32233

Синтез оптимального по быстродействию программного управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

3 Где уравнение динамики объекта управления Поскольку то максимум функции Н реализуется одновременно с максимумом функции: 9. Решим задачу определения оптимального по быстродействию программного управления на примере объекта второго порядка: .1 То структурная схема объекта представлена на рис. Структурная схема объекта управления В соответствии со структурной схемой на рис.

Русский

2013-09-04

211 KB

16 чел.

Лекция №9

Синтез оптимального по  быстродействию программного управления

Как уже отмечалось на практике  наиболее часто стоит задача синтеза регуляторов, оптимальных по быстродействию. Критерием оптимальности  является функционал (6.1), а именно:

                                 (9.1)

Эта задача имеет смысл только при учете ограничения управляющего воздействия (6.2): .

Решение этой задачи методом классического вариационного  исчисления связано с большими трудностями (см. лекцию №6). Поэтому наиболее подходящим  для этих целей является использование принципа максимума или динамического программирования.

Применим принцип максимума  для решения задачи о предельном быстродействии.

Из (9.1)    следует, что:

                                       (9.2)

Значит расширенная функция Гамильтона, согласно (6.17) будет:

,                        (9.3)

Где       -уравнение динамики объекта управления

Поскольку     ,

то максимум функции Н* реализуется одновременно с максимумом функции:

                              (9.4)

Дополнительные переменные определяются уравнениями Гамильтона (6.18):

                                 (9.5)

Необходимо найти такой закон оптимального управления  при ограничении (9.2), при котором  функция Гамильтона

                              

на отрезке времени 0.

Решим задачу определения  оптимального по быстродействию программного управления  на примере объекта второго порядка:

.   (п.9.1)

То структурная схема объекта представлена на рис. 9.1.

                       Рис.9.1. Структурная  схема объекта управления

В соответствии со структурной схемой на рис.9.1 запишем уравнение динамики объекта относительно переменных (координат) х1, х2.

                          (п.9.2)

где

Функция Гамильтона (9.3) будет:

  (п.9.3)

Уравнения Гамильтона (9.5):

                                   ,

поэтому примем

,       (п.9.4)

,   (п.9.5)

Из решения уравнения (п.9.4) определяем:

                         .                                             (п.9.6)

Из уравнения (п.9.5) с учетом  (п.9.6) получим:

.  (п.9.7)

Для определения , при  котором функция Н будет максимальна, составим функцию из слагаемых выражения (п.9.3), зависящих от u:

                                 (п.9.8)

Оптимальный закон управления определяется из максимального значения Н*, т.е. Н*m=H().

C учетом ограничения  на основе (9.8) получаем:

                               (п.9.9)

                                                   (п.9.10)

где                                                          (п.9.11)

Структурная схема разомкнутой системы,  состоящей из оптимального регулятора и объекта управления, представлена на рис 9.2.

Рис.9.2. Структурная схема разомкнутой  системы с релейным регулятором, оптимальная по быстродействию.

Из анализа выражения (п.9.11) следует, что функция  будет переключать реле  один раз с +um на -um ,т.е.  будет иметь два знакопостоянных   интервала (рис.9.3) .

Рис.9.3. Кривая оптимального по быстродействию переходного   процесса для объекта второго порядка

Тот же результат  был получен при решении задачи с помощью вариационного исчисления  с применением штрафной функции.

Моменты переключения  t1 и tк  определяются  из решения уравнения (п.9.2)  с учетом граничных условий по интервалам u= um  и u=- um .Затем эти интервалы отсекутся (метод решения уравнений припасовыванием).

В общем случае задача определения   оптимального программного управления по максимальному быстродействию на основе принципа максимума  решается по следующей методике.

Дано описание динамики объекта управления в координатах состояния:

,                                        (9.6)

где А – матрица коэффициентов, размерностью [nn],

В – входная матрица,  размерностью [nm],

X – “n”-мерный вектор переменных состояния объекта,

U- “m”-мерный вектор  управляющих воздействий

Заданы начальные условия:

Х(0)=Хн; Х(tк)=Хк и ограничения на управляющие воздействия:

               или , j=1,2…                          (9.7)

Критерий качества управления:

                                                                       (9.8)

Необходимо найти вектор , при котором время перехода tк состояния объекта из начального в конечное будет минимальным.

