32233

Синтез оптимального по быстродействию программного управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

3 Где уравнение динамики объекта управления Поскольку то максимум функции Н реализуется одновременно с максимумом функции: 9. Решим задачу определения оптимального по быстродействию программного управления на примере объекта второго порядка: .1 То структурная схема объекта представлена на рис. Структурная схема объекта управления В соответствии со структурной схемой на рис.

Русский

2013-09-04

211 KB

16 чел.

Лекция №9

Синтез оптимального по  быстродействию программного управления

Как уже отмечалось на практике  наиболее часто стоит задача синтеза регуляторов, оптимальных по быстродействию. Критерием оптимальности  является функционал (6.1), а именно:

                                 (9.1)

Эта задача имеет смысл только при учете ограничения управляющего воздействия (6.2): .

Решение этой задачи методом классического вариационного  исчисления связано с большими трудностями (см. лекцию №6). Поэтому наиболее подходящим  для этих целей является использование принципа максимума или динамического программирования.

Применим принцип максимума  для решения задачи о предельном быстродействии.

Из (9.1)    следует, что:

                                       (9.2)

Значит расширенная функция Гамильтона, согласно (6.17) будет:

,                        (9.3)

Где       -уравнение динамики объекта управления

Поскольку     ,

то максимум функции Н* реализуется одновременно с максимумом функции:

                              (9.4)

Дополнительные переменные определяются уравнениями Гамильтона (6.18):

                                 (9.5)

Необходимо найти такой закон оптимального управления  при ограничении (9.2), при котором  функция Гамильтона

                              

на отрезке времени 0.

Решим задачу определения  оптимального по быстродействию программного управления  на примере объекта второго порядка:

.   (п.9.1)

То структурная схема объекта представлена на рис. 9.1.

                       Рис.9.1. Структурная  схема объекта управления

В соответствии со структурной схемой на рис.9.1 запишем уравнение динамики объекта относительно переменных (координат) х1, х2.

                          (п.9.2)

где

Функция Гамильтона (9.3) будет:

  (п.9.3)

Уравнения Гамильтона (9.5):

                                   ,

поэтому примем

,       (п.9.4)

,   (п.9.5)

Из решения уравнения (п.9.4) определяем:

                         .                                             (п.9.6)

Из уравнения (п.9.5) с учетом  (п.9.6) получим:

.  (п.9.7)

Для определения , при  котором функция Н будет максимальна, составим функцию из слагаемых выражения (п.9.3), зависящих от u:

                                 (п.9.8)

Оптимальный закон управления определяется из максимального значения Н*, т.е. Н*m=H().

C учетом ограничения  на основе (9.8) получаем:

                               (п.9.9)

                                                   (п.9.10)

где                                                          (п.9.11)

Структурная схема разомкнутой системы,  состоящей из оптимального регулятора и объекта управления, представлена на рис 9.2.

Рис.9.2. Структурная схема разомкнутой  системы с релейным регулятором, оптимальная по быстродействию.

Из анализа выражения (п.9.11) следует, что функция  будет переключать реле  один раз с +um на -um ,т.е.  будет иметь два знакопостоянных   интервала (рис.9.3) .

Рис.9.3. Кривая оптимального по быстродействию переходного   процесса для объекта второго порядка

Тот же результат  был получен при решении задачи с помощью вариационного исчисления  с применением штрафной функции.

Моменты переключения  t1 и tк  определяются  из решения уравнения (п.9.2)  с учетом граничных условий по интервалам u= um  и u=- um .Затем эти интервалы отсекутся (метод решения уравнений припасовыванием).

В общем случае задача определения   оптимального программного управления по максимальному быстродействию на основе принципа максимума  решается по следующей методике.

Дано описание динамики объекта управления в координатах состояния:

,                                        (9.6)

где А – матрица коэффициентов, размерностью [nn],

В – входная матрица,  размерностью [nm],

X – “n”-мерный вектор переменных состояния объекта,

U- “m”-мерный вектор  управляющих воздействий

Заданы начальные условия:

Х(0)=Хн; Х(tк)=Хк и ограничения на управляющие воздействия:

               или , j=1,2…                          (9.7)

Критерий качества управления:

                                                                       (9.8)

Необходимо найти вектор , при котором время перехода tк состояния объекта из начального в конечное будет минимальным.

Запишем функцию Гамильтона с учетом, что ,

                          (9.9)

На основании (9.9)  упростим вид функции:

                        (9.10)

Максимальное значение  этой функции, т.к. , будет:

                                                (9.11)

при  на оптимальной траектории изменения состояния объекта.

Соотношения (9.10) и (9.11) вместе  с начальными и  конечными условиями образуют набор условий, достаточный для решения задачи.

Запишем в векторной форме сопряженные с уравнением динамики объекта (9.6) уравнения Гамильтона (9.5) для вспомогательных переменных:

                               (9.12)

Решая его, получим, что

                                        (9.13)

Где   

Представим входную матрицу в виде совокупности вектор-столбцов:

В=[b1,b2,...,bm]                                   (9.14)

С учетом (9.14) уравнение (9.6) примет вид:

               (9.15)

Для объекта  с одним управляющим воздействием

                                 (9.16)

Функция (9.10) с учетом  (9.15) будет:

 (9.17)

Для объекта (9.16)

                         (9.18)

Введем функцию:

, i=1,2,…,m               (9.19)

Из (9.17) выпишем слагаемые, зависящие от  управляющих воздействий:

              (9.20)

Для объекта (9.16):

                                       (9.21)

При этом  функции Н, Н*, Н** достигают максимума по U одновременно.

