32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

10 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29864. Финансовый рынок его структура и место в системе экономических отношений 13.9 KB
  финансовый рынок его структура и место в системе экономических отношений Финансовый рынок рынок ссудных капиталовэто механизм перераспределения капитала между кредиторами и заёмщиками при помощи посредников на основе спроса и предложения на капитал. Финансовый рынок категория историческая. Финансовый рынок это категория экономическая которая выражает экономические отношения по поводу реализации стоимости и с потребительской стоимости заключённой в финансовых активах. Как и любой другой финансовый рынок предназначен для установления...
29865. Порядок формирования и финансирования венчурных,инновационных и инвестиционных фондов 46 KB
  Фактически венчурное финансирование может быть охарактеризовано как источник долгосрочных инвестиций предоставляемых обычно на 5 7 лет предприятиям находящимся на ранних этапах своего становления а также действующим предприятиям для их расширения и модернизации. Отличие венчурного финансирования от других видов финансирования Источники финансирования Банки Стратегические партнеры Венчурное финансирование Инвестиции в акционерный капитал Кредиты Долгосрочныеинвестиции Рисковый бизнес Участие инвестора в управлении...
29866. Финансовый механизм предприятия 15.5 KB
  Рассмотрим более подробно один из методов финансового механизма финансовый анализ совершенствование которого позволит снизить расходную часть бюджета предприятия и повысить доходную. Финансовое состояние предприятия характеризуется совокупностью показателей отражающих процесс формирования и использования его финансовых средств. В рыночной экономике финансовое состояние предприятия по сути дела отражает конечные результаты его деятельности.
29867. Рынок ценных бумаг РФ: структура и основныек тенденции развития 28.63 KB
  Совокупность экономических отношений между его участниками по поводу выпуска и обращения ценных бумаг. Ценные бумаги в основе которых лежат деньги как капитал и которые опосредуют отношения связанные с движением денежного капитала образуют фондовый рынок как часть рынка ценных бумаг. Ценные бумаги опосредующие товарные отношения формируют рынок товарных ценных бумаг являющийся второй составной частью рынка ценных бумаг.
29868. Бюджетная система РФ 19.67 KB
  10 бюджетная система Российской Федерации состоит из трех уровней: Федерального бюджета и бюджетов государственных внебюджетных фондов; Бюджетов субъектов Российской Федерации региональных бюджетов и бюджетов территориальных государственных внебюджетных фондов; Местных бюджетов. Бюджетная система Российской Федерации включает: федеральный бюджет 21 республиканский бюджет республик в составе РФ 55 краевых и областных бюджетов и бюджеты Москвы и СанктПетербурга один областной бюджет автономной области 10 окружных бюджетов автономных...
29869. Бюджетный процесс и концепция его реформации 16.35 KB
  6 Бюджетного Кодекса РФ бюджетный процесс регламентируемая законодательством Российской Федерации деятельность органов государственной власти органов местного самоуправления и иных участников бюджетного процесса по составлению и рассмотрению проектов бюджетов утверждению и исполнению бюджетов контролю за их исполнением осуществлению бюджетного учета составлению внешней проверке рассмотрению и утверждению бюджетной отчетности. Все стадии жестко регламентированы процессуальными нормами бюджетного права призванными обеспечить четкое...
29870. Инвестиции – вложения средств в промышленность, сельское хозяйство и другие отрасли экономики внутри страны и за границей в целях получения прибыли 15.64 KB
  Прямые инвестиции осуществляются с целью непосредственного управления объектом инвестиций через контрольный пакет акций или в иной форме контрольного участия.Портфельные инвестиции осуществляются в форме покупки ценных бумаг принадлежащих различным эмитентам и не обеспечивающих контрольное участие и прямое управление объектом инвестиций. Цель подобных инвестиций в отличие от прямых получение прибылей от роста курсовой стоимости портфеля от созданных ими стабильных денежных потоков дивидендов процентов при диверсификации...
29871. РИСК-МЕНЕДЖМЕНТ 16.75 KB
  на свой страх и риск. В связи с этим появляются различные методы управления риском и повышается роль страхования как основного метода снижения степени риска. Риск это финансовая категория. Снижение величины риска осуществляется через финансовые методы: диверсификацию лимитирование самострахование страхование и др.
29872. Структура капитала 16.72 KB
  Структура капитала соотношение собственных и заемных финансовых средств используемых в хозяйственной деятельности. Она влияет на коэффициент рентабельности активов и собственного капитала определяет систему коэффициентов финансовой устойчивости и платежеспособности и формирует соотношение доходности и риска.Структура капитала представляет собой соотношение собственных и заемных средств долгосрочного характера. Управление структурой капитала заключается в создании смешанной структуры капитала представляющей такое оптимальное сочетание...