32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

17 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36929. Моделі оптимального використання взаємозамінних ресурсів 41 KB
  2 як зміниться план якщо норми затрат часу роботи обладнання А на одиницю продукції 1 збільшаться до 3 а обладнання В на одиницю продукції 2 зменшаться до 3. 4 Як зміниться розвязок задачі якщо прибуток від продажу продукції зросте на 10 де k порядковий номер у списку студентів групи: m=10k якщо k 10 m=20k якщо k 10 Задача 2 З наступних задач студентка вибирає одну відповідно до порядкового номера у списку студентів групи. Компанія Яваінâ віднедавна отримала статус ексклюзивного дистрибютора іспанської фірми із...
36930. Зовнішній вигляд сторінок. Їх оформлення. Форматування тексту 75 KB
  Форматування тексту. Навчитись змінювати параметри форматування абзаців: вирівнювання інтервал розміщення на сторінці табуляція обрамлення та заповнення список нумерація заголовків. Засвоїти поняття: автозбереження; резервні копії документів; режими відображення документів; пошук текстових документів за різними критеріями; захист документа; основні елементи документа; опції редагування; параметри форматування символів; параметри форматування абзацу; вирівнювання; відступ інтервал розміщення на сторінці табуляція ...
36931. Дослідження нормального розподілу 16.96 KB
  Створюємо таблицю зі стовпчиками задача а задача б задача в та рядками вага пакунку та ймовірність. Задача а Задача б Задача в Вага пакунку Менше 48 Більше 51 У межах від 48 до 51 кг. Ймовірність Задача а Для підрахунку ймовірності РХ 48 події що навмання взятий пакет важить менше 48 кг. Задача б Для підрахуваня ймовірності РХ 51 події що навмання взятий пакет важить більше 51 кг використаємо співвідношення РХ 51=1РХ 51.
36932. Амплітудний модулятор 211.5 KB
  Мета: Дослідження методики настроювання амплітудного модулятора Дослідження модуляційної характеристики амплітудного модулятора Дослідження режимів роботи амплітудного модулятора 1. Методика настроювання амплітудного модулятора на біполярному транзисторі: Для цього складемо схему: Після чого настроїмо резонансний контур на частоту несучого коливання. Закріпимо здобуті навички і налагодимо амплітудний модулятор на частоту модулю чого коливання 150кГц розрахуємо необхідні дані: Статична модуляційна характеристика: E Uвих 02...
36933. Неповністю визначені функції 424.25 KB
  Зберіть схему підключіть входи DCB до джерела логічних сигналів а вихід до логічного пробника. Намалюйте часові діаграми сигналів на виходах всіх логічних елементів схеми для всіх можливих комбінацій вхідних сигналів. Розробіть схему що формує на виході сигнал F із вхідних сигналів А В С як показано на рисунку. При перевірці її роботи для формування вхідних сигналів використайте: а джерела логічних сигналів; б генератор слів.
36934. Розробка засобів програмованого (тестового) контролю навчальних досягнень учнів з трудового навчання 29.76 KB
  Мета роботи: Вивчення дидактичних основ вибору питань для тестової перевірки навчальних досягнень учнів з трудового навчання. Оволодіти методикою проведення тестової перевірка знань умінь та навичок учнів за допомогою нових інформаційних технологій. Система тестування як форма контролю та оцінювання навчальних досягнень учнів з трудового навчання.
36935. ВИЗНАЧЕННЯ СТАЛОЇ В ЗАКОНІ СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА 127 KB
  Основні теоретичні відомості Якщо на тіло падає потік світла то частина цього потоку буде відбиватися від його поверхні а друга частина потоку що проникає в тіло буде поглинатися частинками тіла і перетворюватися в інші форми енергії в кінцевому рахунку в теплоту. Відношення відбитого потоку Фвідб до падаючого потоку Ф називається коефіцієнтом відбивання або поглинаючою здатністю тіла тобто а = Фвід6 Ф а відношення потоку що поглинається тілом до падаючого потоку називається коефіцієнтом поглинання або поглинаючою здатністю...
36936. Удаленная работа з FTP-сервером 225 KB
  FTPсервер представляет из себя своеобразную библиотеку файлов. Для перекачки файлов между FTPсерверами и компьютером пользователя используется протокол FTP File Trnsfer Protocol протокол передачи файлов. С помощью FTPсервера можно выкачивать на свой компьютер файлы выложенные на многочисленных FTPсерверах.
36937. ПОВІРКА МОСТА ПОСТІЙНОГО СТРУМУ МО-62 ТА ПРЯМЕ ВИМІРЮВАННЯ ОПОРУ РЕЗИСТОРА 259.5 KB
  Крім того міст дозволяє: а визначити характер і місце ушкодження повітряних ліній або кабелю; б повіряти вимірювальні прилади й пристрої до термометрів опору за винятком деяких меж виміру; в підганяти опір сполучних ліній приладів що працюють із термометрами опору по 2 і 3провідній схемі включення; г вимірювати опори ізоляції в межах від 1 до 100 Мом; д використовувати плече зрівняння моста в якості магазину опорів; е використовувати внутрішній гальванометр у зовнішніх електричних ланцюгах. Резистори намотані бифилярно...