32440

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть X1X2Xn взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fx. Характеристической функцией распределения Fx или случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Замечание. В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций Если X имеет плотность fx то Например характеристическая функция стандартного нормального распределения Если X дискретная случайная величина где xi значение...

Русский

2013-09-04

106.5 KB

1 чел.

Лекция 9.

Глава 4.  НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

$1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Центральная предельная теорема сыграла особую роль в развитии теории вероятностей, она имеет большое значение и для современных приложений. Центральная предельная теорема определяет условия, при которых суммы независимых случайных величин распределены асимптотически нормально.

Tеорема 1. Пусть X1,X2,…,Xn – взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Допустим, что М(Xk)=0, D(Xk)=1, k = 1, 2,..., n. При  распределение нормированных сумм  стремится к стандартному нормальному распределению.

Для доказательства используем метод характеристических функций. Характеристической функцией  распределения F(x) (или случайной величины X) называется математическое ожидание случайной величины     

                     

Замечание. Мы вводили случайные величины как действительные функции, заданные на пространстве . В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций

Если X имеет плотность f(x), то

Например, характеристическая функция стандартного нормального распределения

Если X – дискретная случайная величина,

где xi – значение случайной величины X.

Замечание. Характеристическая функция распределения F(x) – это ни что иное как преобразование Лебега-Фурье функции F(x). Если X – непрерывная случайная величина, то характеристическая функция – это просто преобразование Фурье плотности распределения.

Докажем сначала, что характеристические функции распределения сумм Sn при  и всех t cходятся к характеристической функции стандартного нормального распределения. Характеристическая функция суммы Sn

где  – характеристическая функция случайных величин Xk  ,

поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий, и все случайные величины X1,X2,…,Xn имеют одно и то же распределение, а значит и одну и ту же характеристическую функцию .

По формуле Тейлора

Полагая , получим

При больших n

Поскольку то

Докажем, что из сходимости характеристических функций  следует сходимость функций распределения.

Из курса математического анализа известна теорема непрерывности: если F1(x), F2(x),..., Fn(x) - последовательность функций, ограниченных на всей числовой прямой, а  - последовательность соответствующих преобразований Лебега-Фурье, сходящаяся к функции , то  также является преобразованием Лебега-Фурье некоторой функции F0(x), а F0(x) является пределом функциональной последовательности F1(x), F2(x),..., Fn(x),... . Теорема непрерывности завершает доказательство Центральной предельной теоремы.

Центральная предельна теорема позволяет понять природу случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Пример 1. Рассмотрим  распространение популяции деревьев. Если бы новые растения возникали только из семян, упавших с материнского дерева, то сеянцы были бы расположены около него. Тогда расстояние дерева n-ого поколения от исходного было бы распределено приблизительно нормально. При этих условиях площадь, покрытая потомками некоторого дерева, была бы пропорциональна его возрасту.

Замечание 1. Если в условии Теоремы 1 М(Xk) = m, D(Xk) = 2, то распределение сумм

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Действительно, если мы вместо случайных величин Xk рассмотрим , то попадем в условия Теоремы 1.

Замечание 2. Более общую формулировку Центральной предельной теоремы дал Линдеберг. Пусть X1X2,   , Xn – взаимно независимые случайные величины с функциями распределения F1(x), F2(x),…, Fn.(x). Пусть M(Xk)=mk, , и дисперсии  малы по сравнению с суммой  (при любом  > 0 и всех достаточно больших n ). Тогда распределение нормированной суммы

     стремится к стандартному нормальному распределению.  

Пример 2. Вернемся  к примеру 4 из $12 второй главы. Почему оценка на письменном тестировании по математике имеет нормальное распределение?

