32448

Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла

Лекция

Физика

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Рассмотрим модель идеального газа в которой: 1 молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2 в равновесном состоянии движение молекул хаотично т. они движутся в направлениях Х У и Z и при этом если в единице объема имеется n молекул то в каждом из этих направлений движется по n 3 молекул или n 6 в одну сторону. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной где – средняя скорость движения молекул.

Русский

2013-09-04

730 KB

13 чел.

PAGE  6

Составил Бабичев С.А.

Лекция № 15.

Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла.

Определим физическую природу и смысл термодинамических параметров (давления, температуры и внутренней энергии). Рассмотрим модель идеального газа, в которой: 1) молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2) в равновесном состоянии движение молекул хаотично, т.е. они движутся в направлениях Х, У и Z, и при этом, если в единице объема имеется n молекул, то в каждом из этих направлений движется по n/3 молекул, или n/6 в одну сторону.

Физический смысл давления. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной , где – средняя скорость движения молекул. Определим давление, оказываемое на элементарную площадь S молекулами, которые движутся в направлении стенки и за время t успевают до неё долететь. Число молекул, ударившихся о стенку за заданное время, равно:

,

где n – концентрация, т.е. число молекул в единице объема.

Определим среднюю силу удара молекул о поверхность. Пусть – сила удара одной молекулы. Тогда сила давления на поверхность за время t может быть определена как суммарная сила удара всех молекул за это время: . Определим силу удара одной молекулы о стенку. Будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении. До столкновения со стенкой молекула имела импульс  и после столкновения при сделанном предположении – импульс . Приращение импульса молекулы в результате столкновения:

.

Согласно закону сохранения импульса такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка: . По второму закону Ньютона сила удара одной молекулы о стенку: . После подстановки получаем формулу для расчета модуля силы удара молекул о стенку:

.

Разделив левую и правую части последнего уравнения на S, получаем формулу давления идеального газа по поверхность:

.

Умножив числитель и знаменатель на 2, получаем:

.

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Полученное уравнение называется основным уравнением молекулярно–кинетической теории идеального газа. Оно раскрывает физический смысл макропараметра р: давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул.

Физический смысл температуры Т. Сопоставим полученное выражение для давления газа с уравнением состояния идеального газа:

.

Учитывая, что , , , получаем: , откуда следует физический смысл абсолютной температуры: Температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

Подставив в основное уравнение МКТ выражение для кинетической энергии, получим:

.

Если в сосуде находится смесь газов, то давление смеси может быть найдено по формуле: . Полученное уравнение представляет собой математическую запись закона Дальтона: Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа в отдельности.

Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Степенью свободы называют число независимых координат, определяющих положение молекулы. Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательных степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая, то кроме трех поступательных степеней свободы, она имеет и две вращательные, связанные с углами поворота вокруг двух перпендикулярных осей проходящих через центр масс С. Таким образом, жесткая двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных. Если молекула упругая, то возможны колебания атомов и необходима еще одна степень свободы. Ее называют колебательной. Тот факт, что средняя энергия поступательного движения молекулы согласно равна , означает, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия kT/2. Больцман обобщил этот вывод в виде гипотезы о равном распределении средней энергии по степеням свободы. При этом на колебательную степень свободы должны приходиться в среднем по две половинки kТ – одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной. В конечном итоге формула средняя энергия молекулы принимает вид:

,

где i – число степеней свободы: .

Физический смысл внутренней энергии. Определим внутреннюю энергию моля идеального газа, как произведение средней энергии одной молекулы на количество молекул: . Учитывая, что , получаем:

 и  .

Постоянная адиабаты при этом равна:

.

Согласно этой формуле для молекулы одноатомной = 1,67, жесткой двухатомной = 1,40 и упругой двухатомной = 1,29. Эти значения хорошо согласуются с опытными данными в области комнатных температур. Однако при расширении температурного интервала наблюдались расхождения теории и эксперимента. Противоречия были полностью разрешены только в рамках квантовой теории. Известно, что вращательная и колебательная энергии квантованы. Их уровни определяются соответственно формулами:

,   ,

где r – вращательное квантовое число, – колебательное квантовое число, I – момент инерции относительно главной оси, – собственная частота колебаний, – постоянная Планка.

