32442

CЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В случае с монетой это число P = 1 2. Естественно было бы это число Р и принять за вероятность некоторого исхода. Но проблема заключается в том что на практике мы имеем дело не со всей последовательностью частот а только с конечным числом ее членов и следовательно не можем судить о ее пределе. В этом случае вероятность события определяется формулой: P = N N где N число элементарных событий которые приводят к наступлению события .

Русский

2013-09-04

48.5 KB

0 чел.

              Лекция 1

Глава 1. CЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

$1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

     Возникновение теории вероятностей относят к XVII столетию и связывают с азартными играми. Именно азартные игры привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей. Cвоим возникновением  теория вероятностей обязана  идеям таких великих математиков как Бернулли, Лаплас, Гаусс.

    Развитие естествознания в начале XX столетия  потребовало решения новых задач, которые и привели к развитию самостоятельного раздела математики – теории вероятностей.

    Объектом теории вероятностей является случайность или неопределенность, как правило, связанная с нашим незнанием. Например, при подбрасывании монеты невозможно учесть все факторы, которые влияют на ее положение после падения. Поэтому целью теории вероятностей является раскрытие общих закономерностей, которые могли бы в удовлетворительной степени описывать происходящие явления. Если в классическом примере с подбрасыванием монеты результат отдельного эксперимента совершенно непредсказуем, средние результаты обнаруживают устойчивость.

    В XVIII столетии Бюффон провел 4040 подбрасываний монеты, из них герб  выпал 2048 раз (частота выпадения герба 0,508). Пирсон провел 24000 подбрасываний, герб выпал 12012 раз (частота 0,5005). Это явление имеет общий характер. Частота какого-либо исхода  в последовательности повторяемых в одинаковых условиях экспериментов приближается к некоторому числу P. В случае с монетой это число P = 1/2.

     Естественно было бы это число Р и принять  за вероятность некоторого исхода. Но проблема заключается в том, что на практике мы имеем дело не со всей последовательностью частот, а только с конечным числом ее членов и, следовательно, не можем судить о ее пределе.

$2. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ.

   Под случайными событиями в теории вероятностей понимают  события, которые в результате эксперимента могут произойти или не произойти. Cлучайными событиями являются, например, изменения валютных котировок на торгах; сбой в системе WINDOWS во время нашей работы в ней; два туза в прикупе при игре в преферанс и т.д.

   Некоторые случайные события можно разложить на более простые. Например, выпадение четного числа очков на игральной кости включает в себя выпадение “2”,”4”и “6”, в то время как выпадение “2” уже ни на что разложить нельзя.

  •      Неразложимые (или их называют “элементарные”) cобытия относятся к неопределяемым понятиям в математике, как точка или прямая. Можно привести только их свойства:
  •   в результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий;
  •  элементарные события взаимно исключают друг друга, т.е. не могут наступить одновременно в одном эксперименте;
  •  каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить, произошло А или нет.

Элементарные события обычно обозначают  греческой буквой (омега) Их совокупность обозначают (большой буквой омега) и называют пространством элементарных событий (исходов).

     Пусть - пространство элементарных событий некоторого эксперимента. Для любого события A в этом эксперименте можно выделить совокупность тех элементарных исходов, наступление которых влечет за собой наступление А. Совокупность таких элементарных исходов можно отождествить с событием А. Принадлежность событию А обозначают

A.

     Суммой событий А и В называют событие А + В (или А  В), состоящее из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В.

     Произведением АВ или (А  В) называют событие, состоящее из элементарных исходов, принадлежащих одновременно А и В.

     Разность событий А и В соответствует множеству А – В (или А\В), состоящему из элементарных исходов, принадлежащих А и  не принадлежащих В.

     Все пространство называют достоверным событием, пустое множество - невозможным событием.

     Дополнительным к событию А называют событие Ā =  –  А.

     События А и В называют несовместными, если АВ = .   

$3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

     Пусть пространство   состоит из N элементарных исходов, и пусть все эти исходы равновозможны. В этом случае вероятность события A определяется формулой:

P(A) = N(A)/N,

где N(A) - число элементарных событий, которые приводят к наступлению события A.

Это и есть классическое определение вероятности.

     Пример 1. Через остановку «Студенческая» проходят маршруты автобусов NN 1, 7, 10, 12, 19. До остановки “Дом культуры” можно доехать только автобусами NN 1, 7,10 и 19. Считая равновозможными приходы автобусов любого маршрута на остановку «Студенческая», определить вероятность того, что на первом подошедшем автобусе можно будет доехать до Дома культуры.

Пространство состоит из 5 элементарных исходов, а благоприятных для нас только 4.

