32440

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть X1X2Xn взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fx. Характеристической функцией распределения Fx или случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Замечание. В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций Если X имеет плотность fx то Например характеристическая функция стандартного нормального распределения Если X дискретная случайная величина где xi значение...

Русский

2013-09-04

106.5 KB

1 чел.

Лекция 9.

Глава 4.  НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

$1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Центральная предельная теорема сыграла особую роль в развитии теории вероятностей, она имеет большое значение и для современных приложений. Центральная предельная теорема определяет условия, при которых суммы независимых случайных величин распределены асимптотически нормально.

Tеорема 1. Пусть X1,X2,…,Xn – взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Допустим, что М(Xk)=0, D(Xk)=1, k = 1, 2,..., n. При  распределение нормированных сумм  стремится к стандартному нормальному распределению.

Для доказательства используем метод характеристических функций. Характеристической функцией  распределения F(x) (или случайной величины X) называется математическое ожидание случайной величины     

                     

Замечание. Мы вводили случайные величины как действительные функции, заданные на пространстве . В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций

Если X имеет плотность f(x), то

Например, характеристическая функция стандартного нормального распределения

Если X – дискретная случайная величина,

где xi – значение случайной величины X.

Замечание. Характеристическая функция распределения F(x) – это ни что иное как преобразование Лебега-Фурье функции F(x). Если X – непрерывная случайная величина, то характеристическая функция – это просто преобразование Фурье плотности распределения.

Докажем сначала, что характеристические функции распределения сумм Sn при  и всех t cходятся к характеристической функции стандартного нормального распределения. Характеристическая функция суммы Sn

где  – характеристическая функция случайных величин Xk  ,

поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий, и все случайные величины X1,X2,…,Xn имеют одно и то же распределение, а значит и одну и ту же характеристическую функцию .

По формуле Тейлора

Полагая , получим

При больших n

Поскольку то

Докажем, что из сходимости характеристических функций  следует сходимость функций распределения.

Из курса математического анализа известна теорема непрерывности: если F1(x), F2(x),..., Fn(x) - последовательность функций, ограниченных на всей числовой прямой, а  - последовательность соответствующих преобразований Лебега-Фурье, сходящаяся к функции , то  также является преобразованием Лебега-Фурье некоторой функции F0(x), а F0(x) является пределом функциональной последовательности F1(x), F2(x),..., Fn(x),... . Теорема непрерывности завершает доказательство Центральной предельной теоремы.

Центральная предельна теорема позволяет понять природу случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Пример 1. Рассмотрим  распространение популяции деревьев. Если бы новые растения возникали только из семян, упавших с материнского дерева, то сеянцы были бы расположены около него. Тогда расстояние дерева n-ого поколения от исходного было бы распределено приблизительно нормально. При этих условиях площадь, покрытая потомками некоторого дерева, была бы пропорциональна его возрасту.

Замечание 1. Если в условии Теоремы 1 М(Xk) = m, D(Xk) = 2, то распределение сумм

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Действительно, если мы вместо случайных величин Xk рассмотрим , то попадем в условия Теоремы 1.

Замечание 2. Более общую формулировку Центральной предельной теоремы дал Линдеберг. Пусть X1X2,   , Xn – взаимно независимые случайные величины с функциями распределения F1(x), F2(x),…, Fn.(x). Пусть M(Xk)=mk, , и дисперсии  малы по сравнению с суммой  (при любом  > 0 и всех достаточно больших n ). Тогда распределение нормированной суммы

     стремится к стандартному нормальному распределению.  

Пример 2. Вернемся  к примеру 4 из $12 второй главы. Почему оценка на письменном тестировании по математике имеет нормальное распределение?

Оценка X складывается из n оценок X1X2,…, Xn за каждую задачу. Случайная величина Xk имеет распределение в соответствии с трудностью к-ой задачи c конечными математическим ожиданием mk и дисперсией . При больших n выполнены все условия теоремы Линдеберга (на практике n  12 cчитается достаточно большим), и следовательно, оценку X можно считать нормально распределенной случайной величиной со средним значением  и диcперсией .  

