32230

Синтез оптимального управления при ограничениях на управляющее воздействие

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Более эффективно решение задач синтеза оптимального управления при ограничениях управляющих воздействий осуществляется путем использования принципа максимума предложенного в 1956 году академиком Л. Принцип максимума является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Это условие положено в основу принципа максимума. Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации.

Русский

2013-09-04

163 KB

5 чел.

Лекция №6

Синтез оптимального управления при ограничениях на управляющее воздействие

При реализации оптимального управления часто приходится  накладывать ограничения на управляющие воздействия,  обусловленные ограниченностью источника энергии или “прочность ” объекта  управления. Например, при синтезе оптимального по быстродействию управления необходимо, чтобы:

.                                         (6.1)

Очевидно, что на управляющее воздействие должно быть наложено ограничение:

,                                                    (6.2)

иначе получим очевидное, но не реализуемое решение: tк=0, при u = ∞.

Данная задача может быть решена методом классического вариационного исчисления. Идея заключается в том,  что в критерий (6.1) вводятся  дополнительная функция от “u”, называемая штрафной функцией. Эта функция должна вызывать  резкое увеличение критерия при превышении допустимого значения um. Даная функция задается следующим образом:

Рассмотрим применение штрафной функции на примере.

Определить алгоритм uопт(t) программного управления, обеспечивающий оптимальное по быстродействию изменение состояния объекта, описываемого передаточной функцией:

.                           (6.3)

В переменных состояниях динамика объекта описывается уравнениями:

.                                       (6.4)

где

Граничные условия:  x1(0)=х; х2(0)=0; х1(tк)=0;  x2(tк)=0.

В соответствии с общей задачей Лагранжа записываем функционал:

.     (6.5)

Находим экстремаль из уравнения Эйлера – Лагранжа:

.                              (6.6)

Из первых двух уравнений системы (6.6) получим:

.                                   (6.7)

График штрафной функции представлен на рисунке  6.1

Рис. 6.1. График штрафной функции L(u).

Решение третьего уравнения системы  (6.6) при  будет следующим:

.                 (6.8)

Из (6.8) следует, что оптимальное по быстродействию   управление uопт(t) представляет  кусочно-постоянную функцию (uum), имеющую два интервала и одно переключение управляющего воздействия.

Аналитически постоянные А1 и А2 определить крайне сложно. Поэтому решение краевой задачи решается методом припасовывания, т.е. стыковкой конечных и начальных значений решений дифференциальных уравнений.

Более эффективно решение задач синтеза оптимального управления при ограничениях управляющих воздействий осуществляется путем использования  принципа максимума, предложенного в 1956 году академиком Л.С. Понтрягиным и его учениками.

Принцип максимума является дальнейшим развитием вариационного исчисления. В основе этого принципа лежит  идея игольчатой вариации. При бесконечно малом приращении dt получается бесконечно узкий  интервал конечной амплитуду um, но его действие на объект будет, очевидно, бесконечно малым и приращение функционала будет бесконечно малым. Оно обращается в нуль, когда берется относительно uопт(t). Это условие положено в основу принципа максимума.

Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации.

Дана система дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления:

,                       (6.9)

где ;  U={u1,u2,…ur}.

Уравнение (6.9) представим в векторной форме:

.                              (6.10)

Управляющие воздействия ограничены по величине, т.е.  принадлежат замкнутому пространству:

.                                       (6.11)

Требуется найти закон управления , чтобы объект из состояния Х(0)=Хн перевести в конечное состояние X(tк)=Хк. так, чтобы функционал:

достиг экстремума.

Т.е. формулировка задачи такая же, как и при применении классического вариационного исчисления, за исключением  ограничения (6.11).

В частном случае для определения закона, оптимального по быстродействию f0=1 и J = tк.

Введем дополнительную переменную (координату)

.                (6.12)

Тогда

.                          (6.13)

В итоге получаем расширенную систему уравнений

.   (6.14)

или в векторной форме:

.                                   (6.15)

Критерий J=x0(tк) -  представляет в этом случае конечное  значение переменной (координаты) х0. Значит задача формулируется как достижение экстремума конечного значения координаты х0.

