32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

44 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9870. Формы собственности на землю в России 9-17 век особенности крепостного права 29.81 KB
  Формы собственности на землю в России 9-17 век особенности крепостного права. В IX-XII веках экономику Древнерусского государства можно охарактеризовать как раннефеодальную. В это время еще только закладываются основы прочной системы взаимоотношений...
9871. Понятие о скважине, ее элементах и параметрах, характеризующих пространственное положение ствола 15.35 KB
  Понятие о скважине, ее элементах и параметрах, характеризующих пространственное положение ствола. Скважина - это горная выработка приблизительно имеющая форму цилиндра. Может быть длиной до...
9872. Свойства бурового раствора, порядок их определения 15.9 KB
  Свойства бурового раствора, порядок их определения. Основные параметры, которые характеризуют свойство БР относятся: плотность, условная вязкость, показатель фильтрации, СНС, толщины глинистой корки, содержание песка, содержание водородных ионов. 1....
9873. Профили наклонно-направленных скважин. Предельно допустимые темпы искривления 15.19 KB
  Профили наклонно-направленных скважин. Предельно допустимые темпы искривления. Направленной называют скважину, которую бурили вдоль запроектированной пространственной трассы и попали в заданную цель, а ее забой и фильтровая зона не только располагаю...
9874. Способы ликвидации прихватов бурильных колонн 18.81 KB
  Способы ликвидации прихватов бурильных колонн. 1)Расхаживание и отбивка ротора. Расхаживание - способ ликвидации прихвата, прикотором к БИ прикладывается нагрузка на какое-то значение превышающая его вес (буровик может превышать нагрузку...
9875. Буровые растворы на водной основе, область их использования 16.27 KB
  Буровые растворы на водной основе, область их использования. Вода: В результате использования технической и морской воды вместо глинистого раствора проходка на долото повышается на 15-20%, а механическая скорость проходки повышается 25-40%. Вода как...
9876. Растворы на неводной (УВ) основе. Область их применения 15.43 KB
  Растворы на неводной (УВ) основе. Область их применения. В целях сохранения коллекторских свойств пластов и предупреждения осложнений при бурении стали применять БР на нефтяной основе. Они предназначены для вскрытия и освоения продуктивных пластов и...
9877. Долота режущего режуще-истирающего типа 19.19 KB
  Долота режущего режуще-истирающего типа 1)Пилообразные однолопастное долото. Существует два типа таких долот: Ц и Р. Используется для расширения и проработки скважины, как правило в не очень твердых породах. 2)Двух лопастное долото, обозначается 2Л ...