32443

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...

Русский

2013-09-04

186 KB

9 чел.

Лекция 2.

$5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Cогласно классическому определению, в опытах с конечным числом равновозможных  исходов вероятность события А - это «доля» исходов, которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как «долю» благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Рассмотрим примеры подсчета так называемых «геометрических» вероятностей.

Пример 4.  Поезда в метро отправляются со станции с интервалом в 4 минуты. Какова вероятность, что пассажир, пришедший на платформу, отправится с нее не позже, чем через 1,5 минуты?

Пространство элементарных исходов состоит  из бесконечного множества точек отрезка [А,В] (см. рисунок), так как пассажир может появиться на платформе в любой момент между отправлениями поездов. Однако отправиться не позже, чем через полторы минуты, он сможет, если время его прихода попадет на отрезок [C, В]. Долей точек отрезка [C, В] в отрезке [А, В] можно считать отношение длин этих отрезков. Таким образом, искомая вероятность Р(А) = |В – C| / |B – А|  = 1,5/4 = = 3/8.

Пример 5.  Два человека независимо друг от друга  решили отдохнуть в любую неделю февраля на одном и том же горнолыжном курорте. Какова вероятность, что они там  встретятся?

Введем двумерную декартову систему координат  XOY. Пусть пространство элементарных событий Ω={x,y}, , где x – время (в сутках) приезда на курорт первого отдыхающего, а y -  второго.

Графически пространству Ω соответствует квадрат со стороной, равной 21. Чтобы отдыхающие встретились, разность между х и y должна быть не более 7 суток, т.е. |x - y 7 или – 7  у – х  7. Графически этому событию соответствует фигура, координаты точек которой удовлетворяют неравенству

 x – 7  y  x + 7. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры  к площади всего квадрата:

Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, разлинованную линиями, параллельными оси ОХ и отстоящими друг от друга на расстояние L,  наугад бросают иголку длины l (l < L). Какова вероятность того, что иголка пересечет одну из линий?

Будем считать иголку отрезком длины l. Пусть  α  -  угол наклона этого отрезка к оси ОХ, ρ – расстояние от середины иглы до ближайшей линии, 0  α < π, 0  ρ  L/2. Игла пересечет одну из линий тогда и только тогда, когда ρ  l/2*(sin α).

Введем двумерную систему координат 0. Пространство элементарных исходов представляет собой прямоугольник, cоставленный из точек {(), α < π, 0  ρ  L/2}.

Благоприятные исходы – это множество точек этого прямоугольника, которые расположены не выше синусоиды. Доля таких точек в прямоугольнике может быть определена как отношение площади под синусоидой к площади прямоугольника. Следовательно,

$6. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    В случае с геометрическими вероятностями пространство элементарных исходов не конечно и даже не счетно, а значит невозможно применять классическую формулу для подсчета вероятностей. Проблема  определения вероятностей, когда классическая формула неприменима, была решена  Андреем Николаевичем Колмогоровым, который в 1929 году сформулировал аксиоматику теории вероятностей. Работы Колмогорова в области теории вероятностей считаются самым крупным вкладом в математическую науку в ХХ столетии. В чем эта аксиоматика состоит?  

Пусть пространство элементарных событий  есть произвольное множество, и пусть  - некоторая система его подмножеств.

называется алгеброй, если

1) ;

2) для любых множеств B,C принадлежащих ,  так же принадлежит .

3) если , то и  .

Из этих свойств также следует, что для любых множеств , принадлежащих , их пересечение , (т.к.).

Таким образом, алгебра – это класс множеств, замкнутый относительно  операций дополнения, объединения и пересечения.

Замечание. Алгебра  может быть замкнута не только относительно конечного числа этих операций, но также их счетного числа. В этом случае она называется    - алгеброй.

Если задано множество и какая-нибудь алгебра его подмножеств , то говорят, что задано измеримое пространство (, ).

Пример 7. В примере 4 предыдущего параграфа пространство состоит из точек отрезка [АВ]. Совокупность множеств { , , [CВ], [АC)} образует алгебру .

Для того чтобы формализовать какую-либо вероятностную задачу, надо соответствующему эксперименту приписать измеримое пространство (, ).
означает множество элементарных исходов эксперимента, алгебра  выделяет класс событий. Все остальные подмножества , которые не вошли в алгебру , cобытиями в данном эксперименте не являются.

