32235

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Задана динамика объекта управления: ; 1 или 1 где А=[nn] коэффициентная матрица динамики объекта B=[nm] матрица коэффициентов управляющих воздействий xiн=xi0 xiк=xitк граничные условия. Критерий...

Русский

2013-09-04

137.5 KB

169 чел.

Лекция №12

Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР)

Как было определено ранее, синтез замкнутой САУ по квадратичному интегральному критерию дает регулятор в виде линейных обратных связей по координатам состояния объекта управления.

Ввиду простоты реализации такого регулятора  и универсальности квадратичного критерия оптимальности, т.к. он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие, данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Оптимальный регулятор получается  аналитическим решением задачи оптимизации, и поэтому данная методика синтеза получила название -  аналитическое конструирование регуляторов (АКОР).

Рассмотрим аналитическое конструирование регулятора в общем виде.

Задана динамика объекта управления:

;                                           (1)

или

,                            (1*)

где А=[nn] -  коэффициентная  матрица динамики объекта,

B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий,

xiн=xi(0), xiк=xi(tк) – граничные условия.

Критерий оптимальности:

,                       (2)

где Q=[nn]; R[nm] – матрицы коэффициентов, определяющие величины ограничений отклонений переменных состояний (координат) объекта управления и расход энергии в переходящих процессах.

С учетом (1*) критерий (2) можно представить в следующем виде:

.                   (2*)

Необходимо найти оптимальный закон управления или управление регулятора для оптимальной замкнутой САУ.

Для решения задачи используем принцип максимума.

Составим функцию Гамильтона:

          (3)

Известно, что .

Следовательно:

.            (4)

Вспомогательные функции определяются из уравнений:

,    (i=1,2,…,n)                               (5)

или в векторной форме:

.                                                     (5*)

Выражение (5*) на основании (4) дает следующую зависимость:

.                                                (6)

Для определения экстремального значения функции Н по управляющим воздействиям U найдем, что:

.                                         (7)

Из (7)  следует, что:

                     .

Следовательно

.                                                     (8)

Вспомогательные функции  будем искать в виде линейной зависимости:

.                                                         (9)

Из (9) следует, что:

.                                           (10)

Кроме того, с учетом (8)  управление динамики объекта (1) можно представить в виде:

.                                     (11)

Добавив к этому уравнению сопряженное уравнение (6), получим систему:

.                                   (12)

Подставив в уравнение (10) значения производных из системы (12) и сделав очевидные преобразования, получим:

                       

Откуда:

                  (13)

Для стационарной системы .

Следовательно:

.                       (14)

Выражения (13) и (14) получили название – нелинейные матричные уравнения Риккати.

Для определения выражения для определения оптимального управления подставим значение  из (9) в (8).

В результате получим:

,                                          (15)

где R – берется из интегрального критерия, а К – определяется из решения уравнения (14).

Подставив выражение (15) в уравнение динамики объекта (1) получим уравнение, описывающее оптимальное изменение состояния объекта под действием Uопт:

.                                   (16)

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ в матричном виде представлена на рис.1.

Рис.1. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ. Обозначено ОУ – объект управления, ОР – оптимальный регулятор.

Таким образом, в результате синтеза получим оптимальный регулятор ОР, который представляет сумму пропорциональных обратных связей по всем переменным состояния (координатам) объекта управления (см.рис.1). Величины коэффициентов обратных связей определяются из решения уравнения Риккати (14).

Пример 1.

Приведенная функция объекта управления:

,

или

,

где

Критерий оптимальности:

.

В этом случае уравнение Риккати (14) примет вид (А=а, B=b, C=1)

,

или

.

где .

Решение этого уравнения дает следующую зависимость:

Следовательно:

Структурная схема оптимальной САУ представлена на рис. 2.

                         

Рис.2. Структурная схема  оптимальной по квадратичному интегральному критерию САУ с объектом первого порядка

Пример 2.

Объект второго порядка:

или

,                                    (п.2.1)

где                       (п.2.2)

а критерий оптимальности:

,

где .

Т.е.

.

Запишем уравнения Риккати:

(п.2.3)         

Матричное уравнение (п.2.3) дает уравнения:

                                      (п.2.4)

Решение  алгебраических уравнений (п.2.4)   с учетом положительной определенности матрицы К:

, и что всегда К1221 дает  следующий результат:

.       (п.2.5)

В соответствии с выражением (15) матрица коэффициентов обратных связей будет иметь следующий вид:

.