Следовательно, задача нахождения  сводится к определению

при             (9.23)

Эта функция линейно зависит  от  и поэтому достигает максимума на границе допустимой  области . Следовательно, условие оптимальности зависит только от знака (t).

, i=1,2,…,m              (9.24)

при условии, что (t)=0 в отдельные моменты t, называемые моментами переключения  с um на - um и обратно. Следовательно, оптимальный закон  изменения u(t) имеет  разрывный характер (рис. 9.4)

Рис.9.4. Изменение  в зависимости от (t).

Теорема об “n” интервалах

Уравнение (9.24) определяет качественный характер алгоритма управления оптимального по быстродействию.

Более точное представление  об особенностях этого алгоритма дает теорема об “n” интервалах.  Она  формулируется следующим образом:

Если объект управления  описывается дифференциальным уравнением “n” –ого порядка  все его корни действительные и отрицательные, или другими словами: матрица А имеет собственные числа  - действительные и отрицательные, тогда максимальное  число знакопостоянных интервалов управляющего воздействия не превосходит “n”, а число  переключений превосходит (n-1). На каждом интервале управляющее воздействие  имеет максимальную по амплитуде величину.

На рис. (9.5)  представлен график  для объекта 5-ого порядка.

Рис. 9.5. Изменение  для объекта 5-ого порядка.

Из условия (9.19) следует, что нули (t) зависят от решения , которые в некоординатной форме записываются следующим образом:

                               , i=1,2,…,n.

Отсюда 

, i=1,2,…,m,

где сij,cj – постоянные интегрирования, зависящие  от начальных условий , которые не известны. Поэтому теорема об “n” интервалах устанавливает только верхнюю границу числа интервалов. Анализ показывает, что функция  (t) (9.25) как сумма  “n” экстремумов имеет число нулей, т.е. число переключений , не более (n-1).

Следующей проблемой является определение моментов переключения .

Динамика объекта с одним управляющим воздействием (n=1) описывается уравнением (9.16). Решением этого уравнения при  будет:

,

где t1,t2,…,tn-1 – моменты переключения. Уравнение (9.26) решаем методом припасовывания, как правило, численно с помощью ЭВМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69743. Записи з варіантами 33 KB
  Іноді треба вводити в запис деяку інформацію, яка залежить від іншої інформації, що вже є в записі. Це зумовлює потребу введення додаткових полів, які залежать від значень інших полів. Комбінований тип допускає таку організацію даних, оскільки, крім фіксованої частини запису...
69744. Ієрархічні записи 36.5 KB
  Досі ми розглядали записи, у яких значення окремих полів були величинами простих типів або рядками. Проте в мові Паскаль значення поля може бути довільного типу, в тому числі записом. Наведемо приклад такого використання записів.
69745. Діапазонний тип 24 KB
  Однак може статися, що в програмі цій змінній буде присвоєне значення, що виходить за межі заданого інтервалу. Щоб контролювати ситуацію й уникати таких помилок, у мові Паскаль введено діапазонний тип, що передбачає визначення діапазону значень іншого попередньо заданого...
69746. Структурне програмування 35.5 KB
  Мета структурного програмування створювати програми чіткої структури тобто такі які можна було б без великих затрат розуміти супроводжувати і модифікувати без участі авторів оскільки на сучасному етапі затрати на супровід і модифікацію програм становлять...
69747. Перелічуваний тип 30.5 KB
  Стандартні типи змінних, як відомо, мають значення, що є елементами з підмножини цілих, дійсних чисел, логічних значень (true або false) або множини символів обчислювальної системи (наприклад ASCII). Проте часто доводиться стикатися з поняттями, які можуть набувати специфічних...
69748. Оператор безумовного переходу 24 KB
  Розглянутий умовний оператор if-then-else вибирає один з двох можливих напрямів виконання програми залежно від виконання умови. Інакше його називають оператором умовного переходу. В програмі може виникнути потреба перейти до ви конання деякого відрізка програми незалежно від жодної умови.
69749. Модуль Dos 21 KB
  Dos дозволяє обмінюватися інформацією з операційною системою. Системний час переривання стани параметрів оточення процедури обробки процесів робота з дисковим простором всім цим займається модуль Dos. Модуль Dos і WinDos Модулі Dos і WinDos реалізують численні процедури і функції...
69750. Параметри-змінні 25 KB
  Для того, щоб результат обчислень у тілі процедури зручно було використати в програмі, треба не фіксувати змінну, якій присвоюється одержане значення, а зробити її також параметром. Позначимо цю змінну, наприклад, res і введемо її в список формальних параметрів процедури.
69751. Принцип локалізації 38 KB
  Метод покрокової деталізації та апарат процедур якраз і дають змогу вести таку паралельну розробку програм. Створені часткові алгоритми подають у вигляді досить автономних частин програми - описів процедур, які потім достатньо вставити в розділ опису процедур і функцій програми.