32444

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Если в одном эксперименте могут произойти события А и В то возникает вопрос как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов приводящих к наступлению события А среди всех элементарных исходов пространства то условную вероятность события А при условии что событие В произошло можно рассматривать как долю исходов приводящих к событию А во множестве элементарных исходов образующих событие В. Условная...

Русский

2013-09-04

81 KB

6 чел.

   Лекция 3.

$7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

   Если в одном эксперименте могут произойти события А и В, то возникает вопрос, как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Характеристикой связи событий является условная вероятность.

   Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов, приводящих к наступлению события А, среди всех элементарных исходов пространства      , то условную вероятность события А ( при условии, что событие В произошло) можно рассматривать как долю исходов, приводящих к событию А во множестве элементарных исходов, образующих событие В.

   Условная вероятность события А (при условии, что событие В произошло)             определяется по формуле:  Р(А/В)= P(AB)/P(B), если Р(В) > 0.

Величину Р(А/B) можно cчитать вероятностью события А в новых условиях ( в условиях наступления события В).

Пример 9. Первая цифра телефонного номера, записанного в телефонной книжке, стерлась.

Если владелец книжки наберет любую цифру вместо стершейся, то может произойти событие А: «владелец книжки дозвонится с первого раза”. Р(А)=1/9.

Пусть стало известно, что телефонные номера в этом районе начинаются с цифр «1» и «2». Событие В: «первая цифра телефонного номера 1 или 2», Р(B)=2/9.

Р(АВ)=1/9, т.к. cобытия А и B произойдут одновременно, если владелец книжки наберет верную цифру. Тогда  Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)= (1/9)/(2/9)=1/2.   

    Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:

1) 0  P(А/B)  1;

2) если В ведет к наступлению события А (ВА), то Р(А/В)=1;

3) если В исключает возможность наступления А, т.е. АВ= , то Р(А/B)=0;

4) если событие А есть  объединение непересекающихся событий C и D :, то .

$8. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ.

Утверждение 1 (теорема сложения).  P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).

Доказательство. Cобытие (АВ) можно представить как объединение трех непересекающихся событий: A\B, B\A и АВ. Тогда по третьей аксиоме вероятностей

Р(АВ)=Р(А\В)+Р(В\А)+Р(АВ)= Р(А)+Р(В\А)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Утверждение 2.  Вероятность объединения n (n > 2) событий равна

– формула Буля.

Доказательство. При n=2 формула доказана в Утверждении 1. Для n > 2 она проверяется по индукции на основании формулы

Утверждение 3 (теорема умножения). Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(А)*Р(В/А).

Доказательство cразу следует из определения условной вероятности.

Утверждение 4. Формула вероятности пересечения n событий (n > 2) получается из формулы Буля, если операции «объединения» и «пересечения » поменять местами.

Доказательство следует из формул двойственности:  где  – некоторое множество индексов.

$9. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.

    Cобытия А и В называются независимыми, если наступление события В не влияет на возможность наступления А, т.е. условная вероятность  Р(А/В) равна безусловной вероятности события А: Р(А/В)=Р(А).

Пример 10.  Из колоды в 36 карт наугад вынимают карту. Cобытие А: «эта карта – дама», cобытие В: «эта карта пиковой масти». Зависимы ли эти события?

Р(А)=4/36=1/9, Р(А/B)=Р(АВ)/Р(В)=(1/36)/(9/36)=1/9. Cобытия независимы.

     Приведем свойства независимых событий.

Утверждение 5. Cобытия А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность их пересечения равна произведению вероятностей: Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Доказательство. Необходимость. Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(В)*Р(А).

Достаточность. Р(А)= Р(А)*Р(В)/Р(В)=Р(АВ)/Р(В)=Р(А/В).

     Из этого утверждения также следует, что события А и В зависимы или независимы одновременно.

Утверждение 6. Если события А и В независимы, то события  и В тоже независимы.

Для доказательства используем третью аксиому вероятности:

Пример 11. Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков четна?

