32778

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Лабораторная работа

Физика

Определить момент инерции системы тел. Исследовать зависимость углового ускорения от величины момента приложенных сил с учётом сил трения. 2 Угловая скорость и угловое ускорение для всех точек тела одинаковы в данный момент времени однако для различных точек тела линейные скорости движения по окружности разные так как зависят от расстояния R точки до оси вращения. Сила – равнодействующая внешних и внутренних сил приложенных к iму элементарному объему телу создаёт относительно произвольно взятой точки на оси вращения момент силы ...

Русский

2013-09-05

3.8 MB

63 чел.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «Севмашвтуз» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт – Петербургский государственный морской технический университет» 

в г. Северодвинске

ФАКУЛЬТЕТ: IV

КАФЕДРА: ФИЗИКИ

Лабораторная работа

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Северодвинск

2007

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ФМ - 14

Изучение законов вращательного движения с помощью маятника   Обербека

Цель  работы

1. Изучить теорию вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

2. Определить момент инерции системы тел.

3. Исследовать зависимость углового ускорения от величины момента приложенных сил с учётом сил трения.

4. Оценить абсолютную и относительную погрешности лабораторной работы.

1. Основные теоретические положения

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных вращения.

Угловой скоростью равномерного вращательного движения тела называется отношение угла поворота  на промежуток времени t, за которое произошел поворот:  

         .                                                          (1)

В случае неравномерного вращательного движения, выражение (1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t.

Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением:

                             .                                        (2)

Угловая скорость величина векторная, ее модуль определяется формулой (2). Вектор угловой скорости  направлен вдоль оси вращения так, что его направление и направление вращения образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору , то вращение представляется по часовой стрелке (рис. 1).

В системе СИ единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду, т.е.               [] = радс.

Изменение угловой скорости в единицу времени характеризуется векторной величиной, которая называется угловым ускорением . Угловое ускорение определяется формулой

.

В системе СИ угловое ускорение измеряется в радианах на секунду в квадрате, т.е. [] = радс2.     

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, то вектор  может изменяться только по модулю. В этом случае векторы  и  коллинеарные, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное (рис. 2, а, б).

           

          а) ускоренное вращение                          б) замедленное вращение

Рис. 2

Угловая скорость и угловое ускорение для всех точек тела одинаковы в данный момент времени, однако для различных точек тела линейные  скорости  движения по окружности разные, так как зависят от расстояния R точки до оси вращения. Как следует из рис. 1, точка тела, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте тела на угол Δφ проходит путь ΔS = RΔφ, тогда связь модулей линейной и угловой скоростей может быть представлена в виде:

.

Из рис. 3 следует связь радиус-вектора , проведённым из произвольной точки О на оси вращения в рассматриваемую точку тела, с расстоянием R от неё до оси вращения: R = rsinβ. Линейная скорость  любой точки вращающегося твёрдого тела определяется векторным произведением  на :

, или по модулю = ωR.

В неравномерном вращательном движении каждая точка тела имеет нормальное ускорение , характеризующее быстроту изменения вектора линейной скорости по направлению, и тангенциальное ускорение

,

характеризующее быстроту изменения модуля скорости.

Векторы  и  перпендикулярны друг к другу, поэтому модуль полного ускорения а равен:

.

На рис. 4 изображено тело, вращающееся вокруг неподвижной оси ОО' под действием внешних сил. Мысленно разобьем тело на элементарные объемы массой mi, каждый из которых представляет собой материальную точку.

Сила  – равнодействующая внешних и внутренних сил, приложенных к i-му элементарному объему телу, создаёт относительно произвольно взятой точки на оси вращения момент силы , определяемый векторным произведением радиуса-вектора  i – ой точки на вектор силы :

  = [].

Сила  раскладывается на составляющую , перпендикулярную оси вращения ОО', силу  параллельную оси вращения, а также силу , вектор которой направлен по касательной к траектории движения рассматриваемой материальной точки. При движении точки массой mi ускорение ей сообщает только сила .

