32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

45 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32334. Понятие и роль социальных норм. Деление их на обычаи, нравственные, правовые, корпоративные. Взаимосвязь правовых и иных социальных норм. Другие основания классификации социальных норм 55 KB
  Важнейшим средством организации общественных отношений являются социальные нормы: нормы права нормы морали нормы общественных организаций нормы традиций обычаев и ритуалов. Эти нормы обеспечивают наиболее целесообразное и гармоничное функционирование общества в соответствии с потребностями его развития. Социальные нормы это правила регулирующие поведение людей и деятельность организаций в их взаимоотношениях. Социальные нормы характеризуются рядом признаков: 1.
32335. Сущность права, признаки права и определение его понятия на основе нормативного подхода. Иные подходы к определению понятия права 43.5 KB
  Сущность права признаки права и определение его понятия на основе нормативного подхода. Иные подходы к определению понятия права. Специфика права проявляется в его признаках которые содержатся в приведенном выше определении. Эти признаки заключаются в следующем: 1 право носило волевой характер ибо оно есть проявление воли и сознания людей но не любой воли а прежде всего государственно выраженной воли классов социальных групп элит большинства членов общества; 2 общеобязательность в чем воплощается суверенитет государства...
32336. Характеристика права с позиции естественно-правовой, исторической, психологической, социологической школы. Их оценка. Соотношение права и закона в различных концепциях 43.5 KB
  Характеристика права с позиции естественноправовой исторической психологической социологической школы. Соотношение права и закона в различных концепциях. Становление права есть процесс и результат целенаправленной деятельности человека включающий в себя познание права его восприятие оценку и отношение к нему как к целостному социальному явлению. Учитывая такой плюрализм мнений и сложную природу самого права И.
32337. Право и нравственность (мораль) в современных условиях. Их единство, различие и взаимодействие. Возможные противоречия и пути преодоления 46 KB
  Поэтому не все ученые считают нормы нравственности явлением исключительно социальным. Человек как бы извлекает из себя нормы своего поведения в себе в глубине своей души дает оценку своим действиям. Согласно ей нормы морали имеют двоякую природу: одни имеют в виду самого индивида другие отношение индивида к обществу. Другие же категорически утверждают что нормы нравственности это требования обращенные к человеку извне.
32338. Правовая система. Понятие, элементы, их характеристика. Правовая система и правовое регулирование 48 KB
  В отечественной юриспруденции вопросы правовой системы общества стали интенсивно разрабатываться в конце 1970х начале 1980х годов. Другими словами возникла насущная потребность в синтезе правовой мысли в объединении накопленных знаний и создании целостной системной картины правового регулирования. Понятие правовая система должно быть результатом системного подхода ко всей правовой действительности как к единому объекту результатом проекции на правовую действительность системных категорий прежде всего понятия система . В итоге такого...
32339. Понятие функций права. Система функций права 34 KB
  Понятие функций права. Система функций права. Значение права его роль в жизни общества во многом определяется теми функциями которые выполняет право в процессе воздействия на общественные отношения. Функции права это основные пути каналы правового воздействия выражающие роль права в упорядочении общественных отношений.
32340. Понятие типа права на основе формационного подхода. Характеристика отдельных типов 49.5 KB
  Рабовладельческое право.государством находилось право.права наиболее ярко проявлялся в таких важнейших для того времени нормативноправовых актах как законы Солона в Афинах и Сервия Тулия в Риме выделявшие имущественное неравенство и делившие все население страны в зависимости от их положения в социальной структуре общества на касты варны и др. Полное бесправие рабов и открытое социальное неравенство среди свободных закреплялись также в ряде таких правовых памятников эпохи рабовладения какими были законы Хамурапи – в Др.
32341. Понятие правовой семьи. Характеристика важнейших правовых семей. Место российской правовой системы в панораме национальных правовых систем современности 44 KB
  В зависимости от вышеназванных признаков выделяют следующие основные правовые семьи: 1 романогерманскую семью континентального права; 2 англосаксонскую семью общего права; 3 религиозную семью мусульманского и индусского права; 4 традиционную семью обычного права. Среди признаков романогерманской правовой семьи можно выделить следующие: единая иерархически построенная система источников писаного права доминирующее место в которой занимают нормативные акты законодательство; главная роль в формировании права отводится...
32342. Правовой статус личности в государстве. Понятие правового статуса. Содержание правового статуса. Правовой статус и фактическое положение граждан 38.5 KB
  Правовой статус личности в государстве. Понятие правового статуса. Содержание правового статуса. Правовой статус и фактическое положение граждан.