Следствием из Центральной предельной теоремы является

Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p, то справедливо соотношение

где Y – число наступлений события А в n опытах, Ф(x) – функция распределения стандартного нормального закона, – действительные числа.

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-ом опыте, i = 1, 2,..., n,

Обозначим

Cогласно Замечанию 2 к Теореме 1 распределение случайной величины

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Отсюда,

Пример 3. Монету  подбрасывают 200 раз. Какова вероятность, что число выпадений герба отличается от 100 не более чем на 5?

Применим теорему Муавра-Лапласа:  

             

32

PAGE  31


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52256. Аукціон фізичних знань 140.5 KB
  Команда яка швидше записала букви в кінці зірки і прочитала слово отримує 5 балів. Інша команда якщо вона правильно впоралась з завданням отримує 4 бали. Команда прослухавши повідомлення і розглянувши портрет відгадує ім'я вченого. За кожен правильно вгаданий портрет команда отримує по 3 бали.
52257. Організація закупівлі товарів на аукціонах 249.5 KB
  Інструкційно методична карта практичного заняття № 4 Тема: Організація підготовки і проведення аукціону. Навчальні цілі заняття: ознайомити студентів з планом проведення заняття ; І виявлення знань студентів по темі використовуючи різні форми і методи контролю; ІІ привити практичні навички оформлення акційних документів; ІІ навчити самостійно робити висновки вносити пропозиції щодо організації підготовки та проведення аукціону; ІІІ формувати особу спеціаліста з сучасним економічним мисленням здатну...
52259. Рельєф. Тектоніка. Геологічнабудова. Корисні копалини України 50.5 KB
  Корисні копалини України. Корисні копалини України. прищеплювати любов до України географії. Обладнання: Фізична карта України Тектонічна карта України магнітофон жетони гонг штатив молоточок таблиці атлас України 89 класи призи.
52260. Aus der Geschichte der Ukraine 50.5 KB
  Wie geht es euch Kinder Heute beginnen wir ein neues Them zu studieren. Es heißt Die Ukrine gestern und heuteâ. Dieses Them ht 10 Stunden. ber wie ds Them heutiger Stunde ist versteht ihr nch dieser ufgbe.
52261. Австралія – найменший материк Землі. Загальні відомості. Своєрідність географічного положення материка. Історія відкриття і дослідження. Рельєф і корисні копалини 7.75 MB
  Мета: сформувати в учнів загальне уявлення про своєрідність та особливості природи Австралії; продовжити формувати навички складати характеристику географічного положення материка; знайти закономірності розташування форм рельєфу та корисних копалин; розвивати вміння учнів працювати зі схемами атласу і підручника аргументувати свою відповідь у тому числі за допомогою додаткових джерел літератури. Для подальшого вивчення Австралії клас поділяється на групи: 1група. Знаходить на карті крайні точки Австралії і визначає їхні географічні...
52262. Australia. Terra Incognita 178 KB
  Terr Incognit Suggested level B 1 B1 intermedite Inn brmovsk senior techer of English school 5 L' viv Objectives: to get cquinted with ustrlin history geogrphy stte Symbols; to prctice vocbulry; to develop pupils' listening reding nd speking skills; to rouse pupils' interests in the life of ustrlin people. The Ntionl nthem...
52263. Австралійський Союз. Океанія 171 KB
  Мета: продовжити формувати систему знань про Австралію сформувати систему знань про природноресурсний потенціал Австралії і Океанії; систематизувати уявлення учнів про міжнародну спеціалізацію регіонів вдосконалити вміння і навички учнів самостійно працювати з джерелами географічної інформації. Обладнання: політична карта світу фізична карта Австралії фізична карта Океанії атласи учнівські...
52264. АВСТРАЛІЯ – найменший материк Землі. Історія відкриття і дослідження 112 KB
  Визначити географічне положення Австралії, ознайомити учнів з історією відкриття, заселення Австралії європейцями, особливостями рельєфу, корисними копалинами...