32786

Изучение законов колебания математического и физического маятников

Лабораторная работа

Физика

Определить положение центра масс физического маятника. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом образованным нитью с вертикалью рис. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент силы тяжести равный по модулю произведению силы mg на её плечо = l sin : M = mgl sin где m масса; l длина маятника. 1 Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения обозначив угловое...

Русский

2013-09-05

251.5 KB

27 чел.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «Севмашвтуз» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт – Петербургский государственный морской технический университет» 

в г. Северодвинске

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

ФАКУЛЬТЕТ: IV

КАФЕДРА: ФИЗИКИ

                                                                                                                                                                                       

          

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Изучение законов колебания математического и физического маятников

Северодвинск

2007

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ФМ - 13

Изучение законов колебания математического и физического

маятников

1. Цели  работы

1. Изучить теорию гармонических колебаний математического и физического маятников.

2. Определить ускорение свободного падения.

3. Определить период собственных колебаний математического и физического (оборотного) маятников.

3. Определить положение центра масс физического маятника.

2. Основные теоретические положения

 

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято раз-личать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему из невесомой и  нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным  нитью с вертикалью (рис. 1).

При отклонении  маятника от положения равновесия возникает вращательный момент силы тяжести , равный по модулю произведению силы  mg  на её плечо = l sin :

|M| = mgl sin ,

где m - масса; l - длина маятника.

Момент M стремится вернуть маятник в положение равновесия и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту M и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид

     M = - mgl sin.                                  (1) 

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, обозначив угловое ускорение через  и учитывая, что момент инерции маятника равен

                            I = ,

получаем

Iε =  M     или   = - mgl sinφ.

Последнее уравнение можно привести к виду

+  sin = 0 .                                                 (2)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить sin.

Введя, кроме того, обозначение

= ,                                                         (3)

придем к уравнению

+ = 0,                                                    (4)

решение которого имеет вид

        = cos(t + ).                                    (5)

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (3), частота собственных колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника. Учитывая, что

,

с учётом (3) получаем формулу для периода колебаний математического маятника:

Т = 2.                                                    (6)

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении физического маятника от положения равновесия на угол  возникает вращающий момент M силы тяжести, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

M= - mga sin,

где m - масса маятника; a - расстояние между точкой подвеса т. О и центром масс т. С маятника (рис. 2 ). Знак “-“ имеет то же значение, что и в случае формулы (1).

Обозначив момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, запишем для него основное уравнение динамики вращательного движения:

=  M    или      I= - mga sin.           (7)

В случае малых колебаний (7) переходит в известное нам уравнение

+  = 0.

Через  обозначена в данном случае величина 

                            = mga/I.                                   (8)

Из уравнений (7) и (8) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром масс маятника. В соответствии с этим период колебаний физического маятника определяется выражением: 

Т = 2.                                                   (9)

Из сопоставления формул (6) и (9) получается, что математический маятник с длиной l, равной

l = =                                                       (10)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину  называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см.точку О' на рис. 2).  Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания О' приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться.

Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно . Измерив период колебаний маятника и зная , можно из формулы 

Т = 2.                                             (11)

найти ускорение свободного падения g.

3. Схема экспериментальной установки

       Установка представлена на рис. 3 и включает в свой состав: 1 – основание; 2 - вертикальную стойку; математический и физический (оборотный) маятники, имеющие узлы подвеса на верхнем кронштейне 3; 4 - кронштейн  для установки фотодатчика; 5 - фотодатчик.

Основание 1 снабжено тремя регулируемыми опорами 6 и зажимом 7 для фиксации вертикальной стойки 2. Вертикальная стойка 2 выполнена из металлической трубы, на которую нанесена миллиметровая шкала.

Математический маятник имеет бифилярный подвес, выполненный из капроновой нити 8, на которой подвешен груз в виде металлического шарика 9, и устройство 10 для изменения длины подвеса маятника.

Физический (оборотный) маятник имеет жесткий металлический стержень 11 с рисками через каждые 10 мм для отсчета длины, две призматические опоры 12, два груза 13 с возможностью перемещения и фиксации по всей длине стержня.

Узлы подвески математического и физического (оборотного) маятников расположены на диаметрально противоположных относительно вертикальной стойки 2 сторонах кронштейна 3.

Кронштейн 4 имеет зажим для крепления на вертикальной стойке 2 и элементы фиксации фотодатчика. 

Установка работает от блока электронного ФМ 1/1 (далее-блок), который в комплект поставки не входит.

