3345

Сборник лабораторных по физике

Лабораторная работа

Физика

Определение момента инерции тела при помощи крутильных колебаний Целью работы является определение момента инерции диска путем сравнения периода его крутильных колебаний с периодом колебаний системы, состоящей из этого же диска и кольца. ОПИСАНИЕ УС...

Русский

2012-10-29

730 KB

305 чел.

Определение момента инерции тела при помощи крутильных колебаний

Целью работы является определение момента инерции диска путем сравнения периода его крутильных колебаний с периодом колебаний системы, состоящей из этого же диска и кольца.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Как известно [1], моментом инерции тела относительно некоторой оси называется сумма моментов инерции его материальных точек относительно этой же оси, т.е.

  (1)

где r - расстояние элемента тела с массой dm от оси вращения.

Схема установки представлена на рисунке, изображенном ниже.

Рис. 1

Если к диску (или к системе диск-кольцо) приложить пару сил в горизонтальной плоскости, то система повернется на некоторый угол , а затем вследствие упругости проволоки, начнет совершать гармонические крутильные колебания, период которых определяется моментом инерции системы и модулем кручения проволоки.

Уравнение этих колебаний можно записать так:

  (2)

где 0 - циклическая частота колебаний, равная ,

 k - модуль кручения проволоки.

Следовательно, период крутильных колебаний

  (3)

Пусть Т1 - период колебаний диска, подвешенного к проволоке (см. рисунок), тогда из выражения (3)

  (4)

где J1 - момент инерции диска.

Период колебаний Т2 системы, состоящей из того же диска и кольца, положенного на диск, по аналогии можно определить формулой

  (5)

где J2 - момент инерции кольца относительно оси вращения, проходящей через его геометрический центр перпендикулярно его плоскости (т.е. относительно проволоки).

Значение момента инерции кольца J2 вычисляется по формуле

  (6)

где m - масса кольца,

     R и r - соответственно его внешний и внутренний радиусы.

Деля выражение (4) и (5) друг на друга, получим

  (7)

Учитывая в этом выражении значение момента инерции J2 из формулы (6), находим для момента инерции диска

  

Так как при выполнении работы фактически измеряются не радиусы R и r, а соответствующие диаметры D и d, то последнее выражение лучше представить в виде

  (8)

Соотношение (8) является окончательным расчетным выражением данной работы.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Снять разрезное кольцо с диска. Осторожно, стараясь не отклонять проволоку от вертикали, повернуть диск к горизонтальной плоскости на угол примерно 900 и отпустить его. Диск начнет совершать гармонические колебания. Измерить по секундомеру время t1, за которое диск совершает n полных колебаний (взять n = 20). Измеряемый период колебаний диска Т1 = t1/n. Измерения периода колебаний Т1 повторить до получения пяти его значений. Полученные результаты занести в таблицу результатов измерений.

Примечание. Отсчет времени t1 по секундомеру следует начинать после того, как диск совершит три-четыре первых колебания, в течение которых они выходят на установившийся режим.

2. Положить кольцо на диск так, чтобы их оси вращения совпадали (см. рис. 1). Повернуть руками систему на угол 900 и, отпустив ее, определить период колебаний системы Т2 = t2/n (n = 20). Повторить измерения периода Т2 до пяти раз и полученные значения T2i занести в таблицу результатов измерений.

Таблица

Номер опыта

Т1i, 

с

Т1i,

с

(Т1i)2,

с2

Т2i,

с

Т2i,

с

(Т2i)2, с2

                      D =  ,       d =  ,       m =

3. Измерить штангенциркулем внешний D и внутренний d диаметры кольца. Полученные (однократные) измерения этих величин указать с их погрешностями рядом с таблицей, как показано выше.

4. Подставив средние значения измеренных величин в соответствие (8), вычислить предварительный результат для момента инерции диска J1 с точностью до трех значащих цифр.

5. Вычислить доверительные погрешности измеренных значений  каждой  из  величин,  т.е.  подсчитать  Т1,   Т2,  D  и  d (D = d) для доверительной вероятности Р = 0,68. Погрешность массы кольца m, как и само ее значение, указаны на установке.

6. По рабочей формуле относительной погрешности, подготовленной заранее, вычислить с точностью до двух значащих цифр значение относительной  погрешности E(J1) = J1/J1 и из этой формулы найти доверительную погрешность результатов измерений J1 =J1 Е(J1) c доверительной вероятностью Р = 0,68. Полученное значение погрешности J1 округлить до одной значащей цифры.

7. Округлив предварительный результат, записать его окончательное выражение в виде

  Р = 0,68.

Сделать необходимые заключения и выводы в письменном виде.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Как определить момент инерции материальной точки, тела?

2. В каких единицах измеряется момент инерции?

3. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердых тел?

4. Какие свойства тел характеризует их момент инерции?

5. Напишите уравнение гармонического колебания.

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §38,39,50.
  2.  Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 30
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДГО ТЕЛА
И ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения.

Основной закон динамики вращательного движения записывается в виде

  (1)

где - результирующий момент внешних сил, действующих на тело; - угловое ускорение тела,  J - момент инерции тела.

Проектируя уравнение (1) на ось Z, получим

  (2)

где Mz - результирующий момент внешних сил относительно оси Z; z - угловое ускорение тела при вращении относительно оси Z; Jz - момент инерции тела относительно оси Z.

Момент инерции тела в динамике вращательного движения играет такую же роль, как и масса тела в динамике поступательного движения, то есть является мерой инерции тела при вращении.

Величина момента инерции тела зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения. В простейшем случае, когда вокруг оси на расстоянии r вращается материальная точка массы m, момент инерции ее относительно этой оси равен

  (3)

Момент инерции твердого тела числено равен сумме моментов инерции всех его точек

  (4)

где ri - расстояние от материальной точки массы mi до оси вращения, а суммирование идет по всем материальным точкам, на которые условно разбивается тело.

Момент инерции тел правильной геометрической формы в некоторых случаях легко рассчитать. На практике момент инерции тела можно найти экспериментально, пользуясь уравнением (2).

