32755

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Доклад

Физика

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы где s колеблющаяся величина описывающая тот или иной физический процесс δ = const коэффициент затухания ω0 циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы т.1 в случае малых затуханий где Период затухающих колебаний с учетом формулы 7.

Русский

2013-09-05

92.5 KB

76 чел.

30.Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, (ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде

(7.1) где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

(7.2)

Тогда получим уравнение решением, которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

где

Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Если A(t) и A(t+Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых во время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Колебания маятника подчиняются закону

где частота 

Коэффициент затухания. Коэффициент d, определяющий быстроту изменения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Если промежуток времени Dt = 1/d, то А0/А = е. Отсюда вытекает физический смысл коэффициента затухания: 

величина 1/d, равна промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раз.

Добротность пружинного маятника

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ = ω0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Логарифмический декремент затухания - безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

f — частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

Pd — рассеиваемая мощность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77605. Лефортово в 20 веке 1.71 MB
  История столичного района Лефортово (бывший Калининский район г. Москвы) в высшей степени поучительна. Как в фокусе здесь сходятся равнодействующие всех влияний, складывающих национальный облик Россиянина. Как зеркало отражает она развитие страны, внешнее и внутреннее изменение города.
77608. Асноўныя асаблівасці беларускай мовы 69.5 KB
  Асноўныя асаблівасці беларускай мовы склаліся не пазней ХІІІ ст. Пісьмовая форма пачала фарміравацца пазней – прыкладна ў ХІV ст. на аснове жывой народнай гаворкі і агульнаўсходнеславянскіх моўных традыцый. Захавалася нямнога звестак пра старажытныя дапаможнікі для вывучэння мовы.
77609. Досвід роботи Володимир-Волинського міськрайонного центру зайнятості по забезпеченню соціального захисту незайнятої молоді 179.1 KB
  Молодь - одна з найвразливіших верств населення України. Покликання молоді є формування майбутнього української держави, ії розбудови, зміцнення, виведення на передові економічні , наукові, культурні рубежі.
77610. ОСОБЛИВОСТІ СПРИЯННЯ ПРАЦЕВЛАШТУВАННЮ МОЛОДІ В СУЧАСНИХ УМОВАХ РИНКУ ПРАЦІ 283.5 KB
  Завдяки високому інтелектуальному потенціалу мобільності та гнучкості молоді люди мають можливість впливати на суспільний прогрес визначаючи майбутнє суспільства держави та світового співтовариства.
77611. Новая экономическая политика 57.25 KB
  Споры о НЭПе продолжаются и сейчас ведутся например дискуссии на тему был ли отказ от НЭПа обусловлен общей логикой событий или это было нарушение логики поступательного развития. Цель моего исследования состоит в рассмотрении сущности и значения НЭПа.
77612. Супутникові лінії зв’язку 2.45 MB
  Передача і прийом інформації від джерела до користувача називається зв’язком. При передачі повідомлення перетворюються в передавач і сигнали, що передаються по лінії зв’язку. Сигнали, які є носіями повідомлення приймаються приймачем, в якому відбувається їх перетворення у повідомлення.