32445

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Лекция

Математика и математический анализ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Русский

2013-09-04

115 KB

12 чел.

Лекция 4.

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

$1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Если задано некоторое вероятностное пространство (, , Р), то под случайной величиной будем понимать числовую функцию X, заданную на пространстве .

Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а значения, которые они принимают – соответствующими малыми.

Различают дискретные, непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или счетное число различных значений.

Пример 1. Колесо рулетки разделено на 5 секторов, площади которых относятся как 5:4:3:2:1.  Величина выигрыша пропорциональна номеру сектора, наименьший выигрыш –100 рублей.

Будем считать выигрыш случайной величиной Х. Это дискретная случайная величина. Она принимает значения: x1 = 100,  x2 = 200, …, x5 = 500. 

Ecли мы укажем, c какими вероятностями дискретная случайная величина принимает свои значения, то мы зададим распределение случайной величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы.

В верхней строчке таблицы указываются значения случайной величины, а в нижней - вероятности этих значений. Вероятность значения случайной величины – это вероятность множества тех элементарных исходов, на которых случайная величина принимает это значение: P(Х = хn) = Р{Х() = хn}.

Пример 2. Случайная величина Х из примера 1 принимает свои значения со следующими вероятностями: р1 = 5/15, р2=4/15,…, р5=1/15.

         

$2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x),
определяемая на всей действительной прямой как .

Замечание. Поскольку вероятность определена только на множествах из алгебры , не любую числовую функцию Х(),   , можно считать случайной величиной, а только ту, для которой множества {: X( x}принадлежат алгебре  при любом действительном  x. Такие функции называются измеримыми.


Пример 3.
Построим график функции распределения случайной величины из примера 1.

Перечислим свойства функции распределения случайной величины.

Утверждение 1. F(x) не убывает.

Доказательство. Пусть х1 <  х2. F(x2) – F(x1) = Р(X  x2) – Р(X  x1) =
Р{x1X( x2 0. Cледовательно, F(x1 F(x2).

Утверждение 2. Функция F(x) непрерывна справа, т.е. .

Доказательство. Предположим, F(x) не является непрерывной справа  в некоторой точке а: для  F(а + ) - F(a) > 0, т.е. P{: а < Х()  a +  } > 0. Значит, с ненулевой вероятностью случайная величины Х принимает значения, которые превосходят а, но не превосходят а +  сразу для всех . Но это невозможно, т.к. любое значение х0 ,большее a, будет превосходить и a +  при некоторых  .

Утверждение 3. Будем считать это утверждение аксиомой.

      Замечание. Иногда рассматривают распределения, у которых  Такие распределения называются несобственными. Их изучение выходит за рамки нашего курса.

$3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание.

Пусть случайная величина Х принимает значения хk, k= 1,2,… с вероятностями рk. Математическое ожидание (или среднее значение)  дискретной случайной величины обозначается МХ и равняется сумме числового ряда , если ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Cредний выигрыш в примере 1 составляет:

MX= 100*(1/3)+200*(4/15)+300*(1/5)+400*(2/15)+500*(1/15)=233,(3).  

Cвойства математических ожиданий:

  1.  для любой постоянной величины C: MC=C;
  2.  для любой постоянной a: M(aX)=a*MX;
  3.  для любых случайных величин X и Y, имеющих математические ожидания MX и MY: M(X+Y)=MX+MY;
  4.  если случайные величины X() и Y() таковы, что X() Y() для всех , то МX  MY;

5)        

Все свойства математических ожиданий вытекают из свойств абсолютно-сходящихся числовых рядов.

Еще одна характеристика случайных величин – дисперсия. Дисперсия случайной величины X обозначается DX и равняется М(XMX)2.

Дисперсия - это средний квадрат отклонения значений случайной  величины от ее математического ожидания.

Из определения дисперсии сразу следуют ее свойства:

  1.  для любой постоянной величины C: DC=0;
  2.  для любой постоянной a: D(aX)=а2*D(X).

Утверждение 4. Пусть Х – случайная величина, MX – ее математическое ожидание, а MX 2 – математическое ожидание случайной величины X 2. Тогда

Доказательство.

Наряду с дисперсией рассматривают среднее квадратическое отклонение

 

Пример 5. Дисперсия выигрыша в рулетку DX= MX 2-(MX)2.

MX 2= 1002*1/3+2002*4/15+3002*1/5+4002*2/15+5002*1/15=70000; DX = 15555,(5).

 

$4. МОМЕНТЫ.

Моментом порядка k (k=1,2,3...) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Xk .

Пример 6. Моментом первого порядка является математическое ожидание случайной величины. 

Центральным моментом порядка k (k=1,2,3...) называется величина 

Пример 7. Центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Утверждение 5. Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны 0.

