32449

Распределение Больцмана. Барометрическая формула. Второе начало термодинамики. Энтропия. Теорема Нернста. Основное уравнение термодинамики

Лекция

Физика

Для характеристики состояния системы при тепловых процессах Клаузиус ввел понятие энтропии S. Следует отметить что приращение энтропии не зависит от процесса а определяется только начальным конечным состояниями системы т. Свойства энтропии: энтропия – функция состояния. В реальных процессах тепло переходит от более к менее нагретым телам поэтому изменение энтропии каждого тела равно: где .

Русский

2013-09-04

322.5 KB

25 чел.

PAGE  1

Составил Бабичев С.А.

Лекция № 16.

Тема: Распределение Больцмана. Барометрическая формула. Второе начало термодинамики. Энтропия. Теорема Нернста. Основное уравнение термодинамики.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных консервативных сил, действующих в одном направлении и зависящих только от координаты z. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным. Найдем зависимость концентрации газа от высоты.

Выделим мысленно бесконечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S = 1). Запишем условие равновесия этого слоя, используя гидростатический подход. На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0), и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равновесии должно соблюдаться равенство:

,

где Fz – проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу. Из механики известно, что , где U – потенциальная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому можно записать: . Для идеального газа связь между давлением и температурой определяется соотношением:. Продифференцируем последнюю формулу по времени, учитывая, что : . В конечном итоге получаем:  или:

.

Проинтегрировав последнее уравнение, получаем: . Будем считать, что при  , а потенциальная энергия частицы на высоте z в однородном поле тяготения имеет вид: . Тогда формула зависимости концентрации молекул от высоты принимает вид:

.

Полученная закономерность и выражает распределение Больцмана. С помощью полученной формулы можно найти количество молекул в интересующем нас элементарном объеме: .

Умножив левую и правую части распределения Больцмана на kT, получим барометрическую формулу, выражающую зависимость давления от высоты:

.

Учитывая, что масса частицы и , окончательно получаем:

.

Следует отметить, что полученная формула справедлива только для идеального газа, температура которого не зависит от высоты.

Второе начало термодинамики. Энтропия.

Первое начало термодинамики представляет собой обобщение закона сохранения энергии на тепловые явления. Оно устанавливает количественные соотношения между превращениями одних видов энергии в другие. Второе начало определяет условия, при которых возможны эти превращения, а также возможные направления протекания процессов.

Рассмотрим схему работы тепловой машины, рабочим телом в которой является идеальный газ. Любой тепловой двигатель работает по замкнутому циклу. Если процесс совершается по часовой стрелке, то работа, производимая двигателем за цикл, положительная: А > 0.  Пусть Q1 – поглощенное тепло, a Q2 – отдаваемое тепло (Q2 > 0). Опыт показывает, что тепло Q2 неизбежно существует в любом тепловом двигателе. По первому началу за цикл приращение внутренней энергии рабочего вещества , поэтому . Эффективность теплового двигателя определяют его КПД, который равен отношению полезной работы газа к полученному им количеству теплоты:

, или .

Теоретически возможны процессы, при которых всё количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, будет превращено в полезную работу, т.е. Q2 = 0 и = 1, однако в природе такие процессы не наблюдаются. Эта объективная закономерность отражена во втором начале термодинамики. Существует несколько формулировок второго начала.

  1.  Клаузиус (1850): невозможен самопроизвольный переход тепла от менее к более нагретому телу, или невозможны процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от менее к более нагретому телу.

Тот факт, что, например, в холодильнике совершается переход тепла от холодильной камеры в комнату, не противоречит этому утверждению, поскольку этот процесс не является самопроизвольным: для его осуществления потребляется электрическая энергия.

  1.  Кельвин (1851): невозможны процессы, единственным конечным результатом которых было бы превращение тепла целиком в работу.

Из второго начала термодинамики следует, что КПД теплового двигателя всегда меньше единицы, т.е. тепловые процессы необратимы. Необратимость тепловых процессов заключается в том, что при возвращении системы в исходное состояние происходят необратимые изменения состояний окружающих тел.

Для характеристики состояния системы при тепловых процессах Клаузиус ввел понятие энтропии S. Энтропия вводится через её элементарное приращение, как:

.

Следует отметить, что приращение энтропии не зависит от процесса, а определяется только начальным конечным состояниями системы, т.е. энтропия – функция состояния. В интегральной форме полученное выражение имеет вид:

,

Т.е. разность энтропий в двух равновесных состояниях равна приведенному количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2.

