32446

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ

Лекция

Математика и математический анализ

В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Вероятность что Х примет значение k т. в n испытаниях k раз наступит успех Действительно вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и n – k неудач в остальных n – k испытаниях равна Распределить k успехов среди n испытаний можно способами. Какова вероятность что герб выпадет 4 раза При каждом подбрасывании успех – выпадение герба n = 10 k = 4 р = 1 2.

Русский

2013-09-04

97 KB

11 чел.

Лекция 5.

$5. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ.

Производящая функция вводится для дискретных случайных величин, которые принимают в качестве своих значений только целые неотрицательные числа.  

Пусть случайная величина Х принимает значения 0,1,2,.. c вероятностями p0, р1, ,р2, … Функция П(z)  переменной z, , равная  называется производящей функцией случайной величины Х.

Производящая функция П(z) совпадает с математическим ожиданием случайной величины .

Утверждение 6. Из производящей функции П(z) однозначно определяются вероятности p0, р1 , р2,… значений целочисленной случайной величины Х.

Доказательство. Степенной ряд производящей функции сходится в круге радиуса 1. Внутри этого круга ряд можно сколько угодно раз дифференцировать.

П(0) = p0  ; 

……………………………………

Cледовательно,  m=0,1,2,3…

Утверждение 7. Если случайная величина имеет математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то 

Доказательство.

$6. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин. Одно из них – биномиальное.

Пусть проводится серия из n одинаковых и независимых между собой испытаний. В каждом из них  событие А может наступить с положительной вероятностью p. Такие  испытания называются испытаниями Бернулли.

Cобытие А будем называть «успехом», а событие  – «неудачей».

Рассмотрим случайную величину Х – число успехов в n испытаниях. Она может принимать значения 0, 1, 2,…, n. Вероятность, что Х примет значение k, т.е. в n испытаниях k раз наступит успех  Действительно, вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и ( k) неудач в остальных  (n  k) испытаниях равна  Распределить k успехов среди n испытаний можно  способами.

Распределение случайной величины Х называется распределением Бернулли или биномиальным распределением.

Пример 9. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что герб выпадет 4 раза?

При каждом подбрасывании «успех» – выпадение герба, = 10, = 4, р = 1/2.

       Биномиально  распределенная случайная величина X – это целочисленная величина. Введем для нее производящую функцию.

(бином Ньютона)  

Математическое ожидание  Дисперсия

Пример 10. Cреднее количество выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты равно MX = np = 10*(1/2) = 5, дисперсия равна DX = nр= 5*(1/2) = 5/2.

$7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.

Иногда на практике встречаются испытания Бернулли, в которых число испытаний n относительно велико, вероятность успеха p относительно мала, а их произведение  = n*p не мало и не велико. В таких случаях вместо биномиального распределения пользуются его приближением – распределением Пуассона.

При больших n:

Обозначим через pk вероятность Р(Х = k).

Cледовательно,  или:

Далее по индукции  Это и есть распределение Пуассона.

Пример 11. На курсе 100 студентов. Каждый может выиграть билет на концерт популярной музыкальной группы с вероятностью 1/20. Какова вероятность, что 6 человек с курса попадут на концерт?

     Cвяжем испытания Бернулли с каждым из студентов, n = 100, р = 1/20,  = 5.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х,  распределенной по закону Пуассона. Производящая функция

Пример 12. Математическое ожидание и дисперсия числа студентов, выигравших билет на концерт, cовпадают с параметром распределения Пуассона: МХ = DX =5.

Пример 13. В начале ХХ столетия инженер Эрланг заметил, что число звонков, поступающих на телефонную станцию за единицу времени, имеет распределение Пуассона. Параметр этого распределения равен среднему количеству звонков, поступающих на телефонную станцию за эту единицу времени.

$8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть теперь испытания Бернулли проводятся до наступления первой неудачи. Cлучайная величина Х – число проведенных испытаний. Распределение Х можно задать с помощью таблицы.          

                                                                              

                                                                                       P(Х k) =рk-1*q,  k = 1, 2, 3,…

 

Такое распределение называется геометрическим.

Пример 14. Вероятность закатить хотя бы один шар в лузу при одном ударе бильярдиста постоянна и рана 0,7. Если при ударе закатить шар не удается, право удара переходит к другому игроку. Какова вероятность, что бильярдист сделает не менее 4 ударов?

Пусть X – число ударов, сделанных игроком.[Найдем вероятность дополнительного события. Р(Х< 4) = 0,3+0,7*0,3+(0,7)2*0,3 = 0,657.  Тогда Р(Х  4) = 1–0,657 = 0,343.

Производящая функция случайной величины с геометрическим распределением  Математическое ожидание Дисперсия

Пример 15. Cреднее число ударов бильярдиста MX=1/q=1/0,3=10/3=3,(3). Дисперсия числа ударов  DX= р/q= 0,7/(0,3)= 70/9 = 7,(7).

PAGE  18


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72445. История менеджмента 602.5 KB
  Управление — понятие широкое. Известно управление машинами, химическими или другими процессами. Оно основано на знании законов механики, физики, химии. Но в обществе происходит управление не только вещами, но и людьми, коллективами людей в процессе производства ими материальных благ.
72446. Общая теория статистики 2.05 MB
  Все показатели социально-экономической статистики и методология их исчисления рассматриваются в свете теории и практики применения системы национальных счетов в условиях рыночной экономики. В результате изучения общей теории статистики социально-экономической статистики и статистики финансов...
72447. Правление Ивана I Калиты. Именно при нём начинается возвышение Москвы 28.5 KB
  Тверской князь поддержал это восстание. Этим тут же воспользовался Иван Калита, поехал в Золотую Орду, нажаловался на Тверского князя. Его поставили во главе монгольского отряда для подавления восcтания. Тверь была захвачена и полностью разграблена.
72448. ИСТОРИЯ ПЕДАГОГИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ КАК ОТРАСЛЬ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ 928 KB
  В настоящем пособии на основе ведущих концептуальных подходов к осмыслению историко-педагогического процесса предлагается целостное изложение основных явлений теории и практики образования начиная с рассмотрения предмета истории педагогики и образования и заканчивая...
72449. Послевоенное мирное урегулирование. Начало «холодной войны». Послевоенное мирное урегулирование в Европе 664.5 KB
  В Европе в 1945 г. вся политическая атмосфера была отмечена общим сдвигом влево. Самые широкие и с политической точки зрения активные народные массы, которые в эпоху первого мирового конфликта демонстрировали всевозрастающее отвращение к войне, в это время были вовлечены в борьбу...
72450. Эпоха «великих реформ» в России 753 KB
  «Эпоха Великих реформ», подготовка и проведение, которых растянулись на несколько десятилетий, была временем, когда правительство предприняло одну из наиболее последовательных попыток модернизировать весь уклад жизни огромной империи.
72451. ИСТОРИЯ И ТЕОРИЯ МАССОВЫХ ПРАЗДНИКОВ 1.38 MB
  Изучение истории и теории возникновения и эволюции праздников предполагает исследование как духовных, так и зрелищных составляющих празднично-обрядовой культуры разных народов. Их роль в деле рекреации человека, восстановлении его физических и духовных сил необычайно велика...
72452. ИСТОРИЯ ПСИХОЛОГИИ 606.5 KB
  Конспект лекций курса «История психологии» содержит информацию об основных этапах развития психологии как науки, о базовых идеях и понятиях, их появлении, усложнении и преем-ственности. В курсе освещены вопросы, касающиеся изменения в различные исторические периоды собственно предмета...