Из этих формул следует, что минимальная вращательная энергия молекулы Н2 равна порядка одной сотой эВ. И при такой низкой температуре как 50 К средняя энергия поступательного движения молекулы вдвое меньше минимальной вращательной энергии. Т. е. ее оказывается недостаточно, чтобы возбудить вращательные степени свободы. В области температур ~ 500 К вращательные степени свободы полностью разморожены, и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная молекула с числом степеней свободы 3+2 = 5. При температурах, превышающих 1000 К, энергии уже оказывается достаточно для постепенного возбуждения колебательной степени свободы.

Скорости теплового движения молекул газа. Распределение Максвелла.

Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора v. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом

равновесии. Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости v. Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (v, v+dv). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами v и v+dv. Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т. е. 4v2dv, объемная же плотность вероятности f(v) во всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой:

.

Тогда величина  и является искомой вероятностью того, что частица будет иметь скорость в заданном интервале. Максвелл, показал, что функция распределения молекул по скоростям будет иметь вид:

.

Последняя формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. График функции распределения представлен на рисунке. Анализ графика и полученной функции распределения позволяет выделить три наиболее характерные скорости:

  •  наиболее вероятная скорость. Ей соответствует максимум функции распределения. Она определяется из условия: , откуда следует:

.

  •  средняя арифметическая скорость. Определяется как среднее арифметическое значение скоростей всех молекул:

.

  •  среднеквадратическая скорость. Определяется как квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей всех молекул:

.

Последнее равенство может быть получено непосредственно из формулы средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа:

, или , откуда получаем:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6745. Сущность и основные виды нетарифных ограничений 29.44 KB
  Сущность и основные виды нетарифных ограничений. Заметно ускорившаяся после 2-й Мировой войны международная экономическая интеграция способствовала существенной легализации внешней торговли, однако на ряду со снижением тарифных барьеров в последнее ...
6746. Порядок применения в Таможенном союзе количественных ограничений 29.69 KB
  Порядок применения в Таможенном союзе количественных ограничений. В соответствии с соглашением О единых мерах нетарифного регулирования в отношении третьих стран количественные ограничения экспорта (импорта) представляют собой меры по количественн...
6747. Лицензирование во внешнеторговой сфере Таможенного союза 28.91 KB
  Лицензирование во внешнеторговой сфере Таможенного союза. В рамках Таможенного союза применение мер регулирования, затрагивающих внешнюю торговлю товарами, включенными в единый перечень, а также применение тарифной квоты реализуются, как правило, пу...
6748. Порядок и условия применения тарифных квот в Таможенном союзе 26.25 KB
  Порядок и условия применения тарифных квот в Таможенном союзе. В соответствии с Соглашением об условиях и механизме применения тарифных квот от 12 декабря 2008 г. при осуществлении регулирования ввоза на единую таможенную территорию сельскохозяйстве...
6749. Другие виды нетарифного регулирования (наблюдение за экспортом/импортом, исключительное право на экспорт/импорт, особые виды запретов и ограничений во внешней торговле товарами) 27.69 KB
  Другие виды нетарифного регулирования (наблюдение за экспортом/импортом, исключительное право на экспорт/импорт, особые виды запретов и ограничений во внешней торговле товарами). Наряду с квотированием и лицензированием Соглашением о единых мерах не...
6750. Клеточные основы наследственности человека 29.41 KB
  Клеточные основы наследственности человека Клетка - основная единица биологической активности. Первое описание клеток было сделано в 1665 году англичанином Р.Гуком. В зависимости от структурных особенностей клетки делятся на прокариотическ...
6751. Жизненный (клеточный) цикл 26.07 KB
  Жизненный (клеточный) цикл Весь период существования клетки от её возникновения до деления или гибели называется жизненным, или клеточным циклом. Вновь появившаяся клетка первоначально растет и дифференцируется, затем она выполняет свои специфически...
6752. Деление клетки 24.88 KB
  Деление клетки. В настоящее время известно три типа деления эукариотических клеток: амитоз, митоз и мейоз. Амитоз - прямое деление. При этом клетка, а иногда – только её ядро, делится путём простой перетяжки. Равномерного распределения нас...
6753. Основы цитогенетики. Строение и типы метафазных хромосом человека 26.99 KB
  Основы цитогенетики. Строение и типы метафазных хромосом человека. Многие ученые в разных странах мира изучали хромосомы клеточного ядра. Однако только в 1955 году Тио и Леван установили, что в большинстве клеток у человека присутствует 46 хромосом....