32233

Синтез оптимального по быстродействию программного управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

3 Где уравнение динамики объекта управления Поскольку то максимум функции Н реализуется одновременно с максимумом функции: 9. Решим задачу определения оптимального по быстродействию программного управления на примере объекта второго порядка: .1 То структурная схема объекта представлена на рис. Структурная схема объекта управления В соответствии со структурной схемой на рис.

Русский

2013-09-04

211 KB

18 чел.

Лекция №9

Синтез оптимального по  быстродействию программного управления

Как уже отмечалось на практике  наиболее часто стоит задача синтеза регуляторов, оптимальных по быстродействию. Критерием оптимальности  является функционал (6.1), а именно:

                                 (9.1)

Эта задача имеет смысл только при учете ограничения управляющего воздействия (6.2): .

Решение этой задачи методом классического вариационного  исчисления связано с большими трудностями (см. лекцию №6). Поэтому наиболее подходящим  для этих целей является использование принципа максимума или динамического программирования.

Применим принцип максимума  для решения задачи о предельном быстродействии.

Из (9.1)    следует, что:

                                       (9.2)

Значит расширенная функция Гамильтона, согласно (6.17) будет:

,                        (9.3)

Где       -уравнение динамики объекта управления

Поскольку     ,

то максимум функции Н* реализуется одновременно с максимумом функции:

                              (9.4)

Дополнительные переменные определяются уравнениями Гамильтона (6.18):

                                 (9.5)

Необходимо найти такой закон оптимального управления  при ограничении (9.2), при котором  функция Гамильтона

                              

на отрезке времени 0.

Решим задачу определения  оптимального по быстродействию программного управления  на примере объекта второго порядка:

.   (п.9.1)

То структурная схема объекта представлена на рис. 9.1.

                       Рис.9.1. Структурная  схема объекта управления

В соответствии со структурной схемой на рис.9.1 запишем уравнение динамики объекта относительно переменных (координат) х1, х2.

                          (п.9.2)

где

Функция Гамильтона (9.3) будет:

  (п.9.3)

Уравнения Гамильтона (9.5):

                                   ,

поэтому примем

,       (п.9.4)

,   (п.9.5)

Из решения уравнения (п.9.4) определяем:

                         .                                             (п.9.6)

Из уравнения (п.9.5) с учетом  (п.9.6) получим:

.  (п.9.7)

Для определения , при  котором функция Н будет максимальна, составим функцию из слагаемых выражения (п.9.3), зависящих от u:

                                 (п.9.8)

Оптимальный закон управления определяется из максимального значения Н*, т.е. Н*m=H().

C учетом ограничения  на основе (9.8) получаем:

                               (п.9.9)

                                                   (п.9.10)

где                                                          (п.9.11)

Структурная схема разомкнутой системы,  состоящей из оптимального регулятора и объекта управления, представлена на рис 9.2.

Рис.9.2. Структурная схема разомкнутой  системы с релейным регулятором, оптимальная по быстродействию.

Из анализа выражения (п.9.11) следует, что функция  будет переключать реле  один раз с +um на -um ,т.е.  будет иметь два знакопостоянных   интервала (рис.9.3) .

Рис.9.3. Кривая оптимального по быстродействию переходного   процесса для объекта второго порядка

Тот же результат  был получен при решении задачи с помощью вариационного исчисления  с применением штрафной функции.

Моменты переключения  t1 и tк  определяются  из решения уравнения (п.9.2)  с учетом граничных условий по интервалам u= um  и u=- um .Затем эти интервалы отсекутся (метод решения уравнений припасовыванием).

В общем случае задача определения   оптимального программного управления по максимальному быстродействию на основе принципа максимума  решается по следующей методике.

Дано описание динамики объекта управления в координатах состояния:

,                                        (9.6)

где А – матрица коэффициентов, размерностью [nn],

В – входная матрица,  размерностью [nm],

X – “n”-мерный вектор переменных состояния объекта,

U- “m”-мерный вектор  управляющих воздействий

Заданы начальные условия:

Х(0)=Хн; Х(tк)=Хк и ограничения на управляющие воздействия:

               или , j=1,2…                          (9.7)

Критерий качества управления:

                                                                       (9.8)

Необходимо найти вектор , при котором время перехода tк состояния объекта из начального в конечное будет минимальным.

Запишем функцию Гамильтона с учетом, что ,

                          (9.9)

На основании (9.9)  упростим вид функции:

                        (9.10)

Максимальное значение  этой функции, т.к. , будет:

                                                (9.11)

при  на оптимальной траектории изменения состояния объекта.

Соотношения (9.10) и (9.11) вместе  с начальными и  конечными условиями образуют набор условий, достаточный для решения задачи.

Запишем в векторной форме сопряженные с уравнением динамики объекта (9.6) уравнения Гамильтона (9.5) для вспомогательных переменных:

                               (9.12)

Решая его, получим, что

                                        (9.13)

Где   

Представим входную матрицу в виде совокупности вектор-столбцов:

В=[b1,b2,...,bm]                                   (9.14)

С учетом (9.14) уравнение (9.6) примет вид:

               (9.15)

Для объекта  с одним управляющим воздействием

                                 (9.16)

Функция (9.10) с учетом  (9.15) будет:

 (9.17)

Для объекта (9.16)

                         (9.18)

Введем функцию:

, i=1,2,…,m               (9.19)

Из (9.17) выпишем слагаемые, зависящие от  управляющих воздействий:

              (9.20)

Для объекта (9.16):

                                       (9.21)

При этом  функции Н, Н*, Н** достигают максимума по U одновременно.

