32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn – совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

16 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74204. Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар 147.63 KB
  Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы Жоспар: Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар. Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы.
74205. Жер қазу-тасымалдау машиналары. Қызметі, қолданылу облысы. Негізгі техника-экономикалық көрсеткіштері 659.49 KB
  Жер қазутасымалдау машиналары ЖҚТМ деп топырақты массивтен тарту күші арқылы ажыратып оны түсіру орнына өз жүрісімен жеткізетін құрылыс машиналарын атайды. Негізгі атқаратын жұмысшы операциялары: топырақты қабаттап өңдеу оны тасымалдау құрылыс объектісі негізіне төсеу немесе төгу топырақ беттерін жоспарлау. Негізгі қызметі: топырақты жер бетімен сүргіш органы арқылы азғана арақашықтыққа 150м жылжыту арқылы қабаттап өңдеу. Мына жағдайларда қолданылады: құрылыс алаңын дайындау барысында топырақтың беткі құнарлы қабатын алу;...
74206. Экскаваторлар. Жіктелуі, қолданылу облысы. Жұмысшы органының негізгі түрлері, параметрлері және құрылыс экскаваторларының индексациясы 885.5 KB
  Біршөмішті экскаватордың жұмыс циклі рет-ретімен орындалатын топырақ қазу, оны шөмішпен төсеу орнына тасымалдау, топырақты үйме мен көлік құралына аудару арқылы шөмішті босату және келесі циклді бастау үшін шөміштің алғашқы позициясына қайтып оралу операцияларынан тұрады
74207. Бұрғылау машиналары және жабдықтары. Бұрғылау құралы. Шпурлар бұрғылауға арналған машиналар. Бұрғылау-кранды машиналар 1.45 MB
  Бұрғылау – бұл топырақ массивінде қирау заттарын сыртқа шығара отырып, цилиндрлік жазықтықтар түзу арқылы топырақты қирату процесі. Егер диаметрі 75 мм дейін және тереңдігі 9 м болса жазықтықтар шпурлар деп, ал өлшемдері үлкен болса бұрғы деп аталынады.
74208. Тиеп-түсіру машиналары. Тиегіштер түрлері. Жұмыс процесі 455.42 KB
  Жұмысшы жабдық нұсқаларының көптігі және жұмыс органдарының ауыспалылығы құрылыс тиегіштерінің жұмыс жасау облысын кеңейтіп оларды құрылыс тасымалының барлық этаптарында қолданылатын универсалды машинаға айналдырады. БФПТтердің жұмысшы жабдығы жебе коромысло тартқыш гидроцилиндрлер құратын рычагты механизмнен тұрады. Сонымен қатар түсіру биіктігін ондаған сантиметрге жоғарылатытын машинаның универсалдылығын арттыратын жақты шөміштер де қолданылады бірақ олар жұмысшы жабдықтың күрделенуіне қосымша гидравликалық контурлар орнату...
74209. Машиналардың ұсақтау типтері жәнеұсақталатын материал беріктігі мен ұсақталу дәрежесіне қарай оларды таңд. 1.43 MB
  Грохоттардың қолданылуы принциптік схемалары жұмыс процестері негізгі параметрлері мен жұмыс өнімділігі Жоспар: Машиналардың ұсақтау типтері және ұсақталатын материал беріктігі мен ұсақталу дәрежесіне қарай оларды таңдап алу. Тас жыныстарды бұзу мен уатудың механикалық процесі ұсақтау деп аталады және тас ұсақтағыш машиналар –тас ұсақтағыштарды қолдана отырып ұсақтау жаншу сындыру және үйкеу көмегімен жүзеге асырылады. Ұсақтау машиналарында ұсақталатын жыныстың қасиеттеріне және ірілігіне қарай әртүрлі әдістер бірге қолданылады.
74210. Бетон қоспалары мен сылақтарын дайындауға арналған машиналар мен жабдықтар. Араластырғыш машиналардың қызметі мен құрамы. Араластырғыш машиналардың жіктелуі 1.46 MB
  Бетон араластырғыштар мен циклді және үздіксіз жұмыс жасайтын сылақ араластырғыштардың типтері негізгі параметрлері мен конструктивтік схемалары. Бетон қоспаларын тығыздау қажеттіліктері мен тәсілдері Жоспар: Араластырғыш машиналардың қызметі мен құрамы. Бетон араластырғыштар мен циклді және үздіксіз жұмыс жасайтын сылақ араластырғыштардың типтері негізгі параметрлері мен конструктивтік схемалары.
74211. Топырақ тығыздағыш машналар. Топырақты домалату, таптау және вибротаптау арқылы тығыздау 930.22 KB
  Топырақты домалату таптау және вибротаптау арқылы тығыздау. Жұмыс процесі негізгі параметрлері техникалық және эксплуатациялық көрсеткіштері Жоспар: Топырақ тығыздағыш машиналар. Топырақты домалату таптау және вибротаптау арқылы тығыздау.
74212. Қол машиналары. Жалпы мәліметтер, қол машиналарын атқаратын қызметіне, жұмыс жасау принципіне, жұмыс органының қозғалыс сипаттамасына, жұмыс режиміне, жетек түрі мен қорғаныс класына қарай жіктеу 1.34 MB
  Жалпы мәліметтер қол машиналарын атқаратын қызметіне жұмыс жасау принципіне жұмыс органының қозғалыс сипаттамасына жұмыс режиміне жетек түрі мен қорғаныс класына қарай жіктеу. Қол машиналарын атқаратын қызметіне жұмыс жасау принципіне жұмыс органының қозғалыс сипаттамасына жұмыс режиміне жетек түрі мен қорғаныс класына қарай жіктеу. Қол машиналары дегеніміз жұмыс органы қозғалысқа қозғалтқыш арқылы ал қосымша қозғалыстары жеткізу оператордың көмегімен қолдан қозғалысқа келтірілетін машиналар аталынады. Жеңіл түріне тескіш...