32229

Каноническое представление уравнения Эйлера

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов – момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi – момент развиваемый двигателем См – постоянная двигателя i – якорный ток J – момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

6 чел.

Лекция №5

Каноническое представление уравнения Эйлера

Каноническое представление уравнения Эйлера  является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Оно в определенной степени  улучшает методику решения задач по определению экстремалей.

Как уже было сказано выше, для экстремали х(t) функционала (3.1):

.                          (5.1)

Справедливо уравнение Эйлера (3.2):

.                             (5.2)

Для представления уравнения (5.2) или (3.2) вводятся новые переменные Н и q, которые определяются следующим образом:

,                            (5.3)

Второе уравнение в (5.3) еще можно записать как:

.                                 (5.4)

Используя выражение (5.4) найдем частную производную функции Н по переменной q:

.                          (5.5)

Из (5.4) также следует, что:

                             

С учетом этого уравнения Эйлера (5.2)  можно представить в следующем виде:

.                               (5.6)

Уравнение (5.6) и уравнение (5.5) дает систему:

                  Или     .                                 (5.7)

Эта система эквивалентна одному уравнению Эйлера.

Функция Н = Н(x,q,t) называется функцией Гамильтона. Она обладает тем свойством, что достигает экстремума по х при тех же условиях, что и функционал (9.1). Чтобы доказать это, найдем производную  от Н по х. Учитывая соотношение (5.7), получим

,        (5.8)

т.к. .

Выражение (5.8) свидетельствует, что Н экстремальна по х, при этом  удовлетворяется уравнение Эйлера, а значит при этом  х  будет иметь экстремальное значение и функционал J.

Для функционала, зависящего от многих переменных:

,                          (5.9)

где  X={x1,x2,…,xn}, U={u1,u2,…ur}.

Функция Н будет иметь вид:

,                      (5.10)

где .

Система уравнений, эквивалентная уравнению Эйлера (3.3) будет по аналогии с (5.7) иметь вид:

.                                (5.11)

При наличии связей в виде дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

,

решается общая задача Лагранжа на условный экстремум.

Функция F заменяется  на функцию  (см.4.4)

.                           (5.12)

Функция Н  в этом случае имеет вид:

.                      (5.13)

где , а система (5.11) остается справедливой и для этого случая.

В задачах синтеза оптимального управления часто встречается функционал вида:

,    (5.14)

где х12,…хm – переменные (координаты) объекта управления n-ого порядка (поэтому m<n), а u1,u2,…,ur – управляющие воздействия.

Уравнение динамики объекта:

, i=1,2,…n   (5.15)

является дифференциальными связями.

Вспомогательный функционал в этом случае будет иметь вид:

,   (5.16)

где .

Для экстремали в многомерном пространстве состояния объекта должна удовлетворяться система уравнений:

,                                       (5.17)

где                                             (5.18)

Если ввести коэффициент Лагранжа , то после преобразования получим, что

,                                  (5.19)

.                                          (5.20)

Выведем канонические переменные:

                        (5.21)

где q = {q0,q1,…,qn} – (n+1) мерный вектор.

Уравнение динамики объекта (5.15) и уравнения Эйлера (5.17) можно записать в Гамильтоновой форме:

.                                               (5.22)

Эти уравнения совместно с уравнениями (5.20)

                     ,  k=1,2,…,r

составляют замкнутую систему и дают возможность полностью определить экстремаль.

Рассмотрим задачу по определению  оптимального управления, обеспечивающего минимум расхода энергии. Эта задача имеет широкое практическое применение. Например,  требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока, который поворачивает платформу экскаватора. Сформулируем данную задачу как общую задачу Лагранжа.

Динамика двигателя описывается уравнением  равновесия моментов – момент,  развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления:

,                               (п.5.1)

где Мдв=См*i – момент, развиваемый двигателем,

См – постоянная двигателя,

i – якорный ток,

J – момент инерции, приведенный к валу двигателя,

- скорость вращения вала двигателя,

Мс – статический момент (момент сопротивления).

Величина потерь, равная мощности Q,  затрачиваемая на нагрев двигателя за  один цикл движения t=T, определяется как:

                          

Т.к. Q необходимо минимизировать, то критерий оптимальности уравнения очевиден:

.                       (п.5.2)

Система уравнений, описывающая динамику объекта на основании (п.5.1), будет следующей:

.                         (п.5.3)

где  - угол поворота вала двигателя.

                             .

На основании этих выражений сформулируем функцию Гамильтона вида (5.21)

.      (п.5.4)

Для нахождения экстремума Н по i на основании (п.5.4) запишем условие:

                           .

Следовательно

.                                    (п.5.5)

Для нахождения q1  и q3 запишем уравнения Гамильтона (5.22):

.                    (п.5.6)

Решая уравнения системы (п.5.6), находим:

q1 = c1; q2 = c2; q3 = -q2t+c3 = -c2t+c3.

Подставляя эти значения в (п.5.5) получим:

                                 i(t) = c4 + c5t,

где ,

т.е. ток якоря двигателя должен меняться по линейному закону.

Найдем оптимальную диаграмму изменения скорости вращения двигателя :

.     (п.5.7)

Постоянные интегрирования находим  из граничных условий:

.

