32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

50 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81300. Законность и правопорядок 38.79 KB
  Экономические условия законности - это общественно-экономический строй государства, уровень экономического развития (отношения собственности; стабильная денежная система; стабильная система финансово-кредитных учреждений; эффективная налоговая система; высокий уровень производства).
81301. Правовое и социальное государство 37.21 KB
  Основными принципами правового государства являются: Верховенство закона его господство над всеми сферами жизни. Государство признает за личностью определенную сферу свободы куда вмешательство государства недопустимо. Взаимоответственность государства и личности.
81303. Предмет и методология теории государства и права 36.86 KB
  Предметом теории государства и права являются основные общее закономерности возникновения функционирования и развития государства и права. Данная наука изучает причины происхождения государства и права их формы и типологию основные закономерности построения системы органов государства и системы права их функциональное воздействие на общественную жизнь. Особенности предмета теории государства и права как науки выражаются в следующем...
81304. Теория государства и права в системе общественных и юридических наук. Функции теории государства и права 39.25 KB
  Функции теории государства и права. Теория права и государства существует и развивается как один из важнейших компонентов сложной и целостной системы знаний об обществе. Право регулирует общественные отношения в самых различных субъектов права по самым различным фактическим основаниям в самых различных обстоятельствах.
81305. Происхождение государства и права 36.48 KB
  Еще в Древнем Египте Вавилоне и Иудее выдвигались идеи божественного происхождения государства и права. Основной смысл данной теории в том чтобы утвердить приоритет духовной организации церкви над светской государством и доказать что нет государства и власти не от бога . Религиозные учения о происхождении государства и права имеют хождение и поныне.
81306. Теологическая теория происхождения государства и права 35.26 KB
  Согласно теологической теории творец всего сущего на Земле в том числе государства Бог проникнуть же в тайну божественного замысла постичь природу и сущность государства невозможно. Известно что ещё в древнем Египте и Вавилоне возникли идеи божественного происхождения государства и права. Основной смысл данной теории в том чтобы утвердить приоритет духовной организации церкви над светской государством и доказать что нет государства и власти не от бога.
81307. Теория общественного договора 39.4 KB
  Поэтому данная теория связывается с механическим представлением о происхождении государства выступающего как искусственное произведение сознательной воли людей согласившихся соединиться ради лучшего обеспечения свободы и порядка. Классическое обоснование договорная теория получила в трудах Руссо. Как же практически обстояло дело со свободой справедливостью и с правом в тех странах где господствовала теория божественного происхождения государства и права Отвечая на этот вопрос Гольбах писал что свобода в этих странах была запрещена...
81308. Марксизм о государстве и праве 35.44 KB
  Именно поэтому в этот период появляются такие направления философии марксизм который ставит перед собой задачу исследовать действительность открыть ее законы понять и объяснить жизнь общества Рассматривая марксистское учение о государстве и праве необходимо прежде всего подчеркнуть что марксистская концепция происхождения государства и права опирается на историко-материалистическое учение об обществе и общественном развитии на классовую трактовку государства и права. Марксистская теория происхождения государства наиболее полно...