32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn – совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

16 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53984. Present Simple 65.5 KB
  We use the simple present tense when: the action is general the action happens all the time, or habitually, in the past, present and future the action is not only happening now the statement is always true
53989. Types of questions 66 KB
  Загальні питання (general questions)Ставиться до всього речення і вимагає відповіді «так» або «ні» Does Peter read books? Спеціальні питання (special questions) Ставиться за допомогою спеціальних питальних слів для з’ясування чогось конкретного.
53990. Revision of the types of question 840 KB
  The Thames is a short river. It’s only 349 km long. The Amazon in Brazil is 6 437 km long! Many people think the Thames is not clean but this is not true. More than 97 types of fish live here, for example salmon and eels. Eels are a traditional food in East London. People make a pie and serve it with mashed potatoes.
53991. Подорож. Traveling 48.5 KB
  Our theme for today is “Traveling” and our aim is to revise our knowledge that we have got studding in this theme. We’ll revise all materials on the topic “Traveling” and we’ll speak, read, write translate and listen to the dialogue on the computer and make up your own dialogues.
53992. Визначні місця Великобританії 48.5 KB
  You are right. I’m sure that you’ve learned a lot about this country at your geography lessons, from TV programmes. At our lesson we’ll try to enlarge your knowledge about this country while doing different activities. But first of all I want you to answer my questions.