32444

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция

Математика и математический анализ

Если в одном эксперименте могут произойти события А и В то возникает вопрос как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов приводящих к наступлению события А среди всех элементарных исходов пространства то условную вероятность события А при условии что событие В произошло можно рассматривать как долю исходов приводящих к событию А во множестве элементарных исходов образующих событие В. Условная...

Русский

2013-09-04

81 KB

3 чел.

   Лекция 3.

$7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

   Если в одном эксперименте могут произойти события А и В, то возникает вопрос, как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Характеристикой связи событий является условная вероятность.

   Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов, приводящих к наступлению события А, среди всех элементарных исходов пространства      , то условную вероятность события А ( при условии, что событие В произошло) можно рассматривать как долю исходов, приводящих к событию А во множестве элементарных исходов, образующих событие В.

   Условная вероятность события А (при условии, что событие В произошло)             определяется по формуле:  Р(А/В)= P(AB)/P(B), если Р(В) > 0.

Величину Р(А/B) можно cчитать вероятностью события А в новых условиях ( в условиях наступления события В).

Пример 9. Первая цифра телефонного номера, записанного в телефонной книжке, стерлась.

Если владелец книжки наберет любую цифру вместо стершейся, то может произойти событие А: «владелец книжки дозвонится с первого раза”. Р(А)=1/9.

Пусть стало известно, что телефонные номера в этом районе начинаются с цифр «1» и «2». Событие В: «первая цифра телефонного номера 1 или 2», Р(B)=2/9.

Р(АВ)=1/9, т.к. cобытия А и B произойдут одновременно, если владелец книжки наберет верную цифру. Тогда  Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В)= (1/9)/(2/9)=1/2.   

    Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:

1) 0  P(А/B)  1;

2) если В ведет к наступлению события А (ВА), то Р(А/В)=1;

3) если В исключает возможность наступления А, т.е. АВ= , то Р(А/B)=0;

4) если событие А есть  объединение непересекающихся событий C и D :, то .

$8. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ.

Утверждение 1 (теорема сложения).  P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).

Доказательство. Cобытие (АВ) можно представить как объединение трех непересекающихся событий: A\B, B\A и АВ. Тогда по третьей аксиоме вероятностей

Р(АВ)=Р(А\В)+Р(В\А)+Р(АВ)= Р(А)+Р(В\А)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Утверждение 2.  Вероятность объединения n (n > 2) событий равна

– формула Буля.

Доказательство. При n=2 формула доказана в Утверждении 1. Для n > 2 она проверяется по индукции на основании формулы

Утверждение 3 (теорема умножения). Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(А)*Р(В/А).

Доказательство cразу следует из определения условной вероятности.

Утверждение 4. Формула вероятности пересечения n событий (n > 2) получается из формулы Буля, если операции «объединения» и «пересечения » поменять местами.

Доказательство следует из формул двойственности:  где  – некоторое множество индексов.

$9. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ.

    Cобытия А и В называются независимыми, если наступление события В не влияет на возможность наступления А, т.е. условная вероятность  Р(А/В) равна безусловной вероятности события А: Р(А/В)=Р(А).

Пример 10.  Из колоды в 36 карт наугад вынимают карту. Cобытие А: «эта карта – дама», cобытие В: «эта карта пиковой масти». Зависимы ли эти события?

Р(А)=4/36=1/9, Р(А/B)=Р(АВ)/Р(В)=(1/36)/(9/36)=1/9. Cобытия независимы.

     Приведем свойства независимых событий.

Утверждение 5. Cобытия А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность их пересечения равна произведению вероятностей: Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Доказательство. Необходимость. Р(АВ)=Р(В)*Р(А/B)=Р(В)*Р(А).

Достаточность. Р(А)= Р(А)*Р(В)/Р(В)=Р(АВ)/Р(В)=Р(А/В).

     Из этого утверждения также следует, что события А и В зависимы или независимы одновременно.

Утверждение 6. Если события А и В независимы, то события  и В тоже независимы.

Для доказательства используем третью аксиому вероятности:

Пример 11. Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков четна?

