32237

Оптимальное управление. Определение оптимального управления. Критерии оптимальности

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количественная мера по которой производится сравнительная оценка качества управления и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления называется критерием оптимизации. Если эту меру критерий можно выразить формально в виде математического выражения то тогда можно задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом. Необходимо найти такой закон управления объектом Ut или UХ где tвремя X внутренние и выходные переменные координаты объекта управления...

Русский

2013-09-04

370.5 KB

51 чел.

Лекция №1

Оптимальное управление

Определение оптимального управления. Критерии оптимальности.

Оптимально - значит лучше (наилучше). Для оценки (определения) что лучше и, тем более что самое наилучшее (т. е. оптимальное), требуется показатель, который называется критерием.

Критерий (от греч. «критериус») - оценочная мера, отличительный признак на основе которого производится оценка, определение или классификация.

  Управление называется оптимальным, если оно обеспечивает наилучший в определенном смысле результат. В простейшем случае оценочным показателем является устойчивость (или запас устойчивости), точность в установившемся режиме, степень уменьшения влияния внешних воздействий, качество переходных процессов.

  Количественная мера, по которой производится сравнительная оценка качества управления, и которая включает в себя максимальное количество отдельных показателей качества управления,  называется критерием оптимизации.

  Если эту меру (критерий) можно выразить формально в виде математического выражения, то тогда можно  задачу синтеза оптимального управления сформулировать следующим образом.

Необходимо найти такой закон управления объектом U(t) или U(Х), где t-время, X - внутренние и выходные переменные (координаты) объекта управления, который обеспечивает экстремальное значение критерию оптимальности J(U).

Критерием оптимальности могут служить величины, характеризующие технические и экономические показатели. Одни критерии требуются сделать максимально возможными (например, производительность технологической установки), другой критерий требуется сделать минимально возможным (например, расход энергии в переходных процессах).

Выбор критерия оптимальности является сложной и творческой задачей. Критерий должен отвечать следующим требованиям:

- отражать максимально точно эффективность управления по техническим или/и экономическим параметрам;

- быть аналитичным, т.е. позволять решать задачу определения оптимального  закона управления формальным, аналитическим путем.

Таким требованиям в максимальной степени отвечают интегральные критерии качества управления.

Виды интегральных критериев и их физический смысл

Простейший интегральный критерий имеет следующий вид:

 ,         (1)

где  x(t) = q3(t) – y(t) – отклонение выходной величины объекта управления от заданного (эталонного) значения. При q3 = 1(t) интеграл (1) равен площади ограниченной кривой q3  и y(t), как показано на рис.1.

Рис. 1. Физический смысл критерия (1)

Оптимальным по критерию (1) будет такое управление, при котором заштрихованная площадь будет минимальна, т.е. когда y(t)  будет наиболее близка к qз (t). В идеале J =0, т е переходный процесс заканчивается  мгновенно.

Главным недостатком критерия (1) является то, что он применим только для монотонных процессов. При процессе с перерегулированием или при колебаниях значение интеграла (1) может оказаться минимальным при низком качестве переходного процесса, так как площади под кривыми q3(t) и y(t) будут иметь разные знаки, т. е. площади будут вычитаться (см. рис 2).

Рис 2 Вычисление величины критерия (1) при колебательном процессе

Избавиться от знака площади позволяет квадратичный интегральный критерий следующего вида:

                (2)

Поэтому критерий (2) нашел широкое практическое применение.

Применение квадратичного интегрального критерия позволяет не только определять законы управления, которые минимизируют отклонение регулируемой  величины от заданного значения, но и минимизировать расход  энергии, затрачиваемой на переходный процесс-перевод объекта управления (рис 3) из одного состояния в другое.

Рис.3. Модель объекта управления в виде передатрчной функции

Энергия, затрачиваемая на переходный процесс, будет пропорциональна  квадрату амплитуды управляющего воздействия U(t), поэтому интегральный критерий, определяющий оптимальный процесс, требующий минимальный расход энергии, будет иметь следующий вид:

.             (3)

Объединение критериев (2) и (3) дает критерий оптимальности, ограничивающий как отклонение регулируемой величины, так и мощности:

  ,   (4)

Где q и c – постоянные коэффициенты, задаваемые в зависимости от того, в какой степени необходимо ограничить   , а в какой

С помощью квадратичного интегрального критерия можно ограничивать также скорость, ускорение и т. д. регулируемой величины:

.   (5)

При синтезе  оптимального закона управления, минимального по расходу материального ресурса (например, топлива) применяется критерий следующего вида:

.           (6)

Интегральный критерий

.    (7)

определяет наиболее быстрый переходный процесс (оптимальный по быстродействию), т. к. его решение дает время, за которое заканчивается переходный процесс: tkmin.

От описания объекта управления в виде передаточной функции

можно перейти к описанию в виде дифференциального уравнения “n”-ого порядка

 (8)

От описания объекта управления в форме уравнения (8) можно перейти к описанию в виде «n» дифференциальных уравнений первого порядка (см. Приложение 1)

Переменные х1, х2, …, хn – называется координатами состояния объекта. В этом случае выходная величина объекта равняется взвешенной суммой координат хi:

,                    (10)

В матричной форме уравнения (9) и (10) записывается следующим образом:

где  X={x1,x2,…,xn}   -вектор координат состояния объекта, А- коэффициентная  квадратная матрица, размерностью [n х n], B- матрица-столбец управляющего воздействия (входная матрица), размерностью [n х 1], С- выходная матрица-строка, размерностью [1 х n].

