32437

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть Х случайная величина с функцией распределения Fx. Если функция распределения дифференцируема то ее производная Fx = fx называется плотностью распределения а сама случайная величина Х непрерывно распределенной случайной величиной. Отсюда следует что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения: Утверждение 8. Вероятность того что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Русский

2013-09-04

157.5 KB

25 чел.

Лекция 6.

$9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Пусть Х – случайная величина с функцией распределения F(x). Если функция распределения дифференцируема, то ее производная F(x) = f(x) называется плотностью распределения, а сама случайная величина Хнепрерывно распределенной случайной величиной.

Отсюда следует, что функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности распределения:

Утверждение 8. Cлучайная величина Х принимает значения из отрезка [x1x2] c вероятностью F(x2) – F(x1).

Доказательство. P{x1  X  x2} = F(x2) – Р(Х < x1) = F(x2) – F(х1) (Т.к. F(х) непрерывна, для любого  > 0 существует  > 0 такая, что  т.е.  Поскольку для любого  > 0  то для любого  > 0  и значит, ).

Cледствие. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения из отрезка [а, b] равна интегралу по этому отрезку от плотности распределения случайной величины Х.

Утверждение 9. При непрерывном распределении вероятности каждой отдельной точке соответствует вероятность 0, а отрезку [аb] cоответствует та же вероятность, что и интервалу (ab).

Доказательство. P(X = x) = P(x  X  x) = F(x) – F(x) = 0.

P(a   b) = P{ X  b} – Р{Х а} – Р{Х b} = P{a < X < b}.

Свойства плотности распределения вытекают из свойств функции распределения ($2, Утверждения 1,3):

1) поскольку функция распределения не убывает, ее производная неотрицательна: f(x 0;

2) интеграл от плотности по всей числовой прямой равен 1:

Замечание. Будем также рассматривать непрерывные случайные величины, сосредоточенные на интервале (a,b). Это такие случайные величины, у которых фукция распределения F(x) непрерывна, равна 0 при х  а, равна 1 при  b, а на интервале (ab) - дифференцируема. Плотность распределения таких случайных величин полагают равной 0 вне интервала (ab) и F(x) на (ab).

$10. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется  если интеграл существует.

Моментом k-ого порядка, k = 1, 2, 3,…, непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Хk:

Центральным моментом k-ого порядка непрерывной случайной ведичины Х 

называется математическое ожидание случайной величины (Х – МХ)k .

Как и для дискретных случайных величин дисперсия DХ непрерывной случайной величины Х - это второй центральный момент, среднее квадратическое отклонение,   коэффициент асимметрии  аХ   = .

$11. ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пример 16. Равномерное распределение. Пусть на интервал (аb) действительной прямой наугад бросают точку. Cлучайная величина Х – координата этой точки. Вероятность попадания точки на заданный интервал (х1x2) из (a,b) . Поэтому плотность распределения

Такое распределение вероятностей называется равномерным на интервале (a, b).

Функция распределения равномерного закона

DX = M (X2) –(MX)=   

      В примере 1 из пятого параграфа первой главы время прихода пассажира на платформу метрополитена имеет равномерное распределение в интервале (0, 4).

Пример 17. Показательное распределение. Cлучайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения

Функция распределения

 

 

Показательное распределение часто имеют периоды ожидания или продолжительности “жизни” элементов (например, время до прихода автобуса или время  “жизни” электрической лампочки). Показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия: каков бы ни был настоящий “возраст” элемента, оставшееся время “жизни” не зависит от прошлого и имеет то же самое распределение, что и само время “жизни”. Отсутствие последействия присуще только показательному распределению.  

Пример 18. Нормальное распределение.  Непрерывное распределение с плотностью  называется  нормальным распределением .

Графиком плотности является

так называемая гауссова кривая.

Она симметрична относительно параметра m.

Параметр m также совпадает с математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, т.к. .

Cо вторым параметром совпадает среднее квадратическое отклонение, поскольку .

В силу симметричности плотности нормального распределения относительно математического ожидания любой центральный момент нечетного порядка равен нулю. следовательно, коэффициент асимметрии нормального распределения

аХ  = 

Для нормального распределения отношение . равно 3. Это отношение принимают за эталон для всех распределений и величину  называют коэффициентом эксцесса. Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения. Для нормального закона он равен нулю. Для более островершинных распределений коэффициент эксцесса положительный, для менее островершинных - отрицательный.

Нормальное распределение с параметрами m = 0 и  = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения

График плотности симметричен относительно нуля.


$12. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА.

