3344

Маятник Максвелла

Лабораторная работа

Физика

Цель работы. На примере маятника Максвелла познакомиться с вычислением и экспериментальным измерением момента инерции цилиндрического твердого тела относительно оси симметрии. Оборудование. Маятник Максвелла. Темы для изучения. В лаборат...

Русский

2012-10-29

537 KB

189 чел.

Цель работы.

На примере маятника Максвелла познакомиться с вычислением и экспериментальным измерением момента инерции цилиндрического твердого тела относительно оси симметрии.

Оборудование.

  1.  Маятник  Максвелла.

Темы для изучения.

В лабораторной работе на примере маятника Максвелла рассмотрены законы поступательного и вращательного движения, получена рабочая формула для расчета момента инерции маятника Максвелла, приведено описание экспериментальной установки я порядка измерения на ней момента инерции маятника.

Лабораторная работа предназначена для студентов, выполняющих общий физический практикум в лаборатории механики.

Краткая теория.

Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, ось которого подвешена на двух накрученных на нее нитях (рис. 1).

Если маятник отпустить, то он будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска" вокруг оси.

Силы, действующие на маятник, указаны на рис. 2.

Для описания движения маятника Максвелла удобно выбрать систему отсчета, связанную с центром масс маятника и имеющую одну ось, направленную вниз.

Центром масс системы называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется выражением

                                                      (1) (I)

где т - масса системы, - массы материальных точек, составляющих эту систему,  - их радиусы векторы. Величина  скорость движения этой воображаемой точки. Импульс системы с учетом (I) записывается в виде

,

то есть представляет собой произведение массы системы на скорость ее центра масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. Таким образом, за движением центра масс можно следить, как за движением материальной точки. Исходя из этого, движение центра масс маятника Максвелла можно описать уравнением:

                          (2)

где m - масса маятника, - линейное ускорение центра масс, - результирующая сила натяжения обеих нитей.

Вращательное движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения, имеющий вид:

                                                   (3)

где  - момент инерции,  - результирующий момент сил, действующих на маятник относительно некоторой точки, лежащей да оси вращения, - угловое ускорение. Под вектором угла      понимают вектор, по модули равный углу поворота и направленный вдоль оси вращения так, чтобы с его начала поворот наблюдался происходящим по часовой стрелке.

Моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называют величину       

             ,                    (4) (4)

где - массы материальных точек, составляющих это тело, - расстояние от этих точек до оси вращения. Следовательно, момент инерции характеризует распределение массы тела относительно оси вращения. Из (4) видно, что момент инерции - величина аддитивная, то есть момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Если вещество в ней распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

            ;                        (5) (5)

где r - расстояние от элементарной массы dm.

до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Маятник Максвелла можно представить в виде совокупности полых цилиндров и сплошного цилиндра - оси маятника. Рассчитаем,   моменты инерции таких тел. Любое из этих тел можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R  на концентрические слои толщиной dr . Пусть радиус какого - то слоя r, тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

,

где dV - объем слоя, h - высота цилиндра,  - плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя находятся на расстоянии r от оси, следовательно, момент инерции этого слоя

Момент инерции всего цилиндра найдется интегрированием по всем слоям:

             (6)

Так как масса цилиндра, то момент инерции сплошного цилиндра будет равен

                                                            (7)

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус , а внешний можно вычислить также по формуле (6), изменив в интеграле пределы интегрирования

Замечая, что масса полого цилиндра

   , запишем момент инерции полого цилиндра следующим образом:

                                      (8) - (8)

Однако, аналитическое вычисление интегралов (5) возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы находят численно, либо используют косвенные методы определения момента инерции.

Для нахождения момента инерции маятника Максвелла относительно его оси вращения можно воспользоваться уравнениями движения,

(2), (3).

Для решения дифференциальных уравнений (2) и (3) перейдем от векторной формы к скалярной. Спроектируем уравнение (2) на ось» совпадающую с направлением движения центра масс маятника. Тогда оно примет вид:

                                           (9)

Рассмотрим проекции векторов  и на ось координат, совпадающую с осью вращения и направленную по .

Составляющая момента силы относительно точки вдоль оси, проходящей через эту точку, называется моментом силы относительно

оси.