Величина  называется моментом силы , действующей на материальную точку массой mi, относительно ее оси вращения ОО'. Здесь li – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси. Единицей измерения момента силы  служит  ньютон  на метр, т. е. [Mi] = Н·м.  Так  как  Fiτ = Fiτвнутр +  Fiτвнеш, то  и  Mi = Mi внутр + Mi внеш, но внутренние силы, действующие между элементарными массами внутри тела, попарно компенсируют друг друга и создают результирующий момент Mi внутр= 0. Тогда Mi =  Miвнеш .  

Величина Ii = miri2 называется моментом инерции материальной точки.

Величина I =  =  – момент инерции всего тела; он равен сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.

В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м2, т.е. [I] = кг·м2. Момент инерции тела I = Σ miri2 является мерой инертности тела во вращательном движении и, как видно из этого выражения, зависит не только от величины, но и от характера распределения массы тела относительно оси вращения. Так для обруча с осью вращения, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча, момент инерции I = mr2, а для шара с осью проходящей через его центр I = (2/5)mr2, где r - радиус обруча или шара.

Если известны момент инерции тела относительно оси ОО', проходящей через его центр масс т. C, то момент инерции тела относительно произвольной оси KK', параллельной данной ОО', можно вычислить по теореме Штейнера: 

IKK= IOO+ ma2,

где а - расстояние между осями (рис. 5); m - масса тела.

Момент инерции есть величина аддитивная, т.е. момент инерции системы тел равен алгебраической сумме моментов инерции составляющих ее тел.

По 2-му закону Ньютона

.

В проекции на ось z

,

где а - тангенциальное ускорение материальной точки массой mi, и используя понятие момента силы, можно записать

Mi = Miвнеш = Fiτ = miriaτ = miriri = miri2 = Ii,

т.е.

Miвнеш = Ii.

Суммируя последнее выражение по всем точкам тела, получим выражение для момента внешних сил, приложенных ко всему телу

,

или           .                                                  (3)

Формула (3) выражает собой 2-ой закон Ньютона для вращательного движения, т.е. во вращательном движении роль силы выполняет момент силы, роль массы - момент инерции, а роль ускорения - угловое ускорение.

Величина  называется моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно оси перпендикулярной направлению ее движения, где рi – величина импульса материальной точки массой mi, а ri - плечо импульса (кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой направлен вектор , до оси z).

В системе СИ единица измерения момента импульса:

[L] = Н·м·с =  кг·м2/c.

Для момента импульса тела можно записать

,

или                                                       

L = I.                                                        (4)

Дифференцируя (4) по времени, получаем выражение (3):

,

т.е. приходим к выражению, которое является другой формой записи 2-го закона Ньютона для вращательного движения.

Если момент внешних сил, действующих на тело равен нулю, т.е.

,

откуда получаем                                ,                                               (5)

следовательно, момент импульса изолированного тела есть величина постоянная. Таким образом, формула (5) выражает собой закон сохранения момента импульса.

Зависимость ε от M при неизменном I представлена на рис. 6, а зависимость ε от I при неизменном M на рис. 7.

2. Схема лабораторной установки

Установка представлена на рис. 8 и включает в свой состав: основание 1, вертикальную стойку 2, верхний кронштейн 3, средний кронштейн 4, кронштейн 5 для установки фотодатчика, фотодатчик 6.

Основание 1 снабжено тремя регулируемыми опорами 7 и зажимом 8 для фиксации стойки.

Вертикальная стойка 2 выполнена из металлической трубки, на которую нанесена миллиметровая шкала, и имеет визир 19.

На верхнем кронштейне 3 размещается узел подшипников 9 с малоинерционным шкивом 10 изменения направления движения, капроновой нити 11, на которой подвешен наборный груз 12 общей массой 0,150 г, состоящий  из пяти  грузиков  массами   m1 = 0,050 г,  m2 =  0,050 г,   m3 = 0,020 г,   m4 = 0,020 г,  m5 = = 0,010 г (рис. 9). 

На среднем кронштейне 4 размещены: узел подшипников 13, на оси которого с одной стороны закреплен двухступенчатый шкив 14, на котором имеется приспособление для закрепления капроновой нити 11, а с другой стороны находится крестовина, представляющая собой четыре металлических стержня 15, закрепленных в бобышке 16 под прямым углом друг к другу; электромагнитный тормоз 17.

На металлических стержнях 15 через каждые 10 мм нанесены риски.

