32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

38 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80511. Автоматизація процесів оцінювання нематеріальних активів 52.73 KB
  Автоматизація процесу оцінки гудвіла. Автоматизація процесу оцінки товарних знаків. Автоматизація процесу оцінки гудвіла До теперішнього часу склалися дві паралельно існуючі традиції перекладу англійського терміну goodwill. В даному випадку тобто в контексті вартісної оцінки нематеріальних активів переважно другий спосіб переведення хоча він і виглядає декілька незграбним.
80512. Автоматизація процесів оцінювання вартості підприємства 157.79 KB
  Для побудови зазначених типів моделей використовуються як власні методи моделювання RIS так і різні відомі методи та мови моделювання зокрема UML. Автори методу EricssonPenker створили свій профіль UML для моделювання бізнеспроцесів EricssonPenker Business Extensions ввівши набір стереотипів які описують основні категорії бізнесмоделі: процеси ресурси правила і цілі діяльності підприємства. Мова UML використовується також в методі який є частиною технології Rtionl Unified Process фірми IBM.
80513. Інформаційні системи і технології, їх роль в управлінні економікою 26.08 KB
  Наприклад під технологією матеріального виробництва розуміють процес який визначається як комплекс засобів і методів обробки виготовлення зміни стану властивостей форми сировини чи матеріалу. Тоді справедливим буде таке означення: Інформаційна технологія це процес або сукупність процесів обробки інформації. Оскільки на вході та виході ІТ є не матерія і не енергія а інформація то: інформаційна технологія це сукупність процесів що використовує засоби та методи накопичення обробки і передачі первинної інформації для отримання...
80514. Особливості та структура економічної інформації 20.02 KB
  Економічна інформація засоби її опису Інформація це сукупність відомостейданих які сприймають з навколишнього середовищавхідна інформація видаються в навколишнє середовищевихідна інформація або зберігаються всередині певної системи. Економічна інформація є інструментом управління і водночас належить до його елементів її потрібно розглядати як один із різновидів управлінської інформації яка забезпечує розвязування задач організаційноекономічного управління народним господарством. Отже...
80515. Організація позамашинної інформаційної бази 33.52 KB
  Поняття позамашинної інформаційної бази Позамашинна інформаційна база це сукупність повідомлень і документів інформація з яких може бути сприйнята людиною без використання засобів обчислювальної техніки До засобів організації та ведення позамашинної ІБ належать: системи класифікації та кодування інформації; уніфіковані системи документації; методичні та інструктивні матеріали. Інформація може розміщуватись на спеціальних паперових бланках і зчитуватись з них в память компютера автоматично за допомогою сканера. Носії інформації їх...
80516. Організація машинної інформаційної бази 23.13 KB
  Основи організації автоматизованого банку даних. Поняття машинної інформаційної бази Машинна інформаційна база представляє собою частину інформаційної бази сформованої у вигляді інформаційних файлів які зберігаються в електронній пам\'яті та на спеціальних зовнішніх носіях Машинна інформаційна база може бути організована у вигляді окремих незалежних між собою локальних файлів чи у вигляді бази даних якою керує система управління базами даних. До програмних засобів належать: СУБД програмні засоби ведення обробки контролю даних які...
80517. Основи створення комп’ютерних технологій 40.35 KB
  Основи створення компютерних технологій. Основи створення компютерних технологій. Стрiмкий розвиток цифрової обчислювальної технiки ОТ та становлення науки про принципи її побудови i проектування розпочалося в 40х роках ХХго сторiччя коли технiчною базою ОТ стала електронiка потiм мiкроелектронiка а основою для розвитку архiтектури компютерiв електронних обчислювальних машин ЕОМ досягнення в галузi штучного iнтелекту.
80518. Інтелектуальні технології обробки економічних даних 34.01 KB
  Для аналізу і розвязання задач різного характеру в тому числі і економічних сучасні інформаційні технології пропонують широкий спектр засобів прийняття рішень людиномашинні інтерактивні системи які дозволяють особам що приймають рішення використовувати дані знання обєктивні чи субєктивні моделі. В першому випадку відомості містяться у різноманітних інформаційних джерелах книги документи бази даних інформаційні системи і т. Серед другої групи поширені так звані експертні системи спеціальні комп\' ютерні програми що моделюють...
80519. Режим роботи ЕОМ та їх особливості 32.8 KB
  Класифікація електронно обчислювальних машин персональних компютерів. Класифікація електронно обчислювальних машин персональних компютерів. Компютери класифікуються за сферою застосування конструктивним виконанням та іншими критеріями. Наприклад дотепер використовується така класифікація: суперЕОМ чи суперкомп\'ютери компютери загального призначення чи універсальні компютери або мейнфрейми minfrme робочі станції персональні компютери мобільні компютери.