32715

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАССАЖИРООБОРОТА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ПЕРЕВОЗОК ОТ ДЛИНЫ ДОРОГИ

Лекция

Логистика и транспорт

В конце прошлого столетия разработаны и широко применяется для решения большого числа практических задач экономики математические модели, в основу которых положены уравнения регрессии. В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель пассажирооборота железнодорожных перевозок

Русский

2014-12-02

336 KB

7 чел.

КУРСОВАЯ  РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»

Тема   работы:

«ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАССАЖИРООБОРОТА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ПЕРЕВОЗОК ОТ ДЛИНЫ ДОРОГИ»

 

         


СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

2 Расчет параметров степенной парной регрессии

3 Расчет параметров показательной парной регрессии

4 Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении длины дороги

Выводы

Список рекомендуемой литературы


Исходные данные

     Для разработки математической модели используются опытные данные, представленные в таблице 1.1

Таблица 1.1

Наименование дороги

Длина дороги, км.,     

х

Пассажирооборот, млрд. руб., y

1. Октябрьская

10147

20653

2. Московская

9177

39063

3. Свердловская

7167

14188

4. Северо-Кавказская

6499

9307

5. Западно-Сибирская

6061

12544

6. Дальневосточная

6031

4105

7. Северная

6004

9472

8. Горьковская

5747

13252

9. Куйбышевская

4846

10212

10. Южно-Уральская

4807

7149

11. Юго-Восточная

4308

10428

12. Приволжская

4203

4757

13. Восточно-Сибирская

3824

6504

14. Забайкальская

3407

4547

15. Красноярская

3161

3547

16. Сахалинская

957

232

17. Калининградская

662

-


Введение

В конце прошлого столетия разработаны и широко применяется для решения большого числа практических задач экономики математические модели, в основу которых положены уравнения регрессии. В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения пассажирооборота железнодорожных перевозок и длины дорог (всего 16 железных дорог). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются ряд функций регрессии: линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать пассажирооборот железнодорожных перевозок в зависимости от увеличения длины железной дороги.

Цель работы

Целью курсовой работы является освоение и отработка навыков использования основных эконометрических методов, алгоритмизации и программирования в процессе решения прикладной задачи статистического анализа пассажирооборота железнодорожных перевозок от длины дороги (всего дорог 16) за 1997 год.

Основные задачи

Рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

Оценить тесноту связи пассажирооборота железнодорожных перевозок и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации.

Выполнить дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий.

Провести сравнительную оценку силы связи фактора (длина дороги) с результатом (пассажирооборот железнодорожных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности.

Оценить с помощью ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии пассажирооборота железнодорожных перевозок от длины дороги.

Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов линейного регрессионного моделирования.

Рассчитать прогнозное значение пассажирооборота железнодорожных перевозок в предположении увеличения значения длины дороги на 10% от ее среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для  уровня значимости 0,05.

  1.  Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

                                       ŷx = a + b · x,

где ŷx – результативный признак, характеризующий теоретический пассажирооборот железнодорожных перевозок;

 x – фактор (длина железной дороги);

 a, b – параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (пассажирооборот железнодорожных перевозок)  y от теоретических ŷx  будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

                 n·a + b(x1 + x2 + ...... + x16) = y1 + y2 + .... + y16 

 

a(x1 + x2 + ... + x16) + b(x12 + x22 + ... + x162) = y1x1+ y2x2+ ...+ y16x16.

С учетом обозначений

= (y1 + y2 + .... + y16)/16;     = (x1 + x2 + ...... + x16)/16;  

 

= (y1x1+ y2x2+ .....+ y16 x16)/16;

               

= (x12 + x22 + ...... + x16)/16;      Sx2 =  – 2

значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ( - )/ Sx2 = (72561475,7500

10622,5000* 5379,5625)/ 4801346,9961= 3,2110

a = - b  = 10622,5000- 3,2110* 5379,5625= -6651,2168

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, разности функции регрессии и опытных значений, а так же ошибки аппроксимации, которые представлены в таблице 2.1