Подставляя в это выражение зависимости (п.2.5), получим значения коэффициентов для обратных связей  по х1 и по х2:

.

Структурная схема оптимальной замкнутой САУ представлена на рис. 3.

Рис.3. Оптимальная по квадратичному интегральному критерию замкнутая САУ с объектом второго порядка


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67866. Basic formulas of combinatorial analysis 50.91 KB
  A reliable (universal) event is an event that necessarily will happen if a certain set of conditions S holds. For example, if a vessel contains water with a normal atmospheric pressure and temperature 20 degrees, the event «water in a vessel is in a liquid state» is reliable.
67867. О ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОМ СОДЕРЖАНИИ ПОНЯТИЯ «МЕДИЦИНСКАЯ УСЛУГА» 97.5 KB
  Понятие услуги имеет принципиальное значение для определения существенного условия гражданских правоотношений складывающихся в сфере медицинского обслуживания их предмета. Услуги по определению К. Маркса представляют собой особую потребительскую стоимость поскольку...
67868. ФОРМЫ (ВИДЫ) ОГРАНИЧЕНИЙ ОСНОВНЫХ ПРАВ И СВОБОД И ИХ КОНСТИТУЦИОННО-ПРАВОВОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ 95.5 KB
  Малько применимая к характеристике видов общеправовых ограничений не годится для анализа видов конституционно-правовых ограничений или может быть использована частично. Виды ограничений он классифицирует по следующим основаниям признакам: по способу формулирования в законе на прямые...
67869. МЕСТО ПРАВА НА ЛИЧНУЮ НЕПРИКОСНОВЕННОСТЬ В СИСТЕМЕ ОСНОВНЫХ ПРАВ И СВОБОД ЧЕЛОВЕКА И ГРАЖДАНИНА В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 167 KB
  Право на личную неприкосновенность занимает одно из ведущих мест в системе личных конституционных прав и свобод человека. Личные права и свободы составляют первооснову правового статуса человека и гражданина являются важнейшим элементом всей системы прав и свобод и во многом характеризуют...
67870. СОДЕРЖАНИЕ ПРИНЦИПОВ НОРМАТИВНО-ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НАЛОГОВЫХ ОТНОШЕНИЙ 106 KB
  Принципы регулирования налоговых правоотношений это основополагающие и руководящие идеи ведущие положения определяющие начала правового регулирования налогообложения. Поэтому основные принципы налоговых правоотношений одновременно выступают принципами налогового права.
67871. ФОРМИРОВАНИЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬНОГО ОРГАНА ЯПОНИИ 65.5 KB
  По Конституции обе палаты обладали одинаковыми правами. Однако на практике палата пэров играла большую роль, т.к. она состояла из членов императорской фамилии, титулованной аристократии и финансовой знати. Влиятельность ее была гораздо выше...
67872. ПРАВОВОЙ СТАТУС И МЕСТО В СИСТЕМЕ ТАМОЖЕННЫХ ОРГАНОВ СЛУЖБЫ КОНТРОЛЯ СОБЛЮДЕНИЯ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА В ТАМОЖЕННОМ ДЕЛЕ ФТС 114.5 KB
  В общем виде систему таможенных органов можно представить как обусловленную функциональной общностью единством целей и задач непосредственное осуществление таможенного дела совокупность таможенных органов. Она объединена функциональным единством органов...
67873. КОНСТИТУЦИОННЫЕ ГАРАНТИИ ПРАВ И СВОБОД ЧЕЛОВЕКА И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ФОРМИРОВАНИЕ УГОЛОВНОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОГО ГОСУДАРСТВА 134 KB
  Уголовная политика является составной частью социальной политики любого государства. С содержательной стороны она представляет собой такое направление политики которое определяется программой борьбы с преступностью и причинами ее порождающими...
67874. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ ИЗМЕНЕНИЯ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА ОБ АДВОКАТУРЕ РОССИИ 94 KB
  Адвокаты впервые получили «собственный» федеральный закон, на основе которого создана общероссийская некоммерческая организация — Федеральная палата адвокатов России, объединившая региональные адвокатские палаты; помимо традиционных юридических консультаций и коллегий адвокатов признан...