Из основного закона динамики вращательного движения следует, что угловое ускорение z, вызываемое моментом вил Мz, обратно пропорционально моменту инерции Jz. Если к телам с различными моментами инерции относительно данной оси приложить один и тот же момент сил Мz, то отношение угловых ускорений будет обратно пропорционально моментам инерции этих тел относительно данной оси

  (5)

Целью данной работы является определение моментов инерции крестообразного маятника и экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ  И  МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

В данной работе используется крестообразный маятник, упрощенная схема которого представлена на рис. 1. Крестовина, нагруженная четырьмя равными массами m1, может вращаться вокруг оси Z, перпендикулярной к плоскости рисунка. Вращающий момент М, приводящий крестовину в состояние ускоренного вращательного движения, создается силой натяжения нити, намотанной на шкив радиуса r.

Сила отлична от нуля до тех пор, пока груз массой m, не достигнет ограничительной площадки, находящейся на расстоянии Н от начального положения груза (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Нетрудно показать, что момент инерции крестообразного маятника Обербека можно найти из эксперимента, если известны масса груза m, радиус шкива r, перемещение груза Н и время перемещения t. Для этого рассмотрим динамику поступательного движения груза и вращательного движения маятника, учтя, что эти два элемента механической системы, в которую входит еще и Земля, движутся согласованно из-за связывающей их нити.

Запишем основной закон динамики поступательного движения для груза

В проекции на ось У

откуда

  (6)

Так как или T = T’, то момент силы относительно оси вращения равен

  (7)

где r - радиус шкива.

Угловое ускорение крестовины z равно ускорению шкива и связано с линейным ускорением точки, находящейся на его ободе, формулой

  (8)

Подставляя найденные значения Mz и z из равенства (7) и (8) в формулу (2), получим

  (9)

Линейное ускорение движущегося груза m можно найти применив формулу кинематики равноускоренного движения, учтя, что начальная скорость равна нулю

  (10)

где t - время движения груза m от начала движения до ограничительной площадки.

Из формулы (10)

  (11)

Подставляя (11) в (9), получим

  (12)

По формуле (12) можно рассчитать момент инерции крестообразного маятника, измерив высоту Н, время падения груза t, радиус шкива r и массу груза m.

Для проверки основного закона динамики вращательного движения следует определить момент инерции маятника для двух положений грузов m1, прилагая к системе один и тот же вращающий момент. Для этого грузы m1 устанавливают в двух фиксированных одинаковых для всех четырех грузов положениях, для которых определяют моменты инерции системы J1 и J2. В этом случае будет выполняться соотношение (5).

Помня, что

    

где и - линейные ускорения груза массы m, которые согласно формуле (11) определяются:

    

получим отношение J1 z/J2 z. С учетом того, что момент инерции груза m относительно Z гораздо меньше момента инерции маятника, искомое отношение будет равно

  (13)

Таким образом, проверка основного закона динамики вращательного движения сводится к проверке выполнения равенства (13).

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3.

Рис. 3

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. При всех выключенных кнопках на пульте установки включают вилку в электрическую сеть.

2. Помещают грузы m1 на расстоянии R1 (положение А от центра маятника, см. рис. 3).

3. Устанавливают чашечку с грузом m на определенной высоте, одновременно включая кнопку “Сеть”, тем самым включается электромагнит, фиксирующий положение маятника и груза. Затем нажимают кнопку “Сброс”.

4. Нажимают кнопку “Пуск” и держат ее нажатой до тех пор, пока чашечка не коснется упорной площадки. Затем записывают показания секундомера и ВЫКЛЮЧАЮТ кнопку “Сеть”. Пункты 3 и 4 повторяют 5-7 раз.

5. Радиус шкива r определяют штангенциркулем.

6. Подставляя t, m и r в формулу (12), определяют момент инерции маятника J1.

7. Помещают грузы m1 на расстоянии R2 (положение В от центра маятника). При этом чашечка устанавливается на той же высоте и с тем же самым грузом массой m. Определяют время движения груза m 5-7 раз и находят момент инерции маятника J2.

8. Зная J1 и J2, проверяют соотношение (13).

9. Определяют погрешность измерения.

  1.  Погрешность для J1 и J2 подсчитывают по правилам вычисления погрешностей косвенных измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Что такое момент инерции тела и какую роль он играет во вращательном движении?

2. Как определяется момент инерции твердого тела?

3. Как выражается основной закон динамики вращательного движения?

4. Выведите рабочую формулу для расчета момента инерции крестообразного маятника, используя закон сохранения энергии.

5. Выразите основной закон динамики вращательного движения через импульс момента сил, действующих на тело.

6. Можно ли для данной установки расчетную формулу (12) заменить приближенной формулой:

7. Какие ошибки, в основном, определяют точность экспериментального измерения момента инерции маятника в данной работе?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §38, 39, 50.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Целью работы является проверка закона сохранения механической энергии с помощью установки, называемой маятником Обербека.

ОПИСАНИЕ  УСТАНОВКИ  И МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

Закон сохранения механической энергии для изолированной системы, между частями которой действует только консервативные силы, может быть записан в виде [1]

  (1)

где Е - полная механическая энергия системы; Еk - ее кинетическая энергия; Еп - потенциальная энергия системы.

Выполнение закона сохранения энергии связано со свойством однородности времени - его симметрией по отношению к сдвигу начала отсчета времени.

Установка схематически изображена на рис. 1.

Прибор состоит из металлического крестообразного маховика, на концах которого закреплены четыре одинаковых груза массой m каждый. Маховик приводится во вращение прикрепленной к его валу нитью, на другом конце которой находится чашка для гирь.

Если на чашку поместить гирю массой М, то ее потенциальная энергия относительно уровня пола определится соотношением

  (2)

где Н - высота чашки с гирей над уровнем пола.

Под действием силы тяжести чашка с гирей начнет равноускоренно падать и потенциальная энергия гири будет переходить в кинетическую энергию ее самой и вращающегося маховика. При этом, в соответствии с законом сохранения механической энергии (1), для момента удара чашки с гирей о пол, можно записать

Рис. 1

  (3)

где Еk - кинетическая энергия падающей гири; Евр - кинетическая энергия вращающегося маховика с грузом.

При этом

  (4)

где  - скорость гири при ее соударении с полом.

Кинетическая энергия вращающегося маховика [2]

  (5)

где J - момент инерции маховика (вместе с грузами);  - угловая скорость вращения маховика в момент соударения гири с полом.

Учитывая выражения (2), (4), (5) в соотношении (3), имеем

  (6)

В работе проверяется справедливость соотношения (6) путем вычисления разности Е ее левой и правой частей

  (7)

Используя известные формулы кинематики поступательного движения, имеем

  (8)

где t - время падения гири с высоты Н.

