32448

Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла

Лекция

Физика

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Рассмотрим модель идеального газа в которой: 1 молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2 в равновесном состоянии движение молекул хаотично т. они движутся в направлениях Х У и Z и при этом если в единице объема имеется n молекул то в каждом из этих направлений движется по n 3 молекул или n 6 в одну сторону. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной где – средняя скорость движения молекул.

Русский

2013-09-04

730 KB

14 чел.

PAGE  6

Составил Бабичев С.А.

Лекция № 15.

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла.

Определим физическую природу и смысл термодинамических параметров (давления, температуры и внутренней энергии). Рассмотрим модель идеального газа, в которой: 1) молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2) в равновесном состоянии движение молекул хаотично, т.е. они движутся в направлениях Х, У и Z, и при этом, если в единице объема имеется n молекул, то в каждом из этих направлений движется по n/3 молекул, или n/6 в одну сторону.

Физический смысл давления. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной , где – средняя скорость движения молекул. Определим давление, оказываемое на элементарную площадь S молекулами, которые движутся в направлении стенки и за время t успевают до неё долететь. Число молекул, ударившихся о стенку за заданное время, равно:

,

где n – концентрация, т.е. число молекул в единице объема.

Определим среднюю силу удара молекул о поверхность. Пусть – сила удара одной молекулы. Тогда сила давления на поверхность за время t может быть определена как суммарная сила удара всех молекул за это время: . Определим силу удара одной молекулы о стенку. Будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении. До столкновения со стенкой молекула имела импульс  и после столкновения при сделанном предположении – импульс . Приращение импульса молекулы в результате столкновения:

.

Согласно закону сохранения импульса такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка: . По второму закону Ньютона сила удара одной молекулы о стенку: . После подстановки получаем формулу для расчета модуля силы удара молекул о стенку:

.

Разделив левую и правую части последнего уравнения на S, получаем формулу давления идеального газа по поверхность:

.

Умножив числитель и знаменатель на 2, получаем:

.

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Полученное уравнение называется основным уравнением молекулярно–кинетической теории идеального газа. Оно раскрывает физический смысл макропараметра р: давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул.

Физический смысл температуры Т. Сопоставим полученное выражение для давления газа с уравнением состояния идеального газа:

.

Учитывая, что , , , получаем: , откуда следует физический смысл абсолютной температуры: Температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

Подставив в основное уравнение МКТ выражение для кинетической энергии, получим:

.

Если в сосуде находится смесь газов, то давление смеси может быть найдено по формуле: . Полученное уравнение представляет собой математическую запись закона Дальтона: Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в отдельности.

Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Степенью свободы называют число независимых координат, определяющих положение молекулы. Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательных степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая, то кроме трех поступательных степеней свободы, она имеет и две вращательные, связанные с углами поворота вокруг двух перпендикулярных осей проходящих через центр масс С. Таким образом, жесткая двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных. Если молекула упругая, то возможны колебания атомов и необходима еще одна степень свободы. Ее называют колебательной. Тот факт, что средняя энергия поступательного движения молекулы согласно равна , означает, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия kT/2. Больцман обобщил этот вывод в виде гипотезы о равном распределении средней энергии по степеням свободы. При этом на колебательную степень свободы должны приходиться в среднем по две половинки kТ – одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной. В конечном итоге формула средняя энергия молекулы принимает вид:

,

где i – число степеней свободы: .

Физический смысл внутренней энергии. Определим внутреннюю энергию моля идеального газа, как произведение средней энергии одной молекулы на количество молекул: . Учитывая, что , получаем:

 и  .

Постоянная адиабаты при этом равна:

.

Согласно этой формуле для молекулы одноатомной = 1,67, жесткой двухатомной = 1,40 и упругой двухатомной = 1,29. Эти значения хорошо согласуются с опытными данными в области комнатных температур. Однако при расширении температурного интервала наблюдались расхождения теории и эксперимента. Противоречия были полностью разрешены только в рамках квантовой теории. Известно, что вращательная и колебательная энергии квантованы. Их уровни определяются соответственно формулами:

,   ,

где r – вращательное квантовое число, – колебательное квантовое число, I – момент инерции относительно главной оси, – собственная частота колебаний, – постоянная Планка.

Из этих формул следует, что минимальная вращательная энергия молекулы Н2 равна порядка одной сотой эВ. И при такой низкой температуре как 50 К средняя энергия поступательного движения молекулы вдвое меньше минимальной вращательной энергии. Т. е. ее оказывается недостаточно, чтобы возбудить вращательные степени свободы. В области температур ~ 500 К вращательные степени свободы полностью разморожены, и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная молекула с числом степеней свободы 3+2 = 5. При температурах, превышающих 1000 К, энергии уже оказывается достаточно для постепенного возбуждения колебательной степени свободы.

