32437

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения Fx. Если функция распределения дифференцируема то ее производная Fx = fx называется плотностью распределения а сама случайная величина Х – непрерывно распределенной случайной величиной. Отсюда следует что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения: Утверждение 8. Вероятность того что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Русский

2013-09-04

157.5 KB

23 чел.

Лекция 6.

$9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения F(x). Если функция распределения дифференцируема, то ее производная F(x) = f(x) называется плотностью распределения, а сама случайная величина Хнепрерывно распределенной случайной величиной.

Отсюда следует, что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения:

Утверждение 8. Cлучайная величина Х принимает значения из отрезка [x1x2] c вероятностью F(x2) – F(x1).

Доказательство. P{x1  X  x2} = F(x2) – Р(Х < x1) = F(x2) – F(х1) (Т.к. F(х) непрерывна, для любого  > 0 существует  > 0 такая, что  т.е.  Поскольку для любого  > 0  то для любого  > 0  и значит, ).

Cледствие. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а, b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Утверждение 9. При непрерывном распределении вероятности каждой отдельной точке соответствует вероятность 0, а отрезку [аb] cоответствует та же вероятность, что и интервалу (ab).

Доказательство. P(X = x) = P(x  X  x) = F(x) – F(x) = 0.

P(a   b) = P{ X  b} – Р{Х а} – Р{Х b} = P{a < X < b}.

Свойства плотности распределения вытекают из свойств функции распределения ($2, Утверждения 1,3):

1) поскольку функция распределения не убывает, ее производная неотрицательна: f(x 0;

2) интеграл от плотности по всей числовой прямой равен 1:

Замечание. Будем также рассматривать непрерывные случайные величины, сосредоточенные на интервале (a,b). Это такие случайные величины, у которых фукция распределения F(x) непрерывна, равна 0 при х  а, равна 1 при  b, а на интервале (ab) - дифференцируема. Плотность распределения таких случайных величин полагают равной 0 вне интервала (ab) и F(x) на (ab).

$10. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется  если интеграл существует.

Моментом k-ого порядка, k = 1, 2, 3,…, непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Хk:

Центральным моментом k-ого порядка непрерывной случайной ведичины Х 

называется математическое ожидание случайной величины (Х – МХ)k .

Как и для дискретных случайных величин дисперсия DХ непрерывной случайной величины Х - это второй центральный момент, среднее квадратическое отклонение,   коэффициент асимметрии  аХ   = .

$11. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пример 16. Равномерное распределение. Пусть на интервал (аb) действительной прямой наугад бросают точку. Cлучайная величина Х – координата этой точки. Вероятность попадания точки на заданный интервал (х1x2) из (a,b) . Поэтому плотность распределения

Такое распределение вероятностей называется равномерным на интервале (a, b).

Функция распределения равномерного закона

DX = M (X2) –(MX)=   

      В примере 1 из пятого параграфа первой главы время прихода пассажира на платформу метрополитена имеет равномерное распределение в интервале (0, 4).

Пример 17. Показательное распределение. Cлучайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения

Функция распределения

 

 

Показательное распределение часто имеют периоды ожидания или продолжительности “жизни” элементов (например, время до прихода автобуса или время  “жизни” электрической лампочки). Показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия: каков бы ни был настоящий “возраст” элемента, оставшееся время “жизни” не зависит от прошлого и имеет то же самое распределение, что и само время “жизни”. Отсутствие последействия присуще только показательному распределению.  

Пример 18. Нормальное распределение.  Непрерывное распределение с плотностью  называется  нормальным распределением .

Графиком плотности является

так называемая гауссова кривая.

Она симметрична относительно параметра m.

Параметр m также совпадает с математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, т.к. .

Cо вторым параметром совпадает среднее квадратическое отклонение, поскольку .

В силу симметричности плотности нормального распределения относительно математического ожидания любой центральный момент нечетного порядка равен нулю. следовательно, коэффициент асимметрии нормального распределения

аХ  = 

Для нормального распределения отношение . равно 3. Это отношение принимают за эталон для всех распределений и величину  называют коэффициентом эксцесса. Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения. Для нормального закона он равен нулю. Для более островершинных распределений коэффициент эксцесса положительный, для менее островершинных - отрицательный.

Нормальное распределение с параметрами m = 0 и  = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения

График плотности симметричен относительно нуля.


$12. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА.

Функция распределения стандартного нормального закона равняется интегралу

Но этот интеграл не берется в элементарных функциях. Функция F(x) относится к так называемым специальным функциям. Она обозначается Ф(x), значения ее можно найти в таблицах  справочника по специальным функциям.

В силу симметричности стандартной нормальной плотности относительно нуля

Ф(–x) = 1  Ф(x), – < x < .

Утверждение 10. Функция  распределения F(x) нормального закона с параметрами m и связана c функцией распределения стандартного нормального закона следующим соотношением

.

