

.                         (п.5.3)

где  - угол поворота вала двигателя.

                             .

На основании этих выражений сформулируем функцию Гамильтона вида (5.21)

.      (п.5.4)

Для нахождения экстремума Н по i на основании (п.5.4) запишем условие:

                           .

Следовательно

.                                    (п.5.5)

Для нахождения q1  и q3 запишем уравнения Гамильтона (5.22):

.                    (п.5.6)

Решая уравнения системы (п.5.6), находим:

q1 = c1; q2 = c2; q3 = -q2t+c3 = -c2t+c3.

Подставляя эти значения в (п.5.5) получим:

                                 i(t) = c4 + c5t,

где ,

т.е. ток якоря двигателя должен меняться по линейному закону.

Найдем оптимальную диаграмму изменения скорости вращения двигателя :

.     (п.5.7)

Постоянные интегрирования находим  из граничных условий:

.

Следовательно: с6=0, из условия  и  из условия

Следовательно

.                     (п.5.8)

Взяв определенный интеграл от (п.5.8), получим:

Откуда получаем:

.

Окончательно выражения для графиков оптимального  изменения тока i(t) и скорости вращения  двигателя будут следующими:

Диаграммы этих зависимостей представлены на рис.п.5.1

Рис. 5.1. Графики оптимального изменения i  и ω по критерию минимального расхода энергии на нагрев двигателя.

Расчеты показывают, что при  прямоугольной диаграмме изменения тока потери увеличиваются на 33% .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80281. ПРОЕКТУВАННЯ ВІРТУАЛЬНОГО ПРИЛАДУ ДОСДІДЖЕННЯ ТЕМПЕРАТУРИ 395 KB
  Усі середовища складаються з атомів і молекул. Молекули знаходяться у хаотичному русі. При великій кількості часток у системі (вуглеводневі енергоносії, гірські породи, водні середовища) нема змоги детально описати поведінку кожної окремої часточки. Однак загальні риси поведінки системи в цілому є опосередкованим відображенням руху окремих часточок
80282. Методи оцінки і аналізу тіньової економічної діяльності в сфері підприємництва 123.5 KB
  Однією з причин перманентної економічної кризи в якій перебуває Україна є безпрецедентні розміри тінізації та криміналізації її економіки. Необхідно виробити нові підходи у протидії тонізації та криміналізації економіки. Безпосередні фрагментарні дослідження іллегального сектору полягають у визначенні розмірів тіньової економіки у конкретному секторі наприклад у виробництві товарів і послуг у розрізі асортиментних позицій у обміні валюти з урахуванням кількості офіційних пунктів обміну банків туристичних агентств реального курсу...
80283. Удосконалення управління процесами детінізації економічної діяльності 140.5 KB
  Роль і функції держави у зниженні тіньової економічної діяльності в Україні. Механізми запобігання розвитку тіньової економічної діяльності у сфері фінансово грошових відносин. Основні принципи розроблення комплексу заходів запобіжного характеру спрямованих на зниження рівня тіньової економічної діяльності. Методологічні підходи до визначення послідовності реалізації заходів спрямованих на запобігання розвитку тіньової економіки.
80284. Особливості розвитку тіньової економіки в України 65.5 KB
  Тіньовий ринок тіньова економіка істотно впливають на всі сторони економічної діяльності на політичне і суспільне життя кожної країни. Вже на такому рівні вплив державно нерегульованих факторів стає настільки відчутним що суперечності між легальним і тіньовим секторами спостерігаються практично в усіх сферах життєдіяльності суспільства. Труднощі які виникають в результаті внутрішньої неузгодженості регуляторноправового механізму та безсистемної беззмістовної зміни концептуальних орієнтирів розвитку економіки створюють необґрунтовані...
80285. Соціально-економічна сутність тіньової економічної діяльності 86.5 KB
  Соціальноекономічні причини виникнення та джерела походження тіньової економіки. Основні складові тіньової економіки. Класифікація форм і видів прояву тіньової економіки. Тому кожна держава розробляє стратегію форми і методи протистояння тіньовій економічній діяльності упроваджує механізми зниження її негативного впливу на розвиток національної економіки.
80286. Міжнародні організації з боротьби з легалізацією тіньових доходів 128.5 KB
  Створення структура і основні принципи діяльності Групи з розробки фінансових заходів з боротьби з відмиванням грошей FTF. Група з розробки фінансових заходів з боротьби з відмиванням грошей FTF застосувала до України контрзаходи і в кінці року ми були занесені в чорний список країн де відмиваються злочинні кошти. Основні міжнародні вимоги які необхідно враховувати при побудові національно системи боротьби з відмиванням грошей є такі: Адаптація Сорока рекомендацій FTF; Адаптація рекомендацій Базельського комітету Знай...
80287. Збитки від надзвичайних ситуацій та методи їх визначення 263.5 KB
  Класифікація збитків від наслідків надзвичайних ситуацій природного і техногенного характеру. Розрахунок збитків від різних видів наслідків надзвичайних ситуацій природного і техногенного характеру.