32507

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ ЛИНИИ: «АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА»

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Система счисления это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Римский способ записи чисел является примером непозиционной системы счисления а арабский это позиционная система счисления. Позиционных систем счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом множеством используемых цифр. Размер алфавита число цифр называется основанием системы счисления.

Русский

2013-09-04

63.5 KB

14 чел.

екция №17. Теория и методика обучения информатики,

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ ЛИНИИ: «АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА».

Это одна из традиционных тем курса информатики или программирования. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад также и в фундаментальное математическое образование школьников.

С методической точки зрения бывает очень эффективным прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному, пусть маленькому, открытию записав числа:

XXX                         333

В римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение, которое несет каждая цифра в записи числа, зависит не только от того, какая это но и от позиции, которую она занимает в числе.

Система счисления — это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Римский способ записи чисел является примером непозиционной системы счисления, а арабский — это позиционная система счисления.

Позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом — множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления.

Основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной.

Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления. Системы с основанием не больше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.

Далее нужно научить учеников записывать натуральный чисел в различных позиционных системах. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 19, 20, ..., 99, 100, 101, …

По такому же принципу строится натуральный ряд и в других темах счисления. 14   24   34, 104, 114, 124, 134, 204, 214.

Наибольший интерес представляет натуральный ряд двоичных чисел:

1,. 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, ...

Следует обратить внимание учеников на быстрый рост числа цифр.

Ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи чисел:

5319,12 = 5000 + 300 + 10 + 9 + 0,1 + 0,02 = = 5·103 + 3·102 + 1·101  + 9 ·100 + 1·10-1 + 2·10-2 .   

17538 = 1·103  + 7·102  +5·101 - 3.

Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе, — способы перевода чисел из одной системы в другую. Поскольку нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснение способов перевода следует начать с перевода десятичных чисел в другие системы счисления:

17538 = (1·103  + 7·102  + 5·101  + 3)8 = (1·83 + 7·82 + 5·81 - 3)10.

17538 = (192 + 448 + 40 + 3)10 = 68310.

Чаще всего развернутую форму числа сразу записывают в десятичной системе: 101101,12 = (1·25  + 0·24  + 1·23  + 1·22 + 0·21  + 1 + + 1·2-1)10 = 32 + 8 + 4 + 1 + 0,5 = 45,510.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления — задача более сложная. Нужно десятичное число разложить в сумму по степеням нового основания n  10. Например, число 8510 по степеням двойки раскладывается так:

8510   = 1·26  + 0·25  + 1·24  + 0·23  + 1·22   + 0·21  + 1 = 10101012.

Многие дробные рациональные десятичные числа в других системах счисления оказываются иррациональными.

Для выполнения вычислений с многозначными числами необходимо знать правила сложения и правила умножения однозначных чисел. Вот эти правила:

0  +  0  =  0

0  x  0  =  0

1  +  0  =  1

1  x  0  =  0

1  +  1  = 10

1  x  1  =  1

Принцип перестановочности сложения и умножения работает во всех системах счисления. Приемы выполнения вычислений с многозначными числами в двоичной системе аналогичны десятичной.

Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления.

Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным  представлением числа.

16

2

16

2

0

0000

8

1000

1

0001

9

1001

2

0010

А

1010

3

0011

В

1011

4

0100

С

1100

5

0101

D

1101

6

0110

Е

1110

7

0111

F

1111

16 = 24, число различных 4-разрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из «16» в «2» и обратно производится путем формальной перекодировки. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного.

Примеры решения задач

Пример 1. Перевести в десятичную систему числа: 2213; Е41А,1216.

Пример 2. Перевести шестнадцатеричные числа в восьмеричную систему.

Пример 3. Найти основание р системы счисления и цифру n если верно равенство: 33m5п + 2n443 = 55424. Пример выполнен в системе счисления с основанием р, m — максимальная цифра в этой системе.

Решение.

Запишем столбиком данное сложение:

33m5n

2n443

55424

Очевидно, основание системы р > 6 , так как присутствует цифра 5. Сложение в младшем разряде дает: n + 3 = 4. Отсюда n = 1. во втором разряде слева дает:

5 + 4 = 12p = (1·p + 2)10 = 910.

Отсюда следует, что р = 9 — 2 = 7. Наибольшая цифра в семеричной системе — 6. Значит m = 6. Если теперь подставить в данные выражение вместо букв соответствующие им цифры: n = 1, m = 6 и выполнить сложение в семеричной системе счисления, то получится сумма, данная в условии задачи.

Пример 4. В какой системе счисления выполнено следующее сложение?