        Таблица 2.1

1

10147

20653

209565991

102961609

426546409

25930,6901

5277,6901

2

9177

39063

358481151

84217329

1525917969

22816,0306

16246,9694

3

7167

14188

101685396

51365889

201299344

16361,9424

2173,9424

4

6499

9307

60486193

42237001

86620249

14217,0017

4910,0017

5

6061

12544

76029184

36735721

157351936

12810,5884

-266,5884

6

6031

4105

24757255

36372961

16851025

12714,2587

8609,2587

7

6004

9472

56869888

36048016

89718784

12627,5620

3155,5620

8

5747

13252

72541448

29964676

175615504

10925,7378

2326,2622

9

4846

10212

49487352

23483716

104284944

8909,2366

1302,7634

10

4807

7149

34365243

23107249

51108201

8784,0080

1635,0080

11

4308

10428

44923824

18558864

108743184

7181,7244

3246,2756

12

4203

4757

19993671

17665209

22629049

6844,5706

2087,5706

13

3824

6504

24871296

14622976

42302016

5627,6057

876,3943

14

3407

4547

15491629

11607649

20675209

4288,6232

258,3768

15

3161

3547

11212067

9991921

12581209

3498,7199

48,2801

16

957

232

222024

915849

53824

-3578,3002

3810,3002

17

662

-

-

-

-

-

-

Сумма

86073

169960

1160983612

539856635

3042298856

169960

0

Ср. знач.

5379,5625

10622,5000

72561475,7500

33741039,6875

190143678,5000

-

-

Sx2 , Sy2

4801346,9961

77306172,2500

-

-

-

-

-

Sx, Sy

2191,1976

8792,3929

-

-

-

-

-

  

          

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги примет вид:

                       ŷx = -6651,2168+ 3,2110· x


2
Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

                        ŷx = a · xb   

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

          Для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lga + b lgx.

Обозначим через Ŷ =  lg ŷ; X =  lgx;  C = lga . Тогда уравнение примет вид:             

                                                Ŷ = C + b · X

  Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

B=(-)/Sx2= (14,32323,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;

    C =  - b ·  = 3,8614– 1,9214·3,6836= -3,2163.

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

     Ŷ = -3,2163+1,9214·X.

Выполнив его потенцирование получим:

           ŷ x = 10-3,2163x 1,9214 = 0,0061 x 1,9214

    Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично, как и для линейной, сведен в таблицу 2.2

      Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

B = (- )/Sx2 = (14,32323,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;

    C =  - b ·  = 3,8614– 1,9214·3,6836= -3,2163.

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Ŷ = -3,2163+1,9214·X.

Выполнив его потенцирование получим:

ŷ x = 10-3,2163x 1,9214 = 0,0061 x 1,9214 

                                                                                   Таблица 2.2

      

1

4,0063

4,3150

17,2873

16,0507

18,6191

30307,6141

-9654,6141

93211573,1649

2

3,9627

4,5918

18,1958

15,7030

21,0843

24986,6144

14076,3856

198144632,4640

3

3,8553

4,1519

16,0071

14,8636

17,2384

15538,8431

-1350,8431

1824777,0583

4

3,8128

3,9688

15,1325

14,5378

15,7515

12875,8645

-3568,8645

12736793,8038

5

3,7825

4,0984

15,5025

14,3076

16,7972

11260,3895

1283,6105

1647655,9334

6

3,7804

3,6133

13,6597

14,2913

13,0560

11153,5435

-7048,5435

49681965,1505

7

3,7784

3,9764

15,0247

14,2766

15,8121

11057,7998

-1585,7998

2514761,0229

8

3,7383

4,1223

15,4103

13,9749

16,9932

9258,7277

3993,2723

15946223,8487

9

3,6854

4,0091

14,7751

13,5821

16,0730

7326,0141

2885,9859

8328914,3719

10

3,6819

3,8542

14,1908

13,5562

14,8552

7213,1503

-64,1503

4115,2575

11

3,6343

4,0182

14,6033

13,2080

16,1459

5843,4454

4584,5546

21018140,8309

12

3,6236

3,6773

13,3250

13,1302

13,5228

5572,8660

-815,8660

665637,3124

13

3,5825

3,8132

13,6608

12,8344

14,5403

4647,5185

1856,4815

3446523,4586

14

3,5324

3,6577

12,9204

12,4777

13,3790

3722,8085

824,1915

679291,6516

15

3,4998

3,5499

12,4239

12,2488

12,6015

3223,5426

323,4574

104624,7052

16

2,9809

2,3655

7,0513

5,9618

5,5955

324,5569

-92,5569

8566,7707

17

-

-

-

-

-

-

-

-

Сумма

58,9376

61,7831

229,1706

215,0048

242,0650

164313,2987

5646,7013

409964196,8053

Ср. знач.

