32531

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Паркет называется правильным если он составлен из равных правильных многоугольников.3 Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: а квадратами рисунок 1; б равносторонними треугольниками рисунок 2; в правильными шестиугольниками рисунок 3. Докажем что других правильных паркетов не существует. Действительно углы правильного гаугольника равны 180 Заполним таблицу состоящую из углов  правильных n угольников.

Русский

2013-09-04

378 KB

5 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора при изучении паркетов.

Паркеты с древних времен привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее, эта тема непосредственно связана с такими понятиями, как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии, площадь и др.

Таким образом, налицо целесообразность ознакомления учащихся с основными видами паркетов. Однако трудность заключается в том, что изображение паркета на доске не всегда получается хорошего качества и красота во многом теряется. Помочь этому может использование компьютерных программ и, в частности, любого графического редактора.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

    

            Рис.1                                      Рис.2                                    Рис.3

Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости:

а) квадратами, рисунок 1;

б) равносторонними треугольниками, рисунок 2;

в) правильными шестиугольниками, рисунок 3.

Докажем, что других правильных паркетов не существует. Действительно, углы правильного га-угольника равны 180°  Заполним таблицу, состоящую из углов правильных n - угольников.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

600

900

1080

1200

1280

1350

1400

1440

1470

1500

Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -угольников, то должно выполняться равенство m180°=3600  откуда m=. Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и 6. При остальных значениях n число m оказывается дробным. В частности, нельзя заполнить плоскость правильными пятиугольниками.

Среди правильных треугольника, квадрата и шестиугольника данного периметра наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.

Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники были расположены одним и тем же способом. Такие паркеты называются полуправильными.

Найдем все возможные полуправильные паркеты. Для этого обозначим через 1, 2, ... — углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания 1  2  ... . Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов, и укажем соответствующие паркеты.

Таким образом, всего имеется 11 типов полуправильных паркетов.

Для получения паркетов можно воспользоваться графическим редактором Так, например, паркет из квадратов был получен следующим образом. Сначала был нарисован квадрат. Затем он был скопирован. Полученная копия передвинута с помощью мышки так, чтобы исходный квадрат и копия соприкасались сторонами. Доставая новые копии квадрата и перемещая их так, чтобы они соприкасались сторонами с предыдущими квадратами, получим искомый паркет. Используя различные цвета заливки квадратов, можно получать разноцветные паркеты.

Выясним теперь вопрос о том, можно ли заполнить плоскость неправильными равными многоугольниками.

Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD. Рассмотрим центрально-симметричный ему четырехугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырехугольник ABCD обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами А, В, С и D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости.

Отметим, что четырехугольник ABCD может быть и невыпуклым. Соответствующий паркет приведен на рисунке ниже.

Он был получен следующим образом. Сначала был заготовлен четырехугольник. Затем этот четырехугольник был скопирован. Копии четырехугольника перемещались мышкой и располагались так, чтобы они соприкасались вершинами. Между ними будут оставаться четырехугольники, центрально-симметричные исходным, и все вместе они дадут искомый паркет.

Упражнения для самостоятельной работы

  1.  Получите паркеты, изображенные на рисунках 2—14.
  2.  Можно ли заполнить плоскость треугольником произвольной формы?
  3.  Докажите, что с помощью центрально-симметричных шестиугольников произвольной формы (даже невыпуклых) можно заполнить плоскость. Приведите пример соответствующего паркета.
  4.  

Получите паркет, составленный из греческих крестов

  1.  Приведите пример пятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  2.  Докажите, что плоскость нельзя заполнить равными выпуклыми семиугольниками.
  3.  Приведите пример невыпуклого десятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  4.  Пол квадратной комнаты нужно покрыть паркетом из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 12). Сколько восьмиугольников и квадратов потребуется, если площадь пола равна 100 м2, а сторона правильного восьмиугольника — 10 см?
  5.  В каком отношении должны находиться количества белых и серых правильных шестиугольников, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 4), заполняющий всю плоскость?
  6.  В каком отношении должны находиться количества правильных шестиугольников, треугольников и квадратов, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 9), заполняющий всю плоскость?

PAGE  - 4 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41779. Команды MS-DOS. Среда операционной системы MS-DOS 250.79 KB
  Название команды Синтаксис команды Создание файла с консоли copy con имя файла Удаление файла del имя файла Переименование файла ren имя файла 1 имя файла 2 Редактирование файла edit имя файла Переход на диск имя диска Переход в каталог cd путь Сортировка по имени файлов каталога Ds Сортировка по расширению файлов каталога Ne Создание каталога md имя каталога Удаление каталога rd имя каталога Очистка экрана Cls Вывод содержимого файла на экран type имя файла Копирование файла copy путь 1 что копируется путь 2 куда копируется Поиск файла...
41780. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ РАСТВОРОВ АМФОТЕРНЫХ ПОЛИЭЛЕКТРОЛИТОВ 118.87 KB
  Измерьте рН всех приготовленных растворов результаты внести в табл. Приготовление растворов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Объем 3 раствора желатина мл 20 20 20 20 20 20 20 20 20 Объем 005 М HCl мл 20 14 8 2 Объем 001 М NОН мл 2 8 14 20 Объем дистиллированной воды мл 6 12 18 20 18 12 6 4. Определите оптическую плотность растворов при помощи ФЭК56 со светофильтром № 4 синий и кюветой 30 мм.
41781. Программирование на языках Texno IL и Texno SFC 1.76 MB
  Создайте еще один канал. Установите период пересчета равным 1 секунде. Для удобства восприятия назовем новый канал «выключатель». Для создания выключателя необходимо щелкнуть левой клавишей мыши по иконке выключателя на рабочем столе.
41782. Изучение и анализ конструкций систем смазки транспортных двигателей 141.06 KB
  Вывод: Ознакомились с устройством систем смазки различных двигателей научились анализировать их конструктивные особенности.
41784. Создание цветных изображений с использованием цветов, контуров и инструментов заливки 6.16 MB
  Цели занятия: Научить создавать изображения с цветом контуром и инструментами заливки. Учащиеся должны научиться: Создает цветные изображения с использованием цветов контуров и инструментов заливки. Различают восемь типов заливок: однородные или сплошные заливки; градиентные заливки; заливки двухцветным узором; заливки цветным узором; заливки точечным узором; текстурные заливки; заливки растром PostScript; сетчатые заливки.
41785. Изучение метода обратного рассеяния в волоконных световодах с помощью оптического рефлектометра 437.08 KB
  Изучение метода обратного рассеяния, способов определения параметров неоднородных оптических линейных трактов по рефлектограмме, получение навыков работы с оптическим рефлектометром.