Скорости теплового движения молекул газа. Распределение Максвелла.

Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора v. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом

равновесии. Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости v. Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (v, v+dv). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами v и v+dv. Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т. е. 4v2dv, объемная же плотность вероятности f(v) во всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой:

.

Тогда величина  и является искомой вероятностью того, что частица будет иметь скорость в заданном интервале. Максвелл, показал, что функция распределения молекул по скоростям будет иметь вид:

.

Последняя формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. График функции распределения представлен на рисунке. Анализ графика и полученной функции распределения позволяет выделить три наиболее характерные скорости:

  •  наиболее вероятная скорость. Ей соответствует максимум функции распределения. Она определяется из условия: , откуда следует:

.

  •  средняя арифметическая скорость. Определяется как среднее арифметическое значение скоростей всех молекул:

.

  •  среднеквадратическая скорость. Определяется как квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей всех молекул:

.

Последнее равенство может быть получено непосредственно из формулы средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа:

, или , откуда получаем:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55058. Посвящение в первоклассники 54 KB
  Донецк Посвящение в первоклассники Первоклассники торжественно заходят в зал под мелодию Школьный корабль Ведущий 1. Наши первоклассники Ведущий 1. Позвольте праздник Посвящение в первоклассники считать открытым Ведущий 2. Дорогие первоклассники Чуть больше месяца назад вы пришли в нашу школу не зная её правил и законов.
55059. Посвята в старшокласники 87 KB
  Шановні радіослухачі У зв’язку з проведенням традиційного свята Посвята в старшокласники до нас прибув почесний гість сам Папа Римський Бенедикт Шістнадцятий. На сцені з’являються Папа Римський і перекладач. Папа Римський. Доброго дня шановні пані та панове Папа римський.
55060. Природно – ресурсний потенціал Полтавської області 55 KB
  Анотація: Розробка уроку для 9 класу, мета якого – визначити особливості географічного положення Полтавської області; розвивати знання про природно – ресурсний потенціал регіону; закріпити вміння і навички працювати з картою і розв’язувати задачі; розвивати аналітичне мислення і творчий підхід до засвоєння матеріалу.
55061. Bасиль Королів-Старий «Потороча хрипка». Що значить бути доброю людиною? 82.5 KB
  Подивилася на нього ще зблизька побачила який вiн наскрiзь мокрий як вiн увесь тремтить iз холоду й нарештi наскiльки вистачило у неї голосу ласкаво промовила: Любий хлопчику Не бiйся мене й скажи чого ти тут шукаєш.– Й вiн заридав. Давно вже вiн не чув щоб хтось озвався до нього ласкавим словом. Вiн ще трохи похлипав й почав розповiдати.
55062. Совершенствование техники выполнения ранее изученных элементов баскетбола 63.5 KB
  Задачи урока: Образовательная ведение мяча по кругу; ведение мяча с изменением направления; передача мяча в парах в движении; ведение мяча два шага бросок в кольцо;...
55063. Як досягти поваги в колективі 44 KB
  3 група філологи добирають вислови видатних людей про дружбу і колективізм. Повідомлення теми уроку Тема нашого уроку: Як досягти поваги в колективі. Культурна людина бажана в будь – якому колективі.
55064. Поведінка учня. Безпека школяра. Правила поведінки учня під час шкільних масових заходів 81 KB
  Що таке звичка ввічливої поведінки Яка це звичка Які інші корисні звички для зміцнення здоров’я вам відомі Чому ви самі поважаєте себе якщо можете самостійно виховати в собі корисні риси Згадайте свої маленькі перемоги над собою. Як ви допомагаєте виробити корисні звички друзям Як ви спілкуєтесь зі своїми...
55065. Програма Power Point на уроках української мови та літератури як засіб формування інноваційної особистості 6.61 MB
  І тут на допомогу приходить візуалізація за допомогою комп’ютерної презентації. Застосування цієї програми дає можливість учителеві та учням складати презентації для організації інформаційної підтримки під час підготовки й проведення уроківє унікальною можливістю демонстрації пропонованого матеріалу...
55066. Щастя. Як ми його розуміємо? 45 KB
  Тема: Щастя. Практична: Поглибити знання учнів про диспут та його проведення розширити розуміння поняття щастя виховувати людяність працьовитість любов до людей чесність. Щастя не слава не гроші Все це минає. Щастя це друзі хороші Шана людськая Олександр Підсуха.