32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

13 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14170. Анализ рентабельности производства и разработка путей ее повышения на предприятии на примере ЧУП Цветлит 440.5 KB
  Реферат Тема дипломной работы Анализ рентабельности производства и разработка путей ее повышения на предприятии на примере ЧУП Цветлит. Объём работы 72с. Работа содержит 4 рисунка 12 таблиц 5 диаграмм и приложения. В работе использовано 50 источников литературы. ...
14171. Анлиз и аудит дебиторской и кредиторской задолженности 772.5 KB
  Цель дипломной работы - разработать рекомендации по управлению расчетами с дебиторами и кредиторами для повышения платежеспособности предприятия
14172. Аудит и анализ бухгалтерской отчетности 620 KB
  Содержание Введение Становление рыночных отношений в России когда хозяйствующим субъектам предоставлена полная юридическая экономическая и предпринимательская самостоятельность требует адекватного развития рыночных механизмо
14173. Валеология. Некоторые аспекты истории и перспективы развития 437.5 KB
  Биологии развития – от эмбрионального развития до рождения и смерти. Генетика – законы и механизмы наследственности и изменчивости. Ксенобиология – изучение разумной жизни в космосе.
14174. Государственная поддержка малого бизнеса в Алтайском крае 2010 г 290.5 KB
  СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. Теоретические аспекты государственного регулирования развития малого предпринимательства 1.1 Малое предпринимательство: сущность и содержание 1.2 Основные проблемы и факторы сдерживающие развитие малого предпринимательства в Росси
14175. Дознание как форма предварительного расследования в уголовном процессе 202.88 KB
  Оглавление Введение 1. Обзор и анализ нормативноправовых актов и литературы по становлению и развитию дознания в уголовном процессе России 1.1 Историкоправовые аспекты становления и развития института дознания 1.2 Становлени
14176. Законодательная власть в зеркале СМИ (на примере ведущих российских изданий) 515.5 KB
  Цель нашей дипломной работы – проанализировать, насколько полно и объективно ведущие российские издания освещают как саму деятельность органов законодательной власти, так и новые законы, законопроекты
14177. Маркетинг предприятий розничной торговли ТОО «Капан» ВКО г. Аягоза 273.5 KB
  Дипломная работа на тему: Маркетинг предприятий розничной торговли ТОО Капан ВКО г. Аягоза Студент: Капанов Б. К. Научный руководитель: Темиргалиева Ф. Э. Содержание Введение Глава 1. Маркетинговый анализ лекарственных препаратов на фармацевтическ...
14178. Анализ методики и организации учета и анализа товарооборота в розничной торговле на примере ООО Торгового дома «Агат» 578.5 KB
  Целью данной дипломной работы является изучение существующей методики и организации учета и анализа товарооборота в розничной торговле на примере ООО Торгового дома «Агат».