3,6836

3,8614

14,3232

13,4378

15,1291

-

-

25622762,3003

Sx2 , SY2

0,0516

0,2183

-

-

-

-

-

-

Sx, SY

0,2272

0,4672

-

-

-

-

-

-

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение  ŷx. Эти значения приведены в таблице 2.2.

 

  1.  
    Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

                                   ŷ x = a·bx

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим выражение:

        lg ŷ =lga + x lgb.

      Для определения параметров все вычисления, как и ранее, сведем в таблицу 2.3.

При этом в таблице приведены переменные

          Ŷ = lg ŷ,  C = lga,  B = lgb.

 Тогда  получим линейное уравнение регрессии в новых переменных   

      Ŷ = С + B x.

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B=(- )/ Sx2 = (21612,21383,8614*5379,5625)/ 4801346,9961=0,00017;

 C =   - B  = 3,8614– 0,00017*5379,5625=2,9210.

Таким образом, получено уравнение

     Ŷ = 2,9210+ 0,0002x

или после потенцирования

ŷx = 102,9210 10 0,00017x = 833,6812 (1,0004) x.


Таблица 2.3

      

1

10147

4,3150

43784,1340

102961609

18,6191

49528,2075

-28875,21

833777610,4627

2

9177

4,5918

42138,6329

84217329

21,0843

33518,4713

5544,53

30741798,1731

3

7167

4,1519

29756,8191

51365889

17,2384

14924,8678

-736,87

542974,1983

4

6499

3,9688

25793,2943

42237001

15,7515

11406,0573

-2099,06

4406041,6018

5

6061

4,0984

24840,6209

36735721

16,7972

9562,4141

2981,59

8889854,4568

6

6031

3,6133

21791,8917

36372961

13,0560

9447,6362

-5342,64

28543761,9746

7

6004

3,9764

23874,5559

36048016

15,8121

9345,5145

126,49

15998,5691

8

5474

4,1223

22565,3685

29964676

16,9932

7550,0954

5701,90

32511716,1621

9

4846

4,0091

19428,1510

23483716

16,0730

5863,6766

4348,32

18907916,8087

10

4807

3,8542

18527,3571

23107249

14,8552

5772,3454

1376,65

1895177,9935

11

4308

4,0182

17310,4100

18558864

16,1459

4721,9428

5706,06

32559088,4425

12

4203

3,6773

15455,8312

17665209

13,5228

4526,5298

230,47

53116,5246

13

3824

3,8132

14581,6024

14622976

14,5403

3886,0764

2617,92

6853524,0152

14

3407

3,6577

12461,8689

11607649

13,3790

3285,5978

1261,40

1591135,4944

15

3161

3,5499

11221,1112

9991921

12,6015

2975,8460

571,15

326216,8872

16

957

2,3655

2263,7720

915849

5,5955

1225,5275

-993,53

987096,8994

17

-

-

-

-

-

-

-

-

Сумма

86073

61,7831

345795,4211

539856635

242,0650

177540,8065

-7580,81

1002603028,6640

Ср. знач.

5379,5625

3,8614

21612,2138

33741039,6875

15,1291

-

-

62662689,2915

Sx2 , SY2

4801346,9961

0,2183

-

-

-

-

-

-

Sx, SY

2191,1976

0,4672

-

-

-

-

-

-

На рисунке приведены графики функций регрессии и значения опытных данных.

  1.  
    Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения  на 2 части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную.

 n                             n                                  n

∑(yi - )2 = ∑( ŷxi - )2 + ∑(yi - ŷxi )2,         (*)

i=1                          i=1                              i=1

где

∑(yi - )2 – общая сумма квадратов отклонений;

∑( ŷxi - )2 – объясненная (факторная) сумма квадратов;

∑(yi - ŷxi )2 – остаточная сумма квадратов.

