32442

CЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В случае с монетой это число P = 1 2. Естественно было бы это число Р и принять за вероятность некоторого исхода. Но проблема заключается в том что на практике мы имеем дело не со всей последовательностью частот а только с конечным числом ее членов и следовательно не можем судить о ее пределе. В этом случае вероятность события определяется формулой: P = N N где N число элементарных событий которые приводят к наступлению события .

Русский

2013-09-04

48.5 KB

0 чел.

              Лекция 1

Глава 1. CЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

$1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

     Возникновение теории вероятностей относят к XVII столетию и связывают с азартными играми. Именно азартные игры привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей. Cвоим возникновением  теория вероятностей обязана  идеям таких великих математиков как Бернулли, Лаплас, Гаусс.

    Развитие естествознания в начале XX столетия  потребовало решения новых задач, которые и привели к развитию самостоятельного раздела математики – теории вероятностей.

    Объектом теории вероятностей является случайность или неопределенность, как правило, связанная с нашим незнанием. Например, при подбрасывании монеты невозможно учесть все факторы, которые влияют на ее положение после падения. Поэтому целью теории вероятностей является раскрытие общих закономерностей, которые могли бы в удовлетворительной степени описывать происходящие явления. Если в классическом примере с подбрасыванием монеты результат отдельного эксперимента совершенно непредсказуем, средние результаты обнаруживают устойчивость.

    В XVIII столетии Бюффон провел 4040 подбрасываний монеты, из них герб  выпал 2048 раз (частота выпадения герба 0,508). Пирсон провел 24000 подбрасываний, герб выпал 12012 раз (частота 0,5005). Это явление имеет общий характер. Частота какого-либо исхода  в последовательности повторяемых в одинаковых условиях экспериментов приближается к некоторому числу P. В случае с монетой это число P = 1/2.

     Естественно было бы это число Р и принять  за вероятность некоторого исхода. Но проблема заключается в том, что на практике мы имеем дело не со всей последовательностью частот, а только с конечным числом ее членов и, следовательно, не можем судить о ее пределе.

$2. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ.

   Под случайными событиями в теории вероятностей понимают  события, которые в результате эксперимента могут произойти или не произойти. Cлучайными событиями являются, например, изменения валютных котировок на торгах; сбой в системе WINDOWS во время нашей работы в ней; два туза в прикупе при игре в преферанс и т.д.

   Некоторые случайные события можно разложить на более простые. Например, выпадение четного числа очков на игральной кости включает в себя выпадение “2”,”4”и “6”, в то время как выпадение “2” уже ни на что разложить нельзя.

  •      Неразложимые (или их называют “элементарные”) cобытия относятся к неопределяемым понятиям в математике, как точка или прямая. Можно привести только их свойства:
  •   в результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий;
  •  элементарные события взаимно исключают друг друга, т.е. не могут наступить одновременно в одном эксперименте;
  •  каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить, произошло А или нет.

Элементарные события обычно обозначают  греческой буквой (омега) Их совокупность обозначают (большой буквой омега) и называют пространством элементарных событий (исходов).

     Пусть - пространство элементарных событий некоторого эксперимента. Для любого события A в этом эксперименте можно выделить совокупность тех элементарных исходов, наступление которых влечет за собой наступление А. Совокупность таких элементарных исходов можно отождествить с событием А. Принадлежность событию А обозначают

A.

     Суммой событий А и В называют событие А + В (или А  В), состоящее из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В.

     Произведением АВ или (А  В) называют событие, состоящее из элементарных исходов, принадлежащих одновременно А и В.

     Разность событий А и В соответствует множеству А – В (или А\В), состоящему из элементарных исходов, принадлежащих А и  не принадлежащих В.

     Все пространство называют достоверным событием, пустое множество - невозможным событием.

     Дополнительным к событию А называют событие Ā =  –  А.

     События А и В называют несовместными, если АВ = .   

