32755

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Доклад

Физика

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы где s колеблющаяся величина описывающая тот или иной физический процесс δ = const коэффициент затухания ω0 циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы т.1 в случае малых затуханий где Период затухающих колебаний с учетом формулы 7.

Русский

2013-09-05

92.5 KB

73 чел.

30.Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, (ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде

(7.1) где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

(7.2)

Тогда получим уравнение решением, которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

где

Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Если A(t) и A(t+Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых во время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Колебания маятника подчиняются закону

где частота 

Коэффициент затухания. Коэффициент d, определяющий быстроту изменения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Если промежуток времени Dt = 1/d, то А0/А = е. Отсюда вытекает физический смысл коэффициента затухания: 

величина 1/d, равна промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раз.

Добротность пружинного маятника

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ = ω0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Логарифмический декремент затухания - безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

f — частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

Pd — рассеиваемая мощность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17276. Облік витрат підприємства, які не включаються у собівартість продукції 33 KB
  Облік витрат підприємства які не включаються у собівартість продукції. В процесі операційної діяльності у підприємства виникають витрати які не включаються у собівартість продукції. До них відносяться: адміністративні витрати; витрати на збут; інші операц...
17277. Предмет і об'єкти бухгалтерського обліку 72.5 KB
  Предмет і об'єкти бухгалтерського обліку Бухгалтерський облік як і будьяка інша економічна наука має свої предмет об'єкти суб'єкти і метод. Предмет це те на що спрямована пізнавальна творча та практична діяльність людей. Предмет бухгалтерського обліку в широком...
17278. Базові принципи бухгалтерського обліку 39 KB
  Базові принципи бухгалтерського обліку Слово принцип від лат. рrіпсіріиs основа первоначало вихідне положення будьякої теорії науки що визначає всі наступні положення які випливають з його твердження. На відміну від вихідних положень природничих наук принципи ...
17279. Методичні прийоми (метод) бухгалтерського обліку 41.5 KB
  Методичні прийоми метод бухгалтерського обліку Бухгалтерський облік як і кожна наука має свій метод. Слово метод від гр. methodos дослідження означає спосіб дослідження явищ підхід до вивчення явищ планомірний шлях встановлення істини взагалі прийом спосіб дії. У ...
17280. Суть і побудова бухгалтерського балансу 43.5 KB
  Суть і побудова бухгалтерського балансу Оперативне управління господарюючим суб'єктом вимагає достовірних і точних даних про стан і наявність господарських засобів їх склад і розміщення а також про джерела їх формування і цільове призначення. Таку інформацію узагал
17281. Структура балансу 55.5 KB
  Структура балансу Змістовна частина бухгалтерського балансу визначається його будовою та структурою. У побудові активу і пасиву є як вітчизняна так і світова практика. Загальну характеристику побудови активу і пасиву балансу у світовій і вітчизняній практиці показан
17282. Вплив господарських операцій на баланс 77.5 KB
  Вплив господарських операцій на баланс Бухгалтерський баланс як відомо відображає в узагальненому грошовому вимірнику стан засобів підприємства та джерел їх формування на певну дату. Проте у процесі господарської діяльності відбуваються безперервний рух засобів зм...
17283. Порядок читання та аналізу балансу 42.5 KB
  Порядок читання та аналізу балансу Бухгалтерський баланс це не тільки метод узагальнення інформації про стан та склад господарських засобів підприємства і джерел їх формування а й форма фінансової звітності яка містить важливу інформацію про фінансовий стан підпри...
17284. Рахунки бухгалтерського обліку, їх зміст та будова 47.5 KB
  Рахунки бухгалтерського обліку їх зміст та будова Зафіксована в первинних документах інформація за технологією облікового процесу підлягає реєстрації та класифікації групуванню з метою її систематизації з тим щоб у кінцевому підсумку стати окремою статтею балансу....