32238

Определение оптимального управления формулируется в виде трех типов задач

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Дана замкнутая система управления объект управления и регулятор. Второй тип задач: Дана разомкнутая система автоматического управления. В итоге решения этой задачи получается оптимальная система программного управления см.

Русский

2013-09-04

169 KB

2 чел.

Лекция №2

Определение оптимального управления формулируется в виде трех типов задач.

Первый тип задач: формулируется следующим образом. Дана замкнутая система управления - объект управления  и регулятор. Структура регулятора известна (например, П- или ПИ-регулятор). Нужно определить оптимальные значения коэффициентов этого регулятора, при  которых будет  обеспечивается экстремальное значение (как правило минимальное) критерия оптимальности. Такую задачу можно назвать параметрической оптимизацией.

Второй тип задач:  Дана разомкнутая система автоматического управления. Требуется определить оптимальный закон измерения управляющего воздействия Uопт(t) при котором обеспечивается минимальное значение критерия оптимальности. В итоге решения этой задачи получается оптимальная система программного управления (см. рис 2.1). Такую задачу можно назвать программной оптимизацией.

                                             Uопт(t)                          Y(t)

     

  Рис 2.1 Разомкнутая оптимальная система управления

Третий тип задач: дана замкнутая система управления, структура и параметры регулятора не известны. Их требуется определить исходя из минимизации заданного критерия оптимальности. В результате определяется закон (алгоритм) работы оптимального изменения управляющего воздействия к зависимости (в функции) от состояния объекта управления Uопт(Х), где вектор координат состояния Х. Общая структура такой оптимальной  системы  представлена на рисунке 2.2. Эту задачу можно назвать задачей структурного синтеза оптимального регулятора.

  qз                 х1                                               Uопт(Х)                              Y

          

                                                  x2,x3,…,xn                           

Рис 2.2 общий вид оптимальной замкнутой системы управления

Рассмотрим метод решения задачи параметрической оптимизации.

Дана передаточная функция замкнутой системы управления (рисунок 2.3)

      qз                     x                                    U                                 Y

  

Рис 2.3 структурная схема замкнутой системы автоматического управления

Передаточная функция замкнутой системы, очевидна, будет:

Или в развернутом виде

     (2.1)

Согласно (2.1) управление свободного движения будет описываться дифференциальным уравнением

                                    an+ an-1+…+ a1+ a0y = 0    (2.2)

Запишем уравнение(2.3) в отклонениях состояния системы от заданного состояния.(х=qз-y).при этом очевидно выражение свободного движения будет таким же

an + an-1+…+ a1 + a0x =0

Критерием оптимальности является  интегральный критерий(1.1), т.е.

(2.3)

Кроме того заданны начальные условия, т.е. состояние системы при t = 0:

,

а так же заданны конечные условия, т.е. состояние системы в установившемся значении (t = ∞). Очевидно, что Хк= 0, т.е. система достигла заданного значения, и все производные , будут равны нулю.

Решение этой задачи достаточно очевидно (данная методика была предложена В.С. Кулебякиным). Проинтегрируем уравнение (2.2)

.(2.4)

Последнее слагаемое в (2.4) пропорционально критерию оптимальности(2.2). Следовательно, с учетом начальных и конечных условий получим:

.(2.5)

В выражении (2.5) часть коэффициентов ai от параметров передаточной функции регулятора. Поэтому что бы определить оптимальное значение этого параметра при котором критерий J достигает минимального значения, необходимо найти частную производную по этому параметру и прировнять её к  нулю =0 (2.6)

Из выражения (2.6) можно найти оптимальное значение параметра (коэффициента) или нескольких параметров (коэффициентов) регулятора

Пример: дана  замкнутая САУ (рис.2.1)

                 qз                 х                                       u                                   Y

                             Рис. 2.1 Замкнутая САУ с П- регулятором      

Передаточная функция замкнутой системы:

.(п.2.1)

Следовательно, уравнение свободного движения будет следующим

,(п.2.2)

где     а1+T0;  a0=1+K0Kп                                                              (п.2.3)

Необходимо определить оптимальное значение коэффициента П-регулятора из условия минимума критерия (2.3).

В соответствии  с выражением (2.5) получим:

.                             (п.2.4)

Из выражения (п.2.4) следует очевидный и хорошо известный вывод что чем больше  Kп  тем меньше будет критерий J, так как будет уменьшаться результирующая постоянная времени замкнутой САУ. Это следует из (п.2.1). запишем его в следующем виде:

,     (п.2.5)

где   T0' =T0.     (см. рис. 2.2).

