32235

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Задана динамика объекта управления: ; 1 или 1 где А=[nn] коэффициентная матрица динамики объекта B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий xiн=xi0 xiк=xitк – граничные условия. Критерий...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

147 чел.

Лекция №12

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Как было определено ранее, синтез замкнутой САУ по квадратичному интегральному критерию дает регулятор в виде линейных обратных связей по координатам состояния объекта управления.

Ввиду простоты реализации такого регулятора  и универсальности квадратичного критерия оптимальности, т.к. он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие, данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Оптимальный регулятор получается  аналитическим решением задачи оптимизации, и поэтому данная методика синтеза получила название -  аналитическое конструирование регуляторов (АКОР).

Рассмотрим аналитическое конструирование регулятора в общем виде.

Задана динамика объекта управления:

;                                           (1)

или

,                            (1*)

где А=[nn] -  коэффициентная  матрица динамики объекта,

B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий,

xiн=xi(0), xiк=xi(tк) – граничные условия.

Критерий оптимальности:

,                       (2)

где Q=[nn]; R[nm] – матрицы коэффициентов, определяющие величины ограничений отклонений переменных состояний (координат) объекта управления и расход энергии в переходящих процессах.

С учетом (1*) критерий (2) можно представить в следующем виде:

.                   (2*)

Необходимо найти оптимальный закон управления или управление регулятора для оптимальной замкнутой САУ.

Для решения задачи используем принцип максимума.

Составим функцию Гамильтона:

          (3)

Известно, что .

Следовательно:

.            (4)

Вспомогательные функции определяются из уравнений:

,    (i=1,2,…,n)                               (5)

или в векторной форме:

.                                                     (5*)

Выражение (5*) на основании (4) дает следующую зависимость:

.                                                (6)

Для определения экстремального значения функции Н по управляющим воздействиям U найдем, что:

.                                         (7)

Из (7)  следует, что:

                     .

Следовательно

.                                                     (8)

Вспомогательные функции  будем искать в виде линейной зависимости:

.                                                         (9)

Из (9) следует, что:

.                                           (10)

Кроме того, с учетом (8)  управление динамики объекта (1) можно представить в виде:

.                                     (11)

Добавив к этому уравнению сопряженное уравнение (6), получим систему:

.                                   (12)

Подставив в уравнение (10) значения производных из системы (12) и сделав очевидные преобразования, получим:

                       

Откуда:

                  (13)

Для стационарной системы .

Следовательно:

.                       (14)

Выражения (13) и (14) получили название – нелинейные матричные уравнения Риккати.

Для определения выражения для определения оптимального управления подставим значение  из (9) в (8).

В результате получим:

,                                          (15)

где R – берется из интегрального критерия, а К – определяется из решения уравнения (14).

Подставив выражение (15) в уравнение динамики объекта (1) получим уравнение, описывающее оптимальное изменение состояния объекта под действием Uопт:

.                                   (16)

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ в матричном виде представлена на рис.1.

Рис.1. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ. Обозначено ОУ – объект управления, ОР – оптимальный регулятор.

Таким образом, в результате синтеза получим оптимальный регулятор ОР, который представляет сумму пропорциональных обратных связей по всем переменным состояния (координатам) объекта управления (см.рис.1). Величины коэффициентов обратных связей определяются из решения уравнения Риккати (14).

Пример 1.

Приведенная функция объекта управления:

,

или

,

где

Критерий оптимальности:

.

В этом случае уравнение Риккати (14) примет вид (А=а, B=b, C=1)

,

или

.

где .

Решение этого уравнения дает следующую зависимость:

Следовательно:

Структурная схема оптимальной САУ представлена на рис. 2.

                         

Рис.2. Структурная схема  оптимальной по квадратичному интегральному критерию САУ с объектом первого порядка

Пример 2.

Объект второго порядка:

или

,                                    (п.2.1)

где                       (п.2.2)

а критерий оптимальности:

,

где .

Т.е.

.

Запишем уравнения Риккати:

(п.2.3)         

Матричное уравнение (п.2.3) дает уравнения:

                                      (п.2.4)

Решение  алгебраических уравнений (п.2.4)   с учетом положительной определенности матрицы К:

, и что всегда К1221 дает  следующий результат:

.       (п.2.5)

В соответствии с выражением (15) матрица коэффициентов обратных связей будет иметь следующий вид:

.

Подставляя в это выражение зависимости (п.2.5), получим значения коэффициентов для обратных связей  по х1 и по х2:

.

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ представлена на рис. 3.

Рис.3. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ с объектом второго порядка


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79311. Инвестиции и рынок ценных бумаг 9.91 KB
  капитальные фонды и формирование рыночного спроса на инвестиции дисконтирование доходов от инвестиций формирование и развитие рынка ценных бумаг сущность ценных бумаг и их виды 1. Рынок ценных бумаг это часть рынка ссудных капиталов где формируется спрос и предложение на ценные бумаги. Институты рынка ценных бумаг: банки специальные кредитные учреждения фондовая биржа 2 вида рынка ценных бумаг: Первичный рынок биржевой охватывает лишь новые выпуски ценных бумаг Вторичный фондовый рынок где производится купляпродажа ранее выпущенных...
79312. Введение в экономическую теорию и общественное производство 51.78 KB
  Сущность и элементы общественного производства. Экономика это наука о способах использования ограниченных ресурсов общества для производства товаров и услуг и их распределения среди различных групп людей. Можно выделить три уровня производства: процесс труда отдельного индивидуума производство в рамках предприятия микроуровень производство в рамках общества государства страны макроуровень производство в рамках мира Элементы общественного производства: рабочая сила это совокупность определенных физических и духовных способностей...
79313. Собственность и исторические формы организации экономической деятельности 13.37 KB
  Собственность и исторические формы организации экономической деятельности Сущность собственности. Субъекты и объекты собственности. Существуют 2 подхода к пониманию собственности: Правовой. Сущностной основой отношений собственности являются отношения присвоения.
79315. ВЫЧИСЛЕНИЯ В SQL 166 KB
  Довольно часто требуется узнать, сколько записей соответствует тому или иному запросу, какова сумма значений некоторого числового столбца, его максимальное, минимальное и среднее значения. Для этого служат так называемые итоговые (статистические, агрегатные) функции. Итоговые функции обрабатывают наборы записей
79316. Добавление, удаление и изменение данных в таблицах 109 KB
  Запросы, рассмотренные в предыдущих главах, были направлены на то, чтобы получить данные, содержащиеся в существующих таблицах базы данных. Главным ключевым словом таких запросов на выборку данных является select
79317. Управление правами доступа 93 KB
  Некоторые пользователи могут устанавливать права доступа к объектам базы данных для других пользователей. Пользователи Пользователи баз данных могут иметь разные привилегии полномочия права доступа и по объему этих привилегий разделяются на несколько категорий: администратор базы данных; владелец объектов базы данных; привилегированный пользователь имеющий право предоставлять привилегии; привилегированный пользователь не имеющий права предоставлять привилегии; рядовые пользователи. Он имеет все права на любые действия с базой данных...
79318. ОСНОВЫ SQL 160 KB
  Запросы выполняются системой управления базой данных СУБД. Если вы не являетесь специалистом по разработке и администрированию баз данных то вполне можете быть их пользователем который просматривает или и изменяет данные в уже имеющихся таблицах. Во многих случаях эти и другие операции с базой данных выполняются с помощью специальных приложений предоставляющих пользователю удобный интерфейс.