32448

Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла

Лекция

Физика

Тема: Молекулярнокинетическая теория. Рассмотрим модель идеального газа в которой: 1 молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2 в равновесном состоянии движение молекул хаотично т. они движутся в направлениях Х У и Z и при этом если в единице объема имеется n молекул то в каждом из этих направлений движется по n 3 молекул или n 6 в одну сторону. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной где средняя скорость движения молекул.

Русский

2013-09-04

730 KB

14 чел.

PAGE  6

Составил Бабичев С.А.

Лекция № 15.

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла.

Определим физическую природу и смысл термодинамических параметров (давления, температуры и внутренней энергии). Рассмотрим модель идеального газа, в которой: 1) молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2) в равновесном состоянии движение молекул хаотично, т.е. они движутся в направлениях Х, У и Z, и при этом, если в единице объема имеется n молекул, то в каждом из этих направлений движется по n/3 молекул, или n/6 в одну сторону.

Физический смысл давления. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной , где – средняя скорость движения молекул. Определим давление, оказываемое на элементарную площадь S молекулами, которые движутся в направлении стенки и за время t успевают до неё долететь. Число молекул, ударившихся о стенку за заданное время, равно:

,

где n – концентрация, т.е. число молекул в единице объема.

Определим среднюю силу удара молекул о поверхность. Пусть – сила удара одной молекулы. Тогда сила давления на поверхность за время t может быть определена как суммарная сила удара всех молекул за это время: . Определим силу удара одной молекулы о стенку. Будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении. До столкновения со стенкой молекула имела импульс  и после столкновения при сделанном предположении – импульс . Приращение импульса молекулы в результате столкновения:

.

Согласно закону сохранения импульса такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка: . По второму закону Ньютона сила удара одной молекулы о стенку: . После подстановки получаем формулу для расчета модуля силы удара молекул о стенку:

.

Разделив левую и правую части последнего уравнения на S, получаем формулу давления идеального газа по поверхность:

.

Умножив числитель и знаменатель на 2, получаем:

.

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Полученное уравнение называется основным уравнением молекулярно–кинетической теории идеального газа. Оно раскрывает физический смысл макропараметра р: давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул.

Физический смысл температуры Т. Сопоставим полученное выражение для давления газа с уравнением состояния идеального газа:

.

Учитывая, что , , , получаем: , откуда следует физический смысл абсолютной температуры: Температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

Подставив в основное уравнение МКТ выражение для кинетической энергии, получим:

.

Если в сосуде находится смесь газов, то давление смеси может быть найдено по формуле: . Полученное уравнение представляет собой математическую запись закона Дальтона: Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в отдельности.

Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Степенью свободы называют число независимых координат, определяющих положение молекулы. Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательных степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая, то кроме трех поступательных степеней свободы, она имеет и две вращательные, связанные с углами поворота вокруг двух перпендикулярных осей проходящих через центр масс С. Таким образом, жесткая двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных. Если молекула упругая, то возможны колебания атомов и необходима еще одна степень свободы. Ее называют колебательной. Тот факт, что средняя энергия поступательного движения молекулы согласно равна , означает, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия kT/2. Больцман обобщил этот вывод в виде гипотезы о равном распределении средней энергии по степеням свободы. При этом на колебательную степень свободы должны приходиться в среднем по две половинки kТ – одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной. В конечном итоге формула средняя энергия молекулы принимает вид:

,

где i – число степеней свободы: .

Физический смысл внутренней энергии. Определим внутреннюю энергию моля идеального газа, как произведение средней энергии одной молекулы на количество молекул: . Учитывая, что , получаем:

 и  .

Постоянная адиабаты при этом равна:

.

Согласно этой формуле для молекулы одноатомной = 1,67, жесткой двухатомной = 1,40 и упругой двухатомной = 1,29. Эти значения хорошо согласуются с опытными данными в области комнатных температур. Однако при расширении температурного интервала наблюдались расхождения теории и эксперимента. Противоречия были полностью разрешены только в рамках квантовой теории. Известно, что вращательная и колебательная энергии квантованы. Их уровни определяются соответственно формулами:

,   ,

где r – вращательное квантовое число, – колебательное квантовое число, I – момент инерции относительно главной оси, – собственная частота колебаний, – постоянная Планка.

Из этих формул следует, что минимальная вращательная энергия молекулы Н2 равна порядка одной сотой эВ. И при такой низкой температуре как 50 К средняя энергия поступательного движения молекулы вдвое меньше минимальной вращательной энергии. Т. е. ее оказывается недостаточно, чтобы возбудить вращательные степени свободы. В области температур ~ 500 К вращательные степени свободы полностью разморожены, и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная молекула с числом степеней свободы 3+2 = 5. При температурах, превышающих 1000 К, энергии уже оказывается достаточно для постепенного возбуждения колебательной степени свободы.

Скорости теплового движения молекул газа. Распределение Максвелла.

Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора v. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом

равновесии. Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости v. Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (v, v+dv). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами v и v+dv. Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т. е. 4v2dv, объемная же плотность вероятности f(v) во всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой:

.

Тогда величина  и является искомой вероятностью того, что частица будет иметь скорость в заданном интервале. Максвелл, показал, что функция распределения молекул по скоростям будет иметь вид:

.

