32533

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Рассмотрим линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф' и кроме того линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф . Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части из которых можно составить как фигуру Ф' так и Ф . Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Русский

2013-09-04

351 KB

17 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Решение задач на разрезание играет важную роль в формировании понятий площади, равновеликости и равносоставленности, развитии геометрических представлений.

Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разложены на одинаковое число попарно равных фигур.

Из свойств площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики. В частности, равносоставленные многоугольники равновелики. Например, изображенные на рисунке 1 правильный шестиугольник и параллелограмм — равносоставленные фигуры, так как обе они составлены из шести равных равносторонних треугольников.

Рис.1

Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два равновеликих многоугольника равносоставлены? Утвердительное его решение было получено в XIX веке.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Доказательство этой теоремы будет получено как результат применения нескольких теорем.

Теорема 1. Две фигуры, равносоставленные с одной и той же фигурой, равносоставлены.

Рис.2

Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф' и Ф" равносоставлены с фигурой Ф (Рис.2). Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф' и, кроме того, линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф". Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф', так и Ф". Таким образом, фигуры Ф' и Ф" равносоставлены.

Теорема 2. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.

Рис.3

Доказательство. Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями (Рис. 3). По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма отрезки, параллельные сторонам другого параллелограмма. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных треугольников.

Пусть теперь параллелограммы не имеют равных сторон. Построим третий параллелограмм, имеющий с первым одинаковые основание и высоту. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм будет равновелик и с первым, и со вторым, и с каждым из них имеет по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым параллелограммом. В силу теоремы 1, первый и второй параллелограммы равносоставлены.

Теорема 3.  Любые два равновеликих треугольника равносоставлены.

Рис.4

Доказательство. Каждый треугольник продолжением средней линии преобразуется в равновеликий ему параллелограмм (Рис.4). Поэтому два равновеликих треугольника преобразуются в два равновеликих параллелограмма. В силу теоремы 2 эти параллелограммы равносоставлены и, следовательно, равносоставлены исходные треугольники.

Теорема 4. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником.

Рис.5

Доказательство. Рассмотрим многоугольник и одну из его вершин перенесем параллельно диагонали на продолжение одной из сторон. При этом исходный многоугольник преобразуется в равновеликий многоугольник с числом сторон, на единицу меньшим. Имея в виду, что мы заменили один треугольник другим — равновеликим, а остальная часть осталась неизменной, получим, что новый многоугольник будет равносоставлен с исходным. Продолжая этот процесс, мы превратим исходный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник.

Приступим теперь к доказательству основной теоремы.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

 Доказательство. Пусть М' и М" — равновеликие многоугольники. Рассмотрим равносоставленные с ними треугольники Т' и Т" соответственно. Эти треугольники равновелики, а следовательно, равносоставлены. Значит, равносоставлены и исходные многоугольники М' и М".

Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Однако это приводит к очень большому числу мелких многоугольников. В конкретных примерах, как правило, можно указать гораздо более рациональный способ разрезания.

Обычно для решения таких задач используются ножницы и бумага. Современные технологии позволяют организовать решение таких задач с помощью компьютера. Так, в графическом редакторе «Corel Draw» имеются возможности разрезания линий и фигур с помощью инструмента Нож.

Инструмент Нож позволяет разрезать фигуру по произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и щелкнуть левой кнопкой мыши в той точке, откуда начнется линия. Перемещая курсор по рабочему полю (за ним тянется прямая линия) выбираем конечную точку. Фиксируем ее нажатием кнопки мыши. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Кроме того, Нож позволяет разрезать фигуры вдоль произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и, удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещать нож вдоль предполагаемой линии разреза. После того как левая кнопка будет отпущена, фигура будет разрезана вдоль заданной траектории.

Примеры решения задач на разрезание

  1.  Параллелограмм,   разрежьте на две части и составьте из них прямоугольник.

Рис.6

Решение показано на рисунке 6. Сначала нужно разрезать параллелограмм по высоте. Затем выделить треугольную часть и перетащить ее мышкой в новое положение.

  1.  Треугольник  разрежьте на две части и составьте из них параллелограмм.

Рис.7

Решение показано на рисунке 7. Нужно разрезать треугольник по средней линии, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг вершины на 180°.

  1.  Разрежьте параллелограмм, у которого одна сторона в три раза больше другой и острый угол равен 60°, на две части и составьте из них правильный шестиугольник.

Рис.8

Решение показано на рисунке 8. Здесь также части шестиугольника получаются из соответствующих частей параллелограмма параллельным переносом.

