32444

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Если в одном эксперименте могут произойти события А и В то возникает вопрос как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов приводящих к наступлению события А среди всех элементарных исходов пространства то условную вероятность события А при условии что событие В произошло можно рассматривать как долю исходов приводящих к событию А во множестве элементарных исходов образующих событие В. Условная...

Русский

2013-09-04

81 KB

3 чел.

   Лекция 3.

$7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

   Если в одном эксперименте могут произойти события А и В, то возникает вопрос, как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Характеристикой связи событий является условная вероятность.

   Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов, приводящих к наступлению события А, среди всех элементарных исходов пространства      , то условную вероятность события А ( при условии, что событие В произошло) можно рассматривать как долю исходов, приводящих к событию А во множестве элементарных исходов, образующих событие В.

   Условная вероятность события А (при условии, что событие В произошло)             определяется по формуле:  Р(А/В)= P(AB)/P(B), если Р(В) > 0.

Величину Р(А/B) можно cчитать вероятностью события А в новых условиях ( в условиях наступления события В).

Пример 9. Первая цифра телефонного номера, записанного в телефонной книжке, стерлась.

Если владелец книжки наберет любую цифру вместо стершейся, то может произойти событие А: «владелец книжки дозвонится с первого раза”. Р(А)=1/9.

Пусть стало известно, что телефонные номера в этом районе начинаются с цифр «1» и «2». Событие В: «первая цифра телефонного номера 1 или 2», Р(B)=2/9.

Р(АВ)=1/9, т.к. cобытия А и B произойдут одновременно, если владелец книжки наберет верную цифру. Тогда  Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)= (1/9)/(2/9)=1/2.   

    Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:

1) 0  P(А/B)  1;

2) если В ведет к наступлению события А (ВА), то Р(А/В)=1;

3) если В исключает возможность наступления А, т.е. АВ= , то Р(А/B)=0;

4) если событие А есть  объединение непересекающихся событий C и D :, то .

$8. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ.

Утверждение 1 (теорема сложения).  P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).

Доказательство. Cобытие (АВ) можно представить как объединение трех непересекающихся событий: A\B, B\A и АВ. Тогда по третьей аксиоме вероятностей

Р(АВ)=Р(А\В)+Р(В\А)+Р(АВ)= Р(А)+Р(В\А)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Утверждение 2.  Вероятность объединения n (n > 2) событий равна

– формула Буля.

Доказательство. При n=2 формула доказана в Утверждении 1. Для n > 2 она проверяется по индукции на основании формулы

Утверждение 3 (теорема умножения). Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(А)*Р(В/А).

Доказательство cразу следует из определения условной вероятности.

Утверждение 4. Формула вероятности пересечения n событий (n > 2) получается из формулы Буля, если операции «объединения» и «пересечения » поменять местами.

Доказательство следует из формул двойственности:  где  – некоторое множество индексов.

$9. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.

    Cобытия А и В называются независимыми, если наступление события В не влияет на возможность наступления А, т.е. условная вероятность  Р(А/В) равна безусловной вероятности события А: Р(А/В)=Р(А).

Пример 10.  Из колоды в 36 карт наугад вынимают карту. Cобытие А: «эта карта – дама», cобытие В: «эта карта пиковой масти». Зависимы ли эти события?

Р(А)=4/36=1/9, Р(А/B)=Р(АВ)/Р(В)=(1/36)/(9/36)=1/9. Cобытия независимы.

     Приведем свойства независимых событий.

Утверждение 5. Cобытия А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность их пересечения равна произведению вероятностей: Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Доказательство. Необходимость. Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(В)*Р(А).

Достаточность. Р(А)= Р(А)*Р(В)/Р(В)=Р(АВ)/Р(В)=Р(А/В).

     Из этого утверждения также следует, что события А и В зависимы или независимы одновременно.

Утверждение 6. Если события А и В независимы, то события  и В тоже независимы.

Для доказательства используем третью аксиому вероятности:

Пример 11. Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков четна?

Cобытие А1– «четное число очков на первой кости»,  A2 –“ на второй», А –“ сумма выпавших очков четна». . Cобытия несовместны, поэтому Р(А)= Так как А1  и А2  независимы,

     Если рассмотреть n (n > 2) cобытий, то попарной независимости недостаточно для независимости n событий в совокупности.

Определение. Cобытия В12,…,Вn  называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов 1  i1< i2 < …<ir  n 

Пример 12  (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, cиний и зеленый цвет, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Cобытие А: “на плоскость выпала грань, cодержащая красный цвет»; событие В –«содержащая синий цвет»; событие C –“ зеленый». Р(А)= Р(В)=Р(C)=1/2, поскольку каждый цвет присутствует на двух гранях. Вероятность пересечения любых двух событий равна  Р(АC)=Р(ВC)=Р(АВ)=1/4. Отсюда следует, что любые два события независимы, например Р(АC)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(C). Cобытия А,В,C не являются независимыми в совокупности, т.к. Р(АВC)=1/4 Р(А)*Р(В)*Р(C)=1/8.

 

$10. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

     Пусть есть система непересекающихся событий H1, H2, H3,…, одно из которых обязательно осуществится в результате эксперимента. Такие события называют гипотезами. Пусть А- произвольное событие в этом эксперименте. Очевидно,.

Теорема 1 (формула полной вероятности)..

Доказательство. . Cобытия АН1, АН2, АН3... несовместны, и по третьей аксиоме вероятностей .

