32236

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия что довольно очевидно.4 В качестве критерия выберем интегральный критерий обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия п1.16 Системы из исходного состояния х10х20 в начале координат х1к=0х2к=0 должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия: п1.17 Следовательно необходимо найти...

Русский

2013-09-04

199 KB

34 чел.

Лекция 11

Системы, оптимальные по расходу ресурсов

(например, топлива)

Дана модель объекта управления:

                           (1)

Или

,               (2)

где i=1,2,…,n; k=1,2,…,m

Начальные и конечные условия (граничные условия):

;                     (3)

Управляющее воздействие (ресурсы) ограничены по величине

                                     (4)

Критерий оптимальности, который соответствует минимальному расходу ресурсов имеет следующий вид:

                                   (5)

Требуется определить оптимальный закон управления объектом (1). Для решения этой задачи воспользуемся принципом максимума.

На основании (5) введем дополнительную переменную

                                        (6)

Функция Гамильтона примет следующий вид:

          (7)

Дополнительные переменные определяются из сопряженных уравнений

,  i=1,2,…,n                             (8)

На основе (7) запишем функцию, состаящую из слагаемых, зависящих от U:

                          (9)

Поменяем порядок суммирования во втором слагаемом выражении (9):

                       (10)

Введем обозначение:

                                          (11)

Функция H* будет максимальной , если каждое слагаемое максимально

                               , j=1,2,…,n.

Учитывая, что -|Uj|≤0, определил закон оптимального управления

                     (12)

Выражение (12) может быть практически реализовано с помощью реле с зоной нечувствительности (рис 16.а)

Рис 16.1 Характеристики исполнительных устройств в системах оптимальных: а)по минимуму расхода ресурсов, б) по быстродействию, в) по минимуму расхода энергии

Обобщая результаты, определенные по разным критериям, можно увидеть сходство и различие в характеристиках устройств, формирующих управляющее воздействие на объект (рис. 16.1). Все они имеют ограничения по величине управляющего воздействия, что довольно очевидно. Минимизация расходов ресурсов требует приминение реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1), максимальнее быстродействие – идеальное реле (рис. 16.1б), минимизация расходов энергии – линейное звено с насыщением (рис. 16.1в).

Рассмотрим решение задачи синтеза оптимального управления по расходу ресурсов для объекта управления с одним управляющим воздействием. В этом случае управление (2) объекта управления в развернутом виде будет:

     (13)

Граничные условия, ограничение по ресурсу и критерий оптимальности определяется выражениями (3), (4), (5). Введем дополнительную переменную

                                                                         

Составим функцию Гамильтона

 (14)

Для определения вспомогательных параметров Ψi запишем  систему сопряженных уравнений

                                 

Или с учетом системы (12)

    (15)

В общем виде систему (15) можно представить, как

, i=1,2,…,n                 (16)

Выражение (16) аналогично выражению (7).

Сформируем из (14) функцию из слагаемых, зависящих от U,

.                                (17)

Введем обозначение:

.                                           (18)

Следовательно:

.                                      (19)

Необходимо обеспечить,  чтобы :

                            

Это достигается при следующем алгоритме:

                      (20)

Т.е. выражение (20) как и выражение (11) определяют, что для реализации оптимального управления необходимо исполнительное устройство в виде реле с зоной нечувствительности (рис. 16.1а)

Рассмотрим пример

Объект управления имеет передаточную функцию:

                            (п1.1)

Обозначив

                             ,

запишем (п1.1) в виде системы дифференциальных уравнений:

,                               (п1.2)

где  

Граничные условия:

 (п1.3)

Управляющий ресурс  ограничен по амплитуде:

                                                      (п1.4)

В качестве критерия выберем интегральный критерий, обеспечивающий одновременно ограничение переходного процесса по времени и по расходу управляющего воздействия

                             (п1.5)

Введем дополнительную переменную:

                                            (п1.6)

Сформируем функцию Гамильтона:

               (п1.7)

Примем   .

Тогда,

                                        (п1.8)

Максимум функции (п16.8) при ограничении ресурса (п1.4), а значит оптимальный закон управления, будет определяться слудеющей зависимостью:

                     (п1.9)

Найдем вспомогательные переменные из сопряженной системы уравнений

.     (п1.10)

Из решения системы дифференциальных уравнений (п16.10) следует: .             (п1.11)

Найдем решение уравнений (п1.2)

                   (п16.12)

При U=0 получим:

                      (п1.13)

При U=+Um 

    (п1.14)

Исключив из (п1.13)и(п1.14) время t, получим уравнение фазовых траекторий для U=0

                                  (п1.15)

Для U=Um

   (п1.16)

Системы из исходного состояния (х1020) в начале координат (х=0,х=0) должно производится следующим путем изминения управляющего воздействия:

                        (п1.17)

Следовательно, необходимо найти линии переключения управляющего воздействия с U=±Um на U=0  и с U=0 на U=±Um.