Таблица 2.4.                                                                                                

yi

yi

(yi-ȳ)2

ŷxi

ŷxi

xi-ȳ)2

yixi

(yixi)2

1

20653

10030,5000

100610930,2500

25930,6901

15308,1901

234340683,2139

-5277,6901

27854012,4731

2

39063

28440,5000

808862040,2500

22816,0306

12193,5306

148682188,4340

16246,9694

263964014,7633

3

14188

3565,5000

12712790,2500

16361,9424

5739,4424

32941199,2100

-2173,9424

4726025,6142

4

9307

-1315,5000

1730540,2500

14217,0017

3594,5017

12920442,2042

-4910,0017

24108116,3292

5

12544

1921,5000

3692162,2500

12810,5884

2188,0884

4787730,9189

-266,5884

71069,3839

6

4105

-6517,5000

42477806,2500

12714,2587

2091,7587

4375454,6357

-8609,2587

74119336,0905

7

9472

-1150,5000

1323650,2500

12627,5620

2005,0620

4020273,7652

-3155,5620

9957571,7584

8

13252

2629,5000

6914270,2500

10925,7378

303,2378

91953,1558

2326,2622

5411495,8811

9

10212

-410,5000

168510,2500

8909,2366

-1713,2634

2935271,4660

1302,7634

1697192,4674

10

7149

-3473,5000

12065202,2500

8784,0080

-1838,4920

3380052,7358

-1635,0080

2673251,2474

11

10428

-194,5000

37830,2500

7181,7244

-3440,7756

11838936,4368

3246,2756

10538304,9949

12

4757

-5865,5000

34404090,2500

6844,5706

-3777,9294

14272750,6863

-2087,5706

4357950,9354

13

6504

-4118,5000

16962042,2500

5627,6057

-4994,8943

24948969,1125

876,3943

768066,9768

14

4547

-6075,5000

36911700,2500

4288,6232

-6333,8768

40117995,0463

258,3768

66758,5597

15

3547

-7075,5000

50062700,2500

3498,7199

-7123,7801

50748243,0366

48,2801

2330,9689

16

232

-10390,5000

107962490,2500

-3578,3002

-14200,8002

201662725,9759

3810,3002

14518387,5217

17

-

-

-

-

-

-

-

-

169960

-

1236898756,0000

169960,0000

-

792064870,0339

-

444833885,9661

На основании выполненных расчетов имеем

1236898756,0000 = 792064870,0339+444833885,9661 , а,

следовательно,  равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раз, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷx = -6651,2168+ 3,5321 ·x  и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет (см. таблицу 2.5).