Пусть (, ) - измеримое пространство. Вероятностью на измеримом  пространстве (, ) называется числовая функция Р, определенная на множествах из  и  удовлетворяющая трем аксиомам:

1) для любого множества:;

2) ;

3) для любых двух событий В и С, принадлежащих алгебре  и таких, что : .

Замечание. Если  является - алгеброй, третье утверждение должно выполняться не только для конечного, но также для любого счетного объединения ее подмножеств. В этом случае третья аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Тройка (, ,  называется вероятностным пространством.

Пример 8. В примере 7 вероятность любого события из алгебры положим равной длине соответствующего промежутка, деленной на длину отрезка [А,В]. Все аксиомы вероятности будут выполнены.

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40034. Структуралистский конструктивизм П. Бурдье 15.95 KB
  Теория Бурдьё считается интегральной социологической теорией и представляет собой попытку преодоления противоречий между макро- и микро- анализом, агентом и структурой, которое порождает так называемые «парные понятия» (англ. paired concepts).
40035. Информационные технологии документационного обеспечения управленческой деятельности 135 KB
  Пока не разработаны стандартные информационнопоисковые языки подобные SQL которые можно было бы использовать для формализованного описания содержания документов и построения запросов. Основной задачей документальных информационных систем является хранение и предоставление пользователю документов содержание которых соответствуют его информационным потребностям. Документальная информационная система ДИС единое хранилище документов с инструментарием поиска и выдачи необходимых пользователю документов. Соответствие найденных...
40036. Информационные системы. Конспект лекций 592.5 KB
  Под системой понимают любой Объект, который одновременно рассматривается и как единое целое, и как объединенная в интересах достижения поставленных целей совокупность разнородных элементов. Системы значительно отличаются между собой как по составу, так и по главным целям.
40037. Методология RAD - Rapid Application Development 31.05 KB
  Однако по мере возрастания сложности разрабатываемых систем и увеличения запросов пользователей чему в значительной степени способствовал прогресс в области вычислительной техники а также появление удобного графического интерфейса пользователя в системном программном обеспечении потребовались новые средства обеспечивающие значительное сокращение сроков разработки. Это послужило предпосылкой к созданию целого направления в области программного обеспечения инструментальных средств для быстрой разработки приложений. Основные особенности...
40038. Метод ER-диаграмм (сущность-связь) 119.5 KB
  Названиями сущностей являются как правило существительные например: ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ДИСЦИПЛИНА КАФЕДРА ГРУППА. Связь двух или более сущностей предполагает зависимость между атрибутами этих сущностей. Так два разных проектировщика рассматривая одну и ту же проблему с разных точек зрения могут получить различные наборы сущностей и связей. С целью повышения наглядности и удобства проектирования для представления сущностей экземпляров сущностей и связей между ними используются следующие графические средства: Диаграммы ЕR –экземпляров...
40039. Інформаційні технології 267.5 KB
  Роль інформатики та компютерної техніки у формуванні сучасного спеціаліста. У всіх цих випадках на допомогу людині приходить компютер.Понятие інформаційних технологій Якщо розглядати компютер як обєкт який має складові частини повязані між собою і функціонують відповідно до певних правил тоді компютер можна назвати системою. Оскільки компютер використовується переважно як засіб зберігання пошуку і видачі інформації то його можна розглядати як інформаційну систему.
40040. Философия любви– тема философского размышления 143.5 KB
  Только в любви и через любовь человек становится человеком. Без любви он неполноценное существо, лишенное подлинной жизни и глубины и не способное ни действовать эффективно, ни понимать адекватно других и себя. И если человек–центральный объект философии, то тема человеческой любви
40041. Создание отчета в режимах Автоотчет и Мастер отчетов. Редактирование отчета в режиме Конструктор 160.5 KB
  Создание отчета в режимах Автоотчет и Мастер отчетов.Редактирование отчета в режиме Конструктор Цель работы: получение навыков конструирования отчетов в режимах автоотчета и мастера отчетов. На экране появится окно режимов создания нового отчета представленное на рис. Окно режимов создания отчета Выбрать режим Автоотчет: ленточный и в качестве источника данных – таблицу Список.