32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

38 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35457. Глобальные сети, Структура глобальной сети. Интернет. Услуги Интернет 788.5 KB
  Синтаксис HTML. Структура HTMLдокументов HTML это язык гипертекстовой разметки. HTML можно использовать для представления: гипертекстовых новостей почты и сопутствующей гиперсреды картинки музыка; меню с опциями; результатов запросов к БД; структурированных документов со встроенной графикой аудио и видео и т. Ссылки на символы в HTML могут принимать две формы: Числовые десятичные или шестнадцатеричные D и xH; Комбинации символов escпоследовательности.
35458. Информационная безопасность и защита информации 1.64 MB
  По режиму работы аналоговые скремблеры делятся на класса: Статические схема кодирования остается неизменной во время всего сеанса передачи данных; Динамические в них постоянно генерируются кодовые подстановки во время передачи. Аналоговое скремблирование используется в основном там где применение цифровых систем закрытия речи затруднено изза наличия возможных ошибок при передаче данных например наземные линии связи с плохими характеристиками отечественные к. Используются где достаточно широкая полоса передачи данных. Избыточность...
35459. Информационная безопасность. Автоматизированная система обработки информации 2.98 MB
  Каналы проникновения в систему и утечки информации. Основные характеристики телефонной линии. Основные понятия и определения Под информационной безопасностью понимается защищенность информации и поддержание инфраструктуры от случайных или преднамеренных воздействий естественного или искусственного характера чреватых нанесением ущерба владельцам или пользователям...
35460. Локальные сети 613 KB
  Локальные сети. сигналов в сети рабочая нагрузка сети. Для детальной характеристики ЛС используют следующие параметры: 1 размер; 2 используемые устройства; 3 скорость передачи; 4 топология сети; 5 физическая среда передачи; 6 используемые протоколы и методы доступа. Существует 2 типа сетей: одноранговые сети; сети на базе сервера.
35461. Информационные системы (ИС) и их проектирование 1.53 MB
  Особенности проектирования ИС: Наличие 4 основных компонентов системы: информация программы техника организационные средства. ЖЦ в общем случае включает: АНАЛИЗ: определяются требования и ограничения для предполагаемой системы ПРОЕКТИРОВАНИЕ: разработка проектной документации необходимой и достаточной для последующей реализации ИС удовлетворяющей поставленным требованиям и ограничения. РЕАЛИЗАЦИЯ: создание рабочей системы по проектным документам. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ: работа конечных пользователей и поддержка рабочей системы группами...
35462. Вычислительные системы 2.05 MB
  Масштабируемость возможность наращивания числа и мощности процессоров объемов оперативной и внешней памяти и др. Выполнение типичной команды можно разделить на 5 ступеней: 1 выборка команды IF 2 декодирование команды и чтение операндов РОН ID 3 выполнение команды EX 4 обращение к памяти MEM 5 запоминание результата WB. Пример: Здесь происходит обращение к памяти разных команд: С1 обращается к памяти чтобы сохранить значение операнда запись результата в РОН. Другая проблема: обращение к одному ресурсу памяти чтобы...
35463. Городские сети (ГС). Интернет 503 KB
  Синтаксис HTML. Структура HTMLдокументов. HTML это язык гипертекстовой разметки. HTML можно использовать для представления: гипертекстовых новостей почты и сопутствующей гиперсреды картинки музыка; меню с опциями; результатов запросов к БД; структурированных документов со встроенной графикой аудио и видео и т.
35464. Безопасность ИС 978 KB
  Цифровые системы закрытия речи. харки системы Закрытие в аналоговых каналах Аналоговый скремблер ЗС закрытый сигнал ОС открытый сигнал АО аналоговая обработка АПд АПр Аналоговый передатчик приемник Аналоговые скремблеры Аналоговым скремблированием называется преобразование исходного речевого сигнала с целью минимизации признаков речевого сообщения в результате которого этот сигнал становится неразборчивым и неузнаваемым. Цифровые системы связи. В качестве возможных нежелательных воздействий на системы должны рассматриваться: 1.
35465. Реформы Н.С. Хрущёва 30.08 KB
  Многие реформы являлись реакцией на сиюминутную ситуацию и преследовали цель быстро изменить ситуацию к лучшему. Непродуманные, подчас не подкрёпленные необходимыми финансовыми и материальными средствами, новшества просто навязывались сверху. Поэтому проводить подобный курс можно было лишь с использованием старой командно-административной системы управления