          Таблица 2.5

yi

yi -

(yi - )2

ŷxi

ŷxi -

(ŷxi -)2

yi - ŷxi

(yi - ŷxi)2

1

20653

10030,5000

100610930,2500

29188,8808

18566,3808

344710494,4564

-8535,8808

72861260,3173

2

39063

28440,5000

808862040,2500

25762,7553

15140,2553

229227331,7202

13300,2447

176896508,0512

3

14188

3565,5000

12712790,2500

18663,2583

8040,7583

64653794,6088

-4475,2583

20027937,1689

4

9307

-1315,5000

1730540,2500

16303,8235

5681,3235

32277436,8307

-6996,8235

48955539,2367

5

12544

1921,5000

3692162,2500

14756,7689

4134,2689

17092179,6651

-2212,7689

4896346,3801

6

4105

-6517,5000

42477806,2500

14650,8063

4028,3063

16227251,6287

-10545,8063

111214030,4703

7

9472

-1150,5000

1323650,2500

14555,4399

3932,9399

15468016,4153

-5083,4399

25841361,4215

8

13252

2629,5000

6914270,2500

12683,4332

2060,9332

4247445,8512

568,5668

323268,1519

9

10212

-410,5000

168510,2500

10465,2819

-157,2181

24717,5168

-253,2819

64151,7437

10

7149

-3473,5000

12065202,2500

10327,5305

-294,9695

87006,9996

-3178,5305

10103056,2077

11

10428

-194,5000

37830,2500

8565,0186

-2057,4814

4233229,8425

1862,9814

3470699,8155

12

4757

-5865,5000

34404090,2500

8194,1493

-2428,3507

5896887,0168

-3437,1493

11813995,4597

13

6504

-4118,5000

16962042,2500

6855,4879

-3767,0121

14190379,8115

-351,4879

123543,7765

14

4547

-6075,5000

36911700,2500

5382,6072

-5239,8928

27456476,2946

-835,6072

698239,4343

15

3547

-7075,5000

50062700,2500

4513,7136

-6108,7864

37317271,7474

-966,7136

934535,1106

16

232

-10390,5000

107962490,2500

-3271,0085

-13893,5085

193029579,1432

3503,0085

12271068,7285

17

-

-

-

-

-

-

-

-

169960

-

1236898756,0000

-

-

1006139499,5488

-

500495541,4743

Из таблицы следует

1236898756,00001006139499,5488+ 500495541,4743, т.е.

 n                                          n                                         n

∑(yi - )2 ≠ ∑( ŷxi - )2 + ∑(yi - ŷxi )2  

i=1                          i=1                              i=1

  1.  
    Оценка тесноты связи расходов на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:  

rxy = b(Sx/Sy) = Mxy/( Sx \ Sy) = (  -  )/ SxSy.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах: -1 ≤ rxy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то  0 ≤ rxy ≤ 1, и, наоборот, при b<0,             -1 ≤ rxy ≤ 0.

Используя первое выражение для rxy,  рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

 rxy = b(Sx/Sy) = 3,2110 (2191,1976/8792,3929) = 0,8002.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением длины дороги пассажирооборот железнодорожных перевозок  увеличивается.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии (разброса) пассажирооборота железнодорожных перевозок y, объясняемую зависимостью от длины дороги x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 - rxy2 характеризует долю дисперсии  пассажирооборота железнодорожных перевозок y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

ryx2 = (0,8002)2 = 0,6403.

Следовательно, изменение результата (пассажирооборот железнодорожных перевозок) на 64,0% объясняется изменением фактора (длины дороги).

В отличие от линейной регрессии нелинейная регрессия характеризуется не коэффициентом корреляции, а индексом корреляции Rxy  и индексом детерминации Rxy2:

Rxy = ( 1 – (Sост2/Sy2 )1/2,

где

Sост2 = ( (y1 - ŷx1)2 +  (y2 - ŷx2)2 + ....+ (y7 - ŷx16)2 )/ n;

Sy2 =  ( (y1 - )2 +  (y2 - )2 + ....+ (y7 - )2 )/ n.

Величина данного показателя находится в пределах         

0 ≤ Rxy ≤ 1, причем чем она ближе к единице, тем теснее связь между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги, тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги при степенной модели показывают, что она несколько лучше линейной модели.

Аналогичная  оценка для показательной функции регрессии находится на уровне линейной, несколько хуже степенной.

 

  1.  Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

Из приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение пассажирооборота железнодорожных перевозок y (результативный признак) отличается от теоретических ŷx, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака, (y - ŷx ) для каждого опыта представляет собою ошибку аппроксимации функции, связывающей пассажирооборот и длину дороги. В данном случае число таких опытов равно шестнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а их абсолютные  значения разности опытного и теоретического результативного признака отнесенные к опытному, выраженные в процентах, то есть:

    Аi =│(yixi)/yi|100%  .

Оценка  качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации – средняя арифметическая Аi :

    А = (А1 + А2 + …..+ А16 ) / 16 .

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функцией связи между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги:

А = 545,51/ 16 = 34,09 %.

 Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 35,29 % и для показательной функций   А = 63,36 %.

Их анализ говорит, что  ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.

  1.  Сравнительная оценка силы связи длины дороги с расходом с помощью среднего коэффициента эластичности

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится пассажирооборот железнодорожных перевозок y от своей средней величины при изменении длины дороги x на 1% от своего среднего значения. Он может быть вычислен по формуле:

                         Э = y' (x)· / ŷ¯.

С учетом приведенной формулы средний коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

                          ŷx = -6651,2168+ 3,2110* x

примет вид:  

Э = y' (x)· / ŷ¯= b· / ( a + b) = 3,2110· 5379,5625/ (-6651,2168+ 3,2110· 5379,5625) = 1,626.