Cобытие А1– «четное число очков на первой кости»,  A2 –“ на второй», А –“ сумма выпавших очков четна». . Cобытия несовместны, поэтому Р(А)= Так как А1  и А2  независимы,

     Если рассмотреть n (n > 2) cобытий, то попарной независимости недостаточно для независимости n событий в совокупности.

Определение. Cобытия В12,…,Вn  называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов 1  i1< i2 < …<ir  n 

Пример 12  (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, cиний и зеленый цвет, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Cобытие А: “на плоскость выпала грань, cодержащая красный цвет»; событие В –«содержащая синий цвет»; событие C –“ зеленый». Р(А)= Р(В)=Р(C)=1/2, поскольку каждый цвет присутствует на двух гранях. Вероятность пересечения любых двух событий равна  Р(АC)=Р(ВC)=Р(АВ)=1/4. Отсюда следует, что любые два события независимы, например Р(АC)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(C). Cобытия А,В,C не являются независимыми в совокупности, т.к. Р(АВC)=1/4 Р(А)*Р(В)*Р(C)=1/8.

 

$10. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

     Пусть есть система непересекающихся событий H1, H2, H3,…, одно из которых обязательно осуществится в результате эксперимента. Такие события называют гипотезами. Пусть А- произвольное событие в этом эксперименте. Очевидно,.

Теорема 1 (формула полной вероятности)..

Доказательство. . Cобытия АН1, АН2, АН3... несовместны, и по третьей аксиоме вероятностей .

Пример 13. Представим себе странника, который на разветвлении дорог О выбирает наугад один из возможных путей. Обозначим через Вk, к=1,...,4, cобытие: «из пункта О странник отправится в пункт Вk . Cобытия В1, …, В4  являются гипотезами, прелположим, что Р(Вk)=1/4, к=1,...,4. Пусть есть также пункт А. Если странник придет в B1, то из него он может попасть в пункт А по одному из трех равновероятных направлений, Р(А/В1)=1/3. Аналогично, Р(А/В2)= 1/2, Р(А/В3)=1, Р(А/В4)=1/5. Тогда по формуле полной вероятности Р(А)=1/4*1/3+1/4*1/2+1/4*1+1/4*1/5=

                                                                           =55/120.

   $11. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

   Пусть Н1, H2, H3,... - гипотезы, и пусть известны вероятности Р(Нk), k=1,2,.... В результате               эксперимента происходит некоторое событие А. Как изменятся вероятности гипотез при поступлении информации о том, что событие А произошло? Ответ дает

Теорема 2 (формула Байеса)..

Доказательство. Р(Нi/А)=Р(Нi*А)/Р(А). Заменим числитель в соответствии с теоремой умножения, а знаменатель – в соответствии с формулой полной вероятности.

Вероятности гипотез до эксперимента Р(Нk) называются априорными, а вероятности

Р(Нk/А) – апостериорными относительно события А. 

Пример 14. Спортсмены трех стран принимают участие в соревновании: 30 человек из первого  государства, 25 –из второго и 20 –из третьего. Спортсмены первого государства завоевали 3 медали, второго – 5, третьего – 6. Какова вероятность, что случайно выбранный спотрсмен, получивший медаль, из третьего государства?

Гипотеза Н1 - спортсмен из 1-ого государства, H2 - из второго, H3 – из третьего.

Р(Н1)= 30/75=2/5; Р(H2)=25/75=1/3; Р(H3)=20/75=4/15. Cобытие А – спортсмен получил медаль. Р(А/H1)=3/30=1/10; Р(А/H2)=5/25=1/5; Р(А/H3)=6/20=3/10. Вероятность, что спортсмен  - из третьего государства, при условии, что он получил медаль Р(H3/А)= Р(Н3)*Р(А/Н3)/(Р(Н1)*Р(А/H1)+ Р(Н2)*Р(А/H2)+ Р(Н3)*Р(А/H3))=

= (4/15*3/10)/(2/5*1/10+1/3*1/5+4/15*3/10)=3/7.