Свойства энтропии:

  •  энтропия – функция состояния. Если процесс проводят вдоль адиабаты, то энтропия системы не меняется. Значит адиабаты – это одновременно и изоэнтропы. Каждой более «высоко» расположенной адиабате отвечает большее значение энтропии;
  •  энтропия – величина аддитивная, т.е. энтропия макросистемы равна суме энтропий отдельных её частей;
  •  энтропия замкнутой макросистемы не уменьшается – она либо возрастает, либо остаётся постоянной.

Т.к. , и в идеально теплоизолированной системе , то получаем: , т.е. энтропия системы не изменяется. В реальных процессах тепло переходит от более к менее нагретым телам, поэтому изменение энтропии каждого тела равно:

, , где .

Суммарное изменение энтропии: , т.е. .

Принцип возрастания энтропии замкнутых систем представляет собой еще одну формулировку второго начала термодинамики: Все реальные тепловые процессы сопровождаются возрастанием энтропии.

Теорема Нернста. В 1906 году Нернст открыл закон, который называют теоремой Нернста или третьим началом термодинамики: При приближении температуры к абсолютному нулю энтропия макросистемы также стремится к нулю:

при ,

И абсолютное значение энтропии можно вычислять по формуле:

.

Из последнего равенства следует, что при  теплоёмкость всех макросистем должна также стремится к нулю, при этом все процессы будут происходить без изменения энтропии.

Основное уравнение термодинамики представляет собой объединение энтропии с первым началом термодинамики. Т.к. , и , то в итоге получаем:

.

Рассчитаем с помощью полученного уравнения энтропию идеального газа. Пусть начальное и конечное состояния газа определяются параметрами . Учитывая, что  и , основное уравнение термодинамики можно переписать в виде: . Продифференцируем логарифм от уравнения Менделеева–Клапейрона: , . Взяв дифференциал от последнего уравнения, получаем: . Подставив полученное равенство в формулу изменения энтропии, получаем:

.

Но в соответствии с уравнением Майера для молей газа: . В конечном итоге формула изменения энтропии имеет вид: . Проинтегрировав последнее выражение, получим уравнение изменение энтропии идеального газа в системе pV:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45118. Russia 23 KB
  The country is multintion stte. It consist of two chmbers: the Council of the Federtion nd the Stte Dum. The Stte Dum includes 450 deputies. t first bills re introduced in the Stte Dum.
45119. If being a teacher is not prestigious nowadays, why do people teach? 15 KB
  People tech becuse teching is built on chnge. People tech becuse they like freedom to mke their own mistkes to lern their own lessons to stimulte their self nd their students. People tech becuse they like helping students who hs problem.
45121. Law profession in Great Britain 23 KB
  For instnce the solicitors dels with petty crimes nd some mtrimonil mtters in mgistrtes’ courts. He my represent his client in the court when the cse is one of divorce or recovering with other mtters. Brristers re expects in the interprettion of the lw nd dvoccy – the rt of the presenting cses in court. They dvice on relly difficult points nd conduct legl proceedings in the higher courts.
45122. What are your food tastes and preferences? Do you eat nutritionally sound food? 15.46 KB
  Eаting blnced diet mens choosing wide vriety of foods nd drinks from ll food groups. The key to helthy blnced diet is not to bn or omit ny foods or food groups but to blnce wht you et by consuming vriety of foods from ech food group in the right proportions for good helth. For some people is food is source of plesure for others – source of energy.
45123. My profession 23 KB
  Graduates from different law school can work at the Bar, in the organs of the Prosecutor’s Office, in different court, in notary office, in legal advice offices, in organs of militia, as well as in different firms, etc
45124. Innovations in our life 13.74 KB
  A lot of scientists have made some very surprising predictions about the future. They say that in the next fifty years the way we live will change beyond our wildest dreams. Here are some of their predictions which have already come true. In 1932, an English, Aldous Huxley wrote that you will go to the feelies, where we not only will see pictures, but also feel and smell them
45125. Which predictions about the future most worry you and surprise you? 14.65 KB
  They sy tht in the next fifty yers the wy we live will chnge beyond our wildest drems. So scientists believe tht if we cn tlk to nimls we won’t to et them. I worry tht lborsving devices nd the resulting sedentry lifestyle could well led to n epidemic in obesity. growth in online shopping nd homeworking my men tht our city centres become deserted wstelnds.
45126. Would you say that you are computer-literate? What do you use the computer for? 14.8 KB
  I need computer so much becuse my work stnds in close reltion to computer. I work s trnsltor with my sister nd her husbnd. I trnslte correct shpe texts little rticles or documents with the help of online dictionries for exmple BBY Lingvo online or other becuse my work to expect from the stff or specil knowledge which I hven’t. When I hve problems with my work I cll my sister with the help of the Skype.