32444

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Если в одном эксперименте могут произойти события А и В то возникает вопрос как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов приводящих к наступлению события А среди всех элементарных исходов пространства то условную вероятность события А при условии что событие В произошло можно рассматривать как долю исходов приводящих к событию А во множестве элементарных исходов образующих событие В. Условная...

Русский

2013-09-04

81 KB

3 чел.

   Лекция 3.

$7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

   Если в одном эксперименте могут произойти события А и В, то возникает вопрос, как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Характеристикой связи событий является условная вероятность.

   Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов, приводящих к наступлению события А, среди всех элементарных исходов пространства      , то условную вероятность события А ( при условии, что событие В произошло) можно рассматривать как долю исходов, приводящих к событию А во множестве элементарных исходов, образующих событие В.

   Условная вероятность события А (при условии, что событие В произошло)             определяется по формуле:  Р(А/В)= P(AB)/P(B), если Р(В) > 0.

Величину Р(А/B) можно cчитать вероятностью события А в новых условиях ( в условиях наступления события В).

Пример 9. Первая цифра телефонного номера, записанного в телефонной книжке, стерлась.

Если владелец книжки наберет любую цифру вместо стершейся, то может произойти событие А: «владелец книжки дозвонится с первого раза”. Р(А)=1/9.

Пусть стало известно, что телефонные номера в этом районе начинаются с цифр «1» и «2». Событие В: «первая цифра телефонного номера 1 или 2», Р(B)=2/9.

Р(АВ)=1/9, т.к. cобытия А и B произойдут одновременно, если владелец книжки наберет верную цифру. Тогда  Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)= (1/9)/(2/9)=1/2.   

    Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:

1) 0  P(А/B)  1;

2) если В ведет к наступлению события А (ВА), то Р(А/В)=1;

3) если В исключает возможность наступления А, т.е. АВ= , то Р(А/B)=0;

4) если событие А есть  объединение непересекающихся событий C и D :, то .

$8. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ.

Утверждение 1 (теорема сложения).  P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).

Доказательство. Cобытие (АВ) можно представить как объединение трех непересекающихся событий: A\B, B\A и АВ. Тогда по третьей аксиоме вероятностей

Р(АВ)=Р(А\В)+Р(В\А)+Р(АВ)= Р(А)+Р(В\А)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Утверждение 2.  Вероятность объединения n (n > 2) событий равна

– формула Буля.

Доказательство. При n=2 формула доказана в Утверждении 1. Для n > 2 она проверяется по индукции на основании формулы

Утверждение 3 (теорема умножения). Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(А)*Р(В/А).

Доказательство cразу следует из определения условной вероятности.

Утверждение 4. Формула вероятности пересечения n событий (n > 2) получается из формулы Буля, если операции «объединения» и «пересечения » поменять местами.

Доказательство следует из формул двойственности:  где  – некоторое множество индексов.

$9. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.

    Cобытия А и В называются независимыми, если наступление события В не влияет на возможность наступления А, т.е. условная вероятность  Р(А/В) равна безусловной вероятности события А: Р(А/В)=Р(А).

Пример 10.  Из колоды в 36 карт наугад вынимают карту. Cобытие А: «эта карта – дама», cобытие В: «эта карта пиковой масти». Зависимы ли эти события?

Р(А)=4/36=1/9, Р(А/B)=Р(АВ)/Р(В)=(1/36)/(9/36)=1/9. Cобытия независимы.

     Приведем свойства независимых событий.

Утверждение 5. Cобытия А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность их пересечения равна произведению вероятностей: Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Доказательство. Необходимость. Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(В)*Р(А).

Достаточность. Р(А)= Р(А)*Р(В)/Р(В)=Р(АВ)/Р(В)=Р(А/В).

     Из этого утверждения также следует, что события А и В зависимы или независимы одновременно.

Утверждение 6. Если события А и В независимы, то события  и В тоже независимы.

Для доказательства используем третью аксиому вероятности:

Пример 11. Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков четна?

Cобытие А1– «четное число очков на первой кости»,  A2 –“ на второй», А –“ сумма выпавших очков четна». . Cобытия несовместны, поэтому Р(А)= Так как А1  и А2  независимы,

     Если рассмотреть n (n > 2) cобытий, то попарной независимости недостаточно для независимости n событий в совокупности.

Определение. Cобытия В12,…,Вn  называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов 1  i1< i2 < …<ir  n 

Пример 12  (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, cиний и зеленый цвет, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Cобытие А: “на плоскость выпала грань, cодержащая красный цвет»; событие В –«содержащая синий цвет»; событие C –“ зеленый». Р(А)= Р(В)=Р(C)=1/2, поскольку каждый цвет присутствует на двух гранях. Вероятность пересечения любых двух событий равна  Р(АC)=Р(ВC)=Р(АВ)=1/4. Отсюда следует, что любые два события независимы, например Р(АC)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(C). Cобытия А,В,C не являются независимыми в совокупности, т.к. Р(АВC)=1/4 Р(А)*Р(В)*Р(C)=1/8.

 

$10. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

     Пусть есть система непересекающихся событий H1, H2, H3,…, одно из которых обязательно осуществится в результате эксперимента. Такие события называют гипотезами. Пусть А- произвольное событие в этом эксперименте. Очевидно,.

Теорема 1 (формула полной вероятности)..

