32446

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Вероятность что Х примет значение k т. в n испытаниях k раз наступит успех Действительно вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и n k неудач в остальных n k испытаниях равна Распределить k успехов среди n испытаний можно способами. Какова вероятность что герб выпадет 4 раза При каждом подбрасывании успех выпадение герба n = 10 k = 4 р = 1 2.

Русский

2013-09-04

97 KB

11 чел.

Лекция 5.

$5. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ.

Производящая функция вводится для дискретных случайных величин, которые принимают в качестве своих значений только целые неотрицательные числа.  

Пусть случайная величина Х принимает значения 0,1,2,.. c вероятностями p0, р1, ,р2, … Функция П(z)  переменной z, , равная  называется производящей функцией случайной величины Х.

Производящая функция П(z) совпадает с математическим ожиданием случайной величины .

Утверждение 6. Из производящей функции П(z) однозначно определяются вероятности p0, р1 , р2,… значений целочисленной случайной величины Х.

Доказательство. Степенной ряд производящей функции сходится в круге радиуса 1. Внутри этого круга ряд можно сколько угодно раз дифференцировать.

П(0) = p0  ; 

……………………………………

Cледовательно,  m=0,1,2,3…

Утверждение 7. Если случайная величина имеет математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то 

Доказательство.

$6. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них – биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них  событие А может наступить с положительной вероятностью p. Такие  испытания называются испытаниями Бернулли.

Cобытие А будем называть «успехом», а событие  – «неудачей».

Рассмотрим случайную величину Х – число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех  Действительно, вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и ( k) неудач в остальных  (n  k) испытаниях равна  Распределить k успехов среди n испытаний можно  способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример 9. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

При каждом подбрасывании «успех» – выпадение герба, = 10, = 4, р = 1/2.

       Биномиально  распределенная случайная величина X – это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию.

(бином Ньютона)  

Математическое ожидание  Дисперсия

Пример 10. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10*(1/2) = 5, дисперсия равна DX = nр= 5*(1/2) = 5/2.

$7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

Иногда на практике встречаются испытания Бернулли, в которых число испытаний n относительно велико, вероятность успеха p относительно мала, а их произведение  = n*p не мало и не велико. В таких случаях вместо биномиального распределения пользуются его приближением – распределением Пуассона.

При больших n:

Обозначим через pk вероятность Р(Х = k).

Cледовательно,  или:

Далее по индукции  Это и есть распределение Пуассона.

Пример 11. На курсе 100 студентов. Каждый может выиграть билет на концерт популярной музыкальной группы с вероятностью 1/20. Какова вероятность, что 6 человек с курса попадут на концерт?

     Cвяжем испытания Бернулли с каждым из студентов, n = 100, р = 1/20,  = 5.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х,  распределенной по закону Пуассона. Производящая функция

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия числа студентов, выигравших билет на концерт, cовпадают с параметром распределения Пуассона: МХ = DX =5.

Пример 13. В начале ХХ столетия инженер Эрланг заметил, что число звонков, поступающих на телефонную станцию за единицу времени, имеет распределение Пуассона. Параметр этого распределения равен среднему количеству звонков, поступающих на телефонную станцию за эту единицу времени.

$8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х – число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы.          

                                                                              

                                                                                       P(Х k) =рk-1*q,  k = 1, 2, 3,…

 

Такое распределение называется геометрическим.

Пример 14. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов?

Пусть X – число ударов, сделанных игроком.[Найдем вероятность дополнительного события. Р(Х< 4) = 0,3+0,7*0,3+(0,7)2*0,3 = 0,657.  Тогда Р(Х  4) = 1–0,657 = 0,343.

Производящая функция случайной величины с геометрическим распределением  Математическое ожидание Дисперсия

Пример 15. Cреднее число ударов бильярдиста MX=1/q=1/0,3=10/3=3,(3). Дисперсия числа ударов  DX= р/q= 0,7/(0,3)= 70/9 = 7,(7).