Вектор можно записать следующим образом;

,

где - единичный вектор, направленный вдоль, а 5. Тогда угловое ускорение

так как направление вектора ^ при опускании маятника со временем не меняется.

Таким образом, уравнение (З) спроектируется, на ось вращения следующим образом:

                                                                                      (10)     (10)

где  - радиус оси диска,  на которую намотана нить, - угловое ускорение диска. Так как центр масс опускается на столь ко, на сколько раскручивается нить, то его перемещение x связано с углом, поворота соотношением

Дифференцируя это соотношение дважды, получим

                                                            (11)

Совместное решение уравнений (9) - (11) дает следующие выражения для линейного ускорения центра масс системы и результирующей силы натяжения:

                                ,                        (12)

                                 (13)

Из (12), (13) видно, что ускорение диска и сила натяжения нити постоянны и ускорение всегда направлено вниз. Следовательно, если при опускании маятника координату его центра масс отсчитывать от точки его закрепления, то со временем координата будет меняться по закону

                              (14)

Подставляя (14) в (12), подучим для момента инерции маятника Максвелла следующее выражение

     ,  где                                                    (15)

В него входят величины, которые легко экспериментально измерить: - внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески, t - время опускания маятника, x - расстояние, пройденное центром масс маятника, m.  - масса маятника, которая складывается из массы оси маятника, массы диска и массы кольца, надетого на диск. Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески

определяется по формуле

                                                   (16)

где  D  - диаметр оси маятника,  - диаметр нити.

Механическая конструкция прибора.

Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 3. Основание I оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и вороток 8 для закрепления и регулирования длины нити подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в избранном положении.

Маятник 10 - это диск, закрепленный на оси, на который надеваются кольца 11, изменяя таким образом момент инерции системы.

Маятник с надетым кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина нити маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора. Фотоэлектрические датчики соединены с миллисекундомером. Вид передней панели секундомера 12 представлен на рис. 4.

На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие ручки управления

"СЕТЬ" - выключатель сети. Нажатие этой клавиши включает напряжение питания. При этом на цифровых индикаторах высвечиваются нули, и включаются лампочки фотоэлектрических датчиков.

"СБРОС" - установка нуля секундомера. Нажатие этой клавиши вызывает сброс электронных схем миллисекундомера, на цифровых индикаторах высвечиваются нули.

"ПОТ" - управление электромагнитом. При нажатии этой клавиши выключается электромагнит, в схеме миллисекундомера генерируется импульс разрешения на измерение времени.

Выполнение работы.

Нижний кронштейн прибора передвинуть и зафиксировать в крайнем нижнем положений.

На диск маятника надеть одно из колец, прижимая его до упора.

Освободить гайку воротка для регулирования длины нити подвески. Подобрать длину нити таким образом, чтобы край стального кольца после опускания маятника находился на два миллиметра ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы ось его была параллельной основанию прибора. Зажать вороток.

Нажать клавишу "СЕТЬ".

Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она намоталась равномерно, виток к витку.

Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая внимание на т.о., чтобы нить в этом положении не была слишком скручена.

Повернуть маятник в направлении его будущего вращения на угол около 5°.

Нажать клавишу "СБРОС".

Нажать клавишу "ПУСК".*

Прочитать измеренное значение времени падения маятника.

Повторить измерения десять раз для определения среднего времени падения маятника.

По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину нити маятника.

Измерив диаметры нити и оси маятника D  в различных сечениях, найдите средние значения этих величин и по ним определите по формуле (16) диаметр оси вместе с намотанной на ней нитью. Для измерения  D и  можно использовать микрометр.

Определите массу маятника вместе с надетым кольцом. Значения масс отдельных элементов нанесены на них.

По формуле (15) определите момент инерции маятника Максвелла. Вычислите" момент инерции маятника теоретически, используя формулы (7), (8), и сравните полученный результат с величиной, рассчитанной по формуле (15).

Повторите измерения для двух оставшихся колец.

Доверительный интервал  можно рассчитать по формуле

где △D,,t, x - доверительные интервалы для прямых измерений величин D, , t и x, учитывающие как случайные, так и систематические погрешности. Способы расчета этих величин приведены в пособии Л.П.Китаевой "Рекомендации по оценке погрешностей измерений в физическом практикуме".

Техника безопасности.

