32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

10 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34310. Структура технологической системы производства 25.5 KB
  Структура технологической системы производства. Свойства элементарных технологических процессов распространяются и на технологические системы более высокого иерархического уровня которые образованы совокупностями технологических процессов. Таким образом технологическую систему производства образуют параллельные последовательные и комбинированные системы технологических процессов. Еще одним важным фактором в формировании технологических систем являются технологические связи между элементами системы а также их характер.
34311. Взаимосвязь технологических и организационных структур производства 26 KB
  Взаимосвязь технологических и организационных структур производства. Характер формирования систем технологических процессов а также связей между ними имеет определяющее значение для формирования управляющих воздействий. Поэтому можно четко проследить взаимосвязь технологических и организационных структур производства. Например ремесленный цех с его ярко выраженной параллельной системой технологических процессов на определенном этапе исторического развития видоизменился в мануфактуру с последовательными технологическими процессами.
34312. Специфика развития параллельных и последовательных технологических систем 26 KB
  Перевод слабых составляющих системы на более высокую ступень позволит улучшить характеристики системы так как в ней ликвидируются звенья которые обуславливали в наибольшей степени неудовлетворительное функционирование системы. Таким образом ориентация на два различных типа развития позволит ставить задачу определения предпочтительности одного из них применительно к составляющим элементам параллельной системы. Такое целенаправленное развитие дает больший эффект чем при одновременном развитии всех составляющих изза различной готовности...
34313. Основные закономерности и направления развития систем технологических процессов 23.5 KB
  При этом важной особенностью развития технологических систем является их тип параллельной или последовательной связи элементов системы. Технологические системы в общем случае развиваются как и технологические процессы эволюционным и революционным путем. Однако системы технологических процессов неоднородны по восприятию рационалистического и эвристического развития. Как и в случае развития технологических процессов необходимым и достаточным условием революционного развития является совершенствование рабочих процессов хотя бы в...
34314. Реальный и потенциальный уровень технологии системы 25.5 KB
  Реальный и потенциальный уровень технологии системы. Реальная технологическая система характеризуется не только величиной уровня технологии который соответствует конкретным пропорциям между производительностью и затратами прошлого труда то есть реальным уровнем технологии но и максимальным потенциальным уровнем технологии который может быть достигнут в данной технологической системе при неизменных уровнях технологии ее составляющих. Потенциальный уровень технологии является верхней границей достижение которой будет означать что...
34315. Природное сырье и его характеристика 24.5 KB
  Природное сырье и его характеристика Сырьем наз. По агрегатному состоянию сырье делится на твердое жидкое и газообразное. По составу сырье делят на органическое и неорганическое. По происхождению различают сырье минеральное растительное и животное.
34316. Пути рационального использования природного сырья 22.5 KB
  Пути рационального использования природного сырья Известно что экономика производства зависит от характера использования сырья. Наиболее важными из них являются: правильный выбор сырья комплексная его переработка повторное использование высококачественная первичная обработка и обогащение максимальное использование отходов производства. Выбор сырья определяет тип применяемого технологического оборудования характер технологии длительность производственного цикла и влияет на многие техникоэкономические показатели работы предприятий....
34317. Методы обогащения сырьевых материалов 24 KB
  Методы обогащения сырьевых материалов Качество сырья состав и свва в значительной степени характеризуют техникохимические показатели производства. Оно выражается содержанием полезных элементов в руде либо другом виде сырья. Известны такие методы обогащения сырья как физические механический термический электромагнитный метод гравитационного обогащения и др. применение более чистого концентрированного сырья позволяет получить качественную продукцию которая обладает более высокой стоимостью.
34318. Обогащение сырьевых материалов методами флотации и выщелачивания 24 KB
  Обогащение сырьевых материалов методами флотации и выщелачивания Наиболее широко применимы такие методы обогащения как флотация и выщелачивание. Скорость выщелачивания зависит от структуры степени пористости размера пор обрабатываемого материала. Чем выше содержание растворимой фазы и крупнее поры тем быстрее идет процесс выщелачивания. На процесс выщелачивания влияет также тонона измельчения.