32235

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Задана динамика объекта управления: ; 1 или 1 где А=[nn] коэффициентная матрица динамики объекта B=[nm] матрица коэффициентов управляющих воздействий xiн=xi0 xiк=xitк граничные условия. Критерий...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

186 чел.

Лекция №12

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Как было определено ранее, синтез замкнутой САУ по квадратичному интегральному критерию дает регулятор в виде линейных обратных связей по координатам состояния объекта управления.

Ввиду простоты реализации такого регулятора  и универсальности квадратичного критерия оптимальности, т.к. он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие, данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Оптимальный регулятор получается  аналитическим решением задачи оптимизации, и поэтому данная методика синтеза получила название -  аналитическое конструирование регуляторов (АКОР).

Рассмотрим аналитическое конструирование регулятора в общем виде.

Задана динамика объекта управления:

;                                           (1)

или

,                            (1*)

где А=[nn] -  коэффициентная  матрица динамики объекта,

B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий,

xiн=xi(0), xiк=xi(tк) – граничные условия.

Критерий оптимальности:

,                       (2)

где Q=[nn]; R[nm] – матрицы коэффициентов, определяющие величины ограничений отклонений переменных состояний (координат) объекта управления и расход энергии в переходящих процессах.

С учетом (1*) критерий (2) можно представить в следующем виде:

.                   (2*)

Необходимо найти оптимальный закон управления или управление регулятора для оптимальной замкнутой САУ.

Для решения задачи используем принцип максимума.

Составим функцию Гамильтона:

          (3)

Известно, что .

Следовательно:

.            (4)

Вспомогательные функции определяются из уравнений:

,    (i=1,2,…,n)                               (5)

или в векторной форме:

.                                                     (5*)

Выражение (5*) на основании (4) дает следующую зависимость:

.                                                (6)

Для определения экстремального значения функции Н по управляющим воздействиям U найдем, что:

.                                         (7)

Из (7)  следует, что:

                     .

Следовательно

.                                                     (8)

Вспомогательные функции  будем искать в виде линейной зависимости:

.                                                         (9)

Из (9) следует, что:

.                                           (10)

Кроме того, с учетом (8)  управление динамики объекта (1) можно представить в виде:

.                                     (11)

Добавив к этому уравнению сопряженное уравнение (6), получим систему:

.                                   (12)

Подставив в уравнение (10) значения производных из системы (12) и сделав очевидные преобразования, получим:

                       

Откуда:

                  (13)

Для стационарной системы .

Следовательно:

.                       (14)

Выражения (13) и (14) получили название – нелинейные матричные уравнения Риккати.

Для определения выражения для определения оптимального управления подставим значение  из (9) в (8).

В результате получим:

,                                          (15)

где R – берется из интегрального критерия, а К – определяется из решения уравнения (14).

Подставив выражение (15) в уравнение динамики объекта (1) получим уравнение, описывающее оптимальное изменение состояния объекта под действием Uопт:

.                                   (16)

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ в матричном виде представлена на рис.1.

Рис.1. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ. Обозначено ОУ – объект управления, ОР – оптимальный регулятор.

Таким образом, в результате синтеза получим оптимальный регулятор ОР, который представляет сумму пропорциональных обратных связей по всем переменным состояния (координатам) объекта управления (см.рис.1). Величины коэффициентов обратных связей определяются из решения уравнения Риккати (14).

Пример 1.

Приведенная функция объекта управления:

,

или

,

где

Критерий оптимальности:

.

В этом случае уравнение Риккати (14) примет вид (А=а, B=b, C=1)

,

или

.

где .

Решение этого уравнения дает следующую зависимость:

Следовательно:

Структурная схема оптимальной САУ представлена на рис. 2.

                         

Рис.2. Структурная схема  оптимальной по квадратичному интегральному критерию САУ с объектом первого порядка

Пример 2.

Объект второго порядка:

или

,                                    (п.2.1)

где                       (п.2.2)

а критерий оптимальности:

,

где .

