32531

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Паркет называется правильным если он составлен из равных правильных многоугольников.3 Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: а квадратами рисунок 1; б равносторонними треугольниками рисунок 2; в правильными шестиугольниками рисунок 3. Докажем что других правильных паркетов не существует. Действительно углы правильного гаугольника равны 180 Заполним таблицу состоящую из углов  правильных n угольников.

Русский

2013-09-04

378 KB

6 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора при изучении паркетов.

Паркеты с древних времен привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее, эта тема непосредственно связана с такими понятиями, как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии, площадь и др.

Таким образом, налицо целесообразность ознакомления учащихся с основными видами паркетов. Однако трудность заключается в том, что изображение паркета на доске не всегда получается хорошего качества и красота во многом теряется. Помочь этому может использование компьютерных программ и, в частности, любого графического редактора.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

    

            Рис.1                                      Рис.2                                    Рис.3

Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости:

а) квадратами, рисунок 1;

б) равносторонними треугольниками, рисунок 2;

в) правильными шестиугольниками, рисунок 3.

Докажем, что других правильных паркетов не существует. Действительно, углы правильного га-угольника равны 180°  Заполним таблицу, состоящую из углов правильных n - угольников.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

600

900

1080

1200

1280

1350

1400

1440

1470

1500

Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -угольников, то должно выполняться равенство m180°=3600  откуда m=. Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и 6. При остальных значениях n число m оказывается дробным. В частности, нельзя заполнить плоскость правильными пятиугольниками.

Среди правильных треугольника, квадрата и шестиугольника данного периметра наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.

Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники были расположены одним и тем же способом. Такие паркеты называются полуправильными.

Найдем все возможные полуправильные паркеты. Для этого обозначим через 1, 2, ... — углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания 1  2  ... . Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов, и укажем соответствующие паркеты.

Таким образом, всего имеется 11 типов полуправильных паркетов.

Для получения паркетов можно воспользоваться графическим редактором Так, например, паркет из квадратов был получен следующим образом. Сначала был нарисован квадрат. Затем он был скопирован. Полученная копия передвинута с помощью мышки так, чтобы исходный квадрат и копия соприкасались сторонами. Доставая новые копии квадрата и перемещая их так, чтобы они соприкасались сторонами с предыдущими квадратами, получим искомый паркет. Используя различные цвета заливки квадратов, можно получать разноцветные паркеты.

Выясним теперь вопрос о том, можно ли заполнить плоскость неправильными равными многоугольниками.

Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD. Рассмотрим центрально-симметричный ему четырехугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырехугольник ABCD обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами А, В, С и D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости.

Отметим, что четырехугольник ABCD может быть и невыпуклым. Соответствующий паркет приведен на рисунке ниже.

Он был получен следующим образом. Сначала был заготовлен четырехугольник. Затем этот четырехугольник был скопирован. Копии четырехугольника перемещались мышкой и располагались так, чтобы они соприкасались вершинами. Между ними будут оставаться четырехугольники, центрально-симметричные исходным, и все вместе они дадут искомый паркет.

Упражнения для самостоятельной работы

  1.  Получите паркеты, изображенные на рисунках 2—14.
  2.  Можно ли заполнить плоскость треугольником произвольной формы?
  3.  Докажите, что с помощью центрально-симметричных шестиугольников произвольной формы (даже невыпуклых) можно заполнить плоскость. Приведите пример соответствующего паркета.
  4.  

Получите паркет, составленный из греческих крестов

  1.  Приведите пример пятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  2.  Докажите, что плоскость нельзя заполнить равными выпуклыми семиугольниками.
  3.  Приведите пример невыпуклого десятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  4.  Пол квадратной комнаты нужно покрыть паркетом из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 12). Сколько восьмиугольников и квадратов потребуется, если площадь пола равна 100 м2, а сторона правильного восьмиугольника — 10 см?
  5.  В каком отношении должны находиться количества белых и серых правильных шестиугольников, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 4), заполняющий всю плоскость?
  6.  В каком отношении должны находиться количества правильных шестиугольников, треугольников и квадратов, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 9), заполняющий всю плоскость?

PAGE  - 4 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54012. Theatre Lessons for children 62.5 KB
  Many of the skills learned in playing are social skills. Most games worth playing are highly social and have a problem that needs solving within them- an objective point in which each individual must become involved with others while attempting to reach a goal.
54013. Опис графічних операцій у мові програмування Паскаль 139.5 KB
  Мета: Ввести поняття про графічних операторів у Паскалі. Навчити учнів правильно складати програми по обробці графічних функцій й операцій.
54014. Квадратні рівняння 329 KB
  Пропоную конспекти різних типів уроків де розкрито різні способи організації самостійної роботи з учнями при вивченні теми Квадратні рівняння. Квадратне рівняння. Повні та неповні квадратні рівняння їх розвязання.
54015. Популярність. Популярні зірки 154 KB
  The topic of the today’s lesson is “The Famous Pop Stars”. Well, at the today’s lesson we’re speaking about people who want to be famous. You’ll read the text. You’re going to revise grammar (Past Simple and Present Perfect). By the end of the lesson you’ll be able to ask and answer the questions about pop idols.
54016. Англійська мова у 6 класі «Our English» 193.5 KB
  How do you do, my dears? Are you in a good mood? Are you ready for the lesson? We have got an interesting and unusual lesson today. It will be a competition to see who is the wisest, the most attentive and the most active. The winner will be given a tasty present. Do you want to take part in this competition? So, go ahead!
54018. Индивид, индивидуальность, личность и общество как производители и носители культуры 37 KB
  Индивидом обычно называют единичного конкретного человека, рассматриваемого в качестве биосоциального существа. Понятие «человек», как правило, употребляют, желая показать принадлежность какого-либо лица к человеческому роду (Homo sapiens), а также тот факт, что данное лицо обладает всеобщими, свойственными всем людям чертами и качествами. От этих двух понятий необходимо отличать понятие «личность».
54019. Структура культуры и ее элементы 42.5 KB
  Структура культуры — строение культуры, состоящей из субстанциональных элементов (опредмечиваются в ее ценностях и нормах) и функциональных элементов (характеризуют процесс культурной деятельности, различные ее стороны и аспекты)...
54020. Лексические игры на уроках английского языка 28 KB
  Лексические игры используются в самых различных целях: при введении нового лексического материала для закрепления его в памяти учащихся и для развития их устной речи. Лексические игры преследуют следующие цели: познакомить учащихся с новыми словами и их сочетаниями; тренировать учащихся в употреблении лексике в ситуациях приближенных к естественной обстановке; активизировать речемыслительную деятельность учащихся; развивать речевую реакцию. Лексические игры сосредоточивают внимание учащихся исключительно на лексическом материале...