32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

9 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79823. Разработка программного обеспечения контроллера камер со сверхмалым временем экспозиции 681 KB
  В данной дипломной работе было разработано программное обеспечение отладочной платы контроллера видеокамер НПК «Видеоскан», реализующее функции начальной загрузки и сборки компонентов ядра операционной системы для обработки изображений в режиме реального времени.
79824. Становление отечественной оперы во II половине XVIII века 279.5 KB
  Западноевропейская опера в России в XVIII веке. Общеевропейские тенденции развития музыкальной культуры итальянская опера в России. Французская опера в России. Становление отечественной оперы во II половине XVIII века. Начало русской оперы. Фомин и его вклад в развитие русского музыкального театра. Историческое значение русской комической оперы. Тематический анализ оперных спектаклей II половины XVIII века...
79827. Стратегия инновационного развития 75 KB
  Таким образом инновационная стратегия это план на весь процесс от исследований через производство и сбыт до использования инновационного продукта. Кроме того ИП представляет собой сложный неопределенный по своему исходу насыщенный неожиданностями на промежуточных участках трудно прогнозируемый процесс инновационная стратегия должна учитывать необходимость подготовки альтернативных планов. Следовательно стратегия означает программу постоянно учитывающую перспективную цель выбор путей и средств ведущих к ее достижению.
79828. ИСТОЧНИКИ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ СМЕШАННОЙ ЭКОНОМИКИ 60.5 KB
  Для реализации инновационного проекта как и любого другого замысла требуются в наличии три основных фактора: люди готовые воплотить замысел в жизнь материальная база средства труда финансовые ресурсы. Поэтому ключевой вопрос реализации инновационного проекта вопрос о финансировании. В рамках такой системы в качестве источников финансирования инновационного проекта можно выделить: собственные средства основателей проекта; государственное бюджетные финансирование; кредитные ресурсы. а Собственные средства авторов проекта...
79829. МИРОВОЙ ОПЫТ И СХЕМЫ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИННОВАЦИЙ 45.5 KB
  Однако общепризнанно что кредитным ресурсам принадлежит ведущая роль в мировой практике финансирования инновационной сферы. в Кредитный союз Кредитный союз объединение нескольких нуждающихся в финансировании фирм создающих общий фонд финансирования и пользующихся им в качестве залога или резерва совместно по очереди. чиновников и часто используется для финансирования в небольших масштабах.
79830. МАЛЫЕ ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 84.5 KB
  Обычно создание венчурной фирмы предполагает наличие трех условий: идеи нововведения предпринимателя готового на основе этой идеи образовать новую фирму и капитала. Поэтому в инновационной деятельности здесь принимают участие не только инновационные фирмы но и компании рискового капитала. В отличие от промышленного и банковского капитала рисковый капитал отличается рядом особенностей. Вкладчики капитала заранее соглашаются на возможность потери средств при неудаче финансовой фирмы в обмен на высокую норму прибыли в случае ее успеха.