32440

НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть X1X2Xn взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения Fx. Характеристической функцией распределения Fx или случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Замечание. В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций Если X имеет плотность fx то Например характеристическая функция стандартного нормального распределения Если X дискретная случайная величина где xi значение...

Русский

2013-09-04

106.5 KB

0 чел.

Лекция 9.

Глава 4.  НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

$1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Центральная предельная теорема сыграла особую роль в развитии теории вероятностей, она имеет большое значение и для современных приложений. Центральная предельная теорема определяет условия, при которых суммы независимых случайных величин распределены асимптотически нормально.

Tеорема 1. Пусть X1,X2,…,Xn – взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Допустим, что М(Xk)=0, D(Xk)=1, k = 1, 2,..., n. При  распределение нормированных сумм  стремится к стандартному нормальному распределению.

Для доказательства используем метод характеристических функций. Характеристической функцией  распределения F(x) (или случайной величины X) называется математическое ожидание случайной величины     

                     

Замечание. Мы вводили случайные величины как действительные функции, заданные на пространстве . В данном случае под случайной величиной будем понимать пару действительных функций

Если X имеет плотность f(x), то

Например, характеристическая функция стандартного нормального распределения

Если X – дискретная случайная величина,

где xi – значение случайной величины X.

Замечание. Характеристическая функция распределения F(x) – это ни что иное как преобразование Лебега-Фурье функции F(x). Если X – непрерывная случайная величина, то характеристическая функция – это просто преобразование Фурье плотности распределения.

Докажем сначала, что характеристические функции распределения сумм Sn при  и всех t cходятся к характеристической функции стандартного нормального распределения. Характеристическая функция суммы Sn

где  – характеристическая функция случайных величин Xk  ,

поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий, и все случайные величины X1,X2,…,Xn имеют одно и то же распределение, а значит и одну и ту же характеристическую функцию .

По формуле Тейлора

Полагая , получим

При больших n

Поскольку то

Докажем, что из сходимости характеристических функций  следует сходимость функций распределения.

Из курса математического анализа известна теорема непрерывности: если F1(x), F2(x),..., Fn(x) - последовательность функций, ограниченных на всей числовой прямой, а  - последовательность соответствующих преобразований Лебега-Фурье, сходящаяся к функции , то  также является преобразованием Лебега-Фурье некоторой функции F0(x), а F0(x) является пределом функциональной последовательности F1(x), F2(x),..., Fn(x),... . Теорема непрерывности завершает доказательство Центральной предельной теоремы.

Центральная предельна теорема позволяет понять природу случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Пример 1. Рассмотрим  распространение популяции деревьев. Если бы новые растения возникали только из семян, упавших с материнского дерева, то сеянцы были бы расположены около него. Тогда расстояние дерева n-ого поколения от исходного было бы распределено приблизительно нормально. При этих условиях площадь, покрытая потомками некоторого дерева, была бы пропорциональна его возрасту.

Замечание 1. Если в условии Теоремы 1 М(Xk) = m, D(Xk) = 2, то распределение сумм

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Действительно, если мы вместо случайных величин Xk рассмотрим , то попадем в условия Теоремы 1.

Замечание 2. Более общую формулировку Центральной предельной теоремы дал Линдеберг. Пусть X1X2,   , Xn – взаимно независимые случайные величины с функциями распределения F1(x), F2(x),…, Fn.(x). Пусть M(Xk)=mk, , и дисперсии  малы по сравнению с суммой  (при любом  > 0 и всех достаточно больших n ). Тогда распределение нормированной суммы

     стремится к стандартному нормальному распределению.  

Пример 2. Вернемся  к примеру 4 из $12 второй главы. Почему оценка на письменном тестировании по математике имеет нормальное распределение?

Оценка X складывается из n оценок X1X2,…, Xn за каждую задачу. Случайная величина Xk имеет распределение в соответствии с трудностью к-ой задачи c конечными математическим ожиданием mk и дисперсией . При больших n выполнены все условия теоремы Линдеберга (на практике n  12 cчитается достаточно большим), и следовательно, оценку X можно считать нормально распределенной случайной величиной со средним значением  и диcперсией .  