     

4. Вывод рабочей формулы                                         

В соответствии с формулой (6) для периода математического маятника при длине подвеса l, период колебаний Т будет равен

Т = 2,

откуда получаем формулу для расчета  ускорения свободного падения g:

g = .                                                     (12)

Выведем формулу для определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Пусть - приведенная длина физического маятника, тогда в соответствии с определением период колебаний такого маятника будет равен периоду колебаний математического маятника с длиной подвеса , т.е Т = 2. Отсюда выразив g, получим рабочую формулу, аналогичную (12):

g =.                                                   (13)

5. Порядок проведения лабораторной работы

Произвести подготовку электронного блока ФМ 1/1 к работе.

5.1. Определение ускорения свободного падения

5.1.1. Определение g с помощью математического маятника

1. Подключить фотодатчик к блоку при помощи кабеля. Вилку с маркировкой "Ф" вставить в розетку фотодатчика. 

2. Произвести регулировку положения основания при помощи регулировочных опор, используя для визуального наблюдения в качестве отвеса математический маятник.

3. Снять физический (оборотный) маятник с верхнего кронштейна. Установить нижний кронштейн с фотодатчиком в крайнее нижнее положение шкалы так, чтобы плоскость кронштейна, окрашенная в синий цвет, совпала с одной из рисок шкалы.

4. Установить верхний кронштейн таким образом, чтобы шарик 9 математического маятника оказался в рабочей зоне фотодатчика. При помощи устройства 10 добиться такого положения шарика, при котором его центральная риска будет совпадать по высоте с риской на фотодатчике.

5. По шкале вертикальной стойки определить длину математического маятника l.

6. Нажать кнопку "СЕТЬ" блока. При этом должно включиться табло индикации.

7. Отвести рукой шарик математического маятника на угол =  и отпустить его.

8. Нажать кнопку "ПУСК" на блоке и убедиться, что он регистрирует число (левое табло) и время (правое табло) колебаний маятника. Нажать кнопку "СТОП" на блоке и убедиться, что отсчет времени и количества периодов колебаний прекращается в момент окончания очередного периода колебаний. Нажать кнопку "СБРОС" на блоке.

9. Привести математический маятник в колебательное движение, отклонив металлический шарик на угол =, после чего нажать кнопку "ПУСК" на блоке. По показанию таймера определить значение времени (t) 60 колебаний маятника, нажав кнопку "СТОП".

10. Передвигая вверх кронштейн с фотодатчиком на 20 мм и 40 мм от начального положения, при помощи устройства 10 добиться такого положения шарика, при котором его центральная риска будет совпадать по высоте с риской на фотодатчике. Повторить эксперимент два раза.

11. Результаты измерений занести в табл. 1.

Табл. 1

№ опыта

длина маятника l, м

время колебаний t, с

1

2

3

5.1.2. Определение  g с помощью оборотного маятника

1. Укрепить призматическую опору 12 на расстоянии около 120 мм от конца стержня 11 физического (оборотного) маятника и два груза 13 в положениях, обозначенных на рис. 3.

2. Подвесить оборотный маятник на одной из призматических опор. Повернуть верхний кронштейн на 180 градусов так, чтобы стержень маятника находился в рабочей зоне фотодатчика. 

3. Нажать кнопку "СБРОС" на блоке. Отклонив маятник на угол , нажать кнопку "ПУСК" на блоке и без толчка отпустить маятник. По показанию таймера определить значение времени () 30 колебаний маятника.

4. Повернуть маятник и подвесить его на другой призматической опоре.

5. Нажать кнопку "СБРОС" на блоке. Отклонив маятник на угол , нажать кнопку "ПУСК" на блоке и без толчка отпустить маятник. По показанию таймера определить значение времени () 30 колебаний маятника.

6. Перемещением призматических опор и грузов на стержне добиться совпадения  и с точностью примерно 0,5 %.

7. Определить расстояние между призматическими опорами при помощи линейки.

5.2. Определение периодов собственных колебаний и положения центра масс физического маятника

  1.  Установить грузы 13 в произвольном положении на стержне 11 физического (оборотного) маятника (см. рис. 3).
  2.  Определить время колебаний оборотного маятника  и  в соответствии  с с изложенной выше методикой (сначала на одной призматической опоре, затем перевернув его).
  3.  Занести данные в табл. 2.

4. Измерить расстояние L между призматическими опорами при помощи металлической линейки.

Табл. 2

Время колебаний

, с

, с

6. Обработка экспериментальных данных

  1.  На основании данных табл. 1 рассчитать период колебаний:

,

где i = 1, 2, 3 – номер опыта, N = 30 – число колебаний.