$3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

     Пусть пространство   состоит из N элементарных исходов, и пусть все эти исходы равновозможны. В этом случае вероятность события A определяется формулой:

P(A) = N(A)/N,

где N(A) - число элементарных событий, которые приводят к наступлению события A.

Это и есть классическое определение вероятности.

     Пример 1. Через остановку «Студенческая» проходят маршруты автобусов NN 1, 7, 10, 12, 19. До остановки “Дом культуры” можно доехать только автобусами NN 1, 7,10 и 19. Считая равновозможными приходы автобусов любого маршрута на остановку «Студенческая», определить вероятность того, что на первом подошедшем автобусе можно будет доехать до Дома культуры.

Пространство состоит из 5 элементарных исходов, а благоприятных для нас только 4.

Следовательно, вероятность интересующего нас события 4/5. 

     Классическое определение вероятности нельзя применить, если число исходов в пространстве не ограничено.

     Применение классического определения также является некорректным, если элементарные исходы не являются равновозможными.

     Пример 2. Парадокс де Мере.

Француз де Мере многократно наблюдал за игрой в кости. Он заметил, что при одновременном подбрасывании трех костей сумма очков, равная 11, выпадает чаще, чем сумма очков, равная 12. С его же точки зрения эти события были  равновероятными, т.к. сумму “11” можно  получить шестью способами: 6-4-1; 6-3-2; 5-5-1;5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 и сумму “12” - тоже шестью способами: 6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 4-4-4;3-5-4.

     Проблему де Мере разрешил знаменитый Паскаль, который заметил, что указанные комбинации не являются равновероятными. Например, комбинация 6-4-1 выпадает, если наступают следующие элементарные события: (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6), а комбинацию 4-4-4 дает только один элементарный исход.

     Как следует правильно посчитать вероятности в данном случае? Надо рассмотреть пространство элементарных событий  = {a,c}, где a, b, c - число очков на первой, второй и третьей костях. Всего элементарных событий N = 6 * 6 * 6 = 216. Из них к событию A (сумма равна “11”) приводят 27 элементарных исходов, а событию к B (сумма равна ”12”) – только 25. Это и объясняет подмеченную де Мере закономерность. 

$4. НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ФОРМУЛЫ.

  Как правило, подсчет вероятностей по классической формуле сводится к решению чисто комбинаторных задач. Приведем наиболее часто используемые комбинаторные формулы.

  1.  Число перестановок. Пусть n элементов а1, a2 ,…,аn надо разместить по n позициям.

Сколькими способами это можно сделать? В первую позицию можно поместить любой из этих элементов (n различных вариантов), во вторую - любой из (n – 1) - ого оставшегося, для заполнения третьей позиции существует только (n – 2) варианта, и т.д. Общее число различных перестановок равняется
n*(n – 1)*(n – 2)*…*1 = n!

  1.  Число размещений. Пусть теперь m элементов из n (m < n) надо разместить по m позициям. 

Такие комбинации называются размещениями. Общее число размещений из n элементов по m обозначается     и равняется n * (n – 1)*(n – 2)*…*(n –m + 1),
т. к. существует
n вариантов разместить элемент в первой позиции, (n – 1)- во второй,…, (n – + 1) элемент- в m-ой позиции Итак,

3.   Число сочетаний. Рассмотрим выборки из n элементов по m (m < n), отличающиеся только составом, без учета порядка, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями. А поскольку м элементов можно переставлять m! способами, общее число сочетаний Cnm будет в m! раз меньше, чем общее число размещений.

  1.  Число размещений с повторениям. Будем теперь, выбирая элемент из n элементов, запоминать его номер, а элемент возвращать обратно. Комбинации, которые могут получиться при таком  m-кратном выборе, называются размещениями с повторениями. Общее число размещений с повторениями обозначается  Ãnm и, очевидно,  равняется  nm .