Следствием из Центральной предельной теоремы является

Теорема Муавра-Лапласа. Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p, то справедливо соотношение

где Y – число наступлений события А в n опытах, Ф(x) – функция распределения стандартного нормального закона, – действительные числа.

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-ом опыте, i = 1, 2,..., n,

Обозначим

Cогласно Замечанию 2 к Теореме 1 распределение случайной величины

при  cтремится к стандартному нормальному распределению. Отсюда,

Пример 3. Монету  подбрасывают 200 раз. Какова вероятность, что число выпадений герба отличается от 100 не более чем на 5?

Применим теорему Муавра-Лапласа:  

             

32

PAGE  31


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36468. Мировые войны и кризис индустриального общества 46.5 KB
  германские войска в конечном счете потерпели тяжелое поражение и правительство Германии обратилось к США с предложением о перемирии. Но еще до подписания перемирия в Германии началась революция. Этот кризис способствовал обострению внутриполитической ситуации в Германии Италии и Испании что привело к возникновению в этих странах фашистских партий захвативших власть в 192030 гг.
36470. Основные прогнозируемые характеристики постиндустриальной цивилизации 31 KB
  Человек: Произойдут изменения в численности населения. 2 Благодаря планированию семьи повышается образовательный уровень и рост уровня жизни темпы роста населения стабилизируются. Сократится разрыв между странами а в обществе сильно вырастит доля пожилого населения но и в этом случае нагрузка на ресурсы будет чрезмерной. В этом случае стабилизация численности населения позволит вкладывать больше средств в производство и улучшения качества жизни.
36471. Глобальные риски в рамках перехода к постиндустриальной цивилизации 31.5 KB
  Эти проблемы ресурсноэкономические 2 демографические 3мирохозяйственные проявляются через кризисы в том числе в области здравоохранения образования культуры в растущей преступности что позволяет многим ученым говорить о глобальном кризисе цивилизации.Среди ученых нет единства во взглядах на перспективы современной цивилизации на ее способность решить угрожающие ей противоречия. Опираясь на исторический опыт многие из них справедливо полагают что возможен вариант гибели современной цивилизации В качестве основы для столь...
36472. Древняя Греция 36.5 KB
  ранняя Греция возникают общества разделенные на классы Архаическим периодом в истории Греции обычно называют VIII VI вв. По мнению некоторых исследователей это время наиболее интенсивного развития античного общества. Действительно в течение трех столетий были сделаны многие важнейшие открытия определившие характер технической основы античного общества развились те социальноэкономические и политические явления которые придали античному обществу определенную специфику по сравнению с другими рабовладельческими обществами:...
36473. Древний Египет 29 KB
  групп перед властью Моноотраслевая экономика всегда ведет к жесткой политической системе с одним центром силы Главное достижение появление профессиональной армии Межгосударственная дипломатия появление письменных договоров мир на вечные времена Единое централизованное государство главное в политике Духовная жизнь Агрокультурный календарь Развитие государства и налоговой базы обеспечение финансовой системы государства а затем и бюрократической появление письменности Наука эмпирическая путем наблюдения теоретическая...
36474. Древне-китайская цивилизация 28 KB
  иерархии Прядение и ткачество Более крупные поселения Оседлое мотыжное земледелие Специализация районов Внедрение оружий из металла Рыболовство и скотоводство Массовое производство керамики гончарный круг Жреческая культура Особенность существовала в рамках неолита экономика отдельных поселений так и не стала централизованной на отдельной отрасли зачатки полиотраслевой экономики Рубеж перехода образование протогосударства появление города Шан Шелк Тутовое дерево Строительство дамб Развитие экономических...
36475. Неолитическая цивилизация 51.5 KB
  лесов быстро исчерпались Саванны нет земледелия переселение в субтропики Неолитическая катастрофа выжило 1000 чел Начало новой ц.
36476. Древняя Персия 27 KB
  За помощь в осуществлении контроля над обществом им предоставлялась наибольшая политическая самостоятельность Частный интерес работает на общественный Внешняя политика Восточное побережье Эгейского моря Греция колонии господство над торговлей в средиземном море Внешняя политика обусловлена экономической структурой: цель экономически важные регионы.