32445

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают – соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Русский

2013-09-04

115 KB

12 чел.

Лекция 4.

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

$1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Если задано некоторое вероятностное пространство (, , Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве .

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают – соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на 5 секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1.  Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш –100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100,  x2 = 200, …, x5 = 500. 

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы.

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины – это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение: P(Х = хn) = Р{Х() = хn}.

Пример 2. Случайная величина Х из примера 1 принимает свои значения со следующими вероятностями: р1 = 5/15, р2=4/15,…, р5=1/15.

         

$2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(),   , можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {: X( x}принадлежат алгебре  при любом действительном  x. Такие функции называются измеримыми.


Пример 3.
Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(x) не убывает.

Доказательство. Пусть х1 <  х2. F(x2) – F(x1) = Р(X  x2) – Р(X  x1) =
Р{x1X( x2 0. Cледовательно, F(x1 F(x2).

Утверждение 2. Функция F(x) непрерывна справа, т.е. .

Доказательство. Предположим, F(x) не является непрерывной справа  в некоторой точке а: для  F(а + ) - F(a) > 0, т.е. P{: а < Х()  a +  } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят а, но не превосходят а +  сразу для всех . Но это невозможно, т.к. любое значение х0 ,большее a, будет превосходить и a +  при некоторых  .

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой.

      Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых  Такие распределения называются несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

$3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k= 1,2,… с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

  1.  для любой постоянной величины C: MC=C;
  2.  для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;
  3.  для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;
  4.  если случайные величины X() и Y() таковы, что X() Y() для всех , то МX  MY;

5)        

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(XMX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

  1.  для любой постоянной величины C: DC=0;
  2.  для любой постоянной a: D(aX)=а2*D(X).

Утверждение 4. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX 2 – математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX 2-(MX)2.

MX 2= 1002*1/3+2002*4/15+3002*1/5+4002*2/15+5002*1/15=70000; DX = 15555,(5).

 

$4. МОМЕНТЫ.

Моментом порядка k (k=1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Xk .

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. 

Центральным моментом порядка k (k=1,2,3...) называется величина 

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны 0.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка l представляет собой ряд                 Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна 0.

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина

Пример 8. Посчитаем коэффициент ассиметрии случайной величины из Х примера 1.

15

PAGE  15


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82894. Поэтический мир Иосифа Бродского. Перцептивный аспект 729 KB
  Несколько слов об автономности зрения. Маска бесконечности»: поэтика цвета. Особенности функционирования цветообозначений на уровне композиции лирического произведения. Птичкиным языком: звук в поэтическом мире. Все звуки, помимо воя»: фрагменты акустической картины мира. Особенности функционирования акустических тем, мотивов и образов на уровне композиции лирического произведения. Портрет из воздуха»: поэтика запаха. Горький вымысел стиха»: поэтика вкуса...
82895. Расчет по сооружению одноцепной линии электропередачи напряжением 220 кВ, протяженностью 47 км в Липецкой области 6.75 MB
  В разделе Организация работ определен срок строительства линии составляющий 153 календарных дней определены требуемые материальные ресурсы и объемы работ выбраны методы производства работ и необходимые транспортные средства для вывозки грузов на трассу произведены расчеты трудозатрат на основные виды работ.
82896. ЗАЩИТА ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ 49.25 KB
  Создание правовых организационных экономических и других необходимых условий отечественным производителям для выпуска продукции и оказания услуг высокого качества являлось постоянной заботой государства.
82897. Основные правовые системы современности 105 KB
  Разнообразие форм организации жизни общества его правового регулирования установления норм поведения для членов общества обусловило различие в подходах к формированию систем права и в самих системах права.
82898. Организация и проведение занятий по плаванию в условиях летнего оздоровительного лагеря 164.5 KB
  При обучении плаванию в летнем оздоровительном лагере решаются следующие основные задачи: укрепление здоровья, закаливание организма человека, привитие стойких гигиенических навыков; изучение техники плавания и овладение жизненно необходимым навыком плавания; всестороннее физическое развитие и совершенствование...
82899. Диарея. Принципы лечения 102 KB
  Причиной острой диареи чаще всего является инфекция вирусная бактериальная или паразитарная. Болезни органов пищеварения достаточно часто сопровождаются развитием неинфекционной хронической диареи которая длится свыше 4-х недель.
82900. Основы исследовательской деятельности 77 KB
  Теоретические аспекты качества. Развитие системы качества. Факторы и условия влияющие на обеспечение качества продукции. Поэтому проблемы обеспечения качества продукции были и будут оставаться в центре внимания любого производства.
82901. ГУМАНИСТИЧЕСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ А. МАСЛОУ И ОБРАЗ СОВРЕМЕННОЙ КУЛЬТУРЫ 43.62 KB
  Особенность гуманистической психологии А.Маслоу состоит в том что в современном обществе он видит две культуры: одна образуется людьми склонными к высшим переживаниям и ориентирующимися на высшие ценности бытия красота истина добро другая воплощает технократическо-бюрократическую тенденцию в жизни общества.
82902. Восприятие. Теории восприятия 341.84 KB
  Теории восприятия. Классификация видов восприятия. Иллюзии восприятия. В формировании восприятия принимают участие ощущения двигательные компоненты жизненный опыт индивида память мышление и речь волевые усилия и внимание интересы цели и установки человека.