32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

16 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36895. Решение задач с использованием одномерного и думерного массивов 200.5 KB
  Задачи из данного пункта решить двумя способами, используя одномерный массив, а затем двумерный. Размерность массива вводится с клавиатуры.
36896. Спрощена інструкція по роботі з СППР PRIME Decisions 385.5 KB
  для всіх атрибутів які використовуються для прийняття рішень. Введення альтернативних значень для готової цілі та для атрибутів на основі яких здійснюється вибір. Введення альтернатив для головної цілі та для атрибутів в додатковому вікні lterntives 3. Ввести у відповідні стовпці альтернативні значення для атрибутів на основі якого здійснюється вибір.
36897. Адміністрування локальної мережі з використанням FRIENDLY PINGER 1.75 MB
  ІНСТРУКЦІЯ до проведення лабораторної роботи №19 Адміністрування локальної мережі з використанням FRIENDLY PINGER Предмет: Компютерна практика Автор і дата затвердження програми: Новиченко В. Київ Лабораторна робота № 19 Адміністрування локальної мережі з використанням FRIENDLY PINGER 1 Мета роботи Ознайомитись з можливостями програми FRIENDLY PINGER призначеної для адміністрування моніторингу й інвентаризації комп'ютерних мереж. Побудувати топологію локальної мережі згідно з варіантом завдання 2. Сучасні компютерні мережі.
36898. Исследование характеристик усталостной прочности конструкционных материалов при циклических испытаниях 730.5 KB
  Цель работы: Ознакомиться с проблемой усталости авиационных конструкций; параметрами характеризующими цикл нагружения; существующими разновидностями цикла напряжения; характеристиками сопротивления усталости при регулярном напряжении; кривой усталости. ВОПРОСЫ Перечислить основные этапы в гражданской авиации которые связаны с проблемой усталости конструкции самолета. Чем они характеризуются Дать определение...
36899. Ознакомление с работой на учебной микро-ЭВМ 171.73 KB
  Задание 1 Краткое назначение блоков структурной схемы микроЭВМ БП блок микропроцессора и схем обрамления обеспечивающих его работу формирующий МД МА и сигналы управления микроЭВМ. БУ блок управления режимами работы МП. БИСМ блок индикации состояния магистралей. БУКП блок управления картой памяти.
36900. Изучение принципа работы ОЗУ 356.65 KB
  Изучение принципа работы ОЗУ Цель работы: исследование принципа работы ОЗУ и мультиплексного способа организации общей шины. Задание 1 УГО ОЗУ в соответствии с рисунком 1 А0А3 адресные входы; CS выбор микросхемы; W R запись считывание; DIO1DIO8 совмещенные информационные вводывыводы Рисунок 1 Задание 2 Провести очистку ячеек памяти ОЗУ по адресам 0 1 2 3 4 D E F Задание 3 Записать 10 8 по адресам 6 11 считать записанную информацию Задание 4 Составить алгоритм работы ОЗУ Алгоритм работы ОЗУ в соответствии с рисунком 2...
36901. КОНТРОЛЬ РАЗМЕРОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ 353 KB
  Цель работы приобрести первичные практические навыки в выполнении измерений с помощью различных универсальных измерительных средств приобрести навыки в оценке годности детали по линейным размерам I. С помощью выбранных универсальных измерительных средств определить действительные размеры проверяемой детали результаты занести в столбцы 712 таблицы 1 и дать заключение о ее годности. Варианты заданий Номер Контролируемые параметры детали образцов А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 1 130 4011 30 50 185H9 32h12 34h8 2 130 395h9 30 50 185D10...
36902. Изучение среды и простейших элементов 405.5 KB
  Домашнее задание выполняется по различным вариантам. В данном варианте меняется только цвет фона всей формы и цвет фона окна Text3. Варианты индивидуальных заданий. Разработать Windowsприложение вычисления значения функции у средствами Visul Bsic Вариант №1 у = b^2 c^2 t^2 Вариант №2 y = bc^3 c t^2 Вариант №3 y = b^3 c t^2 Вариант №4 y = c3 t c^2 Вариант №5 y = c^2 b t^2 Вариант №6 y = tk^5 c b^3 Вариант №7 y = c^3 t^2 b^5 Вариант №8 y = c^2 t b^2 Вариант №9 y = c^3 t b^2...