32236

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия что довольно очевидно.4 В качестве критерия выберем интегральный критерий обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия п1.16 Системы из исходного состояния х10х20 в начале координат х1к=0х2к=0 должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия: п1.17 Следовательно необходимо найти...

Русский

2013-09-04

199 KB

34 чел.

Лекция 11

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

(например, топлива)

Дана модель объекта управления:

                           (1)

Или

,               (2)

где i=1,2,…,n; k=1,2,…,m

Начальные и конечные условия (граничные условия):

;                     (3)

Управляющее воздействие (ресурсы) ограничены по величине

                                     (4)

Критерий оптимальности, который соответствует минимальному расходу ресурсов имеет следующий вид:

                                   (5)

Требуется определить оптимальный закон управления объектом (1). Для решения этой задачи воспользуемся принципом максимума.

На основании (5) введем дополнительную переменную

                                        (6)

Функция Гамильтона примет следующий вид:

          (7)

Дополнительные переменные определяются из сопряженных уравнений

,  i=1,2,…,n                             (8)

На основе (7) запишем функцию, состаящую из слагаемых, зависящих от U:

                          (9)

Поменяем порядок суммирования во втором слагаемом выражении (9):

                       (10)

Введем обозначение:

                                          (11)

Функция H* будет максимальной , если каждое слагаемое максимально

                               , j=1,2,…,n.

Учитывая, что -|Uj|≤0, определил закон оптимального управления

                     (12)

Выражение (12) может быть практически реализовано с помощью реле с зоной нечувствительности (рис 16.а)

Рис 16.1 Характеристики исполнительных устройств в системах оптимальных: а)по минимуму расхода ресурсов, б) по быстродействию, в) по минимуму расхода энергии

Обобщая результаты, определенные по разным критериям, можно увидеть сходство и различие в характеристиках устройств, формирующих управляющее воздействие на объект (рис. 16.1). Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия, что довольно очевидно. Минимизация расходов ресурсов требует приминение реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1), максимальнее быстродействие – идеальное реле (рис. 16.1б), минимизация расходов энергии – линейное звено с насыщением (рис. 16.1в).

Рассмотрим решение задачи синтеза оптимального управления по расходу ресурсов для объекта управления с одним управляющим воздействием. В этом случае управление (2) объекта управления в развернутом виде будет:

     (13)

Граничные условия, ограничение по ресурсу и критерий оптимальности определяется выражениями (3), (4), (5). Введем дополнительную переменную

                                                                         

Составим функцию Гамильтона

 (14)

Для определения вспомогательных параметров Ψi запишем  систему сопряженных уравнений

                                 

Или с учетом системы (12)

    (15)

В общем виде систему (15) можно представить, как

, i=1,2,…,n                 (16)

Выражение (16) аналогично выражению (7).

Сформируем из (14) функцию из слагаемых, зависящих от U,

.                                (17)

Введем обозначение:

.                                           (18)

Следовательно:

.                                      (19)

Необходимо обеспечить,  чтобы :

                            

Это достигается при следующем алгоритме:

                      (20)

Т.е. выражение (20) как и выражение (11) определяют, что для реализации оптимального управления необходимо исполнительное устройство в виде реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1а)

Рассмотрим пример

Объект управления имеет передаточную функцию:

                            (п1.1)

Обозначив

                             ,

запишем (п1.1) в виде системы дифференциальных уравнений:

,                               (п1.2)

где  

Граничные условия:

 (п1.3)

Управляющий ресурс  ограничен по амплитуде:

                                                      (п1.4)

В качестве критерия выберем интегральный критерий, обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия

                             (п1.5)

Введем дополнительную переменную:

                                            (п1.6)

Сформируем функцию Гамильтона:

               (п1.7)

Примем   .

Тогда,

                                        (п1.8)

Максимум функции (п16.8) при ограничении ресурса (п1.4), а значит оптимальный закон управления, будет определяться слудеющей зависимостью:

                     (п1.9)

Найдем вспомогательные переменные из сопряженной системы уравнений

.     (п1.10)

Из решения системы дифференциальных уравнений (п16.10) следует: .             (п1.11)

Найдем решение уравнений (п1.2)

                   (п16.12)

При U=0 получим:

                      (п1.13)

При U=+Um 

    (п1.14)

Исключив из (п1.13)и(п1.14) время t, получим уравнение фазовых траекторий для U=0

                                  (п1.15)

Для U=Um

   (п1.16)

Системы из исходного состояния (х1020) в начале координат (х=0,х=0) должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия:

                        (п1.17)

Следовательно, необходимо найти линии переключения управляющего воздействия с U=±Um на U=0  и с U=0 на U=±Um.

