32445

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают – соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Русский

2013-09-04

115 KB

12 чел.

Лекция 4.

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

$1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Если задано некоторое вероятностное пространство (, , Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве .

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают – соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на 5 секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1.  Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш –100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100,  x2 = 200, …, x5 = 500. 

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы.

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины – это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение: P(Х = хn) = Р{Х() = хn}.

Пример 2. Случайная величина Х из примера 1 принимает свои значения со следующими вероятностями: р1 = 5/15, р2=4/15,…, р5=1/15.

         

$2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(),   , можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {: X( x}принадлежат алгебре  при любом действительном  x. Такие функции называются измеримыми.


Пример 3.
Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(x) не убывает.

Доказательство. Пусть х1 <  х2. F(x2) – F(x1) = Р(X  x2) – Р(X  x1) =
Р{x1X( x2 0. Cледовательно, F(x1 F(x2).

Утверждение 2. Функция F(x) непрерывна справа, т.е. .

Доказательство. Предположим, F(x) не является непрерывной справа  в некоторой точке а: для  F(а + ) - F(a) > 0, т.е. P{: а < Х()  a +  } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят а, но не превосходят а +  сразу для всех . Но это невозможно, т.к. любое значение х0 ,большее a, будет превосходить и a +  при некоторых  .

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой.

      Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых  Такие распределения называются несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

$3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k= 1,2,… с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

  1.  для любой постоянной величины C: MC=C;
  2.  для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;
  3.  для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;
  4.  если случайные величины X() и Y() таковы, что X() Y() для всех , то МX  MY;

5)        

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(XMX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

  1.  для любой постоянной величины C: DC=0;
  2.  для любой постоянной a: D(aX)=а2*D(X).

Утверждение 4. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX 2 – математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX 2-(MX)2.

MX 2= 1002*1/3+2002*4/15+3002*1/5+4002*2/15+5002*1/15=70000; DX = 15555,(5).

 

$4. МОМЕНТЫ.

Моментом порядка k (k=1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Xk .

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. 

Центральным моментом порядка k (k=1,2,3...) называется величина 

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны 0.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка l представляет собой ряд                 Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна 0.

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина

Пример 8. Посчитаем коэффициент ассиметрии случайной величины из Х примера 1.

15

PAGE  15


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28248. Сознательное и бессознательное в личности: отечественный подход (школа установки Узнадзе) и зарубежный подход (психодинамические концепции) 51 KB
  Являясь исходной структурой психики ид выражает первичный принцип всей человеческой жизни – немедленную разрядку психической энергии сдерживание которой приводит к напряжению в личностном функционировании. С целью преобразования и реализации потребностей в социально приемлемом контексте эго черпает из €œид€ часть энергии обеспечивая безопасность и самосохранение организма. Освобождение некоторого количества энергии эго для решения проблем на более высоком уровне психики является одной из основных целей психоаналитической терапии. Трактуя...
28249. Гуманистический (К.Роджерс, А. Маслоу), экзистенциальный (В.Франкл, Р.Мэй, И. Ялом) и гештальт (Ф. Перлз, К.Левин) подходы к исследованию личности и психотерапия 68 KB
  Основные положения гуманистической психологии: 1человек должен изучаться в его целостности; 2каждый человек уникален поэтому анализ отдельных случаев не менее оправдан чем статистические обобщения; 3переживания человеком мира и себя в мире являются главной психологической реальностью; 4человеческая жизнь единый процесс становления и бытия человека; 5человек открыт к непрерывному развитию и самореализации которые являются частью его природы; 6человек обладает определенной степенью свободы от внешней детерминации благодаря смыслам и...
28250. Культурно-историческая психология (Выготский Л.С., Леонтьев А.Н.) 49 KB
  В основе теории лежат 2 гипотезы: об опосредованном характере психической деятельности о происхождении внутренних психических процессов из деятельности первоначально внешней и €œинтерпсихической€ Выготский выдвигает предположение что в психике человека существует особенность соответствующая той роли которую играют труд употребление и создание орудий в его производственной деятельности. Эта особенность – в опосредованном характере психической деятельности людей основа исторического подхода к изучению человека. Психическая деятельность...
28251. Гуманистическая психология (А.Маслоу, К.Роджерс и др.) 48 KB
  Бихевиоризм фактически сводит жизнедеятельность к манипуляциям и тем самым низводит человека до уровня стимульнореактивного механизма. Основные положения гуманистической психологии: человек должен изучаться в его целостности; каждый человек уникален поэтому анализ отдельных случаев не менее оправдан чем статистические обобщения; переживания человеком мира и себя в мире являются главной психологической реальностью; человеческая жизнь единый процесс становления и бытия человека; человек открыт к непрерывному развитию и самореализации...
28252. Когнитивная психология (Дж.Миллер, У.Найссер и др.) 40 KB
  КОГНИТИВНАЯ ПСИХОЛОГИЯ одно из ведущих направлений современной зарубежной психологии. Хотя ощущение и восприятие механическая а позже логическая память мышление и речь как психические функции действия или процессы были первыми объектами исследований в ранней экспериментальной психологии но все же первыми научными направлениями завоевавшими психологическое пространство в начале нашего века были бихевиоризм психоанализ и гештальтпсихология в меньшей степени интересовавшиеся указанными процессами как таковыми. Лишь к 60м годам...
28253. Виды ощущений (по Б.Г.Ананьеву) 39 KB
  Так тактильные вибрационные мышечные вестибулярные ощущения отражают определенные моменты и свойства механического движения различных тел в том числе и тела человека. Интерорецепция вкусовые болевые температурные ощущения специфически связаны с основными явлениями жизнедеятельности биологической формой движения материи. механические формы движения тактильные вибрационные мышечные вестибулярные молекулярные формы движения зрительные слуховые вибрационные температурные химические формы движения обонятельные...
28254. Эволюция и психологичсское значение дистантных ощущений. Отражение пространства при парной работе дистантных анализаторов 47 KB
  1 базальные ощущения тактилънокинестетическое осязание 2 ведущие зрение слух от них идет максимальная информация 3 сквозные ощущения кинестетические движение. Дистанционные ощущения в процессе эволюции развились позже контактных: вибро и хеморецепция обоняние слух зрение как повышение адапгивных возможностей организма ОТРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА функция парных анализаторов напр. Бинокулярное зрение При раздражении несоответствующих диспарантных точек бинокулярное зрение или дизассоциируется раздваевается или...
28255. Особая роль осязания в структуре сенсорной организации человека и его значение в процессах познания и труда (Ананьев, Веккер, Ломов, Ярмоленко) 27 KB
  Осязание в процессах познания и труда которая в 1961 году была удостоена премии К. Осязание органически связано со всей структурой чувственной репрезентации человека. Осязание способность животных и человека воспринимать действие факторов внешней среды с помощью рецепторов кожи опорнодвигательного аппарата мышц сухожилий суставов и др. Осязание существенно расширяет представления организма об окружающем мире играет важную роль в его жизнедеятельности.