Следовательно, вероятность интересующего нас события 4/5. 

     Классическое определение вероятности нельзя применить, если число исходов в пространстве не ограничено.

     Применение классического определения также является некорректным, если элементарные исходы не являются равновозможными.

     Пример 2. Парадокс де Мере.

Француз де Мере многократно наблюдал за игрой в кости. Он заметил, что при одновременном подбрасывании трех костей сумма очков, равная 11, выпадает чаще, чем сумма очков, равная 12. С его же точки зрения эти события были  равновероятными, т.к. сумму “11” можно  получить шестью способами: 6-4-1; 6-3-2; 5-5-1;5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 и сумму “12” - тоже шестью способами: 6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 4-4-4;3-5-4.

     Проблему де Мере разрешил знаменитый Паскаль, который заметил, что указанные комбинации не являются равновероятными. Например, комбинация 6-4-1 выпадает, если наступают следующие элементарные события: (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6), а комбинацию 4-4-4 дает только один элементарный исход.

     Как следует правильно посчитать вероятности в данном случае? Надо рассмотреть пространство элементарных событий  = {a,c}, где a, b, c - число очков на первой, второй и третьей костях. Всего элементарных событий N = 6 * 6 * 6 = 216. Из них к событию A (сумма равна “11”) приводят 27 элементарных исходов, а событию к B (сумма равна ”12”) – только 25. Это и объясняет подмеченную де Мере закономерность. 

$4. НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ФОРМУЛЫ.

  Как правило, подсчет вероятностей по классической формуле сводится к решению чисто комбинаторных задач. Приведем наиболее часто используемые комбинаторные формулы.

  1.  Число перестановок. Пусть n элементов а1, a2 ,…,аn надо разместить по n позициям.

Сколькими способами это можно сделать? В первую позицию можно поместить любой из этих элементов (n различных вариантов), во вторую - любой из (n – 1) - ого оставшегося, для заполнения третьей позиции существует только (n – 2) варианта, и т.д. Общее число различных перестановок равняется
n*(n – 1)*(n – 2)*…*1 = n!

  1.  Число размещений. Пусть теперь m элементов из n (m < n) надо разместить по m позициям. 

Такие комбинации называются размещениями. Общее число размещений из n элементов по m обозначается     и равняется n * (n – 1)*(n – 2)*…*(n –m + 1),
т. к. существует
n вариантов разместить элемент в первой позиции, (n – 1)- во второй,…, (n – + 1) элемент- в m-ой позиции Итак,

3.   Число сочетаний. Рассмотрим выборки из n элементов по m (m < n), отличающиеся только составом, без учета порядка, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями. А поскольку м элементов можно переставлять m! способами, общее число сочетаний Cnm будет в m! раз меньше, чем общее число размещений.

  1.  Число размещений с повторениям. Будем теперь, выбирая элемент из n элементов, запоминать его номер, а элемент возвращать обратно. Комбинации, которые могут получиться при таком  m-кратном выборе, называются размещениями с повторениями. Общее число размещений с повторениями обозначается  Ãnm и, очевидно,  равняется  nm .

5.   Число сочетаний с повторениями. Выборку из n элементов по m с возвращением можно производить и без учета порядка, в котором элементы выбираются. Общее число получающихся при таком выборе сочетаний с повторениями Čnm = Cn+m-1m .    

Докажем эту формулу по индукции. При m = 2 существуют следующие сочетания с повторениями из n элементов:

(а1,а1),(а1,а2),(а1,а3)……………(а1,аn)                         n сочетаний  

          (а2,а2),(а2,а3)……………(а2,аn)                        (n – 1) cочетание

                     (а3,а3)……………(а3,аn)                        (n – 2) cочетания

………………………………………                         ………………..    

                                                  (аn,аn)                        1 сочетание

Всего cочетаний с повторениями из n элементов по 2:  n + (n  1) + (n 
 2) +…+ 1 = (n + 1)*n/2 = Cn+12.

Предположим, формула Čnk = Cn+k-1k  верна при всех k от 2 до (m – 1), докажем ее для k = m.

При выборе m элементов из n  c возвращением какие-то j позиций из m заняты элементами, которые встречаются первый раз, а m  j позиций - сочетаниями с повторениями из этих j элементов (по предположению индукции их
Čjm - j = Cm  1m-j ) . Следовательно,

Čnm = Σj = 1m Cnj * C- 1j.

Ecли рассмотреть сочетания без повторения из m – 1 элемента по m, то их столько же: на j позиций выбираются элементы из n, а на (m – j) позиций -из (m – 1), т.е.

