32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

9 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80207. Типи ринків і моделі поведінки споживачів 115 KB
  Процес прийняття рішення про купівлю Етапи сприймання товаруновинки Промисловий та споживчий ринки З погляду маркетингового управління розрізняють два основних типи ринків: споживчий і промисловий. Порівняльна характеристика споживчого і промислового ринків Характеристика Промисловий ринок Споживчий ринок Обсяг збуту Великий Невеликий Обсяг закупок Великий Невеликий Кількість споживачів Невелика Велика Прийняття рішення про закупку Багато людей Небагато Природа покупки Фахова Дилетантська Розміщення споживачів Географічно сконцентроване...
80208. Добір цільових ринків 69 KB
  Добір цільових ринків План Поняття сегментації Критерії ефективної сегментації Основні принципи сегментації ринків Стратегії охоплення ринку Позиціонування товарів Поняття сегментації Будьяка фірма усвідомлює що її товар не може подобатись одразу всім покупцям. В останньому випадку слід зосередитися на частині ринку або сегментах. При сегментації ринку розрізнення а точніше виділення споживачів має відбуватися на основі вияву суттєвих значущих з погляду фірми різниць між групами споживачів при чому таких різниць які справляють...
80209. Основи товарної політики компанії 139.5 KB
  Товар product комбінація власне товару і обслуговування що компанія пропонує цільовому ринку дизайн позиція на ринку виробнича лінія довжина і глибина марки упаковка гарантії сервісне обслуговування і т. Ціна price визначає кількість грошей що повинні сплатити покупці щоб одержати товар ціна виробника оптовика роздрібного торговця; політика знижок і їхня структура; умови контрактів; цінова політика залежно від собівартості від ситуації на ринку від корисності товару; цінова політика загарбницька очікувальна тощо....
80210. Стратегія збуту і просування товарів 111.5 KB
  Стратегія збуту і просування товарів План Розподіл товару. Реклама Методи стимулювання збуту і пропаганда Особистий продаж і прямий маркетинг Просування товарів і правовий захист споживачів Розподіл товару. Поняття про канали розподілу Розповсюдження товарів на ринку має два елементи: Розподіл товару передача права власності від виробника до споживача. Товарорух фізичне розповсюдження товару.
80211. Маркетинговий менеджмент 120 KB
  Стратегічне планування в маркетингу. Організація відділів маркетингу. Стратегічне планування в маркетингу Раніше ми визначили що згідно з концепцією маркетингу єдиним способом досягнення корпоративних цілей щодо обороту прибутку доходу на інвестиції тощо є задоволення потреб споживачів. Маркетингу як функції менеджменту належить у цьому процесі особлива роль задавати координати іншим стратегічним напрямам діяльності фірми: управління фінансами виробництвом матеріальнотехнічним забезпеченням персоналом.
80212. Загальне поняття маркетингу 99 KB
  Загальне поняття маркетингу План Причини появи і розвитку маркетингу. Сутність маркетингу. Базові поняття маркетингу. Причини появи і розвитку маркетингу Серед понять що стали ознакою сучасного бізнесу особливе місце займає маркетинг.
80213. Онтологическая и гносеологическая стороны основного вопроса философии 54 KB
  Среди совокупности проблем, которые исследует та или иная отрасль знания, всегда можно выделить основные, базисные. Такой основной, базисной проблемой философии, от решения которой, в конечном счете...
80214. Что такое онтология. Онтологическая проблематика 48.5 KB
  Словосочетание онтология образовано из греческих слов ontos (сущее) и logos (слово) и по-русски есть – учение о сущем. Впервые этот термин обнаруживается в «Философском лексиконе» (1613) немецкого философа Рудольфа Гоклениуса...