Функция распределения стандартного нормального закона равняется интегралу

Но этот интеграл не берется в элементарных функциях. Функция F(x) относится к так называемым специальным функциям. Она обозначается Ф(x), значения ее можно найти в таблицах  справочника по специальным функциям.

В силу симметричности стандартной нормальной плотности относительно нуля

Ф(–x) = 1  Ф(x), – < x < .

Утверждение 10. Функция  распределения F(x) нормального закона с параметрами m и связана c функцией распределения стандартного нормального закона следующим соотношением

.

Доказательство.

.

Пример 19. Письменная работа на тестовых экзаменах оценивается в процентах. Cредняя оценка оказалась равной 50. Восемь десятых от общего количества абитуриентов получили оценки от 30 до 70. Cчитая, что оценка за письменную работу X имеет нормальное распределение, найдем среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Р (30  X  70) = F(70)  F(30) = Ф((70-50)/)  Ф((30  50)/) = Ф(20/)  
 Ф(–20/) = 2*Ф(20/) – 1 = 0,8. Отсюда Ф(20/) = 0,9. Из таблицы функции распределения стандартного нормального закона следует, что 20/ = 1,28 и    15,625.

22

PAGE  22


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53601. Модель оценки капитальных активов 31 KB
  Одним из ключевых положений портфельной теории является обоснование того, что с каждым рисковым активом связаны два типа рисков – диверсифицируемый и недиверсифицируемый
53602. Работа в сети Интернет. Электронная почта 60 KB
  Электронная почта Этапы работы Содержание этапа заполняется педагогом Оценка эксперта по базовым педагогическим компетенциям и уровню владения учебным материалом 1. Методы: беседа Педагог здоровается отмечает отсутствующих в группе. Определение целей и задач которых педагог хочет достичь на данном этапе урока: повторение и закрепление теоретических знаний предыдущего занятия; закрепление практических навыков сохранения информации из интернета стимулирование обучающихся к быстрому выполнению работы воспитание эстетического...
53603. Конспект урока обучение грамоте: «Написание заглавной буквы «Т» 40.5 KB
  Детям предлагается игра Угадай букву по описанию Ставим ручку на верхнюю линию рабочей строки опускаемся по наклонной линии поднимаемся по наклонной до середины выполняем узелок уходим вправовверх и на 1 3 выписываем секрет по секрету наклонная вниз качалочка крючок до середины Ставим ручку на 1 3 сверху уходим влево вверх задерживаемся на строке опускаемся по наклонной вниз выполняем качалочку поднимаемся по крючку до середины две части соединяем секретом по секрету наклонная линия вниз качалочка крючок до середины...
53604. Введение в информатику. Правила техники безопасности 582.5 KB
  Дидактическая цель: дать общее представление об информатике как о науке ввести понятие информатика cформировать знания по технике безопасности работы в компьютерном классе. Знать: формулировку понятия информатика основные правила техники безопасности нормы работы в компьютерном классе основные упражнения физкультминутки. Информатика и ИКТ : учебник для 7 класса Н. Вначале мы узнаем что изучает предмет информатика а также поймем значимость этого предмета в современном мире.
53605. Оценка облигаций 23 KB
  Номинальная цена напечатана на бланке облигации и обозначает сумму, которая берется взаймы и подлежит возврату по истечении срока облигационного займа.
53606. Сантиметр 30 KB
  Сколько грибков у белочки Сколько грибков у ежика Как узнать сколько всего грибков Как записать это выражение Клик Прочитайте это выражение разными способами. Устное решение примеров слайд 4 кликаем Задания с окошками слайд 5 кликаем Восстановление числового ряда слайд 6 кликаем Задание от гнома Найти лишнюю фигуру слайд 7 почему...
53607. Компоненты оборотных активов 30 KB
  Оборотные средства (current assets) – это активы предприятия, возобновляемые с определенной регулярностью для обеспечения текущей деятельности, вложения в которые как минимум однократно оборачиваются в течение года или одного производственного цикла.
53608. Сложение и вычитание смешанных чисел 139 KB
  Высота Тайницкой башни м Благовещенской м. На сколько первая выше второй 2 Высота Водовзводной башни м Комендантской башни м Петровской башни м а Первой Безымянной м. Какая высота четырёх башен вместе 3 Высота Никольской башни до звезды м. Какова высота Угловой Арсенальной башни 4 Высота Боровицкой башни 54 м а Беклемишевской м.
53609. Основные теории структуры капитала: традиционная, Модильяни-Миллера 27 KB
  Соотношение между собственными и заемными источниками средств является одним из ключевых аналитических показателей, характеризующих степень риска инвестирования финансовых ресурсов в данное предприятие