Доказательство. . Cобытия АН1, АН2, АН3... несовместны, и по третьей аксиоме вероятностей .

Пример 13. Представим себе странника, который на разветвлении дорог О выбирает наугад один из возможных путей. Обозначим через Вk, к=1,...,4, cобытие: «из пункта О странник отправится в пункт Вk . Cобытия В1, …, В4  являются гипотезами, прелположим, что Р(Вk)=1/4, к=1,...,4. Пусть есть также пункт А. Если странник придет в B1, то из него он может попасть в пункт А по одному из трех равновероятных направлений, Р(А/В1)=1/3. Аналогично, Р(А/В2)= 1/2, Р(А/В3)=1, Р(А/В4)=1/5. Тогда по формуле полной вероятности Р(А)=1/4*1/3+1/4*1/2+1/4*1+1/4*1/5=

                                                                           =55/120.

   $11. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

   Пусть Н1, H2, H3,... - гипотезы, и пусть известны вероятности Р(Нk), k=1,2,.... В результате               эксперимента происходит некоторое событие А. Как изменятся вероятности гипотез при поступлении информации о том, что событие А произошло? Ответ дает

Теорема 2 (формула Байеса)..

Доказательство. Р(Нi/А)=Р(Нi*А)/Р(А). Заменим числитель в соответствии с теоремой умножения, а знаменатель – в соответствии с формулой полной вероятности.

Вероятности гипотез до эксперимента Р(Нk) называются априорными, а вероятности

Р(Нk/А) – апостериорными относительно события А. 

Пример 14. Спортсмены трех стран принимают участие в соревновании: 30 человек из первого  государства, 25 –из второго и 20 –из третьего. Спортсмены первого государства завоевали 3 медали, второго – 5, третьего – 6. Какова вероятность, что случайно выбранный спотрсмен, получивший медаль, из третьего государства?

Гипотеза Н1 - спортсмен из 1-ого государства, H2 - из второго, H3 – из третьего.

Р(Н1)= 30/75=2/5; Р(H2)=25/75=1/3; Р(H3)=20/75=4/15. Cобытие А – спортсмен получил медаль. Р(А/H1)=3/30=1/10; Р(А/H2)=5/25=1/5; Р(А/H3)=6/20=3/10. Вероятность, что спортсмен  - из третьего государства, при условии, что он получил медаль Р(H3/А)= Р(Н3)*Р(А/Н3)/(Р(Н1)*Р(А/H1)+ Р(Н2)*Р(А/H2)+ Р(Н3)*Р(А/H3))=

= (4/15*3/10)/(2/5*1/10+1/3*1/5+4/15*3/10)=3/7.

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7621. Введение в компьютерную графику 126.5 KB
  Введение в компьютерную графику Определение и основные задачи компьютерной графики. Области применения компьютерной графики. История развития компьютерной графики. Виды компьютерной графики. Определение и основные задачи компьютерной графики При обр...
7622. Аппаратное обеспечение компьютерной графики 191.5 KB
  Аппаратное обеспечение компьютерной графики Устройства вывода графических изображений, их основные характеристики. Мониторы, классификация, принцип действия, основные характеристики. Видеоадаптер. Принтеры, их классификация, основные характеристики ...
7623. Представление графических данных 171 KB
  Представление графических данных Форматы графических файлов. Понятие цвета. Зрительный аппарат человека, для восприятия цвета. Аддитивные и субтрактивные цвета в компьютерной графике. Понятие цветовой модели и режима. Закон Грассмана. Пиксельная глу...
7624. Фрактальная графика 306 KB
  Понятие фрактала и история появления фрактальной графики. Понятие размерности и ее расчет. Геометрические фракталы. Алгебраические фракталы. Системы итерируемых функций. Стохастические фракталы. Фракталы и хаос. Понятие фрактала ...
7625. Растровая графика, общие сведения 134.5 KB
  Растровая графика Растровая графика, общие сведения. Растровые представления изображений. Виды растров. Факторы, влияющие на количество памяти, занимаемой растровым изображением. Достоинства и недостатки растровой графики. Геометрические характерист...
7626. Векторная графика, общие сведения 173.5 KB
  ВЕКТОРНАЯ ГРАФИКА Векторная графика. Объекты и их атрибуты. Структура векторной иллюстрации. Достоинства и недостатки векторной графики. Пиксель. Битовая глубина, определение числа доступных цветов в компьютерной графике. Элементы (объекты) векторно...
7627. Основные понятия трехмерной графики 60.5 KB
  Трехмерная графика Основные понятия трехмерной графики. Области применения трехмерной графики. Программные средства обработки трехмерной графики. Основные понятия трехмерной графики Трехмерная графика нашла широкое применение в таких областях, как н...
7628. Базовые растровые алгоритмы 312 KB
  Базовые растровые алгоритмы Алгоритм вывода прямой линии. Алгоритм вывода окружности. Алгоритм вывода эллипса. Алгоритмы вывода фигур. Алгоритмы закрашивания (простейший алгоритм закрашивания, волновой алгоритм, алгоритм закрашивания линиями). Запол...
7629. Становлення молодого фахівця у динамічному соціальному середовищі як світоглядно-методологічна проблема 192 KB
  Становлення молодого фахівця у динамічному соціальному середовищі як світоглядно-методологічна проблема. Теоретичні та філософські погляди на професійне становлення особистості у соціумі. Трансформація філософського розуміння професійної...