32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

10 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70449. Анализ финансового положения ОАО «Амира» 763.5 KB
  В настоящее время коммерческим банкам требуется более глубокий подход в оценке кредитоспособности заемщика потому что кредитоспособность клиента способность заемщика полностью и в срок рассчитаться по своим долговым обязательствам а для банка кредитные операции...
70450. Разработка подсистемы автоматизации учебно-учетной деятельности в спортивной школе 1.4 MB
  Одним из важных шагов создания информационной подсистемы является разработка базы данных которая позволит организовать и упорядочить информацию а также обеспечит быстрый доступ к данным и выборку необходимой информации.
70451. Пути совершенствования управления кадрами на предприятии ЗАО «Балаковохлеб» 140.97 KB
  Цель данного исследования - на основе анализа эффективности организации кадрового менеджмента предприятия определить пути его совершенствования и дать экономическое обоснование внедрения мероприятий в кадровую практику.
70452. Развитие рынка страхования имущества в России 141.49 KB
  Страхование - необходимый элемент производственных отношений. Оно связано с возмещением материальных потерь в процессе общественного производства. Рисковый характер общественного производства, порождает отношения между людьми по предупреждению, преодолению...
70453. Организация управления промышленным предприятием на примере ОАО завод «Красное Сормово» 4.8 MB
  Цель проекта: Изучение процесса управления промышленным предприятием. Задачи проекта: раскрыть теоретические аспекты организации управления на промышленном предприятии; изучить деятельность предприятия, организационную структуру, внешнюю среду предприятия...
70454. Основные направления изучения малых групп в психологии 39 KB
  В выделенных Мэйо экспериментальной и контрольной группах были введены различные условия труда: в экспериментальной группе освещенность увеличивалась и обозначался рост производительности труда в контрольной группе при неизменной освещенности производительность труда...
70455. Психологическая совместимость и социально-психологические трудности взаимодействия между людьми 42 KB
  Трудности общения могут быть рассмотрены с позиций различных отраслей психологии: общей возрастной и педагогической социальной психологии труда юридической и медицинской психологии индивидуальных различий. Поскольку общение это взаимодействие по крайней мере двух людей...
70456. Психология общения: основные направления исследований 37 KB
  Активное исследование О. в зарубеж. социальной психологии началось во 2-й пол. XIX в. и было представлено публикациями, касающимися роли языка и обычаев, связанными с психологией народов. Рост интереса к проблемам О. в ХХ в. был вызван потребностями учета межличностных и ролевых...
70457. Эффекты восприятия как перцептивные ошибки 28.5 KB
  Проблема группы в социальной психологии. Проблема группы это ключевое понятие социальной психологии. Группа может изучаться с позиции любой общности: социальной производственной бытовой экономической целевой и т. Основы социальной стратификации заложены М.