В общем случае объект может иметь несколько управляющих воздействий и несколько выходных величин. Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

где А-матрица [n*n], В-матрица [n х m], С-матрица [к х n], m-число управляющих воздействий, к- число выходных величин.

Для модели объекта в  виде (11) или (12) критерии (1) запишется, как

,      (13)

Или в матричной форме:

,               (14)

где Q=diag{q1,q2,…,q3}

Квадратичный интегральный критерий (3), соответственно будет:

,       (15)

или в матричной форме

     , (16)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75363. ТРУДОВИЙ ПОТЕНЦІАЛ ПІДПРИЄМСТВА ТА ЙОГО ОЦІНЮВАННЯ 210.5 KB
  Роль і значення трудового потенціалу в економічних відносинах. Методологія оцінювання трудового потенціалу підприємства. Методики оцінювання трудового потенціалу підприємства. Роль і значення трудового потенціалу в економічних відносинах Трудові ресурси це економічно активна працездатна частина населення регіону яка володіє фізичними і культурноосвітніми можливостями для участі у економічній діяльності підприємства організації.
75364. ОЦІНЮВАННЯ ВАРТОСТІ БІЗНЕСУ 234 KB
  Відповідно до міжнародних стандартів, оцінювання вартості бізнесу — це акт чи процес формування точки зору оцінювача та підрахунку вартості бізнесу, цілісного майнового комплексу або пов’язаних з ним прав. Визначення вартості окремих елементів бізнесу досліджувалося у попередніх розділах
75365. СУТНІСНА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВА 134 KB
  Властивості потенціалу підприємства. Воблого знайшло обґрунтування поняття потенціалу виробничих сил як потенційної можливості країни виробляти матеріальні блага для задоволення потреб населення. До складових потенціалу в цьому розумінні відносять відповідні трудові матеріальні фінансові та інформаційні ресурси які залучаються у сферу вдосконалення виробництва.
75366. МЕТОДИЧНІ ПІДХОДИ ДО ОЦІНЮВАННЯ ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВА 333.5 KB
  У випадку визначення майбутньої корисності від господарського використання обєкту тобто розміру чистого потоку капіталу отриманого інвесторомвласником від експлуатації земельної ділянки будівлі чи споруди очевидно що аналітик апріорі розраховує можливу вартість обєкту. Усі мультиплікатори поділяються на дві групи у залежності від виокремленої ознаки: Залежно від бази порівняння: ресурсні мультиплікатори у якості бази порівняння беруться суми витрат наприклад вартість капітал підприємства; результатні мультиплікатори у якості...
75367. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ОЦІНЮВАННЯ ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВА 142 KB
  Визначити вартість основних виробничих фондів і оборотних фондів досить легко але дати вартісну оцінку трудових ресурсів можна лише непрямим шляхом і з достатнім ступенем умовності що посилюється ще і тим що для живої праці визначальне значення мають її якісні характеристики. Поняття вартості та її модифікації Вартість це гроші чи грошовий еквівалент який покупець готовий обміняти на якийнебудь предмет чи обєкт. Вартість це міра того скільки гіпотетичний покупець готовий заплатити за оцінювану вартість. Витрати впливають на ринкову...
75368. Розвиток підприємства: зміст, сучасні концепції та передумови 831 KB
  Розвиток підприємства: зміст сучасні концепції та передумови Поняття економічного розвитку підприємства Підприємницька діяльність передбачає динамічність розвиток і зростання. Його джерелами для підприємства виступають вміння максимально задіяти внутрішні ресурси наявність добре розвинених видів діяльності та ринків збуту постійний процес розробки та впровадження інновацій здатність швидко реагувати на зміни на ринку і використовувати надані можливості. Економічне зростання підприємства розглядають насамперед як необхідну умову...
75370. ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 700.5 KB
  Широкополосный разветвитель или же разветвитель нечувствительный к длине волны устройство работающее в двух окнах прозрачности: 1310 и 1550 нм. Другими словами вносимые потери должны быть одинаковы для любой длины волны в одном из окон. Мультиплексоры-демультиплексоры с разделением по длине волны устройства ветвления формально ничем не отличающиеся от разветвителей.
75371. Обзор нелинейных оптических эффектов в стеклянном волокне 408.5 KB
  Четырехволновое смешение Для тех кто пришел из радиосвязи или беспроводной радиосвязи четырехволновое смешение ЧВС напоминает нам продукты третьего порядка. ЧВС заявляет о себе появлением побочных сигналов некоторые из которых могут соответствовать частотам рабочих каналов.5 ЧВС может возникать даже в одноканальных системах между рабочим сигналом и составляющими SE ОУ а также между основной и боковыми модами. Две оптических волны распространяющиеся вдоль волокна генерируют ЧВС с высокой степенью эффективности если согласуются...