32439

ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y обе части равенства из определения независимых случайных величин. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда когда для любых пар значений случайных величин X и Y. Для независимых случайных величин X и Y ковариация равна 0. Из утверждений 2 и 3 следует что для независимых случайных величин X и Y MXY = MX  MY если MX и MY существуют.

Русский

2013-09-04

87.5 KB

3 чел.

Лекция 8.

§4. ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ.

Cлучайные величины X и Y называются независимыми, если функция распределения cлучайного вектора (X, Y) равняется произведению функций распределения компонент X и Y:

.

Утверждение 3. Непрерывные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда плотность случайного вектора (X, Y) равняется произведению плотностей компонент X и Y: .

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y  обе части равенства из определения независимых случайных величин. Для доказательства достаточности возьмем интегралы от обеих частей равенства   по области {(-, x), (-, y)}  

Утверждение 4. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда  для любых пар значений , случайных величин X и Y.

Доказательство.

Пример 6. В примере 1 § 1 плотность случайного вектора (X,Y) , а плотности компонент .

Следовательно, cлучайные величины X и Y независимы.

Утверждение 5.  Для независимых  случайных величин X и Y ковариация равна 0.

Доказательство. Из утверждений 2 и 3 следует, что для независимых случайных величин X и Y  M(XY) = M(X M(Y), если M(X) и M(Y) существуют.

Для непрерывных случайных величин это так, поскольку

Для дискретных случайных величин

Отсюда, сov(XY) = M(XY) – M(X)M(Y0.

Замечание. M(XY= M(X)  M(Y) также, если одна из независимых случайных величин непрерывного, а другая дискретного типа.

Таким образом, ненулевая ковариация - это признак наличия зависимости между случайными величинами.

Утверждение 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

Доказательство сразу следует из формулы для дисперсии суммы случайных величин.

§5. KОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА.

Если ковариация случайных величин X и Y (cov(X, Y= M((X – MX)(Y –
– MY
))) невелика, то это не всегда является следствием слабой зависимости между ними, а может просто указывать на то, что случайные величины мало отклоняются от своего математического ожидания. Поэтому для характеристики связи случайных величин рассматривают коэффициент корреляции:

где  и  - средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Случайные величины, для которых ковариация, а значит и коэффициент корреляции равны нулю, называются некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность, обратное неверно. Коэффициент корреляции может оказаться равным нулю, когда одна случайная величина является функцией от другой.

Пример 7. Пусть случайные случайные U и V имеют одинаковые распределения и = U + V,= U – V. Тогда M(XY) = M(X2) – M(Y20 и
M(Y) 0. Cледовательно, cov(X, Y) = M(XY)  M(X)(Y) = 0, и поэтому corr(X, Y) = 0. Например, X и Y могут быть соответственно суммой и разностью очков, выпавших на двух костях. Тогда величины X и Y либо обе четны, либо обе нечетны и, cледовательно, зависимы.  

Пример 8. Из некоррелированности случайных величин, подчиненных двумерному нормальному закону, вытекает их независимость. Действительно, параметр r двумерного нормального распределения совпадает с коэффициентом корреляции, и следовательно плотность распределения

где  - плотности компонент Х и Y.

Таким образом, для компонент X и Y нормально распределенного случайного вектора  свойства некоррелированности и независимости совпадают.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Утверждение 7.  corr(X, Y)  1.

Доказательство. Введем случайную величину .

, DZ  0. Cледовательно, ; ; ; ; .

Утверждение 8. Если X и Y cвязаны точной линейной функциональной зависимостью = aX + b, то

Доказательство:

;  

Таким образом, коэффициент корреляции является характеристикой линейной зависимости между случайными величинами.

Пример 9 . Вернемся к плотности двумерного нормального закона. Уравнения эллипсов рассеивания двумерной нормальной плотности

Если коэффициент корреляции r > 0, главные оси эллипсов расположены под некоторым углом к координатным осям (из аналитической геометрии известно, что ). Происходит как бы “намагничивание” двумерного случайного вектора вдоль одной из главных осей y = kx + b, т.е. линейная составляющая присутствует в функциональной зависимости между X и Y. Если же коэффициент корреляции = 0, уравнения эллипсов

Главные оси рассеивания параллельны осям координат у = 0, = 0. Линейной зависимости между компонентами X и Y нет.

PAGE  29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3008. Суть и процесс реформ Бальцеровича в Польше 114.5 KB
  Как делаются реформы После краха коммунизма перед экономистами большинства стран бывшего Советского Союза встали устрашающе трудные задачи. Им пришлось отказаться от единой системы цен - искаженных цен - которая господствовала при коммунизме, перейдя...
3009. Коммерческая тайна банков 101 KB
  Вопросы правового регулирования общественных отношений по поводу использования и распространения информации в целом и отдельных ее видов в частности в последнее время занимают одно из значительных мест в юридической литературе. Среди них, несомнен...
3010. Моделирование электропотенциального поля в проводящей среде 42.59 KB
  Используя экспериментальные данные, полученные при моделировании электропотенциального поля в проводящей среде, найти пересечения эквипотенциальных поверхностей Ui, соответствующих значениям U1 = 1,500 B, U2 = 0,160 B и U3 = 0.104 В, с осями х, у и ...
3011. Изучение типов потребителей по психографическому признаку 181.5 KB
  Любой рынок с точки зрения маркетинга состоит из покупателей, которые отличаются друг от друга по своим вкусам, желаниям, потребностям и, главное, приобретают товары исходя из разных мотиваций. Поэтому предприниматель должен понимать, что п...
3012. Интегрированные стратегии коммуникаций предприятий различных типов на примере United Airlines 247.5 KB
  В настоящее время в распоряжении маркетолога имеется огромный арсенал различных маркетинговых коммуникационных инструментов: пресса, радио, телевидение (наземное, спутниковое, кабельное и интерактивное с видеотекстом), телефон, почта, е-мейл и Интер...
3013. BIOS и строение программной части компьютера 70.5 KB
  Составные части BIOS. BIOS - Базовая система ввода-вывода (Basic Input Output System) называется так потому, что включает в себя обширный набор программ ввода-вывода, благодаря которым операционная система и прикладные программы мо...
3014. Бридж - карточная игра 174.5 KB
  Бридж – сравнительно молодая игра. Она сформировалась в несколько этапов (бридж-вист, бридж-аукцион, бридж-плафон, контракт-бридж) в конце XIX – начале XX века на основе русской карточной игры винт и английской карточной...
3015. Искользование песка для строительных работ 60.5 KB
  Характеристики песка. Песок для строительных работ. Назначение и применение. Песок - это природный нерудный материал, который представляет собой рыхлую, сыпучую обломочную горную породу. Песок образуется при разрушении горных пород, переносится водо...
3016. Особенности спортивной игры Волейбол 64 KB
  ВОЛЕЙБОЛ: ВОЗНИКНОВЕНИЕ И СТАНОВЛЕНИЕ ИГРЫ (1895-1920) При обучении будущих специалистов физического воспитания и спорта важно конкретизировать и дополнить историю эволюции волейбола в её хронологической последовательности...