Cобытие А1– «четное число очков на первой кости»,  A2 –“ на второй», А –“ сумма выпавших очков четна». . Cобытия несовместны, поэтому Р(А)= Так как А1  и А2  независимы,

     Если рассмотреть n (n > 2) cобытий, то попарной независимости недостаточно для независимости n событий в совокупности.

Определение. Cобытия В12,…,Вn  называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов 1  i1< i2 < …<ir  n 

Пример 12  (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, cиний и зеленый цвет, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Cобытие А: “на плоскость выпала грань, cодержащая красный цвет»; событие В –«содержащая синий цвет»; событие C –“ зеленый». Р(А)= Р(В)=Р(C)=1/2, поскольку каждый цвет присутствует на двух гранях. Вероятность пересечения любых двух событий равна  Р(АC)=Р(ВC)=Р(АВ)=1/4. Отсюда следует, что любые два события независимы, например Р(АC)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(C). Cобытия А,В,C не являются независимыми в совокупности, т.к. Р(АВC)=1/4 Р(А)*Р(В)*Р(C)=1/8.

 

$10. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

     Пусть есть система непересекающихся событий H1, H2, H3,…, одно из которых обязательно осуществится в результате эксперимента. Такие события называют гипотезами. Пусть А- произвольное событие в этом эксперименте. Очевидно,.

Теорема 1 (формула полной вероятности)..

Доказательство. . Cобытия АН1, АН2, АН3... несовместны, и по третьей аксиоме вероятностей .

Пример 13. Представим себе странника, который на разветвлении дорог О выбирает наугад один из возможных путей. Обозначим через Вk, к=1,...,4, cобытие: «из пункта О странник отправится в пункт Вk . Cобытия В1, …, В4  являются гипотезами, прелположим, что Р(Вk)=1/4, к=1,...,4. Пусть есть также пункт А. Если странник придет в B1, то из него он может попасть в пункт А по одному из трех равновероятных направлений, Р(А/В1)=1/3. Аналогично, Р(А/В2)= 1/2, Р(А/В3)=1, Р(А/В4)=1/5. Тогда по формуле полной вероятности Р(А)=1/4*1/3+1/4*1/2+1/4*1+1/4*1/5=

                                                                           =55/120.

   $11. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

   Пусть Н1, H2, H3,... - гипотезы, и пусть известны вероятности Р(Нk), k=1,2,.... В результате               эксперимента происходит некоторое событие А. Как изменятся вероятности гипотез при поступлении информации о том, что событие А произошло? Ответ дает

Теорема 2 (формула Байеса)..

Доказательство. Р(Нi/А)=Р(Нi*А)/Р(А). Заменим числитель в соответствии с теоремой умножения, а знаменатель – в соответствии с формулой полной вероятности.

Вероятности гипотез до эксперимента Р(Нk) называются априорными, а вероятности

Р(Нk/А) – апостериорными относительно события А. 

Пример 14. Спортсмены трех стран принимают участие в соревновании: 30 человек из первого  государства, 25 –из второго и 20 –из третьего. Спортсмены первого государства завоевали 3 медали, второго – 5, третьего – 6. Какова вероятность, что случайно выбранный спотрсмен, получивший медаль, из третьего государства?

Гипотеза Н1 - спортсмен из 1-ого государства, H2 - из второго, H3 – из третьего.

Р(Н1)= 30/75=2/5; Р(H2)=25/75=1/3; Р(H3)=20/75=4/15. Cобытие А – спортсмен получил медаль. Р(А/H1)=3/30=1/10; Р(А/H2)=5/25=1/5; Р(А/H3)=6/20=3/10. Вероятность, что спортсмен  - из третьего государства, при условии, что он получил медаль Р(H3/А)= Р(Н3)*Р(А/Н3)/(Р(Н1)*Р(А/H1)+ Р(Н2)*Р(А/H2)+ Р(Н3)*Р(А/H3))=

= (4/15*3/10)/(2/5*1/10+1/3*1/5+4/15*3/10)=3/7.