Из равенства (8) следует, что

  (9)

Тогда

  (10)

где R - радиус вала маховика и D = 2 R - его диаметр.

Учитывая полученные результаты в выражении (7), получаем

  

или окончательно

  (11)

Момент инерции маховика с грузом может быть определен по формуле

  (12)

где r - расстояние от оси вращения до элемента массой dm;  - плотность материала; dV - элемент объема, массой dm.

В данной работе следует принять J = (2,8  0,1)10-2 кгм2.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Измерить штангенциркулем диаметр вала маховика D. Полученные результаты занести в прилагаемую таблицу записи результатов наблюдений, в которой предусмотрена их частичная обработка.

2. Поместить на чашку гири (разновесы) массой от 200 до 400 г (по указанию преподавателя) и зафиксировать по измерительной шкале высоту Н чашки над полом. Рекомендуется брать Н= 1-1,2 м.

3. Привести систему в движение, одновременно включить секундомер. В момент соударения чашки с полом секундомер выключить. Время t падения с гирями с высоты Н измерить не менее пяти раз. Полученные результаты занести в таблицу.

Таблица

Номер опыта

Di,

мм

Di, мм

(Di)2

ti,

c

ti,

c

( ti)2

  D =   (Di)2 =  t =  ( ti)2=

4. Вычислить значения доверительной погрешности D, t, Н, М (ускорение свободного падения g в данной работе допустимо считать постоянным g = 9,8 м/с2).

  P = 0,68;

   P = 0,68;

 М = Р   Мпр;   Н = Р   Нпр, где Р = 0,68, а предельные погрешности  Мпр и  Нпр определяются по таблице предельных погрешностей лабораторных приборов и инструментов.

5. По соотношению (11) с точностью до 3-4 значащих цифр вычислить предварительное значение разности Е.

6. По подготовленной заранее формуле для доверительной погрешности ( Е) вычислить погрешность ( Е) с точностью до одной значащей цифры, указав ее доверительную вероятность (Р = 0,68).

7. Округлить полученное значение погрешности и предварительного результата измерения. Записать результат измерения величины Е в виде

   P = 0,68.

8. Проанализировать полученный результат и сделать (в письменном виде) необходимые выводы.

Возможен также более простой вариант обработки результатов измерений данной работы, когда находят порознь величины начальной потенциальной энергии Е1 = М g Н и конечной кинетической энергии и их погрешности  Е1 и  Е2. При этом следует иметь в виду, что при вычислении погрешности энергии Е2 (но не самого ее значения!) вторым членом суммы в скобках можно пренебречь вследствие его малости по сравнению с первым (проверьте это утверждение и объясните его физический смысл).

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Для каких систем он справедлив?

2. Как определяется момент инерции материальной точки, твердого тела?

3. Как выражается кинетическая энергия падающего груза, вращающегося механизма?

4. Какова взаимосвязь линейной скорости падения чашки с грузом и угловой скорости вращения маховика?

5. Почему в производимых в работе расчетах не учитывается вес чашки?

1. Астахов А.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1977, т. 1, § 31, 33.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §18,21,24,39.

3. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Целью данной лабораторной работы является определение момента инерции твердых тел различной формы методом наблюдения крутильных колебаний.

Момент инерции - это физическая величина, определяющая его инерционные свойства при вращательном движении. Момент инерции твердого тела относительно некоторой неподвижной оси - скалярная величина, равная сумме моментов инерции его материальных точек относительно этой же оси, т.е.

  (1)

где ri - расстояние материальной точки массой m1 от оси вращения (радиус ее вращения). Суммирование ведется по всем материальным точкам, на которые условно делится данное твердое тело.

Схема лабораторной установки представлена на рисунке.

Общий вид установки

Если твердое тело жестко закрепить в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой нити-проволоке и вывести из положения равновесия, приложив пару сил в горизонтальной плоскости, то маятник будет совершать гармонические крутильные колебания (вследствие упругости проволоки). Уравнение таких колебаний для небольших амплитуд (углов) отклонения  можно записать в виде

  (2)

где  - угол отклонения рамки от положения равновесия; - циклическая частота колебаний рамки; k - модуль кручения проволоки; J - момент инерции системы твердое тело-рамка.

Следовательно, период Т крутильных колебаний системы

  (3)

Для нахождения момента инерции твердого тела произвольной формы необходимо знать момент инерции рамки, в которой данное тело закреплено. В данной работе для этого используется эталонное тело - кубик, момент инерции которого легко подсчитывается по формуле

  (4)

где - длина ребра кубика, а m - его масса.

Взаимосвязь момента инерции рамки J0 и периода ее крутильных колебаний Т0 по аналогии с (3) дается выражением

  (5)

Следовательно, период крутильных колебаний Т0 системы рамка-кубик

  (6)

где J0 - момент инерции кубика (эталонного тела).

Деля выражение (6) и (5) друг на друга, получаем

  (7)

откуда с учетом выражения (4) находим момент инерции рамки

  (8)

С определением момента инерции рамки становится возможным нахождение момента инерции Jх твердого тела любой формы. Для этого в рамке жестко закрепляется исследуемое тело и определяется период колебаний Тх системы рамка-исследуемое тело. Тогда, по аналогии с выражением (7), можно записать

  (9)

и по аналогии с выражением (8)

  (10)

Соотношение (10) является окончательным расчетным выражением настоящей лабораторной работы.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. При всех ВЫКЛЮЧЕННЫХ кнопках на пульте управления установки включить вилку шнура питания в электросеть.

2. Включить кнопку “Сеть” на пульте, а затем кнопку “Сброс”.

3. Повернуть рамку без груза на угол примерно 900 по часовой стрелке и отпустить ее. Нажать кнопку “Пуск”. По совершении рамкой некоторого числа колебаний нажать кнопку “Стоп”. Число колебаний рамки и соответствующее время колебаний определить по приборам установки. После чего ВЫКЛЮЧИТЬ кнопку “Сеть”.

4. Операции п. 2 и 3 повторить еще 5-7 раз. По полученным результатам определить периоды колебаний Т0i и записать их в таблицу.

5. Закрепить в рамке эталонное тело - металлический кубик (m = 952 г). Повторяя операции п. 2-4, определить 5-7 раз периоды колебаний Тэi системы рамка-исследуемое тело. Полученные значения Тхi записать в таблицу.

