32439

ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y обе части равенства из определения независимых случайных величин. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда когда для любых пар значений случайных величин X и Y. Для независимых случайных величин X и Y ковариация равна 0. Из утверждений 2 и 3 следует что для независимых случайных величин X и Y MXY = MX  MY если MX и MY существуют.

Русский

2013-09-04

87.5 KB

2 чел.

Лекция 8.

§4. ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ.

Cлучайные величины X и Y называются независимыми, если функция распределения cлучайного вектора (X, Y) равняется произведению функций распределения компонент X и Y:

.

Утверждение 3. Непрерывные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда плотность случайного вектора (X, Y) равняется произведению плотностей компонент X и Y: .

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y  обе части равенства из определения независимых случайных величин. Для доказательства достаточности возьмем интегралы от обеих частей равенства   по области {(-, x), (-, y)}  

Утверждение 4. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда  для любых пар значений , случайных величин X и Y.

Доказательство.

Пример 6. В примере 1 § 1 плотность случайного вектора (X,Y) , а плотности компонент .

Следовательно, cлучайные величины X и Y независимы.

Утверждение 5.  Для независимых  случайных величин X и Y ковариация равна 0.

Доказательство. Из утверждений 2 и 3 следует, что для независимых случайных величин X и Y  M(XY) = M(X M(Y), если M(X) и M(Y) существуют.

Для непрерывных случайных величин это так, поскольку

Для дискретных случайных величин

Отсюда, сov(XY) = M(XY) – M(X)M(Y0.

Замечание. M(XY= M(X)  M(Y) также, если одна из независимых случайных величин непрерывного, а другая дискретного типа.

Таким образом, ненулевая ковариация - это признак наличия зависимости между случайными величинами.

Утверждение 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

Доказательство сразу следует из формулы для дисперсии суммы случайных величин.

§5. KОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА.

Если ковариация случайных величин X и Y (cov(X, Y= M((X – MX)(Y –
– MY
))) невелика, то это не всегда является следствием слабой зависимости между ними, а может просто указывать на то, что случайные величины мало отклоняются от своего математического ожидания. Поэтому для характеристики связи случайных величин рассматривают коэффициент корреляции:

где  и  - средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Случайные величины, для которых ковариация, а значит и коэффициент корреляции равны нулю, называются некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность, обратное неверно. Коэффициент корреляции может оказаться равным нулю, когда одна случайная величина является функцией от другой.

Пример 7. Пусть случайные случайные U и V имеют одинаковые распределения и = U + V,= U – V. Тогда M(XY) = M(X2) – M(Y20 и
M(Y) 0. Cледовательно, cov(X, Y) = M(XY)  M(X)(Y) = 0, и поэтому corr(X, Y) = 0. Например, X и Y могут быть соответственно суммой и разностью очков, выпавших на двух костях. Тогда величины X и Y либо обе четны, либо обе нечетны и, cледовательно, зависимы.  

Пример 8. Из некоррелированности случайных величин, подчиненных двумерному нормальному закону, вытекает их независимость. Действительно, параметр r двумерного нормального распределения совпадает с коэффициентом корреляции, и следовательно плотность распределения

где  - плотности компонент Х и Y.

Таким образом, для компонент X и Y нормально распределенного случайного вектора  свойства некоррелированности и независимости совпадают.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Утверждение 7.  corr(X, Y)  1.

Доказательство. Введем случайную величину .

, DZ  0. Cледовательно, ; ; ; ; .

Утверждение 8. Если X и Y cвязаны точной линейной функциональной зависимостью = aX + b, то

Доказательство:

;  

Таким образом, коэффициент корреляции является характеристикой линейной зависимости между случайными величинами.

Пример 9 . Вернемся к плотности двумерного нормального закона. Уравнения эллипсов рассеивания двумерной нормальной плотности

Если коэффициент корреляции r > 0, главные оси эллипсов расположены под некоторым углом к координатным осям (из аналитической геометрии известно, что ). Происходит как бы “намагничивание” двумерного случайного вектора вдоль одной из главных осей y = kx + b, т.е. линейная составляющая присутствует в функциональной зависимости между X и Y. Если же коэффициент корреляции = 0, уравнения эллипсов

Главные оси рассеивания параллельны осям координат у = 0, = 0. Линейной зависимости между компонентами X и Y нет.