Доказательство. Центральный момент нечетного порядка l представляет собой ряд                 Поскольку распределение симметрично относительно математического ожидания, то каждому положительному члену ряда соответствует отрицательный, равный ему по модулю. В силу абсолютной сходимости сумма ряда равна 0.

Для характеристики асимметрии распределения выбрали третий центральный момент. Коэффициентом асимметрии называется величина

Пример 8. Посчитаем коэффициент ассиметрии случайной величины из Х примера 1.

15

PAGE  15


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68271. ІМПРЕСИВНА ГРАФОАНАЛІТИЧНА МОДЕЛЬ В ПРОЕКТУВАННІ ОБ’ЄКТІВ ДИЗАЙНУ 6.55 MB
  Мета дослідження: створення імпресивної графоаналітичної моделі в проектуванні об’єктів дизайну з використанням теорії психофізики сприйняття. Під імпресивною моделлю розуміють таку модель, згідно з якою об'єкти дизайну проектувалися із врахуванням математичних...
68272. ОЦІНКА ЕФЕКТИВНОСТІ ІННОВАЦІЙНОЇ ПОЛІТИКИ ПІДПРИЄМСТВ РЕСТОРАННОГО ГОСПОДАРСТВА 289 KB
  Ефективність діяльності підприємств ресторанного господарства в ринковій економіці особливо в умовах жорсткої конкуренції безпосередньо залежить від активізації інноваційної діяльності підприємств та реалізації їх ефективної інноваційної політики. Різноманітність інновацій і заходів їх реалізації...
68273. СУБСТАНТИВНІ КОМПОЗИТИ ЗІ ЗНАЧЕННЯМ ПРОЦЕСУАЛЬНОСТІ В РОСІЙСЬКІЙ МОВІ 190.5 KB
  Мета дослідження полягає в системному описі формальної та ономасіологічної структури іменниківкомпозитів зі значенням процесуальності в російській мові. Для досягнення зазначеної мети необхідним є вирішення наступних завдань: визначити можливі структурні типи композитопобудови іменників...
68274. ФІНАНСОВО-ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ РИНКУ ЦІННИХ ПАПЕРІВ В УКРАЇНІ 186 KB
  Ринок цінних паперів будучи важливим і специфічним елементом фінансового ринку здійснює вагомий вплив на економічний розвиток країни. На цьому ринку держава органи місцевого самоврядування субєкти господарювання мають можливість акумулювати фінансові ресурси за допомогою цінних...
68275. ТВОРЧІСТЬ Я. П. ДЕ БАЛЬМЕНА ТА РОСІЙСЬКА РОМАНТИЧНА ПРОЗА ПЕРШОЇ ПОЛОВИНИ XIX СТОЛІТТЯ 143 KB
  Мета роботи – проаналізувати із сучасних наукових засад літературну спадщину Я. П. де Бальмена та визначити її ідейно-художню значущість. Досягнення цієї мети зумовило необхідність розв’язання таких завдань: узагальнити окремі біографічні відомості про Я. П. де Бальмена й систематизувати інформацію...
68276. ЕВОЛЮЦІЯ СВІТОГЛЯДУ ЛЮДИНИ: СОЦІАЛЬНО–ФІЛОСОФСЬКИЙ АНАЛІЗ 156 KB
  Аналіз еволюції світоглядних орієнтацій засвідчує мінливість рухливість змінюваність світогляду людини виявляє його сумарний вектор у різні соціокультурні епохи допомагає зясувати тенденції розвитку сучасного світоглядного комплексу і запропонувати механізм його формування.
68277. ГРА ЯК ЗАСІБ РОЗВИТКУ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ У СЛАБОЗОРИХ ДІТЕЙ 144.5 KB
  У Національній доктрині розвитку освіти в Україні у XXI столітті наголошується на необхідності посилення уваги на освіті дітей з відхиленнями психофізичного розвитку забезпечення їхнього повноцінного життя соціального захисту створення умов для належної реабілітації.
68278. УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІЧНИМ ПОТЕНЦІАЛОМ ПІДПРИЄМСТВ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ 719 KB
  Стабілізація вітчизняної економіки та поступове збільшення економічного потенціалу держави безпосередньо пов’язані зі стабільним розвитком промисловості. Недосконала законодавча база, непропорційна система оподаткування, нерозвинена виробнича інфраструктура ззовні, а також неефективне...
68279. Методи та ярусно-паралельні моделі прискореної обробки напівтонових зображень 517 KB
  Метою дисертаційної роботи є розробка моделей і методів інтелектуальної прискореної обробки напівтонових зображень які здатні аналізувати інформацію про розмір зображення та завантаженість потоків для рівномірного адаптивного розподілення завдань по потоках.