32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

49 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21288. Методологія IDEF 387 KB
  Методологія IDEF Сімейство стандарту IDEF На даний момент до сімейства IDEF [ІДЕФ] можна віднести такі стандарти: IDEF0 методологія функціонального моделювання. За допомогою наочного графічного мови IDEF0 що розробляється система постає перед проектувальниками у вигляді набору взаємозалежних функцій функціональних блоків у термінах IDEF0. Як правило моделювання засобами IDEF0 є першим етапом вивчення будьякої системи; IDEF1 методологія моделювання інформаційних потоків усередині системи що дозволяє відображати і аналізувати їх...
21289. Відношення між класами 407 KB
  Відношення між класами Вступ Крім внутрішнього пристрою або структури класів на відповідній діаграмі вказуються різні відносини між класами. Базовими відносинами або зв'язками в мові UML є: Відношення залежності dependency relationship Ставлення асоціації association relationship Відношення узагальнення generalization relationship Ставлення реалізації realization relationship Кожне з цих відносин має власне графічне подання на діаграмі яке відображає взаємозв'язки між об'єктами відповідних класів. На діаграмі класів дане...
21290. Діаграма станів 479.5 KB
  Діаграма станів Вступ Розглянута в попередній лекції діаграма класів є логічний модель статичного подання модельованої системи. Справа в тому що характеристика станів системи не залежить або слабко залежить від логічної структури зафіксованої в діаграмі класів. Тому при розгляді станів системи припадає на час відволіктися від особливостей її об'єктної структури і мислити зовсім іншими категоріями які утворюють динамічний контекст поведінки модельованої системи. Тому при побудові діаграм станів необхідно використовувати спеціальні...
21291. Діаграма діяльності 625.5 KB
  Діаграма діяльності Вступ При моделюванні поведінки проектованої або аналізованої системи виникає необхідність не тільки уявити процес зміни її станів але і деталізувати особливості алгоритмічної та логічної реалізації виконуваних системою операцій. Для моделювання процесу виконання операцій в мові UML використовуються так звані діаграми діяльності. Застосовувана в них графічного багато в чому схожа на нотацію діаграми станів оскільки на діаграмах діяльності також присутні позначення станів і переходів. Кожен стан на діаграмі діяльності...