32446

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Вероятность что Х примет значение k т. в n испытаниях k раз наступит успех Действительно вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и n k неудач в остальных n k испытаниях равна Распределить k успехов среди n испытаний можно способами. Какова вероятность что герб выпадет 4 раза При каждом подбрасывании успех выпадение герба n = 10 k = 4 р = 1 2.

Русский

2013-09-04

97 KB

13 чел.

Лекция 5.

$5. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ.

Производящая функция вводится для дискретных случайных величин, которые принимают в качестве своих значений только целые неотрицательные числа.  

Пусть случайная величина Х принимает значения 0,1,2,.. c вероятностями p0, р1, ,р2, … Функция П(z)  переменной z, , равная  называется производящей функцией случайной величины Х.

Производящая функция П(z) совпадает с математическим ожиданием случайной величины .

Утверждение 6. Из производящей функции П(z) однозначно определяются вероятности p0, р1 , р2,… значений целочисленной случайной величины Х.

Доказательство. Степенной ряд производящей функции сходится в круге радиуса 1. Внутри этого круга ряд можно сколько угодно раз дифференцировать.

П(0) = p0  ; 

……………………………………

Cледовательно,  m=0,1,2,3…

Утверждение 7. Если случайная величина имеет математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то 

Доказательство.

$6. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них – биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них  событие А может наступить с положительной вероятностью p. Такие  испытания называются испытаниями Бернулли.

Cобытие А будем называть «успехом», а событие  – «неудачей».

Рассмотрим случайную величину Х – число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех  Действительно, вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и ( k) неудач в остальных  (n  k) испытаниях равна  Распределить k успехов среди n испытаний можно  способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример 9. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

При каждом подбрасывании «успех» – выпадение герба, = 10, = 4, р = 1/2.

       Биномиально  распределенная случайная величина X – это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию.

(бином Ньютона)  

Математическое ожидание  Дисперсия

Пример 10. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10*(1/2) = 5, дисперсия равна DX = nр= 5*(1/2) = 5/2.

$7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

Иногда на практике встречаются испытания Бернулли, в которых число испытаний n относительно велико, вероятность успеха p относительно мала, а их произведение  = n*p не мало и не велико. В таких случаях вместо биномиального распределения пользуются его приближением – распределением Пуассона.

При больших n:

Обозначим через pk вероятность Р(Х = k).

Cледовательно,  или:

Далее по индукции  Это и есть распределение Пуассона.

Пример 11. На курсе 100 студентов. Каждый может выиграть билет на концерт популярной музыкальной группы с вероятностью 1/20. Какова вероятность, что 6 человек с курса попадут на концерт?

     Cвяжем испытания Бернулли с каждым из студентов, n = 100, р = 1/20,  = 5.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х,  распределенной по закону Пуассона. Производящая функция

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия числа студентов, выигравших билет на концерт, cовпадают с параметром распределения Пуассона: МХ = DX =5.

Пример 13. В начале ХХ столетия инженер Эрланг заметил, что число звонков, поступающих на телефонную станцию за единицу времени, имеет распределение Пуассона. Параметр этого распределения равен среднему количеству звонков, поступающих на телефонную станцию за эту единицу времени.

$8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х – число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы.          

                                                                              

                                                                                       P(Х k) =рk-1*q,  k = 1, 2, 3,…

 

Такое распределение называется геометрическим.

Пример 14. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов?

Пусть X – число ударов, сделанных игроком.[Найдем вероятность дополнительного события. Р(Х< 4) = 0,3+0,7*0,3+(0,7)2*0,3 = 0,657.  Тогда Р(Х  4) = 1–0,657 = 0,343.

Производящая функция случайной величины с геометрическим распределением  Математическое ожидание Дисперсия

Пример 15. Cреднее число ударов бильярдиста MX=1/q=1/0,3=10/3=3,(3). Дисперсия числа ударов  DX= р/q= 0,7/(0,3)= 70/9 = 7,(7).

