32440

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть X1X2Xn – взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fx. Характеристической функцией распределения Fx или случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Замечание. В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций Если X имеет плотность fx то Например характеристическая функция стандартного нормального распределения Если X – дискретная случайная величина где xi – значение...

Русский

2013-09-04

106.5 KB

0 чел.

Лекция 9.

Глава 4.  НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

$1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Центральная предельная теорема сыграла особую роль в развитии теории вероятностей, она имеет большое значение и для современных приложений. Центральная предельная теорема определяет условия, при которых суммы независимых случайных величин распределены асимптотически нормально.

Tеорема 1. Пусть X1,X2,…,Xn – взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Допустим, что М(Xk)=0, D(Xk)=1, k = 1, 2,..., n. При  распределение нормированных сумм  стремится к стандартному нормальному распределению.

Для доказательства используем метод характеристических функций. Характеристической функцией  распределения F(x) (или случайной величины X) называется математическое ожидание случайной величины     

                     

Замечание. Мы вводили случайные величины как действительные функции, заданные на пространстве . В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций

Если X имеет плотность f(x), то

Например, характеристическая функция стандартного нормального распределения

Если X – дискретная случайная величина,

где xi – значение случайной величины X.

Замечание. Характеристическая функция распределения F(x) – это ни что иное как преобразование Лебега-Фурье функции F(x). Если X – непрерывная случайная величина, то характеристическая функция – это просто преобразование Фурье плотности распределения.

Докажем сначала, что характеристические функции распределения сумм Sn при  и всех t cходятся к характеристической функции стандартного нормального распределения. Характеристическая функция суммы Sn

где  – характеристическая функция случайных величин Xk  ,

поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий, и все случайные величины X1,X2,…,Xn имеют одно и то же распределение, а значит и одну и ту же характеристическую функцию .

По формуле Тейлора

Полагая , получим

При больших n

Поскольку то

Докажем, что из сходимости характеристических функций  следует сходимость функций распределения.

Из курса математического анализа известна теорема непрерывности: если F1(x), F2(x),..., Fn(x) - последовательность функций, ограниченных на всей числовой прямой, а  - последовательность соответствующих преобразований Лебега-Фурье, сходящаяся к функции , то  также является преобразованием Лебега-Фурье некоторой функции F0(x), а F0(x) является пределом функциональной последовательности F1(x), F2(x),..., Fn(x),... . Теорема непрерывности завершает доказательство Центральной предельной теоремы.

Центральная предельна теорема позволяет понять природу случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Пример 1. Рассмотрим  распространение популяции деревьев. Если бы новые растения возникали только из семян, упавших с материнского дерева, то сеянцы были бы расположены около него. Тогда расстояние дерева n-ого поколения от исходного было бы распределено приблизительно нормально. При этих условиях площадь, покрытая потомками некоторого дерева, была бы пропорциональна его возрасту.

Замечание 1. Если в условии Теоремы 1 М(Xk) = m, D(Xk) = 2, то распределение сумм

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Действительно, если мы вместо случайных величин Xk рассмотрим , то попадем в условия Теоремы 1.

Замечание 2. Более общую формулировку Центральной предельной теоремы дал Линдеберг. Пусть X1X2,   , Xn – взаимно независимые случайные величины с функциями распределения F1(x), F2(x),…, Fn.(x). Пусть M(Xk)=mk, , и дисперсии  малы по сравнению с суммой  (при любом  > 0 и всех достаточно больших n ). Тогда распределение нормированной суммы

     стремится к стандартному нормальному распределению.  

Пример 2. Вернемся  к примеру 4 из $12 второй главы. Почему оценка на письменном тестировании по математике имеет нормальное распределение?

Оценка X складывается из n оценок X1X2,…, Xn за каждую задачу. Случайная величина Xk имеет распределение в соответствии с трудностью к-ой задачи c конечными математическим ожиданием mk и дисперсией . При больших n выполнены все условия теоремы Линдеберга (на практике n  12 cчитается достаточно большим), и следовательно, оценку X можно считать нормально распределенной случайной величиной со средним значением  и диcперсией .  

