32446

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Вероятность что Х примет значение k т. в n испытаниях k раз наступит успех Действительно вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и n – k неудач в остальных n – k испытаниях равна Распределить k успехов среди n испытаний можно способами. Какова вероятность что герб выпадет 4 раза При каждом подбрасывании успех – выпадение герба n = 10 k = 4 р = 1 2.

Русский

2013-09-04

97 KB

11 чел.

Лекция 5.

$5. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ.

Производящая функция вводится для дискретных случайных величин, которые принимают в качестве своих значений только целые неотрицательные числа.  

Пусть случайная величина Х принимает значения 0,1,2,.. c вероятностями p0, р1, ,р2, … Функция П(z)  переменной z, , равная  называется производящей функцией случайной величины Х.

Производящая функция П(z) совпадает с математическим ожиданием случайной величины .

Утверждение 6. Из производящей функции П(z) однозначно определяются вероятности p0, р1 , р2,… значений целочисленной случайной величины Х.

Доказательство. Степенной ряд производящей функции сходится в круге радиуса 1. Внутри этого круга ряд можно сколько угодно раз дифференцировать.

П(0) = p0  ; 

……………………………………

Cледовательно,  m=0,1,2,3…

Утверждение 7. Если случайная величина имеет математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то 

Доказательство.

$6. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них – биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них  событие А может наступить с положительной вероятностью p. Такие  испытания называются испытаниями Бернулли.

Cобытие А будем называть «успехом», а событие  – «неудачей».

Рассмотрим случайную величину Х – число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех  Действительно, вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и ( k) неудач в остальных  (n  k) испытаниях равна  Распределить k успехов среди n испытаний можно  способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример 9. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

При каждом подбрасывании «успех» – выпадение герба, = 10, = 4, р = 1/2.

       Биномиально  распределенная случайная величина X – это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию.

(бином Ньютона)  

Математическое ожидание  Дисперсия

Пример 10. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10*(1/2) = 5, дисперсия равна DX = nр= 5*(1/2) = 5/2.

$7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

Иногда на практике встречаются испытания Бернулли, в которых число испытаний n относительно велико, вероятность успеха p относительно мала, а их произведение  = n*p не мало и не велико. В таких случаях вместо биномиального распределения пользуются его приближением – распределением Пуассона.

При больших n:

Обозначим через pk вероятность Р(Х = k).

Cледовательно,  или:

Далее по индукции  Это и есть распределение Пуассона.

Пример 11. На курсе 100 студентов. Каждый может выиграть билет на концерт популярной музыкальной группы с вероятностью 1/20. Какова вероятность, что 6 человек с курса попадут на концерт?

     Cвяжем испытания Бернулли с каждым из студентов, n = 100, р = 1/20,  = 5.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х,  распределенной по закону Пуассона. Производящая функция

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия числа студентов, выигравших билет на концерт, cовпадают с параметром распределения Пуассона: МХ = DX =5.

Пример 13. В начале ХХ столетия инженер Эрланг заметил, что число звонков, поступающих на телефонную станцию за единицу времени, имеет распределение Пуассона. Параметр этого распределения равен среднему количеству звонков, поступающих на телефонную станцию за эту единицу времени.

$8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х – число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы.          

                                                                              

                                                                                       P(Х k) =рk-1*q,  k = 1, 2, 3,…

 

Такое распределение называется геометрическим.

Пример 14. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов?

Пусть X – число ударов, сделанных игроком.[Найдем вероятность дополнительного события. Р(Х< 4) = 0,3+0,7*0,3+(0,7)2*0,3 = 0,657.  Тогда Р(Х  4) = 1–0,657 = 0,343.

Производящая функция случайной величины с геометрическим распределением  Математическое ожидание Дисперсия

Пример 15. Cреднее число ударов бильярдиста MX=1/q=1/0,3=10/3=3,(3). Дисперсия числа ударов  DX= р/q= 0,7/(0,3)= 70/9 = 7,(7).

PAGE  18


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10654. Уточнение корней уравнений методом итераций 147.5 KB
  Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче
10655. Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов 280 KB
  Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.
10656. Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция 291 KB
  Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...
10657. Численное дифференцирование 157 KB
  Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм
10658. Интегрирование функций, заданных таблично 240 KB
  Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет
10659. Численное интегрирование методом Симпсона 193.5 KB
  Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес
10661. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера 322 KB
  Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...
10662. Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта 310 KB
  Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