Вычислить ускорение свободного падения g по рабочей формуле (12):

=,

здесь i = 1, 2, 3.

 Рассчитать среднее значение :

= .

  1.  По определенному в п. 1.2 значению  рассчитать по рабочей формуле (13) ускорение свободного падения:

g =,

где Т = , N = 30.

  1.  По данным табл. 3 определить периоды колебаний , .
    1.  Произвести расчет погрешности определения ускорения свободного падения с помощью коэффициентов Стьюдента:

По найденным   рассчитать Δ:

Δ=|-|

Далее найти:

,

здесь n – число измерений (n=3).

Надежность измерений принять равной α = 0,95, в этом случае = 4,30. Рассчитать :

=.

Ответ записать в виде:

g = .

Контрольные вопросы

1. Какой маятнмк называется математическим, физическим?

2. От чего зависит частота колебаний математического маятника?

3. Каковы особенности оборотного маятника?

4. Как можно определить центр масс физического маятника?

5. Вывести формулы периода математического и физического маятников.

ЛИТЕРАТУРА
Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1990.
Зисман Г. Д., Тодес О. М. Курс общей физики.-  М.: Наука, 1972. . Т.1
Яворский Е. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1980.

Указания мер техники безопасности

1. К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с ее устройством, принципом действия и мерами безопасности в соответствии с требованиями, приведенными в настоящем работе.

2. Для обеспечения нормальной работы установки подключение установки к блоку электронному производить строго в соответствии с описанием, приведенном в разделе IV.

3. Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать ее только на горизонтальной поверхности.

Лабораторная работа утверждена на заседании кафедры от

31 августа 2007 г. протокол №1.

Заведующий кафедрой №12

Д.т.н. профессор                                                              Горин С.В.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78172. Драйвер клавиатуры 59 KB
  При выполнении лабораторной работы мы познакомились с механизмом обработки прерываний системыMSDOS, механизмом обработки прерываний от клавиатуры.
78173. Построение нелинейных регрессионных моделей в системе STATISTICA 228 KB
  Данная проверка выполнялась с помощью F-теста Фишера. Полученная F-статистика (F=4276,5- см.выше) сравнивалась с критическими значениями ( - из таблиц). Так как полученная статистика больше критических значений в обоих случаях, то следует отклонить гипотезу об отсутствии зависимости между переменными.
78174. Дослідження електричного вібратора та плоских електромагнітних хвиль 83 KB
  В лаораторній роботі ми експериментально визначили діаграми спрямованості елекричного вібратора, дослідили відбивання плоских ЕМХ від межі розділу діелектрик-провідник, діелектрик-поглинаюче покриття. Побудували графік залежностей визначених величин від кута падіння.
78175. Дослідження мережі масового обслуговування аналітичними методами 982 KB
  Стохастична мережа масового обслуговування (МО) - це сукупність взаємозалежних систем масового обслуговування (СМО), у якій заявки з визначеною ймовірністю переходять з однієї СМО в іншу. Кожна СМО - це одне або декілька обслуговуючих пристроїв з чергою.
78176. Работа в текстовом процессоре MS Word 873.5 KB
  Основная цель обработки текстов – придание ему легко воспринимаемого вида, т.е. стандартизация начертания символов, разделение на абзацы и т.п. Тексты обрабатывались еще с древних времен писцами, а изобретение книгопечатания считается второй информационной революцией в развитии цивилизации
78177. Разработка программ методом пошаговой детализации 41.5 KB
  Под структурным программированием понимают такие методы разработки и записи программы, которые ориентированы на максимальные удобства для восприятия и понимания ее человеком
78178. Разработка программ с использованием Unit 61 KB
  Модуль – программная единица, текст которой компилируется независимо (автономно). Структура модуля позволяет использовать его как своеобразную библиотеку описаний. Модули являются достаточно гибким и удобным инструментальным средством при разработке больших программах комплексов рамках совместной технологии разработки программного обеспечения
78179. Разработка программ обработки строк, множеств и записей 192 KB
  Количество символов в строке длина строки может динамически изменяться от 0 до 255. Для определения данных строкового типа используется идентификатор String за которым следует заключенное в квадратные скобки значение максимально допустимой длины строки данного типа. Если это значение не указывается то по умолчанию длина строки равна 255 байт. Формат описания строкового типа Type имя типа...
78180. Разработка программ с использованием методов сортировки 77 KB
  Изучить основные приемы программирования по написанию программ с использованием сортировок включением, выбором и обменных сортировок. Согласно своему варианту разработать программу с применением одного из методов сортировки массивов.