32445

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Русский

2013-09-04

115 KB

12 чел.

Лекция 4.

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

$1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Если задано некоторое вероятностное пространство (, , Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве .

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают – соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на 5 секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1.  Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш –100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100,  x2 = 200, …, x5 = 500. 

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы.

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины – это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение: P(Х = хn) = Р{Х() = хn}.

Пример 2. Случайная величина Х из примера 1 принимает свои значения со следующими вероятностями: р1 = 5/15, р2=4/15,…, р5=1/15.

         

$2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(),   , можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {: X( x}принадлежат алгебре  при любом действительном  x. Такие функции называются измеримыми.


Пример 3.
Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(x) не убывает.

Доказательство. Пусть х1 <  х2. F(x2) – F(x1) = Р(X  x2) – Р(X  x1) =
Р{x1X( x2 0. Cледовательно, F(x1 F(x2).

Утверждение 2. Функция F(x) непрерывна справа, т.е. .

Доказательство. Предположим, F(x) не является непрерывной справа  в некоторой точке а: для  F(а + ) - F(a) > 0, т.е. P{: а < Х()  a +  } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят а, но не превосходят а +  сразу для всех . Но это невозможно, т.к. любое значение х0 ,большее a, будет превосходить и a +  при некоторых  .

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой.

      Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых  Такие распределения называются несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

$3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k= 1,2,… с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

  1.  для любой постоянной величины C: MC=C;
  2.  для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;
  3.  для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;
  4.  если случайные величины X() и Y() таковы, что X() Y() для всех , то МX  MY;

5)        

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(XMX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

  1.  для любой постоянной величины C: DC=0;
  2.  для любой постоянной a: D(aX)=а2*D(X).

Утверждение 4. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX 2 – математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX 2-(MX)2.

MX 2= 1002*1/3+2002*4/15+3002*1/5+4002*2/15+5002*1/15=70000; DX = 15555,(5).

 

$4. МОМЕНТЫ.

Моментом порядка k (k=1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Xk .

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. 

Центральным моментом порядка k (k=1,2,3...) называется величина 

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны 0.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка l представляет собой ряд                 Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна 0.

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина

Пример 8. Посчитаем коэффициент ассиметрии случайной величины из Х примера 1.

15

PAGE  15


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82037. Технология изготовления детали подшипника на автоматизированном оборудовании с ПУ 5.4 MB
  Оборудование с ЧПУ может быть представлено: станочным парком например станками станки оборудованные числовым программным управлением называются станками с ЧПУ: для обработки металлов например фрезерные или токарные дерева пластмасс для резки листовых заготовок для обработки давлением и т.
82038. Проектування магістральної волоконно-оптичної лінії зв’язку між м. Луцьк та м. Хмельницький 1.59 MB
  Розвиток засобів зв’язку має велике значення для ефективного керування народним господарством чіткої роботи державного апарату та всебічного задоволення населення в потребі зв’язку і технічних засобів інформації. А це потребує збільшення пропускної спроможності лінії зв’язку приблизно в 10 разів кожні 1617 років.
82039. Разработка рекламного продукта для декоративного покрытия «Модесто» 18.14 MB
  Характеристики рекламируемого товара. На основе информации собранной из различных источников составляется перечень основных характеристик товара. В качестве основных характеристик которые желательно иметь для разработки рекламного продукта можно выделить следующие: наименование товара...
82040. Основные компоненты бизнес-плана Агентства наружной рекламы 464.5 KB
  Обычно полотно перетяжки изготавливается методом трафаретной печати на хлопчатобумажной ткани. При необходимости размещения на длительный срок или при изготовлении сложного макета используется либо сублимационная печать на шелковой ткани, либо печать на баннере.
82041. Тиристорні перетворювачі 297.5 KB
  Система імпульснофазового управління в свою чергу складається із вузла що перетворює напругу управління в послідовність імпульсів визначеної тривалості форми моменти яких залежать від напруги управління; вузла підсилення імпульсів що формує імпульси з визначеними електричними параметрами.
82042. Туристическая база 13.36 MB
  Туризм можно классифицировать по различным критериям: По цели отдыха По характеру отдыха и его организации По продолжительности путешествия По сезонности Эти критерии имеют решающее значение потому что именно цель поездки больше всего влияет на формирование тура и организацию туристического обслуживания.
82043. Изготовление изделий из бисера 6.73 MB
  В настоящее время бисерная вышивка переживает свой расцвет. Это красиво, модно, современно. Вышивкой из бисера украшают не только платья, кофточки, но и обувь, сумки и многое другое. Основой для вышивки служат холст, лен, бархат, атлас, шерсть. Сукно. Нитки следует брать армированные, чтобы бусинки их не перетирали.
82044. Країни південно-східної Азії у другій половині ХХ-го століття 7.55 MB
  Економічна колонізація Вєтнаму французьким капіталом розпочата у другій половині ХІХ ст. в умовах післявоєнного економічного буму французькі колонізатори вдалися до розширеної експлуатації людських і природних багатств Вєтнаму.
82045. Beethovens Musik ist ewig 85 KB
  Liebe Kunstfreunde, liebe Gäste! Es freut mich euch alle in diesem gemütlichen Saal zu begrüßen. Unsere außerschulische Veranstaltung ist dem genialen deutschen Komponisten Ludwig van Beethoven gewidmet. Schüler 1: Ludvig van Beethoven ist einer der größten Komponisten, Schüler 2: einer der berühmtesten Komponisten der Welt,