32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из “n†уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15847. Эйзенштейн сегодня 93.5 KB
  Н.Клейман О.Косолапов Н.Сиривля ЭЙЗЕНШТЕЙН СЕГОДНЯ1 Наталья Сиривля. Со дня смерти Эйзенштейна прошло уже почти пятьдесят лет но мы до сих пор не в состоянии освоить его наследие. Отношение к нему все время меняется: мы то низвергаем его то вновь водружаем на пьеде
15848. Проблема постмодерна и фильм Питера Гринауэя «Брюхо архитектора» 154.5 KB
  Г. С. Кнабе Проблема постмодерна и фильм Питера Гринауэя Брюхо архитектора Кнабе Г.С. Древо познания древо жизни. М.: РГГУ 2006 с. 331344 Предметом настоящих заметок будет духовная и социокультурная ситуация в которой сегодня находится большая ч
15849. КИНО — ИСКУССТВО ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ 56.5 KB
  Aлександр Княжинский €œКИНО ИСКУССТВО ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ€1 Из лекции во ВГИКе Давайте начнем с самого начала... Первое к чему я вас призываю никогда не натаскивайте в павильон где вам предстоит снимать много реквизита. Что обычно происходит в процессе съемки Ас...
15850. Взрывобезопасность. Взрывозащищенное (Ex) оборудование 488 KB
  Вид взрывозащиты – специальные меры, предусмотренные в электрооборудовании с целью предотвращения воспламенения окружающей взрывоопасной среды; совокупность средств взрывозащиты электрооборудования, установленная нормативными документами.
15851. Психоанализ о кино и кино о психоанализе 86 KB
  Ксения Корбут Психоанализ о кинои кино о психоанализе Данная статья представляет собой краткий обзор психоаналитических размышлений о кино и предназначается для тех кто не только любит кино но и хочет знать как же оно воздействует на зрителей. Иначе говоря кому инт...
15852. Язык-это баланс, а фильм-сюрприз 51.5 KB
  Дэвид Кроненберг Язык это баланс а фильм сюрприз1 Журнал Стюдио Studio Франция ведет рубрику Урок кино предназначенную для массового читателя и начинающих кинематографистов. В ней выступают многие крупные режиссеры излагающие свои вз
15853. Режиссер - это хозяин 135 KB
  Дэвид Линч РЕЖИССЕР ЭТО ХОЗЯИН1 В юности я хотел стать художником. Но во время занятий живописью я снял маленький мультфильм для того чтобы показывать его без перерыва нонстоп то есть в виде кольца на объемном так называемом скульптурном эк...
15854. Титаник. Спецэффекты в фильме 627.5 KB
  Титаник. Спецэффекты в фильме Автор: Дмитрий Мороз Титаник корабльлегенда изза своего катастрофического крушения навеки оставшийся в памяти простых смертных. Титаник фильм снятый за умопомрачительные 200 млн. долларов и ставший в итоге самой кассовой картин...
15855. ПАВЕЛ ПЕЧЕНКИН: ВРЕМЯ В ДОКУМЕНТАЛЬНОМ КИНО 57.5 KB
  ПАВЕЛ ПЕЧЕНКИН: ВРЕМЯ В ДОКУМЕНТАЛЬНОМ КИНО Интересно поговорить на тему которая объявлена немного провокационно в названии нашего фестиваля новое документальное кино. Мы должны всетаки решить есть оно или нет. Поэтому у меня в программе был заявлен доклад Акс