32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn – совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

15 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15311. Газетный лист. Растровый редактор Gimp 3.08 MB
  Лабораторная работа № 5. Растровый редактор Gimp Вариант 9 Задание к лабораторной роботе: Выполнить задание по инструкции Творчески доработать картинку добавить чтото свое В отчет: Текстовый фал тема название задания скриншот картинки Файл рисунка...
15312. Создание библиотеки символов компонентов 1.04 MB
  Лабораторная работа №1. Создание библиотеки символов компонентов. Цель работы: научиться создавать различные библиотеки символов компонентов. Порядок выполнения работы: Настройка символьного редактора Создание символа компонента Ход работы: ...
15313. Создание библиотеки корпусов компонентов 226.87 KB
  Лабораторная работа №2. Создание библиотеки корпусов компонентов. Цель работы: научиться создавать различные библиотеки корпусов компонентов. Ход работы: Из менеджера проектов начальное окно я запустил программу редактора печатных плат Pcbnew. В ней на верхней ...
15314. Создание схемы электрической принципиальной 350.09 KB
  Лабораторная работа №3. Создание схемы электрической принципиальной. Цель работы: используя ранее созданные библиотеки символов и корпусов компонентов создать электрическую принципиальную схему генератора прямоугольных импульсов. Ход работы: Создание элек...
15315. Управление кнопками в AVR 71 KB
  Лабораторная работа №2 Управление кнопками в AVR Цель работы: написать для микроконтроллера программу мигания светодиодом в зависимости от нажатия кнопки на языке программирования С согласно варианта. На первой лабораторной работе научились подавать напряжение но...
15316. Настройка портов ввода-вывода в CodeVision AVR 77.5 KB
  Настройка портов вводавывода в CodeVision AVR Рассмотрим примеры настройки портов в CodeVision AVR DDRB=0×02; данная запись означает что вторая ножка порта В настроена как выход но откуда взялось это число Для начала переведем данную запись в более понятный нам вид: приставка 0...
15317. Подключение ЖК(LCD) дисплея к AVR микроконтроллеру 95 KB
  Лабораторная работа №3 Подключение ЖКLCD дисплея к AVR микроконтроллеру Цель работы: написать для микроконтроллера программу вывода информации на LCD дисплей на языке программирования С согласно варианта. На первых двух лабораторных работах научились: управлять мик
15318. Использование таймера в AVR микроконтроллерах 89 KB
  Лабораторная работа №2 Использование таймера в AVR микроконтроллерах Цель работы: написать для микроконтроллера программу с использованием таймеров МК по прерыванию и вывод значений переменной на дисплей на языке программирования С согласно варианта. Прежде чем пр
15319. Обработка ошибок с помощью исключений 30 KB
  Лабораторная работа №5 Тема: Обработка ошибок с помощью исключений. Цель изучить основные способы программирования устойчивого кода. Обработка ошибок с помощью исключений Основная философия Java в том что €œплохо сформированный код не будет работать€. Идеальн...