В (n+1) пространстве геометрически это можно представить как нахождение траектории изменение состояния объекта (нахождение экстремали) от Хн до Хк при которой изменение  координаты х0 будет минимальным (или максимальным), как показано на рис. 6.2, оптимальной является траектория 1, остальные траектории 2 и 3 дают большую величину координаты х0к10к2,3).

Рис. 6.2. Траектории изменения состояния объекта 1, 2, 3 и изменение величины критерия  Х0к. Оптимальной является траектория 1.

Сложность принципа максимума в том, что вводятся вспомогательные функции:

, i=1,2,...,n.    (6.16)

Эти функции аналогичны  функциям qi в каноническом представлении уравнения Эйлере – Лагранжа (см. 5.21).

Введение функции Гамильтона

  (6.17)

позволяет объединить  основную (6.14)и сопряженную (6.16) системы уравнений следующим образом:

.                                           (6.18)

Если уравнение u(t), и соответствующая ему траектория  Х(t) оптимальны, то найдется такая ненулевая вектор-функция , составляющие которой удовлетворяют системе (5.17), что функция  будет иметь максимальное значение в заданном интервале [tн, tк]. Т.е.

.   (6.19)

Выражение (6.18) для определения ,управление будет оптимальным, если оно обеспечивает максимум функции (6.19)

Если выполняются эти условия, то функции  являются постоянными. При этом ,а .

Т.е. выражение принципа максимума (6.17) в векторной форме будет:

.                                       (6.20)

Пример применения принципа максимума

Рассмотрим ранее решенную задачу методом Эйлера-Лагранжа для объекта с передаточной функцией

,                                       (п.6.1)

оптимального управления по критерию

.                                        (п.6.2)

Запишем модель объекта (п.6.1) в виде дифференциального уравнения:

,                                              (п.6.3)

где обозначено.

Кроме граничных условий - x1(0)=х; х1()=0, накладывается ограничение по управляющему воздействию:

.                                                       (п.6.4)

Поэтому данную задачу будем решать методом принципа максимума.

Запишем исходные уравнения, введем дополнительную переменную (координату) х0:

Сформулируем функцию Гамильтона (6.17) для применения принципа максимума:

,   (п.6.5)

у которой   вспомогательные переменные  определяются системой уравнений (6.18)

                         (п.6.6)

.                                (п.6.7)

Принимая  из (п.6.7) получим выражение для определения оптимального закона изменения управляющего воздействия:

.                                              (п.6.8)

Данное выражение совпадает с выражением для uопт(t) в предыдущем примере при замене .

Значение  с учетом  и соотношений (п.6.6) можно определить из системы уравнений (см. также (6.18)).

.                                  (п.6.9)

Решение этой системы (см. предыдущий пример) будет:

.                  (п.6.10)

Подставив (п.6.10) в (п.6.8) получим:

,                                   (п.6.11)

где, как и в аналогичном примере,

.                              (п.6.12)

Но еще необходимо учесть ограничение (п.6.4).

Выпишем слагаемые функции Н, которые зависят от управляющего воздействия u:

.                                   (п.6.13)

Функция Н достигает максимума по u одновременно с функцией . Учитывая, что ,  представим   в следующем виде:

.   (п.6.14)

Из (п.6.14) видно, что оптимальное управляющее воздействие uопт не будет переходить значения umax или  в случае, если:

.                          (п.6.15)

Из (п.4.15) следует, что оптимальный П-регулятор с коэффициентом, определенным выражением (п.6.12) должен иметь ограничение по выходному управляющему сигналу (см.рис.6.4).

