32439

ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y обе части равенства из определения независимых случайных величин. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда когда для любых пар значений случайных величин X и Y. Для независимых случайных величин X и Y ковариация равна 0. Из утверждений 2 и 3 следует что для независимых случайных величин X и Y MXY = MX  MY если MX и MY существуют.

Русский

2013-09-04

87.5 KB

4 чел.

Лекция 8.

§4. ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ.

Cлучайные величины X и Y называются независимыми, если функция распределения cлучайного вектора (X, Y) равняется произведению функций распределения компонент X и Y:

.

Утверждение 3. Непрерывные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда плотность случайного вектора (X, Y) равняется произведению плотностей компонент X и Y: .

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y  обе части равенства из определения независимых случайных величин. Для доказательства достаточности возьмем интегралы от обеих частей равенства   по области {(-, x), (-, y)}  

Утверждение 4. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда  для любых пар значений , случайных величин X и Y.

Доказательство.

Пример 6. В примере 1 § 1 плотность случайного вектора (X,Y) , а плотности компонент .

Следовательно, cлучайные величины X и Y независимы.

Утверждение 5.  Для независимых  случайных величин X и Y ковариация равна 0.

Доказательство. Из утверждений 2 и 3 следует, что для независимых случайных величин X и Y  M(XY) = M(X M(Y), если M(X) и M(Y) существуют.

Для непрерывных случайных величин это так, поскольку

Для дискретных случайных величин

Отсюда, сov(XY) = M(XY) – M(X)M(Y0.

Замечание. M(XY= M(X)  M(Y) также, если одна из независимых случайных величин непрерывного, а другая дискретного типа.

Таким образом, ненулевая ковариация - это признак наличия зависимости между случайными величинами.

Утверждение 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

Доказательство сразу следует из формулы для дисперсии суммы случайных величин.

§5. KОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА.

Если ковариация случайных величин X и Y (cov(X, Y= M((X – MX)(Y –
– MY
))) невелика, то это не всегда является следствием слабой зависимости между ними, а может просто указывать на то, что случайные величины мало отклоняются от своего математического ожидания. Поэтому для характеристики связи случайных величин рассматривают коэффициент корреляции:

где  и  - средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Случайные величины, для которых ковариация, а значит и коэффициент корреляции равны нулю, называются некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность, обратное неверно. Коэффициент корреляции может оказаться равным нулю, когда одна случайная величина является функцией от другой.

Пример 7. Пусть случайные случайные U и V имеют одинаковые распределения и = U + V,= U – V. Тогда M(XY) = M(X2) – M(Y20 и
M(Y) 0. Cледовательно, cov(X, Y) = M(XY)  M(X)(Y) = 0, и поэтому corr(X, Y) = 0. Например, X и Y могут быть соответственно суммой и разностью очков, выпавших на двух костях. Тогда величины X и Y либо обе четны, либо обе нечетны и, cледовательно, зависимы.  

Пример 8. Из некоррелированности случайных величин, подчиненных двумерному нормальному закону, вытекает их независимость. Действительно, параметр r двумерного нормального распределения совпадает с коэффициентом корреляции, и следовательно плотность распределения

где  - плотности компонент Х и Y.

Таким образом, для компонент X и Y нормально распределенного случайного вектора  свойства некоррелированности и независимости совпадают.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Утверждение 7.  corr(X, Y)  1.

Доказательство. Введем случайную величину .

, DZ  0. Cледовательно, ; ; ; ; .

Утверждение 8. Если X и Y cвязаны точной линейной функциональной зависимостью = aX + b, то

Доказательство:

;  

Таким образом, коэффициент корреляции является характеристикой линейной зависимости между случайными величинами.

Пример 9 . Вернемся к плотности двумерного нормального закона. Уравнения эллипсов рассеивания двумерной нормальной плотности

Если коэффициент корреляции r > 0, главные оси эллипсов расположены под некоторым углом к координатным осям (из аналитической геометрии известно, что ). Происходит как бы “намагничивание” двумерного случайного вектора вдоль одной из главных осей y = kx + b, т.е. линейная составляющая присутствует в функциональной зависимости между X и Y. Если же коэффициент корреляции = 0, уравнения эллипсов

Главные оси рассеивания параллельны осям координат у = 0, = 0. Линейной зависимости между компонентами X и Y нет.

