32751

Релятивистское уравнение динамики. Релятивистское выражение для кинетической и полной энергии. Взаимосвязь массы и энергии

Доклад

Физика

Релятивистское выражение для кинетической и полной энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Закон взаимосвязи массы и энергии. Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии используем её связь с работой силы а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки...

Русский

2015-04-22

43.5 KB

46 чел.

26.Релятивистское уравнение динамики. Релятивистское выражение для кинетической и полной энергии. Взаимосвязь массы и энергии.

Динамика, основанная на принципах СТО, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется релятивистской динамикой.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) для материальной точки имеет вид:

Основной закон релятивистской динамики материальной точки записывается так же, как и второй закон Ньютона:

но только в СТО под понимается релятивистский импульс частицы. Следовательно,

 

Так как релятивистский импульс не пропорционален скорости частицы, скорость его изменения не будет прямо пропорциональна ускорению. Поэтому постоянная по модулю и направлению сила не вызывает равноускоренного движения. Например, в случае одномерного движения вдоль оси x ускорение частицы под действием постоянной силы оказывается равным

Релятивистская  динамика.  Релятивистские масса и импульс. Основной закон динамики. Связь между полной энергией и импульсом.

Требование обеспечения инвариантности такого фундаментального закона природы, как закон сохранения импульса, вынуждает пересмотреть в СТО классическое определение
импульса Р = mu = m×dr/dt. Этот важнейший закон динамики будет инвариантным законом
(то есть выполнимым во всех ИСО), если заменить в определении импульса лабораторное время собственным (т. е. dt на dt
о), которое является инвариантным относительно преобразований
Лоренца. Итак, в СТО, Р = m×dr/dt
о, где dtо - промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с материальной точкой,  а dr – перемещение частицы в той ИСО, в которой определяется импульс.

T. к. dtо = dt×Ö(l –u22) , то Р = m×dr/dtо = Р = m×(dr/dtо)/Ö(l –u22) = mu/Ö(l –u22) - релятивистское выражение для импульса. При u <<  с оно переходит в классическое Р = mu.

Соответственно основной закон динамики материальной точки - 2-ой закон Ньютона
будет справедливым в СТО, т. е., релятивистки инвариантным, только в форме, приданной ему самим Ньютоном: dР/dt  = F, где Р - релятивистский импульс, т. е.  Р = mu/Ö(l –u
22);

здесь масса утрачивает прежний смысл коэффициента пропорциональности между силой и ускорением.

Некоторые авторы релятивистское толкование импульса основывают на зависимости массы тела от скорости его движения: m = mо/Ö(l –u22). В последнее время от этого отходят.

Закон  взаимосвязи массы и энергии.  Кинетическая энергия в релятивистской динамике.

Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии используем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:

к = dА = Fdr = (dР/dt)dr = u×d[(mu/Ö(l –u22)] = u{d(mu)/Ö(l –u22) + mu×dÖ(l –u22)} = u{m×du/Ö(l - u22)  + m×u×(u/с2)×du/Ö(l –u22)3}  = m×u×du/Ö(l –u22)  + m×u3×(du/с2)/Ö(l –u22)3 = [m×u×du - m×u3×(du/с2) + m×u3×(du/с2)]/Ö(l - u22)3 = m×u×du/Ö(l –u22)3 = d[mс2/Ö(l –u22)]   Þ  
Е
к = mс2/Ö(l –u22) + const;

При u = 0, Ек = 0, то есть mс2/Ö(l –u22) + const = 0, откуда  const = - mс2 и

  Ек = mс2/Ö(l –u22) - mс2 = mс2[(1/Ö(l –u22) – 1] .

При u << с, Ö(l –u22) » 1 - u2/2си Ек » mu2/2  переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.

Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну
из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую – E
о = mс2 - энергией покоя:
 Е
к = Е - Ео.

Е = mс2/Ö(l - u22) - полная энергия тела.

Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Ео = mс2, следует, что всякое изменение Dm массы тела сопровождается изменением DЕо энергии покоя, так что DЕо = Dm×с2 - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).

Энергия связи системы.

Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс исходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное количество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляющие её и разлетающиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказывается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную суммарной кинетической энергии разлетающихся частиц, деленной на с2.

Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Есв, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их взаимодействие убывает до нуля:

Есв  = Smiс2 - Мс2, где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возведём её
в квадрат и разделим на с
2:                

Е = mс2/Ö(l –u22)  ®  Е2 – Е2 u22 = m2с4  или, так как  Р = mu/Ö(l –u22) = Еu/с2  Þ  

Е2 – Р2с2 = m2с= const, или   Е22 – Р2 = m2с2 = Inv

Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, называемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическому инварианту - интервалу, объединившему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвариант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симметрии пространства и времени – их однородностью.

