32445

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Русский

2013-09-04

115 KB

12 чел.

Лекция 4.

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

$1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Если задано некоторое вероятностное пространство (, , Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве .

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают – соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на 5 секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1.  Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш –100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100,  x2 = 200, …, x5 = 500. 

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы.

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины – это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение: P(Х = хn) = Р{Х() = хn}.

Пример 2. Случайная величина Х из примера 1 принимает свои значения со следующими вероятностями: р1 = 5/15, р2=4/15,…, р5=1/15.

         

$2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(),   , можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {: X( x}принадлежат алгебре  при любом действительном  x. Такие функции называются измеримыми.


Пример 3.
Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(x) не убывает.

Доказательство. Пусть х1 <  х2. F(x2) – F(x1) = Р(X  x2) – Р(X  x1) =
Р{x1X( x2 0. Cледовательно, F(x1 F(x2).

Утверждение 2. Функция F(x) непрерывна справа, т.е. .

Доказательство. Предположим, F(x) не является непрерывной справа  в некоторой точке а: для  F(а + ) - F(a) > 0, т.е. P{: а < Х()  a +  } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят а, но не превосходят а +  сразу для всех . Но это невозможно, т.к. любое значение х0 ,большее a, будет превосходить и a +  при некоторых  .

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой.

      Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых  Такие распределения называются несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

$3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k= 1,2,… с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

  1.  для любой постоянной величины C: MC=C;
  2.  для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;
  3.  для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;
  4.  если случайные величины X() и Y() таковы, что X() Y() для всех , то МX  MY;

5)        

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(XMX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

  1.  для любой постоянной величины C: DC=0;
  2.  для любой постоянной a: D(aX)=а2*D(X).

Утверждение 4. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX 2 – математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX 2-(MX)2.

MX 2= 1002*1/3+2002*4/15+3002*1/5+4002*2/15+5002*1/15=70000; DX = 15555,(5).

 

$4. МОМЕНТЫ.

Моментом порядка k (k=1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Xk .

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. 

Центральным моментом порядка k (k=1,2,3...) называется величина 

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны 0.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка l представляет собой ряд                 Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна 0.

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина

Пример 8. Посчитаем коэффициент ассиметрии случайной величины из Х примера 1.

15

PAGE  15


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34385. Баланс денежных доходов и расходов населения, его роль и методика разработки 72 KB
  Политика доходов была направлена на сохранение в условиях инфляции определенного уровня заработной платы низкооплачиваемым слоям населения и реальной стоимости социальных выплат путем их периодических централизованных повышений или индексаций. Их успешная реализация стала важным этапом в обеспечении устойчивого экономического роста и повышении уровня жизни населения. Реальные денежные доходы населения повысились на 72 их рост по отношению к 1990 г.
34386. Прогнозирование и планирование оплаты труда 66 KB
  Основная цель оплаты труда обеспечить объективно необходимое воспроизводство рабочей силы в соответствии с ее стоимостью и повысить уровень мотивации исполнителей к эффективному труду. Фонд оплаты труда по народному хозяйству это сумма денежных средств предназначенных для распределения между рабочими и служащими в зависимости от количества и качества затраченного труда. Источниками фонда оплаты труда является национальный доход который распределяется на фонд потребления и фонд накопления.
34387. Реальные доходы населения. Методы их прогнозирования 55 KB
  Методы их прогнозирования Важнейшим обобщающим показателем социального развития и уровня жизни населения являются реальные доходы. Основным источником формирования реальных денежных доходов и стимулирования трудовой деятельности являются зарплата повышение производительности труда и эффективности хозяйствования во всех звеньях экономики рост инвестиционного потенциала населения снижение налоговой нагрузки на фонд зарплаты субъектов хозяйствования всех форм собственности что будет способствовать созданию новых рабочих мест...
34388. Потребительский рынок (ПР). Прогнозирование спроса на товары народного потребления 33.5 KB
  Рынок сфера товарноденежного обращения охватывает совокупность конкретных отношений и связей между производителями и потребителями товаров. Структура ПР: международный рынок рынок государств содружества рынок РБ рынок региональных областей рынок конкретных товарных групппродовольственных. Рынок: 1.
34389. Прогнозирование и планирование покупательных фондов и товарных ресурсов 37.5 KB
  Рассчитанный таким образом покупательный фонд определяет необходимый объем продажи товаров населению в денежном выражении. К этой величине прибавляется оборот по продаже товаров организациям и учреждениям в порядке мелкооптовой торговли и в результате определяется необходимый объем товарооборота. Дело в том что потребительские ожидания относительно таких факторов как будущие цены на товары наличие товаров и будущий доход способны изменить спрос. Для увязки совокупного спроса на товары народного потребления с товарными ресурсами наряду с...
34390. Формирование структуры товарооборота. Баланс спроса и предложения, его содержание и назначение 41.5 KB
  Чтобы сформировать структуру товарооборота необходимо определить спрос на отдельные группы товаров и сопоставить с ресурсами этих товаров. Структура характеризует соотношение товарных групп и отдельных товаров в общем объеме розничного товарооборота. Соотношение отдельных товарных групп и товаров связано вопервых с их значимостью и вовторых со степенью дополняемости и заменяемости товаров в процессе реализации и потребления. В процессе разработки прогнозов должен осуществляться анализ тенденций изменения структуры товарооборота за...
34391. Внешнеэкономическая политика. Прогнозирование экспорта и импорта 37.5 KB
  Среди моделей получивших широкое применение в мировой практике для прогнозирования экспорта и импорта следует выделить: трендовые модели; функции экспорта и импорта многофакторные модели; комплексные эконометрические модели; модели межотраслевого баланса; матричные модели международной торговли; оптимизационные модели. Трендовые модели у = t b и др. Эти модели используются на стадии составления инерционного прогноза. При конструировании целевого прогноза применяются функции экспорта и импорта многофакторные модели.
34392. Квотирование, лицензирование, валютное регулирование экспорта и импорта 25 KB
  Квотирование К установление количественных ограничений квот на ввоз и вывоз товаров. Лицензирование Л: для ввоза вывоза определенных товаров требуется получить установленный документ лицензию. Число квотированных товаров по мере приближения цен к мировым снижается. Кроме того лицензированию подлежат экспорт и импорт специфических товаров: товаров и технологий военного и двойного назначения ядерных материалов драгоценных металлов и камней наркотических и психотронных средств ядов.
34393. Определение эффективности ВЭС 29 KB
  Эффективность экспорта продукции Ээ определяется соотношением валютной выручки Вэ к затратам на экспорт Зэ. Если Ээ 1 то экспорт продукции экономически выгоден Ээ = Вэ Зэ. Эффективность импорта продукции Эи определяется соотношением затрат на производство импортозамещающих товаров Зи к валютным расходам на приобретение импортных товаров Ви Эи = Зи Ви. На основе расчетов эффективности экспорта и импорта делается вывод о целесообразности поставок продукции в ту или иную страну и импорта товаров.