32437

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть Х случайная величина с функцией распределения Fx. Если функция распределения дифференцируема то ее производная Fx = fx называется плотностью распределения а сама случайная величина Х непрерывно распределенной случайной величиной. Отсюда следует что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения: Утверждение 8. Вероятность того что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Русский

2013-09-04

157.5 KB

25 чел.

Лекция 6.

$9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения F(x). Если функция распределения дифференцируема, то ее производная F(x) = f(x) называется плотностью распределения, а сама случайная величина Хнепрерывно распределенной случайной величиной.

Отсюда следует, что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения:

Утверждение 8. Cлучайная величина Х принимает значения из отрезка [x1x2] c вероятностью F(x2) – F(x1).

Доказательство. P{x1  X  x2} = F(x2) – Р(Х < x1) = F(x2) – F(х1) (Т.к. F(х) непрерывна, для любого  > 0 существует  > 0 такая, что  т.е.  Поскольку для любого  > 0  то для любого  > 0  и значит, ).

Cледствие. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а, b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Утверждение 9. При непрерывном распределении вероятности каждой отдельной точке соответствует вероятность 0, а отрезку [аb] cоответствует та же вероятность, что и интервалу (ab).

Доказательство. P(X = x) = P(x  X  x) = F(x) – F(x) = 0.

P(a   b) = P{ X  b} – Р{Х а} – Р{Х b} = P{a < X < b}.

Свойства плотности распределения вытекают из свойств функции распределения ($2, Утверждения 1,3):

1) поскольку функция распределения не убывает, ее производная неотрицательна: f(x 0;

2) интеграл от плотности по всей числовой прямой равен 1:

Замечание. Будем также рассматривать непрерывные случайные величины, сосредоточенные на интервале (a,b). Это такие случайные величины, у которых фукция распределения F(x) непрерывна, равна 0 при х  а, равна 1 при  b, а на интервале (ab) - дифференцируема. Плотность распределения таких случайных величин полагают равной 0 вне интервала (ab) и F(x) на (ab).

$10. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется  если интеграл существует.

Моментом k-ого порядка, k = 1, 2, 3,…, непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Хk:

Центральным моментом k-ого порядка непрерывной случайной ведичины Х 

называется математическое ожидание случайной величины (Х – МХ)k .

Как и для дискретных случайных величин дисперсия DХ непрерывной случайной величины Х - это второй центральный момент, среднее квадратическое отклонение,   коэффициент асимметрии  аХ   = .

$11. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пример 16. Равномерное распределение. Пусть на интервал (аb) действительной прямой наугад бросают точку. Cлучайная величина Х – координата этой точки. Вероятность попадания точки на заданный интервал (х1x2) из (a,b) . Поэтому плотность распределения

Такое распределение вероятностей называется равномерным на интервале (a, b).

Функция распределения равномерного закона

DX = M (X2) –(MX)=   

      В примере 1 из пятого параграфа первой главы время прихода пассажира на платформу метрополитена имеет равномерное распределение в интервале (0, 4).

Пример 17. Показательное распределение. Cлучайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения

Функция распределения

 

 

Показательное распределение часто имеют периоды ожидания или продолжительности “жизни” элементов (например, время до прихода автобуса или время  “жизни” электрической лампочки). Показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия: каков бы ни был настоящий “возраст” элемента, оставшееся время “жизни” не зависит от прошлого и имеет то же самое распределение, что и само время “жизни”. Отсутствие последействия присуще только показательному распределению.  

Пример 18. Нормальное распределение.  Непрерывное распределение с плотностью  называется  нормальным распределением .

Графиком плотности является

так называемая гауссова кривая.

Она симметрична относительно параметра m.

Параметр m также совпадает с математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, т.к. .

Cо вторым параметром совпадает среднее квадратическое отклонение, поскольку .

В силу симметричности плотности нормального распределения относительно математического ожидания любой центральный момент нечетного порядка равен нулю. следовательно, коэффициент асимметрии нормального распределения

аХ  = 

Для нормального распределения отношение . равно 3. Это отношение принимают за эталон для всех распределений и величину  называют коэффициентом эксцесса. Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения. Для нормального закона он равен нулю. Для более островершинных распределений коэффициент эксцесса положительный, для менее островершинных - отрицательный.

Нормальное распределение с параметрами m = 0 и  = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения

График плотности симметричен относительно нуля.


$12. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА.

Функция распределения стандартного нормального закона равняется интегралу

Но этот интеграл не берется в элементарных функциях. Функция F(x) относится к так называемым специальным функциям. Она обозначается Ф(x), значения ее можно найти в таблицах  справочника по специальным функциям.

В силу симметричности стандартной нормальной плотности относительно нуля

Ф(–x) = 1  Ф(x), – < x < .

Утверждение 10. Функция  распределения F(x) нормального закона с параметрами m и связана c функцией распределения стандартного нормального закона следующим соотношением

.

Доказательство.

.

