32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

35 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22183. Генетические алгоритмы 248.5 KB
  Это приводит к тому что приспособленность популяции возрастает позволяя ей лучше выживать в изменяющихся условиях. 1 Основные понятия генетических алгоритмов При описании генетических алгоритмов используются определения заимствованные из генетики например речь идет о популяции особей а в качестве понятий применяются ген хромосома генотип фенотип аллель. Следовательно особями популяции могут быть генотипы либо единичные хромосомы в довольно распространенном случае когда генотип состоит из одной хромосомы. Она представляет меру...
22184. Знания и их свойства. Структура и этапы разработки ЭС 193.5 KB
  Классификация знаний 3. Методология разработки интеллектуальных систем на примере СОЗ ЭС Знания и их свойства Тематика представления знаний Knowledge Representation KR уже давно считается одними из основных направлений работ в области искусственного интеллекта поскольку выбор правильного способа представления знаний является не менее значимым фактором от которого зависит успешное создание системы чем разработка самого программного обеспечения в котором используются эти знания. С тематикой представления знаний тесно связана не...
22185. Модели представления знаний 655.5 KB
  Классификация моделей представления знаний. Модели на основе теоретического подхода Классификация моделей представления знаний Одним из основных элементов в архитектуре экспертной системы является база знаний БЗ. Фейгенбаумом мощность экспертной системы зависит в первую очередь от мощности базы знаний и возможности ее пополнения.
22186. Выявление знаний от экспертов 667.5 KB
  Экспертное оценивание представляет собой процесс измерения который можно определить как процедуру сравнения объектов по выбранным показателям признакам. В качестве показателей сравнения могут использоваться пространственновременные физические психические и другие свойства и характеристики объектов. Процедура сравнения включает в себя: определение причинноследственной связи между объектами; установление степени влияния одних объектов на другие.
22187. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК 310 KB
  Групповая экспертная оценка объектов при непосредственном оценивании. В зависимости от целей экспертного оценивания и метода учета экспертных оценок возникают следующие основные задачи: построение обобщенной оценки понятий и объектов на основе индивидуальных оценок экспертов; построение обобщенной оценки на основе парного сравнения объектов каждым из экспертов; определение относительных весов взаимосвязи объектов; определение зависимостей между ранжировками; определение согласованности мнений экспертов; оценка надежности обработки...