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии               ŷ x =  0,0006 x 1,9214 

вычисляется по соотношению:

Э = y' (x)· / ŷ¯= a·b·xb¬1·( x/a·xb) = b = 1,9214.

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии ŷx =  833,7334 (1,0004) x равен 1,45.

Таким образом, исходя из разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% длины, например Западно-Сибирской дороги,  приводит к увеличению на (1,626-1,45)% пассажирооборота. При этом,  по линейной модели это увеличение составляет 0,63%, по степенной функции регрессии – 1,9214 %, а по показательной функции регрессии – 1,45 %.

  1.  Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

Оценка статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияние на результат y, то есть длина железной дороги  не оказывает влияния на пассажирооборот. Альтернативная  гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

Fфакт = Sфакт2 / Sост2,

где  Sфакт2 – фактическая выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sфакт2 = ((ŷ x1 - )2 +  (ŷ x2 - )2 + ....+ (ŷ x16 - )2)/ 1;

         Sост2 - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sост2 = ( (y1 - ŷx1)2 +  (y2 - ŷx2)2 + ....+ (y17 - ŷx16)2 )/ n - 2;

  Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная  выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное Fтабл значений F-критерия Фишера – это максимальное величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α, который примем равным 0,05.

Если Fтабл < Fфакт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и  оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая не значимость и ненадежность уравнения регрессии.

       По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05 и степенях свободы к1 = 1, к2 = 14 получаем Fтабл = 4,63. Выполнив расчет получим Fфакт = 24,93

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что Fтабл < Fфакт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и  принять альтернативную гипотезу.

4 Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении длины дороги

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу следует рассчитать прогнозное значение пассажирооборота, если прогнозное значение длины железной дороги увеличиться на 10% от ее среднего значения. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости равном 0,05.

Если прогнозное значение длины дороги составит:

xp = 1,1· = 1,1· 5379,56 = 5917,52,

то прогнозное точечное значение пассажирооборота можно вычислить по соотношению:

ŷp = -6651,2168+ 3,2110·xp=-6651,2168+ 3,2110·5917,52= 12349,94.

Для определения доверительного прогноза пассажирооборота необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

mŷp=Sост·(1+1/17+( xp - )2/( (x1 - )2 +(x2 - )2+...+(x16 –)2))1/2 = 31773849·(1+1/17+(5917,52– 5379,5625)2/( (10147

–5379,5625)2 + (9177 - 5379,5625)2 + ...…+ (957- 5379,5625)2))1/2 = 2316313,5921.

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

  ∆ŷp = tтабл · mŷp = 2,2086· 2316313,5921= 5115810,1995.

Здесь tтабл табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n-2= 14 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза пассажирооборота железнодорожного транспорта при прогнозируемом увеличении длины дороги на 10% можно вычислить по формулам:

ŷxpmin = ŷxp - ∆ŷp = 12349,94- 5115810,1995= -5103460,2595 ;

ŷxpmax = ŷxp + ∆ŷp = 12349,94+ 5115810,1995= 5128160,1395.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при   достаточной надежности (вероятность 0,95), она  достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,005.

Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel. Реализацию осуществим на компьютере с применением встроенной статистической функции ЛИНЕЙН. Она позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

     Ŷx = a + b · x .

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

значение коэффициента b

значение коэффициента а

Среднеквадратическое откл. b

среднеквадратическое.

откл а

коэффициент детерминации

среднеквадратическое

откл y

F-статистика

число степеней свободы

регрессионная сумма квадрат.

остаточная сумма квадратов

  

 Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1.Подготовку исходных данных.

2.Выделение области пустых ячеек  5 x 2  для вывода результатов регрессионной статистики.

3.Активизировать Мастер функций одним из способов:

 а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

 в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ.

4.В окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ – ЛИНЕЙН. Далее щелкнуть по кнопке ОК;

5.Заполнить аргументы функции.

6.В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу «F2», а затем нажать на комбинацию клавишей «CTRL» + «SHIFT» + «ENTER».

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели расходов на железнодорожные перевозки в зависимости от длины 17 дорог  по статистическим данным РФ.


