32440

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть X1X2Xn взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fx. Характеристической функцией распределения Fx или случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Замечание. В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций Если X имеет плотность fx то Например характеристическая функция стандартного нормального распределения Если X дискретная случайная величина где xi значение...

Русский

2013-09-04

106.5 KB

0 чел.

Лекция 9.

Глава 4.  НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

$1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Центральная предельная теорема сыграла особую роль в развитии теории вероятностей, она имеет большое значение и для современных приложений. Центральная предельная теорема определяет условия, при которых суммы независимых случайных величин распределены асимптотически нормально.

Tеорема 1. Пусть X1,X2,…,Xn – взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Допустим, что М(Xk)=0, D(Xk)=1, k = 1, 2,..., n. При  распределение нормированных сумм  стремится к стандартному нормальному распределению.

Для доказательства используем метод характеристических функций. Характеристической функцией  распределения F(x) (или случайной величины X) называется математическое ожидание случайной величины     

                     

Замечание. Мы вводили случайные величины как действительные функции, заданные на пространстве . В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций

Если X имеет плотность f(x), то

Например, характеристическая функция стандартного нормального распределения

Если X – дискретная случайная величина,

где xi – значение случайной величины X.

Замечание. Характеристическая функция распределения F(x) – это ни что иное как преобразование Лебега-Фурье функции F(x). Если X – непрерывная случайная величина, то характеристическая функция – это просто преобразование Фурье плотности распределения.

Докажем сначала, что характеристические функции распределения сумм Sn при  и всех t cходятся к характеристической функции стандартного нормального распределения. Характеристическая функция суммы Sn

где  – характеристическая функция случайных величин Xk  ,

поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий, и все случайные величины X1,X2,…,Xn имеют одно и то же распределение, а значит и одну и ту же характеристическую функцию .

По формуле Тейлора

Полагая , получим

При больших n

Поскольку то

Докажем, что из сходимости характеристических функций  следует сходимость функций распределения.

Из курса математического анализа известна теорема непрерывности: если F1(x), F2(x),..., Fn(x) - последовательность функций, ограниченных на всей числовой прямой, а  - последовательность соответствующих преобразований Лебега-Фурье, сходящаяся к функции , то  также является преобразованием Лебега-Фурье некоторой функции F0(x), а F0(x) является пределом функциональной последовательности F1(x), F2(x),..., Fn(x),... . Теорема непрерывности завершает доказательство Центральной предельной теоремы.

Центральная предельна теорема позволяет понять природу случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Пример 1. Рассмотрим  распространение популяции деревьев. Если бы новые растения возникали только из семян, упавших с материнского дерева, то сеянцы были бы расположены около него. Тогда расстояние дерева n-ого поколения от исходного было бы распределено приблизительно нормально. При этих условиях площадь, покрытая потомками некоторого дерева, была бы пропорциональна его возрасту.

Замечание 1. Если в условии Теоремы 1 М(Xk) = m, D(Xk) = 2, то распределение сумм

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Действительно, если мы вместо случайных величин Xk рассмотрим , то попадем в условия Теоремы 1.

Замечание 2. Более общую формулировку Центральной предельной теоремы дал Линдеберг. Пусть X1X2,   , Xn – взаимно независимые случайные величины с функциями распределения F1(x), F2(x),…, Fn.(x). Пусть M(Xk)=mk, , и дисперсии  малы по сравнению с суммой  (при любом  > 0 и всех достаточно больших n ). Тогда распределение нормированной суммы

     стремится к стандартному нормальному распределению.  

Пример 2. Вернемся  к примеру 4 из $12 второй главы. Почему оценка на письменном тестировании по математике имеет нормальное распределение?

Оценка X складывается из n оценок X1X2,…, Xn за каждую задачу. Случайная величина Xk имеет распределение в соответствии с трудностью к-ой задачи c конечными математическим ожиданием mk и дисперсией . При больших n выполнены все условия теоремы Линдеберга (на практике n  12 cчитается достаточно большим), и следовательно, оценку X можно считать нормально распределенной случайной величиной со средним значением  и диcперсией .  

Следствием из Центральной предельной теоремы является

Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p, то справедливо соотношение

где Y – число наступлений события А в n опытах, Ф(x) – функция распределения стандартного нормального закона, – действительные числа.

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-ом опыте, i = 1, 2,..., n,

Обозначим

Cогласно Замечанию 2 к Теореме 1 распределение случайной величины

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Отсюда,

Пример 3. Монету  подбрасывают 200 раз. Какова вероятность, что число выпадений герба отличается от 100 не более чем на 5?

