32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

39 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70977. Разработка программы определения запасов сырья 504.68 KB
  На нескольких предприятиях используется сырье одного вида. Для каждого предприятия заданы верхние и нижние границы норм хранения этого сырья. Определить номера предприятий, имеющих запасы сырья выше нормы, ниже нормы и общие запасы сырья на этих предприятиях.
70978. Рассчет основных технических параметров модуля счетчика 211.41 KB
  Все разнообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизации технологических процессоров, цифровая связь и телевидение и т.д. состоятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности...
70979. Блинная «Теремок» на 75 посадочных мест 181.5 KB
  Закусочная находится не далеко от центра. На берегу городского пруда, рядом с центральной улицей города. Недалеко от блинной находится гостиница, вблизи находится лесопарк. Блинная «Теремок» рассчитана на 75 посадочных мест. Филиалов не имеет.
70980. Исследование методов сортировки массивов 175.5 KB
  Visual Basic развился из первоначального языка Basic и в настоящее время содержит несколько сотен команд, функций и ключевых слов, многие из которых связаны непосредственно с графическим интерфейсом пользователя...
70981. Организация работы столовой при промышленном предприятии на 100 посадочных мест 252.5 KB
  Массовое питание играет важную роль в жизни общества. Оно наиболее полно удовлетворяет потребности людей в питании. Общественное питание выполняет три взаимосвязанные функции: производство готовой продукции, ее реализацию и организацию потребления.
70982. Создание платформы для веб-разработки средствами языка Java 945 KB
  Цель исследования – Создание действующего WEB сервера регистрация пользователей на сервере, добавление комментариев, добавление новостей, статистка пользователей, возможность использования сервера без наличия статического айпи адреса за счёт встроенного днс...
70984. Разработка технологического процесса горячей объёмной штамповки поковок детали «кронштейн» из стали ЭП866 134.5 KB
  В данном курсовом проекте рассматривается разработка технологического проекта, штамповой оснастки для детали кронштейн. Данная деталь входит в состав турбины и работает при высоких температурах, поэтому она изготовляется из жаропрочной стали 15Х16К5Н2МВФАБШ (ЭП 866).
70985. Правовой статус человека и гражданина в РФ 72.66 KB
  Данное исследование посвящено изучению ряда вопросов, касающихся проблематики правового статуса человека и гражданина в Российской Федерации. Думается, что рассматриваемая в данной работе проблема является актуальной на современном этапе развития российского государства...