PAGE  29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34149. Деньги 29.36 KB
  Сущность денег раскрывается в их функциях. Ученыеэкономисты считают что можно выделить пять функций денег Современные экономисты считают что деньги выполняют три функции деньги как мера стоимости деньги как средство обращения и деньги как средство накопления. движение денег в наличной и безналичной формах закрепленная национальным законодательством; включает следующие элементы денежную единицу масштаб цен виды денег в стране и порядок их эмиссии порядок обращения денег и платежей а также государственный аппарат осуществляющий...
34150. Закон стоимости 14.56 KB
  Закон стоимости вынуждает товаропроизводителей следить за тем чтобы индивидуальные затраты труда на производство товаров не превышали общественно необходимые. Закону стоимости свойственны следующие черты: в основе стоимости лежит общественно необходимый труд; величина стоимости товара прямо пропорциональна количеству воплощенного в нем общественно необходимого труда и обратно пропорциональна его производительной силе; обмен товаров совершается в соответствии с количеством воплощенного в них общественно необходимого труда; с возникновением...
34151. Понятие «рынок» и «рыночная экономика» 14.23 KB
  Рынок возникает и развивается вместе с разделением труда в обществе задолго до формирования рыночной экономики. В современной экономической литературе понятия рынок и рыночная экономика употребляются в одном и том же значении: для характеристики рыночной экономики одновременно понимаемой и как рынок. Рынок это одна из важнейших категорий товарного хозяйства выражающая его наиболее существенные связи и отношения связанные с обменом.
34152. Спрос 17.46 KB
  Объем спроса это количество товара которое покупатели желают приобрести за некоторый период например день или год. Объем спроса зависит от цены данного товара цены других товаров товаровзаменителей доходов покупателей и их вкусов. Графическое выражение между ценой товара и величиной спроса предъявляемого покупателями на этот товар называется кривой спроса. Кривая спроса обычно является убывающей.
34153. Объем предложения товара 16.06 KB
  Объем предложения товара это количество товара которое продавцы желают продать за некоторый период например день или год. Объем предложения зависит от цены товаров от цены используемых в производстве ресурсов имеющихся в распоряжении товаропроизводителей и других факторов. Важно отличать объем предложения от объема производства: не все что создано производителем предлагается к продаже и не все что продается обязательно покупается. Объем предложения определяется только поведением продавцов тогда как объем продаж определяется и...
34154. Равновесная цена 14.49 KB
  Взаимодействие предложения и спроса приведет к установлению рыночной цены или равновесной цены. Равновесная цена это цена при которой объем спроса равен объему предложения и этот объем является соответственно равновесным. Возможны четыре варианта взаимодействия спроса и предложения: 1 возрастание спроса на товар кривая его двигается вправо; 2 уменьшение спроса на товар кривая его двигается влево; 3 возрастание предложения на товар кривая его двигается вправо; 4 уменьшение предложения на товар кривая его двигается влево.
34155. Главный фактор потребности выбора 16.57 KB
  Потребляя те или иные блага люди тем самым как бы оценивают их полезность для себя. Главный фактор потребности выбора полезность того или иного товара это категория применяемая для характеристики результатов эффективности экономических решений или деятельности. В более ограниченном смысле полезность определяется как субъективная польза извлекаемая индивидом из потребления товара или услуги. Полезность означает способность экономического блага товара услуги удовлетворять определенные потребности людей.
34156. ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ ВЫБОР 22.98 KB
  Изменение цены какоголибо товара влияет на объем спроса через эффект дохода и эффект замещения. Эффект дохода возникает поскольку изменение цены данного товара увеличивает при снижении цены или уменьшает при повышении цены реальный доход или покупательную способность потребителя. Эффект замещения замены возникает в результате относительного изменения цен. Эффект замещения способствует росту потребления относительно подешевевшего товара тогда как эффект дохода может стимулировать и увеличение и сокращение потребления товара или быть...
34157. Инфраструктура рынка 15.91 KB
  Основные элементы инфраструктуры рынка. Условно рыночную инфраструктуру можно подразделить по видам объединений баз субъектов инфраструктуры главная задача которых обеспечение функционирования рынка. Среди таких объединений выделяют: 1 организационные объединения рыночной инфраструктуры биржи оптовые брокерские дилерские и другие посреднические организации коммерческие структуры крупных промышленных объединений комбинатов концернов предприятия мелкооптовой и розничной торговли; 2 материальную базу рыночной инфраструктуры...