32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

48 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31654. Понятие деятельности 29 KB
  Понятие деятельности. Что может создать человек в деятельности: предметы материальной и духовной культуры сохраняет и совершенствует природу строит современное общество производит на свет новые предметы потребления Главные критерии деятельности человека: Деятельность человека носит продуктивный творческий созидательный характер. Мотивы человеческой деятельности могут быть самыми различными: Органическими направлены на удовлетворение естественных потребностей организма ростом самосохранением и развитием организма...
31655. Мотивы учебной деятельности 38.5 KB
  Мотивы учебной деятельности. Исследование мотивации учения младших школьников показало что 1ое место занимают широкие социальные мотивы особенно мотивы самосовершенствования и самоопределения от 1го к 3му классу растет число указаний на данные мотивы. На 2м месте оказались мотивы долга и ответственности. Учебнопознавательные мотивы не занимают ведущего места на протяжении всего младшего школьного возраста.
31656. Методы социально-психологического обучения в деятельности педагога 57 KB
  Методы социальнопсихологического обучения это методы которые побуждают учащихся к активной мыслительной и практической деятельности в процессе овладения учебным материалом. Методы социальнопсихологического обучения делятся на 3 группы: дискуссионные методы игровые методы и тренинговые методы.Дискуссионные методы.
31657. Тестирование как исследовательский метод 40 KB
  Тесты представляют собой модельные ситуации с их помощью выявляются реакции свойственные индивиду которые считаются совокупностью показателей исследуемого признака. В педагогической психологии используются все типы существующих тестов однако наиболее часто востребованы тесты достижений. Тесты позволяют дать оценку индивида в соответствии с поставленной целью исследования; удобство математической обработки; являются относительно оперативным способом оценки большого числа неизвестных лиц; обеспечивают сопоставимость информации полученной...
31658. Психолого-педагогическое сопровождение развития личности ребенка в образовательной процессе 52 KB
  Тесты классифицируются по разным признакам. По виду свойств личности они делятся на тесты достижений и личностные. К первым относятся тесты интеллекта школьной успеваемости тесты на творчество тесты на способности сенсорные и моторные тесты. Ко вторым тесты на установки на интересы на темперамент характерологические тесты мотивационные тесты.
31659. Чотири типи темпераменту 37.5 KB
  Якщо у мами і дитини темперамент схожий вони швидше порозуміються якщо ж темпераменти різко відрізняються мама – холерик малюк – флегматик це веде до проблем в спілкуванні з дитиною в її вихованні тому що мама часто вимагає від дитини те на що вона не здатна бути лідером в спілкуванні з однолітками бути розкутою швидко одягатися і так далі. У цьому випадку дорослому варто підстроїтися під дитину враховувати її індивідуальні особливості контролювати свої емоції щоб не зародити у малюка комплекс неповноцінності. Вона вертка і...
31660. Поняття про здібності 62.5 KB
  Психологія заперечуючи тотожність здібностей і істотно важливих компонентів діяльності знань умінь і навичок підкреслює їхню єдність. Здібності виявляються тільки в діяльності і притім тільки в такий діяльності що не може здійснюватися без наявності цих здібностей. Не можна говорити про здібності дитини до малювання якщо його не намагаються навчати малювати якщо він не здобуває ніяких навичок необхідних для образотворчої діяльності. У чому ж виражається єдність здібностей з одного боку і умінь знань і навичок з інший Здібності...
31661. Поняття про характер 42.5 KB
  Такі психологічні особливості особистості називають рисами характеру. Історія знає багатьох політичних громадських і військових діячів які завдяки силі позитивних рис свого характеру сприяли прогресу суспільства тоді як особи з негативними рисами характеру або зі слабким характером призводили до його занепаду. Структура характеру Характер як одна з істотних особливостей психічного складу особистості є цілісним утворенням що характеризує людське Я як єдність. Розуміння характеру як єдності його рис не виключає виокремлення в ньому деяких...
31662. ВІКОВА ПСИХОЛОГІЯ ЯК ГАЛУЗЬ ПСИХОЛОГІЧНОЇ НАУКИ 127.5 KB
  Вікова психологія галузь психологічної науки яка вивчає особливості психічного та особистісного розвитку людини на різних етапах її життя. Його специфіка полягає передусім у тому що протягом життя в психіці людини відбуваються різні якісні перетворення дослідження яких потребує системного з'ясування загальних закономірностей вікового розвитку. Предметом дослідження вікової психології є вікова динаміка закономірності фактори умови механізми становлення формування та розвитку особистості. Вікова психологія вивчає загальні...