Грузы 18 закреплены на металлических стержнях 15 и могут свободно перемещаться и фиксироваться на каждом стержне, что дает возможность ступенчатого изменения моментов инерции крестовины.

Электромагнитный тормоз 17 предназначен для фиксации подвижной системы в начале эксперимента, выдачи электрического сигнала начала отсчета времени, и торможения подвижной системы после завершения отсчета времени.

Кронштейн 5 имеет зажим для крепления на вертикальной стойке 2 и элементы фиксации фотодатчика.

Установка работает от блока электронного 20, который подключается к фотодатчику 6 и электромагнитному тормозу 17. Измерение интервалов времени выполняется таймерами на блоке 20. В данной работе время, отсчитываемое таймерами, записывается в миллисекундах.

Признаком начала отсчета интервала времени является нажатие кнопки “ПУСК” или входной сигнал от лабораторной установки. Отсчет времени завершается по сигналу от фотодатчика или по нажатию кнопки “СТОП”.

В качестве исследуемого тела в работе используется крестообразный маятник, имеющий ось вращения, состоящий из четырех грузов 18, закрепленных на металлических стержнях 15.

3. Вывод рабочей формулы

В качестве исследуемого образца в работе используется крестообразный маятник, имеющий ось вращения (рис. 10). Под действием силы тяжести груза m1g, подвешенного на нити, намотанной на шкиве, создается вращающий  момент Mвр, под действием которого система приходит во вращательное движение. Силы трения в осях шкивов и силы сопротивления движению создают тормозящий момент Mтр, противодействующий вращению.

      По второму закону Ньютона для вращательного движения

M = Mвр - Mтр = = Iε,

здесь M – результирующий момент сил, действующих на маятник; I – полный момент инерции маятника; - угловое ускорение.

При постоянстве Mтр величина углового ускорения = (Mвр - Mтр)/I = M/I зависит от величины Mвр и I.

        1. Момент инерции I складывается из моментов инерции 4-х грузов и момента инерции остальной части системы (включая 4 спицы и втулку со шкивами) Iо:

I = Iо + 4mR2 = 2ml2/12 + 4mR2,

где Iо  = 2ml2/12 = 9·10-5 кг·м2; R – расстояние от центров тяжести грузов до оси вращения.

Проверка зависимости  M  M(ε).

Момент Mвр силы натяжения нити T, вращающий шкив равен

                                       Mвр = rT,                            (6)

 По 2-му закону Ньютона для груза m1 имеем

,

откуда в проекциях на ось у получаем

            ,            (7)

здесь m1g – сила тяжести груза массой m1; a – ускорение, являющееся также тангенциальным ускорением маятника.

Подставляя (7) в (6), получим

Mвр = (m1gm1a)r = m1(g - a)r.

Ускорение a связано с высотой h и временем t падения груза массой m1 с этой высоты следующим образом:

,

а угловое ускорение маятника выразится как

.

Величина Mтр определяется минимальным значением силы тяжести mg груза массой m, под действием которой система начинает вращаться, т.е. который начинает поворачивать маятник: Mтр = rmg. Для шкива радиусом r1 принять m = 1,35010-3 кг, а для шкива радиусом r2, m =  2,15010-3 кг.

Таким образом, зная массу груза m1, измерив высоту h и время t падения груза можно вычислить a, и M, а для момента инерции можно записать окончательное выражение:

      ,  

или               .           (8)

Выражение (8) является рабочей формулой.

4. Порядок проведения работы

Вилку кабеля с маркировкой “Ф” вставить в розетку фотодатчика, а вилку с маркировкой “Э” в розетку электромагнитного тормоза.

4.1. Определение момента инерции маятника

Установить грузики массой m = 0,114 кг каждый на одинаковых расстояниях R = 0,12 м от оси вращения и уточнить балансировку маятника (маятник должен оставаться в покое при любом положении крестовины).

К большему из шкивов 14 радиусом r1 прикрепить нить 11 к другому концу нити подвесить наборный груз 12 массой m1 = 0,050 кг. Нить перекинуть через верхний шкив 10.

Вращая маятник, установить груз в крайнее верхнее положение таким образом, чтобы нижняя плоскость груза (визир вертикальной стойки соприкасается с нижней плоскостью груза) совпадала с одной из рисок шкалы вертикальной стойки. Записать это значение высоты h. Зафиксировать груз в этом положении. Для этого нажать кнопку “СЕТЬ” блока.

