32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из ânâ уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7515. Педагогіка. Фіцула. Підручник 3.08 MB
  ПЕРЕДМОВА У процесі вивчення курсу педагогіки відповідно до вимог навчальної програмимайбутні педагоги повиннізнати: сутність і закономірності розвитку особистості...
7516. Динамика вращательного движения 30.3 KB
  Динамика вращательного движения Одной из величин, характеризующих вращательное движение тела, является момент импульса. Момент импульса частицы относительно центра окружности ее вращения, определяется векторным произведением радиуса вращения ч...
7517. Бизнес-план. Особенности бизнес планирования 39 KB
  Бизнес-план. Бизнес-план - это документ, содержащий обоснование действий, которые намечается осуществить для реализации какого-либо коммерческого проекта, а также анализирующий проблемы, с которым может столкнуться предприятие, и способы их реш...
7518. Качество продукции. Оценка уровня качества продукции. Мероприятия по повышению уровня и качества продукции на швейных предприятиях 36.5 KB
  Тема: Качество продукции. Оценка уровня качества продукции. Мероприятия по повышению уровня и качества продукции на швейных предприятиях Качество швейных изделий - совокупность свойств продукции, обуславливающих ее пригодность к удовлетворению...
7519. Организация контроля качества 39.5 KB
  Тема: Организация контроля качества Качество продукции услуг. Сущность, значение повышения качества. Конкурентоспособность услуг, продукции. Качество - авторитет предприятия, фирмы. Качество продукции - совокупность свойств и характе...
7520. Организация системы управления качеством продукции 48 KB
  Тема: Организация системы управления качеством продукции. Сущность и значение повышения качества, конкурентоспособность продукции. Показатели качества продукции. Система управления качеством. Организация ...
7521. Качество и его значение в условиях конкуренции 55 KB
  Качество и его значение в условиях конкуренции Качество продукции - это совокупность свойств товара, обусловливающих его пригодность удовлетворять определенные потребности в соответствии с назначением. Свойство - это особенност...
7522. Организация технической подготовки производства 34.5 KB
  Организация технической подготовки производства. 1)Содержание, задачи и этапы технической подготовки производства. 2)Техническая подготовка производства ремонтных работ. Для осуществления нормального производственного процесса, выпуска высокок...
7523. Экономика предприятия. Методичка к курсовой работе 187 KB
  В соответствии с программой дисциплины Экономика предприятия учащиеся специальности Фотография выполняют курсовую работу. Цель курсовой работы - закрепление и расширение знаний, полученных при изучении дисциплины. Курсовая раб...