Используя выражения для фазовых траекторий (п1.16) и (п1.17), которые переходят через начало координат получаем, что линия переключения U с ±U на 0 определяется следующим выражением:

.  (п1.18)

Линия переключения U с 0 на ±Um определяется выражением  

.             (п1.19)

Построенные на фазовой плоскости на основе этих выражений линии переключения  представлены на рис п.1

Рис.п.1 Фазовая плоскость с линиями переключения управляющего воздействия: R1 – область, где U=-Um, R4 – область, где U=+Um, R2 и  R3 – область, где U=0.

Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расходов управляющего ресурса представив на рис. П.2

Рис. П.2 Структурная схема замкнутой САУ, оптимальной по быстродействию и минимуму расхода управляющего ресурса

В соответсвии с выражениями (п.16.18)и (п16.19) нелинейные обратные связи по х2 имеют вид:

.                          (п1.20)

.               (п1.21)

Для системы, оптимальной только по расходу ресурса, критерйи оптимальности примет следующий вид:

                                                            (п1.22)

Аналогично можно доказать, что в этом случае кривая переключения управляющего воздействия при переходе изображающей точки состояния объекта из области R2 в область R1 и  из области R4 в область R3 остается  , а другая граница переключений будет определятся линейной зависимостью

.                                                           (п1.23)

Рис. п.3  Линии переключения управляющего воздействия в САУ, оптимальной по расходу управляющего ресурса.

На рис.п.3 показан случай перехода состояния системы из области R1(U=-Um) в начало состояния. На линии переключения В0 бцдет место скользящий режим. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9221. Патофизиология эритропоэза 27.36 KB
  Патофизиология эритропоэза ОЦК: у женщин - 6,5-7% от массы тела у мужчин 7-7,5% Гематокрит: 0,36-0,46 - соотношение между клеточной и жидкой частью крови Объем циркулирующей крови: в пределах нормы - нормоволемия, при уменьшении...
9222. Анемии Анемии вследствие нарушения кровообразования 27.46 KB
  Анемии Анемии вследствие нарушения кровообразования Железодефицитные анемии. Причины дефицита железа: менструальные потери, лактации, беременность, растущий ребенок, подросток, поражение желчно-кишечного тракта. Проявления сидеропении Синдром сидеро...
9223. Опухолевый рост типический патологический процесс 27.25 KB
  Опухолевый рост Опухоль (новообразование) - типический патологический процесс. Возникает под действием канцерогена. Проявляется патологическим разрастанием структурных элементов ткани, не связанным с общим обменом веществ. Характеризуется атипизмом ...
9224. Стадии канцерогенеза (патогенез опухолей) 24.15 KB
  Стадии канцерогенеза (патогенез опухолей) Инициация (мутация) - превращение здоровой клетки в опухоль Промоция Опухолевая прогрессия (если опухоль злокачественная) Гемобластозы Правила опухолевой прогрессии Фулдаса-Воробьев...
9225. Воспаление - типический патологический процесс. 28.01 KB
  Воспаление Воспаление - типический патологический процесс. Возникает в ответ на действие патогенных (флогогенных) факторов Проявляется в идее комплекса местных и общих реакций, сформировавшихся в ходе эволюции в качестве защитных ме...
9226. Местные (кардиальные) признаки воспаления 28.84 KB
  Местные (кардиальные) признаки воспаления Жар (calor) - связан с притоком теплой артериальной крови в очаг воспаления, изменение обмена веществ в самом очаге воспаления, в связи с повреждением мембраны разобщается окислительно фосфорилировани и...
9227. Лихорадка (Febris) 30.48 KB
  Лихорадка (Febris) Термин лихорадка один из самых древних, раньше обозначал любое повышение температуры тела. Современные представления стали возможны благодаря нескольким учениям: Учение Мечникова о воспалениях - изучал в эволюционном пл...
9228. Иммунопатология Иммунодефицитные состояния 28.42 KB
  Иммунопатология Иммунодефицитные состояния Иммунитет - комплекс клеточных и гуморальных механизмов, способных противостоять нарушениям генного аппарата организма, т.е. система, обеспечивающая индивидуальность и целостность организма. Действие и...
9229. Аллергия (гиперчувствительность) - типовые иммунопатологические процессы 29.7 KB
  Аллергия Аллергия (гиперчувствительность) - типовые иммунопатологические процессы, развивающиеся в сенсибилизированном организме генетически предрасположенных индивидов, в режиме вторичного иммунного ответа при контакте с антигеном, вызвавшем с...