За нижнее положение груза берется отметка шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика.

Для того чтобы груз начал опускаться и таймер блока начал отсчет времени необходимо нажать кнопку “ПУСК” блока.

Аналогично повторяем измерения для грузов массами m2 = 0,10 кг и m3 = 0,15 кг на шкиве с радиусом r1.

Не изменяя положения грузиков на спицах маятника, повторить измерения для шкива радиусом r2, последовательно с грузами m1, m2, m3.

Результаты измерений занести в табл. 1 и табл. 2.

                                                                                                                                             Таблица 1

Для первого шкива радиусом r1 = 0,07 м

R, м

m, кг

mn, кг

h, м

<t>, с

I, кгм2

1

0,12

1,35010-3

510-2

2

1010-2

3

1510-2

                                                                                                                                              Таблица 2

Для второго шкива радиусом r2 = 0,04 м

<I>, кгм2

R, м

m, кг

mn, кг

h, м

<t>, с

I, кгм2

1

0,12

2,15010-3

510-2

2

1010-2

3

1510-2

4.2. Определение зависимости от M при постоянном I

       Зафиксировать положение грузиков на расстоянии R = 0,12 м, т.е. момент инерции маятника I, будет поддерживаться постоянным.

   Далее подвесить к шкиву с радиусом r1 груз m1 и для трех различных h(выбранных произвольно) измерить время падения t.

Повторить опыт с грузами m2 и m3 на шкиве с радиусом r1, а также с грузами m1, m2, m3 на шкиве с радиусом r2.

   Результаты измерений занести в табл. 3 и табл. 4.

                                                                                                                                                Таблица 3

m, кг

r1,, м

<h>, м

<t>, c

<а>с2

, 1с2

M, Нм

I, кгм2

   1

0,05

0,07

2

0,10

3

0,15

                                                                                                                                                Таблица 4

m, кг

r2,, м

h, м

t, c

а, мс2

, 1с2

M, Нм

I, кгм2

1

0,05

0,04

2

0,10

3

0,15

 4.3. Определение зависимости от I при постоянном М

Расположить грузики на спицах маятника на расстоянии R1 = 0,13 м от оси вращения, т.е. установить грузики напротив 12-ой риски от оси вращения.

       При неизменном M, т.е. для одного груза m1 = 0,05 кг на шкиве с радиусом r1, из трех опытов измерить  время падения t1, t2, t3 груза с неизменной высоты h.

       Оставить тот же груз m1 на том же шкиве, т.е. М не изменять, но изменить I, устанавив грузики на расстоянии R2 = 0,10 м, напротив 9-ой риски. Повторить опыты при R2, не меняя высоту падения груза h.

Затем расположить грузики на расстоянии R3 = 0,07 м, т.е. напротив 6-ой риски и провести аналогичные измерения.

Полученные результаты занести в табл. 5.

                                                                                                                                                Таблица 5

R, м

r1, м

h, м

<t>, с

, 1с2

I, кгм2

m1, кг

Iо, кгм2

Mэм

1

0,13

0,07

0,05

2

0,10

3

0,07

5. Обработка экспериментальных данных

5.1. Определение момента инерции маятника

Определить по результатам трёх опытов по формуле  среднее время падения  груза с высоты h1, измеренной по вертикальной шкале.

Вычислить по рабочей формуле момент инерции маятника I1 для груза массой m1.

Повторить вычисления для грузов массами m2 и m3 на шкиве радиусом r1.

Находим среднее значение момента инерции маятника Iср для данного расположения грузиков на спицах.

Аналогичные вычисления повторить для шкива радиусом r2 последовательно с грузами m1, m2, m3.

Данные занести в табл. 1 и табл. 2.

5.2. Определение зависимости от М при постоянном I

Определить среднее значение ускорения по формуле

,

где аi = 2hi/ti2.

Рассчитать 1 и  М1 для груза массой m1 на шкиве радиусом  r1 по формулам  1 =  <a1>/r;   М1 = m1(ga)r - rmg.

Повторить вычисления для грузов массами m2 и m3 на шкиве радиусом r1. Вычислить и проверить постоянство отношения I = M/.

