32231

Метод динамического программирования Р. Беллмана

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

6 величина определяется в соответствии с уравнениями 7.10 При условиях ; Оптимальное уравнение определяется в результате решения уравнения 7.10 можно заменить уравнениями в частных производных 7.4 получим Из уравнения получим П 7.

Русский

2013-09-04

1.14 MB

32 чел.

Лекция №7

Метод динамического программирования Р. Беллмана

В основу динамического программирования положен принцип оптимальности. Согласно этому принципу оптимальное уравнение определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент времени не зависимо от предыстории системы (как она попала в рассматриваемую точку). Это означает что для оптимальных траекторий каждый участок, связывающий любую промежуточную точку этой траектории с конечной точкой, также является оптимальной траекторией.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить оптимальное управление  и оптимальную траекторию (экстремаль) из условия выполнения минимума (или максимума) функция …. (критерия)

     (7.1)

При заданных динамикой объекта управления уравнений

      (7.2)

или        (7.3)

и заданных краевых условиях ,  на интервале  при наличии ограничений , и может , где  – области допустимых значений переменных состояний объекта и управляющих воздействий.

В данном методе вводится вспомогательная функция S, называемая функцией Беллмана

     (7.4)

Дадим приращение по времени Δt. Тогда

     (7.5)

где ,  - вектор переменных (координат) объекта в момент .

Пусть 0, тогда с учетом выражения (7.5) получим

     (7.6)

Получаемая из (7.6) величина  определяется в соответствии с уравнениями (7.2) или (7.3) оптимальную траекторию .

Первое слагаемое в первой части выражения (7.6) с точностью до малых величин   …. Порядка  можно заменить приближенным выражением

   (7.7)

Второе слагаемое разложим в ряд Тейлора и ограничимся линейными слагаемыми относительно переменной .

  (7.8)

В соответствии с (7.2) точность для любых малых более высокого порядка

С учетом этого выражение (7.8) примет вид:

 (7.9)

На основании (7.6), (7.7) и (7.8) запишем

После деления всех членов на  и переходя к пределу 0 получим нелинейное уравнение Беллмана в частных производных

  (7.10)

При условиях ; ,

Оптимальное уравнение  определяется в результате решения уравнения (7.10), что в общем случае сделать достаточно сложно. Для внутренней области  условие (7.10) можно заменить уравнениями в частных производных

   (7.11)

Решая эту систему можно определить закон оптимального управления .

Для стационарного объекта управления в (7.11) можно представить в виде

   (7.12)

Пример: определим оптимальный закон управления для предыдущего примера методом динамического программирования:

    (П 7.1)

    (П 7.2)

или       (П 7.3)

где ; ; .

В соответствии с (7.12) для нашего случая будет:

   (П 7.4)

И условие минимума не управляющему воздействию (второе уравнение (7.11)) дает следующее уравнение:

    (П 7.5)

Из (П 7.5) следует

     (П 7.6)

После подстановки (П 7.6) в (П 7.4) получим

Из уравнения получим

   (П 7.7)

Подставляем значение  в (П 7.6) получим оптимальный закон управления

   (П 7.8)

где   – коэффициент обратной связи будет определятся, как

  (П 7.9)

Что совпадает с результатами, полученными в предыдущих примерах.

Наиболее эффективное применение динамического программирования при численном решении уравнения Беллмана. Для этого заменяем дифференциальные уравнения объекта управления (7.3) уравнениям в конечных разностях, т.е. дифференциальные уравнения  заменяем на разность  

    (П 7.9)

, k=1,2,…N – число временных …

Функционал (критерий оптимальности) примет вид

   (П 7.9)

На каждом интервале  считаем  - непостоянной величиной. Таким образом решая рекуррентные уравнения (7.13) находится значения оптимального уравнения на каждом значения оптимального уравнения на каждом интервале : , ,…,, также что  ,  и которые обеспечивают минимум функционала (7.14). при численном решении задача оптимизации на каждом участке решается в обратном порядке -  от конца к началу.