 756

 307

2456

…24

3767

Решение. Решение этой задачи рекомендуется искать методом гипотез. Очевидно, что основание системы р > 8. Можно предположить, что оно меньше 10, поскольку нет буквенных цифр, а правилам десятичной арифметики данный пример не удовлетворяет. Примем гипотезу о том, что р равно 8 или 9. Выполним сложение младших разрядов в десятичной системе:

6 + 7 + 6 + 4 =2310 =Х7Р.

В системе с основанием р это двузначное число с младшей цифрой 7 и неизвестной первой цифрой слева. Переведем число 2310 в восьмеричную и девятеричную системы. Получим:

2310 = 278 = 259.

Очевидно, подходит вариант р = 8. Проверяя выполнение сложения других разрядов в восьмеричной системе, убеждаемся, что предположение сделано правильное.

Ответ: р = 8.

Требования к знаниям и умениям при изучении темы «Арифметические основы компьютера»

Учащиеся должны знать:

  •  функции языка как способа представления информации; что такое естественные и формальные языки;
  •  что такое «система счисления»;
  •  в чем различие между позиционными и непозиционными системами счисления;

Учащиеся должны уметь:

  •  переводить целые числа из десятичной системы счисления в другие системы и обратно;
  •  выполнять простейшие арифметические операции с двоичными числами;
  •  •*осуществлять перевод целых и дробных десятичных чисел в другие позиционные системы счисления и обратный перевод;
  •  •*переходить от записи двоичной информации к восьмеричной и шестнадцатеричной форме и осуществлять обратный переход.

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32900. НЕОКАНТИАНСТВО 11.82 KB
  В неокантианстве различают Марбургскую школу занимавшуюся преимущественно логикометодологической проблематикой естественных наук и Фрейбургскую Баденскую школу сосредоточившуюся на проблематике ценностей и методологии наук гуманитарного цикла. Разрабатывала в основном вопросы связанные с методологией гуманитарных наук. Различие между естествознанием и науками гуманитарного цикла представители этой школы видели не в разнице предмета исследования а в специфическом методе присущем историческому познанию.
32901. Философская система 11.94 KB
  Субъективный дух человеческое сознание постигая вещи обнаруживает в них проявление абсолютного духа божественного мышления. Порожденная духом природа не имеет независимого от него существования. Дух выходит из природы прерывая внешнюю кору материальности как чего то низшего.3 Философия духа делится на три части на учения о субъективном объективном и абсолютном духе.
32902. Становление марксистской философии 11.5 KB
  Во второй половине 50х и особенно в 60е годы происходит антропологический поворот : советская философия обращается к человеку человеческой проблематике. В современном буржуазном обществе она предстала по Марксу как проблема отчуждения : устройство общества разделение труда частная собственность таково что результаты человеческой деятельности продукты труда отчуждаются от человека и превращаются в господствующую над ним силу что ведет и к отчуждению людей друг от друга.
32903. Философия Жизни в19 в 12.41 KB
  Философия Жизни в19 в. В середине 19 века создается эволюционная концепция жизни. Именно в это время возникает иррационализм который к концу 19 века оформляется в отдельную школу – Философию жизни. Этот целостный поток жизни необъясним в рамках рационализма позитивизма механицизма т.
32905. Фрейдизм 14.38 KB
  Первый: создание концепции бессознательного конец XIX века до 1920 года когда на основе экспериментальных данных он делает вывод о существовании в психике каждого человека достаточно четко выраженных структурных образований которые характеризуются как сознание предсознание и бессознательное. Наиболее существенная разработка этого периода динамическая концепция психики человека включающей такие структуры как Оно Я и сверхЯ. Оно кипящий котел инстинктов рождающий все последующие противоречия и трудности человека. Структура Я...
32906. Религия 12.49 KB
  religio благочестие набожность святыня предмет культа это мировоззрение и мироощущение а также соответствующее поведение и специфические действия культ которые основываются на вере в существование одного или нескольких богов и сверхъестественного мира. отображения мира в сознании человечества.
32907. Русская философия 11.7 KB
  Ее феноменальность заключается в том что русская философия развивалась исключительно автономно самостоятельно независимо от европейской и мировой философии не находилась под влиянием многочисленных философских направлений Запада – эмпиризма рационализма идеализма и др.Характерными чертами русской философии являются:сильная подверженность религиозному влиянию особенно православию и язычеству;специфическая форма выражения философских мыслей – художественное творчество литературная критика публицистика искусство;целостность...
32908. Философия средневековой Руси 10-17вв 12.88 KB
  Философия средневековой Руси 1017вв В истории отечественной философской мысли выделяют несколько периодов: первый философская мысль Древней Руси X – XVII вв. Первый период в истории отечественной философской мысли характеризуется полным преобладанием религиозной мысли. На формирование мысли средневековой Руси заметное влияние оказала патристика особенно учения представителей Каппадокийской школы: В. Формирование и развитие отечественной философской мысли не прерывалось в годы монгольского ига а в XV – XVII веках философская мысль...