32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

12 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20405. УГОЛОВНЫЙ ПРОЦЕСС США (досудебные стадии) 840.5 KB
  Пешков УГОЛОВНЫЙ ПРОЦЕСС США досудебные стадии УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва ЗАО Бизнесшкола ИнтелСинтез 1998 махов В. У26 Уголовный процесс США досудебные стадии. Через структуру досудебных стадий уголовного процесса США авторы рассматривают в книге проблемы защиты конституционных прав личности механизм действия ареста и обыска правовой статус и полномочия государственного обвинителя прокурора электронное наблюдение и прослушивание институт сделки о признании вины в уголовном процессе США. На большом фактическом материале проведен...
20406. Вызовы и угрозы ОДКБ 57 KB
  Выявить вызовы и угрозы, с которыми сталкивается ОДКБ на современном этапе своего развития. О нестройности политических действий ОДКБ, которые должны были бы быть совместными (в названии ясно фигурирует «о коллективной…») и взаимосогласованными, говорят много примеров
20407. Международное частное право и нотариальная деятельность 1.66 MB
  Вопервых это особенности правоприменительного процесса в котором особое содержание приобретают такие его традиционные стадии как квалификация материального правоотношения выбор применимых норм права и собственно их применение гл. В этом смысле деятельность нотариуса при столкновении с правовой ситуацией имеющей связь с иностранным правопорядком включает несколько стадий: ┌───────────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ Квалификация правовой ситуации как включающий иностранный элемент │...
20408. УГОЛОВНО-ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРАВО 324 KB
  Медведев УГОЛОВНОИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРАВО Уфа 2001 Контрольный листок сроков возврата Книга должна быть возвращена не позже указанного здесь срока кол. пред выдяч МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УГОЛОВНОИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРАВО Учебное пособие в схемах и определениях Медведев Ю. Уголовноисполнительное право: Учебное пособие в схемах и определениях Изде Башкир унта. ISBN 5747705075 С учетом последних изменений и дополнений законодательства в учебном пособии поновому рассматриваются...
20409. УГОЛОВНЫЙ ПРОЦЕСС. Консультации образцы документов судебная практика 3.9 MB
  Серия Справочник адвоката ISBN 5840100099 В справочнике подробно рассмотрены особенности работы адвоката начиная с составления необходимых документов в стадии доследственной проверки заявления и заканчивая подачей жалобы о принесении протеста в порядке надзора а также ведения дела в Международном суде по правам человека. Не случайно уголовные дела прекращаются по различным основаниям как говорят следователи разваливаются чаще всего именно на стадии предварительного следствия а не в судебной инстанции хотя казалось бы все...
20410. Складання процесуальних актів у кримінальних справах 974 KB
  БУРЛАКОВ заслужений юрист України НАУКОВИЙ РЕЦЕНЗЕНТ: Г.Михайленко 1996 Юрінком редакція Бюлетеня законодавства і юридичної практики України 1996 ПЕРЕДМОВА Українською державою приділяється велика увага підготовці висококваліфікованих спеціалістів для державного господарського і соціальнокультурного будівництва які мають володіти ґрунтовними теоретичними знаннями і практичним досвідом. Так КПК України' передбачає складання понад 130 різних постанов 80 ухвал 40 протоколів і т. Даний посібник підготовлений на основі...
20411. Складання процесуальних актів у кримінальних справах. Навчальний посібник 1.12 MB
  ПК України1 передбачає складання понад 130 різних постанов 80 ухвал 40 протоколів і т. Даний посібник підготовлено на основі кримінальнопроцесуального законодавства України містить теоретичні і методичні розробки а також зразки кримінальнопроцесуальних документів які торкаються всіх стадій кримінального судочинства. Він написаний з врахуванням вимог КПК і КК Украї Надалі мається на увазі КПК України якщо не зазначено інше. Це ускладнює використання зразків документів які в них містяться рекомендацій щодо їх складання органами...
20412. КРИМІНАЛЬНИЙ ПРОЦЕС: Україна, ФРН, Франція, Англія, США 2.42 MB
  УКРАЇНА 126 Порушення кримінальної справи 126 Основні положення досудового розслідування . УКРАЇНА 181 Підсудність 181 Попередній розгляд справи суддею 185 Загальні положення судового розгляду 192 Порядок судового розгляду 196 ФЕДЕРАТИВНА РЕСПУБЛІКА НІМЕЧЧИНА . Це сприяє збагаченню їхньої правової культури дає змогу уникнути шаблонності в процесуальному мисленні допомагає краще осмислити можливі шляхи удосконалення судової справи в нашій країні. Розрізняють три історичні форми кримінального процесу: змагальний або...
20413. Систе́ма управле́ния ба́зами да́нных (СУБД) 1.44 MB
  12 13 CASEсредства UML отличное средство моделирования но как уже говорилось выше строить диаграммы на бумаге не всегда удобно хотя бы по причине сложностей с редактированием распространением и т. Эти возможности сочетаются в одном интегрированном решении с поддержкой UML помогающем командно разрабатывать высококачественные системы быстрее и эффективнее. Together предоставляет интерактивные возможности моделирования и поддерживает все виды диаграмм UML включая диаграммы классов прецедентов последовательностей кооперации...