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28138. Правило Бугера-Вебера и “основной психофизический закон” Г.Т.Фехнера 36 KB
  Бугер пришел к выводу что величина едва заметного различия ЕЗР между двумя освещенностями непостоянна она возрастает пропорционально исходной освещенности: ΔL=kL. Другими словами отношение ЕЗР ΔL к исходному уровню освещенности есть величина постоянная; ΔL L= const. раз то и величина разностного порога ΔР = P1 Р2 повышалась в той же пропорции. Для веса в 200 граммов величина разностного порога составляла 6 граммов для 300 9 граммов и т.
28139. Понятие о психофизических шкалах. Основные методы психофизического шкалирования 530 KB
  Основные методы психофизического шкалирования. Методы психофизического шкалирования: 1. Методы воспроизведения и идентификации. Эти методы редко используются но имеют ценность для изучения кратковременной памяти так как позволяют оценить характер трансформации субъективного образа сигнала при его запечатлении и хранении.
28140. Интроспективная психология 40 KB
  Интроспекция лат. В качестве особого метода интроспекция была обоснована в работах Р. Виды интроспекции: аналитическая интроспекция; систематическая интроспекция; феноменологическое самонаблюдение. Человек в отличие от животных наделен разумной душой сознанием по отношению к которому применительна интроспекция.
28141. Европейский функционализм 44 KB
  Предметом психологии функционализм обозначает сознание и функционалистов не интересует строение сознания. Их интересуют два главных вопроса::Какова роль сознания психики в жизнедеятельности организмовУ истоков европейского функционализма стоял австрийский психолог Франц Брентано 18381917. Главной для новой психологии он считал проблему сознания. Для обозначения этого признака сознания Брентано предложил термин интенция .
28142. Американский функционализм 24 KB
  Не требует особых комментариев положение о том насколько существен для научной теории этот аспект анализа реальной работы производимой как внутри состава собственно психического акта так и в процессе его организующего воздействия на приспособление организма к среде и на активное преобразование последней. Стимул перестает быть независимым по отношению к организму и его реакции Объект становится производным от акта или функции. Дьюи выступал с резкой критикой детерминистической концепции рефлекторного акта в которой объект действия не...
28143. Методы психологии труда 173.5 KB
  ПТ пытается решить две основных макрозадачи: 1 повышение производительности и эффективности трудовой деятельности 2 гуманизация трудовой деятельности содействие развитию личности в ней. как регуляторов трудовой деятельности и их развития в деятельности. Изучение основных психических свойств субъекта трудовой деятельности и ее эффективности. Изучение проблемы мотивации трудовой деятельности.
28144. Виды и функции речи 61 KB
  Существуют различные виды речи: речь жестов и звуковая речь письменная и устная речь внутренняя и внешняя речь. Выделять виды речь можно по разным основаниям и благодаря этому подчеркиваются разные стороны речевой деятельности. В зависимости от выявленности речевой деятельности вовне различают внешнюю и внутреннюю речь. Это речь обращенная к другому человеку это речь для другого.
28145. Психологическая готовность ребенка к школьному обучению 26.85 KB
  Вопрос готовности ребёнка к школьному обучению начал решаться с перевода детей на обучение с 6ти лет. Важна задача не снабжения знаниями ребёнка а его развитие. Выделяется 3 аспекта зрелости: интеллектуальный – дифференцированное восприятие концентрация внимания аналитическое мышление способность постигать основные связи между явлениями – способность логического запоминания умение воспринимать образец развитие тонкой моторики и координации; эмоциональный – уменьшение импульсивных реакций возможность длительное время выполнять...
28146. Концепция В. Дильтея 37 KB
  В период открытого кризиса его описательная психология как наука о духе занимала одно из центральных мест. Дильтей считал что господствовавшая психология – атомистическая элементаристическая – не дает адекватной картины духовной жизни человека она строится на объяснительных методах заимствованных из естествознания и как наука о личности должна быть отвергнута. Описательная психология рассматривает также развитие личности каждый этап которого определяется характерной для него ценностью все более возрастающей. Описательная психология по...