6. В рамке закрепить исследуемое твердое тело (по указанию преподавателя). По аналогии с операциями п. 2-5 определить 5-7 раз периоды колебаний Тхi системы рамка-исследуемое тело. Полученные значения Тхi записать в таблицу.

7. Штангенциркулем измерить 3-5 раз длину эталонного ребра кубика . Результаты измерений занести в таблицу.

8. Подставляя средние значения величин m, , T0, Tэ, Tx в расчетную формулу (10), вычислить момент инерции Jx исследуемого твердого тела.

9. По заранее подготовленной формуле, руководствуясь правилами нахождения погрешности в косвенных измерениях, вычислить погрешность Jx.

10. Записать ответ

  P =

11. Сделать в письменном виде выводы, следствия и заключение по результатам работы.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Что называется моментом инерции твердого тела?

2. От чего зависит момент инерции твердого тела?

3. В каких единицах в СИ измеряется момент инерции?

4. От чего зависит период крутильных колебаний?

5. Записать дифференциальное уравнение гармонических крутильных колебаний.

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1977, Т. 1. - С. 153-145.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители доц. Л.А.Тугуши, проф. Б.М.Тараканов,

доц. Г.В.Гусев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОЙ СТРУНЕ

Целью настоящей работы является исследование собственных колебаний струны методом резонанса, а также определение собственной частоты и скорости распространения поперечных волн при различных силах натяжения струны.

В натянутой, закрепленной на концах струне при возбуждении возникают стоячие волны, появление которых нетрудно объяснить с позиций интерференции когерентных упругих волн, распространяющихся в струне. Стоячие волны в струне возникают за счет наложения падающей на преграду (точку закрепления) и бегущей ей навстречу отраженной упругих волн, уравнения которых имеют вид

  (1)

  (2)

где x  - координата произвольно выбранной на струне точки; y1 - смещение этой точки в прямой волне (распространяющейся в положительном направлении Х); y2 - смещение этой точки в отраженной волне (распространяющейся в отрицательном направлении Х); А - амплитуда колебаний;  - скорость распространения волны;  - циклическая частота колебаний.

Согласно принципу суперпозиции (независимого наложения) отклонения каждой точки струны от положения равновесия будет равно

  (3)

или

 (4)

Уравнение (4) есть уравнение стоячей волны. Так как

   

где k - волновое число, то уравнение (4) можно записать в виде

  (5)

Из уравнения (5) видно, что все точки струны колеблются гармонически, а амплитуда колебаний различна и зависит от расположения точки на струне, т.е. от Х (рис. 1).

Рис. 1

Точки струны, для которых , не испытывают колебаний и называются узлами (точки 1, 3, 5 на рис. 1).

Координаты узлов находятся из условия

  (6)

где n = 0, 1, 2,

Если учесть, что , то

  (7)

Из уравнения (7) видно, что расстояние между соседними узлами равно / 2 (рис. 1), где  - длина бегущей волны.

Точки струны, для которых , называются пучностями (точки 2, 4, 6 на рис. 1).

Координаты пучностей находятся из условия kx = n,

где n = 0, 1, 2, , откуда

  (8)

Из (8) видно, что состояние между соседними пучностями равно / 2.

Так как точки закрепления натянутой струны при возбуждении колебаний являются узлами стоячих волн, то в струне возбуждаются колебания лишь таких частот, при которых на длине струны укладывается целое число полуволн.

На рис. 2 представлены последовательные (через четверть периода положения трех струн с установившимися стоячими волнами, частоты которых соответствуют основному тону (n = 1), первому (n = 2) и второму (n = 3) обертонам и определяются из условия

         или        (9)

(m = 1, 2, 3, ...)

где - длина струны. Профиль стоячей волны в любой момент времени представляет собой синусоиду. Учитывая связь скорости распространения колебаний  с частотой и длиной волны =  , получим

  (10)

Опыт показывает, что скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны определяется величиной натяжения F струны и линейной плотностью (массой единицы длины)  l материала струны, т.е.

   

Рис. 2

Эта зависимость может быть получена, например, с помощью метода размерностей. В результате зависимость   от F и  l примет вид

  (11)

или

  (12)

где d - диаметр струны;  v - объемная плотность или просто плотность материала струны.

Подставив значение скорости из (12)  (10), получим окончательное выражение для собственных частот колебаний струны:

  (13)

Помимо свободных колебаний натянутая струна может совершать вынужденные колебания под действием внешней, периодически меняющейся силы. При таких колебаниях струна будет повторять колебания внешней силы. В условиях резонанса, т.е. при равенстве или близости значений частоты вынуждающей силы, периодической во времени и приложенной к малому участку струны, и одной из собственных частот струны в ней устанавливаются стоячие волны с максимальной амплитудой колебаний. При этом необходимо, чтобы участок приложения вынуждающей силы совпадал с одной из пучностей соответствующей стоячей волны.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ

Приборы и принадлежности: закрепленная в ящике медная струна с подставкой для грузов; набор разновесов; генератор электрических колебаний; магнит; штангенциркуль; масштабная линейка.

В схеме установки, представленной на рис. 3, струна натягивается горизонтально. Один ее конец закреплен неподвижно, а к другому концу, перекинутому через латунный цилиндр, играющий роль блока, прикреплена чашка с грузами, с помощью которых в струне создается натяжение.

От генератора электрических колебаний на струне подается переменное напряжение. Вдоль струны по подставке может свободно перемещаться магнит, укрепленный на тележке.

Рис. 3

Участок струны с текущей по нему током попадает в поле постоянного магнита, где согласно закону Ампера на него действует сила. Так как ток в струне изменяется по гармоническому закону, то и сила, приложенная к участку струны, также будет изменяться по гармоническому закону. Частота изменения этой силы равна частоте переменного тока, задаваемой генератором электрических колебаний.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить генератор звуковых частот.

2. Создать натяжение в струне, поместив на чашку для грузов какой-либо разное2.

3. Измерить диаметр рабочей части в различных участках, а также ее длину.

4. Установив магнит посередине струны и плавно изменяя частоту вращения лимба генератора (при определенном положении переключателя “Множитель”), добиться устойчивых колебаний основного тона. Затем, передвигая магнит, получить устойчивые колебания последующих обертонов. Если амплитуды колебаний очень малы, следует увеличить выходное напряжение на генераторе.