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75526. Классификация и краткая характеристика моделей данных 172 KB
  Классификация и краткая характеристика моделей данных Одними из основополагающих в концепции баз данных являются обобщенные категории данные и модель данных. Понятие данные в концепции баз данных это набор конкретных значений параметров характеризующих объект условие ситуацию или любые другие факторы. Примеры данных: Петров Николай Степанович 30 и т. Поэтому центральным понятием в области баз данных является понятие модели.
75527. Последовательность действий при разработке проекта в ИС Project Expert 25 KB
  Последовательность действий при разработке проекта в ИС Project Expert Раздел Проект состоит из шести модулей. В этом диалоге отображается информация введенная присоздании проекта в диалоге Новый проект . Информация введенная в диалоге Список продуктов будет использована программой в модулях раздела Операционный план при планировании стратегии производства и сбыта сформированного перечня продуктов услуг проекта а также в модуле Стартовый баланс раздела Компания при описании активов и пассивов действующего предприятия. Текстовое...
75528. Основные требования к организации и формированию БД 26 KB
  Основные требования к организации и формированию БД База данных БД именованная совокупность данных отражающая состояние объектов и их отношений в рассматриваемой предметной области. К таким требованиям можно отнести...
75529. Хозяйственные операции и их регистрация в системе 1С 21 KB
  Ведение финансово-хозяйственных операций неразрывно связан с регистрацией первичных документов и формированию на их основ бухгалтерских проводок. Документы одного вида группируются в журнал. Кроме обычных журналов объединяющих все документы определенного вида видов существует общий журнал в который попадет все документы. Документ может находиться в двух состояниях не проведен и проведен.
75530. Характеристика и принципы построения сетевых (распределенных) БД 35.5 KB
  Характеристика и принципы построения сетевых распределенных БД Под распределенными базами данных РБД понимаются БД применяемые в вычислительной компьютерной сети. По типологии РБД делятся на: РБД централизованного хранения РБД распределенного хранения. При централизованном хранении вся РБД хранится на одном компьютере сервере а программы с остальных компьютеров клиентов обращаются к нему. Проектирование структуры такой РБД ничем не отличается от проектирования структуры обычных БД.
75531. Основные понятия и принципы инфологического моделирования 39.5 KB
  Основными конструктивными элементами инфологических моделей являются сущности связи между ними и их свойства атрибуты. Необходимо различать такие понятия как тип сущности и экземпляр сущности. Понятие тип сущности относится к набору однородных личностей предметов событий или идей выступающих как целое. Экземпляр сущности относится к конкретной вещи в наборе.
75532. Відвідування театру. Враження від вистави. План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 55 KB
  Т: The topic of our lesson is Going to the thetre Describing performnce . By the end of the lesson you should be ble: to review nd ctivize the words nd wordcombintions to the topic Going to th thetre nd Describing performnce ; to predict fcts nd events from the newspper rticle by its hedline; to understnd the gist nd detils of the newspper rticle despite the nturl difficulties; to express your opinions bout performnce. I went to the thetre lst Sundy. Do you often go to the thetre Why Cn you sy wht the thetre is Where re the best sets in...
75533. Великий Кобзар, Тарас Шевченко, відомий у всьому світі 66.5 KB
  Т: Wht is this rticle bout Look t the newspper hedline of ex. Predict wht is this rticle bout 2 WhileReding ctivities. Wht kind of the text is it Wht kind of newspper is it tken from Wht is this rticle bout б Scnning. Where do monuments to gret poets of the world literture Ukrinin Trs Shevchenko Russin lexnder Pushkin Byelorussin Ynk Kupl nd mericn Wlt Whitmn stnd nerby on one lwn In wht town is rrow Prk situted Wht poem by Trs Shevchenko resounded in the prk on tht dy Who lid flowers t the monuments to the luminries of...
75534. Кіно в Україні 58 KB
  Т: The topic of our lesson is Cinem in Ukrine Describing film . By the end of the lesson you should be ble: to review the words nd wordcombintions to the topic Going to the cinem Describing film ; to understnd the gist nd detils of the text for reding; to express your opinion bout film you hve recently seen. Т: Red the quottion bout films find Ukrinin equivlent. Повторення ЛО теми Going to the cinem Describing film .