32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

9 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40964. Электрические сети 15.55 MB
  Энергетической системой называют совокупность электрических станций, электрических и тепловых сетей и потребителей электрической и тепловой энергии, объединенных между собой и связанных общностью режима.
40965. Фонетика и графика. Гласные звуки в английском языке 896 KB
  Язык существует в сознании его носителей, в памяти тех, кто знает этот язык. Прежде всего, в сознании его “природных” носителей, знающих его с детства. Подумаем, как возникает язык в сознании каждого отдельного человека. Конечно, он не является врожденным, передающимся по наследству, как передаются черты лица, особенности характера, да и вся биологическая организация человека.
40966. Выражения. Значения выражений. 174 KB
  Первичное выражение создания не массива: литерал простое имя выражение в скобках доступ к члену выражение вызова метод доступа к элементу доступ через this доступ к базовому объекту выражение после инкремента выражение после декремента выражение создания объекта выражение создания делегата выражение typeof выражение checked выражение unchecked выражение значения по умолчанию Простые имена Просто имя состоит из идентификатора за которым может следовать список аргументов типа: простое имя: индетификатор список аргументов типанеобязательно...
40967. Суспільство, держава, право 61.5 KB
  Суспільний розвиток: диференціація суспільства ієрархізація князь бояри помісники общинники Поруч існує церковна влада повністю підпорядкована князю флуктуація не замкненість станів принцип флудократичності де є гроші там і влада КР базувалася на таких механізмах спадкування влади: право захоплення влади право за вибором народу за взаємним погодженням між князями розділялися з трони право родинності: право старшинства сходження ліствічне право вотчиності віддавали вотчину. Має право брати на поруки своїх членів. Має право...
40968. Прочность и удлинение трикотажа 168 KB
  Прочность и удлинение клееных нетканых полотен зависит от вида волокнистого материала расположения волокон типа связующего его количества и характера распределения. Большое влияние на характер распределения и величину деформации растяжения материала в одежде оказывают конструктивные особенности одежды расположение швов в ней вид материала и его свойства условия окружающей среды и другие факторы. Растяжение материала в одежде при ее эксплуатации можно определить несколькими методами: непосредственным измерением методом нитки и...
40969. Одноцикловые характеристики при растяжении 469.5 KB
  Составные части полной деформации материалов. Первая половина цикла нагружение соответствует режиму ползучести а вторая режиму уменьшения деформации за счет исчезновения высокоэластической деформации. В качестве входного возбуждения используется изменение деформации в виде широкого импульса а в качестве выходной функции изменение внутреннего усилия в пробе во времени рис. Первая половина цикла соответствует режиму релаксации усилия вторая режиму уменьшения деформации за счет исчезновения высокоэластической деформации.
40970. Основні характеристики систем спеціального зв’язку 116.5 KB
  При розгляді цього питання насамперед необхідно згадати визначення криптографічної системи та системи криптографічного захисту інформації КЗІ оскільки вони є об'єктом дослідження в рамках нашої лекції. Так для фахівця з організації захисту інформації найбільш зручним є нормативноправовий підхід. Криптографічна система – це сукупність засобів КЗІ необхідної ключової нормативної експлуатаційної а також іншої документації у тому числі такої що визначає заходи безпеки використання яких забезпечує належний рівень захищеності...
40971. Обернена матриця. Операція ділення для матриць 201 KB
  Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .
40972. ПРАВОВА ОРГАНІЗАЦІЯ ПРАЦЕВЛАШТУВАННЯ ГРОМАДЯН 86.5 KB
  Поняття зайнятості населення. Поняття зайнятості населення. Основні принципи державної політики зайнятості населення проявляються у забезпеченні рівних можливостей усім громадянам незалежно від походження соціального і майнового стану расової та національної належності статі віку політичних переконань ставлення до релігії в реалізації права на вільний вибір виду діяльності відповідно до здібностей та професійної підготовки з урахуванням особистих інтересів і суспільних потреб; сприянні забезпеченню ефективної зайнятості...