32769

Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле

Доклад

Физика

Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково барометрическая формула имеет следующий вид: где p давление газа в слое расположенном на высоте h p0 давление на нулевом уровне h = h0 M молярная масса газа R газовая постоянная T абсолютная температура. Из барометрической формулы следует что концентрация молекул n или...

Русский

2013-09-05

56.5 KB

63 чел.

45.Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле.

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p — давление газа в слое, расположенном на высоте h, p0 — давление на нулевом уровне (h = h0), M — молярная масса газа, R — газовая постоянная, T — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M — молярная масса газа, R — газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT. Чем выше температура T, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m.

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

 

 

(2.5.1)

где n0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h.

       Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

 

 

(2.5.2)

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U, то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

 

,

 

(2.5.3)

это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

       На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.


Рис. 2.11

      Из (2.5.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U1 и i>U2 равно:

 

.

 

(2.5.4)

      Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1924. Проблема свободы в поэтическом творчестве В.С. Высоцкого 1.19 MB
  Теоретические аспекты проблемы свободы воли. Философская традиция проблемы свободы в 1950-1970 годах. Концепция свободы в песнях тюремно-лагерной тематики В.С. Высоцкого. Символика самолета, птицы и полета в разработке проблемы свободы.
1925. Направленный синтез каротиноидов у дрожжей и перспектива их использования, 1.5 MB
  Каротиноидные пигменты - биологические функции и перспектива использования. Биостимуляторы, индукторы и координационные соединения металлов. Скрининг дрожжей, обладающих повышенной способностью к биосинтезу каротоноидных пигментов.
1926. Ансамбли сигналов и их характеристики 240.57 KB
  Диаграммы сигналов во всех точках системы передачи дискретных сообщений. Структурная схема систем передачи дискретных сообщений с применением частотной модуляции. Зависимости вероятности ошибочного приема от отношения сигнал-шум.
1927. Измерение GPS приемником в режиме статика и кинематика 240.54 KB
  Освоение методики работы на базовой и мобильной станциях в режимах статика и кинематика.
1928. Моніторинг радіаційної, хімічної та біологічної небезпек 251.62 KB
  Ознайомлення з приладами радіаційної, хімічної та біологічної небезпек. Зокрема з ВПХР, ДП-22В (ДП-24), ДП-5В. Дізнався їх будову, принцип дії, склад та порядок підготовки до використання.
1929. Вычисления в таблицах MS Excel 92.38 KB
  Изучить возможности применения формул для выполнения расчетов при представлении данных в табличном виде; приобрести опыт работы с мастером функций MS Excel.
1930. Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля земли 233.1 KB
  Ознакомление с определением индукции магнитного поля Земли методом тангенс-гальванометра. Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли.
1931. У природи нема поганої погоди 22.27 KB
  Виявити та узагальнити ознаки весни, літа, осені, зими в природі. Розширити та збагатити знання про пори року. Розвити естетичний смак. Формувати уміння розкрити красу кожної пори року. Виховувати любов до рідної природи, бажання оберігати її.
1932. Виховний захід: Я і природа 20.12 KB
  Формувати уміння встановлювати взаємозв'язок між природними об'єктами, підсумувати пізнавальні інтереси учнів, сприяти вихованню в них почуття прекрасного.