PAGE  18


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43119. Кондуктор для сверления отверстия 10Н7 3.28 MB
  Частая смена объектов производства, связанная с нарастанием темпов технологического процесса, требует создание конструкций приспособлений, методов их расчёта и проектирования, обеспечивающих неуклонное сокращение сроков подготовки производства. Затраты на изготовление технологической оснастки составляют 15…20% от затрат на оборудования для технологического процесса обработки деталей машин или 10…24% от себестоимости машины. Станочные приспособления занимают наибольший удельный вес по стоимости и трудоёмкости изготовления в общем количестве различных типов технологической оснастки.
43120. Проектирование производственного здания «Завод по ремонту двигателей» 314.5 KB
  Проектирование начинается с задания. Задание на проектирование, которое определяется в основном технологическими процессами или назначением объекта, составляется с участием архитекторов, технологов и строителей-проектировщиков. В результате совместной разработки наряду с объемно-планировочной компоновкой, должны быть получены принципиальные решения конструктивной формы здания или сооружения. Эти принципиальные решения согласовываются с технологической и проектной организациями, после чего может быть начато проектирование.
43121. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРИВОДА. РАСЧЕТ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ 375 KB
  Определяем общий коэффициент полезного действия КПД привода где коэффициенты полезного действия ременной передачи цилиндрической передачи редуктора муфты и опор подшипников. где предел контактной выносливости для углеродистых сталей твердостью поверхностей зубьев менее НВ 350 и термической обработкой улучшением коэффициент долговечности при числе циклов нагружения больше базового что имеет место при длительной эксплуатации редуктора принимаем ; коэффициент безопасности; коэффициент учитывающий влияние...
43122. Разработка технологического процесса изготовления и сборки вала H40-ИНА 125.02.106 802 KB
  Графический материал объемом 4 листа формата А1 в том числе чертеж сборки заданного узла анализ точности изготовления операционные эскизы чертеж приспособления. Схема представлена на листе КП.106 Технологические схемы сборки приведены на листе 1.203 показаны на листе КП.
43123. Реконструкция четырехэтажного жилого дома серии 1-447 С-35 451 KB
  Характеристика объёмнопланировочного конструктивного и архитектурнохудожественного решения здания подлежащего реконструкции. Объемно планировочное решение здания и его соответствие нормативным требованиям Конструктивное решение здания и техническое состояние несущих и ограждение элементов Архитектурнохудожественное решение здания его соответствие требованиям предъявляемым к застройке Перечень и содержание мероприятий необходимых при проведении реконструкции здания Объемнопланировочное...
43124. Обработка числовых данных с использованием ППП 101 KB
  Исходные данные представлены в виде ряда чисел, связанных между собой последовательностью Х1-У1, Х2-У2 и т.д. Данные имеют уточнение в два знака после запятой. Все остальные данные, необходимые для выполнения поставленной задачи, рассчитываются в ходе выполнения контрольно - курсовой работы и определяются разработчиком. Так, все необходимые выходные данные будут округлены до целого значения. Промежуточные расчетные данные будем оставлять без изменений (по умолчанию уточнение до четвертого знака после запятой).
43125. Складання кошторису витрат на проведення капітального ремонту фільтр пресу для стічних вод 664.5 KB
  Обладнання на хімічних підприємствах працює, як правило, в особливих умовах: високо агресивні середовища (що викликає корозію), сили тертя та ін.. Режим роботи обладнання дуже напружений ( в дві, три зміни) без зупинок у вихідні та святкові дні. Всі ці умови мають суттєвий вплив на фізичний знос обладнання. Для підтримання основних виробничих фондів у працездатному стані необхідні повсякденний нагляд, догляд і періодичний їх ремонт. Для попередження передчасного зносу вузлів і агрегатів технічного обладнання ремонтні служби здійснюють технічне обслуговування, планово-попереджувальний ремонт, модернізацію обладнання, часткове виготовлення запасних частин, пристосувань та інструмента, механізацію трудомістких і важких ремонтних робіт.
43126. Система управления процессом врезного шлифования 631.5 KB
  Система управления должна обеспечить на начальном этапе обработки выход режима шлифования без перерегулирования на заданный программный уровень за время tп. Первый этап работы включает в себя расчёт статического режима системы по заданной точности стабилизации выходных величин. Конечной задачей является синтез регулятора частотным методом. На этом этапе коэффициент резания будет считаться величиной постоянной. На втором этапе производится синтез регулятора методом вектора скорости по заданным требованиям к динамике с учётом диапазона и скорости изменения коэффициента резания, который является функцией от времени .
43127. Розробка програми математичний калькулятор на мові Сі++ 376 KB
  Програмування являє собою комплекс по написанню системи програмних кодів, які здійснюватимуть керування тією чи іншою інформаційною системою, взаємодія з якою здійснюється через інформаційні технології.