32230

Синтез оптимального управления при ограничениях на управляющее воздействие

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Более эффективно решение задач синтеза оптимального управления при ограничениях управляющих воздействий осуществляется путем использования принципа максимума предложенного в 1956 году академиком Л. Принцип максимума является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Это условие положено в основу принципа максимума. Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации.

Русский

2013-09-04

163 KB

3 чел.

Лекция №6

Синтез оптимального управления при ограничениях на управляющее воздействие

При реализации оптимального управления часто приходится  накладывать ограничения на управляющие воздействия,  обусловленные ограниченностью источника энергии или “прочность ” объекта  управления. Например, при синтезе оптимального по быстродействию управления необходимо, чтобы:

.                                         (6.1)

Очевидно, что на управляющее воздействие должно быть наложено ограничение:

,                                                    (6.2)

иначе получим очевидное, но не реализуемое решение: tк=0, при u = ∞.

Данная задача может быть решена методом классического вариационного исчисления. Идея заключается в том,  что в критерий (6.1) вводятся  дополнительная функция от “u”, называемая штрафной функцией. Эта функция должна вызывать  резкое увеличение критерия при превышении допустимого значения um. Даная функция задается следующим образом:

Рассмотрим применение штрафной функции на примере.

Определить алгоритм uопт(t) программного управления, обеспечивающий оптимальное по быстродействию изменение состояния объекта, описываемого передаточной функцией:

.                           (6.3)

В переменных состояниях динамика объекта описывается уравнениями:

.                                       (6.4)

где

Граничные условия:  x1(0)=х; х2(0)=0; х1(tк)=0;  x2(tк)=0.

В соответствии с общей задачей Лагранжа записываем функционал:

.     (6.5)

Находим экстремаль из уравнения Эйлера – Лагранжа:

.                              (6.6)

Из первых двух уравнений системы (6.6) получим:

.                                   (6.7)

График штрафной функции представлен на рисунке  6.1

Рис. 6.1. График штрафной функции L(u).

Решение третьего уравнения системы  (6.6) при  будет следующим:

.                 (6.8)

Из (6.8) следует, что оптимальное по быстродействию   управление uопт(t) представляет  кусочно-постоянную функцию (uum), имеющую два интервала и одно переключение управляющего воздействия.

Аналитически постоянные А1 и А2 определить крайне сложно. Поэтому решение краевой задачи решается методом припасовывания, т.е. стыковкой конечных и начальных значений решений дифференциальных уравнений.

Более эффективно решение задач синтеза оптимального управления при ограничениях управляющих воздействий осуществляется путем использования  принципа максимума, предложенного в 1956 году академиком Л.С. Понтрягиным и его учениками.

Принцип максимума является дальнейшим развитием вариационного исчисления. В основе этого принципа лежит  идея игольчатой вариации. При бесконечно малом приращении dt получается бесконечно узкий  интервал конечной амплитуду um, но его действие на объект будет, очевидно, бесконечно малым и приращение функционала будет бесконечно малым. Оно обращается в нуль, когда берется относительно uопт(t). Это условие положено в основу принципа максимума.

Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации.

Дана система дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления:

,                       (6.9)

где ;  U={u1,u2,…ur}.

Уравнение (6.9) представим в векторной форме:

.                              (6.10)

Управляющие воздействия ограничены по величине, т.е.  принадлежат замкнутому пространству:

.                                       (6.11)

Требуется найти закон управления , чтобы объект из состояния Х(0)=Хн перевести в конечное состояние X(tк)=Хк. так, чтобы функционал:

достиг экстремума.

Т.е. формулировка задачи такая же, как и при применении классического вариационного исчисления, за исключением  ограничения (6.11).

В частном случае для определения закона, оптимального по быстродействию f0=1 и J = tк.

Введем дополнительную переменную (координату)

.                (6.12)

Тогда

.                          (6.13)

В итоге получаем расширенную систему уравнений

.   (6.14)

или в векторной форме:

.                                   (6.15)

Критерий J=x0(tк) -  представляет в этом случае конечное  значение переменной (координаты) х0. Значит задача формулируется как достижение экстремума конечного значения координаты х0.