5. Записать в таблицу в порядке возрастания значения частот звукового генератора, при которых на струне устанавливаются стоячие волны. Вычертить профили стоячих волн.

6. Изменить первоначальное натяжение струны. В результате этого изменить скорость распространения поперечных колебаний и набор собственных частот. Провести измерения согласно п. 4 и 5 при других натяжениях. Рекомендуется варьировать натяжение струны в пределах от 50 до 250 г.

7. По формуле (13) рассчитать значения собственных частот колебаний струны при различных ее натяжениях. Вычисленные таким образом значения частот занести в таблицу и сопоставить их со значениями, полученными экспериментально. Объяснить расхождения.

8. Используя значения m , полученные путем отсчета по лимбу генератора для каждого натяжения струны, и формулу (10), определить экспериментальное значение скорости распространения поперечных колебаний  .

9. По формуле (12) рассчитать скорости распространения поперечных колебаний для каждого натяжения струны.

10. Найти погрешность измерений.

11. По полученным данным построить график зависимости квадрата скорости распространения колебаний от натяжения струны. На этом же чертеже построить график теоретической зависимости квадрата скорости от натяжения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каковы условия возникновения стоячих волн?

2. Перечислить основные особенности стоячей волны.

3. Написать уравнение стоячей волны.

4. Какие точки Среды называются пучностями стоячей волны?

5. Какие точки Среды называются узлами стоячей волны?

6. Какое условие накладывается на частоту свободных колебаний в закрепленной струне?

7. От каких параметров зависит скорость распространения поперечных колебаний в струне?

1. Савельев И.В. Курс общей физики, Т. 2. - М.: Главная редакция физ.-мат. лит., 1982. - С. 289-292.

2. Физический практикум/ Под ред. проф. В.И.Ивероновой. М.: Гос.изд-во технико-теорет. лит., 1961. - С. 101-104.

3. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители проф. Б.М. Тараканов, доц. А.Ю. Пастухов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 39
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Целью настоящей лабораторной работы является определение скорости звука в воздухе методом интерференции звуковых волн. Метод основан на измерении частоты звука  и длины волны

  (1)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Блок-схема установки изображена на рис. 1. Установка включает в себя звуковой генератор 1, задающий частоту электрических колебаний, к которому подключен телефон 2, преобразующий эти колебания в звуковую волну, прибор Квинке 3, слуховую трубку 4, звуковолноводы 5.

Прибор Квинке состоит из двух U-образных латунных трубок 6 и 7. Одна из них 6 закреплена неподвижно, другая может частично двигаться в неподвижно закрепленную трубку 6. Вместе с трубкой 7 вдоль шкалы 8 перемещается указатель 9.

Рис. 1

В данной работе частота звуковой волны  задается генератором 1, а длина волны  определяется по интерференции двух звуковых волн 1.

Явление, называемое интерференцией, наблюдается при наложении (суперпозиции) когерентных волн. Оно заключается в том, что в одних точках пространства амплитуда результирующих колебаний возрастает, а в других - наблюдается ее заметное ослабление.

Волны и возбуждающие их источники называются когерентными, если разность фаз таких волн не зависит от времени и они имеют одинаковую частоту и направление.

На практике когерентные волны получают от одного источника. Для этого потоки энергии, излучаемой источником, разделяются на две части. Образующиеся две волны направляют по путям различной длины, а затем соединяют. Этот же принцип использован в настоящей работе.

Звуковая волна, идущая от мембраны телефона 2, в точке В разделяется на две, одна из которых до встречи в точке А проходит путь В-7-А, другая - путь В-6-А. Уравнения для этих волн имеют вид:

для первой волны, прошедшей путь В-7-А

  (2)

для второй волны, прошедшей путь В-6-А

  (3)

где А1 и А2 - амплитуда волн; k = 2 / - волновое число; S1 и S2 - длина путей волн от телефона 2 до слуховой трубки 4; 0 - начальная фаза (одинаковая для обоих колебаний).

В результате суперпозиции волн в точке А на ухо экспериментатора воздействует колебание амплитудой

  (4)

где  - разность фаз интерферирующих волн.

Как можно видеть из уравнений (2) и (3), разность фаз равна

  (5)

Максимум результирующей амплитуды А согласно уравнению (4) достигается при условии cos = + 1, т.е., когда

 
 
(6)

где n = 0, 1, 2, 3,

Соответственно минимуму амплитуды будет отвечать значение cos = - 1

 
(7)

Таким образом, максимум интенсивности звука получается тогда, когда геометрическая разность хода волн оказывается равной четному числу полуволн. Минимум интенсивности получается, когда геометрическая разность хода оказывается равной нечетному числу полуволн.

Изменение геометрической разности хода волн в установке достигается путем перемещения подвижной трубки 7 относительно неподвижной 6. Вдвигая и выдвигая подвижную трубку, можно добиться либо максимума, либо минимума звучания в слуховой трубке 4.

При этом соседние минимумы (или максимумы) возникают при разности длин трубок 7 и 6 равной длине волны , причем из рис. 1 видно, что разность длин двух трубок будет равна удвоенному значению смещения указателя 9 (у трубки 7 два конца, входящих в трубку 6).

Таким образом можно записать

  (8)

где n1 и n2 - показатели шкалы указателя, соответствующие двум соседним минимумам (максимумам).

Подставляя найденное значение длины волны в формулу (1), получаем выражение, используемое в настоящей работе для вычисления скорости звука в воздухе

  (9)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить звуковой генератор и установить его на частоту 4000- 8000 Гц (конкретные значения частот задаются преподавателем - 4-5 значений).

2. Плавно выдвигая подвижную трубку 7 прибора Квинке, установить стрелку указателя 9 по шкале 8 в крайнее верхнее положение.

3. Плавно вдвигая подвижную трубку 7, определить первый минимум и записать показание по шкале 8 n1.

4. Продолжая вдвигать подвижную трубку 7, определить второй минимум и записать показание по шкале n2.

5. Используя найденные значения n1 и n2 и заданную частоту (определяется по шкале генератора), по формуле 9 вычисляют скорость звука в воздухе t при комнатной температуре.

6. Привести скорость звука, измеренную при данной температуре, к 0 0С по формуле

  

где с достаточной степенью точности можно считать

= 0,004 град-1.

7. Повторить пункты 2-6 для остальных частот, предложенных преподавателем, получить набор значений скорости звука в воздухе.

