32233

Синтез оптимального по быстродействию программного управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

3 Где уравнение динамики объекта управления Поскольку то максимум функции Н реализуется одновременно с максимумом функции: 9. Решим задачу определения оптимального по быстродействию программного управления на примере объекта второго порядка: .1 То структурная схема объекта представлена на рис. Структурная схема объекта управления В соответствии со структурной схемой на рис.

Русский

2013-09-04

211 KB

16 чел.

Лекция №9

Синтез оптимального по  быстродействию программного управления

Как уже отмечалось на практике  наиболее часто стоит задача синтеза регуляторов, оптимальных по быстродействию. Критерием оптимальности  является функционал (6.1), а именно:

                                 (9.1)

Эта задача имеет смысл только при учете ограничения управляющего воздействия (6.2): .

Решение этой задачи методом классического вариационного  исчисления связано с большими трудностями (см. лекцию №6). Поэтому наиболее подходящим  для этих целей является использование принципа максимума или динамического программирования.

Применим принцип максимума  для решения задачи о предельном быстродействии.

Из (9.1)    следует, что:

                                       (9.2)

Значит расширенная функция Гамильтона, согласно (6.17) будет:

,                        (9.3)

Где       -уравнение динамики объекта управления

Поскольку     ,

то максимум функции Н* реализуется одновременно с максимумом функции:

                              (9.4)

Дополнительные переменные определяются уравнениями Гамильтона (6.18):

                                 (9.5)

Необходимо найти такой закон оптимального управления  при ограничении (9.2), при котором  функция Гамильтона

                              

на отрезке времени 0.

Решим задачу определения  оптимального по быстродействию программного управления  на примере объекта второго порядка:

.   (п.9.1)

То структурная схема объекта представлена на рис. 9.1.

                       Рис.9.1. Структурная  схема объекта управления

В соответствии со структурной схемой на рис.9.1 запишем уравнение динамики объекта относительно переменных (координат) х1, х2.

                          (п.9.2)

где

Функция Гамильтона (9.3) будет:

  (п.9.3)

Уравнения Гамильтона (9.5):

                                   ,

поэтому примем

,       (п.9.4)

,   (п.9.5)

Из решения уравнения (п.9.4) определяем:

                         .                                             (п.9.6)

Из уравнения (п.9.5) с учетом  (п.9.6) получим:

.  (п.9.7)

Для определения , при  котором функция Н будет максимальна, составим функцию из слагаемых выражения (п.9.3), зависящих от u:

                                 (п.9.8)

Оптимальный закон управления определяется из максимального значения Н*, т.е. Н*m=H().

C учетом ограничения  на основе (9.8) получаем:

                               (п.9.9)

                                                   (п.9.10)

где                                                          (п.9.11)

Структурная схема разомкнутой системы,  состоящей из оптимального регулятора и объекта управления, представлена на рис 9.2.

Рис.9.2. Структурная схема разомкнутой  системы с релейным регулятором, оптимальная по быстродействию.

Из анализа выражения (п.9.11) следует, что функция  будет переключать реле  один раз с +um на -um ,т.е.  будет иметь два знакопостоянных   интервала (рис.9.3) .

Рис.9.3. Кривая оптимального по быстродействию переходного   процесса для объекта второго порядка

Тот же результат  был получен при решении задачи с помощью вариационного исчисления  с применением штрафной функции.

Моменты переключения  t1 и tк  определяются  из решения уравнения (п.9.2)  с учетом граничных условий по интервалам u= um  и u=- um .Затем эти интервалы отсекутся (метод решения уравнений припасовыванием).

В общем случае задача определения   оптимального программного управления по максимальному быстродействию на основе принципа максимума  решается по следующей методике.

Дано описание динамики объекта управления в координатах состояния:

,                                        (9.6)

где А – матрица коэффициентов, размерностью [nn],

В – входная матрица,  размерностью [nm],

X – “n”-мерный вектор переменных состояния объекта,

U- “m”-мерный вектор  управляющих воздействий

Заданы начальные условия:

Х(0)=Хн; Х(tк)=Хк и ограничения на управляющие воздействия:

               или , j=1,2…                          (9.7)

Критерий качества управления:

                                                                       (9.8)

Необходимо найти вектор , при котором время перехода tк состояния объекта из начального в конечное будет минимальным.

