32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

11 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70818. Психологические характеристики удовлетворенности браком в зависимости от стажа семейной жизни 778 KB
  В психологии значительная часть исследований посвящена изучению семьи и внутрисупружеских отношений. Изучение семьи и брака приходится на период до середины 90-х годов XX века. Характерен интерес к проблеме сходства и различия супругов в плане личностных характеристик...
70819. Разработка предложений по совершенствованию методики оценки кредитоспособности физических лиц в ТКС Банк (ЗАО) 108.27 KB
  В мировой практике развитие экономики неразрывно связано с кредитом, который в свою очередь в различных формах проникает во все сферы хозяйственной жизни. Активная работа коммерческих банков в области кредитования является непременным условием успешной конкуренции этих учреждений...
70820. Учет заработной платы в филиале ОГУ «Центр социальных выплат населению г. Галича и Галичского района: состояние и совершенствование 151.38 KB
  Актуальность выбранной темы исследования объясняется зависимостью величины заработной платы от уровня жизни населения любой страны. Для подавляющего большинства людей заработная плата является основным источником дохода.
70821. Управление дебиторской задолженностью (на примере ЗАО «Страховая группа «Спасские ворота») 1.17 MB
  Научная разработанность исследования заключается в разработке научно обоснованных теоретических подходов, принципов по управлению дебиторской задолженностью, а также практических рекомендаций и методических положений по совершенствованию этого процесса...
70822. Измерения активного сопротивления 564.5 KB
  Получение навыков измерения активного сопротивления. Ознакомление с методами измерения активного сопротивления. Ознакомьтесь с принципами организации измерения активного сопротивления косвенным методом.
70823. УПРОЩЕННАЯ ПРОЦЕДУРА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ 401 KB
  Ознакомление с упрощенной процедурой обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями. Знакомство с методами планирования количества наблюдений получение навыков обработки результатов наблюдений и оценивания погрешностей результатов измерений.
70824. Исследование модели шинной ЛВС со случайным доступом 134.5 KB
  Исследовать особенность построения и функционирования шинной ЛВС со случайным методом доступа и определение основных характеристик сети. В результате выполнения лабораторной работы получены знания по структуре, форматам кадров и протоколам физического и канального уровней...
70825. Изучение параметров сигнала с помощью программы SpectrLAB 4.08 MB
  Записать с помощью предоставленного микрофона звуковой сигнал определенной длительности. Изучить его параметры с помощью программы SpectraLAB v4.32.8. Выполнение задания: Исходный сигнал записан в звуковом формате wav, со следующими параметрами: Длительность: 5.28 с...