32231

Метод динамического программирования Р. Беллмана

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

6 величина определяется в соответствии с уравнениями 7.10 При условиях ; Оптимальное уравнение определяется в результате решения уравнения 7.10 можно заменить уравнениями в частных производных 7.4 получим Из уравнения получим П 7.

Русский

2013-09-04

1.14 MB

33 чел.

Лекция №7

Метод динамического программирования Р. Беллмана

В основу динамического программирования положен принцип оптимальности. Согласно этому принципу оптимальное уравнение определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент времени не зависимо от предыстории системы (как она попала в рассматриваемую точку). Это означает что для оптимальных траекторий каждый участок, связывающий любую промежуточную точку этой траектории с конечной точкой, также является оптимальной траекторией.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить оптимальное управление  и оптимальную траекторию (экстремаль) из условия выполнения минимума (или максимума) функция …. (критерия)

     (7.1)

При заданных динамикой объекта управления уравнений

      (7.2)

или        (7.3)

и заданных краевых условиях ,  на интервале  при наличии ограничений , и может , где  – области допустимых значений переменных состояний объекта и управляющих воздействий.

В данном методе вводится вспомогательная функция S, называемая функцией Беллмана

     (7.4)

Дадим приращение по времени Δt. Тогда

     (7.5)

где ,  - вектор переменных (координат) объекта в момент .

Пусть 0, тогда с учетом выражения (7.5) получим

     (7.6)

Получаемая из (7.6) величина  определяется в соответствии с уравнениями (7.2) или (7.3) оптимальную траекторию .

Первое слагаемое в первой части выражения (7.6) с точностью до малых величин   …. Порядка  можно заменить приближенным выражением

   (7.7)

Второе слагаемое разложим в ряд Тейлора и ограничимся линейными слагаемыми относительно переменной .

  (7.8)

В соответствии с (7.2) точность для любых малых более высокого порядка

С учетом этого выражение (7.8) примет вид:

 (7.9)

На основании (7.6), (7.7) и (7.8) запишем

После деления всех членов на  и переходя к пределу 0 получим нелинейное уравнение Беллмана в частных производных

  (7.10)

При условиях ; ,

Оптимальное уравнение  определяется в результате решения уравнения (7.10), что в общем случае сделать достаточно сложно. Для внутренней области  условие (7.10) можно заменить уравнениями в частных производных

   (7.11)

Решая эту систему можно определить закон оптимального управления .

Для стационарного объекта управления в (7.11) можно представить в виде

   (7.12)

Пример: определим оптимальный закон управления для предыдущего примера методом динамического программирования:

    (П 7.1)

    (П 7.2)

или       (П 7.3)

где ; ; .

В соответствии с (7.12) для нашего случая будет:

   (П 7.4)

И условие минимума не управляющему воздействию (второе уравнение (7.11)) дает следующее уравнение:

    (П 7.5)

Из (П 7.5) следует

     (П 7.6)

После подстановки (П 7.6) в (П 7.4) получим

Из уравнения получим

   (П 7.7)

Подставляем значение  в (П 7.6) получим оптимальный закон управления

   (П 7.8)

где   – коэффициент обратной связи будет определятся, как

  (П 7.9)

Что совпадает с результатами, полученными в предыдущих примерах.

Наиболее эффективное применение динамического программирования при численном решении уравнения Беллмана. Для этого заменяем дифференциальные уравнения объекта управления (7.3) уравнениям в конечных разностях, т.е. дифференциальные уравнения  заменяем на разность  

    (П 7.9)

, k=1,2,…N – число временных …

Функционал (критерий оптимальности) примет вид

   (П 7.9)

На каждом интервале  считаем  - непостоянной величиной. Таким образом решая рекуррентные уравнения (7.13) находится значения оптимального уравнения на каждом значения оптимального уравнения на каждом интервале : , ,…,, также что  ,  и которые обеспечивают минимум функционала (7.14). при численном решении задача оптимизации на каждом участке решается в обратном порядке -  от конца к началу.

Графически вычислительную процедуру можно в виде пути, который проходит через точку, минимальных значений критерия (7.14) на рис 7.1 представлена оптимальная траектория (экстремаль) x(t). Величина x разбита на интервалы Δx и время t на интервалы Δt. В точках пересечения показаны численные значения приращения функционала ΔJ.

Рис. 7.1. Расчет оптимальной траектории x(t) по минимому приращения функционала.

Минимальное значение функционала достигается при движении по траектории, обозначается при движении по траектории, обозначенной сплошной строкой.


x

1,5

1,3

1,1

0,7

1,8

1,6

1,5

1,2

2,7

2,4

2,1

1,8

 0

 0

1,1

0,8

0,6

0,3

3,5

3,2

2,8

2,3

1,6

1,2

0,8

0,6

X5

Δx

X4

Δx

X3

Δx

X2

Δx

X1

Δx

t1

Δt

t2

Δt

t3

Δt

t4

Δt

t5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50388. Изучение теории погрешностей и кинематики материальной точки 188.5 KB
  Изучение теории погрешностей и кинематики материальной точки. Определение кинематических характеристик точки по стробоскопическим фотографиям. Ход работы: Задание 1: Найти кинематический закон движения точки. Спроецируем точки на координатные оси с учётом масштаба и запишем координаты точки в таблицу считая что фотографирование началось в момент времени t=0.
50390. Изучение основ теории погрешностей и методов обработки экспериментальных результатов. Определение кинематических характеристик по стробоскопическим фотографиям 1.07 MB
  Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом; Масштабы вдоль всей оси следует выбирать так чтобы основная часть графика имела наклон близкий к углу 45 и лежала в средней части между осями. Построение графиков: на график наносятся все полученные точки через точки проводится наилучшая плавная кривая. Найти модуль скорости точки в середине интервала наблюдения и углы составляемые вектором скорости с осями координат в этот момент времени. Найти ускорение точки в тот же момент времени Изобразить вектор ускорения.