32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

35 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9714. Математические методы определения вероятностей рисковых событий 43 KB
  Математические методы определения вероятностей рисковых событий: В практике анализа рисков всегда выгоднее прибегать к поэтапной процедуре оценки: сначала провести измерения в шкале номинаций, т.е. оценить вероятности рискованных исходов как событий...
9715. Методологические основы анализа хозяйственного риска 27 KB
  Параметры решаемой риск-проблемы должны определяться на основе конкретизации предмета, объекта и субъектов хозяйственного риска, форм проявления его характерных элементов и сущностных черт с выходом на целевой результат конкретного вида и подвида ри...
9716. Общая характеристика идентификации и анализа рисков 29 KB
  Содержание идентификации и анализа рисков: Основной целью идентификации и анализа рисков является формирование у лиц, принимающих решения, целостной картины рисков, угрожающих бизнесу фирмы, жизни и здоровью ее сотрудников, имущественным интересам в...
9717. Принципы информационного обеспечения системы управления риском 71 KB
  Принципы информационного обеспечения системы управления риском: Информация является ключевым аспектом при идентификации и анализе риска, так как ее наличие позволяет в дальнейшем принимать правильные решения в условиях риска и неопределенности...
9718. Основные принципы оценки риска 52.5 KB
  Концепция приемлемого риска: В большинстве ситуаций невозможно полностью избавиться от риска. Поэтому защита от него состоит не в том, чтобы сделать бизнес абсолютно безопасным, а в том, чтобы снизить риск до уровня, когда он перестает быть угрожающ...
9719. Поведенческий риск 26.5 KB
  Причина поведенческого риска понятна каждому, кто живет среди людей: субъекты, вовлеченные в определенную совместную деятельность, не обязательно одинаково относятся к ее целям и результатам. Иногда это различие не носит принципиального характера и ...
9720. Показатели хозяйственного риска 29.5 KB
  В соответствии с общепринятой классификацией показатели хозяйственного риска можно разделить на три группы: единичные, комплексные и обобщающие (интегральные). Первые характеризуют возможные проявления отдельных элементов рискованных ситуаций в отн...
9721. Природные риски 26.5 KB
  Рассмотрим теперь способы измерения риска для ситуации не стохастической и не поведенческой неопределенности. Методов здесь несколько. Наиболее распространенный - это так называемый метод рандомизации. Суть его в искусственном привнесении случайност...
9722. Рациональный риск в комплексе мер эффективного использования ресурсов и совокупного капитала 26 KB
  Ограниченность наличных ресурсов и неограниченность потребностей общественных отношений вынуждают хозяйствующих субъектов удерживать сегмент рынка или рыночную нишу зачастую при неопределенности как предпринимательской среды, так и возможности успеш...