32437

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения Fx. Если функция распределения дифференцируема то ее производная Fx = fx называется плотностью распределения а сама случайная величина Х – непрерывно распределенной случайной величиной. Отсюда следует что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения: Утверждение 8. Вероятность того что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Русский

2013-09-04

157.5 KB

23 чел.

Лекция 6.

$9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения F(x). Если функция распределения дифференцируема, то ее производная F(x) = f(x) называется плотностью распределения, а сама случайная величина Хнепрерывно распределенной случайной величиной.

Отсюда следует, что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения:

Утверждение 8. Cлучайная величина Х принимает значения из отрезка [x1x2] c вероятностью F(x2) – F(x1).

Доказательство. P{x1  X  x2} = F(x2) – Р(Х < x1) = F(x2) – F(х1) (Т.к. F(х) непрерывна, для любого  > 0 существует  > 0 такая, что  т.е.  Поскольку для любого  > 0  то для любого  > 0  и значит, ).

Cледствие. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а, b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Утверждение 9. При непрерывном распределении вероятности каждой отдельной точке соответствует вероятность 0, а отрезку [аb] cоответствует та же вероятность, что и интервалу (ab).

Доказательство. P(X = x) = P(x  X  x) = F(x) – F(x) = 0.

P(a   b) = P{ X  b} – Р{Х а} – Р{Х b} = P{a < X < b}.

Свойства плотности распределения вытекают из свойств функции распределения ($2, Утверждения 1,3):

1) поскольку функция распределения не убывает, ее производная неотрицательна: f(x 0;

2) интеграл от плотности по всей числовой прямой равен 1:

Замечание. Будем также рассматривать непрерывные случайные величины, сосредоточенные на интервале (a,b). Это такие случайные величины, у которых фукция распределения F(x) непрерывна, равна 0 при х  а, равна 1 при  b, а на интервале (ab) - дифференцируема. Плотность распределения таких случайных величин полагают равной 0 вне интервала (ab) и F(x) на (ab).

$10. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется  если интеграл существует.

Моментом k-ого порядка, k = 1, 2, 3,…, непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Хk:

Центральным моментом k-ого порядка непрерывной случайной ведичины Х 

называется математическое ожидание случайной величины (Х – МХ)k .

Как и для дискретных случайных величин дисперсия DХ непрерывной случайной величины Х - это второй центральный момент, среднее квадратическое отклонение,   коэффициент асимметрии  аХ   = .

$11. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пример 16. Равномерное распределение. Пусть на интервал (аb) действительной прямой наугад бросают точку. Cлучайная величина Х – координата этой точки. Вероятность попадания точки на заданный интервал (х1x2) из (a,b) . Поэтому плотность распределения

Такое распределение вероятностей называется равномерным на интервале (a, b).

Функция распределения равномерного закона

DX = M (X2) –(MX)=   

      В примере 1 из пятого параграфа первой главы время прихода пассажира на платформу метрополитена имеет равномерное распределение в интервале (0, 4).

Пример 17. Показательное распределение. Cлучайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения

Функция распределения

 

 

Показательное распределение часто имеют периоды ожидания или продолжительности “жизни” элементов (например, время до прихода автобуса или время  “жизни” электрической лампочки). Показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия: каков бы ни был настоящий “возраст” элемента, оставшееся время “жизни” не зависит от прошлого и имеет то же самое распределение, что и само время “жизни”. Отсутствие последействия присуще только показательному распределению.  

Пример 18. Нормальное распределение.  Непрерывное распределение с плотностью  называется  нормальным распределением .

Графиком плотности является

так называемая гауссова кривая.

Она симметрична относительно параметра m.

Параметр m также совпадает с математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, т.к. .

Cо вторым параметром совпадает среднее квадратическое отклонение, поскольку .

