32240

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

2 Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления. Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа для объекта второго порядка: .8 Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных координатах: x1=qзy; .7 Для объекта второго порядка i=12 они будут иметь вид: 4.

Русский

2013-09-04

177 KB

14 чел.

Лекция №4

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

В 1759 году появилась первая работа Лагранжа по вариационному исчислению. Лагранж развил идею Эйлера для случая, когда экстремали xi(t) функционала

                              (4.1)

(см. также (3.1)) должны удовлетворять на ряду с граничными условиями  еще дополнительным связям в виде дифференциальных уравнений:

      (4.2)

Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления.

Задача с дополнительными дифференциальными (или голономными) связями называется общей задачей Лагранжа по определению условного экстремума функционала.

Для решения этой задачи составляется вспомогательная функция:

.  (4.3)

Или в сокращенном виде:

,                    (4.4)

где F – подынтегральная функция критерия (функционала) (4.1) или (3.1),

fi – дифференциальные уравнения связи (4.2),

- некоторые дополнительные функции (множители Лагранжа), подлежащие определению.

На основе вспомогательной функции  составляется  вспомогательный функционал:

    (4.5)

Этот функционал, зависящий от "n” функций xi(t) и от “n” функций , исследуется на безусловный экстремум, так как  благодаря введению функции  все функции хi могут варьироваться независимо. В результате получаем задачу Эйлера.

Для функционала (4.5)  записываем “n” уравнений названных уравнениями Эйлера-Лагранжа:

              (4.6)

или подставляя из(4.4) выражение для , получим:

.    (4.7)

Эти уравнения совместно с уравнениями (4.2) образуют систему из 2n уравнений с 2n неизвестными, т.е. задача имеет решение. При этом постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа  для объекта второго порядка:

.    (4.8)

Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных (координатах):

x1=qз-y;  .

Исходя из  (4.8) получаем:

,              (4.9)

где а21=.

Граничные условия:

x1(tн)=х; х2(tк)=х=0 (y=qз); х1(tк)=х=0;  x2(tк)=х=0.

Задан квадратичный интегральный критерий оптимальности:

           (4.10)

Требуется определить оптимальный в смысле критерия (4.10) закон изменения управляющего воздействия uопт(t), при котором объект из начального состояния х, х переводится в конечное состояние х, х (оптимальное программное управление) и оптимальный регулятор uопт1, х2) для замкнутой САУ.

Принимая во внимание (4.1) и (4.9) запишем выражения для вспомогательного функционала:

.    (4.11)

Следующим этапом является получение системы уравнений Эйлера-Лагранжа (4.7)

Для объекта второго порядка (i=1,2) они будут иметь вид:

         (4.12)

Определим, что:

Очевидно, что:

.

Аналогично:

Подставляя значения частных производных в уравнения  (4.12) получим:

                         (4.13)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно доставлять минимальное значение функционалам J и J*. Поэтому должно выполняться условие, что

                           (4.14)

Подставляя в (4.14) выражение (4.11), получим:

                                     (4.15)

Следовательно

                                                       (4.16)

Таким образом, чтобы определить оптимальный закон управления uопт(t),  нужно определить из системы дифференциальных уравнений (4.14) и уравнений динамики объекта (4.9) выражение для  с учетом выражения (4.16) получим:

                                   (4.17)

Характеристическое уравнение системы (4.17):

р4 - 2Вр2+с=0,                                                      (4.18)

где В=,     

Корни уравнения (4.18) будут:

            (4.19)

Общим решением уравнения (4.17) будет:

.                  (4.20)

Из начальных условий следует, что слагаемые в (4.20) с положительными корнями р1 и р3  равны нулю, т.е. с1=0 и с3=0. Таким образом:

                                       (4.21)

Аналогично:

                                      (4.22)

Значения постоянных интегрирования с2, с46, с8 – определяются из граничных условий. Подставив (4.22) в (4.16) получим закон изменения  управляющего воздействия для оптимального программного регулятора:

,                            (4.33)

где ;.

Для определения закона оптимального  управления для замкнутой САУ необходимо найти зависимость управляющего воздействия от переменных состояний объекта  uопт(x1,x2). Для этого выразим производную  через переменные состояния объекта.  Для этого возьмем первую и вторую производные от х1(t), определяемую выражением (4.21). В результате получим, что:

                  (4.24)

Подставив выражение (4.24) во второе уравнение системы (4.17) получим:

uопт=-к1х12х2                                               (4.25)

где к12р421; к22422                                                        (4.26)

Значения р2 и р4 определяются выражением (4.19).

