32236

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия что довольно очевидно.4 В качестве критерия выберем интегральный критерий обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия п1.16 Системы из исходного состояния х10х20 в начале координат х1к=0х2к=0 должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия: п1.17 Следовательно необходимо найти...

Русский

2013-09-04

199 KB

33 чел.

Лекция 11

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

(например, топлива)

Дана модель объекта управления:

                           (1)

Или

,               (2)

где i=1,2,…,n; k=1,2,…,m

Начальные и конечные условия (граничные условия):

;                     (3)

Управляющее воздействие (ресурсы) ограничены по величине

                                     (4)

Критерий оптимальности, который соответствует минимальному расходу ресурсов имеет следующий вид:

                                   (5)

Требуется определить оптимальный закон управления объектом (1). Для решения этой задачи воспользуемся принципом максимума.

На основании (5) введем дополнительную переменную

                                        (6)

Функция Гамильтона примет следующий вид:

          (7)

Дополнительные переменные определяются из сопряженных уравнений

,  i=1,2,…,n                             (8)

На основе (7) запишем функцию, состаящую из слагаемых, зависящих от U:

                          (9)

Поменяем порядок суммирования во втором слагаемом выражении (9):

                       (10)

Введем обозначение:

                                          (11)

Функция H* будет максимальной , если каждое слагаемое максимально

                               , j=1,2,…,n.

Учитывая, что -|Uj|≤0, определил закон оптимального управления

                     (12)

Выражение (12) может быть практически реализовано с помощью реле с зоной нечувствительности (рис 16.а)

Рис 16.1 Характеристики исполнительных устройств в системах оптимальных: а)по минимуму расхода ресурсов, б) по быстродействию, в) по минимуму расхода энергии

Обобщая результаты, определенные по разным критериям, можно увидеть сходство и различие в характеристиках устройств, формирующих управляющее воздействие на объект (рис. 16.1). Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия, что довольно очевидно. Минимизация расходов ресурсов требует приминение реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1), максимальнее быстродействие – идеальное реле (рис. 16.1б), минимизация расходов энергии – линейное звено с насыщением (рис. 16.1в).

Рассмотрим решение задачи синтеза оптимального управления по расходу ресурсов для объекта управления с одним управляющим воздействием. В этом случае управление (2) объекта управления в развернутом виде будет:

     (13)

Граничные условия, ограничение по ресурсу и критерий оптимальности определяется выражениями (3), (4), (5). Введем дополнительную переменную

                                                                         

Составим функцию Гамильтона

 (14)

Для определения вспомогательных параметров Ψi запишем  систему сопряженных уравнений

                                 

Или с учетом системы (12)

    (15)

В общем виде систему (15) можно представить, как

, i=1,2,…,n                 (16)

Выражение (16) аналогично выражению (7).

Сформируем из (14) функцию из слагаемых, зависящих от U,

.                                (17)

Введем обозначение:

.                                           (18)

Следовательно:

.                                      (19)

Необходимо обеспечить,  чтобы :

                            

Это достигается при следующем алгоритме:

                      (20)

Т.е. выражение (20) как и выражение (11) определяют, что для реализации оптимального управления необходимо исполнительное устройство в виде реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1а)

Рассмотрим пример

Объект управления имеет передаточную функцию:

                            (п1.1)

Обозначив

                             ,

запишем (п1.1) в виде системы дифференциальных уравнений:

,                               (п1.2)

где  

Граничные условия:

 (п1.3)

Управляющий ресурс  ограничен по амплитуде:

                                                      (п1.4)

В качестве критерия выберем интегральный критерий, обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия

                             (п1.5)

Введем дополнительную переменную:

                                            (п1.6)

Сформируем функцию Гамильтона:

               (п1.7)

Примем   .

Тогда,

                                        (п1.8)

Максимум функции (п16.8) при ограничении ресурса (п1.4), а значит оптимальный закон управления, будет определяться слудеющей зависимостью:

                     (п1.9)

Найдем вспомогательные переменные из сопряженной системы уравнений

.     (п1.10)

Из решения системы дифференциальных уравнений (п16.10) следует: .             (п1.11)

Найдем решение уравнений (п1.2)

                   (п16.12)

При U=0 получим:

                      (п1.13)

При U=+Um 

    (п1.14)

Исключив из (п1.13)и(п1.14) время t, получим уравнение фазовых траекторий для U=0

                                  (п1.15)

Для U=Um

   (п1.16)

Системы из исходного состояния (х1020) в начале координат (х=0,х=0) должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия:

                        (п1.17)

Следовательно, необходимо найти линии переключения управляющего воздействия с U=±Um на U=0  и с U=0 на U=±Um.

Используя выражения для фазовых траекторий (п1.16) и (п1.17), которые переходят через начало координат получаем, что линия переключения U с ±U на 0 определяется следующим выражением:

.  (п1.18)

Линия переключения U с 0 на ±Um определяется выражением  

.             (п1.19)

Построенные на фазовой плоскости на основе этих выражений линии переключения  представлены на рис п.1

Рис.п.1 Фазовая плоскость с линиями переключения управляющего воздействия: R1 – область, где U=-Um, R4 – область, где U=+Um, R2 и  R3 – область, где U=0.

Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расходов управляющего ресурса представив на рис. П.2

Рис. П.2 Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расхода управляющего ресурса

В соответсвии с выражениями (п.16.18)и (п16.19) нелинейные обратные связи по х2 имеют вид:

.                          (п1.20)

.               (п1.21)

Для системы, оптимальной только по расходу ресурса, критерйи оптимальности примет следующий вид:

                                                            (п1.22)

Аналогично можно доказать, что в этом случае кривая переключения управляющего воздействия при переходе изображающей точки состояния объекта из области R2 в область R1 и  из области R4 в область R3 остается  , а другая граница переключений будет определятся линейной зависимостью

.                                                           (п1.23)

Рис. п.3  Линии переключения управляющего воздействия в САУ, оптимальной по расходу управляющего ресурса.

На рис.п.3 показан случай перехода состояния системы из области R1(U=-Um) в начало состояния. На линии переключения В0 бцдет место скользящий режим. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20704. Шифри перестановки 19.62 KB
  Ключ Сонечко 5 4 3 1 6 2 4 С о н е ч к о 1 2 4 4 3 5 6 м е н і т р и н а д ц я т и й м и н а л о я п а с я г н я т а з а с е л о м Виписуємо у порядку зростання цифр кожен стовбець :мнйяял еампто тяаяа ндиаам іцнсз ртлгс иионе 2 Побудова шкали рознесення і по ній шкалу набору для шифрування з подвійною перестановкою Ключ: Сонечко веселе с о н е ч к о 5 4 3 1 6 2 4 В 3 М Я Т А С л О Е 7 Е Ц И П Я Е М С 21 Н Д Й Я Г С е 7 І А М О Н А л 16 т Н И Л Я З е 7 р И н А т А Маршрут запитуваннязчитування Змінюємо рядки у відповідності зростання цифр е...
20705. Стандарт шифрування даних DES 70.76 KB
  Data Encryption Standard це симетричний алгоритм шифрування даних стандарт шифрування прийнятий урядом США із 1976 до кінця 1990х з часом набув міжнародного застосування. DES дав поштовх сучасним уявленням про блочні алгоритми шифрування та криптоаналіз. Вхідні дані MYNAMEISARTEM Шифрування з використанням випадкового ключа Результат шифрування даних ТЭ1oЋ HЎ т ПqАgy Результати розшифрування L .
20706. Гамування з зворотнім зв’язком 111.8 KB
  1КІ08 Морозов Артем Вінниця 2012 Вхідні дані My Name is Artem Ключ ч7є'V B1{XKСтЌuЭ0UБlЋоJј Шифрування простою заміною Гамування Зашифроване повідомлення г ЎвжЃЫjґЎqkіп'gИ Гамування з зворотнім звязком зворотний зв'язок не залежить від відкритого і зашифрованого тексту. Вона в цьому випадку відбувається за гамою з виходу алгоритму блочного шифрування У цьому режимі алгоритм блочного шифрування використовується для організації процесу поточного зашифрування так само як і у вищеперелічених режимах гамування.
20708. Экстремумы и точки перегиба 99 KB
  Определение: Если то называется точкой строгого локального минимума. Определение: Если то называется точкой локального максимума. Определение: Если то называется точкой строгого локального максимума.
20709. Первообразная функция и неопределенный интеграл 82 KB
  Опр: Функция называется первообразной для функции на промежутке если . Если первообразная для функции на и с произвольная постоянная то функция также является первообразной для . Если первообразная для функции на и первообразная для функции на то найдется с: . Вывод: Таким образом множество всех первообразных для на представимо в виде Опр: Множество всех первообразных функции на наз.
20710. Определенный интеграл и его свойства 157 KB
  Если постоянна на то она интегрируема и .Если и интегрируемы на то также интегрируема на и . Если интегрируема на и то также интегрируема на и . Если и совпадают на всюду за исключением может быть конечного числа точек и интегрируема на то также интегрируема на 5.
20711. Матанализ. Основные классы интегрируемых функций 90 KB
  Теорема Интегрирование монотонной функции Всякая функция fx монотонная на [ab] интегрируема на этом отрезке Доказательство: для возрастающей функции Пусть fx возрастает на [ab] может быть разрывная. Докажем это: Возьмем тогда с учетом 1 получим: тем самым доказано @ 1 Теорема Интегрируемость непрерывной функции Всякая функция fx непрерывная на [ab] интегрируема на этом отрезке. критерий интегрируемости надо доказать что @Возьмем и пользуясь равномерной непрерывностью fx на [ab] найдем выполняетсяУтверждается...
20712. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 138.5 KB
  Пусть функция определена на отрезке . Если существует конечный предел при то функция называется интегрируемой на отрезке а указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается a и b нижний и верхний пределы интегрирования подынтегральная функция подынтегральное выражение. Пусть функция определена на конечном или бесконечном промежутке . это функция определена на интервале и называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.