Максимальная величина Kп  ограничивается допустимым максимальным значением управляющего воздействия

        Kпм =                                      (п.2.3)

             y               T0'2                           T0'1                         

                                        qз

                                                                               t

Рис. 2.2. Кривые переходных процессов при Kп2  > Kп1  (T'02 < T'02)

Данный метод достаточно прост и очевиден, однако он применим  только в простейших случаях. Задача значительно усложняется, если структура регулятора содержит несколько коэффициентов, а объект описывается уравнением с порядком n>2. Кроме того, для более совершенного критерия - квадратичного (см. выражение(1.2)) методика определения аналитической зависимости этого критерия от параметров замкнутой система так же значительно усложняется (см. приложение 2). По этому данный метод параметрической оптимизации не нашёл широкого применения.

Более эффективным является определение законов оптимального управления путем решения задач второго и третьего типов методом вариационного исчисления.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65146. ЗАЩИТНОЕ ВООРУЖЕНИЕ СТЕПНОЙ ЗОНЫ ЕВРАЗИИ И ПРИМЫКАЮЩИХ К НЕЙ ТЕРРИТОРИЙ В I ТЫСЯЧЕЛЕТИИ НАШЕЙ ЭРЫ 624.5 KB
  Наиболее масштабные работы по интересующей теме принадлежат, пожалуй, О. Гамберу, и Ю. С. Худякову, хотя исследователи являют полную противоположность друг другу. Маститый венский оружиевед строит свои выводы на основании широчайшего обзора материалов: с территории от Британии до Японии...
65147. Куликовская битва 1380 год. Русский и золотоордынский воины 610.5 KB
  Куликовская битва — одно из важнейших событий в средневековой отечественной истории — сыграла серьезную роль в процессе освобождения Руси от татаро-монгольского ига, в процессе консолидации русских государств-княжеств вокруг одного из них...
65148. Загадочная война Субэдэя с русскими 95.5 KB
  Это с одной стороны а с другой что за загадочные Тулисыгэ русский город и Елебань владетель или господин племени русских Попытавшись прояснить вопрос во втором жизнеописании Субэдэя в Юань ши их по ошибке оказалось два созданных разными...
65149. О ДАТАХ ЖИЗНИ ЧИНГИСХАНА 112 KB
  Если относительно смерти Чингисхана существует общепринятая дата август 1227 года которая подтверждена всеми основными источниками то относительно его рождения до сих пор нет такого согласия ни в источниках ни в исследованиях ни в официозе.
65150. Осадные технологии монголов 645 KB
  Данная тема имеет особое значение при рассмотрении военного государства Чингисхана кроме развития тактики и стратегии применения конницы естественной для кочевников военной силы монголы эффективно сокрушали крепости и города в государствах развитых оседлых народов.
65151. Русь и тюрко-монгольский мир за 1500 лет 102.5 KB
  Русские князья предпочли отказаться от этой чести и решили сражаться до последнего. В этом случае русские фактически выступают союзниками Великого Булгара бывшего в подчинении у Хазарии и долго добивавшегося независимости.
65152. Великий западный поход чингизидов на Булгар, Русь и Центральную Европу 294 KB
  Этот поход начался с разгрома Булгара и владений приволжско-уральских народов: саксинов, мордвы, суваров, вотяков и других. Принятие решения о нем известно в передаче нескольких источников, приведем текст Джувейни...
65153. К ВОПРОСУ О ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ЧИСЛЕННОСТИ МОНГОЛОВ В УЛУСЕ ДЖУЧИ 78.5 KB
  Обычно ссылаются на 4 тысячи монголов о которых сообщает Рашид ад Дин как о выделенных Чингисханом войсках для улуса Джучи. Действительно у Рашид ад Дина есть раскладка монгольских тысяч которые Чингисхан согласно трактовке...
65154. Материалы источников по битве при Калке 106 KB
  Татары же повернули назад и пошли в свои вежи. Дошли вести в стан что пришли татары посмотреть русские ладьи; услышав же об этом Даниил Романович и сев на коня погнался посмотреть на невиданную рать; и бывшие с ним конники и многие другие князья вместе с ним помчались смотреть невиданное войско.