32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

12 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20116. Причины возникновения погрешностей измерительных устройств 27 KB
  Погрешности схемы прибора. Технологические погрешности. Динамические погрешности. Температурные погрешности.
20117. Методы размерного точностного синтеза. 104.5 KB
  Основная задача: выбор номинальных параметров измерительной цепи по критерию min теоретической погрешности. С точки зрения min погрешности существуют 3 категории ИУ: Устройство которые должны иметь min погрешность только при определенном значении входного сигнала. Для них min погрешность это min наклон погрешности Все остальные ИУ у которых при любом значении входного сигнала одинакова неприятна теоретическая погрешность. Min погрешность для них min модуля максимума погрешности.
20118. Погрешности показаний, обусловленные схемой измерительного устройства 34 KB
  устройства: Действительное показание устройства: Погрешность показаний измер. устройства: Функция в общем случае не линейна может быть сложной и только в частном случае линейной. устройства а второй член оставшийся в правой части.
20119. Средства измерения шероховатости поверхности 188.5 KB
  В настоящее время накоплен значительный теоретический и эксплуатационный материалы по связи шероховатости со следующими эксплуатационными показателями: 1 износостойкость при всех видах трения; 2 контактная жесткость; 3 выносливость; 4 прочность посадок с натягом; 5 отражательная способность поверхности; 6 прочность сцепления при склеивании; 7 коррозионная стойкость; 8 лакокрасочные покрытия; 9 точность при измерении. После отражения от поверхности пучок проходит 2 и 10 и попадает на 6. Поэтому оператор через окуляр 7 видит:...
20120. Приборы для измерения резьбовых и зубчатых деталей 57.5 KB
  Рассмотрим наиболее распространённые методы и средства контроля основных параметров однозаходной цилиндрической резьбы. Изза сложности проверки внутренней резьбы в обычных производственных условиях производят её комплексный контроль. Погрешности среднего диаметра резьбы возникают изза действия тех же факторов что и при обработке гладких цилиндрических изделий. Влияние этих факторов в процессе резьбообразования может изменяться = изменяется величина погрешности по длине резьбы.
20121. Классификация средств измерений линейных и угловых величин 24.5 KB
  Средства измерения техническое средство предназначенное для количественной оценеи измеряемых величин длина угол и имеюшее нормированные метрологические свойства. Измерительные приборы средства измерения предназначен ные для выработки сигнала измерительной информации в форме доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. По физическому принципу действия приборы для измерения длин и углов подразделяют на: Механические; Оптико механические; Оптические; Пневматическиеэлектрические; Электронные; Опто электронные. По назначению...
20122. Требования, предъявляемые к приборам для измерения длин и углов 25.5 KB
  К приборам для измерения длин и углов могут предъявляться следующие требования: Точности; Надежности; Экологичность; Техническая эстетика; Безопасности; Безопасность обслуживания наличие устройств заземления блокировок аварийной сигнализации и т. ; Высокая точность измерения одно из основных требований предъявляемых к приборам для измерения длин и углов. Если раньше погрешность измерения в 15 2 считалась нормальной и достаточно удовлетворительной то в настоящее время нередко требуется иметь погрешность не более 02 05 .
20123. Визуальные и регистрирующие отсчетные устройства средств измерений 25.5 KB
  Мера есть средство измерений предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. Измерительный преобразователь это средство измерений предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме удобной для передачи дальнейшего преобразования обработки и или хранения но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем. Отсчетное устройство средства измерений часть элементов средства измерений показывающая значение измеряемой величины или связанных с ней величин.
20124. Штриховые и концевые меры длин и углов 25.5 KB
  Меры являются необходимым средством измерений т. Меры как средства измерений могут изготавливаться различных классов точности которые регламентируются соответствующими ГОСТами и поверочными схемами. Меры подразделяют на однозначные и многозначные.