32240

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

2 Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления. Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа для объекта второго порядка: .8 Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных координатах: x1=qзy; .7 Для объекта второго порядка i=12 они будут иметь вид: 4.

Русский

2013-09-04

177 KB

14 чел.

Лекция №4

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

В 1759 году появилась первая работа Лагранжа по вариационному исчислению. Лагранж развил идею Эйлера для случая, когда экстремали xi(t) функционала

                              (4.1)

(см. также (3.1)) должны удовлетворять на ряду с граничными условиями  еще дополнительным связям в виде дифференциальных уравнений:

      (4.2)

Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления.

Задача с дополнительными дифференциальными (или голономными) связями называется общей задачей Лагранжа по определению условного экстремума функционала.

Для решения этой задачи составляется вспомогательная функция:

.  (4.3)

Или в сокращенном виде:

,                    (4.4)

где F – подынтегральная функция критерия (функционала) (4.1) или (3.1),

fi – дифференциальные уравнения связи (4.2),

- некоторые дополнительные функции (множители Лагранжа), подлежащие определению.

На основе вспомогательной функции  составляется  вспомогательный функционал:

    (4.5)

Этот функционал, зависящий от "n” функций xi(t) и от “n” функций , исследуется на безусловный экстремум, так как  благодаря введению функции  все функции хi могут варьироваться независимо. В результате получаем задачу Эйлера.

Для функционала (4.5)  записываем “n” уравнений названных уравнениями Эйлера-Лагранжа:

              (4.6)

или подставляя из(4.4) выражение для , получим:

.    (4.7)

Эти уравнения совместно с уравнениями (4.2) образуют систему из 2n уравнений с 2n неизвестными, т.е. задача имеет решение. При этом постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа  для объекта второго порядка:

.    (4.8)

Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных (координатах):

x1=qз-y;  .

Исходя из  (4.8) получаем:

,              (4.9)

где а21=.

Граничные условия:

x1(tн)=х; х2(tк)=х=0 (y=qз); х1(tк)=х=0;  x2(tк)=х=0.

Задан квадратичный интегральный критерий оптимальности:

           (4.10)

Требуется определить оптимальный в смысле критерия (4.10) закон изменения управляющего воздействия uопт(t), при котором объект из начального состояния х, х переводится в конечное состояние х, х (оптимальное программное управление) и оптимальный регулятор uопт1, х2) для замкнутой САУ.

Принимая во внимание (4.1) и (4.9) запишем выражения для вспомогательного функционала:

.    (4.11)

Следующим этапом является получение системы уравнений Эйлера-Лагранжа (4.7)

Для объекта второго порядка (i=1,2) они будут иметь вид:

         (4.12)

Определим, что:

Очевидно, что:

.

Аналогично:

Подставляя значения частных производных в уравнения  (4.12) получим:

                         (4.13)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно доставлять минимальное значение функционалам J и J*. Поэтому должно выполняться условие, что

                           (4.14)

Подставляя в (4.14) выражение (4.11), получим:

                                     (4.15)

Следовательно

                                                       (4.16)

Таким образом, чтобы определить оптимальный закон управления uопт(t),  нужно определить из системы дифференциальных уравнений (4.14) и уравнений динамики объекта (4.9) выражение для  с учетом выражения (4.16) получим:

                                   (4.17)

Характеристическое уравнение системы (4.17):

р4 - 2Вр2+с=0,                                                      (4.18)

где В=,     

Корни уравнения (4.18) будут:

            (4.19)

Общим решением уравнения (4.17) будет:

.                  (4.20)

Из начальных условий следует, что слагаемые в (4.20) с положительными корнями р1 и р3  равны нулю, т.е. с1=0 и с3=0. Таким образом:

                                       (4.21)

Аналогично:

                                      (4.22)

Значения постоянных интегрирования с2, с46, с8 – определяются из граничных условий. Подставив (4.22) в (4.16) получим закон изменения  управляющего воздействия для оптимального программного регулятора:

,                            (4.33)

где ;.

Для определения закона оптимального  управления для замкнутой САУ необходимо найти зависимость управляющего воздействия от переменных состояний объекта  uопт(x1,x2). Для этого выразим производную  через переменные состояния объекта.  Для этого возьмем первую и вторую производные от х1(t), определяемую выражением (4.21). В результате получим, что:

                  (4.24)

Подставив выражение (4.24) во второе уравнение системы (4.17) получим:

uопт=-к1х12х2                                               (4.25)

где к12р421; к22422                                                        (4.26)

Значения р2 и р4 определяются выражением (4.19).

Таким образом получаем замкнутую систему с ПД регулятором, коэффициенты которого определяются соотношением (4.26) (см.рис. 4.1)

Рис. 4.1. Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                   с ПД регулятором.

Если представить модель объекта управления в переменных состояния (4.9), то структурная схема САУ будет иметь вид, представленный на рис. 4.2. В этом случае ПД-регулятор превращается в регулятор состояния объекта.

