32236

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия что довольно очевидно.4 В качестве критерия выберем интегральный критерий обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия п1.16 Системы из исходного состояния х10х20 в начале координат х1к=0х2к=0 должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия: п1.17 Следовательно необходимо найти...

Русский

2013-09-04

199 KB

33 чел.

Лекция 11

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

(например, топлива)

Дана модель объекта управления:

                           (1)

Или

,               (2)

где i=1,2,…,n; k=1,2,…,m

Начальные и конечные условия (граничные условия):

;                     (3)

Управляющее воздействие (ресурсы) ограничены по величине

                                     (4)

Критерий оптимальности, который соответствует минимальному расходу ресурсов имеет следующий вид:

                                   (5)

Требуется определить оптимальный закон управления объектом (1). Для решения этой задачи воспользуемся принципом максимума.

На основании (5) введем дополнительную переменную

                                        (6)

Функция Гамильтона примет следующий вид:

          (7)

Дополнительные переменные определяются из сопряженных уравнений

,  i=1,2,…,n                             (8)

На основе (7) запишем функцию, состаящую из слагаемых, зависящих от U:

                          (9)

Поменяем порядок суммирования во втором слагаемом выражении (9):

                       (10)

Введем обозначение:

                                          (11)

Функция H* будет максимальной , если каждое слагаемое максимально

                               , j=1,2,…,n.

Учитывая, что -|Uj|≤0, определил закон оптимального управления

                     (12)

Выражение (12) может быть практически реализовано с помощью реле с зоной нечувствительности (рис 16.а)

Рис 16.1 Характеристики исполнительных устройств в системах оптимальных: а)по минимуму расхода ресурсов, б) по быстродействию, в) по минимуму расхода энергии

Обобщая результаты, определенные по разным критериям, можно увидеть сходство и различие в характеристиках устройств, формирующих управляющее воздействие на объект (рис. 16.1). Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия, что довольно очевидно. Минимизация расходов ресурсов требует приминение реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1), максимальнее быстродействие – идеальное реле (рис. 16.1б), минимизация расходов энергии – линейное звено с насыщением (рис. 16.1в).

Рассмотрим решение задачи синтеза оптимального управления по расходу ресурсов для объекта управления с одним управляющим воздействием. В этом случае управление (2) объекта управления в развернутом виде будет:

     (13)

Граничные условия, ограничение по ресурсу и критерий оптимальности определяется выражениями (3), (4), (5). Введем дополнительную переменную

                                                                         

Составим функцию Гамильтона

 (14)

Для определения вспомогательных параметров Ψi запишем  систему сопряженных уравнений

                                 

Или с учетом системы (12)

    (15)

В общем виде систему (15) можно представить, как

, i=1,2,…,n                 (16)

Выражение (16) аналогично выражению (7).

Сформируем из (14) функцию из слагаемых, зависящих от U,

.                                (17)

Введем обозначение:

.                                           (18)

Следовательно:

.                                      (19)

Необходимо обеспечить,  чтобы :

                            

Это достигается при следующем алгоритме:

                      (20)

Т.е. выражение (20) как и выражение (11) определяют, что для реализации оптимального управления необходимо исполнительное устройство в виде реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1а)

Рассмотрим пример

Объект управления имеет передаточную функцию:

                            (п1.1)

Обозначив

                             ,

запишем (п1.1) в виде системы дифференциальных уравнений:

,                               (п1.2)

где  

Граничные условия:

 (п1.3)

Управляющий ресурс  ограничен по амплитуде:

                                                      (п1.4)

В качестве критерия выберем интегральный критерий, обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия

                             (п1.5)

Введем дополнительную переменную:

                                            (п1.6)

Сформируем функцию Гамильтона:

               (п1.7)

Примем   .

Тогда,

                                        (п1.8)

Максимум функции (п16.8) при ограничении ресурса (п1.4), а значит оптимальный закон управления, будет определяться слудеющей зависимостью:

                     (п1.9)

Найдем вспомогательные переменные из сопряженной системы уравнений

.     (п1.10)

Из решения системы дифференциальных уравнений (п16.10) следует: .             (п1.11)

Найдем решение уравнений (п1.2)

                   (п16.12)

При U=0 получим:

                      (п1.13)

При U=+Um 

    (п1.14)

Исключив из (п1.13)и(п1.14) время t, получим уравнение фазовых траекторий для U=0

                                  (п1.15)

Для U=Um

   (п1.16)

Системы из исходного состояния (х1020) в начале координат (х=0,х=0) должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия:

                        (п1.17)

Следовательно, необходимо найти линии переключения управляющего воздействия с U=±Um на U=0  и с U=0 на U=±Um.

Используя выражения для фазовых траекторий (п1.16) и (п1.17), которые переходят через начало координат получаем, что линия переключения U с ±U на 0 определяется следующим выражением:

.  (п1.18)

Линия переключения U с 0 на ±Um определяется выражением  

.             (п1.19)

Построенные на фазовой плоскости на основе этих выражений линии переключения  представлены на рис п.1

Рис.п.1 Фазовая плоскость с линиями переключения управляющего воздействия: R1 – область, где U=-Um, R4 – область, где U=+Um, R2 и  R3 – область, где U=0.

Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расходов управляющего ресурса представив на рис. П.2

Рис. П.2 Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расхода управляющего ресурса

В соответсвии с выражениями (п.16.18)и (п16.19) нелинейные обратные связи по х2 имеют вид:

.                          (п1.20)

.               (п1.21)

Для системы, оптимальной только по расходу ресурса, критерйи оптимальности примет следующий вид:

                                                            (п1.22)

Аналогично можно доказать, что в этом случае кривая переключения управляющего воздействия при переходе изображающей точки состояния объекта из области R2 в область R1 и  из области R4 в область R3 остается  , а другая граница переключений будет определятся линейной зависимостью

.                                                           (п1.23)

Рис. п.3  Линии переключения управляющего воздействия в САУ, оптимальной по расходу управляющего ресурса.

На рис.п.3 показан случай перехода состояния системы из области R1(U=-Um) в начало состояния. На линии переключения В0 бцдет место скользящий режим. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26308. Причины великих географических открытий 16.73 KB
  Причины великих географических открытий Особое место в процессе зарождения рыночных отношений занимали Великие географические открытия конец XVXVII век благодаря которым удалось установить новые торговые пути вовлечь в мировой хозяйственный оборот огромные ресурсы других стран и континентов. главными из которых были открытие Америки и морского пути в Индию вокруг Африки. В XIIIXV веках все кратчайшие торговые пути туда были перекрыты: турки захватили Балканы и Ближний Восток арабы Северную Африку Русь находилась под гнетом монгол...
26309. Важнейшие открытия XV – середины XVII в 19.21 KB
  В 14821486 годах Диогу Кан Cao пересек экватор открыл устье реки Конго и прошел вдоль побережья Африки до мыса Кросс. В 14871488 годах Бартоломеу Диаш совершил новое беспримерное плавание на юг. В 15921504 годах он совершил четыре плавания через Атлантический океан открыл Большие Антильские и часть Малых Антильских островов побережье Южной и Центральной Америки. В 14971498 годах Васко да Гама на четырех судах обогнул Африку и с помощью арабских кормчих достиг настоящей Индии.
26310. Последствия Великих географических открытий 17.9 KB
  Важнейшим следствием открытия и колонизации новых земель явилась революция цен которая дала мощный импульс первоначальному накоплениюкапитала в Европе и ускорила формирование капиталистического уклада в хозяйстве. цен на сельскохозяйственные и промышленные товары. цены были в основном стабильными то за 70 лет – с 30х годов XVI в. Такое движение цен современники связывали либо с большим притоком драгоценных металлов в Европу либо с их утечкой.
26311. Колониальные захваты Испании и Португалии в XVI – XVII в 26.59 KB
  Плантационное рабство получило наибольшее развитие в Бразилии где выращивались сахарный тростник рис кукуруза и табак а также в ВестИндии Венесуэле и Новой Гранаде. С совершенно иными условиями встретились португальцы в Индии. Но португальцы сумели воспользоваться одним важным преимуществом: они обладали более сильным флотом чем мелкие феодальные владетели в Индии Индонезии ИндоКитае. Пиратскими методами захватывая грабя истребляя экипажи кораблей мусульманских купцов державших в своих руках морскую торговлю Индии до прихода...
26312. Реформация в Германии. М.Лютер 42.72 KB
  Религиозное настроение Германии проявлялось в переводах Библии и в развитии церковной песни еще до Лютера; своим знаменитым переводом и своей богослужебной лирикой он только затмил более ранние проблески стремления читать Священное Писание и молиться на родном языке. Годы непосредственно предшествовавшие выступлению Лютера и избранию на престол Карла V были временем большого возбуждения выразившегося в развитии литературы памфлетов и летучих листков. когда Лютер выступил со своими тезисами против индульгенций. после того как и Лютер и...
26313. Крестьянская война в Германии. Т.Мюнцер 40.51 KB
  Крестьянская война в Германии: Обострение классовой борьбы народных масс в деятельность союза Башмак С наступлением феодальной реакции нарастала борьба крестьян. характерно значительно более тесное сближение крестьянской массы с городскими низами чем в предшествовавший период. Усиление же крестьянскоплебейского лагеря не могло не оказать влияния на радикальные элементы в бюргерстве и на известный подъём бюргерской оппозиции вообще. Такое крестьянское общество было раскрыто в 1502 г.
26314. Реформация в Швейцарии. У.Цвингли и Ж.Кальвин 34.59 KB
  Начало же этому было положено в Цюрихе где в 1518 году священником кафедрального собора был избран известный проповедник Ульрих Цвингли. Даже изгнание Цвингли торговца индульгенциями монаха Самсона удостоилась не осуждения а похвалы представителя местного епископа. Так продолжалось до 1522 года когда Цвингли сам пошел на обострение ситуации. Однако и этот вызов не вызвал ожидаемых мер со стороны римского священноначалия напротив папский легат передал Цвингли письмо в котором ему сулились огромные блага если бы он стал поддерживать...
26315. Реформация и религиозные (гражданские) войны во Франции 29.06 KB
  Широко стали распространяться идеи Кальвина во Франции при короле Генрихе II. Именно при Генрихе II кальвинизм во Франции достиг наибольшего распространения. Ослабление королевской власти при сыновьях Генриха II благоприятствовало политическим притязаниям феодальной аристократии и борьба за религиозную свободу слилась с борьбой за власть. Своего короля Генриха Наваррского гугеноты воспринимали как конституционного государя.
26316. Реформация в Англии 14.33 KB
  Реформация в Англии Англия страна известная своими реформаторскими тенденциями. Однако решающую роль в Реформации в Англии предстояло сыграть другому человеку. Реформацию в Англии можно в полном смысле назвать Реформацией сверху так как во главе её стал английский король Генрих VIII. Реформация в Англии при Генрихе VIII Первоначально Генрих был противником Реформации даже написал книги против Лютера В защиту семи таинств 1521 в основе которой были не аргументы а брань в адрес виттенбергского реформатора.