Доказательство.

.

Пример 19. Письменная работа на тестовых экзаменах оценивается в процентах. Cредняя оценка оказалась равной 50. Восемь десятых от общего количества абитуриентов получили оценки от 30 до 70. Cчитая, что оценка за письменную работу X имеет нормальное распределение, найдем среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Р (30  X  70) = F(70)  F(30) = Ф((70-50)/)  Ф((30  50)/) = Ф(20/)  
 Ф(–20/) = 2*Ф(20/) – 1 = 0,8. Отсюда Ф(20/) = 0,9. Из таблицы функции распределения стандартного нормального закона следует, что 20/ = 1,28 и    15,625.

22

PAGE  22


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37206. Медицинское страхование 45.5 KB
  Независимо от величины этого взноса все граждане имеют равные права на получение определенного объема медицинской помощи оплата которой производится за счет страховых средств. Перед системой ОМС стоят три основные задачи: обеспечение равных возможностей получения медицинской помощи для всех жителей территории: обеспечение финансовой устойчивости; полный охват страхованием населения Российской Федерации. Охрана здоровья граждан представляет собой совокупность различных мер государства направленных на сохранение и укрепление физического и...
37207. Страхово́й тари́ф 27.5 KB
  Устанавливается как правило в процентах по отношению к страховой сумме. Страховой тариф может устанавливаться: 1. с единицы страховой суммы; 2.
37208. Виды страхования 65.5 KB
  Исторически страхование началось с видов и затем разрасталось до уровня отраслей. Страхование имущества Юридические и физические лица могут заключать договоры страхования на объекты в отношении которых они имеют имущественный интерес: здания сооружения передаточные устройства силовые рабочие и другие машины оборудование транспортные средства ловецкие и другие суда орудия лова объекты незавершенного производства и капитального строительства инвентарь готовая продукция товары сырье материалы и другое имущество. Страхование квартиры...
37209. Развитие страхового рынка 33 KB
  Таким образом прогноз роста российского страхового рынка должен опираться на общий прогноз экономического развития. В целом прогнозы роста российской экономики которые делаются различными аналитическими центрами на ближайшие несколько лет выглядят умеренно оптимистичными. Прогнозы сделанные ЦСИ Росгосстраха приводят к более низким оценкам потенциального роста российской экономики. Методика на основании которой делается прогноз основана на зависимости темпов роста ВВП от удовлетворенности населения своей жизнью – чем больше люди довольны...
37210. Финансовый менеджмент 25 KB
  Можно выделить две основные группы финансового менеджмента находящиеся в подчинении у главного финансиста на предприятии: 1. Основными функциями финансового менеджера являются: аналитическоконтрольные; финансовое планирование; принятие управленческих решений. В целом в функциональные обязанности финансового менеджера входят: текущая деятельность связанная с движением денежных фондов предприятия; финансовое планирование прогнозирование; проведение операций на финансовых рынках; инвестирование; финансовый анализ и контроль за финансовым...
37211. Базовые концепции финансового менеджмента 49.5 KB
  Концепция временной стоимости денег Концепция изменения стоимости денег во времени играет центральную роль в практике финансовых вычислений и выражает необходимость учета фактора времени при осуществлении долговременных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег в начале финансирования проекта и при их возврате в виде будущих денежных поступлений. Концепция временной стоимости денег заключается в том что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке в качестве которой обычно...
37212. Роль финансового менеджмента в управлении 32.5 KB
  В условиях рыночной экономики управление финансами представляет собой наиболее сложную и приоритетную задачу высшего управленческого персонала любой организации. Управление финансами представляет собой изыскание и распределение финансовых ресурсов необходимых для обеспечения результативной и эффективной деятельности организации. Финансовые ресурсы как основной компонент системы бухгалтерского учета представляют собой связующее звено между учетом контролем и управлением а также связующее звено между разными уровнями управления от...
37213. Финансовая система 108.5 KB
  Государственный кредит Звенья второй сферы финансы предприятий: 1 финансы предприятий функционирующих на коммерческих началах; 2 финансы учреждений и организаций которые осуществляют некоммерческую деятельность; 3 финансы общественных объединений профсоюзов политических партий общественных фондов; Страхование специфическая сфера которая имеет свои звенья: 1 Социальное страхование; 2 Личное страхование; 3 Имущественное страхование; 4 Страхование ответственности; 5 Страхование предпринимательских рисков. Обязательное...
37214. Финансовое планирование 46.5 KB
  Планирование финансовых показателей позволяет находить внутренние резервы предприятия соблюдать режим экономии. Получение планового размера прибыли и других финансовых показателей возможно лишь при условии соблюдения плановых норм затрат труда и материальных ресурсов. Объём финансовых ресурсов рассчитанных на основе финансовых планов устраняет чрезмерные запасы материальных ресурсов непроизводительные расходы внеплановые финансовые инвестиции....