32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

38 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48990. Приготування новітніх страв з перепелиних яєць 318.5 KB
  Користь перепелиних яєць, безумовно, дуже велика. Вживання перепелиних яєць зміцнює кістки, нормалізує роботу всього організму (зокрема серця, печінки, нирок, шлунка і підшлункової, передміхурової залози та ін органів).
48991. Основные проблемы теоретической фонетики 156.5 KB
  Британские типы произношения и их фонетические особенности. Фонетические особенности американского произношения G в сопоставлении с британским RP. Современные тенденции английского произношения. Классификация диалектов и вариантов произношения английского языка.
48992. Аналіз рентабельності окремих видів продукції 531.5 KB
  Теоретичні основи аналізу рентабельності окремих видів продукції. Рентабельність продукції як критерій формування виробничої програми. Фактори які впливають на рентабельність окремих видів продукції.
48995. Контурно-графічний аналіз результатів двохфакторного експерименту 396.5 KB
  Автоматизація господарського обліку з використанням баз даних Ключові слова: науковими програмами дослідження проблеми. Аннотация: Досліджено еволюцію існуючих форм і технологій ведення обліку. Визначено провідні тенденції в розвитку компютерних технологій ведення обліку й обгрунтовано підходи щодо їх побудови з використанням баз даних. Запропоновано архівнокомп'ютерну форму обліку на основі автоматизації банком поточного архіву електронних документів планового облікового та нормативнодоговірного характеру.
48996. Розробка шляхів підвищення ефективності операційного менеджменту ІФД УДППЗ «Укрпошта» 618 KB
  Теоретикометодичні основи дослідження системного аналізу Поняття системи і системного аналізу Сутність системного аналізу Класифікація методів та прийомів системного аналізу Аналітична частина.
48997. Массовые коммуникации (Public Relations) 204.56 KB
  Public Relations, СО, Связи с общественностью — комплекс мероприятий по продвижению человека, компании, общественного движения, партии и пр., основанных на предоставлении общественности информации и сотрудничестве с ней. На сегодняшний день, существует более пятисот определений PR.
48998. Профессиональная диагностика 532.5 KB
  Ставится задача создания системы специализированной подготовки профильного обучения в старших классах общеобразовательной школы ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся. Введение профильного обучения - одно из важных направлений модернизации российской школы. Создание системы информационной организационной и педагогической деятельности для профессиональной мотивации школьниками способствует определению ими профиля обучения и выбора сферы деятельности. С сентября 2003 года в школьную систему было...