Пример 19. Письменная работа на тестовых экзаменах оценивается в процентах. Cредняя оценка оказалась равной 50. Восемь десятых от общего количества абитуриентов получили оценки от 30 до 70. Cчитая, что оценка за письменную работу X имеет нормальное распределение, найдем среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Р (30  X  70) = F(70)  F(30) = Ф((70-50)/)  Ф((30  50)/) = Ф(20/)  
 Ф(–20/) = 2*Ф(20/) – 1 = 0,8. Отсюда Ф(20/) = 0,9. Из таблицы функции распределения стандартного нормального закона следует, что 20/ = 1,28 и    15,625.

22

PAGE  22


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39437. Разработка линии связи между ОП1 (Брест) и ОП2 (Гомель) через ПВ (Пинск) 387 KB
  Для этого на стойке в оконечном пункте размещены: оборудование линейного тракта на две системы; оборудование дистанционного питания НРП двух систем передачи; оборудование магистральной телемеханики; оборудование участковой телемеханики; комплект служебной связи КСС; панель ввода; панель обслуживания. 3 Необслуживаемый регенерационный пункт НРП Промежуточное оборудование линейного тракта размещается в грунтовых контейнерах полуподземного типа НРПГ2. Оборудование НРПГ2 обеспечивает...
39438. Реструктуризация управленческой структуры предприятия 198.1 KB
  Целью работы является анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия и выработка на этой основе рекомендаций по реструктуризации предприятия на материалах ООО «Торговый дом Холод» г. Заринск Алтайский край.
39439. Создание качественных каналов связи на заданном направлении 370.5 KB
  В состав аппаратуры входит следующее оборудование: вторичного временного группообразования ВВГ оконечное оборудование линейного тракта ОЛТ необслуживаемые регенерационные пункты НРП а также комплект контрольноизмерительных приборов КИП. Сформированный в оборудовании ВВГ цифровй сигнал в коде МЧПИ или ЧПИ поступает в ОЛТ которое осуществляет согласование выхода оборудования ВВГ с линейным трактом дистанционное питание НРП телеконтроль и сигнализацию о состоянии оборудования линейного тракта служебную связь между оконечным...
39441. Создание качественных каналов и связи на направлении МИНСК-ГРОДНО (через ЛИДУ) 326.5 KB
  Основные параметры системы передачи Параметр Значение параметра Число организуемых каналов 480 Скорость передачи информации кбит с 34368 Тип линейного кода HDB3 или MI Амплитуда импульсов в линии В 302 Расчетная частота кГц 17186 Номинальное затухание участка регенерации дБ 65 Номинальное значение тока ДП мА 200 Допустимые значения напряжения ДП В 401300650 относительно земли Максимальное расстояние ОРПОРП 200 км Максимальное число НРП между ОРП 66 Максимальное число НРП в полу секции ДП 33 Комплекс аппаратуры...
39442. Использование каналов цифровых систем для передачи дискретных сигналов 190.5 KB
  В состав аппаратуры ИКМ120у входят: аналогоцифровое оборудование формирования стандартных первичных цифровых потоков АЦО оборудование вторичного временного группообразования ВВГ оконечное оборудование линейного тракта ОЛТ необслуживаемые регенерационные пункты НРП. Оборудование ОЛТ обеспечивает согласование выхода оборудования ВВГ с линейным трактом дистанционное питание ДП НРП телеконтроль ТК и сигнализацию о состоянии линейного тракта СС между оконечными и промежуточными пунктами. Для размещения НРП необходимо определить...
39443. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕЖДУГОРОДНЕЙ ЦИФРОВОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ 446 KB
  Размещение НРП вдоль кабельной линии передачи осуществляется в соответствии с номинальной длиной регенерационного участка РУ для проектируемой ЦСП. блоки регенераторов в НРП не содержат искусственных линий ИЛ. Необходимое число НРП определяется по формуле: N=n1; N1=10; N2=16. Из произведенных расчетов следует что между ОП1 и ПВ потребуется установить 10 НРП между ОП2 и ПВ 16.
39444. Создание качественных каналов на направлении Витебск – Глубокое – Браслав 308.5 KB
  В состав аппаратуры входят: оборудование вторичного временного преобразования ВВГ оконечное оборудование линейного тракта ОЛТ необслуживаемые регенерационные пункты НРП а также комплект контрольноизмерительных приборов КИП. Оконечное оборудование линейного тракта обеспечивает согласование выхода оборудования ВВГ с линейным трактом дистанционное питание НРП телеконтроль и сигнализацию о состоянии линейного тракта служебную связь между оконечными и промежуточными пунктами. Оборудование НРП аппаратуры ИКМ120У включает в себя блоки...
39445. Разработка линии связи между ОП1 (Витебск) и ОП2 (Гродно) через ПВ (Лида) 409.5 KB
  Основные параметры системы передачи ИКМ480 Параметр Значение параметра Число организуемых каналов 480 Скорость передачи информации кбит с 34 368 Тип линейного кода КВП3 или ЧПИ Расчетная частота кГц 34 368 Номинальное затухание участка регенерации дБ 65 Номинальное значение тока ДП мА 200 Допустимые значения напряжения ДП В 1300 Максимальное расстояние ОРПОРП 201 км Максимальное число НРП между ОРП 66 Максимальное число НРП в полусекции ДП 33 Номинальная длина регенерационного участка км Комплекс аппаратуры ЦСП ИКМ480...