В (n+1) пространстве геометрически это можно представить как нахождение траектории изменение состояния объекта (нахождение экстремали) от Хн до Хк при которой изменение  координаты х0 будет минимальным (или максимальным), как показано на рис. 6.2, оптимальной является траектория 1, остальные траектории 2 и 3 дают большую величину координаты х0к10к2,3).

Рис. 6.2. Траектории изменения состояния объекта 1, 2, 3 и изменение величины критерия  Х0к. Оптимальной является траектория 1.

Сложность принципа максимума в том, что вводятся вспомогательные функции:

, i=1,2,...,n.    (6.16)

Эти функции аналогичны  функциям qi в каноническом представлении уравнения Эйлере – Лагранжа (см. 5.21).

Введение функции Гамильтона

  (6.17)

позволяет объединить  основную (6.14)и сопряженную (6.16) системы уравнений следующим образом:

.                                           (6.18)

Если уравнение u(t), и соответствующая ему траектория  Х(t) оптимальны, то найдется такая ненулевая вектор-функция , составляющие которой удовлетворяют системе (5.17), что функция  будет иметь максимальное значение в заданном интервале [tн, tк]. Т.е.

.   (6.19)

Выражение (6.18) для определения ,управление будет оптимальным, если оно обеспечивает максимум функции (6.19)

Если выполняются эти условия, то функции  являются постоянными. При этом ,а .

Т.е. выражение принципа максимума (6.17) в векторной форме будет:

.                                       (6.20)

Пример применения принципа максимума

Рассмотрим ранее решенную задачу методом Эйлера-Лагранжа для объекта с передаточной функцией

,                                       (п.6.1)

оптимального управления по критерию

.                                        (п.6.2)

Запишем модель объекта (п.6.1) в виде дифференциального уравнения:

,                                              (п.6.3)

где обозначено.

Кроме граничных условий - x1(0)=х; х1()=0, накладывается ограничение по управляющему воздействию:

.                                                       (п.6.4)

Поэтому данную задачу будем решать методом принципа максимума.

Запишем исходные уравнения, введем дополнительную переменную (координату) х0:

Сформулируем функцию Гамильтона (6.17) для применения принципа максимума:

,   (п.6.5)

у которой   вспомогательные переменные  определяются системой уравнений (6.18)

                         (п.6.6)

.                                (п.6.7)

Принимая  из (п.6.7) получим выражение для определения оптимального закона изменения управляющего воздействия:

.                                              (п.6.8)

Данное выражение совпадает с выражением для uопт(t) в предыдущем примере при замене .

Значение  с учетом  и соотношений (п.6.6) можно определить из системы уравнений (см. также (6.18)).

.                                  (п.6.9)

Решение этой системы (см. предыдущий пример) будет:

.                  (п.6.10)

Подставив (п.6.10) в (п.6.8) получим:

,                                   (п.6.11)

где, как и в аналогичном примере,

.                              (п.6.12)

Но еще необходимо учесть ограничение (п.6.4).

Выпишем слагаемые функции Н, которые зависят от управляющего воздействия u:

.                                   (п.6.13)

Функция Н достигает максимума по u одновременно с функцией . Учитывая, что ,  представим   в следующем виде:

.   (п.6.14)

Из (п.6.14) видно, что оптимальное управляющее воздействие uопт не будет переходить значения umax или  в случае, если:

.                          (п.6.15)

Из (п.4.15) следует, что оптимальный П-регулятор с коэффициентом, определенным выражением (п.6.12) должен иметь ограничение по выходному управляющему сигналу (см.рис.6.4).

