32533

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Практическая работа

Информатика, кибернетика и программирование

Рассмотрим линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф' и кроме того линии разбивающие фигуру Ф на части из которых можно составить фигуру Ф . Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части из которых можно составить как фигуру Ф' так и Ф . Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Русский

2013-09-04

351 KB

18 чел.

рактическая работа. ППС и методика их использования

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Использование графического редактора для решения задач на разрезание

Решение задач на разрезание играет важную роль в формировании понятий площади, равновеликости и равносоставленности, развитии геометрических представлений.

Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разложены на одинаковое число попарно равных фигур.

Из свойств площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики. В частности, равносоставленные многоугольники равновелики. Например, изображенные на рисунке 1 правильный шестиугольник и параллелограмм — равносоставленные фигуры, так как обе они составлены из шести равных равносторонних треугольников.

Рис.1

Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два равновеликих многоугольника равносоставлены? Утвердительное его решение было получено в XIX веке.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Доказательство этой теоремы будет получено как результат применения нескольких теорем.

Теорема 1. Две фигуры, равносоставленные с одной и той же фигурой, равносоставлены.

Рис.2

Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф' и Ф" равносоставлены с фигурой Ф (Рис.2). Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф' и, кроме того, линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф". Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф', так и Ф". Таким образом, фигуры Ф' и Ф" равносоставлены.

Теорема 2. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.

Рис.3

Доказательство. Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями (Рис. 3). По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма отрезки, параллельные сторонам другого параллелограмма. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных треугольников.

Пусть теперь параллелограммы не имеют равных сторон. Построим третий параллелограмм, имеющий с первым одинаковые основание и высоту. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм будет равновелик и с первым, и со вторым, и с каждым из них имеет по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым параллелограммом. В силу теоремы 1, первый и второй параллелограммы равносоставлены.

Теорема 3.  Любые два равновеликих треугольника равносоставлены.

Рис.4

Доказательство. Каждый треугольник продолжением средней линии преобразуется в равновеликий ему параллелограмм (Рис.4). Поэтому два равновеликих треугольника преобразуются в два равновеликих параллелограмма. В силу теоремы 2 эти параллелограммы равносоставлены и, следовательно, равносоставлены исходные треугольники.

Теорема 4. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником.

Рис.5

Доказательство. Рассмотрим многоугольник и одну из его вершин перенесем параллельно диагонали на продолжение одной из сторон. При этом исходный многоугольник преобразуется в равновеликий многоугольник с числом сторон, на единицу меньшим. Имея в виду, что мы заменили один треугольник другим — равновеликим, а остальная часть осталась неизменной, получим, что новый многоугольник будет равносоставлен с исходным. Продолжая этот процесс, мы превратим исходный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник.

Приступим теперь к доказательству основной теоремы.

Теорема.  Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

 Доказательство. Пусть М' и М" — равновеликие многоугольники. Рассмотрим равносоставленные с ними треугольники Т' и Т" соответственно. Эти треугольники равновелики, а следовательно, равносоставлены. Значит, равносоставлены и исходные многоугольники М' и М".

Доказанная теорема позволяет в принципе разрезать один из двух равновеликих многоугольников на части и сложить из них другой многоугольник. Однако это приводит к очень большому числу мелких многоугольников. В конкретных примерах, как правило, можно указать гораздо более рациональный способ разрезания.

Обычно для решения таких задач используются ножницы и бумага. Современные технологии позволяют организовать решение таких задач с помощью компьютера. Так, в графическом редакторе «Corel Draw» имеются возможности разрезания линий и фигур с помощью инструмента Нож.

Инструмент Нож позволяет разрезать фигуру по произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и щелкнуть левой кнопкой мыши в той точке, откуда начнется линия. Перемещая курсор по рабочему полю (за ним тянется прямая линия) выбираем конечную точку. Фиксируем ее нажатием кнопки мыши. Фигура будет разрезана на две части вдоль прямой линии.

Кроме того, Нож позволяет разрезать фигуры вдоль произвольной линии. Для этого нужно выбрать этот инструмент на панели инструментов и, удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещать нож вдоль предполагаемой линии разреза. После того как левая кнопка будет отпущена, фигура будет разрезана вдоль заданной траектории.

Примеры решения задач на разрезание

  1.  Параллелограмм,   разрежьте на две части и составьте из них прямоугольник.

Рис.6

Решение показано на рисунке 6. Сначала нужно разрезать параллелограмм по высоте. Затем выделить треугольную часть и перетащить ее мышкой в новое положение.

  1.  Треугольник  разрежьте на две части и составьте из них параллелограмм.

Рис.7

Решение показано на рисунке 7. Нужно разрезать треугольник по средней линии, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг вершины на 180°.

  1.  Разрежьте параллелограмм, у которого одна сторона в три раза больше другой и острый угол равен 60°, на две части и составьте из них правильный шестиугольник.