Запишем функцию Гамильтона с учетом, что ,

                          (9.9)

На основании (9.9)  упростим вид функции:

                        (9.10)

Максимальное значение  этой функции, т.к. , будет:

                                                (9.11)

при  на оптимальной траектории изменения состояния объекта.

Соотношения (9.10) и (9.11) вместе  с начальными и  конечными условиями образуют набор условий, достаточный для решения задачи.

Запишем в векторной форме сопряженные с уравнением динамики объекта (9.6) уравнения Гамильтона (9.5) для вспомогательных переменных:

                               (9.12)

Решая его, получим, что

                                        (9.13)

Где   

Представим входную матрицу в виде совокупности вектор-столбцов:

В=[b1,b2,...,bm]                                   (9.14)

С учетом (9.14) уравнение (9.6) примет вид:

               (9.15)

Для объекта  с одним управляющим воздействием

                                 (9.16)

Функция (9.10) с учетом  (9.15) будет:

 (9.17)

Для объекта (9.16)

                         (9.18)

Введем функцию:

, i=1,2,…,m               (9.19)

Из (9.17) выпишем слагаемые, зависящие от  управляющих воздействий:

              (9.20)

Для объекта (9.16):

                                       (9.21)

При этом  функции Н, Н*, Н** достигают максимума по U одновременно.

Следовательно, задача нахождения  сводится к определению

при             (9.23)

Эта функция линейно зависит  от  и поэтому достигает максимума на границе допустимой  области . Следовательно, условие оптимальности зависит только от знака (t).

, i=1,2,…,m              (9.24)

при условии, что (t)=0 в отдельные моменты t, называемые моментами переключения  с um на - um и обратно. Следовательно, оптимальный закон  изменения u(t) имеет  разрывный характер (рис. 9.4)

Рис.9.4. Изменение  в зависимости от (t).

Теорема об “n” интервалах

Уравнение (9.24) определяет качественный характер алгоритма управления оптимального по быстродействию.

Более точное представление  об особенностях этого алгоритма дает теорема об “n” интервалах.  Она  формулируется следующим образом:

Если объект управления  описывается дифференциальным уравнением “n” –ого порядка  все его корни действительные и отрицательные, или другими словами: матрица А имеет собственные числа  - действительные и отрицательные, тогда максимальное  число знакопостоянных интервалов управляющего воздействия не превосходит “n”, а число  переключений превосходит (n-1). На каждом интервале управляющее воздействие  имеет максимальную по амплитуде величину.

На рис. (9.5)  представлен график  для объекта 5-ого порядка.

Рис. 9.5. Изменение  для объекта 5-ого порядка.

Из условия (9.19) следует, что нули (t) зависят от решения , которые в некоординатной форме записываются следующим образом:

                               , i=1,2,…,n.

Отсюда 

, i=1,2,…,m,

где сij,cj – постоянные интегрирования, зависящие  от начальных условий , которые не известны. Поэтому теорема об “n” интервалах устанавливает только верхнюю границу числа интервалов. Анализ показывает, что функция  (t) (9.25) как сумма  “n” экстремумов имеет число нулей, т.е. число переключений , не более (n-1).

Следующей проблемой является определение моментов переключения .

Динамика объекта с одним управляющим воздействием (n=1) описывается уравнением (9.16). Решением этого уравнения при  будет:

