32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn – совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

16 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11254. Оборотные средства предприятия. Понятие оборотных фондов и средств предприятия 117 KB
  Оборотные средства предприятия План: Понятие оборотных фондов и средств предприятия. Их кругооборот. Состав и структура оборотных средств. Источники формирования и пополнения оборотных средств. Нормирование оборотных средств. Пок
11255. Персонал предприятия. Производительность труда 96 KB
  Тема 8. Персонал предприятия. Производительность труда Требования к знаниям: знать структуру кадров и показатели производительности труда. Требования к умениям: рассчитывать показатели производительности труда. План: 8.1. Трудовые ресурсы кадры и персонал п...
11256. Оплата труда персонала 81 KB
  Тема 9. Оплата труда персонала 9.1. Сущность заработной платы и принципы ее организации. 9.2. Формы и системы оплаты труда. 9.3. Расчет заработной платы работников предприятия по тарифной штатноокладной и бестарифной системе. 9.1. Сущность заработной платы и принципы ...
11257. Формирование текущих затрат на призводство продукции 97.5 KB
  Тема 10. Формирование текущих затрат на призводство продукции Характеристика и классификация затрат. Расчет сметы затрат на производство продукции. Расчет калькуляции себестоимости единицы продукции. Расчет накладных расходов и их включение в себестоим...
11258. Основы формирования цены. Прибыль. Рентабельность 73 KB
  Тема 11. Основы формирования цены. Прибыль. Рентабельность 11.1. Понятие цены. Виды цен. Структура цены. 11.2. Экономическая сущность прибыли. Порядок формирования и использования прибыли. Пути увеличения суммы прибыли. 11.3. Рентабельность производства продукции деятел...
11259. Общая фамакология. Задачи фармакологии 75 KB
  Общая фамакология I Введение в предмет Фармакология pharmacon – лекарство logos учение – учение о лекарствах наука о лекарствах. Фармакология изучает лекарственные средства применяемые для лечения и профилактики различных заболеваний. В отличие от других фармацевти...
11260. Пути введения лекарственных веществ в организм. Основные механизмы всасывания лекарственных веществ 175 KB
  Общая фармакология ОФ изучает общие закономерности фармакокинетики и фармакодинамики лекарственных средств независимо от того какой фармакологический эффект они оказывают. Все ЛС подчиняются общим правилам. Освоение вопросов общей фармакологии создает базу для...
11261. Средства, влияющие на афферентную нервную систему 76.5 KB
  ЧАСТНАЯ ФАРМАКОЛОГИЯ В данном разделе Частная фармакология будут рассмотрены группы лекарственных средств в зависимости от того на какую систему организма они оказывают преимущественное влияние. Средства влияющие на афферентную нервную систему Афферентн
11262. ХОЛИНОЛИТИКИ (ХОЛИНОБЛОКАТОРЫ) 82.5 KB
  I. ХОЛИНОЛИТИКИ ХОЛИНОБЛОКАТОРЫ Холинолитики холиноблокаторы антихолинергические средства: ослабляют или предотвращают взаимодействие АХ с холинорецепторами. Все эти вещества являются средствами прямого типа действия. Они не влияют на синтез высвобождение и г