Cn + m – 1m = Σj = 1m Cnj * Cm – 1m – j.

Поэтому,   Čnm Cnm – 1m. 

Пример 3. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды сдаются по 10 трем игрокам, а две карты кладутся в “прикуп”. Какова вероятность, что в прикупе окажутся два туза?

Число различных комбинаций из двух карт, которые могут оказаться в прикупе, равно числу сочетаний С322 = 32! / (2! * 30!) = 496. Эти сочетания и образуют пространство элементарных событий . В карточной колоде 4 туза. Число элементарных событий, дающих два туза, равно числу сочетаний С42 = 4!/(2!*2!)=6. Вероятность двух тузов в прикупе Р(А) = 6/496 = 0,012…

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45866. Инструменты для нарезания резьбы. Формообразующие движения. Особенности эксплуатации и обеспечение точности нарезаемой резьбы 103.44 KB
  Инструменты для нарезания резьбы. Особенности эксплуатации и обеспечение точности нарезаемой резьбы. Резьбы на деталях получают на сверлильных резьбонарезных и токарных станках а также накатыванием т. Инструментом для накатывания резьбы служат накатные плашки накатные ролики и накатные головки.
45867. Инструменты для нарезания зубьев цилиндрических колес. Методы их работы. От каких факторов зависит степень точности нарезаемого зубчатого венца 96.1 KB
  Относятся 1дисковые пальцевые и зуборезные фрезы зубодолбежные головки идрСхема фрезерия зуб. Вращение фрезы вокруг своей оси. Пальцевые фрезы целесообразно использовать при обр. фрезы и загат.
45868. Инструменты для повышения степени точности зубчатых колес, их конструкция и принцип работы 61.73 KB
  Если вращать шевер а обрабатываемому колесу увлекаемому им во вращение сообщать поступательное движение то режущие кромки канавок шевера будут снимать тонкие толщиной менее 001 мм волосообразные стружки с поверхности зубьев. Шевингование применяют для тонкой обработки зубьев у незакаленных колес или закаленных до твердости HRC = 35. Схема шлифования зубьев: а методом копирования; б методом обкатки Закаленные до более высокой твердости поверхности зубьев могут быть отделаны шлифованием. Как и при зубонарезании шлифование зубьев...
45869. Абразивные материалы и техническая характеристика абразивных инструментов. Особенности режима шлифования 42.39 KB
  Особенности режима шлифования. АБРАЗИ́ВНЫЕ МАТЕРИА́ЛЫ вещества повышенной твердости применяемые в массивном или измельченном состоянии для механической обработки шлифования резания истирания заточки полирования и т. Плоские круги прямого профиля ПП применяют для круглого наружного внутреннего и бесцентрового шлифования для плоского шлифования периферией круга и для заточки инструментов. Плоские круги с двухсторонним коническим профилем 2П применяют для вышлифовывания зубьев шестерен и шлифования резьбы.
45870. Особенности конструкций инструментов для автоматизированного производства 12.54 KB
  Особенности конструкций инструментов для автоматизированного производства. К этому инстрту предъявся повышенные требования е его качеству к точности размеровгеометрой формы качеству заточки. инструм. инстров с мехим креплением многогранных неперетаых пластинок из тверд.
45871. Литьё в кокиль (технология) 172.5 KB
  Литьё в кокиль { технология }. сплавов на долю кокильного литья приходится 40. Основной особенностью кокильного литья явл. При литье чугунных деталей в кокиль возможно получении отбелённого слоя что требует последующей термообработки.
45872. Автоматизация и механизация литейного производства – автоматическая линия литья в ПГФ 1.53 MB
  Автоматизация и механизация литейного производства автоматическая линия литья в ПГФ. Автоматич. процесса и соединённого автоматич. траспортом а также снабжённого автоматич.
45873. Основные понятия заготовок 36 KB
  Прогрессивные заготовки должны отвечать след.Формы и размеры заготовки должны быть так приближены формы и размерам детали. Технологический процесс получения заготовок заключается в последовательном изменении формы размеров шероховатости поверхности а также свойств исходной заготовки и её материала. процесса получения заготовки.
45874. Виды механической обработки материалов резанием 77.21 KB
  Виды обработки резанием Согласно действующему в нашей стране стандарту ГОСТ 25761 83 все виды механической обработки металлов и материалов резанием подразделяются на лезвийную и абразивную обработку. К лезвийной обработке относятся все виды обработки резанием которые осуществляются лезвийным инструментом: точение растачивание долбление сверление зенкерование развертывание фрезерование протягивание. Фрезерование применяют для обработки плоскостей пазов с прямолинейным и винтовым направлением шлицев тел вращения разрезки...