Далее повторить вычисления для шкива с радиусом r2.

Полученные результаты занести в табл. 3 и табл. 4.   

Построить график = f(M).

5.3. Определение зависимости от I при постоянном М

По результатам трёх опытов определить среднее время падения <t1> груза с высоты h для R1. Далее найти <t2> и <t3> для R2 и R3.

Рассчитать 1 и I1: 1 = 2h1/(<t1>2r1); I1 = Iо + 4mR12, где Iо - постоянная величина, рассчитанная в первой части работы.

Вычислить момент сил  М1 = I11.

Далее вычислить 2 и 3, I2 и I3, М2 и М3.

Проверить постоянство произведения Мэ = Iэ, полученного экспериментальным путём.

       Результаты расчётов занести в табл. 5.   

Построить график зависимости = f(I).

5.4. Определение погрешностей работы

Определить среднюю абсолютную погрешность измеряемых и расчётных величин t, I, a, ε, M по формулам типа

; ,

где , , … ,  - абсолютные погрешности результатов отдельных измерений времени падения груза;  - результаты измерений;  - среднее значение величины t, полученное в результате n измерений; аналогично для других величин.

Рассчитать относительные  погрешности для каждой величины по формуле вида

  Δt = <Δt>/<t>.

Записать результаты в виде t = <t> ± <Δt>; I = <I> ± <I> и т.д.

В случае однократного измерения величины (задание 2) погрешность принять равной половине цены деления прибора (электронного блока), т.е. взять погрешность равной 0,0005. В таблицу заносить результат в виде .

Контрольные вопросы

  1.  Дать определение угловой скорости и углового ускорения тела; как они связаны с линейными величинами, характеризующими движение отдельных точек этого тела?
  2.  Вывести второй закон динамики для вращательного движения, объяснить разницу в действии внешних и внутренних сил.
  3.  Сформулировать закон сохранения момента импульса.
  4.  Вывести рабочую формулу и объяснить влияние сил трения.

ЛИТЕРАТУРА
Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1990.
Зисман Г. Д., Тодес О. М. Курс общей физики.-  М.: Наука, 1972. . Т.1
Яворский Е. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1980.

Правила по технике безопасности

  1.  К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с её устройством, принципом действия и мерами безопасности.
  2.  Для обеспечения нормальной работы установки и предотвращения выхода из строя фотодатчика, подключение установки к электронному блоку производить строго в соответствии с описанием.
  3.  Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать её только на горизонтальной поверхности.

Лабораторная работа утверждена на заседании кафедры от

31 августа 2007 г. протокол №1.

Заведующий кафедрой №12

Д.т.н. профессор                                                              Горин С.В.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70385. Совместимы ли русский национальный характер и модернизация? 1.54 MB
  Показано что детерминированные модели общественного развития базирующиеся на особенностях природной среды и историческом опыте народа имеют крайне ограниченное применение и объясняющую способность. Успенского до современных писателей подталкивают читателя к мысли что менталитет...
70388. Трудовой конфликт. Конгруэнтная эмпатия 118.31 KB
  Полностью согласен с экспертом в том что потенциальный трудовой конфликт начинается с момента подбора персонала. Как правило если нацеленного на конфликт проблемного сотрудника все же приняли руководствуясь тем что он очень понравился руководителю война начинается достаточно быстро.
70389. «Звезды» могут и гаснуть на время... 62 KB
  Личный опыт говорит о том что нельзя нанимать человека на работу руководствуясь симпатиями к нему со стороны руководителя. Любой руководитель который выбирает себе любимчиков рано или поздно понимает что такой подход неэффективен что он вредит бизнесу.
70390. А что вы будете делать, когда сотрудник перестанет вам нравиться? 76.76 KB
  А что вы будете делать когда сотрудник перестанет вам нравиться Начнем с фильтров которые ставит на момент собеседования специалист по персоналу. И наоборот: слишком строгий отсев может привести к тому что вы не увидите в массе песка золотую песчинку.
70392. Деловое общение 52 KB
  Дисциплина «Социально-психологические основы общения», развивающая искусство делового общения, основанного на знании психологических особенностей и применении психологических методов, необходима специалистам, работа которых предполагает постоянные контакты типа «человек— человек»...