32240

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

2 Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления. Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа для объекта второго порядка: .8 Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных координатах: x1=qзy; .7 Для объекта второго порядка i=12 они будут иметь вид: 4.

Русский

2013-09-04

177 KB

13 чел.

Лекция №4

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

В 1759 году появилась первая работа Лагранжа по вариационному исчислению. Лагранж развил идею Эйлера для случая, когда экстремали xi(t) функционала

                              (4.1)

(см. также (3.1)) должны удовлетворять на ряду с граничными условиями  еще дополнительным связям в виде дифференциальных уравнений:

      (4.2)

Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления.

Задача с дополнительными дифференциальными (или голономными) связями называется общей задачей Лагранжа по определению условного экстремума функционала.

Для решения этой задачи составляется вспомогательная функция:

.  (4.3)

Или в сокращенном виде:

,                    (4.4)

где F – подынтегральная функция критерия (функционала) (4.1) или (3.1),

fi – дифференциальные уравнения связи (4.2),

- некоторые дополнительные функции (множители Лагранжа), подлежащие определению.

На основе вспомогательной функции  составляется  вспомогательный функционал:

    (4.5)

Этот функционал, зависящий от "n” функций xi(t) и от “n” функций , исследуется на безусловный экстремум, так как  благодаря введению функции  все функции хi могут варьироваться независимо. В результате получаем задачу Эйлера.

Для функционала (4.5)  записываем “n” уравнений названных уравнениями Эйлера-Лагранжа:

              (4.6)

или подставляя из(4.4) выражение для , получим:

.    (4.7)

Эти уравнения совместно с уравнениями (4.2) образуют систему из 2n уравнений с 2n неизвестными, т.е. задача имеет решение. При этом постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа  для объекта второго порядка:

.    (4.8)

Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных (координатах):

x1=qз-y;  .

Исходя из  (4.8) получаем:

,              (4.9)

где а21=.

Граничные условия:

x1(tн)=х; х2(tк)=х=0 (y=qз); х1(tк)=х=0;  x2(tк)=х=0.

Задан квадратичный интегральный критерий оптимальности:

           (4.10)

Требуется определить оптимальный в смысле критерия (4.10) закон изменения управляющего воздействия uопт(t), при котором объект из начального состояния х, х переводится в конечное состояние х, х (оптимальное программное управление) и оптимальный регулятор uопт1, х2) для замкнутой САУ.

Принимая во внимание (4.1) и (4.9) запишем выражения для вспомогательного функционала:

.    (4.11)

Следующим этапом является получение системы уравнений Эйлера-Лагранжа (4.7)

Для объекта второго порядка (i=1,2) они будут иметь вид:

         (4.12)

Определим, что:

Очевидно, что:

.

Аналогично:

Подставляя значения частных производных в уравнения  (4.12) получим:

                         (4.13)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно доставлять минимальное значение функционалам J и J*. Поэтому должно выполняться условие, что

                           (4.14)

Подставляя в (4.14) выражение (4.11), получим:

                                     (4.15)

Следовательно

                                                       (4.16)

Таким образом, чтобы определить оптимальный закон управления uопт(t),  нужно определить из системы дифференциальных уравнений (4.14) и уравнений динамики объекта (4.9) выражение для  с учетом выражения (4.16) получим:

                                   (4.17)

Характеристическое уравнение системы (4.17):

р4 - 2Вр2+с=0,                                                      (4.18)

где В=,     

Корни уравнения (4.18) будут:

            (4.19)

Общим решением уравнения (4.17) будет:

.                  (4.20)

Из начальных условий следует, что слагаемые в (4.20) с положительными корнями р1 и р3  равны нулю, т.е. с1=0 и с3=0. Таким образом:

                                       (4.21)

Аналогично:

                                      (4.22)

Значения постоянных интегрирования с2, с46, с8 – определяются из граничных условий. Подставив (4.22) в (4.16) получим закон изменения  управляющего воздействия для оптимального программного регулятора:

,                            (4.33)

где ;.