Рис. 4.2 Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                  с регулятором состояния.

Оба регулятора дают один и тот же результат.  Схема с регулятором состояния имеет то преимущество, что не надо производить операцию дифференцирования. Но применение этой схемы возможно, если х2- измеряемое, а иначе надо использовать наблюдатель состояния объекта.

Пример.

Объект первого порядка

                        (п.4.1)

Запишем (п.4.1) в виде дифференциального уравнения относительно х.

,                               (п.4.2)

где .

Граничные условия:  х1(0)=х;  х1(∞)=0.

Необходимо найти оптимальный в смысле критерия (4.10) закон управления uопт(t) для разомкнутой САУ и оптимальный регулятор uопт1) для замкнутой САУ.

Вспомогательный функционал будет иметь следующий вид:

.   (п.4.3)

Уравнение Эйлера-Лагранжа для объекта первого порядка будет:

                   (п.4.4)

Найдем, что:

С учетом этих выражений уравнение (п.4.4) примет вид:

.                             (п.4.4)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно обеспечить экстремум критерию (п.4.3). Следовательно, должно выполняться условие, что:

                                         (п.4.5)

или  подставляя в (п.4.5) значение J*  (п.4.3)получим:

Следовательно

                                     (п.4.6)

Определим  из системы уравнений (п.4.2) и (п.4.4) с учетом выражения (п.4.6):

                                 (п.4.7)

Характеристическое  уравнение системы (п.4.7) определяется следующим образом                           det(Ip-A) = p2-B,

где B=.

Следовательно:

.                          (п.4.8)

Решение системы уравнений (п.4.7) будет (положительный корень р1 опускаем, т.к. управление должно быть не расходящимся (устойчивым)):

,                              (п.4.9)

.                         (п.4.10)

Из первого уравнения системы (п.4.7) определим оптимальный закон программного управления:

Подставив в это выражение значения х1 и   получим:

                        (п.4.11)

где с1=

Из выражений (п.4.9) и (п.4.11) получим зависимость uопт1) для замкнутой САУ:

.                    (п.4.12)

Из этого следует, что:

,                             (п.4.13)

где оптимальный коэффициент П-регулятора

.                                   (п.4.14)

Структурная схема полученной САУ  представлена на рис. п.4.3.

Рис. п.4.3  Замкнутая оптимальная по квадратичному интегральному критерию система с П- регулятором, коэффициент которого определяется (п.4.14)

Определим выражение для Копт через параметры объекта. Для этого в (п.4.13) подставим  выражение (п.4.8) для коэффициентов а и b из выражения (п.4.1):

.     (п.4.14)

Из (п.4.14) требования минимизации отклонения выхода одного сигнала за счет увеличения в интегральном критерии коэффициента веса q, и минимизация расхода энергии за счет увеличения коэффициента веса r являются противоречивыми. На практике в зависимости от конкретных условий ищется компромисс.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83321. Организация работы производства ресторана с французской кухней на 75 мест 106 KB
  К региональной кухне относятся блюда, которые на протяжении веков готовили жители различных исторических областей страны. Аристократическая французская кухня сформировалась при дворе Бурбонов, когда Париж стал законодателем мировой моды. Её неповторимые блюда отличались разнообразием и изысканностью.
83323. Технико-экономические расчеты при проектировании участка механической обработки детали типа корпус в условиях серийного типа производства. Режим работы двусменный 172.18 KB
  Система обслуживания рабочего места должна носить предварительный характер, то есть до начала рабочей смены, рабочее место должно уже быть обеспечено заготовками, режущим инструментом и необходимыми приспособлениями.
83324. Определение рыночной стоимости объекта недвижимости общей площадью 52 кв. м, в Ленинском районе г.Челябинска 373.29 KB
  Переход России к рыночной модели экономики возродил права частной собственности и свободу предпринимательства, позволяющие субъектам рынка владеть, распоряжаться и пользоваться объектами недвижимости. Необходимым элементом существования рынка недвижимости является независимая оценка недвижимости.
83325. Николай Васильевич Гоголь 33.82 KB
  Собеседники буквально на лету ловят любую небылицу, утверждающую их в мысли, что они беседуют с важным чиновником. И лишь письмо Ивана Александровича Тряпичкину в Петербург открывает глаза на действительность городничему и его окружению.
83326. Асоціаністська теорія пам’яті 52.5 KB
  Психологічний рівень вивчення механізмів пам’яті хронологічно є старшим інших; психологічні теорії памяті можна класифікувати і оцінювати в залежності від того яку роль у формуванні процесів пам’яті відводили вони активності суб’єкта і як розглядали природу цієї активності.
83327. Экономическая и социальная политика Екатерины II 30 KB
  К тому же правительство в течение всего века вводило запретительные таможенные тарифы на иностранные товары которые с успехом производились в России. Ведущей отраслью экономики России по-прежнему оставалось сельское хозяйство.