32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

16 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61155. Утворення Афінської держави 75.5 KB
  Розглянути особливості державного устрою Афін; удосконалити навички роботи зі схемою оволодіння новим матеріалом в інтерактивній формі; поглибити розуміння сутності поняття держава. Після цього уроку учні зможуть: називати час проведення реформ Солона утвердження тиранії Пісістрата в Афінах...
61156. ОДНОСКЛАДНІ РЕЧЕННЯ ЯК ЧАСТИНИ СКЛАДНОГО РЕЧЕННЯ. СИНТАКСИЧНИЙ РОЗБІР ОДНОСКЛАДНИХ РЕЧЕНЬ 547.43 KB
  Поглибити знання учнів про односкладні речення як частини складних речень; розвивати вміння аналізувати складні речення, до складу яких входять умовно односкладні речення, моделювати й конструювати складні речення з різними частинами; структурувати вивчений матеріал шляхом здійснення морфологічного розбору односкладних речень
61157. УСНЕ ПОВІДОМЛЕННЯ НА ТЕМУ ПРО МОВУ, ЩО ВИМАГАЄ ЗІСТАВЛЕННЯ Й УЗАГАЛЬНЕННЯ МАТЕРІАЛУ, В НАУКОВОМУ СТИЛІ 27.36 KB
  Поглибити знання восьмикласників про особливості побудови усного повідомлення на тему про мову в науковому стилі, про підвиди наукового стилю: власне науковий, науково-навчальний, науково-популярний
61158. ПОВНІ Й НЕПОВНІ РЕЧЕННЯ. ТИРЕ В НЕПОВНИХ РЕЧЕННЯХ 347.23 KB
  Поглибити знання учнів про повні й неповні речення, сформувати вміння й навички виділяти неповні речення з-поміж повних речень, розвивати вміння користуватися цими видами синтаксичних одиниць в усному й писемному мовленні, удосконалити навички вживання тире в неповних реченнях
61160. ОДНОРІДНІ ЧЛЕНИ РЕЧЕННЯ ІЗ СПОЛУЧНИКОВИМ, БЕЗСПОЛУЧНИКОВИМ І ЗМІШАНИМ ЗВ’ЯЗКОМ 68.5 KB
  Поглибити знання восьмикласників про однорідні члени речення; сформувати загальнопізнавальні вміння знаходити однорідні члени речення та визначати їх вид, аналізувати зв’язок між ними (сполучниковий, безсполучниковий чи змішаний), а також смислові відношення...
61161. РЕЧЕННЯ З КІЛЬКОМА РЯДАМИ ОДНОРІДНИХ ЧЛЕНІВ 130 KB
  Правопис: кома між однорідними членами речення. Міжпредметні звязки: речення з кількома рядами однорідних членів як засіб художньої виразності література. Які члени речення називаються однорідними.
61162. ОДНОРІДНІ Й НЕОДНОРІДНІ ОЗНАЧЕННЯ 28.44 KB
  Ознайомити учнів з поняттям про однорідні й неоднорідні означення, сформувати загальнопізнавальні вміння знаходити однорідні й неоднорідні означення, з’ясовувати їх роль у реченні; правильно розставляти розділові знаки та інтонувати речення з однорідними й неоднорідними означеннями
61163. КОМА МІЖ ОДНОРІДНИМИ ЧЛЕНАМИ РЕЧЕННЯ 25.48 KB
  Визначити з учнями основні випадки вживання коми в реченнях з однорідними членами, сформувати загальнопізнавальні вміння правильно ставити коми між однорідними членами речення, підпорядковуючи їх пунктуаційним правилам; удосконалити навички інтонування речень з однорідними членами...