32240

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

2 Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления. Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа для объекта второго порядка: .8 Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных координатах: x1=qзy; .7 Для объекта второго порядка i=12 они будут иметь вид: 4.

Русский

2013-09-04

177 KB

14 чел.

Лекция №4

Синтез оптимального управления путем решения общей задачи Лагранжа

В 1759 году появилась первая работа Лагранжа по вариационному исчислению. Лагранж развил идею Эйлера для случая, когда экстремали xi(t) функционала

                              (4.1)

(см. также (3.1)) должны удовлетворять на ряду с граничными условиями  еще дополнительным связям в виде дифференциальных уравнений:

      (4.2)

Эти уравнения получаются из описания динамики объекта управления.

Задача с дополнительными дифференциальными (или голономными) связями называется общей задачей Лагранжа по определению условного экстремума функционала.

Для решения этой задачи составляется вспомогательная функция:

.  (4.3)

Или в сокращенном виде:

,                    (4.4)

где F – подынтегральная функция критерия (функционала) (4.1) или (3.1),

fi – дифференциальные уравнения связи (4.2),

- некоторые дополнительные функции (множители Лагранжа), подлежащие определению.

На основе вспомогательной функции  составляется  вспомогательный функционал:

    (4.5)

Этот функционал, зависящий от "n” функций xi(t) и от “n” функций , исследуется на безусловный экстремум, так как  благодаря введению функции  все функции хi могут варьироваться независимо. В результате получаем задачу Эйлера.

Для функционала (4.5)  записываем “n” уравнений названных уравнениями Эйлера-Лагранжа:

              (4.6)

или подставляя из(4.4) выражение для , получим:

.    (4.7)

Эти уравнения совместно с уравнениями (4.2) образуют систему из 2n уравнений с 2n неизвестными, т.е. задача имеет решение. При этом постоянные интегрирования определяются из граничных условий.

Рассмотрим решение общей задачи Лагранжа  для объекта второго порядка:

.    (4.8)

Запишем уравнение динамики объекта в фазовых переменных (координатах):

x1=qз-y;  .

Исходя из  (4.8) получаем:

,              (4.9)

где а21=.

Граничные условия:

x1(tн)=х; х2(tк)=х=0 (y=qз); х1(tк)=х=0;  x2(tк)=х=0.

Задан квадратичный интегральный критерий оптимальности:

           (4.10)

Требуется определить оптимальный в смысле критерия (4.10) закон изменения управляющего воздействия uопт(t), при котором объект из начального состояния х, х переводится в конечное состояние х, х (оптимальное программное управление) и оптимальный регулятор uопт1, х2) для замкнутой САУ.

Принимая во внимание (4.1) и (4.9) запишем выражения для вспомогательного функционала:

.    (4.11)

Следующим этапом является получение системы уравнений Эйлера-Лагранжа (4.7)

Для объекта второго порядка (i=1,2) они будут иметь вид:

         (4.12)

Определим, что:

Очевидно, что:

.

Аналогично:

Подставляя значения частных производных в уравнения  (4.12) получим:

                         (4.13)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно доставлять минимальное значение функционалам J и J*. Поэтому должно выполняться условие, что

                           (4.14)

Подставляя в (4.14) выражение (4.11), получим:

                                     (4.15)

Следовательно

                                                       (4.16)

Таким образом, чтобы определить оптимальный закон управления uопт(t),  нужно определить из системы дифференциальных уравнений (4.14) и уравнений динамики объекта (4.9) выражение для  с учетом выражения (4.16) получим:

                                   (4.17)

Характеристическое уравнение системы (4.17):

р4 - 2Вр2+с=0,                                                      (4.18)

где В=,     

Корни уравнения (4.18) будут:

            (4.19)

Общим решением уравнения (4.17) будет:

.                  (4.20)

Из начальных условий следует, что слагаемые в (4.20) с положительными корнями р1 и р3  равны нулю, т.е. с1=0 и с3=0. Таким образом:

                                       (4.21)

Аналогично:

                                      (4.22)

Значения постоянных интегрирования с2, с46, с8 – определяются из граничных условий. Подставив (4.22) в (4.16) получим закон изменения  управляющего воздействия для оптимального программного регулятора:

,                            (4.33)

где ;.

Для определения закона оптимального  управления для замкнутой САУ необходимо найти зависимость управляющего воздействия от переменных состояний объекта  uопт(x1,x2). Для этого выразим производную  через переменные состояния объекта.  Для этого возьмем первую и вторую производные от х1(t), определяемую выражением (4.21). В результате получим, что:

                  (4.24)

Подставив выражение (4.24) во второе уравнение системы (4.17) получим:

uопт=-к1х12х2                                               (4.25)

где к12р421; к22422                                                        (4.26)

Значения р2 и р4 определяются выражением (4.19).

Таким образом получаем замкнутую систему с ПД регулятором, коэффициенты которого определяются соотношением (4.26) (см.рис. 4.1)

Рис. 4.1. Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                   с ПД регулятором.

Если представить модель объекта управления в переменных состояния (4.9), то структурная схема САУ будет иметь вид, представленный на рис. 4.2. В этом случае ПД-регулятор превращается в регулятор состояния объекта.

Рис. 4.2 Замкнутая система управления с оптимальным по критерию (4.10)

                  с регулятором состояния.

