32531

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Паркет называется правильным если он составлен из равных правильных многоугольников.3 Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости: а квадратами рисунок 1; б равносторонними треугольниками рисунок 2; в правильными шестиугольниками рисунок 3. Докажем что других правильных паркетов не существует. Действительно углы правильного гаугольника равны 180 Заполним таблицу состоящую из углов  правильных n угольников.

Русский

2013-09-04

378 KB

4 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора при изучении паркетов.

Паркеты с древних времен привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее, эта тема непосредственно связана с такими понятиями, как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии, площадь и др.

Таким образом, налицо целесообразность ознакомления учащихся с основными видами паркетов. Однако трудность заключается в том, что изображение паркета на доске не всегда получается хорошего качества и красота во многом теряется. Помочь этому может использование компьютерных программ и, в частности, любого графического редактора.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

    

            Рис.1                                      Рис.2                                    Рис.3

Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости:

а) квадратами, рисунок 1;

б) равносторонними треугольниками, рисунок 2;

в) правильными шестиугольниками, рисунок 3.

Докажем, что других правильных паркетов не существует. Действительно, углы правильного га-угольника равны 180°  Заполним таблицу, состоящую из углов правильных n - угольников.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

600

900

1080

1200

1280

1350

1400

1440

1470

1500

Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -угольников, то должно выполняться равенство m180°=3600  откуда m=. Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и 6. При остальных значениях n число m оказывается дробным. В частности, нельзя заполнить плоскость правильными пятиугольниками.

Среди правильных треугольника, квадрата и шестиугольника данного периметра наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска.

Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники были расположены одним и тем же способом. Такие паркеты называются полуправильными.

Найдем все возможные полуправильные паркеты. Для этого обозначим через 1, 2, ... — углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания 1  2  ... . Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов, и укажем соответствующие паркеты.

Таким образом, всего имеется 11 типов полуправильных паркетов.

Для получения паркетов можно воспользоваться графическим редактором Так, например, паркет из квадратов был получен следующим образом. Сначала был нарисован квадрат. Затем он был скопирован. Полученная копия передвинута с помощью мышки так, чтобы исходный квадрат и копия соприкасались сторонами. Доставая новые копии квадрата и перемещая их так, чтобы они соприкасались сторонами с предыдущими квадратами, получим искомый паркет. Используя различные цвета заливки квадратов, можно получать разноцветные паркеты.

Выясним теперь вопрос о том, можно ли заполнить плоскость неправильными равными многоугольниками.

Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD. Рассмотрим центрально-симметричный ему четырехугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырехугольник ABCD обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами А, В, С и D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости.

Отметим, что четырехугольник ABCD может быть и невыпуклым. Соответствующий паркет приведен на рисунке ниже.

Он был получен следующим образом. Сначала был заготовлен четырехугольник. Затем этот четырехугольник был скопирован. Копии четырехугольника перемещались мышкой и располагались так, чтобы они соприкасались вершинами. Между ними будут оставаться четырехугольники, центрально-симметричные исходным, и все вместе они дадут искомый паркет.

Упражнения для самостоятельной работы

  1.  Получите паркеты, изображенные на рисунках 2—14.
  2.  Можно ли заполнить плоскость треугольником произвольной формы?
  3.  Докажите, что с помощью центрально-симметричных шестиугольников произвольной формы (даже невыпуклых) можно заполнить плоскость. Приведите пример соответствующего паркета.
  4.  

Получите паркет, составленный из греческих крестов

  1.  Приведите пример пятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  2.  Докажите, что плоскость нельзя заполнить равными выпуклыми семиугольниками.
  3.  Приведите пример невыпуклого десятиугольника, которым можно заполнить плоскость.
  4.  Пол квадратной комнаты нужно покрыть паркетом из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 12). Сколько восьмиугольников и квадратов потребуется, если площадь пола равна 100 м2, а сторона правильного восьмиугольника — 10 см?
  5.  В каком отношении должны находиться количества белых и серых правильных шестиугольников, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 4), заполняющий всю плоскость?
  6.  В каком отношении должны находиться количества правильных шестиугольников, треугольников и квадратов, чтобы из них можно было составить паркет (рис. 9), заполняющий всю плоскость?

PAGE  - 4 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57862. Революція у Франції. Бонопартистський переворот 1851р. і Встановлення імперії 85 KB
  Задачі уроку: Сприяти тому, щоб учні могли грамотно характеризувати причини, хід та рушійні сили революції у Франції, виділяти головні революційні події та оцінювати зміст Конституційних процесів, усвідомили поняття «республіка», «бонапартизм», «монархія».
57863. Географічне середовище як сфера взаємодії суспільства і природи. Природокористування. Ресурсозабезпеченість 37.5 KB
  Мета: розглянути географічне середовище як сферу взаємодії суспільства і природи сформувати поняття ресурсозабезпеченість природокористування; розвивати економічне мислення уміння аналізувати ступені впливу людини на природу...
57864. Енергетика України і проблеми енергозбереження 104.5 KB
  Мета уроку: узагальнити й систематизувати знання учнів про виробництво електроенергії на електростанціях різних типів; показати учням зв’язок енергетики та екологiї їхню взаємодiю шляхи полiпшенню стану енергетики на глобальному та мiсцевому рівнях...
57865. Трудові ресурси і зайнятість населення України 228.5 KB
  Мета: вивчити поняття трудові ресурси економічно активне населення зайнятість населення безробіття; визначити географію трудових ресурсів України; зясувати в чому полягає проблема зайнятості населення...
57866. Механічний рух населення України. Сальдо міграції 233.5 KB
  Мета уроку: розкрити поняття міграція сальдо міграції сформувати знання про види значення та наслідки механічного переміщення українців окреслити основні тенденції та напрямки міграцій населення України...
57867. Таємниці повітряного океану Землі 104.5 KB
  Мета та завдання уроку: освітні: сформувати знання у учнів про атмосферу її будову та склад повітря; розкрити значення атмосфери для життя на Землі і необхідність її вивчення; ознайомити зі змістом поняття погода†та її основними показниками. Виховні: продовжувати формувати географічну культуру особистості як необхідну складову освіченості школяра; сприяти формуванню свідомого розуміння значення атмосфери та важливості її вивчення виховувати бажання вивчати досліджувати та берегти повітряну...
57868. ЦІННІСТЬ ЗНАНЬ У ЖИТТІ ЛЮДИНИ. ДАР МОВИ І ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ 784 KB
  Мета: пояснити учням вартість знань для кожної людини, поглиблювати їхні знання про виникнення мови та її використання за допомогою сюжетів зі Святого Письма та прикладів з життя...
57869. Чому люди поважають звичаї, традиції і закони? 91.5 KB
  Розвивати уміння оцінювати власні вчинки або вчинки інших людей з точки зору моральних норм; розвивати мислення, уміння знаходити загальне і відмінне; творчо мислити і фантазувати; співпереживати витворам мистецтва;
57870. Mes goûts et mes loisirs 180 KB
  Bonjour, mes enfants! Je suis ravie de vous voir. Notre leçon est consacrée aux goûts et aux loisirs. Nous allons parler de vos préférences, de tout ce que vous aimez ou détestez, je ferai votre connaissance avec le sondage des écoliers français.