Оценка X складывается из n оценок X1X2,…, Xn за каждую задачу. Случайная величина Xk имеет распределение в соответствии с трудностью к-ой задачи c конечными математическим ожиданием mk и дисперсией . При больших n выполнены все условия теоремы Линдеберга (на практике n  12 cчитается достаточно большим), и следовательно, оценку X можно считать нормально распределенной случайной величиной со средним значением  и диcперсией .  

Следствием из Центральной предельной теоремы является

Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p, то справедливо соотношение

где Y – число наступлений события А в n опытах, Ф(x) – функция распределения стандартного нормального закона, – действительные числа.

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-ом опыте, i = 1, 2,..., n,

Обозначим

Cогласно Замечанию 2 к Теореме 1 распределение случайной величины

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Отсюда,

Пример 3. Монету  подбрасывают 200 раз. Какова вероятность, что число выпадений герба отличается от 100 не более чем на 5?

Применим теорему Муавра-Лапласа:  

             

32

PAGE  31


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81962. Системы и методы инвестиционного анализа 62 KB
  В соответствии с предлагаемой схемой проведения инвестиционного анализа или анализа инвестиционной привлекательности региона или других объектов по нашему мнению следует использовать различные экономико-математические статистические и другие методы.
81963. Экономическая диагностика предприятия 1.33 MB
  Цель экономической диагностики предприятия – оценка финансового состояния и динамики развития хозяйствующего субъекта. Экспресс диагностику рекомендуется осуществить методом оценки финансовых коэффициентов.
81964. Основы системы социальной защиты населения в России. Структура социальной защиты населения на примере Туринского района 43 KB
  Сложившаяся ситуация требует от государства и неправительственных организаций общественных объединений принятия адекватных мер прежде всего в сфере развития системы социальной защиты населения и обеспечения социальной безопасности.
81965. ПРЕС-КОНФЕРЕНЦІЯ «ВОДА – НАЙВАЖЛИВІШИЙ МІНЕРАЛ» 1.29 MB
  Мета: Розширити і збагатити знання учнів про воду, дати уявлення про значення води на планеті Земля, закріпити знання про властивості води та її народногосподарське призначення, в тому числі в рідному краї. Виховувати в учнів бережне ставлення до води та бажання зберегти запаси прісної води чистими для себе і майбутніх поколінь.
81966. Вода. Кругообіг води 248 KB
  Мета: На основі вивченого матеріалу систематизувати знання учнів про властивості води, стани води, кругообіг води, значення води в природі і для людей; формувати вміння застосовувати засвоєні знання. Розвивати вміння аналізувати природні явища, робити висновки.
81967. Земля – голуба планета. Водойми України 59.5 KB
  Повторити і розширити поняття про водойми України їх різноманітність джерело річка її будова складові частини; озеро болото море значення та охорону; продовжувати формувати вміння учнів працювати з фізичною картою зошитом підручником; розвивати уміння логічно мислити працювати у групі...
81968. Практичне заняття «Вогонь – друг, вогонь – ворог» 69 KB
  Мета: продовжити формувати уявлення про причини виникнення пожежі в побуті та її наслідки; вчити учнів правильно діяти у випадку виникнен ня пожежі в сусідів чи на інших об’єктах; розвивати навички самозахисту; виховувати розсудливість, почуття відповідальності за свої вчинки.
81969. Хай вічно горить вогонь пам’яті 42.5 KB
  Яка б річниця визволення нашої країни від німецько-фашистських загарбників не наступала, думка про те, що настала тиша, прийшов довгожданий, вистражданий, оплачений дорогою ціною мир, бентежить душу. Зараз ми послухаємо у грамзаписі спогади учасників боїв.
81970. Вогонь — друг, вогонь — ворог (Сценарій виступу) 35.5 KB
  Через необережне поводження з вогнем щорік гинуло все більше і більше людей. Вогонь — ворог! Він залишив свої криваві сліди в історії всіх епох і народів. Тисячі міст і сіл зникли в полум’ї вогню. Безцінні твори попередніх поколінь перетворились на порох. Вогонь згубив мільйони людей.