Оба регулятора дают один и тот же результат.  Схема с регулятором состояния имеет то преимущество, что не надо производить операцию дифференцирования. Но применение этой схемы возможно, если х2- измеряемое, а иначе надо использовать наблюдатель состояния объекта.

Пример.

Объект первого порядка

                        (п.4.1)

Запишем (п.4.1) в виде дифференциального уравнения относительно х.

,                               (п.4.2)

где .

Граничные условия:  х1(0)=х;  х1(∞)=0.

Необходимо найти оптимальный в смысле критерия (4.10) закон управления uопт(t) для разомкнутой САУ и оптимальный регулятор uопт1) для замкнутой САУ.

Вспомогательный функционал будет иметь следующий вид:

.   (п.4.3)

Уравнение Эйлера-Лагранжа для объекта первого порядка будет:

                   (п.4.4)

Найдем, что:

С учетом этих выражений уравнение (п.4.4) примет вид:

.                             (п.4.4)

Оптимальное значение управляющего воздействия должно обеспечить экстремум критерию (п.4.3). Следовательно, должно выполняться условие, что:

                                         (п.4.5)

или  подставляя в (п.4.5) значение J*  (п.4.3)получим:

Следовательно

                                     (п.4.6)

Определим  из системы уравнений (п.4.2) и (п.4.4) с учетом выражения (п.4.6):

                                 (п.4.7)

Характеристическое  уравнение системы (п.4.7) определяется следующим образом                           det(Ip-A) = p2-B,

где B=.

Следовательно:

.                          (п.4.8)

Решение системы уравнений (п.4.7) будет (положительный корень р1 опускаем, т.к. управление должно быть не расходящимся (устойчивым)):

,                              (п.4.9)

.                         (п.4.10)

Из первого уравнения системы (п.4.7) определим оптимальный закон программного управления:

Подставив в это выражение значения х1 и   получим:

                        (п.4.11)

где с1=

Из выражений (п.4.9) и (п.4.11) получим зависимость uопт1) для замкнутой САУ:

.                    (п.4.12)

Из этого следует, что:

,                             (п.4.13)

где оптимальный коэффициент П-регулятора

.                                   (п.4.14)

Структурная схема полученной САУ  представлена на рис. п.4.3.

Рис. п.4.3  Замкнутая оптимальная по квадратичному интегральному критерию система с П- регулятором, коэффициент которого определяется (п.4.14)

Определим выражение для Копт через параметры объекта. Для этого в (п.4.13) подставим  выражение (п.4.8) для коэффициентов а и b из выражения (п.4.1):

.     (п.4.14)

Из (п.4.14) требования минимизации отклонения выхода одного сигнала за счет увеличения в интегральном критерии коэффициента веса q, и минимизация расхода энергии за счет увеличения коэффициента веса r являются противоречивыми. На практике в зависимости от конкретных условий ищется компромисс.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11104. ПМП при ушибах и переломах. ПМП при острой сердечной недостаточности и инсульте. ПМП при массовых поражениях 114.11 KB
  ПМП при ушибах и переломах. ПМП при острой сердечной недостаточности и инсульте. ПМП при массовых поражениях Первая помощь при ушибах растяжениях и переломах. Ушиб закрытое повреждение тканей и органов без существенного нарушения их структуры. Обычно возникает в ре...
11105. Единая государственная система предупреждения и ликвидации ЧС (РС ЧС), ее основные задачи и структура 91.65 KB
  Единая государственная система предупреждения и ликвидации ЧС РС ЧС ее основные задачи и структура. 1.ЦЕЛЬ И ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ РСЧС ЕЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ Необходимость образования государственных систем защиты населения и территорий как в России так и за рубежом была...
11106. Гражданская оборона, история создания, ее задачи, структура 25.18 KB
  Гражданская оборона история создания ее задачи структура Предназначение и задачи ГО РФ Структура ГО РФ Руководство ГО РФ Органы управления ГО РФ Организация задачи ГО в общеобразовательном учреждении Содержание плана ГО общеобразовательного уч
11107. Повышение устойчивости работы объектов на ЧС 42.56 KB
  Повышение устойчивости работы объектов на ЧС ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ И ПОВЫШЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ Введение Как гласит Федеральный закон О защите населения и территорий от чрезвычайных ситуаций природного и техног...
11108. Локализация и ликвидация последствий ЧС 22.07 KB
  Локализация и ликвидация последствий ЧС Ликвидация последствий ЧС. Ликвидация ЧС ситуации осуществляется силами и средствами предприятий учреждений и организаций независимо от их организационно правовой формы органов местного самоуправления органов исполнител...
11109. Дознание в уголовном процессе 44.5 KB
  РЕФЕРАТ по уголовному процессу на тему: Дознание в уголовном процессе Дознание один из видов предварительного расследования о...
11110. Представительство. Доверенность 158 KB
  Курсовая работа по гражданскому праву На тему: Представительство. Доверенность Оглавление [1] Глава 1 понятие значение института представительства...
11111. Рентные договоры: понятие, правовая природа, виды 176 KB
  История, правовая природа и понятие рентных договоров. Правовая природа рентных договоров. Понятие, предмет и форма заключения договора ренты. Противоречивость конструкции договора ренты. Исполнение обязанности по передаче имущества
11112. Граждане как субъекты гражданского права 184 KB
  По дисциплине: Гражданское право На тему: Граждане как субъекты гражданского права Оглавление [1] По дисциплине: Гражданское право [2] Оглавление [3] Глава 1 Понятие...