Применим теорему Муавра-Лапласа:  

             

32

PAGE  31


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32294. Понятие и основные черты правопорядка. Соотношение правопорядка и законности 48 KB
  Соотношение правопорядка и законности Правопорядок это система общественных отношений которая устанавливается в результате точного и полного осуществления предписаний правовых норм всеми субъектами права. Правопорядок составляет реальную основу современной цивилизованной жизни общества. Нормы права это нормативная предпосылка правопорядка первичное звено механизма правового регулирования моделирующее идеальный правопорядок. Правопорядок есть реализованная система права.
32295. Правомерное поведение. Понятие. Социальная и юридическая природа. Виды правомерного поведения и их характеристика 46 KB
  Правомерное поведение. Правомерное поведение охватывает прежде всего наиболее сознательную часть населения иными словами законопослушных или правопослушных граждан. Такое поведение необходимое условие организованного человеческого общежития взаимоприемлемых цивилизованных отношений. Следовательно правомерное поведение это такое поведение которое соответствует требованиям юридических норм.
32296. Понятие правонарушения и его признаки. Виды правонарушений. Основные пути борьбы с правонарушениями в современном обществе 30.5 KB
  Правонарушение является основным видом неправомерного поведения другой вид которого объективно противоправное деяние и соответственно оно является разновидностью правового то есть юридически значимого поведения поскольку относительно последнего неправомерное поведение наряду с правомерным выступает как его вид. Правонарушению присущи следующие признаки: правонарушение это всегда деяние и только деяние то есть действие бездействие или вербальное словесное поведение. На это обращал внимание еще Гегель; правонарушение это...
32297. Понятие, признаки и отличия юридической ответственности от иных видов социальной ответственности и других мер гос.принуждения. Вопрос об ответственности без вины. Перспективная и ретроспективная ответственность 53 KB
  Перспективная и ретроспективная ответственность. Юридическая ответственность один из видов социальной ответственности индивида Под социальной ответственностью понимается объективная необходимость отвечать за нарушение социальных норм. Социальная ответственность сложная собирательная нравственноправовая философская и этикопсихологическая категория изучаемая многими науками но под разными углами зрения. Различают моральную политическую юридическую общественную гражданскую профессиональную и другие виды ответственности которые в...
32298. Виды юридической ответственности по российскому праву. Их понятие и характеристика 30.5 KB
  Виды юридической ответственности по российскому праву. Отмеченные виды ответственности носят публичный характер т. субъектом привлечения к уголовной и административной ответственности выступает государство. Уголовной ответственности подлежит то лицо которое совершило преступление.
32299. Становление, развитие и историческая оценка теории правового государства 62 KB
  Становление развитие и историческая оценка теории правового государства Представления о государстве как организации осуществляющей свою деятельность на основе закона начали формироваться уже на ранних этапах развития человеческой цивилизации. С идеей правового государства связывались поиски более совершенных и справедливых форм общественной жизни. Ученые древности считали что наиболее разумна и справедлива лишь та политическая форма общежития людей при которой закон общеобязателен как для граждан так и для самого государства. В своей...
32300. Понятие, признаки и черты правового государства 44.5 KB
  Понятие признаки и черты правового государства. Непреходящим общим началом любого правового государства является его связанность правом. При этом право играет приоритетную роль лишь в том случае если оно выступает мерой свободы всех и каждого если действующие законы реально служат интересам народа и государства а их реализация является воплощением справедливости. Недавний опыт показывает что в тоталитарных государствах регулярно издавались правовые акты обеспечивалась их жесткая реализация но такое правовое регулирование являлось...
32301. Экономические, социальные, политические и идейно-нравственные предпосылки возникновения правового государства 31 KB
  Экономические социальные политические и идейнонравственные предпосылки возникновения правового государства. Экономической основой правового государства являются производственные отношения базирующиеся на многоукладности на различных формах собственности государственной коллективной арендной частной акционерной кооперативной и других как равноправных и в одинаковой мере защищенных юридически. Социальную основу правового государства составляет саморегулирующееся гражданское общество которое объединяет свободных граждан носителей...
32302. Государство, право и свобода личности в правовых системах различных государств. Система прав и свобод личности в современных государствах 42.5 KB
  Права человека неотъемлемое свойство человека. Если человек не обладает правами то тем самым уничтожается сама природа человеческого существа. Права человека принадлежат человеку а не государству. Права человека это социальноэкономические политические культурные и другие возможности свободного самоопределения и свободной жизнедеятельности человека.