Таким образом получаем замкнутую систему с ПД регулятором, коэффициенты которого определяются соотношением (4.26) (см.рис. 4.1)

Рис. 4.1. Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                   с ПД регулятором.

Если представить модель объекта управления в переменных состояния (4.9), то структурная схема САУ будет иметь вид, представленный на рис. 4.2. В этом случае ПД-регулятор превращается в регулятор состояния объекта.

Рис. 4.2 Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                  с регулятором состояния.

Оба регулятора дают один и тот же результат.  Схема с регулятором состояния имеет то преимущество, что не надо производить операцию дифференцирования. Но применение этой схемы возможно, если х2- измеряемое, а иначе надо использовать наблюдатель состояния объекта.

Пример.

Объект первого порядка

                        (п.4.1)

Запишем (п.4.1) в виде дифференциального уравнения относительно х.

,                               (п.4.2)

где .

Граничные условия:  х1(0)=х;  х1(∞)=0.

Необходимо найти оптимальный в смысле критерия (4.10) закон управления uопт(t) для разомкнутой САУ и оптимальный регулятор uопт1) для замкнутой САУ.

Вспомогательный функционал будет иметь следующий вид:

.   (п.4.3)

Уравнение Эйлера-Лагранжа для объекта первого порядка будет:

                   (п.4.4)

Найдем, что:

С учетом этих выражений уравнение (п.4.4) примет вид:

.                             (п.4.4)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно обеспечить экстремум критерию (п.4.3). Следовательно, должно выполняться условие, что:

                                         (п.4.5)

или  подставляя в (п.4.5) значение J*  (п.4.3)получим:

Следовательно

                                     (п.4.6)

Определим  из системы уравнений (п.4.2) и (п.4.4) с учетом выражения (п.4.6):

                                 (п.4.7)

Характеристическое  уравнение системы (п.4.7) определяется следующим образом                           det(Ip-A) = p2-B,

где B=.

Следовательно:

.                          (п.4.8)

Решение системы уравнений (п.4.7) будет (положительный корень р1 опускаем, т.к. управление должно быть не расходящимся (устойчивым)):

,                              (п.4.9)

.                         (п.4.10)

Из первого уравнения системы (п.4.7) определим оптимальный закон программного управления:

Подставив в это выражение значения х1 и   получим:

                        (п.4.11)

где с1=

Из выражений (п.4.9) и (п.4.11) получим зависимость uопт1) для замкнутой САУ:

.                    (п.4.12)

Из этого следует, что:

,                             (п.4.13)

где оптимальный коэффициент П-регулятора

.                                   (п.4.14)

Структурная схема полученной САУ  представлена на рис. п.4.3.

Рис. п.4.3  Замкнутая оптимальная по квадратичному интегральному критерию система с П- регулятором, коэффициент которого определяется (п.4.14)

Определим выражение для Копт через параметры объекта. Для этого в (п.4.13) подставим  выражение (п.4.8) для коэффициентов а и b из выражения (п.4.1):

.     (п.4.14)

