32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

50 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51500. Сегментирование рынка, выбор целевых 459.5 KB
  Перечислить основные принципы сегментирования потребительских рынков и рынков товаров промышленного назначения. Как руководство Кокаколы так и руководство Пепсико намерены продолжать политику сегментирования рынка при создании новых товаров. Роджер Энрико из фирмы Пепсико подчеркивает значение демографических тенденций в качестве отправной точки при создании новых товаров ибо по мере старения населения будут меняться и его нужды и его потребности а это даст ключи к дальнейшему сегментированию1. В этом случае продавец производит...
51501. Разработка товаров: подход к разработке новых товаров и проблемам жизненного цикла товара 433.5 KB
  Перечислить и охарактеризовать этапы процесса разработки нового товара. Рассказать как меняется стратегия маркетинга по ходу жизненного цикла товара. На лице товара начали появляться морщины.
51502. Методы распространения товаров: каналы распределения и товародвижение 534 KB
  Для того чтобы добиться с помощью прямого маркетинга экономичности системы массового распределения многим производителям нужно было бы стать посредниками в продаже товаров других производителей. На потребительских рынках этим посредником обычно бывает розничный торговец а на рынках товаров промышленного назначения им нередко оказывается агент по сбыту или брокер. На потребительских рынках такими посредниками обычно становится оптовый и розничный торговцы на рынках товаров промышленного назначения это могут быть промышленный дистрибьютор и...
51503. Продвижение товаров: стратегия коммуникации и стимулирования 431.5 KB
  Назвать и охарактеризовать четыре основные составляющие комплекса стимулирования. Объяснить как происходит составление сметы расходов и отбор элементов комплекса стимулирования. Рассказать о четырех факторах оказывающих влияние на структуру комплекса стимулирования.
51504. Продвижение товаров: личная продажа и управление сбытом 429 KB
  Рассказать о роли торгового агента фирмы. Описать три варианта структурной организации торгового аппарата фирмы и рассказать о преимуществах и недостатках каждого из них. Пояснить каким образом фирмы оценивают эффективность деятельности своих торговых агентов. Порученецразъяснитель фирмы Мерк энд К продвигает новые лекарства фирмы в штате Теннесси Даже будучи в полном здравии Рей Хендерсон проводит много времени в приемных врачей.
51505. Решение о методах выхода на рынок 505.5 KB
  Партнеры могут разойтись во мнениях относительно капиталовложений маркетинга и прочих принципов деятельности. Более того совместное владение может затруднить транснациональной компании проведение в жизнь конкретных политических установок и сфере производства и маркетинга во всемирном масштабе. Вчетвертых фирма сохраняет полный контроль над своими капиталовложениями и следовательно может разрабатывать такие политические установки в области производства и маркетинга которые будут отвечать ее долговременным задачам в...
51507. Расчет и конструирование элементов одноэтажного промышленного здания в сборном железобетоне. Элемент балка 1.55 MB
  Увеличение объема капитального строительства при одновременном расширении области применения бетона и железобетона требует всемерного облегчения конструкций и, следовательно, постоянного совершенствования методов их расчета и конструирования.
51508. Выставочный павильон. Расчет дощатой гнутоклееной рамы 232.84 KB
  В данной пояснительной записке представлены расчеты основной не-сущей конструкции проектируемого здания – дощатой гнутоклееной рамы. В ней также приведены расчеты и конструирование ограждающих конструкций, узловых соединений, выбраны мероприятия по защите элементов от гниения и возгорания.