32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

38 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74797. Фазовые переходы. Параметры критического состояния 48.5 KB
  Фазой называется термодинамически равновесное состояние вещества отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества. Переход вещества из одной фазы в другую фазовый переход всегда связан с качественными изменениями свойств вещества.
74798. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критические параметры 51.5 KB
  Учитывая собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия голландский физик И. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания которые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул сводится к тому что фактический свободный...
74799. Диаграмма фазовых состояний. Тройная точка 60 KB
  Если система является однокомпонентной, т. е. состоящей из химически однородного вещества или его соединения, то понятие фазы совпадает с понятием агрегатного состояния. одно и то же вещество в зависимости от соотношения между удвоенной средней энергией, приходящейся на одну степень...
74800. Адиабатическое дросселирование. Эффект Джоуля-Томсона 57.5 KB
  Подобный процесс но с реальным газом адиабатическое расширение реального газа с совершением внешними силами положительной работы осуществили английские физики Дж. После прохождения газа через пористую перегородку в правой части газ характеризуется параметрами...
74801. Физика как наука. Основные разделы, этапы развития. Связь с философией и техникой 32 KB
  Физика – наука о наиболее простых и общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Физика и ее законы лежат в основе всего естествознания. Она относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений и процессов в окружающем нас мире.
74803. Механика и ее разделы. Кинематика вращательного движения материальной точки. Связь между векторами линейных и угловых скоростей и ускорений 74 KB
  Вращательным движением абсолютно твердого тела называют такое движение при котором все точки тела движутся в плоскостях перпендикулярных к неподвижной прямой называемой осью вращения и описывают окружности центры которых лежат на этой оси роторы турбин генераторов и двигателей.
74804. Первый закон Ньютона. Инерция, масса. Инерциальные системы отсчета. Механический принцип относительности. Преобразование координат Галилея. Теорема сложения скоростей и независимость массы от скорости в классической механике 58.95 KB
  Механическое движение относительно и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета а те системы по отношению к которым он выполняется называются инерциальными системами отсчета.
74805. 2 и 3 законы Ньютона. Связь с 1 законом. Импульс, сила, импульс силы 34.5 KB
  Импульс сила импульс силы второй закон Ньютона: ускорение приобретаемое материальной точкой телом совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе материальной точки.