32439

ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y обе части равенства из определения независимых случайных величин. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда когда для любых пар значений случайных величин X и Y. Для независимых случайных величин X и Y ковариация равна 0. Из утверждений 2 и 3 следует что для независимых случайных величин X и Y MXY = MX  MY если MX и MY существуют.

Русский

2013-09-04

87.5 KB

4 чел.

Лекция 8.

§4. ЗАВИСИМОСТЬ И КОВАРИАЦИЯ.

Cлучайные величины X и Y называются независимыми, если функция распределения cлучайного вектора (X, Y) равняется произведению функций распределения компонент X и Y:

.

Утверждение 3. Непрерывные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда плотность случайного вектора (X, Y) равняется произведению плотностей компонент X и Y: .

Для доказательства необходимости продифференцируем по x и y  обе части равенства из определения независимых случайных величин. Для доказательства достаточности возьмем интегралы от обеих частей равенства   по области {(-, x), (-, y)}  

Утверждение 4. Дискретные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда  для любых пар значений , случайных величин X и Y.

Доказательство.

Пример 6. В примере 1 § 1 плотность случайного вектора (X,Y) , а плотности компонент .

Следовательно, cлучайные величины X и Y независимы.

Утверждение 5.  Для независимых  случайных величин X и Y ковариация равна 0.

Доказательство. Из утверждений 2 и 3 следует, что для независимых случайных величин X и Y  M(XY) = M(X M(Y), если M(X) и M(Y) существуют.

Для непрерывных случайных величин это так, поскольку

Для дискретных случайных величин

Отсюда, сov(XY) = M(XY) – M(X)M(Y0.

Замечание. M(XY= M(X)  M(Y) также, если одна из независимых случайных величин непрерывного, а другая дискретного типа.

Таким образом, ненулевая ковариация - это признак наличия зависимости между случайными величинами.

Утверждение 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

Доказательство сразу следует из формулы для дисперсии суммы случайных величин.

§5. KОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА.

Если ковариация случайных величин X и Y (cov(X, Y= M((X – MX)(Y –
– MY
))) невелика, то это не всегда является следствием слабой зависимости между ними, а может просто указывать на то, что случайные величины мало отклоняются от своего математического ожидания. Поэтому для характеристики связи случайных величин рассматривают коэффициент корреляции:

где  и  - средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Случайные величины, для которых ковариация, а значит и коэффициент корреляции равны нулю, называются некоррелированными.

Из независимости вытекает некоррелированность, обратное неверно. Коэффициент корреляции может оказаться равным нулю, когда одна случайная величина является функцией от другой.

Пример 7. Пусть случайные случайные U и V имеют одинаковые распределения и = U + V,= U – V. Тогда M(XY) = M(X2) – M(Y20 и
M(Y) 0. Cледовательно, cov(X, Y) = M(XY)  M(X)(Y) = 0, и поэтому corr(X, Y) = 0. Например, X и Y могут быть соответственно суммой и разностью очков, выпавших на двух костях. Тогда величины X и Y либо обе четны, либо обе нечетны и, cледовательно, зависимы.  

Пример 8. Из некоррелированности случайных величин, подчиненных двумерному нормальному закону, вытекает их независимость. Действительно, параметр r двумерного нормального распределения совпадает с коэффициентом корреляции, и следовательно плотность распределения

где  - плотности компонент Х и Y.

Таким образом, для компонент X и Y нормально распределенного случайного вектора  свойства некоррелированности и независимости совпадают.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Утверждение 7.  corr(X, Y)  1.

Доказательство. Введем случайную величину .

, DZ  0. Cледовательно, ; ; ; ; .

Утверждение 8. Если X и Y cвязаны точной линейной функциональной зависимостью = aX + b, то

Доказательство:

;  

Таким образом, коэффициент корреляции является характеристикой линейной зависимости между случайными величинами.

Пример 9 . Вернемся к плотности двумерного нормального закона. Уравнения эллипсов рассеивания двумерной нормальной плотности

Если коэффициент корреляции r > 0, главные оси эллипсов расположены под некоторым углом к координатным осям (из аналитической геометрии известно, что ). Происходит как бы “намагничивание” двумерного случайного вектора вдоль одной из главных осей y = kx + b, т.е. линейная составляющая присутствует в функциональной зависимости между X и Y. Если же коэффициент корреляции = 0, уравнения эллипсов

Главные оси рассеивания параллельны осям координат у = 0, = 0. Линейной зависимости между компонентами X и Y нет.

