32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

38 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47302. Качество напряжения на электроприемниках жилых и общественных зданий микрорайона 2.33 MB
  Объектом электроснабжения является район города, состоящий из двух микрорайонов и располагающийся в г. Казань. Все потребители электроэнергии в заданном районе условно можно разделить на две группы: жилые дома и общественно-коммунальные учреждения. В состав района входят электроприемники, относящиеся к I категории надежности электроснабжения. Это лифтовые установки, аварийное освещение и системы противопожарной безопасности в 25-этажных жилых домах.
47303. Теория и методика преподавания иностранных языков и культур 125.5 KB
  Методическое пособие по подготовке и защите выпускной квалификационной работы для студентов специальностей 031201. кандидат педагогических наук Челябинск 2008 НАЗНАЧЕНИЕ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ ПО СОДЕРЖАНИЮ РАБОТЫ Одним из видов итоговой аттестации выпускника специальностей ТИМ и Перевод и переводоведение является защита выпускной квалификационной работы которая выполняется в форме дипломной работы. Написание дипломной работы имеет целью: систематизацию закрепление и расширение...
47304. Промышленное и гражданское строительство 404 KB
  Методические указания разработаны с учетом содержания учебного плана ГОУ ВПО ТюмГАСУ составленного на основании Государственного образовательного стандарта высшего и профессионального образования требований кафедры СПОФ и смежных кафедр к содержанию и объему соответствующих разделов дипломного проекта для студентов очной и заочной форм обучения специальности 270102 Промышленное и гражданское строительство.3 Методика работы над дипломным проектом. 7 2 Разработка отдельных разделов дипломного проекта.2 Вариантное...
47306. Основы обороны государства 807.2 KB
  Россия – одна из крупнейших стран мира, имеющая богатые исторические и культурные традиции. Ее экономический, научно–технический и военный потенциал, уникальное географическое положение на Евразийском континенте позволяют Российской Федерации играть важную роль в современном мире.
47307. Анализ производственной деятельности ОАО «Уссурремтехснаб» 1.19 MB
  В процессе выполнения сельскохозяйственных работ детали и узлы машин изнашиваются. Износ деталей вызывает простои машин из-за технических неисправностей и нарушение агротехнических сроков. Снижается качество работы, падает производительность и увеличиваются расходы на содержание машин.
47308. Обзор диагностических аппаратов медицинского назначений 438 KB
  Большое значение в медицине имеет развитие микропроцессорной техники. Это однокристальные системы, ориентированные на использование в функциях управления разными приборами контроля. Количество микроконтроллеров, выпускаемых сегодня, почти в 10 раз превышает количество традиционных микропроцессоров (МП).
47310. Разработка программного обеспечения для автоматизации учета договоров купли-продажи новых автомобилей в автосалоне 509 KB
  В случае утраты покупателем документа, удостоверяющего право собственности на транспортное средство или номерной агрегат, продавец обязан по заявлению владельца и предъявлению им паспорта или другого документа, его заменяющего, выдать новый документ с пометкой "дубликат" с указанием серии, номера и даты ранее выданного документа