32446

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Вероятность что Х примет значение k т. в n испытаниях k раз наступит успех Действительно вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и n – k неудач в остальных n – k испытаниях равна Распределить k успехов среди n испытаний можно способами. Какова вероятность что герб выпадет 4 раза При каждом подбрасывании успех – выпадение герба n = 10 k = 4 р = 1 2.

Русский

2013-09-04

97 KB

11 чел.

Лекция 5.

$5. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ.

Производящая функция вводится для дискретных случайных величин, которые принимают в качестве своих значений только целые неотрицательные числа.  

Пусть случайная величина Х принимает значения 0,1,2,.. c вероятностями p0, р1, ,р2, … Функция П(z)  переменной z, , равная  называется производящей функцией случайной величины Х.

Производящая функция П(z) совпадает с математическим ожиданием случайной величины .

Утверждение 6. Из производящей функции П(z) однозначно определяются вероятности p0, р1 , р2,… значений целочисленной случайной величины Х.

Доказательство. Степенной ряд производящей функции сходится в круге радиуса 1. Внутри этого круга ряд можно сколько угодно раз дифференцировать.

П(0) = p0  ; 

……………………………………

Cледовательно,  m=0,1,2,3…

Утверждение 7. Если случайная величина имеет математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то 

Доказательство.

$6. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них – биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них  событие А может наступить с положительной вероятностью p. Такие  испытания называются испытаниями Бернулли.

Cобытие А будем называть «успехом», а событие  – «неудачей».

Рассмотрим случайную величину Х – число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех  Действительно, вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и ( k) неудач в остальных  (n  k) испытаниях равна  Распределить k успехов среди n испытаний можно  способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример 9. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

При каждом подбрасывании «успех» – выпадение герба, = 10, = 4, р = 1/2.

       Биномиально  распределенная случайная величина X – это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию.

(бином Ньютона)  

Математическое ожидание  Дисперсия

Пример 10. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10*(1/2) = 5, дисперсия равна DX = nр= 5*(1/2) = 5/2.

$7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

Иногда на практике встречаются испытания Бернулли, в которых число испытаний n относительно велико, вероятность успеха p относительно мала, а их произведение  = n*p не мало и не велико. В таких случаях вместо биномиального распределения пользуются его приближением – распределением Пуассона.

При больших n:

Обозначим через pk вероятность Р(Х = k).

Cледовательно,  или:

Далее по индукции  Это и есть распределение Пуассона.

Пример 11. На курсе 100 студентов. Каждый может выиграть билет на концерт популярной музыкальной группы с вероятностью 1/20. Какова вероятность, что 6 человек с курса попадут на концерт?

     Cвяжем испытания Бернулли с каждым из студентов, n = 100, р = 1/20,  = 5.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х,  распределенной по закону Пуассона. Производящая функция

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия числа студентов, выигравших билет на концерт, cовпадают с параметром распределения Пуассона: МХ = DX =5.

Пример 13. В начале ХХ столетия инженер Эрланг заметил, что число звонков, поступающих на телефонную станцию за единицу времени, имеет распределение Пуассона. Параметр этого распределения равен среднему количеству звонков, поступающих на телефонную станцию за эту единицу времени.

$8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х – число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы.          

                                                                              

                                                                                       P(Х k) =рk-1*q,  k = 1, 2, 3,…

 

Такое распределение называется геометрическим.

Пример 14. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов?

Пусть X – число ударов, сделанных игроком.[Найдем вероятность дополнительного события. Р(Х< 4) = 0,3+0,7*0,3+(0,7)2*0,3 = 0,657.  Тогда Р(Х  4) = 1–0,657 = 0,343.

Производящая функция случайной величины с геометрическим распределением  Математическое ожидание Дисперсия

Пример 15. Cреднее число ударов бильярдиста MX=1/q=1/0,3=10/3=3,(3). Дисперсия числа ударов  DX= р/q= 0,7/(0,3)= 70/9 = 7,(7).

PAGE  18


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70929. Матеріально-технічне забезпечення виробництва. Постачання матеріально-технічних ресурсів на робочі місця 247 KB
  Вивчення ринку сировини й матеріалів. Запаси матеріалів та регулювання їхніх обсягів. Однак служба матеріальнотехнічного забезпечення повинна перевіряти замовлення виробничих підрозділів з огляду на відповідність замовлених матеріалів технічним умовам та даним обліку наявних...
70930. Забезпечення операційної діяльності виробничою потужністю 176 KB
  Виробнича потужність підприємства -– це потенційно максимально можливий випуск продукції необхідної номенклатури і якості протягом планового періоду при повному завантаженні обладнання та виробничих площ у прийнятому режимі роботи з урахуванням застосування передової технології організації...
70931. Виробнича інфраструктура 248 KB
  Прикладом є виробництво різних видів енергії та тепла деталей для ремонту обладнання технологічного оснащення та інструменту. Виробнича програма енергетичного цеху в натуральних показниках охоплює такі види робіт: виробництво та розподіл електричної енергії в умовах...
70932. Витрати виробництва 112.5 KB
  Залежність витрат від зміни обсягів господарської діяльності Обсяг господарської діяльності Змінні витрати Постійні витрати Витрати по підприємству разом по підприємству на одиницю продукції разом по підприємству на одиницю продукції разом по підприємству на одиницю...
70933. Фінансове планування і контроль на підприємстві 162.5 KB
  Перелік основних бюджетів підприємства за їхнім цільовим призначенням Операційні Фінансові бюджет доходу; бюджет виробництва продукції виробнича програма; бюджет прямих матеріальних витрат; бюджет обсягів придбання матеріалів; бюджет витрат на оплату праці; бюджет загальновиробничих витрат...
70934. Планування і контроль оновлення продукції 134 KB
  В умовах ринкової економіки планування виробничої діяльності підприємства орієнтується на максимальне задоволення попиту потенційних споживачів продукції (робіт, послуг). Протягом свого життєвого циклу продукція на ринку переживає декілька етапів.
70935. Організаційно-технічний розвиток підприємства 91 KB
  Виробничий процес на промисловому підприємстві здійснюється постійно в усіх його підрозділах. Технічний же прогрес залежно від обсягу наявних ресурсів та технічної політики відбувається періодично. Однак, загалом для підприємства він повинен носити безперервний характер.
70936. Бізнес-планування 81.5 KB
  В умовах ринкової економіки будь-яку підприємницьку ідею – від формулювання власне задуму до втілення, – реалізують за планом, який прийнято називати бізнес-план. За цільовою орієнтацією розрізняють такі види бізнес-планів: на залучення грошових коштів для створення нового підприємства...
70937. Предпринимательский бизнес: субъекты и формы 96.5 KB
  Субъекты предпринимательской деятельности в РФ. Субъекты бизнеса руководствуясь деловыми интересами могут заниматься любыми типами и видами деловой деятельности не запрещенной законом. Под субъектом бизнеса понимается функциональная принадлежность данного субъекта...