32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из ânâ уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1433. Проект для строительства завода по ремонту бытовых машин в городе Белово 128.5 KB
  Проект разработан для строительства в городе Белово, преобладающее направление ветров ЮЗ с силой 0.38 кПа. Нормативное значение веса снегового покрова принято 1.5 кПа. Глубина промерзания грунтов 2.2 м. Температура наружного воздуха наиболее холодной пятидневки – 400С.
1434. Экономическое обоснование проектирования двигателя 124.5 KB
  Целью расчетов является обоснование экономической целесообразности создания и применения спроектированного двигателя. Решение принимается на основе расчета экономического эффекта путем сопоставления результатов и затрат по проектируемому и базовому вариантам при условии сопоставимости их по объему
1435. Уровневые фронтальные лабораторные работы 231.52 KB
  Составной частью исследуемой проблематики является уровневый подход к формированию практических умений и навыков школьников. Для реализации этой цели учителем разработаны уровневые фронтальные лабораторные работы, и примеры использования проектной технологии как возможности вариативной организации учебных занятий.
1436. Алгоритм решения задачи с использованием программ Microsoft Excel и MathCAD 265.69 KB
  Данная работа посвящена автоматизации процессов расчетов. Ее целью является закрепление знаний по всем разделам дисциплины Информатика, проверка навыков практической работы с программными средствами обработки информации.
1437. Основные модели данных 182.57 KB
  В зависимости от используемой модели СУБД называются соответственно: сетевыми, иерархическими и реляционными. Манипулирование данными. Сетевая база данных. Достоинства и недостатки иерархических и сетевых СУБД.
1438. Теоретическое и экспериментальное исследование процесса сушки абрикос с применением токов высокой частоты 3.32 MB
  Современные теоретические представления о тепло- массопереносе в процессах сушки. Электрофизические параметры абрикос и их влияние на объемное тепловыделение. Экспериментальное определение электрофизических параметров абрикос. Математическая модель динамики изменения электрофизических параметров абрикос.
1439. Использование распознавания образов для обработки и восстановления музыкальных сигналов 7.15 MB
  Определение полного перечня признаков, характеризующих объекты, преобразование информации при распознавании музыкального сигнала. Статический подход к распознаванию образов. Общая характеристика современной техники восстановления.
1440. Лингвопереводческие концепции американских переводоведов второй половины ХХ-начала ХХІ века 19.04 MB
  Перевод как один из древнейших видов человеческой деятельности, его роль в развитии социума, особая роль лингвопереводческих концепций Ю.А. Найды в развитии теории и практики межъязыковой коммуникации в США. Предпосылки развития генеративной лингвистики, формальная и динамическая эквивалентность, роль рецептора перевода.
1441. Методика складання розкладу занять 213.34 KB
  Важливим елементом організації роботи навчального закладу є науковий підхід до складання розкладу занять, розглянутий у роботі В.Пайкеса Методика складання розкладу занять у загальноосвітній установі. Раціонально складений розклад занять сприяє ефективності НВП, зниженню і ліквідації перевантажень учнів, підвищенню працездатності учнів і вчителів.