32229

Каноническое представление уравнения Эйлера

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов – момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi – момент развиваемый двигателем См – постоянная двигателя i – якорный ток J – момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

6 чел.

Лекция №5

Каноническое представление уравнения Эйлера

Каноническое представление уравнения Эйлера  является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Оно в определенной степени  улучшает методику решения задач по определению экстремалей.

Как уже было сказано выше, для экстремали х(t) функционала (3.1):

.                          (5.1)

Справедливо уравнение Эйлера (3.2):

.                             (5.2)

Для представления уравнения (5.2) или (3.2) вводятся новые переменные Н и q, которые определяются следующим образом:

,                            (5.3)

Второе уравнение в (5.3) еще можно записать как:

.                                 (5.4)

Используя выражение (5.4) найдем частную производную функции Н по переменной q:

.                          (5.5)

Из (5.4) также следует, что:

                             

С учетом этого уравнения Эйлера (5.2)  можно представить в следующем виде:

.                               (5.6)

Уравнение (5.6) и уравнение (5.5) дает систему:

                  Или     .                                 (5.7)

Эта система эквивалентна одному уравнению Эйлера.

Функция Н = Н(x,q,t) называется функцией Гамильтона. Она обладает тем свойством, что достигает экстремума по х при тех же условиях, что и функционал (9.1). Чтобы доказать это, найдем производную  от Н по х. Учитывая соотношение (5.7), получим

,        (5.8)

т.к. .

Выражение (5.8) свидетельствует, что Н экстремальна по х, при этом  удовлетворяется уравнение Эйлера, а значит при этом  х  будет иметь экстремальное значение и функционал J.

Для функционала, зависящего от многих переменных:

,                          (5.9)

где  X={x1,x2,…,xn}, U={u1,u2,…ur}.

Функция Н будет иметь вид:

,                      (5.10)

где .

Система уравнений, эквивалентная уравнению Эйлера (3.3) будет по аналогии с (5.7) иметь вид:

.                                (5.11)

При наличии связей в виде дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

,

решается общая задача Лагранжа на условный экстремум.

Функция F заменяется  на функцию  (см.4.4)

.                           (5.12)

Функция Н  в этом случае имеет вид:

.                      (5.13)

где , а система (5.11) остается справедливой и для этого случая.

В задачах синтеза оптимального управления часто встречается функционал вида:

,    (5.14)

где х12,…хm – переменные (координаты) объекта управления n-ого порядка (поэтому m<n), а u1,u2,…,ur – управляющие воздействия.

Уравнение динамики объекта:

, i=1,2,…n   (5.15)

является дифференциальными связями.

Вспомогательный функционал в этом случае будет иметь вид:

,   (5.16)

где .

Для экстремали в многомерном пространстве состояния объекта должна удовлетворяться система уравнений:

,                                       (5.17)

где                                             (5.18)

Если ввести коэффициент Лагранжа , то после преобразования получим, что

,                                  (5.19)

.                                          (5.20)

Выведем канонические переменные:

                        (5.21)

где q = {q0,q1,…,qn} – (n+1) мерный вектор.

Уравнение динамики объекта (5.15) и уравнения Эйлера (5.17) можно записать в Гамильтоновой форме:

.                                               (5.22)

Эти уравнения совместно с уравнениями (5.20)

                     ,  k=1,2,…,r

составляют замкнутую систему и дают возможность полностью определить экстремаль.

Рассмотрим задачу по определению  оптимального управления, обеспечивающего минимум расхода энергии. Эта задача имеет широкое практическое применение. Например,  требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока, который поворачивает платформу экскаватора. Сформулируем данную задачу как общую задачу Лагранжа.

Динамика двигателя описывается уравнением  равновесия моментов – момент,  развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления:

,                               (п.5.1)

где Мдв=См*i – момент, развиваемый двигателем,

См – постоянная двигателя,

i – якорный ток,

J – момент инерции, приведенный к валу двигателя,

- скорость вращения вала двигателя,

Мс – статический момент (момент сопротивления).

Величина потерь, равная мощности Q,  затрачиваемая на нагрев двигателя за  один цикл движения t=T, определяется как:

                          

Т.к. Q необходимо минимизировать, то критерий оптимальности уравнения очевиден:

.                       (п.5.2)

Система уравнений, описывающая динамику объекта на основании (п.5.1), будет следующей:

.                         (п.5.3)

где  - угол поворота вала двигателя.

                             .