Для определения закона оптимального  управления для замкнутой САУ необходимо найти зависимость управляющего воздействия от переменных состояний объекта  uопт(x1,x2). Для этого выразим производную  через переменные состояния объекта.  Для этого возьмем первую и вторую производные от х1(t), определяемую выражением (4.21). В результате получим, что:

                  (4.24)

Подставив выражение (4.24) во второе уравнение системы (4.17) получим:

uопт=-к1х12х2                                               (4.25)

где к12р421; к22422                                                        (4.26)

Значения р2 и р4 определяются выражением (4.19).

Таким образом получаем замкнутую систему с ПД регулятором, коэффициенты которого определяются соотношением (4.26) (см.рис. 4.1)

Рис. 4.1. Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                   с ПД регулятором.

Если представить модель объекта управления в переменных состояния (4.9), то структурная схема САУ будет иметь вид, представленный на рис. 4.2. В этом случае ПД-регулятор превращается в регулятор состояния объекта.

Рис. 4.2 Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                  с регулятором состояния.

Оба регулятора дают один и тот же результат.  Схема с регулятором состояния имеет то преимущество, что не надо производить операцию дифференцирования. Но применение этой схемы возможно, если х2- измеряемое, а иначе надо использовать наблюдатель состояния объекта.

Пример.

Объект первого порядка

                        (п.4.1)

Запишем (п.4.1) в виде дифференциального уравнения относительно х.

,                               (п.4.2)

где .

Граничные условия:  х1(0)=х;  х1(∞)=0.

Необходимо найти оптимальный в смысле критерия (4.10) закон управления uопт(t) для разомкнутой САУ и оптимальный регулятор uопт1) для замкнутой САУ.

Вспомогательный функционал будет иметь следующий вид:

.   (п.4.3)

Уравнение Эйлера-Лагранжа для объекта первого порядка будет:

                   (п.4.4)

Найдем, что:

С учетом этих выражений уравнение (п.4.4) примет вид:

.                             (п.4.4)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно обеспечить экстремум критерию (п.4.3). Следовательно, должно выполняться условие, что:

                                         (п.4.5)

или  подставляя в (п.4.5) значение J*  (п.4.3)получим:

Следовательно

                                     (п.4.6)

Определим  из системы уравнений (п.4.2) и (п.4.4) с учетом выражения (п.4.6):

                                 (п.4.7)

Характеристическое  уравнение системы (п.4.7) определяется следующим образом                           det(Ip-A) = p2-B,

где B=.

Следовательно:

.                          (п.4.8)

Решение системы уравнений (п.4.7) будет (положительный корень р1 опускаем, т.к. управление должно быть не расходящимся (устойчивым)):

,                              (п.4.9)

.                         (п.4.10)

Из первого уравнения системы (п.4.7) определим оптимальный закон программного управления:

Подставив в это выражение значения х1 и   получим:

                        (п.4.11)

где с1=

Из выражений (п.4.9) и (п.4.11) получим зависимость uопт1) для замкнутой САУ:

.                    (п.4.12)

Из этого следует, что:

,                             (п.4.13)

где оптимальный коэффициент П-регулятора

.                                   (п.4.14)

Структурная схема полученной САУ  представлена на рис. п.4.3.

Рис. п.4.3  Замкнутая оптимальная по квадратичному интегральному критерию система с П- регулятором, коэффициент которого определяется (п.4.14)

Определим выражение для Копт через параметры объекта. Для этого в (п.4.13) подставим  выражение (п.4.8) для коэффициентов а и b из выражения (п.4.1):

.     (п.4.14)

