32231

Метод динамического программирования Р. Беллмана

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

6 величина определяется в соответствии с уравнениями 7.10 При условиях ; Оптимальное уравнение определяется в результате решения уравнения 7.10 можно заменить уравнениями в частных производных 7.4 получим Из уравнения получим П 7.

Русский

2013-09-04

1.14 MB

35 чел.

Лекция №7

Метод динамического программирования Р. Беллмана

В основу динамического программирования положен принцип оптимальности. Согласно этому принципу оптимальное уравнение определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент времени не зависимо от предыстории системы (как она попала в рассматриваемую точку). Это означает что для оптимальных траекторий каждый участок, связывающий любую промежуточную точку этой траектории с конечной точкой, также является оптимальной траекторией.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить оптимальное управление  и оптимальную траекторию (экстремаль) из условия выполнения минимума (или максимума) функция …. (критерия)

     (7.1)

При заданных динамикой объекта управления уравнений

      (7.2)

или        (7.3)

и заданных краевых условиях ,  на интервале  при наличии ограничений , и может , где  – области допустимых значений переменных состояний объекта и управляющих воздействий.

В данном методе вводится вспомогательная функция S, называемая функцией Беллмана

     (7.4)

Дадим приращение по времени Δt. Тогда

     (7.5)

где ,  - вектор переменных (координат) объекта в момент .

Пусть 0, тогда с учетом выражения (7.5) получим

     (7.6)

Получаемая из (7.6) величина  определяется в соответствии с уравнениями (7.2) или (7.3) оптимальную траекторию .

Первое слагаемое в первой части выражения (7.6) с точностью до малых величин   …. Порядка  можно заменить приближенным выражением

   (7.7)

Второе слагаемое разложим в ряд Тейлора и ограничимся линейными слагаемыми относительно переменной .

  (7.8)

В соответствии с (7.2) точность для любых малых более высокого порядка

С учетом этого выражение (7.8) примет вид:

 (7.9)

На основании (7.6), (7.7) и (7.8) запишем

После деления всех членов на  и переходя к пределу 0 получим нелинейное уравнение Беллмана в частных производных

  (7.10)

При условиях ; ,

Оптимальное уравнение  определяется в результате решения уравнения (7.10), что в общем случае сделать достаточно сложно. Для внутренней области  условие (7.10) можно заменить уравнениями в частных производных

   (7.11)

Решая эту систему можно определить закон оптимального управления .

Для стационарного объекта управления в (7.11) можно представить в виде

   (7.12)

Пример: определим оптимальный закон управления для предыдущего примера методом динамического программирования:

    (П 7.1)

    (П 7.2)

или       (П 7.3)

где ; ; .

В соответствии с (7.12) для нашего случая будет:

   (П 7.4)

И условие минимума не управляющему воздействию (второе уравнение (7.11)) дает следующее уравнение:

    (П 7.5)

Из (П 7.5) следует

     (П 7.6)

После подстановки (П 7.6) в (П 7.4) получим

Из уравнения получим

   (П 7.7)

Подставляем значение  в (П 7.6) получим оптимальный закон управления

   (П 7.8)

где   – коэффициент обратной связи будет определятся, как

  (П 7.9)

Что совпадает с результатами, полученными в предыдущих примерах.

Наиболее эффективное применение динамического программирования при численном решении уравнения Беллмана. Для этого заменяем дифференциальные уравнения объекта управления (7.3) уравнениям в конечных разностях, т.е. дифференциальные уравнения  заменяем на разность  

    (П 7.9)

, k=1,2,…N – число временных …

Функционал (критерий оптимальности) примет вид

   (П 7.9)

На каждом интервале  считаем  - непостоянной величиной. Таким образом решая рекуррентные уравнения (7.13) находится значения оптимального уравнения на каждом значения оптимального уравнения на каждом интервале : , ,…,, также что  ,  и которые обеспечивают минимум функционала (7.14). при численном решении задача оптимизации на каждом участке решается в обратном порядке -  от конца к началу.

