32235

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Задана динамика объекта управления: ; 1 или 1 где А=[nn] коэффициентная матрица динамики объекта B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий xiн=xi0 xiк=xitк – граничные условия. Критерий...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

136 чел.

Лекция №12

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Как было определено ранее, синтез замкнутой САУ по квадратичному интегральному критерию дает регулятор в виде линейных обратных связей по координатам состояния объекта управления.

Ввиду простоты реализации такого регулятора  и универсальности квадратичного критерия оптимальности, т.к. он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие, данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Оптимальный регулятор получается  аналитическим решением задачи оптимизации, и поэтому данная методика синтеза получила название -  аналитическое конструирование регуляторов (АКОР).

Рассмотрим аналитическое конструирование регулятора в общем виде.

Задана динамика объекта управления:

;                                           (1)

или

,                            (1*)

где А=[nn] -  коэффициентная  матрица динамики объекта,

B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий,

xiн=xi(0), xiк=xi(tк) – граничные условия.

Критерий оптимальности:

,                       (2)

где Q=[nn]; R[nm] – матрицы коэффициентов, определяющие величины ограничений отклонений переменных состояний (координат) объекта управления и расход энергии в переходящих процессах.

С учетом (1*) критерий (2) можно представить в следующем виде:

.                   (2*)

Необходимо найти оптимальный закон управления или управление регулятора для оптимальной замкнутой САУ.

Для решения задачи используем принцип максимума.

Составим функцию Гамильтона:

          (3)

Известно, что .

Следовательно:

.            (4)

Вспомогательные функции определяются из уравнений:

,    (i=1,2,…,n)                               (5)

или в векторной форме:

.                                                     (5*)

Выражение (5*) на основании (4) дает следующую зависимость:

.                                                (6)

Для определения экстремального значения функции Н по управляющим воздействиям U найдем, что:

.                                         (7)

Из (7)  следует, что:

                     .

Следовательно

.                                                     (8)

Вспомогательные функции  будем искать в виде линейной зависимости:

.                                                         (9)

Из (9) следует, что:

.                                           (10)

Кроме того, с учетом (8)  управление динамики объекта (1) можно представить в виде:

.                                     (11)

Добавив к этому уравнению сопряженное уравнение (6), получим систему:

.                                   (12)

Подставив в уравнение (10) значения производных из системы (12) и сделав очевидные преобразования, получим:

                       

Откуда:

                  (13)

Для стационарной системы .

Следовательно:

.                       (14)

Выражения (13) и (14) получили название – нелинейные матричные уравнения Риккати.

Для определения выражения для определения оптимального управления подставим значение  из (9) в (8).

В результате получим:

,                                          (15)

где R – берется из интегрального критерия, а К – определяется из решения уравнения (14).

Подставив выражение (15) в уравнение динамики объекта (1) получим уравнение, описывающее оптимальное изменение состояния объекта под действием Uопт:

.                                   (16)

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ в матричном виде представлена на рис.1.

Рис.1. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ. Обозначено ОУ – объект управления, ОР – оптимальный регулятор.

Таким образом, в результате синтеза получим оптимальный регулятор ОР, который представляет сумму пропорциональных обратных связей по всем переменным состояния (координатам) объекта управления (см.рис.1). Величины коэффициентов обратных связей определяются из решения уравнения Риккати (14).

Пример 1.

Приведенная функция объекта управления:

,

или

,

где

Критерий оптимальности:

.

В этом случае уравнение Риккати (14) примет вид (А=а, B=b, C=1)

,

или

.

где .

Решение этого уравнения дает следующую зависимость:

Следовательно:

Структурная схема оптимальной САУ представлена на рис. 2.

                         

Рис.2. Структурная схема  оптимальной по квадратичному интегральному критерию САУ с объектом первого порядка

Пример 2.

Объект второго порядка:

или

,                                    (п.2.1)

где                       (п.2.2)

а критерий оптимальности:

,

где .

Т.е.

.

Запишем уравнения Риккати:

(п.2.3)         

Матричное уравнение (п.2.3) дает уравнения:

                                      (п.2.4)

Решение  алгебраических уравнений (п.2.4)   с учетом положительной определенности матрицы К:

, и что всегда К1221 дает  следующий результат:

.       (п.2.5)

В соответствии с выражением (15) матрица коэффициентов обратных связей будет иметь следующий вид:

.

Подставляя в это выражение зависимости (п.2.5), получим значения коэффициентов для обратных связей  по х1 и по х2:

.

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ представлена на рис. 3.

Рис.3. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ с объектом второго порядка


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4275. Программирование на VBA. Оптимизация приложений 279 KB
  Программирование на VBA. Оптимизация приложений. Оптимизация приложения представляет собой тему для бесконечного обсуждения и споров между разработчиками. Всем нужны оптимальные решения, но что же точно означает термин оптимальный? Одни полагают, ...
4276. Знакомство со средой разработки Visual C# 209.5 KB
  Знакомство со средой разработки VisualC# Цели работы: Получение навыков работы со средой разработки Visual Studio 2008. Создание первой программы на языке C# в VisualStudio 2008. Указания к работе: Запустите Visual...
4277. Вычисление арифметических выражений 327 KB
  Цель работы Освоить ввод/вывод чисел в С# Освоить правила записи и вычисления сложных арифметических выражений с использованием стандартных математических функций научиться пользоваться встроенной справочной системой С# на примере математически...
4278. Обработка одномерных массивов на примере алгоритма сортировки и поиска 312.5 KB
  Работа с одномерными массивами. Указание к работе А) Разработать и отладить программу, в которой реализовать алгоритмы сортировки и поиска в соответствии с заданием. Определить время работы програ...
4279. Обработка матриц. Методические указания к лабораторной работе 98 KB
  Приобретение и закрепление навыков работы с двумерными массивами (матрицами). Теоретический материал Большинство вариантов индивидуальных заданий требует реализации типовых алгоритмов, выполняющих обработку прямоугольной матрицы по...
4280. Уровни языков программирования. Язык C# 344 KB
  Уровни языков программирования Языки программирования могут быть подразделены на три общих типа: Машинные языки – понимаются компьютером Ассемблерные языки (языки низкого уровня) Языки высокого уровня – удобны для програм...
4281. Розробка та графічне подання алгоритмів з використанням середовища Visual Paradigm for UML 669 KB
  Розробка та графічне подання алгоритмів з використанням середовища Visual Paradigm for UML Мета роботи: Отримати практичні навички роботи з розробки та графічного подання алгоритмів з використанням середовища візуального моделювання Visual Paradigm ...
4282. Условные операторы и операторы цикла языка С++ 125 KB
  Условные операторы и операторы цикла языка С++ Цель работы Создать программу, которая вычисляет значения функции заданного диапазона необходимо организовать ввод границ интервала, значения n, шаг аргумента. Программа должна содержать такие части:...
4283. Работа с массивами в языке С++ 70.5 KB
  Работа с массивами в языке С++ 1 Цель работы Получение практических навыков в работе с массивами. В ходе выполнения работы необходимо создать программу, которая определяет и инициализирует двумерный массив целых значений и затем выполняет след...