5.   Число сочетаний с повторениями. Выборку из n элементов по m с возвращением можно производить и без учета порядка, в котором элементы выбираются. Общее число получающихся при таком выборе сочетаний с повторениями Čnm = Cn+m-1m .    

Докажем эту формулу по индукции. При m = 2 существуют следующие сочетания с повторениями из n элементов:

(а1,а1),(а1,а2),(а1,а3)……………(а1,аn)                         n сочетаний  

          (а2,а2),(а2,а3)……………(а2,аn)                        (n – 1) cочетание

                     (а3,а3)……………(а3,аn)                        (n – 2) cочетания

………………………………………                         ………………..    

                                                  (аn,аn)                        1 сочетание

Всего cочетаний с повторениями из n элементов по 2:  n + (n  1) + (n 
 2) +…+ 1 = (n + 1)*n/2 = Cn+12.

Предположим, формула Čnk = Cn+k-1k  верна при всех k от 2 до (m – 1), докажем ее для k = m.

При выборе m элементов из n  c возвращением какие-то j позиций из m заняты элементами, которые встречаются первый раз, а m  j позиций - сочетаниями с повторениями из этих j элементов (по предположению индукции их
Čjm - j = Cm  1m-j ) . Следовательно,

Čnm = Σj = 1m Cnj * C- 1j.

Ecли рассмотреть сочетания без повторения из m – 1 элемента по m, то их столько же: на j позиций выбираются элементы из n, а на (m – j) позиций -из (m – 1), т.е.

Cn + m – 1m = Σj = 1m Cnj * Cm – 1m – j.

Поэтому,   Čnm Cnm – 1m. 

Пример 3. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды сдаются по 10 трем игрокам, а две карты кладутся в “прикуп”. Какова вероятность, что в прикупе окажутся два туза?

Число различных комбинаций из двух карт, которые могут оказаться в прикупе, равно числу сочетаний С322 = 32! / (2! * 30!) = 496. Эти сочетания и образуют пространство элементарных событий . В карточной колоде 4 туза. Число элементарных событий, дающих два туза, равно числу сочетаний С42 = 4!/(2!*2!)=6. Вероятность двух тузов в прикупе Р(А) = 6/496 = 0,012…

PAGE  3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20737. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость 101 KB
  Геометрия Вопрос №11 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее непротиворечивость Пусть трехмерное векторное пространство на полем вещественных чисел а непустое множество элементы которого называются точками. Предполагается также что дано множество отображений каждое из которых является отображением вида . Множество называется трехмерным вещественным евклидовым пространством если выполнены следующие аксиомы. Множество является множеством положительноопределенных билинейных форм таких что если то где .
20738. Линейные отображения (операторы). Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение 147 KB
  Матрица линейного оператора. Ядром линейного оператора называется Образом линейного оператора называется Ядро Образ Теорема. Каждый вектор разложим по базису B: Столбцы матрицы линейного оператора представляют собой координатные столбцы образов базисных векторов относительно данного базиса.АBfматрица линейного оператора.
20739. Ранг матрицы 107.5 KB
  Вопрос №11 Ранг матрицы. Столбцевым рангом матрицы называют ранг системы столбцов. Строчечным рангом матрицы называют равный столбцевому для произвольной матрицы. Согласно теореме можно говорить просто о ранге матрицы не уточняя о ранге системы строк или столбцов идет речь.
20741. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений 50.5 KB
  Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 равносильное преобразование. x1xn решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.
20742. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец 128 KB
  Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.
20743. Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства 63.5 KB
  Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...
20744. Числовое поле. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа 95.5 KB
  Поле комплексных чисел. Определение: Кольцо К называется полем если К коммутативное кольцо 0к ≠ 1к Для любого х є К=К {0к} существует х1 є К. хх1 = х1х = 1к любой ненулевой элемент обратим Замечание: В поле любой ненулевой элемент обратим поэтому можно определить операцию деления и частного двух элементов.