32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

53 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41218. ПОНИМАНИЕ КОМПОНЕНТОВ РЕЧЕВОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ. СЛОВО И ПРЕДЛОЖЕНИЕ 109 KB
  Теперь мы остановимся на психологическом анализе понимания высказывания т. Анализ процесса понимания речевого сообщения составляет одну из наиболее трудных и как это ни странно одну из наименее разработанных глав научной психологии. ПРОБЛЕМА Психологи неодинаково подходили к анализу процесса понимания смысла речевого сообщения или процесса декодирования воспринимаемого речевого высказывания. Одни авторы предполагали что для понимания смысла речевого сообщения достаточно иметь прочный и широкий словарь т.
41219. ПОНИМАНИЕ СМЫСЛА СЛОЖНОГО СООБЩЕНИЯ 92.5 KB
  Приступая к обсуждению этого вопроса мы тем самым переходим от анализа понимания системы внешних значений речевого высказывания к пониманию его внутреннего смысла от проблем понимания слова фразы и даже внешнего значения текста к пониманию подтекста смысла и в конечном счете к пониманию мотива который стоит за текстом. В проблемах понимания литературного произведения понимание подтекста смысла и в конечном итоге мотива пожалуй является основным. Глубина прочтения текста или обнаружение его подтекста его внутреннего смысла может...
41220. ЯЗЫК И ДИСКУРСИВНОЕ МЫШЛЕНИЕ. ОПЕРАЦИЯ ВЫВОДА 91 KB
  Это свойство языка создает возможность сложнейших форм дискурсивного индуктивного и дедуктивного мышления которые являются основными формами продуктивной интеллектуальной деятельности человека. Сложившийся в течение многих тысяч лет общественной истории аппарат логического сочетания нескольких высказываний образует основную систему средств лежащих в основе логического мышления человека. Моделью логического мышления осуществляющегося с помощью речи может являться силлогизм. Таким образом силлогизм как аппарат логического мышления...
41221. МОЗГОВАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ РЕЧЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. ПАТОЛОГИЯ РЕЧЕВОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ 144.5 KB
  Выше мы подробно осветили основные вопросы психологии речевой деятельности. Мы остановились на структуре слова и фразы на происхождении этих основных составных единиц языка на порождении целого речевого высказывания на анализе того пути от мысли к развернутому речевому сообщению который проделывает человек формулируя свое речевое высказывание. Мы остановились на этапах декодирования или понимания речевого сообщения начинающегося с восприятия обращенной к человеку речи проходящего стадии...
41222. МОЗГОВАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ДЕКОДИРОВАНИЯ (ПОНИМАНИЯ) РЕЧЕВОГО СООБЩЕНИЯ 95 KB
  Этот этап порождения речевого высказывания обеспечивается передними отделами мозга; их поражение как мы видели ведет к своеобразному нару шению речевой деятельности в виде распада синтагматической организации связного речевого сообщения. Вторым этапом речевого высказывания является этап включения высказывания в коды языка. В этих случаях нарушается парадигматическая организация речевого высказывания при сохранности ее синтагматической структуры.
41223. История возникновения и перспективы применения штрихового кодирования 1.42 MB
  История возникновения и перспективы применения штрихового кода Вид и размер штрихового кода EN13.5 Определение размера штрихового кода.2 Плотность штрихового кода.
41224. Сравнительная психология (зоопсихология) 307 KB
  Предмет изучения зоопсихологии это психическая деятельность животных это комплекс проявлений поведения и психики единый процесс психического отражения как продукт внешней активности животного. Изучение животных стоящих на разных ступенях развития от амёбы до приматов. Ощущения животных рассматриваются как первостепенные явления психики нижняя грань интеллект высшая грань. Импритинг видовая память процессы запечатления Лоренц этологизм поведения животных; 4.
41225. КОНЦЕПЦИИ ЛОГИСТИКИ 125 KB
  Практическими примерами использования информационной концепции логистики являются широко распространенные информационнопрограммные модули MRP I MRP II DRP OPT QR CR и т. К числу ее важнейших функций относятся в частности контроль за состоянием запасов включая расчет точки заказа формирование связей производства снабжения и сбыта с использованием обеспечивающего комплекса системы MRP. Работа системы DRP осуществляется поэтапно: 1 агрегированное планирование с использованием прогнозов и данных о фактически поступивших заказах; 2...
41226. Классификационные признаки микроконтроллеров 878 KB
  Модификация памяти и чтение из нее необходимых данных осуществляется только лишь с помощью специальных команд чтения записи; в система команд должна содержать минимальное число наиболее часто используемых простейших команд одинаковой длины: г состав системы команд должен быть оптимизирован с учетом требований компиляторов языков высокого уровня. Центральное процессорное устройство Процессор формирует адрес очередной команды выбирает команду из памяти и организует ее выполнение. Благодаря специальным командам их можно...