32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

52 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41114. ПРОЕКТУВАННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИН 8.02 MB
  Початку електромашинобудуванню поклало відкриття М. Фарадем закона електромагнітної індукції (1832-1833рр.). Більш ніж за півтора століття був пройдений шлях від простих моделей та пристроїв до сучасних конструкцій трансформаторів, двигунів та генераторів загального і спеціального призначення.
41116. Теплообмен при фазовых превращениях 848.5 KB
  Основные физические закономерности процесса конденсации. При конденсации пара происходит выделение тепла фазового перехода. Для возникновения процесса конденсации на поверхности твердого тела необходимо выполнение такого условия: температура поверхности стенки должна быть меньше температуры насыщения при данном давлении
41117. Идентификация технологических объектов и процессов 440.5 KB
  Модели в процессах познания и управления. Такие модели выступают в виде некоторого преобразователя рис. Эти модели отражают специфические взаимосвязи причин и следствий объектов при определенных допущениях.
41118. Представление данных в памяти компьютера 1.96 MB
  Основными задачами являются: приобретение студентом знаний о способах хранения данных в памяти компьютера и методах доступа к ним, о методах проектирования реляционных моделей данных, об использовании CASE-технологий при разработке приложений; приобретение навыков самостоятельной работы при создании концептуальных и логических моделей данных, при разработке физических моделей и управлению базой данных
41119. Общие сведения о SQL 3.27 MB
  Сегодня Oracle поставляет на мировой рынок огромное количество продуктов, услуг и решений, ее штат насчитывает более 43 тыс. человек, и доход этой компании, превысивший в 2000 году 10 млрд. долл., определяется не только продажами СУБД.
41120. Параллельные вычислительные системы 467 KB
  К распараллеливанию прибегают при проектировании отдельных устройств ЭВМ устройств управления буферов команд каналов обращения к памяти и модулей памяти многофункциональных арифметическологических устройств АЛУ повсеместно применяемых конвейеров и т. Сложилось представление о двух основных уровнях на которых в ВС применяются практические методы распараллеливания: на уровне программ процессов процедур первый уровень распараллеливания; на уровне команд и операций второй уровень распараллеливания. Уровень команд и операций...
41121. ПСИХОЛОГІЯ СТРАХУ ТА ФОБІЙ 69.5 KB
  Ознайомити студентів з особливостями емоції страху. Основні завдання: Охарактеризувати страх як емоційний стан поняття психологічна характеристика переживання страху причини та види страхів; Охарактеризувати фобію як емоційний стан; Порівняння емоцій страху та фобій; Визначити психотерапевтичні методи подолання страхів та фобій. Визначення емоційного стану людини за зовнішніми показниками Після читання лекції Характеристика страху та фобії; причини та наслідки переживання страхів та фобій; знання основних методів...
41122. учасні приклади біотехнологій в архітектурі.Об’єкти екологічного дизайну 1.48 MB
  Біосферна концепція розвитку екосистеми міста дизайнерські рішення як один з запобіжних факторів по зменшенню антропогенного навантаження на довкілля сучасні приклади проектування біопозитивних споруд В наш час багато Європейських організацій в тому числі і урядових структур погоджуються з тим що міста відіграють надзвичайно важливу роль в питаннях повязаних із зміною клімату. Усвідомлення цієї концепції відбулося через численні конференції та обговорення внаслідок чого деякі організацій виробили чітке прогресивне бачення того як...