,

где t1,t2,…,tn-1 – моменты переключения. Уравнение (9.26) решаем методом припасовывания, как правило, численно с помощью ЭВМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33041. Финансовые рынки и финансовые посредники: понятие, виды, функции 53 KB
  Финансовый рынок представляет собой сферу реализации финансовых активов и экономических отношений возникающих между продавцами и покупателями этих активов. Функции финансового рынка: Реализация стоимости и потребительной стоимости заключённой в финансовых активах. Организация процесса доведения финансовых активов до потребителей Финансовое обеспечение процессов инвестирования и потребления Воздействие на денежное обращение В процессе выполнения финансовым рынком 1й функции Реализация стоимости и потребительной стоимости...
33042. Финансовый механизм: понятие, цель и задачи, структура 49 KB
  Цель финансового механизма в обеспечении эффективного функционирования финансовой системы. Задачи финансового механизма: обеспечение стабильного кругооборота финансовых ресурсов; обеспечение перераспределения финансовых ресурсов в соответствии с потребностями отдельных субъектов хозяйствования; уменьшение риска потерь финансовых ресурсов субъектами хозяйствования. Организационная функция финансового механизма направлена на организацию финансовых отношений как объекта управления т. Управленческая функция финансового механизма...
33043. Органы управления финансами в РФ: перечень, характеристика. Особенности реформы государственного управления 2004г 109.5 KB
  Функции органов представительной власти Президента РФ И Центрального Банка в области регулирования финансов. Структура и функции органов власти осуществляющих управление финансами в условиях реализации административной реформы претерпели существенные изменения. Функции этих органов разделены на четыре вида: нормотворческая контроль и надзор: управление государственным имуществом; оказание государственных услуг. В систему федеральных органов исполнительной власти входят федеральные министерства федеральные службы и федеральные...
33044. Министерство финансов РФ: цели и задачи деятельности 45 KB
  К основным задачам Министерства финансов РФ относятся: совершенствование бюджетной системы и развитие бюджетного федерализма; разработка и реализация единой финансовой бюджетной налоговой и валютной политики в РФ; концентрация финансовых ресурсов на приоритетных направлениях социальноэкономического развития; разработка проекта федерального бюджета и обеспечение исполнения федерального бюджета; составление отчета об исполнении федерального бюджета и консолидированного бюджета РФ; разработка программ государственных...
33045. Финансовая политика: понятие , задачи, содержание, структура. Взаимосвязь финансовой политики и социально-экономической политики государства. Содержание и особенности финансовой политики в 2013 г 35.88 KB
  Взаимосвязь финансовой политики и социальноэкономической политики государства. Содержание и особенности финансовой политики в 2013 г. Задачи финансовой политики: обеспечение условий для формирования максимально возможных финансовых ресурсов; рациональное распределение и использование финансовых ресурсов; организация регулирования и стимулирования экономических и социальных процессов финансовыми методами; создание эффективной системы управления финансами. В разработке финансовой политики участвуют законодательные Гос.
33046. Сущность финансового планирования и прогнозирования. Современные подходы и методы финансового планирования при разработке среднесрочных финансовых планов 33 KB
  Сущность финансового планирования и прогнозирования. Современные подходы и методы финансового планирования при разработке среднесрочных финансовых планов. Назначение и сущность финансового планирования заключается в определении общих направлений деятельности предприятия главных целей и основных способов их достижения предприятием. Конечным результатом финансового планирования является составление финансового плана.
33047. Финансовый контроль: понятие, цели, субъектный состав, формы, методы 38.5 KB
  Финансовый контроль: понятие цели субъектный состав формы методы. Финансовый контроль как и планирование является важнейшим показателем управления финансами. Государственный финансовый контроль вневедомственный ведомственный 2. Негосударственный финансовый контроль.
33048. Государственный финансовый контроль: Понятие, принципы, органы управления 40 KB
  Государственный финансовый контроль это установленная законодательством деятельность органов государственной власти и управления всех уровней по выявлению предупреждению и пресечению: ошибок и злоупотреблений в управлении государственными денежными и иными материальными ресурсами капиталами а также используемыми в хозяйственной деятельности и отчуждаемыми нематериальными объектами государственной собственности влекущих прямой или косвенный финансовый и или материальный ущерб государству; несоблюдения финансовохозяйственного в том...
33049. Государственные финансы: понятие, структура (федеральные финансы, финансы субъектов федерации) 28.5 KB
  Государственные финансы: понятие структура федеральные финансы финансы субъектов федерации. Государственные финансы являются составной частью общей финансовой систем и являются инструментом мобилизации средств всех секторов экономики для проведения государственной внутренней и внешней политики. Государственные финансы представляют собой единый комплекс финансовых операций органов государственного управления с помощью которого аккумулируются денежные средства и осуществляются денежные расходы. Государственные финансы – это система денежных...