32448

Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла

Лекция

Физика

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Рассмотрим модель идеального газа в которой: 1 молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2 в равновесном состоянии движение молекул хаотично т. они движутся в направлениях Х У и Z и при этом если в единице объема имеется n молекул то в каждом из этих направлений движется по n 3 молекул или n 6 в одну сторону. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной где – средняя скорость движения молекул.

Русский

2013-09-04

730 KB

14 чел.

PAGE  6

Составил Бабичев С.А.

Лекция № 15.

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла.

Определим физическую природу и смысл термодинамических параметров (давления, температуры и внутренней энергии). Рассмотрим модель идеального газа, в которой: 1) молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2) в равновесном состоянии движение молекул хаотично, т.е. они движутся в направлениях Х, У и Z, и при этом, если в единице объема имеется n молекул, то в каждом из этих направлений движется по n/3 молекул, или n/6 в одну сторону.

Физический смысл давления. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной , где – средняя скорость движения молекул. Определим давление, оказываемое на элементарную площадь S молекулами, которые движутся в направлении стенки и за время t успевают до неё долететь. Число молекул, ударившихся о стенку за заданное время, равно:

,

где n – концентрация, т.е. число молекул в единице объема.

Определим среднюю силу удара молекул о поверхность. Пусть – сила удара одной молекулы. Тогда сила давления на поверхность за время t может быть определена как суммарная сила удара всех молекул за это время: . Определим силу удара одной молекулы о стенку. Будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении. До столкновения со стенкой молекула имела импульс  и после столкновения при сделанном предположении – импульс . Приращение импульса молекулы в результате столкновения:

.

Согласно закону сохранения импульса такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка: . По второму закону Ньютона сила удара одной молекулы о стенку: . После подстановки получаем формулу для расчета модуля силы удара молекул о стенку:

.

Разделив левую и правую части последнего уравнения на S, получаем формулу давления идеального газа по поверхность:

.

Умножив числитель и знаменатель на 2, получаем:

.

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Полученное уравнение называется основным уравнением молекулярно–кинетической теории идеального газа. Оно раскрывает физический смысл макропараметра р: давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул.

Физический смысл температуры Т. Сопоставим полученное выражение для давления газа с уравнением состояния идеального газа:

.

Учитывая, что , , , получаем: , откуда следует физический смысл абсолютной температуры: Температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

Подставив в основное уравнение МКТ выражение для кинетической энергии, получим:

.

Если в сосуде находится смесь газов, то давление смеси может быть найдено по формуле: . Полученное уравнение представляет собой математическую запись закона Дальтона: Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в отдельности.

Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Степенью свободы называют число независимых координат, определяющих положение молекулы. Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательных степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая, то кроме трех поступательных степеней свободы, она имеет и две вращательные, связанные с углами поворота вокруг двух перпендикулярных осей проходящих через центр масс С. Таким образом, жесткая двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных. Если молекула упругая, то возможны колебания атомов и необходима еще одна степень свободы. Ее называют колебательной. Тот факт, что средняя энергия поступательного движения молекулы согласно равна , означает, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия kT/2. Больцман обобщил этот вывод в виде гипотезы о равном распределении средней энергии по степеням свободы. При этом на колебательную степень свободы должны приходиться в среднем по две половинки kТ – одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной. В конечном итоге формула средняя энергия молекулы принимает вид:

,

где i – число степеней свободы: .

Физический смысл внутренней энергии. Определим внутреннюю энергию моля идеального газа, как произведение средней энергии одной молекулы на количество молекул: . Учитывая, что , получаем:

 и  .

Постоянная адиабаты при этом равна:

.

Согласно этой формуле для молекулы одноатомной = 1,67, жесткой двухатомной = 1,40 и упругой двухатомной = 1,29. Эти значения хорошо согласуются с опытными данными в области комнатных температур. Однако при расширении температурного интервала наблюдались расхождения теории и эксперимента. Противоречия были полностью разрешены только в рамках квантовой теории. Известно, что вращательная и колебательная энергии квантованы. Их уровни определяются соответственно формулами:

,   ,

где r – вращательное квантовое число, – колебательное квантовое число, I – момент инерции относительно главной оси, – собственная частота колебаний, – постоянная Планка.

Из этих формул следует, что минимальная вращательная энергия молекулы Н2 равна порядка одной сотой эВ. И при такой низкой температуре как 50 К средняя энергия поступательного движения молекулы вдвое меньше минимальной вращательной энергии. Т. е. ее оказывается недостаточно, чтобы возбудить вращательные степени свободы. В области температур ~ 500 К вращательные степени свободы полностью разморожены, и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная молекула с числом степеней свободы 3+2 = 5. При температурах, превышающих 1000 К, энергии уже оказывается достаточно для постепенного возбуждения колебательной степени свободы.

Скорости теплового движения молекул газа. Распределение Максвелла.

Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора v. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом

равновесии. Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости v. Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (v, v+dv). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами v и v+dv. Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т. е. 4v2dv, объемная же плотность вероятности f(v) во всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой:

.

Тогда величина  и является искомой вероятностью того, что частица будет иметь скорость в заданном интервале. Максвелл, показал, что функция распределения молекул по скоростям будет иметь вид:

.

Последняя формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. График функции распределения представлен на рисунке. Анализ графика и полученной функции распределения позволяет выделить три наиболее характерные скорости:

  •  наиболее вероятная скорость. Ей соответствует максимум функции распределения. Она определяется из условия: , откуда следует:

.