Рис. 6.4. Структура оптимальной  по квадратичному интегральному критерию замкнутой САУ с ограничением по управляющему воздействию

Из рассмотренного примера следует, что каноническая  форма общей задачи Лагранжа и уравнения при применении принципа максимума совпадает. Благодаря этому  получается один и тот же закон оптимального управления, если . Но уравнения Эйлера-Лагранжа не позволяют учесть ограничения по u. Применение принципа максимума приводит к вполне понятному результату: к появлению звена насыщения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39021. Паттерновые сети 44.5 KB
  Паттерновые сети Разделы Лекции 8: 8.1 Абстрактные конкретные и ассоциированные паттерновые сети Из образующих путем попарного соединения их связей составляются паттерновые сети. Две соединенные связи образующих называются связкой паттерновой сети. Каждой связке сети устанавливается отношение связей  соединено которое может иметь значение либо ИСТИНА либо ЛОЖЬ в зависимости от условия соединения связки.
39022. Проектирование экономических информационных 505.5 KB
  Средства структурного анализа и проектирования Метод функционального моделирования SDT Диаграммы потоков данных. Словари данных и спецификации процессов. Моделирование данных. 1 Система управления совокупность взаимодействующих структурных подразделений экономической системы осуществляющих функции управления: планирование – определение цели функционирования экономической системы на различные периоды времени; учет – отображение состояния объекта управления в результате...
39023. Понятие индустриального проектирования 231.5 KB
  Ключевые аспекты технологии индустриального проектирования: Реорганизация реинжиниринг бизнеспроцессов; Моделирование предметной проблемной области; Средства автоматизированного проектирования ИС CSEсредства; Возможность применения типовых решений типовое проектирование. Понятие и виды бизнеспроцессов Определение. Под бизнеспроцессом БП будем понимать совокупность взаимосвязанных операций работ по изготовлению готовой продукции или выполнению услуг на основе потребления ресурсов. Основные черты бизнеспроцессов: Все...
39024. Автоматизированное проектирование ИС (CASE-технология) 76 KB
  Изначально CSEсредства были ориентированы на разработку ПО. Сейчас чаще всего под такими средствами подразумевают любые средства проектирования ИС и или моделирования предметной области. CSEсредства охватывают все стадии ЖЦ ИС анализ проектирование разработка сопровождение. Инструментальные средства – CSEсредства.
39025. Типовое проектирование ИС 58 KB
  Сущность: Является одной из разновидностей индустриального проектирования. Содержание: Процесс проектирования ИС состоит из следующих основных этапов: Разбиение проекта информационной системы на отдельные составляющие компоненты. Основная цель применения ТПР – уменьшение трудоемкости и стоимости проектирования и или разработки ИС.
39026. Основные понятия технологии проектирования информационных систем 66 KB
  Основные понятия технологии проектирования информационных систем Понятие и сущность проектирования ИС Определение Проектирование от лат. Обладает возможностью последовательной детализации и конкретизации могут быть выделены стадии этапы проектирования. Предполагает возможность частичной автоматизации Традиционные виды проектирования: архитектурностроительное машиностроительное технологическое. Проектирование информационных систем – сравнительно новый вид проектирования.
39027. Жизненный цикл информационных систем 92 KB
  Поэтому с точки зрения проектирования ИС имеет смысл говорить о модели жизненного цикла. Модель жизненного цикла ИС – это модель создания и использования ИС отражающая ее различные состояния начиная с момента возникновения необходимости в данном комплексе средств и заканчивая моментом его полного выхода из употребления у пользователей. Вопрос к семинарскому занятию: можно ли назвать моделью жизненного цикла такую модель которая бы охватывала не все возможные состояния ИС а только некоторую их часть. Модель жизненного цикла и технология...
39028. Каноническое проектирование информационных систем 126 KB
  В зависимости от сложности объекта автоматизации и набора задач требующих решения при создании конкретной ИС стадии и этапы работ могут иметь различную трудоемкость. Формирование требований к ИС включает в себя следующие этапы: Обследование объекта и обоснование необходимости создания ИС; Формирование требований пользователя к ИС; Оформление отчёта о выполненной работе и заявки на разработку ИС тактикотехнического задания Обследование объекта автоматизации ОА – важнейшая составляющая предпроектной стадии. Обследование объекта...
39029. Проектирование информационного обеспечения ИС 188 KB
  Информационное обеспечение совокупность единой системы классификации и кодирования информации унифицированных систем документации схем информационных потоков циркулирующих в организации а также методология построения баз данных. Понятие и виды информационного обеспечения Информационное обеспечение ИС является средством для решения следующих задач: однозначного и экономичного представления информации в системе на основе кодирования объектов; организации процедур анализа и обработки информации с учетом характера связей между...