Следовательно, задача нахождения  сводится к определению

при             (9.23)

Эта функция линейно зависит  от  и поэтому достигает максимума на границе допустимой  области . Следовательно, условие оптимальности зависит только от знака (t).

, i=1,2,…,m              (9.24)

при условии, что (t)=0 в отдельные моменты t, называемые моментами переключения  с um на - um и обратно. Следовательно, оптимальный закон  изменения u(t) имеет  разрывный характер (рис. 9.4)

Рис.9.4. Изменение  в зависимости от (t).

Теорема об “n” интервалах

Уравнение (9.24) определяет качественный характер алгоритма управления оптимального по быстродействию.

Более точное представление  об особенностях этого алгоритма дает теорема об “n” интервалах.  Она  формулируется следующим образом:

Если объект управления  описывается дифференциальным уравнением “n” –ого порядка  все его корни действительные и отрицательные, или другими словами: матрица А имеет собственные числа  - действительные и отрицательные, тогда максимальное  число знакопостоянных интервалов управляющего воздействия не превосходит “n”, а число  переключений превосходит (n-1). На каждом интервале управляющее воздействие  имеет максимальную по амплитуде величину.

На рис. (9.5)  представлен график  для объекта 5-ого порядка.

Рис. 9.5. Изменение  для объекта 5-ого порядка.

Из условия (9.19) следует, что нули (t) зависят от решения , которые в некоординатной форме записываются следующим образом:

                               , i=1,2,…,n.

Отсюда 

, i=1,2,…,m,

где сij,cj – постоянные интегрирования, зависящие  от начальных условий , которые не известны. Поэтому теорема об “n” интервалах устанавливает только верхнюю границу числа интервалов. Анализ показывает, что функция  (t) (9.25) как сумма  “n” экстремумов имеет число нулей, т.е. число переключений , не более (n-1).

Следующей проблемой является определение моментов переключения .

Динамика объекта с одним управляющим воздействием (n=1) описывается уравнением (9.16). Решением этого уравнения при  будет:

,

где t1,t2,…,tn-1 – моменты переключения. Уравнение (9.26) решаем методом припасовывания, как правило, численно с помощью ЭВМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35604. Физика. Модели в механике 2.06 MB
  Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться т. Абсолютно твердым телом называется тело которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками или точнее между двумя частицами этого тела остается постоянным. Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Вращательное движение это движение при котором все точки тела движутся по окружностям центры которых лежат на одной и той же прямой называемой осью вращения.
35605. Магнитики из гипса. Мастер-класс 760 KB
  Мастеркласс Вы видите эти магнитики на холодильник А знаете из чего они Ответ прост: из гипса. Итак нам понадобится: гипс; собственно сами магниты; формы для отливки; акриловые краски; универсальный клей. Где всё это искать Гипс как и магниты можно найти в магазинах для рукоделия.
35606. Магнитики на холодильник 26.5 KB
  Магнитики на холодильник могут наклеиваться с практической целью чтобы например оставлять заметки на видном месте или научить ребенка читать или считать. В других случаях многочисленные магнитики могут рассказать о продуктах которые съели их хозяева или о местах где они побывали. Очень интересно будет смотреться если вы сделаете магнитики на холодильник своими руками. Это достаточно творческое развивающее фантазию занятие которое может превратить ваши магнитики на холодильник в поистине уникальные если можно так сказать дизайнерские...
35607. Магнітики на холодильник із гіпса 14.55 MB
  Перший етап роботи Спочатку потрібно підготувати місце для роботи і застилити стіл газетами і надіти фартух щоб не забруднитися. Розчин готовий Другий етап роботи Тепер можна заливати готовий розчин у формочки мишізмії та єнота. Третій етап роботи Минув день.
35608. Весна пришла 21.68 KB
  Дети смотрят на рабочий стол и выполняют просьбу учителя.Блок биография Дети выходят к доске и рассказывают стихотворение которое было задано в д з 2 Дети слушают биографию А. Дети следят за учителем и выделяют незнакомые слова. Далее дети разбирают незнакомые слова.
35609. Проект «Творческая весна» 35.5 KB
  Развитие творчества и любознательности детей является весьма актуальной темой в период обучения. формирование уважительного отношения к одноклассникам Воспитательные способствование установлению доброжелательных взаимоотношений между участниками образовательного процесса воспитание самостоятельности аккуратности развитие навыков сотрудничества между одноклассниками развитие художественного вкуса детей Развивающие развитие у школьников черт культурной личности: оценивать художественные произведения музыкальные и литературные ...
35610. Новогодняя игрушка. Творческий проект 25.18 KB
  Нитки Шарики Клей ПВА Технологический процесс. Затем шерстяные нитки обмочим в клее ПВА и начинаем наматывать на шарик. Смачиваем шерстяные нитки в клее ПВА. Затем аккуратно начинаем наматывать на шарик нитки.
35612. Ассоль. (техника- вышивка гладью) 384.5 KB
  Правила безопасности во время работы Во время работы ножницы должны лежать справа на столе с сомкнутыми лезвиями кольцами к работающему. Брать и передавать ножницы нужно сомкнутыми лезвиями к себе кольцами вперёд. Иглы булавки ножницы наперсток хранят в специальной шкатулке с крышкой. Выравнивание краев ткани Ткань размером 30x40 Измерение Линейка карандаш ножницы.