32533

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Рассмотрим линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф' и кроме того линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф . Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части из которых можно составить как фигуру Ф' так и Ф . Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Русский

2013-09-04

351 KB

17 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Решение задач на разрезание играет важную роль в формировании понятий площади, равновеликости и равносоставленности, развитии геометрических представлений.

Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разложены на одинаковое число попарно равных фигур.

Из свойств площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики. В частности, равносоставленные многоугольники равновелики. Например, изображенные на рисунке 1 правильный шестиугольник и параллелограмм — равносоставленные фигуры, так как обе они составлены из шести равных равносторонних треугольников.

Рис.1

Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два равновеликих многоугольника равносоставлены? Утвердительное его решение было получено в XIX веке.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Доказательство этой теоремы будет получено как результат применения нескольких теорем.

Теорема 1. Две фигуры, равносоставленные с одной и той же фигурой, равносоставлены.

Рис.2

Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф' и Ф" равносоставлены с фигурой Ф (Рис.2). Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф' и, кроме того, линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф". Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф', так и Ф". Таким образом, фигуры Ф' и Ф" равносоставлены.

Теорема 2. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.

Рис.3

Доказательство. Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями (Рис. 3). По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма отрезки, параллельные сторонам другого параллелограмма. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных треугольников.

Пусть теперь параллелограммы не имеют равных сторон. Построим третий параллелограмм, имеющий с первым одинаковые основание и высоту. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм будет равновелик и с первым, и со вторым, и с каждым из них имеет по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым параллелограммом. В силу теоремы 1, первый и второй параллелограммы равносоставлены.

Теорема 3.  Любые два равновеликих треугольника равносоставлены.

Рис.4

Доказательство. Каждый треугольник продолжением средней линии преобразуется в равновеликий ему параллелограмм (Рис.4). Поэтому два равновеликих треугольника преобразуются в два равновеликих параллелограмма. В силу теоремы 2 эти параллелограммы равносоставлены и, следовательно, равносоставлены исходные треугольники.

Теорема 4. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником.

Рис.5

Доказательство. Рассмотрим многоугольник и одну из его вершин перенесем параллельно диагонали на продолжение одной из сторон. При этом исходный многоугольник преобразуется в равновеликий многоугольник с числом сторон, на единицу меньшим. Имея в виду, что мы заменили один треугольник другим — равновеликим, а остальная часть осталась неизменной, получим, что новый многоугольник будет равносоставлен с исходным. Продолжая этот процесс, мы превратим исходный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник.

Приступим теперь к доказательству основной теоремы.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

 Доказательство. Пусть М' и М" — равновеликие многоугольники. Рассмотрим равносоставленные с ними треугольники Т' и Т" соответственно. Эти треугольники равновелики, а следовательно, равносоставлены. Значит, равносоставлены и исходные многоугольники М' и М".

Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Однако это приводит к очень большому числу мелких многоугольников. В конкретных примерах, как правило, можно указать гораздо более рациональный способ разрезания.

Обычно для решения таких задач используются ножницы и бумага. Современные технологии позволяют организовать решение таких задач с помощью компьютера. Так, в графическом редакторе «Corel Draw» имеются возможности разрезания линий и фигур с помощью инструмента Нож.

Инструмент Нож позволяет разрезать фигуру по произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и щелкнуть левой кнопкой мыши в той точке, откуда начнется линия. Перемещая курсор по рабочему полю (за ним тянется прямая линия) выбираем конечную точку. Фиксируем ее нажатием кнопки мыши. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Кроме того, Нож позволяет разрезать фигуры вдоль произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и, удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещать нож вдоль предполагаемой линии разреза. После того как левая кнопка будет отпущена, фигура будет разрезана вдоль заданной траектории.

Примеры решения задач на разрезание

  1.  Параллелограмм,   разрежьте на две части и составьте из них прямоугольник.

Рис.6

Решение показано на рисунке 6. Сначала нужно разрезать параллелограмм по высоте. Затем выделить треугольную часть и перетащить ее мышкой в новое положение.

  1.  Треугольник  разрежьте на две части и составьте из них параллелограмм.

Рис.7

Решение показано на рисунке 7. Нужно разрезать треугольник по средней линии, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг вершины на 180°.

  1.  Разрежьте параллелограмм, у которого одна сторона в три раза больше другой и острый угол равен 60°, на две части и составьте из них правильный шестиугольник.

Рис.8

Решение показано на рисунке 8. Здесь также части шестиугольника получаются из соответствующих частей параллелограмма параллельным переносом.

  1.  Трапецию разрежьте на две части и составьте из них треугольник.

Рис.9

Решение показано на рисунке 9. Нужно разрезать трапецию по отрезку, соединяющему вершину и середину боковой стороны, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг середины боковой стороны на 180°.

