32239

История развития методов синтеза оптимального управления

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Задача Эйлера.2 называется уравнением Эйлера. Если функционал J зависит от функции F аргументом которой являются несколько переменных: то получается система из “n†уравнений Эйлера: 3.4 то экстремаль определяется интегрированным уравнением ЭйлераПуассона: .

Русский

2013-09-04

52.5 KB

2 чел.

Лекция №3

История развития методов синтеза оптимального управления.

Задача Эйлера.

Впервые задачу определения вида функции, которая бы обеспечивала минимум некоторому критерию, который является в свою очередь также функцией, сформулировал И. Бернулли в 1694 году. Задача Бернулли состояла в следующем. Требуется найти форму пути (или форму желоба), по которой материальная точка массой М (или шарик массой М) перемещается (скатится) под действием силы тяжести из точки А в точку В за минимальное время (см. рис. 3.1)

Рис.3.1. Путь перемещения материальной точки (или форма желоба, по которой    скатывается шарик) в координатах х,у.

Т.е. нужно было найти траекторию наискорейшего спуска – брахистохрону.

Эта задача была решена в 1744 году Леонардо Эйлером с помощью разработанного им метода – вариационного исчисления. Суть этого метода заключается в следующем. Имеется некоторая функция J(у), где у=F(x). Функция J от функции F называется функционалом. Необходимо найти такую функцию fэ(х), называемую экстремалью, при которой функционал J(F(х)) достигает экстремального значения. По аналогии, задача нахождения значения аргумента х, при котором функция f(х) экстремальна.

Эйлер доказал (см. Приложение 3),  что для одномерных объектов функционал (критерий):

                                       (3.1)

достигает экстремума при условии, что

                                           (3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Эйлера.

Если функционал J зависит от функции F, аргументом которой являются  несколько переменных: ,то получается система из “n” уравнений Эйлера:

,                                (3.3)

где i=1,2,…n.

Решением уравнения (3.2) или системы уравнений (3.3) является зависимость х(t) или система зависимостей хi(t), определяющая экстремаль графически выражаемую в виде кривой в виде кривой в пространстве координат хi.

Если функционал зависит от высших производных:

,                  (3.4)

то  экстремаль определяется интегрированным уравнением Эйлера-Пуассона:

.   (3.5)

Пример.

Найдем экстремаль функционала, представляющего квадратичный интегральный критерий:

                    (п.3.1)

т.е.                                  ,                (п.3.2)

где - постоянный коэффициент, определяющий степень ограничения производной .

Исходя из (п.3.2) определим, что

.

Подставив эти значения в уравнение Эйлера, получим:

                              (п.3.3)

Решение этого уравнения дает экстремаль, т.е. функцию, которая  доставляет критерию (п.3.1) экстремум:

                      (п.3.4)

Постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из граничных условий:

, получим

                           (п.3.5)

Т.е. экстремаль будет представлять экспоненту с постоянной времени. Следовательно, оптимальная траектория переходного процесса по критерию (п.3.1) будет представлять собой экспоненте, а скорость протекания этого процесса будет определяться коэффициентом  или q2 в критерии (1.5). Этим определяется физический смысл квадратичного интегрального критерия с ограничением на первую производную от х.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34735. Историческая генеалогия: история развития, предмет и задачи, смежные дисциплины 13.87 KB
  Лихачева разработавшего научную методику исследования генеалогических источников и Л. Появляются исследования по истории отдельных дворянских родов работы Барсукова Васильчикова. многие отечественные генеалоги оказались за границей и там продолжили свои исследования. генеалогические исследования значительно сокращаются.
34736. Источники по генеалогии дворянства 16 - 17вв.: Государев родословец и Бархатная книга (история создания, структура, содержание) 13.23 KB
  : Государев родословец и Бархатная книга история создания структура содержание Государев родословец История создания: Составлен Разрядным приказом в 1555 1556 году. В XVII веке Государев родословец включён в Бархатную книгу. Структура: 1 часть государев родословец был составлен при Иване 4; 2 часть составлена на основе приказов. В Бархатную книгу включены: Государев родословец 1555 1556 состоящий преимущественно из родословных записей Рюриковичей и Гедиминовичей царский княжеские боярские роды а также материалы за вторую...
34738. Ревизские сказки как источник по генеалогии непривилегированных слоев населения 15.76 KB
  Это документы именной переписи податного населения Российской Империи XVIII середины XIX вв. Проведение реформы потребовало организации подушного учета населения. Ревизские сказки являлись поимёнными списками населения в которых указывались имя отчество и фамилия владельца двора его возраст имя и отчество членов семьи с указанием возраста отношение к главе семьи.
34739. Материалы всероссийской переписи населения 1897года как источник по генеалогии непривилегированных слоев населения 13.06 KB
  дают материалы Первой всероссийской переписи населения это прямой массовый статистический учет населения проводимый с целью определения его численности состава и размещения на определенный момент. Первый подробный проект переписи населения был представлен председателем Центрального статистического комитета П. Только почти через 20 лет этот проект был утвержден императором Николаем II согласно Положению о Первой всеобщей переписи населения Российской империи изданному в 1895 г.
34740. Церковные метрические книги как источник по генеалогии непривилегированных слоев населения 13.82 KB
  Метрические книги велись в России до революции в церковных приходах духовенством или особыми гражданскими чиновниками. Во второй части метрической книги также приводился порядковый номер и дата бракосочетания. Метрические книги велись в двух экземплярах: один направлялся на хранение в архив консистории учреждение с церковноадминистративными и судебными функциями которая подчинялась епархиальному архиерею второй оставался в церкви.
34741. Методика генеалогических исследований. Генеалогические таблицы и росписи 15.71 KB
  Поколенная роспись это нумерованное перечисление членов рода потомков родоначальника по мужской линии обоего пола по генеалогическому старшинству с выделением поколений и указанием при каждом члене рода номера его отца. Выделяются три наиболее употребительных: а все лица рода распределялись по коленам нумеровавшимся римскими цифрами перед представителем рода ставился порядковый номер арабскими цифрами а в конце строки ставился порядковый номер отца; как валовая нумерация б номер отца при сплошной нумерации переносится в начало...
34742. Историческая хронология. Предмет и задачи. Виды календарных систем. Основные понятия и термины 17.43 KB
  В этом календаре год состоял из 365 дней. по 30 дней каждый; в конце года добавлялось пять праздничных дней не входивших в состав месяцев. В течение каждых 19 лет считают 12 лет по 12 лунных месяцев по 29 30 дней и 7 лет по 13 лунных месяцев. лунносолнечный календарь является официальным в Израиле где начало года приходится на один из дней периода с 5 сентября по 5 октября.
34743. Древние календарные системы: Египет, Древняя Греция, Китай 18.83 KB
  Этот лунный календарь использовался на протяжении всей древнеегипетской истории как религиозный календарь фиксирующий время проведения праздников. Схематический гражданский календарь Новый календарь был построен по простой схеме. Поздний лунный календарь Хронологической единицей в нем как и в раннем лунном календаре служил лунный месяц начинавшийся в первый день невидимости Луны.