Рис.8

Решение показано на рисунке 8. Здесь также части шестиугольника получаются из соответствующих частей параллелограмма параллельным переносом.

  1.  Трапецию разрежьте на две части и составьте из них треугольник.

Рис.9

Решение показано на рисунке 9. Нужно разрезать трапецию по отрезку, соединяющему вершину и середину боковой стороны, а затем повернуть образовавшуюся треугольную часть вокруг середины боковой стороны на 180°.

  1.  Треугольник разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.

Рис.10

Решение показано на рисунке 10. Нужно разрезать треугольник по средней линии и по перпендикуляру, опущенному из середины боковой стороны на основание. Затем повернуть верхнюю треугольную часть вокруг вершины на 180° и параллельно перенести вторую треугольную часть.

  1.  Квадрат  разрежьте на четыре части. Требуется составить из этих частей равнобедренный треугольник.

Решение показано на рисунке 11.

Рис.11

  1.  На рисунке изображен греческий крест (все стороны равны). Требуется разрезать его двумя разрезами и составить из полученных частей квадрат.

Рис.12

Решение показано на рисунке 12. Части квадрата получаются из соответствующих частей греческого креста параллельным переносом.

Упражнения

  1.  Трапецию разрежьте на три части и составьте из них прямоугольник.
  2.  Прямоугольник разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить: а) треугольник; б) параллелограмм; в) трапецию.
  3.  Правильный шестиугольник разрежьте на две части, из которых можно составить параллелограмм.
  4.  Прямоугольник со сторонами 4 и 9 разрежьте на две равные части, из которых можно сложить квадрат.
  5.  Разрежьте изображенную на рисунке 50 фигуру, составленную из трех квадратов, на четыре равные части.

Рис.13

  1.  Шестиугольник, изображенный на рисунке 14, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат.

Рис.14

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65898. КРИМИНОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НАСИЛИЯ 60 KB
  Веками юристы психологи социологи пытаются понять осмыслить и осознать тайну человеческого насилия которое по праву может быть причислено к извечным спутникам человеческого рода. Агрессия это скорее нанесение физического или любого другого страдания с целью подчинения или доминирования...
65899. ИМУЩЕСТВЕННОЕ ПРАВО КАК ОБЪЕКТ ГРАЖДАНСКОГО ОБОРОТА 71 KB
  Имущественные права упоминаются и в ряде других статей общей и особенной частей ГК РФ например в ст. Одной из первых проблем можно назвать проблему юридической природы или сущности имущественного права. Что касается доктрины то думается можно обратиться к теории права...
65901. ЮРИДИЧЕСКИЕ ФОРМЫ СОГЛАСОВАНИЯ НОРМ МЕЖДУНАРОДНОГО И ВНУТРИГОСУДАРСТВЕННОГО ПРАВА 77 KB
  Механизм согласования международного и национального права основывается на принципе что государство обеспечивает выполнение международных договоров всеми находящимися в его распоряжении властными действиями в соответствии с конституционными и иными предписаниями.
65902. ИЗМЕНЕНИЯ КОНСТИТУЦИОННЫХ НОРМ — ФАКТОР РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ АДВОКАТСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 43.5 KB
  Субъективные права и юридические обязанности активно используются в ходе расследования уголовных дел равно как стороной обвинения так и стороной защиты. Исключать влияние конституционного права эволюции его норм на криминалистику и иные прикладные науки необоснованно.
65903. КРИМИНАЛЬНАЯ КУЛЬТУРОЛОГИЯ. ТЕОРИЯ ГЕНДЕРА 85 KB
  Объединяет же эти преломления их безусловная принадлежность к процессу порождения конкретного акта преступного поведения и к тому что мы называем обыденной средой обитания каждого из нас. Значение категории мотива в изучении характеристик и закономерностей индивидуального преступного поведения трудно переоценить.
65904. ГЕНЕЗИС И ЭВОЛЮЦИЯ ЖАНРА: ВЕРСИЯ ОБОСНОВАНИЯ 73 KB
  Миф как единственно возможная форма восприятия мира на известной стадии развития общества. Эта проблема разрешается формированием жанра который и логически и исторически является модернизированной модификацией мифа его гомоморфным образом. Генезис жанра связан с архаическим ритуалом как языком мифо-поэтической модели мира...
65905. Разработка и реализация управленческих решений 48 KB
  Природа процесса принятия решения Принятие эффективных решений одно из наиболее важных условий эффективного существования и развития организации. Конечно существует ряд проблем касающихся отношений между людьми здоровья семейного бюджета неудачное решение которых может...
65906. НАРОДОЗНАВЧИЙ АСПЕКТ НАВЧАННЯ І ВИХОВАННЯ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ 43 KB
  В контексті розбудови незалежної України створення системи національної освіти і виховання особливого значення набуло науково обґрунтоване розв'зання навчальних і виховних завдань засобами української народної педагогіки.