32531

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Паркет называется правильным если он составлен из равных правильных многоугольников.3 Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: а квадратами рисунок 1; б равносторонними треугольниками рисунок 2; в правильными шестиугольниками рисунок 3. Докажем что других правильных паркетов не существует. Действительно углы правильного гаугольника равны 180 Заполним таблицу состоящую из углов  правильных n угольников.

Русский

2013-09-04

378 KB

5 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора при изучении паркетов.

Паркеты с древних времен привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее, эта тема непосредственно связана с такими понятиями, как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии, площадь и др.

Таким образом, налицо целесообразность ознакомления учащихся с основными видами паркетов. Однако трудность заключается в том, что изображение паркета на доске не всегда получается хорошего качества и красота во многом теряется. Помочь этому может использование компьютерных программ и, в частности, любого графического редактора.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

    

            Рис.1                                      Рис.2                                    Рис.3

Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости:

а) квадратами, рисунок 1;

б) равносторонними треугольниками, рисунок 2;

в) правильными шестиугольниками, рисунок 3.

Докажем, что других правильных паркетов не существует. Действительно, углы правильного га-угольника равны 180°  Заполним таблицу, состоящую из углов правильных n - угольников.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

600

900

1080

1200

1280

1350

1400

1440

1470

1500

Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -угольников, то должно выполняться равенство m180°=3600  откуда m=. Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и 6. При остальных значениях n число m оказывается дробным. В частности, нельзя заполнить плоскость правильными пятиугольниками.

Среди правильных треугольника, квадрата и шестиугольника данного периметра наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.

Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники были расположены одним и тем же способом. Такие паркеты называются полуправильными.

Найдем все возможные полуправильные паркеты. Для этого обозначим через 1, 2, ... — углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания 1  2  ... . Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов, и укажем соответствующие паркеты.

Таким образом, всего имеется 11 типов полуправильных паркетов.

Для получения паркетов можно воспользоваться графическим редактором Так, например, паркет из квадратов был получен следующим образом. Сначала был нарисован квадрат. Затем он был скопирован. Полученная копия передвинута с помощью мышки так, чтобы исходный квадрат и копия соприкасались сторонами. Доставая новые копии квадрата и перемещая их так, чтобы они соприкасались сторонами с предыдущими квадратами, получим искомый паркет. Используя различные цвета заливки квадратов, можно получать разноцветные паркеты.

Выясним теперь вопрос о том, можно ли заполнить плоскость неправильными равными многоугольниками.

Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD. Рассмотрим центрально-симметричный ему четырехугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырехугольник ABCD обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами А, В, С и D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости.

Отметим, что четырехугольник ABCD может быть и невыпуклым. Соответствующий паркет приведен на рисунке ниже.

Он был получен следующим образом. Сначала был заготовлен четырехугольник. Затем этот четырехугольник был скопирован. Копии четырехугольника перемещались мышкой и располагались так, чтобы они соприкасались вершинами. Между ними будут оставаться четырехугольники, центрально-симметричные исходным, и все вместе они дадут искомый паркет.

Упражнения для самостоятельной работы

  1.  Получите паркеты, изображенные на рисунках 2—14.
  2.  Можно ли заполнить плоскость треугольником произвольной формы?
  3.  Докажите, что с помощью центрально-симметричных шестиугольников произвольной формы (даже невыпуклых) можно заполнить плоскость. Приведите пример соответствующего паркета.
  4.  

Получите паркет, составленный из греческих крестов

  1.  Приведите пример пятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  2.  Докажите, что плоскость нельзя заполнить равными выпуклыми семиугольниками.
  3.  Приведите пример невыпуклого десятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  4.  Пол квадратной комнаты нужно покрыть паркетом из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 12). Сколько восьмиугольников и квадратов потребуется, если площадь пола равна 100 м2, а сторона правильного восьмиугольника — 10 см?
  5.  В каком отношении должны находиться количества белых и серых правильных шестиугольников, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 4), заполняющий всю плоскость?
  6.  В каком отношении должны находиться количества правильных шестиугольников, треугольников и квадратов, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 9), заполняющий всю плоскость?