PAGE  29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82145. Звуки з, з, позначення їх буквою Зз («зе»). Дзвінке вимовляння цих звуків у кінці слів і складів. Фразеологізми. Опрацювання тексту «Весела зима». Скоромовки 117 KB
  Навчити учнів упізнавати звуки у мовленому слові та позначати їх буквою Зз зечитати слова з новою буквою чітко вимовляти звуки перед глухими приголосними та в кінці слова; розвивати спостережливість увагу логічне мислення вміння зіставляти порівнювати звукобуквений склад та їх смислове значення...
82146. «Чернобыльская зона» Вечер-реквием ко Дню ликвидатора 59 KB
  Все ликвидаторы аварии на Чернобыльской АЭС 1986-1990 годов достойны того, чтобы их бескорыстный пример долга был примером для наших потомков, об этом подвиге знали, помнили и с благодарностью вспоминали их имена. Слово предоставляется участнику ликвидации последствий аварии на Чернобыльской...
82147. Позакласний захід «Математика із зірками» 464.5 KB
  На картках математиків написане квадратне рівняння на картках учнів корені відповідного квадратного рівняння. Потрібно утворити пару так щоб корені були розвязками відповідного квадратного рівняння. Математик у голос зачитує квадратне рівняння а учні розвязуючи знаходять відповідні корені даного рівняння.
82148. Повторення та узагальнення вивченого про займенник. Творча робота над вживанням займенників 35.5 KB
  Мета: повторити й узагальнити вивчене про займенник провести підготовку до контрольної роботи; розвивати вміння використовувати займенники у мовленні; виховувати працелюбність бажання вести здоровий спосіб життя; спонукати до творчості реалізувати потреби учнів у спілкуванні.
82149. Інтелектуальна гра за творчістю Тараса Григоровича Шевченка «Зіркова година» 32 KB
  Кожен учасник отримує по три картки з цифрами 123 для відповідей. За правильну відповідь кожен отримує зірочку. Кожен відкриває для себе щось нове в даній постаті. Завдячуючи Тарасу Григоровичу кожен з нас повинен зрозуміти: людина творець своєї долі.
82150. Перехід проїзної частини дороги за різних умов 90.5 KB
  Мета: Ознайомлення учнів з основами організації дорожнього руху структурними елементами вулиці та дороги технічними засобами організації дорожнього руху прищеплення розуміння необхідності суворого дотримання встановлених правил поведінки на дорозі вироблення навичок спостережливості...
82151. Будь чистым и аккуратным (Как подружиться с королевой Гигиеной) 489 KB
  Кто хочет быть здоровым никогда не болеть Но одного желания мало Что надо делать чтобы всегда хорошо выглядеть быть здоровым А что это за письмо пришло нам конверт с письмом обратный адрес: Замарашкина Никогда не мойте руки Шею уши и лицо. Вновь испачкаются руки Шея уши и лицо. Игра Так я мою руки.
82152. Харчування та здоров’я 2.06 MB
  Мета: Пояснити учням значення харчування для здоров’я, розширити уявлення про різноманітність харчових продуктів, вчити дітей правильно харчуватися, розвивати культурно-гігієнічні навички поведінки під час прийому їжі, прищеплювати естетичні смаки щодо сервірування столу, прикрашання страв.
82153. СОНЦЕ: КОРИСНЕ ТА ШКІДЛИВЕ. ПРАВИЛА ПОВЕДІНКИ ПІД ЧАС ВІДПОЧИНКУ НА ВОДІ 492 KB
  Мета: розповісти учням про правила безпечної поведінки біля води; ознайомити учнів із впливом сонячних променів на організм людини, способами запобігання й надання допомоги у разі сонячного удару; виховувати обережність. Формувати розуміння того, що тільки від власної поведінки залежить життя...