PAGE  29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24352. Теория и практика. Критерии истинности познания. Научная истина 98.5 KB
  Мы исходим из установки что наши знания это не абсолютные истины но рабочие гипотезы которые мы готовы сменить отбросить если они противоречат новым фактам. б Понятие истины. Объективность истины. Диалектика абсолютной и относительной истины Важную роль в обосновании принципа доверия к субъекту имеет обоснование возможности достижения объективной истины.
24353. Создание новой базы данных 9.79 MB
  Access хранит все таблицы базы данных, а также другие объекты в одном файле. Прежде, чем приступить к созданию таблиц базы данных, необходимо создать файл пустой базы данных.
24354. Герменевтика как методология 349.5 KB
  Дильтей правда был не первым мыслителем обратившим внимание на особый статус понимания в гуманитарных науках. Таким образом заслуга Дильтея заключается не в том что он выдвинул тезис об особом статусе понимания в историкогуманитарных науках науках о духе а в том что он предпринял попытку систематического развития этоготезиса. Это положение послужило позднее поводом к противопоставлению объяснения и понимания как двух несовместимых методов познания. Термин герменевтика употребляется также и в теоретическом смысле:...
24355. Три аспекта бытия науки: как познавательная деятельность, как социальный институт, как особая сфера культуры 83 KB
  Такая переформулировка имеет логическое оправдание: вопервых значение науки как элемента культуры в современных условиях выросло настолько что требует специального рассмотрения см вопрос 7 вовторых научные знания являются наиважнейшей компонентой культуры и одновременно присутствуют в двух других составляющих науки поэтому без обсуждения вопроса о сущности и роли научных знаний в жизни общества не обойтись. Знакомство с деятельной стороной науки позволяет понять не только что происходило и почему происходило но и как происходило то...
24356. Позитивисткая традиция в философии науки. О.Конт как основоположник позитивизма 41.5 KB
  Это значит что: философское знание должно быть абсолютно точным и достоверным; для его достижения философия должна использовать научный метод при познании и опираться на достижения других наук; основной путь для получения научного знания в философии эмпирическое наблюдение; философия должна исследовать лишь факты а не их причины внутреннюю сущность окружающего мира и другие далекие от науки проблемы; философия должна освободиться от ценностного подхода и от оценочного характера при исследовании; философия не должна стремиться...
24357. Неопозитивизм (логический позитивизм – Карнап, Шлик, Рейхенбах и др.). Принципы верификации, физикализма и конвенционализма 56 KB
  22 Предмет философии науки в неопозитивизме Р.Рассел Наиболее последовательную системную роль философия науки впервые приобрела в работах неопозитивистов Р. Неопозитивисты стремились создать философию науки как строгую науку которая позволила бы найти в конгломерате человеческих убеждений мнений те безусловно истинные элементы которые могли бы служить надежным базисом познания и деятельности. Философия науки по их мнению должна базироваться на строгих методологических установках основу которых составляет методология современного...
24358. Постпозитивизм. Характеристика взглядов К.Поппера (принцип фальсификации); И.Лакатоса (роль научной программы); Т.Кун (парадигма и революции в науке); Г.Фейерабенд (принцип пролиферации); М.Полани (2 типа знаний, личное знание) 130 KB
  Понимание предмета философии науки в критическом рационализме К. С точки зрения критического рационализма предметом философии науки является изучение не высказываний а наука как целостная динамичная развивающая система. А это значит что философия не только оказывает стимулирующее негативное или позитивное воздействие на науку но философские положения органически входят в тело науки.Поппер исходил из предпосылки что законы науки не выражаются аналитическими суждениями и в то же время не сводимы к наблюдениям.
24359. Проблема интернализма и экстернализма в понимании механизмов научной деятельности 54.5 KB
  60 Движущие силы развития научного познания: интернализм и экстернализм а Интернализм Что является движущими силами развития научного знания При ответе на этот вопрос исследователь сталкивается с двойственным характером существования и движения научного знания. Они развиваются по внутренней логике: вытекают одна из другой обосновывают друг друга и образуют единую систему знания. С другой стороны исследователь не может не учитывать того обстоятельства что производит эти знания конкретный субъект ученый научное сообщество и что их...
24360. Предмет философии науки: общие закономерности научного познания в его историческом развитии и изменяющемся социокультурном контексте 54.5 KB
  Функции науки культурная технологическая наука как фактор соц регуляции проективно конструктивная экологическая Научное познание процесс получения объективного истинного знания направленного на отражение закономерности действительности. 9 Предмет и структура философии науки Специфика предмета науки определяется в ходе исследовательской деятельности. Поэтому представление о предмете философии науки в истории развития этой отрасли знания существенно меняется.