32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

12 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72884. Экологические проблемы АЭС. Охрана окружающей среды 65.5 KB
  Иллюзия о безопасности ядерной энергетики была разрушена после нескольких больших аварий в Великобритании США и СССР апофеозом которых стала катастрофа на чернобыльской АЭС. При этом в отношении чернобыльского выброса многое остается неизвестным и риск здоровью населения от аварийных...
72885. Экологические проблемы ГЭС и способы их решения 61 KB
  ГЭС выполняют различные функции в общей системе энергообеспечения. ГЭС сокращают потребность в газомазутными топливе использование которого в качестве сырья в других отраслях промышленности химии металлургии дает значительно больший экономический эффект.
72886. Вредные выбросы ТЭС и методы их снижения 62.5 KB
  Методы химической очистки газов от NOХ бывают: окислительные основанные на окислении оксида азота в диоксид с последующим поглощением различными поглотителями; восстановительные основанные на восстановлении оксида азота до азота и кислорода с применением катализаторов...
72887. Экологические проблемы при добыче и переработке твердого топлива 62.5 KB
  Эти прогнозные оценки исходят из экономически извлекаемых запасов угля на самом деле их значительно больше. Прогнозные запасы угля доступного к разработке оцениваются в 25 3 трлн. Если исходить из современной ежегодной мировой добычи угля примерно 3 млрд. тонн то его хватит на 1000 лет...
72888. Радиоактивный газ радон и правила защиты от его воздействия 60 KB
  Радон это инертный тяжелый газ в 75 раз тяжелее воздуха который высвобождается из почвы повсеместно или выделяется из некоторых строительных материалов например гранита пемзы кирпича из красной глины. Продукты распада радона радиоактивные изотопы свинца висмута...
72889. Биологическое действие продуктов радиоактивности. Нормирование ионизирующих излучений и способы защиты от них 68 KB
  Степень биологического влияния ионизирующего излучения зависит от поглощения живой тканью энергии и ионизации молекул которая возникает при этом. Под влиянием ионизирующего излучения в организме нарушаются функции кровотворних органов растет хрупкость и проницаемость сосудов...
72890. Экспозиционная доза. Поглощенная доза. Предельно допустимая доза. Эквивалентная доза 63.5 KB
  Экспозиционная доза.Основная характеристика взаимодействия ионизирующего излучения и среды — это ионизационный эффект. В начальный период развития радиационной дозиметрии чаще всего приходилось иметь дело с рентгеновским излучением, распространявшимся в воздухе.
72891. Радиоактивное загрязнение окружающей среды. Виды ионизирующих излучений. Единицы измерения 63 KB
  Особое место среди загрязняющих окружающую среду агентов занимают радиоактивные вещества. Внимание к нему сильно возросло после аварии на Чернобыльской АЭС в 1986 г. и ряда инцидентов на других гражданских и военных объектах с ядерным топливом.
72892. Источники инфракрасного (ИК) излучения. Тепловые загрязнения и способы борьбы с ними 66 KB
  Помимо биологических существуют также физические и химические способы очистки выбросов в атмосферу. Для этого используют прогонку через пылеуловитель действующий по принципу мокрой очистки или применяют распыление воды на мелкие капли в так называемых скруберах...