При работе с прибором необходимо соблюдать правила безопасности, относящиеся к устройствам, в которых используется напряжение до 250 вольт. Эксплуатация прибора допускается только при наличии заземления.

Контрольные вопросы.

  1.  Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек.
  2.  Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек.
  3.  Запишите уравнения движения маятника Максвелла.

  1.  Как меняются ускорение, скорость и сила натяжения нитей при движении маятника?

Как меняется механическая энергия маятника Максвелла при его движении?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65332. ОДНОФАЗНI ПЕРЕТВОРЮВАЧI ЗМIННОЇ НАПРУГИ НА ПОСТIЙНУ З КОРЕКЦIЄЮ КОЕФIЦIЄНТА ПОТУЖНОСТI ТА ГАЛЬВАНІЧНИМ ЗВ’ЯЗКОМ ВХОДУ З ВИХОДОМ 346 KB
  Останнім часом все більше електроенергії споживається за допомогою систем електроживлення СЕЖ з ланкою постійної напруги. Перспективним вирішенням зазначеної проблеми при якому також покращується комплекс техніко-економічних показників...
65333. ДЕРЖАВНИЙ КОНТРОЛЬ В СИСТЕМІ УПРАВЛІННЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНІМИ НАВЧАЛЬНИМИ ЗАКЛАДАМИ 611 KB
  Україна проходить складний і незворотний шлях державного та громадянського становлення. Реалізується стратегія забезпечення прискореного та випереджального розвитку освіти і науки, створюються умови для самоствердження...
65334. Створення генетичних джерел групової расоспецифічної стійкості проса до сажки (Sorosporium destruens (Schlecht) Yanki) 329 KB
  Актуальність теми обумовлена обмеженістю в існуючому світовому генофонді проса генетичних джерел стійкості до окремих рас сажки та відсутністю джерел одночасної стійкості до різних груп патотипів збудника цього захворювання.
65335. Розвиток і реалізація технології, методів розрахунку й управління параметрами процесів виробництва холоднокатаних штаб із високою площинністю та якісною поверхнею 1.08 MB
  Інтенсифікація швидкісних режимів холодної прокатки й зменшення середньої товщини холоднокатаних штаб у сортаменті більшості станів посилили вплив динамічного і температурного факторів процесу на показники якості готових штаб.
65336. Обґрунтування параметрів транспортно-технологічних схем проведення дільничних виробок при розширенні меж шахтних полів 1.73 MB
  Проблема доробки запасів біля меж шахтних полів особливо актуальна для шахт Західного Донбасу, виробничі потужності яких обмежені порівняно низькою вугленосністю родовища, нерівномірним розповсюдженням робочої потужності пластів...
65337. УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ ПРОФЕСІЙНОГО НАВЧАННЯ ДЕРЖАВНИХ СЛУЖБОВЦІВ В УКРАЇНІ: ТЕОРЕТИКО-ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ АСПЕКТ 237.5 KB
  Успіх перетворень залежить насамперед від професіоналізму державних службовців їх ефективної діяльності на всіх рівнях управління практичного впровадження ними інноваційних форм і методів роботи. Вирішення проблеми можливе за умови системного підходу...
65338. ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ ТА РОЗРОБКА ТЕХНОЛОГІЇ ЕЛЕКТРОШЛАКОВОГО ЛИТТЯ КОРПУСІВ ФЛАНЦЕВОЇ АРМАТУРИ ВИСОКОГО ТИСКУ 7.98 MB
  Метою роботи було розвязання важливої народногосподарської задачі що полягає в створенні в Україні ефективного промислового виробництва високоякісних заготовок корпусів фланцевих засувок для видобутку нафти і природного газу з великих глибин методами електрошлакової технології.
65339. Оптимізація керування рухом судна в штормових умовах 556 KB
  Незважаючи на певні досягнення в теорії та практиці управління судном, погодні умови, як і раніше, залишаються одним з найбільш значущих факторів, що безпосередньо впливають на економічну ефективність та безпеку судноплавства.
65340. Формування субмікрокристалічної структури і властивостей металів методами комбінованої пластичної деформації 8.16 MB
  Аналіз стану питання показує, що одним із перспективних напрямків досліджень є вивчення впливу комбінованої пластичної деформації зі зсувом на формування структури і комплексу механічних властивостей металевих матеріалів.