Из (п.4.14) требования минимизации отклонения выхода одного сигнала за счет увеличения в интегральном критерии коэффициента веса q, и минимизация расхода энергии за счет увеличения коэффициента веса r являются противоречивыми. На практике в зависимости от конкретных условий ищется компромисс.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81374. Сторони, їх суб’єктивні права та обов’язки у виконавчому провадженні 28.83 KB
  За виконавчим документом про стягнення в дохід держави коштів або про вчинення інших дій на користь чи в інтересах держави від її імені виступає орган, за позовом якого судом винесено відповідне рішення, або орган державної влади (крім суду), який відповідно до закону прийняв таке рішення.
81375. Теория структурного функционализма в социологии и возможность ее применения для анализа социальной работы 37.56 KB
  Структурный функционализм методологический подход в социологии и социокультурной антропологии состоящий в трактовке общества как социальной системы имеющей свою структуру и механизмы взаимодействия структурных элементов каждый из которых выполняет собственную функцию. Базовой идеей структурного функционализма является идея социального порядка то есть имманентное стремление любой системы поддержать собственное равновесие согласовать между собой различные её элементы добиться согласия между ними. Основные положения Общество...
81376. Теории социального конфликта К. Маркса и Л. Козера, их применение для анализа социальной работы 35.67 KB
  Согласно концепции Маркса именно конфликты объясняют социальные процессы и изменения именно они пронизывают жизнь общества во всех его направлениях именно конфликтами объясняется осуществление революций и переход к новому типу общества. Маркс характеризовал конфликт как естественное состояние классового основанного на частной собственности общества присущее изначально его природе. В качестве основного типа конфликта для него выступало взаимодействие между производительными силами и производственными отношениями которые на определенном...
81377. Теория символического интеракционизма при анализе социальной работы 40.33 KB
  Сходное понимание слов жестов других символов облегчает взаимодействие позволяет интерпретировать поведение друг друга. Понимая поведение друг друга люди меняют свое поведение приспосабливая свои поступки к действиям другого координируя свои действия с другими людьми обучаясь видеть себя глазами группы обучаясь учитывать ожидания других людей. Социальные ожидания экспектации влияют на поведение человека он вынужден вести себя так как требуют нормы поведения как ожидают другие люди и общество в целом реализуя те права и...
81378. Феноменологический подход в социологии. Значение положений теории А. Шюца в анализе социальной работы 38.26 KB
  Следовательно необходимо погружение в мир в котором живет человек т. в мир жизни или жизненный мир. Отсюда центральные понятия его феноменологической социологии: жизненный мир повседневный мир повседневность социальный мир. В целом это мир наполненный смыслом который придают ему люди в повседневной жизни.
81379. Познавательные возможности и особенности количественной методологии в социологии при анализе социальной работы 37.93 KB
  Организация наблюдения включает в себя определение характеристик объекта целей и задач наблюдения выбор вида наблюдения разработку программы и процедуры наблюдения установление параметров наблюдения разработку техники выполнения результатов анализ результатов и выводов. добивается максимального взаимодействия с объектом наблюдения не обнаруживая как правило своих исследовательских намерений на практике.
81380. Понятие и виды социологических исследований 34.64 KB
  Качественные методы социологии позволяют социологу понять суть какоголибо социального явления а количественные понять насколько массово часто встречаемо это социальное явление и насколько оно важно для общества. Количественные методы: социологический опрос анкетирование и интервьюирование контентанализ документов наблюдение эксперимент Качественные методы: фокус группа исследование случая кейс стади этнографические исследования неструктурированные интервью.
81381. Измерение эффективности социальной работы и типы шкал. Приведите примеры использования 36.91 KB
  Показатели эффективности социальной работы. В связи с тем что социальная работа направлена на удовлетворение социальных потребностей человека правомерно признать главным критерием эффективности социальной работы как и определяющим критерием гуманности общества полноту удовлетворения интересов отдельного человека или различных сообществ людей во всех сферах жизни. Исходя из этих особенностей следует подходить к определению критериев социальной работы.
81382. Понятие и построение выборки в социологическом исследовании социальной работы 41 KB
  Задача построения выборки возникает всякий раз когда необходимо собрать информацию о некоторой группе или большой совокупности людей. Выборка это подмножество заданной совокупности популяции позволяющее делать более или менее точные выводы относительно совокупности в целом. Первым шагом в построении любой модели отбора включая вероятностную является определение генеральной совокупности. Любую генеральную совокупность характеризует какойлибо значимый признак или набор признаков по которым мы можем отнести конкретный объект к данной...