Графически вычислительную процедуру можно в виде пути, который проходит через точку, минимальных значений критерия (7.14) на рис 7.1 представлена оптимальная траектория (экстремаль) x(t). Величина x разбита на интервалы Δx и время t на интервалы Δt. В точках пересечения показаны численные значения приращения функционала ΔJ.

Рис. 7.1. Расчет оптимальной траектории x(t) по минимому приращения функционала.

Минимальное значение функционала достигается при движении по траектории, обозначается при движении по траектории, обозначенной сплошной строкой.


x

1,5

1,3

1,1

0,7

1,8

1,6

1,5

1,2

2,7

2,4

2,1

1,8

 0

 0

1,1

0,8

0,6

0,3

3,5

3,2

2,8

2,3

1,6

1,2

0,8

0,6

X5

Δx

X4

Δx

X3

Δx

X2

Δx

X1

Δx

t1

Δt

t2

Δt

t3

Δt

t4

Δt

t5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9830. Происхождение восточных славян и проблемы становления древнерусского государственности 27.8 KB
  Происхождение восточных славян и проблемы становления древнерусского государственности Прежде чем ответить на вопрос о том, как сформировалось государство Российское, необходимо понять, кто такие славяне, откуда есть пошла Русская земля. Проблема пр...
9831. Российское общество в условиях форсирования модернизации начала 20 века: реформы Столыпина 24.55 KB
  Российское общество в условиях форсирования модернизации начала 20 века: реформы Столыпина. На рубеже XIX-XX веков Россия была великой мировой державой, территория которой занимала шестую часть земного шара, а население составляло около 130 млн. чел...
9832. Киевская Русь 9-11 веках особенности государственного строя и социально-политического развития 25.91 KB
  Киевская Русь 9-11 веках особенности государственного строя и социально-политического развития. В Киевской Руси, как и в других государствах Западной Европы, в X-XI веках начало складываться феодальное общество. Древнерусское государство было полиэт...
9833. Россия в первой мировой войне. Истоки общенационального кризиса. (1914-1917) 21.95 KB
  Россия в первой мировой войне. Истоки общенационального кризиса. (1914-1917). Наметившаяся после революции 1905-1907 гг. тенденция стабилизации общественной жизни не смогла в полной мере реализоваться не только из-за непоследовательности столыпински...
9834. Крещение Руси и его историческое значение 29.32 KB
  Крещение Руси и его историческое значение. Важнейшим событием в истории Древнерусского государства явилось принятие князем Владимиром христианства в его православном варианте. Для исторических исследований характерна общность взглядов на предпосылки...
9835. Советская модель модернизации: консервативная революция в экономике и становление нового хозяйственного механизма в 1930 годах 36.09 KB
  Советская модель модернизации: консервативная революция в экономике и становление нового хозяйственного механизма в 1930 годах. К весне 1921 г. советская республика оказалась в тяжелейшем кризисе. Внутриполитический кризис, проявился в возникновении...
9836. Политический распад Руси в 12 веке. Княжества - государства как различные модели развития общества 35.75 KB
  Политический распад Руси в 12 веке. Княжества – государства как различные модели развития общества. С рубежа XI-XII веков Русская земля вступает в полосу феодальной раздробленности, которая стала закономерным этапом в развитии раннесредневековый...
9837. Промышленный переворот в России 27.99 KB
  Промышленный переворот в России ХIХ век - время утверждения промышленного производства. Осуществление промышленного переворота являлось началом индустриальной цивилизации. Темпы, глубина технических преобразований в обществе зависели от политических...
9838. Монголо-татарское вторжение на Руси. Социально-политические изменения в русских землях в период ордынского владычества 29.9 KB
  Монголо-татарское вторжение на Руси. Социально-политические изменения в русских землях в период ордынского владычества. Древняя Русь в течение столетий противостояла набегам кочевников, но наиболее разорительным и губительным для русских земель стал...