PAGE  18


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54634. Урок – гра «Географічний чемпіонат» 75 KB
  Мета: узагальнити і перевірити знання з теми “Океани”, повторити географічну номенклатуру; розвивати допитливість, увагу, спостережливість, кмітливість, образне мислення учнів; прищеплювати любов до природи, виховувати екологічну свідомість.
54635. Окупаційний режим і розгортання руху Опору в Україні 124.5 KB
  Мета. Визначити суть окупаційного режиму в Україні, наслідки, до яких привела політика «нового порядку». Показати трагедію українського народу в ході війни, проаналізувати розгортання руху Опору в Україні. Виховувати почуття патріотизму, поваги та шани до ветеранів та учасників Великої Вітчизняної війни, почуття неприязні до поневолення, рабства, ідей фашизму та нацизму.
54636. Історія в літературі рідного краю. (Зустріч із письменницею Ольгою Хало) 70 KB
  Мета: через призму ліри О.Хало познайомити учнів з історією рідного краю; виховувати почуття патріотизму, поваги до історичної минувшини лубенської землі. Обладнання: виставка творів О.Хало, ілюстрації до її творів, проектор, магнітофон.
54637. Олимпийские игры 41.5 KB
  Если у названного животного длинный хвост игроки поднимают правую руку и машут ею если же хвоста нет или он короткий игроки хлопают. Лошадь длинный коза короткий корова длинный лиса длинный заяц короткий овца короткий тигр длинный медведь короткий свинья короткий осёл длинный белка длинный.
54638. Урок – путешествие на Олимп 43 KB
  Трагедия с греческого переводиться как Афинский район Керамик дал название Пантикапей это современная Эгейское море назвали в честь царя Во время Марафонской битвы греки сражались с Правление Перикла называют золотым Сколько подвигов совершил Геракл Кого не допускали на Афинское собрание...
54639. Формирование компетентности продуктивной творческой деятельности у учащихся по информатике путем решения олимпиадных задач 155.99 KB
  Программа решения данной задачи в среде TurboPscl может быть такой: Vr mnzsxmxmin: integer; begin z:=0; writeln‘Введи количество конфет одной разновидности и количество конфет другой; redlnmn; if n m then begin mx:=n; min:=m end else begin mx:=m; min:=n end; for x:=1 to mx do begin if mx mod x=0 then begin s:=mx div x; if min mod s=0 then if s 1 then begin writeln‘Коробок с одинаковым набором конфет может быть:; writelns штук; z:=1 end; end; end; if z=0 then writeln‘Конфеты можно поместить только в одну коробку; redln...
54640. Ми – майбутні олімпійці 49 KB
  Ведучий: Добрий день любі друзі шановні вболівальники. Ведучий: А зараз я вам представляю учасників сьогоднішнього свята Ведучий: Прошу команд привітати одна одну. Ведучий: Отже команди увага старт Ведучий: Оголошуємо перший конкурс. Ведучий:.
54641. Гурток з історії «Олімп» 217.5 KB
  З одного боку такий склад стимулює діяльність учнів які лише починають вивчати предмет бо старшокласники демонструють вже сформовані за роки навчання вміння навики допомагають молодшим учням з іншого боку можуть виникати проблеми повязані з часом бо у старшокласників закінчуються заняття значно раніше ніж в учнів 56 класів. Планування історичного гуртка Олімп Тема заняття Блок 1 1. Організаційне заняття 2. Підсумкове заняття...
54642. Вперед олімпійці. Позакласний захід 51 KB
  Розвивати руховий апарат, фізичні вміння учнів. Впроваджувати елементи класичної аеробіки в систему фізичного виховання. Сприяти розвитку уваги, дисциплінованості, кмітливості. Виховувати у учнів любов до фізичної культури та свідоме ставлення до здорового способу життя.