8. В соответствии с правилами обработки невоспроизводимых косвенных измерений вычислить погрешность найденного значения скорости звука.

9. Сравнить полученное значение скорости звука в воздухе с  для данной температуры по формуле

  

где    = 1,4;   R – универсальная   газовая   постоянная;     =  2910-3 кг/моль.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое звук?

2. От чего зависит скорость звука в газах?

3. Что называется фронтом волны, волновой поверхностью?

4. Напишите уравнение плоской волны.

5. Что такое фазовая скорость?

6. Что называется волновым числом?

7. Напишите волновое уравнение.

8. В чем заключается явление интерференции?

9. Какие волны называются когерентными?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1983, Т. 1. - §93, 94.

2. Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике. – М.: Наука, Гл. ред.физ.-мат.лит., 1979, Гл. 3, С. 279-292.

3. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель доц. А.Н. Гребенкин

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛИНЕЙНОГО
РАСШИРЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Известно, что с повышением температуры размеры твердых тел как кристаллических, так и аморфных, как правило, увеличиваются. Это связано с несимметричностью (ангармо-низмом) тепловых колебаний атомов, благодаря чему с ростом температуры увеличиваются межатомные расстояния [1]. Для характеристики теплового расширения твердых тел пользуются температурным коэффициентом линейного расширения

  (1)

где l - длина тела при некоторой температуре Т и давлении р.

Этот коэффициент зависит от природы вещества, а также слабо изменяется с температурой (давление р при различных измерениях остается постоянным); при умеренных изменениях температуры его можно считать практически постоянным для данного вещества. Тогда

  (2)

где t2 - t1 = t - изменение температуры; l - соответствующее удлинение тела; l1 - его первоначальная длина при температуре t1.

Изменение линейных размеров полимерных материалов при их нагревании может существенно отличаться от обычного поведения твердых тел [2,3]; в зависимости от структуры и предыстории их обработки полимеров при нагревании могут не только удлиняться, но и укорачиваться. Кроме того, очевидно, что температурный коэффициент линейного расширения полимерных материалов тем меньше по абсолютной величине, чем больше силы связи между их макромолекулами. Таким образом, и по абсолютной его величине, и по его знаку можно получить, существенно важные сведения о структуре и свойствах полимеров.

В настоящей лабораторной работе студенты измеряют значения температурного коэффициента линейного расширения нескольких образцов полимерных материалов с помощью учебного прибора для определения коэффициента линейного расширения твердых тел ПРТТ, устройство которого изображено на рис. 1.

Рис. 1

Прибор состоит из электронагревателя 1, поворотного кронштейна 2, индикатора малых перемещений 3 со штоком 4, корпуса 5 с выключателем и контрольной лампой 6. Исследуемый образец 7, имеющий форму стержня известной длины l1 (предварительно измеренной) нагревают в стеклянной пробирке 8 с водой до ее кипения и измеряют его удлинение l с помощью индикатора 3. Начальную температуру t1 измеряют комнатным лабораторным термометром, а конечную температуру t2 кипения воды определяют по измеренному значению атмосферного давления р с помощью таблицы.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Измерить штангенциркулем 5-7 раз длину l исследуемого полимерного образца при комнатной температуре t1; результаты измерений занести в таблицу 1.

2. Измерить по лабораторному термометру комнатную температуру t1, вычислить ее погрешность по правилам обработки результатов однократных измерений и записать эти данные в таблицу 2.

3. Исследуемый образец поместить в стеклянную пробирку и залить водой комнатной температуры примерно до уровня 1  1,5 см от верхнего края пробирки. Отвести в сторону поворотный кронштейн 2 прибора и вставить пробирку с образцом в нагреватель. Оттянуть шток индикатора малых перемещений вверх и, установив кронштейн с индикатором над пробиркой, опустить шток в углубление на верхнем конце образца, выступающем из пробирки. Убедиться в надежном закреплении и отсутствии люфтов штока и индикатора.

4. Вращая накатанное кольцо индикатора совместить с его стрелкой нулевое деление черной шкалы.

5. Подключить шнур прибора ПРТТ к сети 220 В и включить нагреватель нажатием кнопки выключателя; при этом загорается контрольная лампа 6. Выждать несколько минут, пока вода в пробирке не закипит, наблюдая за движением стрелки индикатора. После закипания воды образец примет температуру t2 кипения воды при данном атмосферном давлении р; стрелка индикатора при этом остановится.

6. Определить с помощью индикатора малых перемещений удлинение l образца; цена деления индикатора указана на его циферблате, а число полных оборотов стрелки отсчитывается по малой круговой черной шкале. Записать полученный результат вместе с его погрешностью в табл. 1.

7. Измерить по лабораторному барометру величину атмосферного давления р и записать ее вместе с погрешностью в табл.2.

8. По приложенной к прибору таблице найти соответствующую данному давлению температуру t2 кипения воды; погрешность ее определить как погрешность табличной величины и занести эти данные в табл. 2.

Таблица 1

Полимер

Номер

измерения

l1,

мм

l1,

мм

(l1)2

l,

мм

(l), мм

l1=

(l1)2=

Далее таблицу повторить для каждого исследуемого полимера.

Таблица 2

Начальная температура

t1 =      0 C

 t1 = P  tприб =

Атмосферное давление

p =     кПа

 p1 = P  pприб =

Конечная температура

t2 =      0 C

 t2 = P  tприб =

9. Отключить питание прибора, приподнять шток индикатора малых перемещений и, отведя его в сторону, извлечь из нагревателя пробирку с образцом; воду из нее вылить в стакан.

10. Повторить измерения по пунктам 1-9 с каждым из предложенных полимерных образцов.

11. Обработать результаты прямых многократных измерений длины l1 и доверительные погрешности l1 с заданным значением доверительной вероятности Р=0,68.

12. По формуле (2) вычислить с точностью до 3-4 значащих цифр температурный коэффициент линейного расширения каждого исследованного образца (предварительный результат).

13. По заранее подготовленной рабочей формуле относительной погрешности Е()= вычислить ее значение с точностью до двух значащих цифр, а затем определить доверительную погрешность коэффициента линейного расширения  = Е().

14. Записать окончательное значение коэффициента линейного расширения каждого образца с надлежащим округлением и с указанием доверительной вероятности.

15. Проанализировать полученные результаты (например, сравнив их с табличными значениями, сопоставив друг с другом и т.д.) и сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Что называется температурным коэффициентом линейного расширения твердого тела?