На основании этих выражений сформулируем функцию Гамильтона вида (5.21)

.      (п.5.4)

Для нахождения экстремума Н по i на основании (п.5.4) запишем условие:

                           .

Следовательно

.                                    (п.5.5)

Для нахождения q1  и q3 запишем уравнения Гамильтона (5.22):

.                    (п.5.6)

Решая уравнения системы (п.5.6), находим:

q1 = c1; q2 = c2; q3 = -q2t+c3 = -c2t+c3.

Подставляя эти значения в (п.5.5) получим:

                                 i(t) = c4 + c5t,

где ,

т.е. ток якоря двигателя должен меняться по линейному закону.

Найдем оптимальную диаграмму изменения скорости вращения двигателя :

.     (п.5.7)

Постоянные интегрирования находим  из граничных условий:

.

Следовательно: с6=0, из условия  и  из условия

Следовательно

.                     (п.5.8)

Взяв определенный интеграл от (п.5.8), получим:

Откуда получаем:

.

Окончательно выражения для графиков оптимального  изменения тока i(t) и скорости вращения  двигателя будут следующими:

Диаграммы этих зависимостей представлены на рис.п.5.1

Рис. 5.1. Графики оптимального изменения i  и ω по критерию минимального расхода энергии на нагрев двигателя.

Расчеты показывают, что при  прямоугольной диаграмме изменения тока потери увеличиваются на 33% .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48621. Система регулирования подачи воздуха в топку 344.5 KB
  Определение оптимальных значений параметров настройки регулятора. Выбор типового промышленного регулятора. Данный курсовой проект посвящен синтезу локальной системы регулирования технологического параметра объекта включающему в себя выбор необходимого закона регулирования регулятора и разработку системы в целом на базе приборов ГСП. На вход регулятора воздуха поступают сигнал от задатчика 3 содержания кислорода в уходящих топочных газах сигнал измерителя содержания кислорода в топочных газах и дополнительный корректирующий сигнал по...
48623. Пристрій для зсуву коду на два розряди вліво з паралельним введенням/виведенням та контролем за непарністю у процесі передачі даних 1.39 MB
  ТИПОВІ ВУЗЛИ ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ДЛЯ СТВОРЕННЯ РОЗРЯДНОГО РЕГІСТРА. Зчитування інформації Логічні мікрооперації в регістрах. ТИПОВІ ВУЗЛИ ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ДЛЯ СТВОРЕННЯ РОЗРЯДНОГО РЕГІСТРА. Логічна функція регістра позначається буквами RG register.
48624. Переоборудование старой аналоговой сети связи Казахстана в цифровую взаимоувязанную сеть связи на основе технологии SDH 1.65 MB
  В настоящее время по всему миру поставщики услуг связи прокладывают за год десятки тысяч километров волоконно-оптических кабелей под землей, по дну океана, рек, на ЛЭП, в тоннелях и коллекторах. Множество компаний, в том числе крупнейшие...
48626. Практикум з дисципліни Цивільний захист 1.22 MB
  Засоби індивідуального захисту органів дихання. Основні визначення при прогнозуванні і оцінці хімічної обстановки. Оцінка хімічної обстановки з допомого приладів хімічної розвідки. Основні визначення радіаційної обстановки І норм радіаційної безпеки. Оцінка радіаційної обстановки за допомогою приладів радіаційної розвідки і дозиметричного контролю
48628. Барабанный котел и его основные технологические параметры. Система регулирования разрежения в дымоходе 856.5 KB
  Содержание Введение Описание объекта автоматизации Задание на курсовой проект Выбор типового датчика Определение оптимального закона регулирования регулятора Определение параметров оптимальной настройки регулятора Построение переходных процессов системы для регулятора с оптимальными параметрами Определение требуемой ПФ устройства ввода возмущения в компенсирующий канал Выбор унифицированного промышленного регулятора Выбор исполнительного механизма Выбор вторичного прибора Описание общей схемы системы...
48629. Система регулирования разрежения в дымоходе 1.19 MB
  Определение оптимальных параметров настройки регулятора Выбор унифицированного промышленного регулятора Курсовой проект по курсу Проектирование современных систем управления посвящен синтезу локальной системы регулирования технологического параметра объекта включающему в себя выбор необходимого закона регулирования регулятора и разработку системы в целом на базе приборов ГСП. Она состоит из регулятора разрежения РР на который поступают сигнал с датчика разрежения сигнал с задатчика 2 и сигнал с расходомера количества...