32438

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция

Математика и математический анализ

CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть Х = Х1 Х2Хn совокупность или система случайных величин. Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств k = 1 2 .

Русский

2013-09-04

144.5 KB

16 чел.

Лекция 7.

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х1Х2,…,Хn) – совокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств ,   ,   k = 1, 2, ..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F1(x), F2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

 Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.  

   X

    Y

0

1

Распределение Y

0

1

0

1/2

¼

¼

1/4

3/4

Распределение X

1/2

½

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент:   

Если функция распределения F, y) системы случайных величин (X,Y)  дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения ,  вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

     (распределение Коши).

Найдем функцию распределения F(xy):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

, .

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k,s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. 

Момент порядка (1,1)  называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

      

Утверждение 2.  Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где  – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5.  Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

   Z    0     1                 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

   Р   3/4   1/4              cov(X,Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

                                   corr(X,Y) = cov (X,Y)/(xy) = –1/().

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

     Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;     

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами  и  cоответственно.  Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении  поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания ( и ).

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59084. Природа - наш спільний дім 36 KB
  Яке воно весняне небо Проект синоптиків складання на дошці діаграми Вена Весняне небо надихнуло нас на роботу. Хто із школярів добрав найвлучніше слово Яким Валя побачила небо Який у неї був настрій Яким діти побачили небо після Валиних слів А чому небо восени сумне зажурене...
59085. Природа у поезії Павла Тичини 42.5 KB
  Ознайомити школярів із життєвим та творчим шляхом Павла Тичини удосконалювати навички правильного і виразного читання розвивати образне мислення звязне мовлення; виховувати естетичні почуття любов до природи.
59086. Проектний виховний захід. Байдужість не прощається 60 KB
  Переконати що байдужість негативна людська риса На дошці вислови: Людина народжується не для того щоб загинути безвісною нікому невідомою пилинкою. Добрий день усім хто не залишився байдужим до того що діється навколо і прийшов сьогодні до нашого залу щоб засудити...
59087. Підсумковий урок за романом О. Вайльда. Портрет Доріана Грея 55 KB
  Мета: проаналізувати основні теми та ідеї роману Портрет Доріана Грея намалювати психологічні портрети головних героїв твору прищеплювати навички складання конспекту за допомогою опорних схем і таблиць вчити школярів помічати і розвязувати проблемні питання...
59088. Птахи нашого краю 47.5 KB
  Отже ви здогадались що мова піде в нас про птахів нашого краю. Зараз ми з вами відправимось у дивну подорож вулицею Птахів у місто Природоград. Поки автобус їде давайте пригадаємо що ми знаємо про птахів.
59089. Рідну матусеньку зі святом вітаю 40 KB
  Подивіться мамо вже й зима настала Ой не все я встигла що зробити мала Ведуча: А тепер подивіться у виконанні учнів невеличку пєсу Чи потрібне чоловіче свято Пєса Мама витирає посуд тато і син за столом їдять печиво.
59090. Сценарій виховного заходу. Різдвяна світлиця 44 KB
  Господар: Будемо пісні співати Розважатись танцювати Ви прийшли усі до нас Цей святковий стріти час Господиня бере кошик ставить його посеред хати. Господар: Де ж наш образ Ага зараз беру будемо благословляти добрих вісників.
59091. Релігія та міфологія давнього Єгипту 38.5 KB
  Після цього уроку учні зможуть: називати головних давньоєгипетських богів; застосовувати та пояснювати на прикладах поняття та терміни: жрець міф; наводити приклади відбиття в міфах га релігії життя єгиптян; визначати особливості духовного життя в Давньому Єгипті.
59092. Репортаж з країни невивчених уроків 31 KB
  Ми ведемо репортаж з Країни Невивчених Уроків куди потрапив ледар Віктор Перестукін. А ось і він зі своїм вірним котом Кузею Виходить Перестукін з котом Кузя. Хазяїне Хоч трішечки води Я помираю Перестукін. От скажіть чому дорівнює 9х5 Перестукін.