Пример 13. Представим себе странника, который на разветвлении дорог О выбирает наугад один из возможных путей. Обозначим через Вk, к=1,...,4, cобытие: «из пункта О странник отправится в пункт Вk . Cобытия В1, …, В4  являются гипотезами, прелположим, что Р(Вk)=1/4, к=1,...,4. Пусть есть также пункт А. Если странник придет в B1, то из него он может попасть в пункт А по одному из трех равновероятных направлений, Р(А/В1)=1/3. Аналогично, Р(А/В2)= 1/2, Р(А/В3)=1, Р(А/В4)=1/5. Тогда по формуле полной вероятности Р(А)=1/4*1/3+1/4*1/2+1/4*1+1/4*1/5=

                                                                           =55/120.

   $11. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

   Пусть Н1, H2, H3,... - гипотезы, и пусть известны вероятности Р(Нk), k=1,2,.... В результате               эксперимента происходит некоторое событие А. Как изменятся вероятности гипотез при поступлении информации о том, что событие А произошло? Ответ дает

Теорема 2 (формула Байеса)..

Доказательство. Р(Нi/А)=Р(Нi*А)/Р(А). Заменим числитель в соответствии с теоремой умножения, а знаменатель – в соответствии с формулой полной вероятности.

Вероятности гипотез до эксперимента Р(Нk) называются априорными, а вероятности

Р(Нk/А) – апостериорными относительно события А. 

Пример 14. Спортсмены трех стран принимают участие в соревновании: 30 человек из первого  государства, 25 –из второго и 20 –из третьего. Спортсмены первого государства завоевали 3 медали, второго – 5, третьего – 6. Какова вероятность, что случайно выбранный спотрсмен, получивший медаль, из третьего государства?

Гипотеза Н1 - спортсмен из 1-ого государства, H2 - из второго, H3 – из третьего.

Р(Н1)= 30/75=2/5; Р(H2)=25/75=1/3; Р(H3)=20/75=4/15. Cобытие А – спортсмен получил медаль. Р(А/H1)=3/30=1/10; Р(А/H2)=5/25=1/5; Р(А/H3)=6/20=3/10. Вероятность, что спортсмен  - из третьего государства, при условии, что он получил медаль Р(H3/А)= Р(Н3)*Р(А/Н3)/(Р(Н1)*Р(А/H1)+ Р(Н2)*Р(А/H2)+ Р(Н3)*Р(А/H3))=

= (4/15*3/10)/(2/5*1/10+1/3*1/5+4/15*3/10)=3/7.

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54859. Нормативно-правова база з військових питань 557 KB
  Мета: ознайомити учнів з Воєнною доктриною України основними принципами будівництва Збройних Сил України структурою військової організації держави та сучасними зразками озброєння та техніки; пояснити учням що основою військової організації держави виступають Збройні Сили України; прищіліти інтерес до служби у Збройних Силах України; продовжити формування розгорнутої навчальної діяльності вміння самостійно здобувати знання; удосконалювати такі загально пізнавальні навички: аналізувати систематизувати виділяти головне та інші;...
54861. Створення електронних підручників 46.5 KB
  Стрімкий процес інформатизації шкіл на основі сучасних компютерів що поступають в навчальні заклади країни відкриває в освіті шлях електронним підручникам. Сучасні методи представлення інформації в компютерах містять в собі не тільки текст малюнки графіку креслення але й звукові та відео фрагменти що забезпечує наочність підручника. Окремі аспекти електронного підручника досліджувались у роботах А. Вони мають такі загальні ознаки а саме: – навчальний матеріал висловлюється з певної області знань та освітлюється на сучасному рівні...
54862. Мультиказковий феєрверк 321.5 KB
  Протилежні числа. Координатний промінь Тема модуля: Додатні та від’ємні числа. Протилежні числа.
54863. Слово. Значение слова 1.76 MB
  Значение слова. Фундаментом знаний является материал заложенный в первом классе где дети в доступной форме познакомились со словами предметами признаками предметов действиями словами которые служат для связи слов в предложении заменяя данные понятия на слова-художники слова работяги слова узелки.
54864. Градусна сітка Землі. Географічні координати 129.5 KB
  Мета: поглиблення і систематизація знань про географічні координати; вдосконалення практичних навичок і вмінь працювати з географічною картою; розвиток логічного мислення. Географічні координати – це адреса точки Г Пн. Які міста мають координати: 56 пн.
54865. Додавання і віднімання раціональних чисел 145.5 KB
  Сума двох від’ємних чисел це число. Сума двох протилежних чисел дорівнює. Знак для позначення суми чисел плюс.
54866. Княжа Русь-Україна. Підсумково-узагальнюючий урок 66.5 KB
  Сьогодні у нас підсумковоузагальнюючий урок з теми Княжа РусьУкраїна. В процесі гри Історичне лото закріпемо поняття з теми: князь князівство дружина віче полюддя релігія християнство Київська Русь Руська Правда ярлик хан орда язичнизтво бояри. Я створов перший збірник законів що отримав назву Руська Правда.
54867. Теорема Піфагора 578.5 KB
  Що називається соs гострого кута прямокутного трикутника Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи. 6 Знайдіть чому дорівнює соsА соsА = відношенню прилеглого катета АС до гіпотенузи АВ. Знайдіть чому дорівнює соsВ соsВ= відношенню прилеглого катета до гіпо тенузи. 7 Скажіть чи залежить значення соs кута від розмірів трикутника ні.