Запишем функцию Гамильтона с учетом, что ,

                          (9.9)

На основании (9.9)  упростим вид функции:

                        (9.10)

Максимальное значение  этой функции, т.к. , будет:

                                                (9.11)

при  на оптимальной траектории изменения состояния объекта.

Соотношения (9.10) и (9.11) вместе  с начальными и  конечными условиями образуют набор условий, достаточный для решения задачи.

Запишем в векторной форме сопряженные с уравнением динамики объекта (9.6) уравнения Гамильтона (9.5) для вспомогательных переменных:

                               (9.12)

Решая его, получим, что

                                        (9.13)

Где   

Представим входную матрицу в виде совокупности вектор-столбцов:

В=[b1,b2,...,bm]                                   (9.14)

С учетом (9.14) уравнение (9.6) примет вид:

               (9.15)

Для объекта  с одним управляющим воздействием

                                 (9.16)

Функция (9.10) с учетом  (9.15) будет:

 (9.17)

Для объекта (9.16)

                         (9.18)

Введем функцию:

, i=1,2,…,m               (9.19)

Из (9.17) выпишем слагаемые, зависящие от  управляющих воздействий:

              (9.20)

Для объекта (9.16):

                                       (9.21)

При этом  функции Н, Н*, Н** достигают максимума по U одновременно.

Следовательно, задача нахождения  сводится к определению

при             (9.23)

Эта функция линейно зависит  от  и поэтому достигает максимума на границе допустимой  области . Следовательно, условие оптимальности зависит только от знака (t).

, i=1,2,…,m              (9.24)

при условии, что (t)=0 в отдельные моменты t, называемые моментами переключения  с um на - um и обратно. Следовательно, оптимальный закон  изменения u(t) имеет  разрывный характер (рис. 9.4)

Рис.9.4. Изменение  в зависимости от (t).

Теорема об “n” интервалах

Уравнение (9.24) определяет качественный характер алгоритма управления оптимального по быстродействию.

Более точное представление  об особенностях этого алгоритма дает теорема об “n” интервалах.  Она  формулируется следующим образом:

Если объект управления  описывается дифференциальным уравнением “n” –ого порядка  все его корни действительные и отрицательные, или другими словами: матрица А имеет собственные числа  - действительные и отрицательные, тогда максимальное  число знакопостоянных интервалов управляющего воздействия не превосходит “n”, а число  переключений превосходит (n-1). На каждом интервале управляющее воздействие  имеет максимальную по амплитуде величину.

На рис. (9.5)  представлен график  для объекта 5-ого порядка.

Рис. 9.5. Изменение  для объекта 5-ого порядка.

Из условия (9.19) следует, что нули (t) зависят от решения , которые в некоординатной форме записываются следующим образом:

                               , i=1,2,…,n.

Отсюда 

, i=1,2,…,m,

где сij,cj – постоянные интегрирования, зависящие  от начальных условий , которые не известны. Поэтому теорема об “n” интервалах устанавливает только верхнюю границу числа интервалов. Анализ показывает, что функция  (t) (9.25) как сумма  “n” экстремумов имеет число нулей, т.е. число переключений , не более (n-1).

Следующей проблемой является определение моментов переключения .

Динамика объекта с одним управляющим воздействием (n=1) описывается уравнением (9.16). Решением этого уравнения при  будет:

