32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из “n†уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7209. Sources of finance 54.5 KB
  Тема: Sources of finance Вид заняття: лекція-семінар. Мета: спонукати студентів до висловлювання англ. мовою шляхом постановки проблемних питань, практикувати навички усного мовлення розвивати у студентів навички самостійної робот...
7210. Insuranse services of banks 45.5 KB
  Тема: Insuranse services of banks Вид заняття: лекція-cемінар Мета: спонукати студентів до висловлювання англ. мовою шляхом постановки проблемних питань, практикувати навички усного мовлення розвивати у студентів навички самостійн...
7211. Telephone Etiquette 31.5 KB
  Тема: TelephoneEtiquette Вид заняття: самостійна робота. Мета: розвивати самостійність студентів, розвивати вміння і навички роботи з додатковою літературою, оволодівати методами добору матеріалу, вчитися виділяти головне. Літерату...
7212. Классификация субъектов предпринимательской деятельности и организационно- правовые формы. Юридические лица 35.22 KB
  Классификация субъектов предпринимательской деятельности и организационно-правовые формы. Юридические лица. Понятие, признаки, общая и специальная правоспособность юридического лица. Государственная регистрация и учредительные документы юридич...
7213. Правовий режим майна субєктів господарювання 491 KB
  План 1. Майно у сфері господарювання. 2. Поняття і види правового режиму майна у сфері господарювання. 3. Право державної власності та правові форми її реалізації. 4. Право комунальної власності та правові форми її реалізації. 5. Право колективної в...
7214. Религия и культура 119.5 KB
  Религия и культура 1. Взаимоотношения религии и культуры в истории человечества. Сущность и основные функции религии. 2. Языческая культура. 3. Христианство и культура. 4. Исламская культура. Религия (лат. religio - благочестие...
7215. Распространение сигналов по оптическому кабелю 252.5 KB
  Распространение сигналов по оптическому кабелю. Передача сигналов по оптическому кабелю имеет свои особенности, которые связаны со способом передачи оптических сигналов, а также с тем, что распространение излучения по световоду является многомодовым...
7216. Сдвигающие Регистры 647 KB
  Сдвигающие Регистры Для выполнения операций умножения,деления, сложения необходим сдвиг числа влево или вправо. L1, L2 - сдвиг влево R1, R2 - сдвиг вправо (на 1 разряд, на 2)...
7217. Биохимия. Конспект лекций. Основные классы биомолекул 1.4 MB
  Основные классы биомолекул Практически все сухое вещество клеток составляют органические соединения, представленные четырьмя основными видами молекул: белками, нуклеиновыми кислотами, полисахаридами и липидами. Все они отличаются по свойствам, а зна...