  1.  Трапецию разрежьте на две части и составьте из них треугольник.

Рис.9

Решение показано на рисунке 9. Нужно разрезать трапецию по отрезку, соединяющему вершину и середину боковой стороны, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг середины боковой стороны на 180°.

  1.  Треугольник разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.

Рис.10

Решение показано на рисунке 10. Нужно разрезать треугольник по средней линии и по перпендикуляру, опущенному из середины боковой стороны на основание. Затем повернуть верхнюю треугольную часть вокруг вершины на 180° и параллельно перенести вторую треугольную часть.

  1.  Квадрат  разрежьте на четыре части. Требуется составить из этих частей равнобедренный треугольник.

Решение показано на рисунке 11.

Рис.11

  1.  На рисунке изображен греческий крест (все стороны равны). Требуется разрезать его двумя разрезами и составить из полученных частей квадрат.

Рис.12

Решение показано на рисунке 12. Части квадрата получаются из соответствующих частей греческого креста параллельным переносом.

Упражнения

  1.  Трапецию разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.
  2.  Прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить: а) треугольник; б) параллелограмм; в) трапецию.
  3.  Правильный шестиугольник разрежьте на две части, из которых можно составить параллелограмм.
  4.  Прямоугольник со сторонами 4 и 9 разрежьте на две равные части, из которых можно сложить квадрат.
  5.  Разрежьте изображенную на рисунке 50 фигуру, составленную из трех квадратов, на четыре равные части.

Рис.13

  1.  Шестиугольник, изображенный на рисунке 14, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат.

Рис.14

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17707. ОСНОВИ БАНКІВСЬКОГО ПРАВА УКРАЇНИ 354.5 KB
  ОСНОВИ БАНКІВСЬКОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Банківське право України: поняття та предмет правового регулювання Банківське право як і кожна інша галузь права має притаманний лише їй предмет і метод. Предметом банківського права є банківська діяльність. Що розумієт...
17708. ОСНОВИ ЦИВІЛЬНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 881.5 KB
  ОСНОВИ ЦИВІЛЬНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Цивільне право України: поняття предмет правового регулювання та система. Цивільне законодавство Цивільне право це одна з провідних галузей національного права України яка регулює певну групу правових відносин за уча...
17709. ОСНОВИ СІМЕЙНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 225.5 KB
  ОСНОВИ СІМЕЙНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Поняття сімейного права його принципи та джерела. Сімейне законодавство України Серед різноманітних суспільних відносин урегульованих правом виокремлюють сферу досить складних людських стосунків які засновані на родинн
17710. ОСНОВИ ГОСПОДАРСЬКОГО ПРАВА УКРАЇНИ 466 KB
  ОСНОВИ ГОСПОДАРСЬКОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Поняття предмет та методи правового регулювання господарського права Господарське право це сукупність правових норм що регулюють суспільні відносини у сфері організації та здійснення господарської діяльності між ...
17711. ОСНОВИ ТРУДОВОГО ПРАВА УКРАЇНИ 485.5 KB
  ОСНОВИ ТРУДОВОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Поняття предмет принципи та функції трудового права Протягом усього життя людина не може обійтися без використання результатів праці. Отже процес праці існує майже стільки скільки існує людство. Тількино дитина народилася
17712. ОСНОВИ ПРАВА СОЦІАЛЬНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ 276 KB
  ОСНОВИ ПРАВА СОЦІАЛЬНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ 1. Поняття предмет і джерела права соціального забезпечення Право на соціальне забезпечення одне з природжених прав людини яке визнане світовим співтовариством і одержало закріплення в міжнародноправових актах
17713. ОСНОВИ АГРАРНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 197.5 KB
  ОСНОВИ АГРАРНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Поняття предмет і система правового регулювання аграрного права України. Джерела аграрного права Аграрне право України це сукупність правових норм які на засадах юридичної рівності різних форм власності і функціонування
17714. ОСНОВИ ЗЕМЕЛЬНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 265 KB
  ОСНОВИ ЗЕМЕЛЬНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Поняття предмет та система правового регулювання земельного права України Земельне право України являє собою самостійну галузь права національного права України якій притаманні власний предмет методи і система правов...
17715. ОСНОВИ ЕКОЛОГІЧНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 293.5 KB
  ОСНОВИ ЕКОЛОГІЧНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 1. Поняття і предмет правового регулювання екологічного права України Екологічне право України це сукупність правових норм які регулюють суспільні відносини що складаються з приводу використання відтворення природних...