32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из “n†уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24432. Протокол TCP. Формат заголовка TCP 135.5 KB
  Протокол TCP. Формат заголовка TCP. TCP Transmission Control Protocol гарантированный протокол транспортного уровня с предварительным установлением соединения предоставляющий приложению надёжный поток данных дающий уверенность в безошибочности получаемых данных перезапрашивающий данные в случае потери и устраняющий дублирование данных. Протокол TCP взаимодействует через межуровневые интерфейсы с ниже лежащим протоколом IP и с выше лежащими протоколами прикладного уровня или приложениями.
24433. Принципы одноадресной маршрутизации. Структура и типы записей таблицы маршрутизации. Протоколы маршрутизации 72 KB
  Принципы одноадресной маршрутизации. Структура и типы записей таблицы маршрутизации. Протоколы маршрутизации. Полученная в результате анализа информация о маршрутах дальнейшего следования пакетов помещается в таблицу маршрутизации.
24434. Функционирование NAT. Функционирование Proxy 999 KB
  Диаграммы рисуют для визуализации системы с разных точек зрения. Теоретически диаграммы могут содержать любые комбинации сущностей и отношений. Всего UML предлагает девять дополняющих друг друга диаграмм входящих в различные модели: диаграммы вариантов использования; диаграммы классов; диаграммы пакетов: диаграммы последовательностей действий; диаграммы кооперации: диаграммы деятельностей: диаграммы состояний объектов: диаграммы компонентов: диаграммы размещения. Диаграммы вариантов использования.
24435. Служба DNS. Иерархические доменные имена. Полномочные серверы DNS 107.5 KB
  Служба DNS. Полномочные серверы DNS. Служба DNS Широковещательный способ установления соответствия между символьными именами и локальными адресами хорошо работает только в небольшой локальной сети не разделенной на подсети. Таким решением стала централизованная служба DNS Domain Name System система доменных имен основанная на распределенной базе отображений доменное имя IPадрес.
24436. Назначение и возможности макросредств в ассемблере 146 KB
  Он вставляет вместо вызова команды которые соответствуют макросу. Макроопределение группа команд определяющая действие макрокоманды. При описании макрокоманды используется оператор MACRO. Макрокоманды позволяют сократить размер выполняемой программы за счет описания повторяющихся участков однажды.
24437. Теория дислокаций 231 KB
  Дефектами кристалла называют всякое нарушение трансляционной симметрии кристалла — идеальной периодичности кристаллической решётки. Различают несколько видов дефектов по размерности. А именно, бывают нульмерные (точечные), одномерные (линейные), двумерные (плоские) и трёхмерные (объемные) дефекты.
24438. Основные функции компиляторов 209 KB
  Система прерывания ОМЭВМ. Непосредственной причиной такого переключения процессора с одной программы на другую является сигнал прерывания причем характер новой программы которую процессор начинает выполнять в результате воздействия сигнала прерывания и которая называется программой обработки прерывания зависит от источника возникновения этого сигнала. В большинстве случаев возникновение сигналов прерывания не планируется в выполняемой текущей программе а является по отношению к ней независимым или внешним событием. В зависимости от...
24439. Отладчики программ 43.5 KB
  Turbo Debugger представляет собой набор инструментальных средств, позволяющий отлаживать программы на уровне исходного текста и предназначенный для программистов, использующих семейство компиляторов Borland.
24440. Методы оптимизации и «раскрутки» web-сайтов 26 KB
  Поисковая оптимизация 4. Оптимизация числа ключевых слов на странице Ключевые слова фразы должны встречаться в тексте как минимум34раза. Оптимизация плотности ключевых слов Плотность ключевого слова на странице показывает относительную частоту содержания слова в тексте. 4 Оптимизация расположения ключевых слов на странице Чем ближе ключевое слово или фраза к началу документа тем больший вес они получают в глазах поисковой системы.