Из (п.4.14) требования минимизации отклонения выхода одного сигнала за счет увеличения в интегральном критерии коэффициента веса q, и минимизация расхода энергии за счет увеличения коэффициента веса r являются противоречивыми. На практике в зависимости от конкретных условий ищется компромисс.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32615. Докладно описати такі питання: призначення та класифікація дільничних станцій; основні операції що викону. 407 KB
  На УС выполняются следующие операции: посадка и высадка пассажиров; прием хранение и выдача багажа почты и грузов пассажирской скорости; технические операции с пассажирскими поездами; технические операции с грузовыми поездами; прием хранение и выдача грузов подача уборка вагонов на грузовой двор и др. погрузочноразгрузочные пункты; погрузкавыгрузка грузов взвешивание грузов вагонов и проверка габаритности у мест погрузки а в необходимых случаях сортировка и перегрузка грузов; подача неисправных вагонов к месту...
32616. Докладно описати такі питання: -призначення і класифікація пасажирської станції (ПС); -основні пристрої, які проектуються на ПС; -основні операції, які виконуються на ПС 198.5 KB
  Мин. Iрп=120 2·8=75 мин; Время занятия перронного пути: Тз=tпмtпрtтпtот где tпм продолжительность приготовления маршрута мин; tпр время занятия маршрута приемом поезда мин; tтп продолжительность операций по технологическому процессу мин; tот время занятия маршрута отправлением поезда мин. tпр=LгпLднLп Vпр где Lгп длина горловины приема м; Lдн длина участка приближения м; Lп длина поезда м; Vпр скорость поезда при входе на станцию км ч; принимаем Vпр= 40км ч = 66667м мин tпр=4001500450 66667=352...
32617. Назначение и классификация и основные технические и эксплуатационные параметры сортировочных устройств 413.5 KB
  Для сортировки вагонов на станциях рекомендуется проектировать основные и вспомогательные сортировочные устройства следующих типов: горочные сортировочные горки повышенной большой средней и малой мощности где для сортировки вагонов используется сила тяжести; негорочные вытяжные пути со стрелочными горловинами на уклоне где используется сила тяжести локомотива и сила тяжести вагонов; вытяжные пути и стрелочные горловины на горизонтальной площадке где используется только сила тяги локомотива. Для выполнения функций основного...
32618. Докладно описати основні пристрої вантажної станції (ВС): -колійний розвиток ВС - сортувальні пристрої; -вимоги до проектування основних пристроїв ВС 69 KB
  Для выполнения работы по приему отправлению и обработке поездов и обслуживанию пунктов погрузки выгрузки на ГС имеются пути сортировочные устройства грузовой район а в отдельных случаях устройства для экипировки локомотивов и ремонта вагонов производственнотехнические здания и прочие сооружения. Путевое развитие включает приемоотправочные сортировочные погрузочновыгрузочные выставочные соединительные и ходовые пути. Приемоотправочные пути используются для приема и отправления поездов передач на сортировочную или...
32619. Дати докладну характеристику розв’язок перехрещень в вузлах 900 KB
  Основное требование ко всем пересечениям маршрутов в одном уровне заключается в том что эти пересечения не должны снижать пропускную способность ниже необходимой в период интенсивного движения и создавать угрозу безопасности движения. Пересечения в одном уровне устраиваются при благоприятных топографических условиях относительно небольших размерах движения. Безопасность движения поездов обеспечивается с помощью устройств автоматики и сигнализации предохранительных тупиков. Развязки в одном уровне осуществляются чаще всего с...
32620. Розрахунок конструктивної висоти сортувальної гірки на сортувальній станції 571.5 KB
  Профільна висота головної дільниці h1 встановлюється з урахуванням найбільшого використання допустимої швидкості входу Vвх розрахункового бігуна вагою 85 т ωо=05 Н кн. в уповільнювачах 1 ГП при сприятливих умовах скочування: де Vo найбільша швидкість розпуску приймається 25 м с; g′ох розрахунковий параметр для ОХ бігуна м с2; де g прискорення вільного падіння 981 м с2; n кількість осей бігуна ОХ 4; q вага бігуна ОХ 85 т; hωо1 hск1 питома робота сил опору основного і від стрілок та кривих в межах головного дільниці l1...
32621. Докладно описати питання щодо пасажирської технічної станції (ПТС): 1) призначення і класифікація; 2) основні пристрої; 3) основні операції, що виконують на станції; 4) умови застосування; 5) переваги та недоліки окремих ПТС 116.5 KB
  1 ПТС призначаються для переформування ремонту очищення і екіпірування пасажирських составів. Станції бувають крупні 1520 составів за добу і середні 815.20 составів. На технічних парках менше ніж 68 составів.
32622. Аналіз схем двосторонніх станцій с послідовним розташуванням основних парків. Описати системи гіркової автоматики 216.5 KB
  Для комплексної механізації і автоматизації процесу сортування вагонів сортувальні гірки обладнуються локальними системами автоматики ГАЦ ГПЗУ АРС АЗСР ТГЛ пристроями звязку телебачення сигналізації. Під час роботи в маршрутному режимі оператор натисканням кнопки яка відповідає номеру підгіркової колії встановлює маршрут для кожного відчепу перед розпуском його з гірки. Система АСУ РСГ дозволяє регулювати швидкість насуву і розпуску составів швидкість руху відчепів з гірки керувати маршрутами руху відчепів з контролем...
32623. Докладно описати такі питання: визначення спеціальної вантажної станції, спеціалізація спеціальних вантажних станцій,основні операції,які виконують на спеціалізованих вантажних станціях 677.5 KB
  Докладно описати такі питання: визначення спеціальної вантажної станції спеціалізація спеціальних вантажних станційосновні операціїякі виконують на спеціалізованих вантажних станціях. Спеціалізовані вантажні станції це вантажні станції що будуються в пунктах масової переробки однорідних вантажів і забезпечують ритмічність і потоковість обробки масових вантажів і прискорену обробку рухомого складу на станції ефективне використання вантажнорозвантажувальних механізмів і скорочення обсягу роботи сортувальних станцій за рахунок формування...