2. Как объясняется тепловое расширение твердых тел?

3. Каковы особенности изменения линейных размеров полимерных материалов при нагревании? С чем они связаны и как объясняются?

1. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. - М.: Наука, 1967, т. 1, § 48, 49.

2. Бартенев В.М., Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров. - М.: Высшая  школа, 1983, с. 261-267.

3. Гуль В.Е., Кулезнев В.Н. Структура и механические свойства полимеров. - М.: Высшая школа, 1972.

4. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители  доц. Г.В.Гусев, доц. Ю.И.Соколов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА

ОПИСАНИЕ  УСТАНОВКИ  И  МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

Установка для определения коэффициента теплопроводности воздуха состоит из стеклянной трубы, по оси которой натянута металлическая нить с большим значением температурного коэффициента сопротивления.

В установку входит также источник постоянного тока, магазин сопротивлений, миллиамперметр, гальванометр и пульт управления.

Применим уравнение теплопроводности

  (1)

к задаче с осевой симметрией. Иными словами, рассмотрим длинный стеклянный цилиндр и по оси его натянутую металлическую нить, пространство между которыми заполнено воздухом, коэффициент теплопроводности которого подлежит измерению. Температура нити Т1, ее радиус r1; температура Т2 и радиус r2. На рис. 1 показано поперечное сечение нити и цилиндра.

Рис. 1

Окружим мысленно нить цилиндрической оболочкой радиусом  r. При длине этой оболочки, равной L, ее поверхность

  (2)

Теперь уравнение (1) принимает вид

  (3)

Так как цилиндр считается длинным, т.е. радиус цилиндра много меньше его длины, то утечкой тепла через торцевые поверхности цилиндра можно пренебречь.

Уравнение (3) справедливо для любого

r1 < r < r2, причем его левая часть не зависит от радиуса и является постоянной величиной.

Уравнение (3) представляет собой дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных.

  (4)

Интегрируя здесь в соответствующих пределах левую и правую части, получим

откуда

  (5)

Используя выражение (5) для вычисления коэффициента , получаем

  (6)

Из соотношения (6) видно, что для вычисления значения   необходимознать длину цилиндра L, радиусы нити  r1 и цилиндра  r2, разность температур поверхностей нити  и  цилиндра  Т = Т1 - Т2 и поток тепла q.

Нить можно нагревать электрическим током, а изменение ее температуры Т по сравнению с комнатной определять по изменению сопротивления нити. После установления стационарного режима тепловой поток q можно принять равным мощности электрического тока, выделяющейся в нити.

Блок-схема установки приведена на рис. 2. Она представляет собой мост постоянного тока, одним из плеч которого является металлическая нить. Другим плечом моста является магазин сопротивлений, предназначенный для измерения сопротивления нити.

Сопротивления моста R1 и R2, а также ограничительное сопротивление R3, предназначенное для предохранения элементов моста от повреждения слишком большим током, размещены в пульте управления, Там же расположены переключатель направления тока через мост и элементы управления чувствительностью гальванометра, позволяющие постепенно повышать чувствительность гальванометра и тем самым предохранять его от повреждения. Гальванометр включается в цепь только при нажатии одной из кнопок на пульте управления.

Рис. 2

Примечание. Во избежание повреждения гальванометра кнопки на пульте управления нажимать только последовательно, слева направо, балансируя при этом мост магазином сопротивлений на минимальное отклонение стрелки гальванометра от нуля.

Ток, протекающий через мост, измеряется миллиамперметром. Все сопротивления моста при малых токах (нагретая нить) с достаточно большой точностью равны между собой, поэтому ток через нить Iн равен

  (7)

где I - ток, измеряемый миллиамперметром, а сопротивление нити при любых точках равна сопротивлению магазина.

При комнатной температуре tк и некоторой более высокой температуре t для сопротивления нити можно написать

 

где R0 - сопротивление нити при температуре t0=0 оС;   - температурный коэффициент сопротивления нити (=0,0036 град-1).

Исключая из последних двух уравнений значение R0, находим для разности температур T = t - tк

  (8)

Тем самым определяется разность температур T, входящая в формулу (6). В этой формуле q - тепло, выделяющееся в 1 с при прохождении тока через нить. С учетом выражения (7), а также, его R  Rк, получаем

или для коэффициента теплопроводности

  (9)

где D1 и  D2 - соответственно диаметры нити и стеклянной трубки; L - длина стеклянной трубки.

Для данной установки D1 = 0,21 мм, D2 = 23 см, L = 65 см. Подставляя эти данные в соотношение (9), окончательно получим в СИ

  (10)

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Измерить комнатную температуру tк по любому из лабораторных термометров.

2. Поставить ключ пульта управления в положение “0”.

3. Установить на нуль все декады магазина сопротивлений.

4. Установить по указателю предел измерения миллиамперметра 1 А.

5. Поставить ключ пульта управления в положение “+”.

6. Ручку регулировки выходного напряжения источника постоянного тока вывести в крайнее левое положение и включить источник. Вращением ручки регулировки напряжения установить минимально возможный ток через нить (порядка 20-50 мА).

7. Нажать крайнюю слева кнопку пульта управления “очень грубо” (минимальная чувствительность гальванометра). Вращением декад магазина сопротивлений добиться возвращения стрелки гальванометра на нуль. После этого нажать кнопку пульта “грубо” и снова добиться возвращения стрелки гальванометра на нуль. Наконец, проделать эту операцию при нажатии самой правой кнопки пульта “точно” (максимальная чувствительность гальванометра). Суммарное показание декад магазина сопротивлений по выполнении этих операций дает сопротивление нити R+.

8. Согласно п.7 измерить сопротивления нити R+ при значениях токов, указанных в прилагаемой ниже таблице.

9. Ключом на пульте управления изменить направление тока в нити, поставив ключ в положение “-”. Для тех же значений токов вновь измерить сопротивления нити R-.

10. Для каждого указанного в таблице значения тока взять среднее соответствующих сопротивлений

Результаты измерений занести в таблицу.

Таблица

Номер опыта

I,

А

R+, Ом

R-, Ом

Rср, Ом

T, К

Вт/мК

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

  

11. По формулам (8) и (10) вычислить значения T и с точностью до 3-4 значащих цифр для каждого наблюдения отдельно.