PAGE  - 4 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49312. Геометрические параметры фюзеляжа экраноплана 922.1 KB
  Представим взлетную массу экраноплана m0=mпустmпн где mпуст – масса пустого аппарата mпн–масса полезной нагрузки. Масса пустогоаппарта состоит из следующих элементов: mпуст=mkmcymоб. где mk –масса конструкции; mcy – масса сивой установки; mоб.упр– масса оборудования и управления.
49313. С,Н, Трубецкой о природе сознания 81 KB
  Человеческое сознание предполагает чувственную, телесную организацию, и вместе оно имеет самобытное, идеальное начало. Оно предполагает бессознательную природу, которая организуется и постепенно возвышается до него, ибо оно есть конечный продукт космического развития. И в то же время оно предполагает абсолютное вселенское сознание
49314. Расчет параметров цифровых систем передачи непрерывных сообщений 181.84 KB
  Тип распределения СОДЕРЖАНИЕ Введение Распределение относительной среднеквадратичной ошибки ОСКО входных преобразований...
49315. Обоснование рациональной электротехнической службы в хозяйстве 340.98 KB
  Перечень оборудования по типовым проектам составляем на основании расчетной схемы силового и осветительного оборудования по объектам. В перечне указываем производительный объект, наименование установки, на которой имеется оборудование, условия эксплуатации этого электрооборудования, количество, тип силового и пускозащитного оборудования, мощность.
49316. Основы метода рентгенофотоэлектронной спектроскопии (РФЭС) 895.32 KB
  Анализ качественного и количественного состава поверхности. Определение химического состояния атомов поверхности. Химический сдвиг и определение химического состояния атомов на поверхности В результате этого взаимодействия с поверхности в общем случае вылетают четыре вида частиц электроны фотоны ионы и нейтральные атомы и молекулы.
49317. ФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ 736.55 KB
  Изучением сопротивления перемещению вязкости – коэффициента внутреннего трения и деформации вещества занимается наука – реология методы которой получили широкое распространение как в исследовательской деятельности так и на производстве при решении технологических задач. Разработка газовых и газоконденсатных месторождений и перекачка нестабильных углеводородных...
49318. Расчет АЧХ, ФЧХ и переходной характеристики полосового фильтра 129.03 KB
  Техническое задание 3 АЧХ и ФЧХ Переходная характеристика Заключение Техническое задание Построить АЧХ ФЧХ и переходную характеристику цепи. Схема расчета АЧХ и ФЧХ Операторное передаточное сопротивление: где G =1 R Заменим p на jw АЧХ: ФЧХ: Подставим значения Найдем собственную частоту контура Определим характеристическое сопротивление Рассчитаем добротность Полоса пропускания Таблица 1. ФЧХ 0.
49319. Проект очистных работ для лавы 111.6 KB
  Поэтому проверим возможность применения механизированного комбайнового комплекса в условиях заданной лавы: При выборе механизированного комплекса следует учесть что вынимаемая мощность в данном случае будет складываться из мощности угля и мощности ложной кровли: где мощность пласта угля м; мощность ложной кровли м. В условиях данной лавы возможно применение следующих комбайновых комплексов: 1КМ88; 2КМ87УМА; 1КМ87УМВ; 2КМ87УМВ. при работе по простиранию падению восстанию 15 10 10 20 10 10 20 10 10 20 10 10 Устойчивость...
49320. Разработка программы на алгоритмическом языке программирования Си 195.01 KB
  Программа на языке СИ. Необходимо ответить на вопросы: “Что заданКакой должен быть получен результат†“Как получить результат†Задача моего варианта курсовой работы заключается в проверке истинности высказывания: Все цифры данного числа различныЭто значит что мне нужно используя знания полученные на курсах информатики а так же при необходимости используя дополнительную литературу составить программу на языке си которая могла бы определить – все ли цифры различны в заданном трехзначном...