32752

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда

Доклад

Физика

Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда когда выполнены следующие предположения: 1силы трения действующие на тело пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать; 2 деформации пружины в процессе колебаний тела невелики так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука. Эта формула показывает что частота свободных колебаний не зависит от начальных...

Русский

2013-09-05

51 KB

38 чел.

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник.  Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

 Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

            Выражение для циклической частоты имеет вид:

,

где  w - циклическая частота,  k - жесткость пружины,  т - масса.

Эта  формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность 

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности 

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание 

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1837. ФЛОРА ПРИКАЛАУССКОГО ФЛОРИСТИЧЕСКОГО РАЙОНА (ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРЕДКАВКАЗЬЕ) И ЕЕ АНАЛИЗ 1.3 MB
  Физико-географическая характеристика Прикалаусского флористического района. Вопросы фитосозологии и перспективы использования. Конспект флоры Прикалаусского флористического района. Список редких, охраняемых и нуждающихся в охране видов Прикалаусского флористического района. Иллюстрации эндемичных и реликтовых видов флоры Прикалаусского флористического района, занесенные в Красную книгу Ставропольского края
1838. VBScript Scripting Reference 1.3 MB
  Working with the Properties Tables. ExportOptionsIllustrator. PDFSaveOptions. Running JavaScript based Action Manager code from VBScript. Appendix A: Event ID Codes.
1839. ПАРАЛЛЕЛИЗМ ИЗМЕНЕНИЙ ДЕРМАТОГЛИФИКИ, ЭНДОКРИННОГО И ПСИХИЧЕСКОГО СТАТУСА В ПОПУЛЯЦИИ ДЕТСКОГО НАСЕЛЕНИЯ, ПРОЖИВАЮЩЕГО В РАЙОНАХ С ВЫСОКОЙ АНТРОПОГЕННОЙ НАГРУЗКОЙ 1.3 MB
  Современное состояние окружающей среды (региональные аспекты). Генетические детерминанты формирования рельефа кожи пальцев рук и ладоней человека. Методика исследования кожного узора кисти человека. Методы исследования функционального состояния центральной нервной системы. Особенности эндокринного статуса подростков, проживающих в экологически неблагоприятных условиях.
1840. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДДЕРЖИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 1.29 MB
  Анализ состояния и пути повышения эффективности систем управления запасами на машиностроительных предприятиях. Структуризация процессов управления и производственного процесса. Методика определения оптимального графика поступлений запасов. Применение разработанных методик и оценка эффективности их использования.
1841. ПРОИЗВОДСТВО И ВОСПРОИЗВОДСТВО ЗНАНИЯ: КОГНИТИВНО-АНТРОПОЛОГИЧЕСКИЙ АСПЕКТ 1.29 MB
  Производство и воспроизводство знания: когнитивно-антропологическая модель. Когнитивно-антропологические основания познания. Познание как проблема современной философии. Образование с позиций когнитивно-антропологического подхода.
1842. КОНЦЕПТОСФЕРА ВНУТРИСЕМЕЙНЫХ РОДОСЛОВНЫХ 1.29 MB
  Жанровая и языковая специфика внутрисемейных родословных. Художественные и публицистические реминисценции в языке внутрисемейных родословных. Специфика интертекстуальности. Система концептов, регулирующих жанр внутрисемейных родословных, и их лексическая объективация. Методика исследования частотности языковой объективации концептов и межконцептных связей. Математическое моделирование концептосферы внутрисемейных родословных. Результаты исследования.
1843. Основы маркетинга и современная маркетинговая концепция 1.4 MB
  Основные понятия маркетинга. Маркетинговая концепция. Используемые в маркетинге термины. Уровни маркетинга. Концепции маркетинговой деятельности организаций. Управленческий маркетинг должен показать свою рентабельность. Рыночные факторы, определяющие содержание маркетинг-микса. Основные продуктивные информационные легенды, используемые при проведении исследований конкурентов.
1844. УСЛОВИЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ СЛУЖБЫ В СИСТЕМЕ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ 1.27 MB
  Деятельность методической службы системы повышения квалификации работников образования как педагогическая проблема. Организационно-педагогические условия повышения эффективности функционирования методической службы в структуре региональной системы повышения квалификации работников образования. Комплекс условий, обеспечивающих эффективность функционирования методической службы.
1845. СТАНОВЛЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО САМОСОЗНАНИЯ КЛИНИЧЕСКИХ ПСИХОЛОГОВ 1.27 MB
  Профессиональное самосознание и проблема становления личности профессионала. Основные подходы к решению проблемы становления личности профессионала. Модель личности клинического психолога абитуриентов факультета психологии. Модель личности специалиста и особенности профессиональной составляющей самосознания студентов других специализаций. Особенности становления представлений о профессиональной идентичности клинических психологов.