Значение коэффициента  b 

3,2109891

Значение коэффициента  a 

-6651,217

Среднеквадр. отклонение  b 

0,643122

Среднеквадр. отклонение  а

3735,7053

Коэффициент детерминации

0,6403635

Среднеквадр. отклонение  y 

5636,8297

F - статистика

24,9282

Число степеней свободы

14 5

Регрессионная сумма квадратов

792064870

Остаточная сумма квадратов

444833886

 Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанных в курсовой работе алгоритмов (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

Выводы 

  1.  В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения пассажирооборота железнодорожных перевозок и длинами 16 дорог, расположенных на территории РФ. Для обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.
    1.  Выполнена оценка тесноты связи пассажирооборота и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между пассажирооборотом и длинами дорог показывают, что степенная модель  несколько лучше линейной модели и показательной  модели.
      1.  Проведена оценка с помощью ошибки аппроксимации качества уравнений регрессии пассажирооборота. Их анализ говорит, что  ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.
      2.  Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (длины дороги) с результатом (пассажирооборот железнодорожных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% длины дороги приводит к увеличению на (1,626-1,45)% пассажирооборота железнодорожных перевозок. При этом, по линейной модели это увеличение составляет 0,63%, по степенной функции регрессии – 1,9214 %, а по показательной функции регрессии – 1,45%.
      3.  Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что Fтабл < Fфакт , а, следовательно, необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.
      4.  Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при   достаточной надежности (вероятность 0,95), она  достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,005.
      5.  Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанных в курсовой работе алгоритмов (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

Список рекомендуемой литературы

1. Ковалев В.И. Организация вагонопотоков на сети железных дорог России. С-Пб: Информационный центр «Выбор», 2012.- 144с.

2. Кузнецов А.П. Методологические основы управления грузовыми перевозками в транспортных системах. – ВИНИТИ РАН, 2009 – 276 с.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011. – 368 с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 311 с.

5. Эконометрика: Учебник /Под ред. И. И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2009. -  344 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38771. ЧЕРНАЯ МЕТАЛЛУРГИЯ В ОБЬ-ТОМСКОМ МЕЖДУРЕЧЬЕ В ЭПОХУ СРЕДНЕВЕКОВЬЯ 190.5 KB
  За последние 10 лет получены новые уникальные археологические материалы по черной металлургии в ходе исследований Шайтанского археологического микрорайона крупнейшего комплекса средневековых памятников ОбьТомского междуречья находящегося на юге Томской области в Кожевниковском районе. По общему объему свидетельств черной металлургии Шайтанский археологический микрорайон значительно превышает все остальные известные источники ОбьТомского междуречья. С появлением массива новых данных возникла настоятельная потребность в обобщении и анализе...
38773. Практика в Черкаських магістральних електричних мереж 264.5 KB
  Загальна характеристика об’єкту ПС 330 кВ Черкаська здійснює прийом перетворення розподіл передачу електричної енергії і представляє собою сукупність силового комутаційного і вимірювального обладнання об’єднаного електричною схемою по класам напруги включаючи комплекс пристроїв захисту автоматики вимірювання і керування. ПС має три класи напруги 330 110 і 10 кВ і являється понижуючою підстанцією з двома вторинними напругами. За місцем у системі електропостачання ПС Черкаси відноситься до системних підстанцій – це найпотужніші...
38775. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке и защите магистерских диссертаций 426.5 KB
  Тема объём и структура магистерской диссертации 7 4. Титульный лист магистерской диссертации 37 Приложение Б. Справка о результатах внедрения решений разработанных в магистерской диссертации 41 Приложение К. Примерная структура доклада на защите магистерской диссертации 43 Приложение Н.
38776. АРХЕОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕКСТИЛЬ КАК ИСТОЧНИК ПО РЕКОНСТРУКЦИИ ДРЕВНЕГО ТКАЧЕСТВА ЗАПАДНОЙ СИБИРИ 303 KB
  Сибирские археологические ткани изучены очень фрагментарно в основном это древний текстиль с территории Южной Сибири и Алтая. Только в последние годы стали появляться работы содержащие технологическое описание найденных образцов текстиля из археологических памятников Западной Сибири а также первые попытки обобщения информации по отдельным районам или этносам. в результате археологических раскопок на территории Западной Сибири накоплено огромное количество текстильных образцов тканей плетений которые только сейчас вводятся в научный...