,

где t1,t2,…,tn-1 – моменты переключения. Уравнение (9.26) решаем методом припасовывания, как правило, численно с помощью ЭВМ.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46551. Система планов на предприятии и их взаимосвязь 41 KB
  ехнико-экономическое планирование предусматривает разработку целостной системы показателей развития техники и экономики предприятия в их единстве и взаимозависимости как по месту, так и по времени действия. В ходе данного этапа планирования обосновываются оптимальные объемы производства на основе учета взаимодействия спроса и предложения на продукцию и услуги
46552. Основные закономерности изнашивания. Работоспособность деталей и узлов машин 19.89 KB
  Виды изнашивания в машинах Механическое изнашивание изнашивание в результате механических воздействий. Абразивное изнашивание механическое изнашивание материала в результате режущего или царапающего действия твердых тел или частиц. Абразивная эрозия гидро и газоабразивное изнашивание основной вид изнашивания деталей насосов трубопроводов арматуры дымососов вентиляторов эжекторов пескоструйныхаппаратов в результате воздействия твердых тел или частиц увлекаемых потоком жидкости или газа. Усталостное изнашивание часто является...
46553. Смазочные материалы. Назначение. Классификация. Основные параметры и свойства смазочных материалов 22.23 KB
  Полутвёрдыми полужидкими расплавленные металлы солидолы консталины и др жидкими автомобильные и другие машинные масла газообразными углекислый газ азот инертные газы. Растительные масла получают путем переработки семян определенных растений. животные масла вырабатывают из животных жиров баранье и говяжье сало технический рыбий жир костное и спермацетовые масла и др. органические масла по сравнению с нефтяными обладают более высокими смазывающими свойствами и более низкой термической устойчивостью.
46554. THE ADVERB 19.95 KB
  The adverb is a word denoting circumstances or characteristics which attend or modify an action, state, or quality. It may also intensify a quality or characteristics From this definition it is difficult to define dverbs s clss becuse they comprise most heterogeneous group of words nd there is considerble overlp between the clss nd other word clsses. longside such undoubtful dverbs s here now often seldom lwys there re mny others which lso function s words of other clsses. Thus dverbs like ded ded tired cler to get cler wy clen I've clen forgotten slow esy he would sy tht slow nd esy coincide with corresponding djectives ded body cler wters clen hnds. dverbs like pst bove re...
46555. Система Управления БД 19.99 KB
  БД это именованная совокупность данных отражающая состояние объектов и их отношений в заданной предметной области. Банк данных является современной формой организации хранения и доступа к информации. Банк данных это система специальным образом организованных данных баз данных программных технических языковых организационнометодических средств предназначенных для обеспечения централизованного накопления и коллективного многоцелевого использования данных. Банк данных является сложной системой включающей в себя все обеспечивающие...
46556. Затратный подход к оценке предприятия 20.02 KB
  Суть данного подхода заключается в том что сначала оцениваются и суммируются все активы предприятия нематериальные активы здания машины оборудование запасы дебиторская задолженность финансовые вложения и т. Далее из полученной суммы вычитают текущую стоимость обязательств предприятия. Итоговая величина показывает стоимость собственного капитала предприятия.
46557. Природопользование 20.05 KB
  Предусмотренная лесным законодательством система мер направленных на организацию рационального использования и воспроизводство лесов их охрану от загрязнения истощения и уничтожения защиту от пожаров вредителей и болезней образует понятие правовой охраны лесов. Охрана и защита лесов осуществляется лесхозами государственной лесной охраной базами авиационной охраны лесов и другими организациями лесного хозяйства. Экологические требования и меры входящие в содержание правовой охраны лесов адресованы всем субъектам: организациям ведущим...
46558. Реструктуризация и реорганизация предприятия 20.06 KB
  Виды реструктуризации Реструктуризация зависящая от целевых установок и стратегии предприятия может быть оперативной или стратегической. Частичная реструктуризация вносит изменения лишь в один или несколько элементов предприятия. Направления реструктуризации предприятия Выбор конкретных видов реструктурирования зависит от конкретных внутренних возможностей и интересов самого предприятия а также от внешних условий характеризующих данную ситуацию.
46559. Стратегии социально – экономического развития экономики: процессы модернизации и инновационного развития 20.08 KB
  Базой успешной экономической стратегии государств и ключевым ресурсом общества становятся знания и интеллект информация и инновации человеческий и интеллектуальный потенциал формируемые главным образом через систему подготовки кадров. Инновации могут быть признаны таковыми если они прямо или косвенно становится фактором экономического роста. Прямо когда инновации становятся торгуемыми товарами и услугами. Косвенно когда инновации воплощены в конструкции товаров технологии их изготовления квалификации работников факторы роста труд...