32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

9 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18499. ФІНАНСОВА НАДІЙНІСТЬ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ І СПОСОБИ ЇЇ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ 97.5 KB
  ТЕМА 11 ФІНАНСОВА НАДІЙНІСТЬ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ І СПОСОБИ ЇЇ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ План 1.Поняття про фінансову надійність страхової компанії. 2.Досягнення фінансової надійності страхової компанії. 3.Перестрахувальні операції як фактор фінансової надійності. 4.Кон
18500. ПЛАТОСПРОМОЖНІСТЬ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ І СПОСОБИ ЇЇ ВИЗНАЧЕННЯ 939.5 KB
  ТЕМА 12. ПЛАТОСПРОМОЖНІСТЬ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ І СПОСОБИ ЇЇ ВИЗНАЧЕННЯ План 1.Поняття про платоспроможність страхової компанії. 2.Показники платоспроможності страхових компаній з ризикового страхування та зі страхування життя. 3.Показники платоспроможност
18501. Предмет, мета і види економічного аналізу 164.5 KB
  Тема 1. Предмет мета і види економічного аналізу Аналіз як абстрактнологічний метод пізнання. Сфера економічного аналізу. Роль економічного аналізу в управлінні діяльністю суб’єкта господарювання. Мета зміст та завдання економічного аналізу. Предмет економічног...
18502. Метод економічного аналізу та його основні прийоми 437.5 KB
  Тема 2. Метод економічного аналізу та його основні прийоми Метод економічного аналізу його складові. Методологія методика. Основні категорії економічного аналізу. Характеристика основних принципів економічного аналізу. Класифікація і характеристика п...
18503. Інформаційне забезпечення та організація економічного аналізу 160.5 KB
  Тема 3 Інформаційне забезпечення та організація економічного аналізу Поняття та принципи інформаційного забезпечення економічного аналізу. Класифікація і характеристика найважливіших груп інформації. Вимоги економічного аналізу до використовуваної ним ...
18504. Аналіз виробництва та реалізації продукції 149 KB
  Тема 4. Аналіз виробництва та реалізації продукції Значення завдання джерела даних та система показників аналізу. Аналіз ринку продукції підприємства. Аналіз обсягу випуску продукції. Аналіз випуску продукції за структурою і асортиментом. Аналіз по...
18505. Аналіз стану і використання основних засобів 124.5 KB
  ТЕМА 5. Аналіз стану і використання основних засобів 1. Значення завдання та джерела даних аналізу. 2. Аналіз виробничих потужностей підприємства. 3. Аналіз складу структури технічного стану і руху основних засобів 4. Аналіз узагальнюючих показників ефективності в
18506. Аналіз забезпеченості підприємства матеріальними ресурсами та їх використання 73 KB
  Тема 6 Аналіз забезпеченості підприємства матеріальними ресурсами та їх використання 1. Значення завдання та джерела даних аналізу предметів праці. 2. Загальна оцінка виконання плану матеріальнотехнічного постачання. 3. Аналіз складських запасів матеріальних ресу
18507. Аналіз використання трудових ресурсів 79.5 KB
  Тема 7. Аналіз використання трудових ресурсів Значення завдання та джерела даних аналізу кадрового потенціалу підприємства. Аналіз стану трудових ресурсів і забезпеченості ними підприємства. Аналіз використання робочого часу. Аналіз продуктивності прац