32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из “n†уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17682. Принцип Гюйгенса-Френеля. Побудова Гюйгенса 449.41 KB
  Принцип ГюйгенсаФренеля. Побудова Гюйгенса. За Гюйгенсом кожна точка хвильового фронту наприклад сферичної хвилі яка виходить з точкового джерела є джерелом вторинних хвиль. Базуючись на цьому Гюйгенс запропоновав метод геометричної побудови фронтів вторинних хв
17683. Принцип дії лазера інверсія населеностей 49.35 KB
  Принцип дії лазера: інверсія населеностей. Дія лазера базується на підсиленні світлового потоку середовищем через яке він проходить. Якщо привести систему атомів у нерівноважний стан достатньо сильно порушивши розподіл Больцмана то можна досягти зміни концентрації...
17684. Принцип Ферма. Закон заломлення 49.85 KB
  Принцип Ферма. Закон заломлення. Світло при поширенні з однієї точки в іншу вибирає шлях якому відповідає найменший час поширення. Припустимо що показник заломлення середи змінюється у просторі неперервно і достатньо повільно так що умови використання геометричної о
17685. Принципи дії поляризаторів двопроменезаломлюючі, відбиваючі, інтерференційні дихроїчні 323.4 KB
  Принципи дії поляризаторів: двопроменезаломлюючі відбиваючі інтерференційні дихроїчні. Поляризатори виділяють лінійну складову ел. маг. хвилі. Якість поляризатора визначається за степеню поляризації p=ImaxImin/ImaxImin. Двопроменезаломлюючі. Двоякопреломля...
17686. Роздільна здатність телескопу та мікроскопу 523.26 KB
  Роздільна здатність телескопу та мікроскопу. Границі роздільної здатності оптичних приладів. Роздільна здатність оптичних приладів обмежується дифракцією Фраунгофера на їх вхідній апертурі оскільки при цьому кожна точка об’єкта зображується дифракційною карти
17687. Розсіювання світла в мутних середовищах (αλ, α ~λ, αλ,) 88.38 KB
  Розсіювання світла в мутних середовищах. Мутне середовище – середовище в якому містяться завислі частинки. Розсіювання світла у мутному середовищі можна описати на основі теорії дифракції світла на діелектричних частинках. Розглянемо три випадки відн
17688. Розсіяння Мендельштама-Брілюена 25.17 KB
  Розсіяння МендельштамаБрілюена Розсіюванням Мандельштама Брілюена називають розсіювання оптичного випромінювання конденсованими середовищами твердими тілами і рідинами в результаті його взаємодії з власними пружними коливаннями цих середовищ. Воно супроводжує...
17689. Самофокусування світла 33.92 KB
  Самофокусування світла Самофокусування світла – це ефект самовпливу що виникає при розповсюдженні в нелінійному середовищі інтенсивного світлового пучка що має обмежений поперечний переріз. Розглянемо феноменологічне матеріальне рівняння де – поляризованість...
17690. Скін-ефект. Аномальний скін-ефект 18.65 KB
  Скінефект. Аномальний скінефект Проникнення єлектронномагнітної хвилі в тонкий поверхневий шар металу є частковим випадком скінефекту. Сам шар у який проникає електромагнітне поле називається скіншаром. Напруженість поля в скіншар зменшується експоненційно таки