32755

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Доклад

Физика

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы где s колеблющаяся величина описывающая тот или иной физический процесс δ = const коэффициент затухания ω0 циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы т.1 в случае малых затуханий где Период затухающих колебаний с учетом формулы 7.

Русский

2013-09-05

92.5 KB

73 чел.

30.Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, (ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде

(7.1) где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

(7.2)

Тогда получим уравнение решением, которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

где

Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Если A(t) и A(t+Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых во время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Колебания маятника подчиняются закону

где частота 

Коэффициент затухания. Коэффициент d, определяющий быстроту изменения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Если промежуток времени Dt = 1/d, то А0/А = е. Отсюда вытекает физический смысл коэффициента затухания: 

величина 1/d, равна промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раз.

Добротность пружинного маятника

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ = ω0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Логарифмический декремент затухания - безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

f — частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

Pd — рассеиваемая мощность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4012. Економічна теорія, її предмет, методи та функції 248.5 KB
  Економічна теорія, її предмет, методи та функції Економічна теорія: виникнення та етапи розвитку. Об’єкт і предмет економічної теорії (далі – ЕТ). Економічні закони та економічні категорії. Методи дослідження економ...
4013. Генетика. Учебно-методическое пособие для самостоятельных занятий 4.1 MB
  Иллюстрированное электронное пособие разработано профессором кафедры растениеводства A.M. Ленточкиным на основе требований образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению «Агрономия» при изучении дисциплины «генетика»...
4014. Генетика микроорганизмов 114.5 KB
  Генетика микроорганизмов Генетическая система бактерий состоит из ядерных и внеядерных структур. Аналог ядра прокариотов значительно отличается от ядра эукариотических клеток. Он представлен нуклеоидом, лишенным оболочки и включающем в себя почти вс...
4015. Временная ценность финансовых ресурсов 62.5 KB
  Введение Финансовые ресурсы, материальную основу которых составляют деньги, имеют временную ценность. Временная ценность финансовых ресурсов может рассматриваться в двух аспектах. Первый аспект связан с покупательной способностью денег. Денежные сре...
4016. Разработка рекомендации по улучшению существующего комплекса маркетинга предприятия УралАвтоХаус 160.5 KB
  Введение Город Магнитогорск является вторым по величине и экономической значимости городом в Челябинской области. Так как в городе расположено одно из крупнейших производств, связанных с черной металлургией, Магнитогорск является достаточно богатым...
4017. Контрольная работа. Линейная алгебра 131.5 KB
  Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...
4018. Автоматическая компенсация температурной зависимости дрейфа нуля и чувствительности в датчиках давления на КНС-структурах 503 KB
  Введение Гетероэпитаксиальные слои кремния на сапфире (КНС) впервые были получены в середине 60-х годов XX в. и сразу привлекли к себе внимание как специалистов по полупроводниковому материаловедению, так и разработчиков твердотельных микросхем. В п...
4019. Повышение экономической эффективности налогообложения 108 KB
  Повышение экономической эффективности налогообложения предполагает минимизацию избыточного налогового бремени. Однако на практике основная часть налоговых поступлений приходится, как правило, на обложение доходов, прибыли и добавленной стои...
4020. Нетрадиционно возобновляемые источники энергии 123 KB
  Введение В настоящее время во всем мире наблюдается повышенный интерес к использованию в различных отраслях экономики нетрадиционных возобновляемых источников энергии (НВИЭ). Ведется бурная дискуссия о выборе путей развития энергетики. Это связано, ...