Последняя формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. График функции распределения представлен на рисунке. Анализ графика и полученной функции распределения позволяет выделить три наиболее характерные скорости:

  •  наиболее вероятная скорость. Ей соответствует максимум функции распределения. Она определяется из условия: , откуда следует:

.

  •  средняя арифметическая скорость. Определяется как среднее арифметическое значение скоростей всех молекул:

.

  •  среднеквадратическая скорость. Определяется как квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей всех молекул:

.

Последнее равенство может быть получено непосредственно из формулы средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа:

, или , откуда получаем:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31345. ГЕНЕЗИС И ЭВОЛЮЦИЯ СОЛЯРНЫХ АСПЕКТОВ МИФОЛОГИИ АПОЛЛОНА 9.61 MB
  Лосев писал что широкая публика а значительной мере также и наука отождествляет Аполлона и Солнце1. Цель предлагаемой им реконструкции состоит в том чтобы дать правдоподобное объяснение известному и довольно странному факту: по сравнению с восточными религиозными системами в Греции в историческую эпоху культ Солнца как и других астральных божеств был очень мало развит. Рапп объясняет это тем что известный нам греческий Гелиос был последним звеном цепи развития мифологических представлений и именно поэтому сохранил в своей мифологии...
31346. МЕТАФИЗИКА КУЛЬТУРЫ. ОПЫТ СИСТЕМАТИЗАЦИИ ИДЕЙ РУССКИХ РЕЛИГИОЗНЫХ МЫСЛИТЕЛЕЙ 9.52 MB
  Духовная скудость текущей повседневности российского социума ужасает. Сейчас уже мало кто сомневается в бесперспективности новейшего российского либерализма. Дело не только в его роковой беспочвенности, в отрыве от национальных культурно-исторических корней, но и в каком-то совершенно немыслимом ранее «либеральном варварстве», выражающемся и в переходе от преклонения перед Западом к расовой ненависти к Востоку
31347. Образ птицы Бену в контексте древнеегипетской религии и мифологии 3.8 MB
  Важность специального исследования образа Бену обусловлена не только стремлением подробнее осветить его значение, но, и уходит гораздо глубже. На наш взгляд, объяснив закономерности развития и функционирования этого образа в системе древнеегипетских религиозно-мифологических представлений, мы во многом приблизимся к решению проблем, касающихся некоторых аспектов культа животных; и шире, к выявлению закономерностей мифотворчества в древнем Египте.
31348. ЭКРАННАЯ КУЛЬТУРА КАК НОВАЯ МИФОЛОГИЯ (НА ПРИМЕРЕ КИНО) 6.3 MB
  Экранная культура: основные понятия история развития и специфика современного состояния Понятие экранной культуры и основные этапы ее развития Экранная культура и современное коммуникативное пространство Экранная культура в контексте средств массовой коммуникации. Мифы в экранной культуре: традиции и современность Понятие мифа применительно к экранной культуре Новая мифология как способ...
31349. Фантастика и миф : использование мифологических образов в современной фантастической литературе 571.13 KB
  Тем не менее мы видим здесь не хронику давно забытых событий а историю о подлой неблагодарности королей об интриганахпридворных о законниках выворачивающих истину наизнанку чтобы отправить на тот свет неугодного им человека. И теперь перед нами возникает следующий не менее интересный вопрос: зачем же понадобилось невероятное в романе изображающем человека Всем известно что Свифт не единственный писатель который вводил в свои произведения фантастические образы. Вспомним лермонтовского Демона пушкинскую Русалку в повести Гоголя...
31350. РАЗВИТИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ИНИЦИАТИВНОСТИ В ДЕТСКОМ ВОЗРАСТЕ 9.73 MB
  Структура и функции исследовательской инициативности в деятельности человека . Психологические исследования деятельности человека по изучению сложных многосвязных объектов . В настоящее время развитие общества характеризуется все возрастающей динамичностью проникновением на новые уровни познания природы изменением социального устройства и возникновением качественно новых видов деятельности в ранее неизвестных областях. Особое значение здесь приобретает стремление и способность личности активно исследовать новизну и сложность меняющегося...
31351. КОММУНИКАТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ И ТАКТИКИ АГИТАЦИОННОГО ТЕКСТА И ИХ СТИЛИСТИЧЕСКАЯ РЕПРЕЗЕНТАЦИЯ 850 KB
  Формирование в стране новой коммуникационной среды, новых форм коммуникационного обмена, становление системы активных публичных коммуникаций обусловило актуальность социопрагматического аспекта анализа феноменов вербальной коммуникации. По выражению О.С. Иссерс, «в сегодняшнем обществе сформировался социальный заказ на знание закономерностей общения»
31352. Параметрические модели популяционной динамики и их приложение к задачам демографии 6.7 MB
  Приближение стабильного населения и решение уравнения Лотки. Макроэкономическая модель устойчивого развития населения. В настоящей диссертационной работе проведена систематизация и предпринята попытка развития параметрических методов моделирования динамики численности популяций и в частности населения вводится понятие информационного параметра как отличительной черты цивилизованного общества от биологической популяции и рассматривается его участие в демографических процессах. В работе уделено особое внимание параметрическому...