32533

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Рассмотрим линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф' и кроме того линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф . Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части из которых можно составить как фигуру Ф' так и Ф . Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Русский

2013-09-04

351 KB

18 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Решение задач на разрезание играет важную роль в формировании понятий площади, равновеликости и равносоставленности, развитии геометрических представлений.

Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разложены на одинаковое число попарно равных фигур.

Из свойств площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики. В частности, равносоставленные многоугольники равновелики. Например, изображенные на рисунке 1 правильный шестиугольник и параллелограмм — равносоставленные фигуры, так как обе они составлены из шести равных равносторонних треугольников.

Рис.1

Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два равновеликих многоугольника равносоставлены? Утвердительное его решение было получено в XIX веке.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Доказательство этой теоремы будет получено как результат применения нескольких теорем.

Теорема 1. Две фигуры, равносоставленные с одной и той же фигурой, равносоставлены.

Рис.2

Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф' и Ф" равносоставлены с фигурой Ф (Рис.2). Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф' и, кроме того, линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф". Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф', так и Ф". Таким образом, фигуры Ф' и Ф" равносоставлены.

Теорема 2. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.

Рис.3

Доказательство. Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями (Рис. 3). По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма отрезки, параллельные сторонам другого параллелограмма. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных треугольников.

Пусть теперь параллелограммы не имеют равных сторон. Построим третий параллелограмм, имеющий с первым одинаковые основание и высоту. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм будет равновелик и с первым, и со вторым, и с каждым из них имеет по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым параллелограммом. В силу теоремы 1, первый и второй параллелограммы равносоставлены.

Теорема 3.  Любые два равновеликих треугольника равносоставлены.

Рис.4

Доказательство. Каждый треугольник продолжением средней линии преобразуется в равновеликий ему параллелограмм (Рис.4). Поэтому два равновеликих треугольника преобразуются в два равновеликих параллелограмма. В силу теоремы 2 эти параллелограммы равносоставлены и, следовательно, равносоставлены исходные треугольники.

Теорема 4. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником.

Рис.5

Доказательство. Рассмотрим многоугольник и одну из его вершин перенесем параллельно диагонали на продолжение одной из сторон. При этом исходный многоугольник преобразуется в равновеликий многоугольник с числом сторон, на единицу меньшим. Имея в виду, что мы заменили один треугольник другим — равновеликим, а остальная часть осталась неизменной, получим, что новый многоугольник будет равносоставлен с исходным. Продолжая этот процесс, мы превратим исходный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник.

Приступим теперь к доказательству основной теоремы.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

 Доказательство. Пусть М' и М" — равновеликие многоугольники. Рассмотрим равносоставленные с ними треугольники Т' и Т" соответственно. Эти треугольники равновелики, а следовательно, равносоставлены. Значит, равносоставлены и исходные многоугольники М' и М".

Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Однако это приводит к очень большому числу мелких многоугольников. В конкретных примерах, как правило, можно указать гораздо более рациональный способ разрезания.

Обычно для решения таких задач используются ножницы и бумага. Современные технологии позволяют организовать решение таких задач с помощью компьютера. Так, в графическом редакторе «Corel Draw» имеются возможности разрезания линий и фигур с помощью инструмента Нож.

Инструмент Нож позволяет разрезать фигуру по произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и щелкнуть левой кнопкой мыши в той точке, откуда начнется линия. Перемещая курсор по рабочему полю (за ним тянется прямая линия) выбираем конечную точку. Фиксируем ее нажатием кнопки мыши. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Кроме того, Нож позволяет разрезать фигуры вдоль произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и, удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещать нож вдоль предполагаемой линии разреза. После того как левая кнопка будет отпущена, фигура будет разрезана вдоль заданной траектории.

Примеры решения задач на разрезание

  1.  Параллелограмм,   разрежьте на две части и составьте из них прямоугольник.

Рис.6

Решение показано на рисунке 6. Сначала нужно разрезать параллелограмм по высоте. Затем выделить треугольную часть и перетащить ее мышкой в новое положение.

  1.  Треугольник  разрежьте на две части и составьте из них параллелограмм.

Рис.7

Решение показано на рисунке 7. Нужно разрезать треугольник по средней линии, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг вершины на 180°.

