32445

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают – соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Русский

2013-09-04

115 KB

12 чел.

Лекция 4.

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

$1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Если задано некоторое вероятностное пространство (, , Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве .

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают – соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на 5 секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1.  Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш –100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100,  x2 = 200, …, x5 = 500. 

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы.

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины – это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение: P(Х = хn) = Р{Х() = хn}.

Пример 2. Случайная величина Х из примера 1 принимает свои значения со следующими вероятностями: р1 = 5/15, р2=4/15,…, р5=1/15.

         

$2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(),   , можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {: X( x}принадлежат алгебре  при любом действительном  x. Такие функции называются измеримыми.


Пример 3.
Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(x) не убывает.

Доказательство. Пусть х1 <  х2. F(x2) – F(x1) = Р(X  x2) – Р(X  x1) =
Р{x1X( x2 0. Cледовательно, F(x1 F(x2).

Утверждение 2. Функция F(x) непрерывна справа, т.е. .

Доказательство. Предположим, F(x) не является непрерывной справа  в некоторой точке а: для  F(а + ) - F(a) > 0, т.е. P{: а < Х()  a +  } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят а, но не превосходят а +  сразу для всех . Но это невозможно, т.к. любое значение х0 ,большее a, будет превосходить и a +  при некоторых  .

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой.

      Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых  Такие распределения называются несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

$3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k= 1,2,… с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

  1.  для любой постоянной величины C: MC=C;
  2.  для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;
  3.  для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;
  4.  если случайные величины X() и Y() таковы, что X() Y() для всех , то МX  MY;

5)        

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(XMX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

  1.  для любой постоянной величины C: DC=0;
  2.  для любой постоянной a: D(aX)=а2*D(X).

Утверждение 4. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX 2 – математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX 2-(MX)2.

MX 2= 1002*1/3+2002*4/15+3002*1/5+4002*2/15+5002*1/15=70000; DX = 15555,(5).

 

$4. МОМЕНТЫ.

Моментом порядка k (k=1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Xk .

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. 

Центральным моментом порядка k (k=1,2,3...) называется величина 

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны 0.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка l представляет собой ряд                 Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна 0.

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина

Пример 8. Посчитаем коэффициент ассиметрии случайной величины из Х примера 1.

15

PAGE  15


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80305. Корпоративні права держави 118 KB
  Корпоративні права держави Поняття корпоративних прав. Загальні засади здійснення корпоративних прав держави та управління ними. Повноваження державних органів щодо управління корпоративними правами держави. Критерії ефективності управління корпоративними правами держави.
80306. Проблеми цивільно-правового регулювання особистих немайнових прав фізичної особи та їх захисту 155.5 KB
  Особисті немайнові права що забезпечують природне існування фізичної особи. а Особливості реалізації та цивільноправового захисту права на медичну допомогу. Проблеми реалізації права на опіку або піклування. Особисті немайнові права що забезпечують соціальне буття фізичної особи.
80307. Проблеми недійсності правочинів 369.5 KB
  Правові наслідки вчинення правочину всупереч вимогам закону. Правові наслідки недійсності правочину. Шахматовим було введено у юридичну лексику поняття модель протиправного правочину яке заслуговує на його подальше використання. Моделлю протиправного правочину В.
80309. Оплата праці на підприємстві 126.5 KB
  Мотивація - це процес формування в людини або групи людей мотивів до діяльності, спрямованої на досягнення індивідуальних і загальних цілей організації, підприємства.
80310. Витрати виробництва і собівартість продукції підприємства 199.5 KB
  Для визначення витрат на підприємстві використовується термін собівартість продукції до якої зараховують поточні витрати на її виробництво та збут виражені у грошовій формі. Витрати підприємства відшкодовуються за рахунок двох власних джерел: собівартості та прибутку. Усі витрати що формують собівартість продукції можна класифікувати за певними ознаками табл.
80311. Ціни та ціноутворення в ринкових умовах 449.5 KB
  Ціни у діяльності промислового підприємства виконують три основні функції: облікововимірювальну стимулюючу розподільчу. Облікововимірювальна функція ціни є засобом обліку й вимірювання витрат суспільної праці на виробництво окремих видів промислової продукції або надання відповідних послуг. Стимулюючу функцію ціни використовують для мотивації підвищення ефективності підприємницької діяльності забезпечення необхідної прибутковості дохідності кожному з учасників процесу товарообміну.
80312. Фінансово-економічні результати й ефективність діяльності 80 KB
  Суть фінансової діяльності підприємства полягає у виникненні грошових відносин, пов’язаних з неперервним кругообігом коштів у формах: витрачання ресурсів, одержання доходів, їх використання, а також із приводу відносин з постачальниками, покупцями продукції, працівниками підприємства, державними органами та ін.