Т.е.

.

Запишем уравнения Риккати:

(п.2.3)         

Матричное уравнение (п.2.3) дает уравнения:

                                      (п.2.4)

Решение  алгебраических уравнений (п.2.4)   с учетом положительной определенности матрицы К:

, и что всегда К1221 дает  следующий результат:

.       (п.2.5)

В соответствии с выражением (15) матрица коэффициентов обратных связей будет иметь следующий вид:

.

Подставляя в это выражение зависимости (п.2.5), получим значения коэффициентов для обратных связей  по х1 и по х2:

.

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ представлена на рис. 3.

Рис.3. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ с объектом второго порядка


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24149. Культура России в XVI в. 32.19 KB
  Фольклор Фольклор XVI в. в XVI в. Публицистика XVI в.
24150. Культура России в 1598-1613 гг 25.48 KB
  Первый период смуты характеризуется борьбой за престол различных претендентов. Таким образом первый этап смуты был отмечен правлением Лжедмитрия I 1605 1606 гг. Второй период смуты. Третий период смуты характеризуется борьбой с иноземными захватчиками.
24151. Экономическое развитие России в XVII в. XVII в 21.87 KB
  XVII в время массового заселения Волги Предуралья начало освоения Сибири. Новым было в XVII в. Всего в XVII в.
24152. Внутренняя политика России в XVII в 20.78 KB
  За малолетних правителей власть осуществляла царевна Софья пытавшаяся отдалить Петра от престола. Софья не желая расставаться с властью подняла против Петра стрелков но восстание было жестоко подавлено а Софья заточена в монастырь.
24153. Внешняя политика России в 17 веке 31.17 KB
  Западнорусские земли стали ареной борьбы населения против угнетения польской шляхтой. начался почти непрерывный ряд казацких восстаний против Польши. В Киевской области было образовано войско реестровых внесенных в списки казаков которые однако переходили на сторону мятежных запорожцев и обращали свое оружие против поляков. Под его командованием русская армия предприняла два неудачных похода против Крымского ханства 1687 1689 находившегося в вассальной зависимости от Турции.
24154. Культура России. 17 век 34 KB
  17 век XVII в. Мы часто говорим: древнерусская культура IXXVII веков но никогда не продлим это определение на следующий XVIII в. Такая переходность культуры в XVII в. В русской архитектуре XVII в.
24155. Россия на рубеже XVII -XVIII веков 30.86 KB
  Разрешение этих задач до Петра было только начато. Точно так же и первая задача национальнополитическая состоявшая в необходимости государственного объединения русского народа еще задолго до Петра вызвала ряд упорных войн с третьим врагом и ближайшим соседом Речью Посполитой. Но еще до Петра московским правительством была сознана невозможность одновременного разрешения обеих задач. Так еще до Петра покинута была на неопределенное время мысль о национальнополитическом объединении русского народа: чтобы поддержать добрые отношения с...
24156. Преобразования Петра I. Северная война 31.8 KB
  2011 Рубрика: История России 08 Петр I После смерти Федора на престол должен был взойти его брат Иван однако он был слаб здоровьем и патриарх с боярами предложили объявить царем Петра. По их требованию Софья была назначена регентом при малолетних Иване и Петре. Детство Петра прошло в селе Преображенском и в Немецкой слободе среди иностранных авантюристов ученых военных.
24157. Эпоха дворцовых переворотов 28.27 KB
  В первые годы прошедшие со смерти Петра Великого судьбу русского престола нельзя назвать благополучной: с 1725 г. Причинами дворцовых переворотов по мнению большинства историков стали: ü указ Петра 1 от 1722 года о наследии престола; ü большое количество прямых и косвенных наследников дома Романовых; ü противоречия между самодержавной властью правящей верхушкой и господствующим сословием. К концу правления Петра I напряженность отношений в этом треугольнике достигла критической отметки что было вызвано крайне невыгодным для...