Используя выражения для фазовых траекторий (п1.16) и (п1.17), которые переходят через начало координат получаем, что линия переключения U с ±U на 0 определяется следующим выражением:

.  (п1.18)

Линия переключения U с 0 на ±Um определяется выражением  

.             (п1.19)

Построенные на фазовой плоскости на основе этих выражений линии переключения  представлены на рис п.1

Рис.п.1 Фазовая плоскость с линиями переключения управляющего воздействия: R1 – область, где U=-Um, R4 – область, где U=+Um, R2 и  R3 – область, где U=0.

Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расходов управляющего ресурса представив на рис. П.2

Рис. П.2 Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расхода управляющего ресурса

В соответсвии с выражениями (п.16.18)и (п16.19) нелинейные обратные связи по х2 имеют вид:

.                          (п1.20)

.               (п1.21)

Для системы, оптимальной только по расходу ресурса, критерйи оптимальности примет следующий вид:

                                                            (п1.22)

Аналогично можно доказать, что в этом случае кривая переключения управляющего воздействия при переходе изображающей точки состояния объекта из области R2 в область R1 и  из области R4 в область R3 остается  , а другая граница переключений будет определятся линейной зависимостью

.                                                           (п1.23)

Рис. п.3  Линии переключения управляющего воздействия в САУ, оптимальной по расходу управляющего ресурса.

На рис.п.3 показан случай перехода состояния системы из области R1(U=-Um) в начало состояния. На линии переключения В0 бцдет место скользящий режим. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10888. Технологія робіт лобзиком. Технологічний процес пиляння. Прийоми пиляння лобзиком. Організація робочого місця 75 KB
  Тема. Технологія робіт лобзиком. Технологічний процес пиляння. Прийоми пиляння лобзиком. Організація робочого місця. Мета: сформувати в учнів поняття про процес різання та уявлення про технологію пиляння фанери і ДВП; розвивати політехнічне мислення; виховувати культу...
10889. Процес випилювання з фанери й ДВП, обпилювання, шліфування 237 KB
  Тема уроку: Процес випилювання з фанери й ДВП обпилювання шліфування. Мета уроку. Формування вмінь виконувати обпилювання фанери; закріплення знань про обпилюваяння деревини. Розвивати точність окомір. Виховувати акуратність виконавчу дисципліну творче ставлення д
10890. Технологія обробітку та захисту ґрунтів 63.5 KB
  Тема уроку: Технологія обробітку та захисту ґрунтів. Мета уроку. Засвоєння знань про типи структуру та родючість ґрунтів; ручні знаряддя праці; прийоми і послідовність ручного обробітку ґрунту; види механізованого обробітку ґрунту; правила безпечної праці та особист
10891. Благоустрій і озеленення приміщень і території 36 KB
  Тема: Благоустрій і озеленення приміщень і території. Мета уроку: Засвоєння знань про роль і місце зелених насаджень у житті людини умови використання у насадженнях різних порід породи декоративних і захисних рослин. Обєкт навчальної праці: проектування зелених нас...
10892. Практична (проектна) робота. Процес випилювання з фанери та ДВП 33.5 KB
  Тема уроку: Практична проектна робота. Процес випилювання з фанери та ДВП. Мета уроку. Формування вмінь виконувати пиляння фанери лобзиком; закріплення знань про пиляння деревини. Розвивати точність окомір. Виховувати акуратність виконавчу дисципліну творче ставл
10893. Планирование ресурсного потенциала предприятия 118 KB
  Под потенциалом предприятия принято понимать совокупность показателей или факторов, характеризующих его силу, источники, возможности, средства, запасы, способности, ресурсы и многие другие производственные резервы
10894. Процес обробки матеріалів різанням 29 KB
  Тема: Процес обробки матеріалів різанням. Мета: 1 ознайомити учнів з основними способами різання деревини елементами і назвами інструментів. Забезпечити засвоєння правил ТБ; 2 виховувати в учнів уважність відповідальне ставлення до обладнання майстерні бережливі...
10895. Прийоми розмічання за шаблонами та інструментами 36.5 KB
  Тема: Прийоми розмічання за шаблонами та інструментами. Мета: 1 вдосконалювати в учнів знання про процес розмічання дати основні поняття про розмічальний інструмент навчити правильно використовувати цей інструмент; 2 виховувати естетичний смак культуру праці; ...
10896. Розмічання: за шаблоном, копіюванням. Підготовка заготовки до роботи 40.5 KB
  Тема уроку: Розмічання: за шаблоном копіюванням. Підготовка заготовки до роботи. Мета: навчальна: сформувати уявлення про призначення та будову вимірювальних інструментів. Прийоми розмічання за шаблоном. Відомості про припуски на обробку. Виховна: виховувати стара...