  1.  Разрежьте параллелограмм, у которого одна сторона в три раза больше другой и острый угол равен 60°, на две части и составьте из них правильный шестиугольник.

Рис.8

Решение показано на рисунке 8. Здесь также части шестиугольника получаются из соответствующих частей параллелограмма параллельным переносом.

  1.  Трапецию разрежьте на две части и составьте из них треугольник.

Рис.9

Решение показано на рисунке 9. Нужно разрезать трапецию по отрезку, соединяющему вершину и середину боковой стороны, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг середины боковой стороны на 180°.

  1.  Треугольник разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.

Рис.10

Решение показано на рисунке 10. Нужно разрезать треугольник по средней линии и по перпендикуляру, опущенному из середины боковой стороны на основание. Затем повернуть верхнюю треугольную часть вокруг вершины на 180° и параллельно перенести вторую треугольную часть.

  1.  Квадрат  разрежьте на четыре части. Требуется составить из этих частей равнобедренный треугольник.

Решение показано на рисунке 11.

Рис.11

  1.  На рисунке изображен греческий крест (все стороны равны). Требуется разрезать его двумя разрезами и составить из полученных частей квадрат.

Рис.12

Решение показано на рисунке 12. Части квадрата получаются из соответствующих частей греческого креста параллельным переносом.

Упражнения

  1.  Трапецию разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.
  2.  Прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить: а) треугольник; б) параллелограмм; в) трапецию.
  3.  Правильный шестиугольник разрежьте на две части, из которых можно составить параллелограмм.
  4.  Прямоугольник со сторонами 4 и 9 разрежьте на две равные части, из которых можно сложить квадрат.
  5.  Разрежьте изображенную на рисунке 50 фигуру, составленную из трех квадратов, на четыре равные части.

Рис.13

  1.  Шестиугольник, изображенный на рисунке 14, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат.

Рис.14

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82656. РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ДАЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЯ ГИДРОЛОКАТОРА 167.88 KB
  Расчет энергетической дальности действия проводится с использованием уравнения гидролокации в логарифмической форме, обеспечивающего наиболее удобные и экономичные расчеты, которые позволяют избежать вычислительных ошибок.
82657. Застосування теорії ігор для вирішення задач щодо прийняття рішень на митниці 504.85 KB
  Митно-прикордонна служба США – це орган правозастосування федерального законодавства Міністерства національної безпеки США, на який покладена відповідальність за питання, що пов’язані з регулюванням та спрощенням міжнародної торгівлі, збором митних платежів та врегулюванням сотень положень США...
82658. Исследование контактных явлений в структуре металл-полупроводник 515.01 KB
  Определение эффективной массы носителей заряда, их концентрации и степень вырождения электронно-дырочного газа в полупроводнике в данном диапазоне температур. Расчёт зависимости времени релаксации, средней длины свободного пробега и электропроводности от температуры...
82660. Аналіз використання трудових ресурсів підприємства ПСП «Агрофірми «Шульц» 560 KB
  Аналіз чисельності та складу працівників. Для характеристики усієї сукупності працівників підприємства застосовуються терміни персонал кадри. Персонал підприємства являє собою сукупність постійних працівників що отримали необхідну професійну підготовку та або мають досвід практичної діяльності.
82662. Организация труда и технико-экономическая оценка деятельности котельной №16 МУП «Гортепло» с тремя котлами 750.5 KB
  В настоящее время ситуация существенно изменилась. Уменьшение объема финансовых средств и материальных ресурсов, выделяемых из бюджета государства на развитие, ремонт и реконструкцию ТЭЦ и тепловых сетей, повлекло за собой: увеличение сроков сооружения тепловых электростанций и ввода новых...
82663. Редуктор конический с прямолинейными зубьями 183.6 KB
  Цель - спроектировать привод ленточного транспортера с одноступенчатым коническим прямозубым редуктором. Развить ощущение пропорции и получить конструкторские навыки, и опыт в решении комплексных инженерных заданий. Изучить влияние технологии изготовлении деталей на их конструкцию и метод расчета...
82664. Формирование баланса предприятия и определение источников финансирования инвестиций 3.93 MB
  Нормальное функционирование предприятия на сегодняшний день требует глубоких экономических знаний. Ведь в условиях рыночной экономики выживет лишь тот, кто наиболее грамотно и компетентно определит требования рынка, создаст и организует производство продукции, пользующейся спросом...