32231

Метод динамического программирования Р. Беллмана

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

6 величина определяется в соответствии с уравнениями 7.10 При условиях ; Оптимальное уравнение определяется в результате решения уравнения 7.10 можно заменить уравнениями в частных производных 7.4 получим Из уравнения получим П 7.

Русский

2013-09-04

1.14 MB

35 чел.

Лекция №7

Метод динамического программирования Р. Беллмана

В основу динамического программирования положен принцип оптимальности. Согласно этому принципу оптимальное уравнение определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент времени не зависимо от предыстории системы (как она попала в рассматриваемую точку). Это означает что для оптимальных траекторий каждый участок, связывающий любую промежуточную точку этой траектории с конечной точкой, также является оптимальной траекторией.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить оптимальное управление  и оптимальную траекторию (экстремаль) из условия выполнения минимума (или максимума) функция …. (критерия)

     (7.1)

При заданных динамикой объекта управления уравнений

      (7.2)

или        (7.3)

и заданных краевых условиях ,  на интервале  при наличии ограничений , и может , где  – области допустимых значений переменных состояний объекта и управляющих воздействий.

В данном методе вводится вспомогательная функция S, называемая функцией Беллмана

     (7.4)

Дадим приращение по времени Δt. Тогда

     (7.5)

где ,  - вектор переменных (координат) объекта в момент .

Пусть 0, тогда с учетом выражения (7.5) получим

     (7.6)

Получаемая из (7.6) величина  определяется в соответствии с уравнениями (7.2) или (7.3) оптимальную траекторию .

Первое слагаемое в первой части выражения (7.6) с точностью до малых величин   …. Порядка  можно заменить приближенным выражением

   (7.7)

Второе слагаемое разложим в ряд Тейлора и ограничимся линейными слагаемыми относительно переменной .

  (7.8)

В соответствии с (7.2) точность для любых малых более высокого порядка

С учетом этого выражение (7.8) примет вид:

 (7.9)

На основании (7.6), (7.7) и (7.8) запишем

После деления всех членов на  и переходя к пределу 0 получим нелинейное уравнение Беллмана в частных производных

  (7.10)

При условиях ; ,

Оптимальное уравнение  определяется в результате решения уравнения (7.10), что в общем случае сделать достаточно сложно. Для внутренней области  условие (7.10) можно заменить уравнениями в частных производных

   (7.11)

Решая эту систему можно определить закон оптимального управления .

Для стационарного объекта управления в (7.11) можно представить в виде

   (7.12)

Пример: определим оптимальный закон управления для предыдущего примера методом динамического программирования:

    (П 7.1)

    (П 7.2)

или       (П 7.3)

где ; ; .

В соответствии с (7.12) для нашего случая будет:

   (П 7.4)

И условие минимума не управляющему воздействию (второе уравнение (7.11)) дает следующее уравнение:

    (П 7.5)

Из (П 7.5) следует

     (П 7.6)

После подстановки (П 7.6) в (П 7.4) получим

Из уравнения получим

   (П 7.7)

Подставляем значение  в (П 7.6) получим оптимальный закон управления

   (П 7.8)

где   – коэффициент обратной связи будет определятся, как

  (П 7.9)

Что совпадает с результатами, полученными в предыдущих примерах.

Наиболее эффективное применение динамического программирования при численном решении уравнения Беллмана. Для этого заменяем дифференциальные уравнения объекта управления (7.3) уравнениям в конечных разностях, т.е. дифференциальные уравнения  заменяем на разность  

    (П 7.9)

, k=1,2,…N – число временных …

Функционал (критерий оптимальности) примет вид

   (П 7.9)

На каждом интервале  считаем  - непостоянной величиной. Таким образом решая рекуррентные уравнения (7.13) находится значения оптимального уравнения на каждом значения оптимального уравнения на каждом интервале : , ,…,, также что  ,  и которые обеспечивают минимум функционала (7.14). при численном решении задача оптимизации на каждом участке решается в обратном порядке -  от конца к началу.

Графически вычислительную процедуру можно в виде пути, который проходит через точку, минимальных значений критерия (7.14) на рис 7.1 представлена оптимальная траектория (экстремаль) x(t). Величина x разбита на интервалы Δx и время t на интервалы Δt. В точках пересечения показаны численные значения приращения функционала ΔJ.

Рис. 7.1. Расчет оптимальной траектории x(t) по минимому приращения функционала.

Минимальное значение функционала достигается при движении по траектории, обозначается при движении по траектории, обозначенной сплошной строкой.


x

1,5

1,3

1,1

0,7

1,8

1,6

1,5

1,2

2,7

2,4

2,1

1,8

 0

 0

1,1

0,8

0,6

0,3

3,5

3,2

2,8

2,3

1,6

1,2

0,8

0,6

X5

Δx

X4

Δx

X3

Δx

X2

Δx

X1

Δx

t1

Δt

t2

Δt

t3

Δt

t4

Δt

t5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68872. ЗОВНІШНЬОЕКОНОМІЧНА ДІЯЛЬНІСТЬ ПІДПРИЄМСТВА 62 KB
  Зовнішньоекономічна діяльність підприємства може мати ряд напрямків повязаних з обміном товарів науковотехнічним співробітництвом спеціалізацією і кооперуванням наданням економічного і технічного сприяння створенню спільних підприємств фінансово-кредитними відносинами та іншими формами співробітництва.
68873. САНАЦІЯ І БАНКРУТСТВО ПІДПРИЄМСТВА 62 KB
  Банкрутство як елемент ринкових відносин стало реальністю української економіки. В економічно розвинутих країнах банкрутство (за винятком зловмисного) розглядають як нормальне явище господарського життя. За статистикою США близько 1% діючих у країні фірм щорічно стають банкрутами.
68876. ОРГАНІЗАЦІЯ ОСНОВНОГО ВИРОБНИЦТВА 127.5 KB
  Поняття і класифікація виробничих процесів Успішність діяльності будьякого підприємства залежить від ряду умов серед яких особливе місце належить організації виробництва. Під організацією виробництва розуміють сукупність методів раціонального поєднання процесів праці та матеріальних елементів...
68877. ПІДПРИЄМСТВО В СТРУКТУРІ НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ 100.5 KB
  Зміна організаційної структури правового поля призвела до введення в дію постановою ВР №424-IV від 16.01.2003р. Господарського кодексу, в якім зазначено, що підприємство – самостійний суб’єкт господарювання, створений компетентними органами державної влади або місцевого господарювання...
68878. ПРАВЛІННЯ ТА ПЛАНУВАННЯ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВА 91.5 KB
  Структура органів управління підприємством. Поняття принципи і методи управління промисловим виробництвом. Процес виробництва матеріальних благ вимагає двох видів праці: перший праця для створення матеріальних благ другий робота з координації першої праці тобто управління.
68879. ПЕРСОНАЛ ПІДПРИЄМСТВА ТА ПРОДУКТИВНІСТЬ ПРАЦІ 106 KB
  Якими б досконалими не були засоби виробництва, знаряддя праці, їх ефективне використання завжди залежатиме від головної виробничої сили – тих, хто працює. Кадри – це основний (штатний) склад працівників. Усі, хто працює, залежно від ступеня їх участі у виробничій діяльності...
68880. ОСНОВНІ ФОНДИ І ВИРОБНИЧІ ПОТУЖНОСТІ ПІДПРИЄМСТВА 142 KB
  Амортизація основних фондів підприємства. Поняття класифікація і структура основних виробничих фондів. Залежно від характеру участі основних фондів у процесі виробництва розрізняють основні виробничі та невиробничі фонди.