32439

ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y обе части равенства из определения независимых случайных величин. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда когда для любых пар значений случайных величин X и Y. Для независимых случайных величин X и Y ковариация равна 0. Из утверждений 2 и 3 следует что для независимых случайных величин X и Y MXY = MX  MY если MX и MY существуют.

Русский

2013-09-04

87.5 KB

2 чел.

Лекция 8.

§4. ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ.

Cлучайные величины X и Y называются независимыми, если функция распределения cлучайного вектора (X, Y) равняется произведению функций распределения компонент X и Y:

.

Утверждение 3. Непрерывные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда плотность случайного вектора (X, Y) равняется произведению плотностей компонент X и Y: .

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y  обе части равенства из определения независимых случайных величин. Для доказательства достаточности возьмем интегралы от обеих частей равенства   по области {(-, x), (-, y)}  

Утверждение 4. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда  для любых пар значений , случайных величин X и Y.

Доказательство.

Пример 6. В примере 1 § 1 плотность случайного вектора (X,Y) , а плотности компонент .

Следовательно, cлучайные величины X и Y независимы.

Утверждение 5.  Для независимых  случайных величин X и Y ковариация равна 0.

Доказательство. Из утверждений 2 и 3 следует, что для независимых случайных величин X и Y  M(XY) = M(X M(Y), если M(X) и M(Y) существуют.

Для непрерывных случайных величин это так, поскольку

Для дискретных случайных величин

Отсюда, сov(XY) = M(XY) – M(X)M(Y0.

Замечание. M(XY= M(X)  M(Y) также, если одна из независимых случайных величин непрерывного, а другая дискретного типа.

Таким образом, ненулевая ковариация - это признак наличия зависимости между случайными величинами.

Утверждение 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

Доказательство сразу следует из формулы для дисперсии суммы случайных величин.

§5. KОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА.

Если ковариация случайных величин X и Y (cov(X, Y= M((X – MX)(Y –
– MY
))) невелика, то это не всегда является следствием слабой зависимости между ними, а может просто указывать на то, что случайные величины мало отклоняются от своего математического ожидания. Поэтому для характеристики связи случайных величин рассматривают коэффициент корреляции:

где  и  - средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Случайные величины, для которых ковариация, а значит и коэффициент корреляции равны нулю, называются некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность, обратное неверно. Коэффициент корреляции может оказаться равным нулю, когда одна случайная величина является функцией от другой.

Пример 7. Пусть случайные случайные U и V имеют одинаковые распределения и = U + V,= U – V. Тогда M(XY) = M(X2) – M(Y20 и
M(Y) 0. Cледовательно, cov(X, Y) = M(XY)  M(X)(Y) = 0, и поэтому corr(X, Y) = 0. Например, X и Y могут быть соответственно суммой и разностью очков, выпавших на двух костях. Тогда величины X и Y либо обе четны, либо обе нечетны и, cледовательно, зависимы.  

Пример 8. Из некоррелированности случайных величин, подчиненных двумерному нормальному закону, вытекает их независимость. Действительно, параметр r двумерного нормального распределения совпадает с коэффициентом корреляции, и следовательно плотность распределения

где  - плотности компонент Х и Y.

Таким образом, для компонент X и Y нормально распределенного случайного вектора  свойства некоррелированности и независимости совпадают.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Утверждение 7.  corr(X, Y)  1.

Доказательство. Введем случайную величину .

, DZ  0. Cледовательно, ; ; ; ; .

Утверждение 8. Если X и Y cвязаны точной линейной функциональной зависимостью = aX + b, то

Доказательство:

;  

Таким образом, коэффициент корреляции является характеристикой линейной зависимости между случайными величинами.

Пример 9 . Вернемся к плотности двумерного нормального закона. Уравнения эллипсов рассеивания двумерной нормальной плотности

Если коэффициент корреляции r > 0, главные оси эллипсов расположены под некоторым углом к координатным осям (из аналитической геометрии известно, что ). Происходит как бы “намагничивание” двумерного случайного вектора вдоль одной из главных осей y = kx + b, т.е. линейная составляющая присутствует в функциональной зависимости между X и Y. Если же коэффициент корреляции = 0, уравнения эллипсов

Главные оси рассеивания параллельны осям координат у = 0, = 0. Линейной зависимости между компонентами X и Y нет.

PAGE  29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69259. Методика навчання учнів основним видам технологічних процесів 123.5 KB
  Ознайомлення учнів із знаряддями праці для ручної обробки матеріалів різанням способами отримання виробів заданої форми і розмірів. Методика удосконалення в учнів прийомів вимірювання лінійкою кутником складним метром; формування вмінь виконувати розмічання за допомогою шаблонів та інструментів.
69260. Методика навчання електротехнічних робіт і елементів автоматики 203.5 KB
  Методика формування в учнів шостого класу поняття про квартирну освітлювальну мережу. Методика ознайомлення учнів з побутовими електронагрівальними приладами. Методика ознайомлення учнів з будовою принципом дії та призначенням колекторного електродвигуна.
69261. Методика навчання учнів складанню та оздобленню виробів 179.5 KB
  Методика навчання учнів п’ятого класу прийомів з'єднання деталей за допомогою цвяхів, клею ПВА, зачищенню з’єднань та остаточної обробка виробів з фанери. Методика ознайомлення учнів шостого класу з прийомами та способами з’єднання деталей з тонколистового металу...
69262. Методика навчання моделювання. Екологічний аспект обґрунтування об’єкта проектування 294 KB
  Таким чином вирішальне значення має не об’єкт роботи а ті завдання які учні розв’язують у процесі його виготовлення. Отже під технічним моделюванням у школі слід розуміти діяльність учнів пов’язану з виготовленням різних виробів у тому числі моделей якщо при цьому виконуються такі основні умови...
69263. Урок трудового навчання в умовах проектно-технологічної системи 156.5 KB
  Традиційна методика трудового навчання головну увагу приділяла діяльності вчителя вдосконаленню процесу передачі ним знань а не учінню діям учня із засвоєння цих знань. Ці сходинки етапи процесу навчання: цілеутворення мотивація зміст форми і методи результат.
69264. Методика вивчення об’єктів технологічної діяльності 338 KB
  Методика ознайомлення учнів п’ятого класу з використанням знарядь праці у процесі технологічної діяльності та об’єктами технологічної діяльності: машини, книги, меблі тощо. Вибір об’єкту технологічної діяльності залежно від потреб людини.
69265. Методи проектно-технологічної діяльності. Методика навчання учнів проектуванню та виготовленню об’єктів технологічної діяльності 180.5 KB
  Отже сьогодні мова очевидно буде йти не лише про ті методи які традиційно застосовував учитель і якими володів лише учитель але й про методи та прийоми активної та інтерактивної діяльності якими мають також володіти учні. Враховуючи інтереси учнів учитель складає банк навчальних...
69266. Методика вивчення в основній школі конструкційних матеріалів 58.5 KB
  Методика вивчення у п’ятому класі видів конструкційних матеріалів, які застосовуються для виготовлення виробів: деревина, метал, пластмаса, резина тощо; способів вибору конструкційних матеріалів для виготовлення виробів; формування в учнів поняття про 5х властивості.
69267. Створення меню 55.5 KB
  Як і решта всіх ресурсів додатку, ресурс меню розташований у файлі опису ресурсів з розширенням - гс (resource script). Для доступу до файлу ресурсу перейдіть до на вкладку Resources View (Ресурси), розташовану в нижній частина вікна представлення проекту.