  1.  Треугольник разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.

Рис.10

Решение показано на рисунке 10. Нужно разрезать треугольник по средней линии и по перпендикуляру, опущенному из середины боковой стороны на основание. Затем повернуть верхнюю треугольную часть вокруг вершины на 180° и параллельно перенести вторую треугольную часть.

  1.  Квадрат  разрежьте на четыре части. Требуется составить из этих частей равнобедренный треугольник.

Решение показано на рисунке 11.

Рис.11

  1.  На рисунке изображен греческий крест (все стороны равны). Требуется разрезать его двумя разрезами и составить из полученных частей квадрат.

Рис.12

Решение показано на рисунке 12. Части квадрата получаются из соответствующих частей греческого креста параллельным переносом.

Упражнения

  1.  Трапецию разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.
  2.  Прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить: а) треугольник; б) параллелограмм; в) трапецию.
  3.  Правильный шестиугольник разрежьте на две части, из которых можно составить параллелограмм.
  4.  Прямоугольник со сторонами 4 и 9 разрежьте на две равные части, из которых можно сложить квадрат.
  5.  Разрежьте изображенную на рисунке 50 фигуру, составленную из трех квадратов, на четыре равные части.

Рис.13

  1.  Шестиугольник, изображенный на рисунке 14, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат.

Рис.14

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44952. Автоколебательный мультивибратор 33.87 KB
  Проанализируем нашу программу, реализующую функцию автоколебательного мультивибратора, с одним выходом. Форма сигнала меандр (скважность, т.е. отношение периода к длительности импульса – 2). Под этот выход можно назначить любой из выводов порта А или В...
44953. Устройство формирования сигнала тонального вызова 87.52 KB
  Полупериоды формируем используя €œзакольцовку рабочей точки программы в подпрограммах задержки по аналогии с программой Multi. К моменту начала составления текста программы желательно определиться с как можно большим количеством исходных данных. Так как программа должна исполняться непрерывно то в случае нахождения устройства в режиме ожидания включения на передачу рабочая точка программы должна €œзакольцеваться€ до последующего нажатия на кнопку в какой-нибудь подпрограмме. Часто такого рода закольцовки осуществляют в...
44954. Сканирование с прерыванием 110.21 KB
  Определимся с терминологией применяемой при описании программы работы устройства. Для удобства объяснения и восприятия целесообразно разделить рабочую часть программы на две части. Условимся называть группу команд в которой осуществляется сканирование каналов на наличие сигнала прерывания “основным телом†программы а часть которая отрабатывается после ухода в прерывание как подпрограмму прерывания. Следовательно речь идет о необходимости “ухода†рабочей точки программы на время наличия сигнала прерывания в подпрограмму...
44956. Индивидуальные и общественные потребности 35 KB
  Индивидуальные и общественные потребности Общество состоит из индивидов имеющих свои биологические особенности состояние здоровья особенности физиологических процессов в организме различия в строении и функционировании нервной системы которые определяют природные задатки человека. В простейшем случае общественные потребности представляют собой просто сумму потребностей индивидуальных. В более сложных случаях общественные потребности выходят за пределы индивидуальных и не сводятся к их сумме. Томас Гоббс считал что государство необходимо...
44957. Потребности в общении, самореализации, собственности и статусе. Смысл богатства 35.5 KB
  Любой человек будет испытывать дискомфорт когда блокирована его потребность в Познании например когда долгое время нет доступа к новой информации.Потребность в общении Человек испытывает потребность поделиться е другими своими мыслями и чувствами читать газеты книги и журналы смотреть кинофильмы в спектакли слушать музыку и т. Следует особо выделить такую духовную потребность как потребность в общении с другими людьми. Возникшая на заре человеческого общества потребность в общении породившая язык как средство общения была наряду с...
44958. Природа и сущность человека и его потребностей 30.5 KB
  Природа и сущность человека и его потребностей. Понятия природа сущность человека часто употребляются как синонимы. В марксистской системе рассуждения понятие природы соотносилось обычно с биологическим естеством человека в то время как сущность человека усматривалась в его социальности в его общественной природе. В принципе под природой человека подразумеваются стойкие неизменные черты общие задатки и свойства выражающие его особенности как живого существа которые присущи хомо сапиенс во все времена независимо от биологической эволюции...
44959. Сущность человека. Сущность бытия. Основные потребности 35.5 KB
  Основные потребности. Человек удовлетворяет свои потребности посредством труда материального производства. В настоящее время стало ясно что потребности человека постепенно эволюционируют и заметно различаются в разные исторические эпохи. Психологи обычно делят потребности на первичные или насущные без удовлетворения которых человек вообще не может существовать и вторичные ненасущные удовлетворение которых не является обязательным условием физического существования человеческого организма.