  •  средняя арифметическая скорость. Определяется как среднее арифметическое значение скоростей всех молекул:

.

  •  среднеквадратическая скорость. Определяется как квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей всех молекул:

.

Последнее равенство может быть получено непосредственно из формулы средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа:

, или , откуда получаем:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29495. Элита и «масса» в общественном мнении: проблема социальной элиты 76 KB
  Принято выделять элиты по их профессиональному месту по роду их занятий в обществе и соответственно говорить об интеллектуальных политических военных экономических культурных и т. Эта категория элиты действует преимущественно через системы и средства массовой информации. Поэтому кстати численность публичной элиты ограничена немногими десятками лиц это определяется возможностями самого поля массового внимания или фигурально выражаясь размерами подиума.
29496. КОМПЛЕКСЫ ОБЩЕСТВЕННОГО МНЕНИЯ (Статистика и социология в изучении общественного мнения) 174 KB
  При таком статистическом подходе существуют проблемы измерения общественного мнения но нет вопроса о его структуре и функциях2. но и так сказать изнутри в смысле самого языка общественного мнения символы стереотипы комплексы значений и средств выражения. Понятно что отечественный опыт последних лет питает сомнения и разочарования в отношении эффективности любых демократических институтов в том числе и общественного мнения в нынешнем российском обществе.
29497. ЧЕЛОВЕК, ТОЛПА И МАССА В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ 104.5 KB
  В частности это относится к пугающему одних и ободряющему других в зависимости от позиции представлению о всемогуществе масскоммуникативного влияния на массовую аудиторию на массового человека. В конечном счете это приводит к одной из граней извечной проблемы общественного человека: как и насколько может и желает человек поддаваться давлению коммуникативных средств массового поражения. О генезисе массового общества С.
29498. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ПРОБЛЕМЕ СОЦИАЛЬНОЙ ЭЛИТЫ 141.5 KB
  Но каждое время то есть каждая социальная ситуация выбирает поддерживает пестует продвигает подходящий для нее тип человека. Если на поверхности советской системы находился человек послушнокарьерный то с ее распадом на переднем плане в политической жизни бизнесе медиа социальнонаучной сфере и около них оказался человек ловкий ориентированный на ближайший успех и не связанный ни ценностными ни социальногрупповыми рамками ответственности. Массовый человек ориентируется практически не на те звездные образцы политкумиров...
29499. «СРЕДНИЙ ЧЕЛОВЕК»: ФИКЦИЯ ИЛИ РЕАЛЬНОСТЬ 102 KB
  В соответствии с такой исследовательской ориентацией предметом рассмотрения прежде всего становится человек как респондент массового исследования а лишь затем возникает проблема социальногрупповой типологии. в рамках исследовательской программы Советский человек. Средний показатель I высшая 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 III 3 4 3 2 3 3 3 IV 6 5 6 4 7 6 5 V 21 20 24 21 19 19 20 VI 17 11 15 14 13 13 12 VII 18 13 14 16 16 15 15 VIII 12 16 15 15 16 18 15 IX 9 11 10 10 10 10 9 X низшая 8 17 13 16 15 14 14 Средний статус 626 697 675...
29500. ИНДИКАТОРЫ И ПАРАДИГМЫ КУЛЬТУРЫ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ 109 KB
  Нужен какойто переход к теоретическому уровню анализа построению работоспособных гипотез и моделей культуры или как было предложено Т. Исходное предположение состоит в том что получаемые исследователями в массовых опросах глубоких интервью статистике данные относятся к состоянию видимых терминалов скрытого от невооруженного глаза сложного и в определенном смысле целостного механизма культуры. Перемены социальные и культурные: разные шкалы времени Понятно что все феномены и процессы культуры могут существовать реально только в...
29501. ФЕНОМЕН ВЛАСТИ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ: ПАРАДОКСЫ И СТЕРЕОТИПЫ ВОСПРИЯТИЯ 123.5 KB
  При этом за пределами внимания остаются особенности представлений о природе и функциях власти присущие массовому сознанию современного общества. Необходимые разграничения В нашем общественном мнении обычно слабо различаются механизмы и функции власти структура властных институтов роли и действия конкретных лиц наделенных властью. Многочисленные опросные данные относительно доверия к социальным институтам регулярно публикуемые в журнале Мониторинг показывают существенные различия в отношении населения к власти федерального центра и...
29502. ИНДЕКСЫ СОЦИАЛЬНЫХ НАСТРОЕНИЙ В «НОРМЕ» И В КРИЗИСЕ 164 KB
  В последнее время большую международную известность приобрел индекс потребительских настроений который в нашей стране разрабатывается группой ИПНРоссия на основе регулярных мониторинговых исследований ВЦИОМ; его результаты широко освещаются в периодической печати в том числе в журнале Мониторинге общественного мнения2. По аналогичным методикам могут быть построены как частные так и сводный индексы социальных настроений и установок. По своей методологической природе любой сконструированный индекс величина искусственно полученная в...
29503. ПРОБЛЕМА ЭМОЦИОНАЛЬНОГО БАЛАНСА ОБЩЕСТВА 182.5 KB
  Высказанные им соображения о методологической слабости психологической трактовки распространенных в исследованиях общественного мнения в том числе и проведенных ВЦИОМ перечней различных страхов представляются вполне правомерными. Представляется полезным обсудить особенности природы и функций социальных страхов различных типов в их соотношении с другими компонентами эмоционального поля общества например интересами радостями позитивными оценками и переживаниями. Первое и важнейшее различение с которым приходится сталкиваться при...