32755

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Доклад

Физика

Уравнение затухающих колебаний и его решение. Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы где s колеблющаяся величина описывающая тот или иной физический процесс δ = const коэффициент затухания ω0 циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы т.1 в случае малых затуханий где Период затухающих колебаний с учетом формулы 7.

Русский

2013-09-05

92.5 KB

73 чел.

30.Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность.

Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, (ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения рассмотрим в виде

(7.1) где u=u(t).

После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

(7.2)

Тогда получим уравнение решением, которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

где

Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Если A(t) и A(t+Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых во время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Nе, совершаемых системой за время релаксации.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу и принимая, что коэффициент затухания получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Колебания маятника подчиняются закону

где частота 

Коэффициент затухания. Коэффициент d, определяющий быстроту изменения амплитуды, называется коэффициентом затухания. Если промежуток времени Dt = 1/d, то А0/А = е. Отсюда вытекает физический смысл коэффициента затухания: 

величина 1/d, равна промежутку времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2.73 раз.

Добротность пружинного маятника

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ = ω0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Логарифмический декремент затухания - безразмерная характеристика затухающих колебаний, измеряемая натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных элементах за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

f — частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

Pd — рассеиваемая мощность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36944. Побудова вибіркової функції розподілу засобами комп’ютерних технологій 363.5 KB
  Лабораторна робота №2 Тема: побудова вибіркової функції розподілу засобами компютерних технологій. У MthCD існують дві функції що дозволяють зробити обробку вибірки для наступної побудови гістограм. Оскільки методика створення гістограм з використанням функції hist досить складна надамо її по пунктах: Для початку представимо експериментальні дані у вигляді вектора.
36945. Розрахувати найбільшу похибку відлікового пристрою і встановити раціональну точність виготовлення елементів багатооборотного індикатора 543.84 KB
  1 Функції перетворення синусного механізму: Для кулісного механізму Передаточне відношення від веденої ланкистрілки до кінцевої ланки кулісного механізму Вихідна функція з кулісного механізму враховуючи що вихід синусного є входом кулісного.
36946. Обладнання та драйвери. Використання Device Manager та System Information 316.54 KB
  Вивести властивості пристрою 1. Вивести список драйверів що забезпечують роботу даного пристрою відобразити у звіті рис. Імітуючи несправність пристрою неправильно підєднаний шлейф SCSIпристрою запустити програму Troubleshooter Діагностика 1. Також я знайшов IRQ ресурси певних пристроїв та визначив які драйвера потрібні для роботи дискового пристрою відображені на рис2.
36947. Використання вбудованих функцій MathCAD, MS Exсel для обчислення характеристик вибірки 61.5 KB
  Для обчислення числових характеристик вибірки що утримується в масиві Х розмірності m×n в MthCD призначені наступні функції: mxХ для пошуку найбільшого елемента в масиві даних; minХ пошук мінімального елемента в масиві даних; sortХ побудова варіаційного ряду тобто сортування вихідних даних по зростанню; menХ обчислення вибіркового середнього по масиву даних: vrХ для визначення вибіркової дисперсії; stdevХ для обчислення середньоквадратичного відхилення; medin для розрахунку значення медіани ...
36948. Мова програмування Matlab / Simulink 20.48 KB
  Скласти программу-функцію Matlab/Simulink для розв’язання задачі обробки одновимірного масиву у загальному вигляді, а обчислення на комп’ютері виконати для конкретних даних згідно з варіантом. Cформувати масив W з елементів масиву V, що задовольняють умову
36949. Використання засобів MathCAD, MS Excel для формування послідовностей випадкових чисел 56 KB
  Київ 2011 Лабораторна робота №4 Тема: Використання засобів MthCD MS Exсel для формування послідовностей випадкових чисел. Мета: ознайомитися з основними видами розподілів випадкових чисел основними інструментами що використовуються при формування послідовностей випадкових чисел розглянути реалізацію методів формування цих послідовностей за допомогою різних інструментальних засобів MthCD Excel. Теоретична довідка У табличному процесорі Excel для формування послідовності випадкових чисел використовується...
36950. Побудова графіків в Matlab / Simulink 233.79 KB
  Висновок: під час лабораторної роботи я вивчив графічні можливості СКМ Matlab/Simulink.
36951. Вивчення універсального вимірювача Е7-11 при вимірюваннях індуктивності, ємності, опору, тангенса кута втрат й добротності елементів 378 KB
  Мета: Навчитись вимірювати індуктивність, ємність, опір, тангенса кута втрат й добротність елементів універсальним вимірювачем Е7-11.
36952. Проектування та створення баз даних у СУБД MS Access**. Створення табличних об’єктів засобами конструктора 858.5 KB
  Таблиці СУБД нормалізовані. Нормалізація процес видалення з таблиць даних що повторюються шляхом перенесення їх у інші таблиці записи яких не містять значень що дублюються. Структура реляційної таблиці визначається складом полів. Вміст поля подається у стовпці таблиці.