В силу симметричности плотности нормального распределения относительно математического ожидания любой центральный момент нечетного порядка равен нулю. следовательно, коэффициент асимметрии нормального распределения

аХ  = 

Для нормального распределения отношение . равно 3. Это отношение принимают за эталон для всех распределений и величину  называют коэффициентом эксцесса. Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения. Для нормального закона он равен нулю. Для более островершинных распределений коэффициент эксцесса положительный, для менее островершинных - отрицательный.

Нормальное распределение с параметрами m = 0 и  = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения

График плотности симметричен относительно нуля.


$12. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА.

Функция распределения стандартного нормального закона равняется интегралу

Но этот интеграл не берется в элементарных функциях. Функция F(x) относится к так называемым специальным функциям. Она обозначается Ф(x), значения ее можно найти в таблицах  справочника по специальным функциям.

В силу симметричности стандартной нормальной плотности относительно нуля

Ф(–x) = 1  Ф(x), – < x < .

Утверждение 10. Функция  распределения F(x) нормального закона с параметрами m и связана c функцией распределения стандартного нормального закона следующим соотношением

.

Доказательство.

.

Пример 19. Письменная работа на тестовых экзаменах оценивается в процентах. Cредняя оценка оказалась равной 50. Восемь десятых от общего количества абитуриентов получили оценки от 30 до 70. Cчитая, что оценка за письменную работу X имеет нормальное распределение, найдем среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Р (30  X  70) = F(70)  F(30) = Ф((70-50)/)  Ф((30  50)/) = Ф(20/)  
 Ф(–20/) = 2*Ф(20/) – 1 = 0,8. Отсюда Ф(20/) = 0,9. Из таблицы функции распределения стандартного нормального закона следует, что 20/ = 1,28 и    15,625.

22

PAGE  22


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72295. Определение рыночной стоимости имущественного комплекса ЗАО «Саянстрой» 147.45 KB
  Процесс оценки бизнеса предприятий служит основанием для выработки их стратегии. Эффективность принимаемых управленческих решений зависит от качества проведения оценки. Качество самой оценки предприятия зависти от достоверности используемой информации применяемых подходов и методов оценки.
72296. Разработка технических параметров проектируемого издания 1.34 MB
  Целью курсового проекта является разработка технических параметров проектируемого издания, подбор технологического оборудования, материалов, выполнение необходимых технологических расчетов для выпуска заданной продукции.
72297. Психолого-педагогические основы контроля и оценки деятельности учащихся на уроках русского языка 244 KB
  Выполняя функцию руководства учебно – познавательной деятельностью учащихся, контроль не всегда сопровождается выставлением оценок. Он может выступать как способ подготовки учащихся к восприятию нового материала, выявления готовности учеников к усвоению знаний, навыков и умений, их обобщению и систематизации.
72298. Анализ видов социальной работы с детьми-инвалидами в процессе реабилитации 559.91 KB
  Опыт социальной адаптации детей инвалидов Организация исследования цели и задачи.2 Социально-психологический статус умственно-отсталых детей при поступлении в абилитационное отделение. Данные всемирной организации здравоохранения ВОЗ свидетельствуют что число таких жителей в мире достигает...
72299. Выявление условий и форм внеклассной работы, способствующих повышению качеств знаний учащихся 61.99 KB
  Цель работы: выявить условия и формы внеклассной работы способствующие повышению качеств знаний учащихся. Гипотеза: использование внеклассной работы по физике способствует повышению качества знаний учащихся. Задачи квалификационной работы: дать психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы...
72300. Локомотивное эксплуатационное депо. Выполнение разреза аккумуляторной батареи «75 КРН-150 Р» 481.01 KB
  Основные задачи железнодорожного транспорта – своевременное, качественное и полное удовлетворение потребностей народного хозяйства и населения в перевозках, повышение экономической эффективности его работы, безопасность движения на единицу перевозок, повышение скорости и сроки доставки грузов...
72302. Возникновение и развитие науки об экспертизе. Предмет и объекты судебной экспертизы. Экспертные учреждения РФ 183.5 KB
  Обращение правосудия к помощи науки отмечается в истории судебной экспертизы достаточно давно. По литературным данным, еще во времена византийского императора Юстиниана...