32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

12 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43651. Зона технического обслуживания 1 ремонтно-механических мастерских дорожного ремонтно-строительного управления 151.8 KB
  Техническая характеристика машин табличная форма 2. Фактическое число часов работы машин за год 2. Корректирование трудоемкости выполнения ТО и Р машин 2. Под организацией производственной структуры системы ТО и ремонта машин понимается состав и взаимоподчиненность подразделений обеспечивающих техническую готовность машин в требуемой комплектации и в сроки заданные строительными и другими организациями.
43652. Разработка интенсивной технологии возделывания сахарной свеклы в условия КСУП «Коленское» Житковичского района Гомельской области 963.62 KB
  Важная роль в решении зернофуражной проблемы в Белоруссии, республиках Прибалтики, Нечерноземной зоны РФ, лесостепи Украины и других районах принадлежит яровому ячменю, как одной из наиболее урожайных зерновых культур.
43653. Геологические данные месторождения, его структуру и физико-химические свойства 314.92 KB
  Одной из важных задач этой проблемы является повышение фондоотдачи основных промышленнопроизводственных фондов основную долю которых в нефтяной промышленности составляют скважины: добывающие и нагнетательные. Скважина обеспечивает связь недр с земной поверхностью служит каналом доступа человека к пласту. Нормальная работа добывающих или нагнетательных скважин нарушается по различным причинам что приводит либо к полному прекращению работы скважин либо к существенному сокращению ее дебита особенно по нефти. Причины прекращения или снижения...
43654. Предложения по повышению экономической эффективности технологий управления персоналом Арт-кафе «Галерея» и оценка их эффективности 1.5 MB
  Теоретические аспекты технологий управления персоналом в ресторанно гостиничном бизнесе.Сущность технологий управления предприятиями 7 1. Особенности современных технологий управления персоналом на предприятиях ресторанно гостиничного бизнеса 22 ГЛАВА 2. Анализ технологий управления персоналом Арткафе Галерея.
43655. Сквер в ст.Старокорсунской 3.3 MB
  Назначение скверов может быть различным. Сквер, создаваемый на площадках общегородского или районного значения, а также перед отдельными крупными общественными зданиями, предназначен главным образом для кратковременного отдыха граждан.
43656. Повышение качества наплавляемой поверхности за счет повышения износостойкости применением электродуговых процессов 2.35 MB
  После этого был произведен патентный поиск для того, чтобы найти устройство реализации процесса, по которому будет разрабатываться конструкция нового оборудования для наплавки, позволяющее наиболее точно выполнить поставленную цель. Из всех найденных аналогов устройств, был выбран прототип
43657. Расчет перекрытия и стальной балки 1.03 MB
  Нагрузка на балки передаётся через стальной плоский настил. Пролёт главной балки 12 м шаг главных балок 7 м.1 Расчёт нагрузки на балки настила Нормативная нагрузка: ; 0305 кН м предварительный вес балки настила; кН м. 2 Проверяем прочность балки по касательным напряжениям: ; Rs расчётное сопротивление на срез; ; кН см2; d = 6 мм = 06 см толщина стенки двутавра; h = 270 мм = 27 см высота двутавра; ; 344 кН см2 1463 кН см2.
43659. Влияние сезонных условий на надёжность электрооборудования автомобилей 1.92 MB
  Тема дипломного проекта Влияние сезонных условий на надёжность электрооборудования автомобилей. Целью дипломного проекта является установление закономерностей формирования потока отказов электрооборудования автомобилей с учетом влияния сезонных условий эксплуатации и совершенствование на этой основе методик планирования потребности в ресурсах автотранспортных предприятий. В ней рассмотрены особенности эксплуатации электрооборудования определена его роль в поддержании работоспособности современных автомобилей...