Закон взаимосвязи массы и энергии

Полную энергию свободного тела можно определить как произведение его  релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42199. Калібрування і повірка термометрів опору 286.5 KB
  Засвоїти методику отримання практичних навиків при проведенні досліджень динамічних характеристик термометрів опору при нагріванні і охолодженні повірці термометрів опору та калібруванні напівпровідникових термометрів опору термісторів.2 Програма роботи Під час заняття студент повинен ознайомитись з будовою та принципом дії термометрів опору. Визначити динамічну похибку термометрів опору типу ТСП і ТСМ.
42200. Систематичні похибки вимірювань та методи їх зменшення 71.5 KB
  У процесі заняття провести вимірювання різних електричних величин різними способами і засобами визначити систематичні похибки ввести поправки до результатів вимірювань обчислити дійсні значення вимірюваних величин і впевнитись у правильності отриманих значень.1 Систематичні похибки вимірювань та методи їх зменшення Процес пізнання матеріального світу відбувається через експериментальне визначення вимірювання кількісних оцінок фізичних величин що характеризують досліджувані процеси явища. Таким чином результат...
42201. Вивчення будови, принципу дії та застосування електронного осцилографа для електричних вимірювань 461 KB
  Практичне виконання вимiрювань напруги струму часових iнтервалiв частоти кута зсуву фаз складової комплексного опору та iнших електричних величин з допомогою осцилографа. При пiдготовцi до роботи студенти повиннi самостiйно продумати i завчасно пiдготувати програму виконання роботи для заданого їм варiанта вибрати або скласти самостiйно необхiднi для цього схеми вимiрювань запропонувати свої рiшення в здiйсненнi вимiрювань дiючих значень синусоїдальних струмiв i напруг з допомогою осцилографа. Пропонується продумати методику...
42202. Вивчення методів та засобів вимірювання електричної ємності та індуктивності 245 KB
  Ознайомлення з різними методами вимірювання електричної ємності і індуктивності та приладами що використовуються для цього. Ознайомлення з будовою мостів змінного струму і універсальних мостів з будовою і застосуванням резонансних вимірювачів індуктивності L і ємності С. Отримання навичок практичного виконання вимірювань ємності і індуктивності.
42203. Електронні автоматичні мости і їх повірка 109 KB
  За результатами повірки зробити висновки про придатність до експлуатації автоматичного моста.3 Основні теоретичні відомості Електронні автоматичні мости Як правило термометри опору працюють в комплекті зі зрівноваженими електронними автоматичними мостами постійного або змінного струму або з логометрами. В автоматичних мостах використовується вимірювальна система чотириплечового моста з реохордом що забезпечує високу точність вимірювання. Термометр опору який є чутливим елементом моста включається в одне з його плечей.
42204. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 751 KB
  Ознакомление с пакетом прикладных программ SIMULINK и основными приемами моделирования линейных динамических систем. К занятию допускаются студенты составившие схемы моделирования заданных динамических систем см.1 могут быть составлены схемы моделирования уравнений 1. Для составления схемы моделирования дифференциальных уравнений 1.
42205. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 181.26 KB
  Математическая модель одной и той же линейной динамической системы может быть представлена в различных формах: в форме скалярного дифференциального уравнения -го порядка (модель вход-выход) или в форме системы из дифференциальных уравнений 1-го порядка (модель вход-состояние-выход). Следовательно, между различными формами представления математических моделей существует определенная взаимосвязь, т.е. модель вход-состояние-выход может быть преобразована к модели вход-выход и наоборот.
42206. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 215.45 KB
  Теоретические сведения. В ряде задач анализа и синтеза систем управления требуется построить дифференциальное уравнение по известному частному решению, заданному в виде функции времени. Такая задача возникает, например, при построении динамических моделей внешних воздействий (так называемых, командных генераторов) — сигналов задания и возмущений. Особо отметим, что, в известном смысле, данная задача является обратной по отношению к задаче нахождения решения дифференциального уравнения (см. лабораторную работу № 1)
42207. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ 512 KB
  Интегрирующее звено интегратор описывается дифференциальным уравнением: или где коэффициент усиления а его переходная функция . Интегрирующее звено с замедлением описывается дифференциальным уравнением: или где постоянная времени а его переходная функция . Изодромное звено описывается дифференциальным уравнением: или а его переходная функция . Реальное дифференцирующее звено описывается дифференциальным уравнением или а его переходная функция .