Следствием из Центральной предельной теоремы является

Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p, то справедливо соотношение

где Y – число наступлений события А в n опытах, Ф(x) – функция распределения стандартного нормального закона, – действительные числа.

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-ом опыте, i = 1, 2,..., n,

Обозначим

Cогласно Замечанию 2 к Теореме 1 распределение случайной величины

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Отсюда,

Пример 3. Монету  подбрасывают 200 раз. Какова вероятность, что число выпадений герба отличается от 100 не более чем на 5?

Применим теорему Муавра-Лапласа:  

             

32

PAGE  31


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14202. Эффективность методики оценки кредитоспособности клиента ЗАО КБ «Пятигорск» и ОАО «Ставропольпромстройбанка» 2.3 MB
  ВВЕДЕНИЕ Кредитнофинансовая система –одна из важнейших и неотъемлемых структур рыночной экономики. Развитие банковской системы и товарного производства исторически шло параллельно и тесно переплеталось. Находясь в центре экономической жизни банки опосредуют с...
14203. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО БЕЛОРУССКОЙ МУЗЫКЕ 69.22 KB
  КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО БЕЛОРУССКОЙ МУЗЫКЕ БЕЛОРУССКАЯ МУЗЫКА XVIII ВЕКА В XVIII веке Беларусь входила в состав Речи Посполитой. В конце века Речь Посполитая была разделена тремя государствами и перестала существовать как самостоятельная политическая единица. Белору...
14204. Белорусская народная музыка 219.5 KB
  Белорусская народная музыка Музыкальный фольклор – уникальная самобытная культура наших предков – осознается современным обществом как значительный фактор духовности преемственности поколений приобщения к национальным жизненным истокам. Зарод
14205. Владислав Голубок 18.51 KB
  История белорусского театра первых двух десятилетий XX века богата на многочисленные знаменательные события уникальные явления к которым можно отнести и многолетнюю деятельность Владислава Голубка. Он сочетал в себе талант писателя и драматурга актера и режиссера худ...
14206. Иосиф Жинович: цимбалист-виртуоз, композитор и дирижер 25.3 KB
  Иосиф Жинович: цимбалиствиртуоз композитор и дирижер досье белта Современную белорусскую музыкальную культуру сложно представить без цимбал которые воспринимаются в определенной степени как музыкальный символ Беларуси. Главная заслуга в этом принадлежит перв
14207. Фортепианное искусство Беларуси XX века 92.5 KB
  Фортепианное искусство Беларуси XX века Фортепианная музыка является неотъемлемой частью профессионального искусства Беларуси. Формирование белорусской национальной композиторской школы завершилось к концу XIX столетия и фортепианное искусство как композиторское...
14208. ИСТОРИЯ БЕЛОРУССКОЙ МУЗЫКАЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ ДО XX ВЕКА 553.5 KB
  Е.С. Бондаренко ИСТОРИЯ БЕЛОРУССКОЙ МУЗЫКАЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ ДО XX ВЕКА Учебно-методическое пособие Минск 2007 ВВЕДЕНИЕ Курс истории белорусской музыки – музыки нашей страны – занимает одно из важнейших мест в ряду музыкальнои...
14209. История белорусской музыки ХХ века 3.37 MB
  Л.А. Волкова История белорусской музыки ХХ века Симфония В пособии освещены актуальные проблемы исторической эволюции национального симфонизма и собственно симфонии – жанра занимающего центральное место в белорусской музыке ХХ века. Особое внимание уде...
14210. Музична память (англ. music memory) 155 KB
  Музична память. Музична память англ. music memory здатність впізнавати і відтворювати музичний матеріал. Музичне впізнавання необхідно для осмисленого сприйняття музики. Необхідна умова музичної памяті достатній розвиток музичного слуху. Важливе місце в музичній