Графически вычислительную процедуру можно в виде пути, который проходит через точку, минимальных значений критерия (7.14) на рис 7.1 представлена оптимальная траектория (экстремаль) x(t). Величина x разбита на интервалы Δx и время t на интервалы Δt. В точках пересечения показаны численные значения приращения функционала ΔJ.

Рис. 7.1. Расчет оптимальной траектории x(t) по минимому приращения функционала.

Минимальное значение функционала достигается при движении по траектории, обозначается при движении по траектории, обозначенной сплошной строкой.


x

1,5

1,3

1,1

0,7

1,8

1,6

1,5

1,2

2,7

2,4

2,1

1,8

 0

 0

1,1

0,8

0,6

0,3

3,5

3,2

2,8

2,3

1,6

1,2

0,8

0,6

X5

Δx

X4

Δx

X3

Δx

X2

Δx

X1

Δx

t1

Δt

t2

Δt

t3

Δt

t4

Δt

t5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67136. Русская культура на переходе от средневековья к новому времени 32 KB
  Примечательно что в 17 веком появляется обличение лени пассивности уже приветствуется динамизм умение приспособиться к изменениям нового времени. Изменения этого времени было уже нельзя предотвратить. Это переходная эпоха к новому времени.
67137. Культурогенез. Научные и философские концепции культурогенеза 34 KB
  Вопросы происхождения культуры затрагивались многими историками и философами но первые научные исследования в этой области связаны с работами антропологами эволюционистов 19 века. Философский подход он опирается на первоначальный набор аксиом из которого путём умозаключений философ строит свою теорию культурогенеза.
67138. Михаил Юрьевич Лермонтов 1814 – 1841 37 KB
  Внешне он производил впечатление очень демонического героя который очень легко относился к своему дару. Биография Лермонтова биография человека очень трагическая. Лермонтов узнал и полюбил красоту русской природы былину об Иване Грозном предание о Степане Разине и Емельяне Пугачеве.
67139. Комфортные условия жизнедеятельности в техносфере 22.59 KB
  Техносфера – регион биосферы, в прошлом преобразованный людьми с помощью прямого или косвенного воздействия технических средств. Взаимодействие человека и техносферы. Человек и окружающая его среда (природная, производственная, городская, бытовая и др.) в процессе жизнедеятельности постоянно взаимодействуют друг с другом.
67140. Историческая школа. Инициатор Франс Боас (1856-1942) 31.5 KB
  Цель антропологии по его мнению состоит в реконструкции всей истории человечества при этом он говорит о том что существуют общие законы развития культуры но при этом он призывал к осторожности к их формулировке потому что культуры имеют собственную уникальную историю каждая культура индивидуальная.
67142. Грамматические категории 90 KB
  Грамматическое значение и грамматическая форма тесно связаны в грамматической категории (ГК). Этот факт не оспаривается никем, но определение ГК строится либо с опорой на форму, либо с опорой на грамматическое значение (ГЗ). Грамматическая категория (греч. katēgoria ‘суждение, определение’) – система противопоставленных друг другу рядов грамматических форм с однородными значениями
67143. Полисемия. Понятие моно- и полисемии 179 KB
  Изменение лексического значения Типы переноса наименования. Метонимия Расширение и сужение лексического значения Улучшение и ухудшение лексического значения Типы метафор и метонимий по закрепленности в системе языка и степени образности Развитие семантической структуры слова в разных языках...
67144. ПОЛІТИЧНА СИСТЕМА СУСПІЛЬСТВА 93.5 KB
  Сутність структура і функції політичної системи. Поняття політичної системи Сучасні суспільства являють собою складні системні утворення що складаються з декількох органічно пов'язаних між собою підсистем: економічної політичної культурної правової етнічної та ін.