32441

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Лекция

Математика и математический анализ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений случайные отклонения от среднего неизбежные в каждом отдельном случае в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются. Для доказательства закона больших чисел нам потребуется Лемма...

Русский

2013-09-04

83 KB

12 чел.

Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где  – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство.

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(Xk) и  существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.  

Доказательство.  Т.к. X1X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При  правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему.

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых i и j),  то для любого  > 0 при

     (теорема Маркова) .

Пример 4.  Петербургская  игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,…  .  

Cредний выигрыш в k-ой партии  и дисперсия выигрыша в k-ой партии  конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно  замечанию к теореме 2,  при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,

 

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются pi, i = 1, 2,..., n, то при  частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей  pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых  комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K

P(X = k)

Nk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

41

34

16

8

0

1

0

0

0

0

                                                                                               

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

35

PAGE  35


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46372. Дневник-отчет о результатах производственной практики 245.5 KB
  Обучать практической ориентировке на себе; – активизировать зрительноосязательное обследование ребенком своего тела учить рассматривать себя другого ребенка взрослого с соответствующим комментарием увиденного. Посетил занятий а тифлопедагога Дата Форма Тема ФИО Тифлопедагога Краткий анализ Подпись преподавателя 1 2 3 4 5 6 Группое Занятие по СБО Питание В ходе занятий решались следующие цели и задачи: – познакомить детей с разновидностями хлебных изделий; – показать способ приготовления теста вместе с детьми изготовить фигурное...
46373. Основы глобалистики. Учебное пособие 822 KB
  Философия техники и философия человека ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА И МЕСТООБИТАНИЕ ЧЕЛОВЕКА Гомеостатическая деятельность человека При этом конечной целью глобалистики является не только судьба человечества но и Человека.
46374. ДЕЛОВОЕ ОБЩЕНИЕ 322.5 KB
  Понятие общения его типология. Характеристика делового общения Понятие общения. Типология общения. Характеристика делового общения: сущность особенности роль в современном бизнесе.
46375. Управленческий учет. Краткий конспект лекций 944.5 KB
  Введение Цель и сущность управленческого учета Классификация и поведение затрат Системы и методы калькулирования затрат Анализ взаимосвязи затрат объема деятельности и прибыли Анализ релевантной информации для принятия управленческих решений Анализ для принятия решений относительно долгосрочных инвестиций 84 7 Бюджетное планирование и контроль 95 8 Учет по центрам ответственности и оценка их деятельности 108 Литература Процесс управления предусматривает своевременное...
46376. ЛЕКЦИИ ПО МАКРОЭКОНОМИКЕ 2.67 MB
  Критериями являются особенности обслуживания того или иного вида производства. Экономическая свобода – это свобода предпринимательской деятельности наличие конкуренции свобода перелива капитала и экономической информации передвижение трудовых ресурсов разнообразие технологических способов ведения производства. Характеризуется тем что вопросы производства расширение ресурсов решаются единолично государством. Общество получает выгоду от производства благ от государства.
46377. Опыт и эффективность перехода ЖКХ на инновационные формы управления 518.5 KB
  Рыбальченко опыт и эффективность перехода жкх на инновационные формы управления Учебное пособие Москва2008 Спектор В. – экономист соискатель кафедры экономики и инвестирования ГАСИС Опыт и эффективность перехода ЖКХ на инновационные формы управления. В учебном пособии проанализированы основные факторы влияние которых необходимо учитывать при разработке предложений по применению в ЖКХ новых форм управления жилищным фондом и объектами коммунальной инфраструктуры. Дана оценка эффективности перехода на новые формы управления и пути снижения...
46378. Инновационные принципы совершенствования управления в жилищно-коммунальном хозяйстве. Учебное пособие 387 KB
  Рыбальченко инновационные принципы совершенствования управления в жилищно-коммунальном хозяйстве Учебное пособие Москва2008 Спектор В. экономист соискатель кафедры экономики и инвестирования ГАСИС Инновационные принципы совершенствования управления в жилищно-коммунальном хозяйстве. В учебном пособии раскрываются объективные причины необходимости совершенствования системы управления ЖКХ и сформулированы методические основы инновационного подхода к этому процессу в рамках реформирования отрасли. Реформирование ЖКХ на основе инновационных схем...
46379. Выбор электродвигателя и кинематические расчеты 432 KB
  Выбираем электродвигатель 4А160S6 Рдв = 11 кВт nдв 1000 мин 1 Sдв=27 номинальная частота вращения двигателя nдв = 973 мин 1 Передаточное отношение где ωдв угловая скорость двигателя рад с ωб – угловая скорость барабана рад с примем = 5 тогда частота вращения входного быстроходного вала редуктора 973 1 10184 частота вращения выходного тихоходного вала редуктора Определение вращающих моментов На валу шестерни Тш На валу колеса Тк Режим работы передачи Определяем наработку где С число вхождений в...
46380. Исследование резонансных явлений 683 KB
  Определение параметров реальной катушки индуктивности. Электрическая схема экспериментального определения параметров реальной катушки индуктивности. Измеряя напряжение на Uдоб на добавочном резисторе и Uк на катушке индуктивности Rk Xk произвести с помощью цифрового вольтметра Vц попеременно включая его к зажимам добавочного резистора и катушки индуктивности. Для вычисления параметров реальной катушки индуктивности необходимо воспользоваться данными измерений а также следующими формулами: Активное сопротивление всей цепи определяется по...