Рис. 6.4. Структура оптимальной  по квадратичному интегральному критерию замкнутой САУ с ограничением по управляющему воздействию

Из рассмотренного примера следует, что каноническая  форма общей задачи Лагранжа и уравнения при применении принципа максимума совпадает. Благодаря этому  получается один и тот же закон оптимального управления, если . Но уравнения Эйлера-Лагранжа не позволяют учесть ограничения по u. Применение принципа максимума приводит к вполне понятному результату: к появлению звена насыщения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85553. Ознайомлення із життям і творчістю Тараса Шевченка. Т.Шевченко “Не цурайтесь того слова... “. О.Іваненко “Тарас у наймах.” 48 KB
  Мета: розширити знання учнів про життя і творчість Т.Шевченка; вчити передавати під час читання своє ставлення до прочитаного; вміння працювати над твором; продовжити роботу з вдосконалення навичок читання;розвивати мовлення учнів, пам’ять; виховувати співчуття до головного героя твору.
85554. Що таке байка і хто такий байкар? Л. Глібов «Лебідь, Щука і Рак», «Коник-стрибунець» 51 KB
  Ознайомити дітей із жанром байки; розширити знання про Л.Глібова; удосконалювати вміння читати діалоги розвивати способи і види читання байки образність мовлення уміння визначати повчальний висновок висловлювати оцінні судження; формувати комунікативну компетентність виховувати моральні якості.
85555. З книгою подружишся, розуму наберешся 204 KB
  Обладнання: таблиця Книга асоціативний кущ Живи книго виставка книг фото бібліотечних уроків презентація Історія книги. Книгаце духовна і моральна цінність набрання людства безцінний скарб. Які асоціації виникають у вас із словом книга Що для вас книга Яка вона ваша порадниця і помічниця...
85556. В. А. Сухомлинский «Петя, собака и котёнок» 67.5 KB
  Задачи: дать представление о доброте добрых делах учить рассуждать высказывать свои мысли строить текст по опорным словам и словосочетаниям продолжить работу над нарушенной последовательностью развивать речь воспитывать желание совершать добрые дела. На доске: Петя бежит собака испугался маленький...
85557. У ЗОЛОТО ВБРАЛАСЯ ЗЕМЛЯ 84.5 KB
  Матеріал до уроку: запис твору Еніо Маріконе Пори року фото Золота осінь зображення ЇжачкаЛісовичка осіннє листя малюнки овочів. Коли до нас приходить осінь за календарем Назвіть місяці осені. Чому вони так називаються Яку роботу виконує кожен із місяців осені Яка буває осінь Рання золота пізня.
85558. Зима-красуня, біла чарівниця! В ній стільки дива-дивного й краси! 44 KB
  Постарайтесь запамятати де вже побувала зима біловолоса б словникова робота полотно одпочить дугою скляною налилось верболіз очерет поневолі в повторне читання вірша учнями мовчки Що у вірші казкове а що відбувається насправді г аналіз вірша і вибіркове читання У яких рядках вірша зима змальована...
85559. «Наши корни» (с использованием миниатюр В.Сухомлинского) 149.5 KB
  У кого-то дерево с глубокими корнями в этих семьях хранится память не только о бабушках и дедушках но и о прабабушках и прадедушках. Мама папа бабушка дедушка. В соседней комнате на диване сидят дедушка и бабушка. Маленькая Аленка играет на полу плюшевым медвежонком и смотрит как папа мама дедушка...
85560. Шевченко великий співець України 96.5 KB
  Шевченка записи пісень на твори поета. Шевченка На дошці запис Нам стануть у пригоді: діти зачитують ваші попередні знання; повідомлення наших Шевченкознавців ; торбинка запитань; безсмертні Шевченкові вірші твори та малюнки; знання вчителя; пісні на слова Т. Шевченка. Тоді темної ночі перед світанком у селі Моринцях на Звенигородщині у хаті Григорія Шевченка кріпака пана Енгельгарда блиснув єдиний на...
85561. ЦІКАВА КНИГА ПРИРОДИ В.СУХОМЛИНСЬКИЙ «СЕРГІЙКОВА КВІТКА» 46.5 KB
  Вчити дітей бачити і розкривати красу природи. Заохочувати дітей до творчості. Розвивати мовлення, мислення дітей. Сприяти розвитку мовного апарату, пам’яті, вміння концентрувати увагу, володіти голосом. Виховувати любов і шанобливе ставлення до природи рідного краю.