Следовательно: с6=0, из условия  и  из условия

Следовательно

.                     (п.5.8)

Взяв определенный интеграл от (п.5.8), получим:

Откуда получаем:

.

Окончательно выражения для графиков оптимального  изменения тока i(t) и скорости вращения  двигателя будут следующими:

Диаграммы этих зависимостей представлены на рис.п.5.1

Рис. 5.1. Графики оптимального изменения i  и ω по критерию минимального расхода энергии на нагрев двигателя.

Расчеты показывают, что при  прямоугольной диаграмме изменения тока потери увеличиваются на 33% .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80826. РЕОРГАНИЗАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ: ЭТАПЫ, СОДЕРЖАНИЕ ЭТАПОВ, ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ НА ОТДЕЛЬНЫХ ЭТАПАХ 46.03 KB
  Подготовка проекта реорганизации. Цели проекта: задачи и ожидаемые результаты; создание группы реорганизации с определенным удовлетворением квалификации и профессионализма; преодоление сопротивления реорганизации. Задача высшего руководства: обучить управленческую группу методологии проведения реорганизации. Задачи: выявление интересов потребителей; планирование необходимых мероприятий; выбор субъектов и объектов реорганизации; разработка модели текущего состояния организации; выявление видов деятельности организации;...
80827. ОБЩЕСТВЕННОЕ МНЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ФУНКЦИИ, ПОРЯДОК ФОРМИРВОАНИЯ 45.23 KB
  Субъект общественного мнения – общественность или группа характеризующиеся некой ценностью. Объект общественного мнения те факты общественной жизни которые затрагивают интересы группы общности и представляются актуальными социально значимыми. В основе общественного мнения лежат потребности и интересы людей. Признаки общественного мнения: нормативнооценочный характер т.
80828. PR И СМИ: ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ, ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ 47.1 KB
  Связи со СМИ одно из важнейших направлений PR. Именно поддержкой связей со СМИ mssmedi reltions в основном и занимаются большинство PRменеджеров компаний предприятий и организаций. Основные принципы работы со СМИ: представление СМИ одного голоса; сочетание плановости и гибкости; взаимодействие с представителями СМИ осуществляется как на формальном так и на не межличностном уровне Правила работы со СМИ: строить отношения на доверительной основе предоставляя информацию в полном объеме и оговаривать формы использования информации; 2.
80829. ИМИДЖ ОРГАНИЗАЦИИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЗНАЧЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ, ФИРМЕННЫЙ СТИЛЬ 51.62 KB
  Корпоративный имидж – целенаправленно создаваемый эмоционально окрашенный образ организации. Цель и задачи корпоративного имиджа – привлечение внимания и создание позитивного общественного мнения об организации. Коммерческой организации позитивный имидж помогает увеличить конкурентоспособность на рынке.
80830. КАЧЕСТВО И ЭФФЕКТИВНОСТЬ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ 45.22 KB
  Две модификации управленческого решения: Теоретически найденное решение; т. понятие качества управленческого решения. эффективность решения.
80831. ОСОБЕННОСТИ И МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ И ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОРГАНАХ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ И МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ 44.64 KB
  На основе анализа ситуации и определения критериев разрабатывается как можно большее количество возможных вариантов решений из которых составляется база данных. Методы принятия решений: 1 индивидуальный решения принимаются непосредственно ответственным лицом руководителем; 2 коллективный решения принимаются в процессе делового совещания мозгового штурма или руководитель сформулировав проблему в письменном виде дает приказание специалистам способным привнести существенный вклад в ее разрешение внести свои предложения. Для этого...
80832. УПРАВЛЯЕМЫЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И ПОЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ИХ СВЯЗИ И ОСОБЕННОСТИ, КЛАССИФИКАЦИЯ 44.67 KB
  В социальноэкономических и политических процессах особый интерес представляют управляемые процессы т. Социальные управляемые процессы включают в себя: деятельность направленную на сохранение жизни и здоровья человека его физическое развитие организацию дошкольного и специального трудового воспитания на создание жилищных коммунальных торговых и бытовых условий обеспечение коммуникациями и поддержание других важных составляющих в которых выражаются эти процессы воспроизводства и общения человека. Экономические управляемые процессы...
80833. ОБЩЕНАУЧНЫЕ И КОНКРЕТНО-ПРЕДМЕТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ПОЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 49.34 KB
  Общенаучные методы исследования можно разделить на две большие группы: эмпирические и мыслительнологические методы.мыслительнологические методы: формализация исследование объектов когда их содержание познается с помощью выявленных элементов его формы; аналогия сходство предметов в каких либо свойствах или признаках причем в целом эти предметы различны; абстрагирование процесс мысленного выделения определенных свойств признаков и отношений некоторых объектов явлений и процессов; доказательство процесс установления истинности...
80834. ПРОГРАММА И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ПОЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 46.59 KB
  Программа исследования – комплекс основных положений определяющих проведение исслед. актуальность исследования цели и задачи объект и предмет рабочая гипотеза научный подход методы исслед. ресурсное обеспечение предполагаемый результат и ожидаемая эффективность исслед.