12. Считая вычисления случайными, дальнейшую обработку результатов произвести как в случае невоспроизводимых косвенных измерений (аналогично прямым многократным).

13. Округлив полученное значение доверительной погрешности , записать окончательный результат с указанием доверительной погрешности.

14. Произвести анализ полученного результата. Сделать необходимые выводы в письменной форме.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Охарактеризуйте явление теплопроводности.

2. Какие явления относят к группе явлений переноса? Что составляет основную черту их механизма?

3. Каковы основные узлы и принцип работы установки, используемой в данной работе?

4. Что определяет коэффициент теплопроводности? С какими характеристиками молекул связана его величина?

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §126,131.
  2.  Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель  доц. В.И.Грачев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО
ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ

Целью настоящей работы является экспериментальное определение средней длины свободного пробега молекул воздуха и их усредненного эффективного диаметра.

ОПИСАНИЕ  УСТАНОВКИ  И  МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

В основу принципа действия установки, изображенной на рис. 1, положено явление внутреннего трения газа при прохождении им узкого капилляра 2. Чтобы некоторый объем газа (воздуха) прошел через капилляр, необходимо на его концах создать разность давлений, что достигается в процессе вытекания жидкости из аспиратора 1 через кран 4 в сосуд 6. Разность давлений измеряется водяным манометром 3.

Рис. 1

1 - аспиратор, 2 - капилляр, 3 - водяной манометр,

4 - кран аспиратора, 5 - пробка аспиратора,

6 - сосуд, в который вливается жидкость.

Пусть при вытекании жидкости высота столба в манометре h. Тогда разность давлений на концах капилляра

  (1)

где  - плотность воды ( = 1000 кг/м3); g - ускорение свободного падения (g = 9,81 м/с2).

Объем воздуха, прошедшего капилляр, равен объему жидкости, вытекающей из аспиратора. Он измеряется мерным стаканом между метками А и В и в нашем случае должен быть 400 см3.

С другой стороны объем воздуха, прошедший капилляр радиуса r за время t, определяется формулой Пуазейля

  (2)

где  - коэффициент внутреннего трения воздуха; L - длина капилляра.

Из (2) имеем

  (3)

Коэффициент внутреннего трения газа имеет вполне однозначную связь со средним значением длины свободного пробега молекул газа

  (4)

где 1 - плотность газа (воздуха) при данных условиях;  - средняя арифметическая скорость молекул;  - средняя длина свободного пробега молекул газа.

Плотность газа и среднюю арифметическую скорость молекул можно найти, зная атмосферное давление и температуру газа:

              (5)

где  - молекулярный вес газа (воздух  = 29 кг/моль); R - универсальная газовая постоянная (R = 8,31103 Дж/кмольК); p - атмосферное давление; Т - температура.

Подставив значения 1V и  из формул (5) и (3) в равенство (4), получим значение средней длины свободного пробега молекул при данных условиях

  (6)

Эффективный диаметр молекул можно определить из формулы

  (7)

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

Для выполнения данной работы возьмите у лаборанта секундомер.

1. Убедившись, что аспиратор наполнен водой почти до самой пробки 5, откройте кран 4 (см. рис. 1) и подождите, пока уровень воды в сосуде 6 не достигнет отметки А = 100 мл. Это необходимо для установления стационарного режима течения.

2. Как только уровень жидкости в сосуде достигнет отметки А, включите секундомер и измерьте разность высот h1 в манометре 3.

3. Когда уровень жидкости в сосуде 6 приблизится к отметке В = 500 мл, измерьте снова разность высот уровней h2 в манометре 3 и при достижении отметки В выключите секундомер и закройте кран 4.

4. Показания h1 и h2 усредните:

Объем жидкости за измеренное время t равен 400 мл, что соответствует объему воздуха, прошедшего через капилляр 2 за это время.

5. Повторите опыт еще 4 раза при различных скоростях течения воды из крана 4.

6. Определите по приборам в лаборатории атмосферное давление воздуха в Па и температуру воздуха в градусах Кельвина.

7. По формуле

в которой учтены все постоянные величины (размеры капилляра,  воздуха, числа , R и т.д.), вычислите 5 значений  в системе СИ и запишите в таблицу.

Измеренные в опыте величины hср, t, Т и p должны быть также выражены в системе СИ.

8. Результаты экспериментальных измерений hср и t записать в таблицу.

Таблица

Номер опыта

hср, мм

t,

с

i,

м

i

(i)2

di,

м

di,

(di)2

Р =  Па,      Т =  К

9. Используя формулу (7), определите столько же значений d в системе СИ и также запишите в таблицу результатов.

10. Считая величины  и d в каждом опыте случайными, дальнейшую обработку результатов проводите в соответствии с правилами обработки данных при невоспроизводимых косвенных измерениях.

11. Округлить по правилам абсолютной погрешности  и d, величины  и d и окончательно записать результаты.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

  1.  Дайте определение эффективного диаметра и длины свободного пробега молекул.
  2.  Поясните принцип действия данной установки.
  3.  Какие явления переноса Вы знаете?

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §128, 129.
  2.  Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители доц. С.П.Майбуров, доц. Ю.И.Соколов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО
ТРЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Сила F внутреннего трения слоев направленно движущейся жидкости определяется законом Ньютона  [1]

  (1)

где  - коэффициент внутреннего трения или вязкости  жидкости; S - площадь соприкосновения ее слоев; - градиент скорости, измеряемый в направлении Х, перпендикулярном направлению скорости .

Из выражения (1) следует, что

  (2)

т.е. коэффициент внутреннего трения числено равен силе, действующей на единицу площади движущегося слоя жидкости при единичном градиенте скорости ее направленного движения. В СИ [] = Пас. Паскаль-секунда - вязкость такой среды, в которой при давлении сдвига в 1 Па возникает градиент скорости направленного течения слоев среды   = 1 с-1.

Экспериментальной задачей данной лабораторной работы является измерение коэффициента внутреннего трения  глицерина.

ОПИСАНИЕ  УСТАНОВКИ  И  МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

В настоящей лабораторной работе коэффициент внутреннего трения жидкости определяется методом измерения скорости падения в ней металлического шарика (дробинки) - методом Стокса.

Лабораторная установка, используемая для выполнения работы, изображена на рис. 1. Она состоит из цилиндрической стеклянной трубы, вертикально укрепленной на штативе и наполненной исследуемой жидкостью (глицерин). Для измерения скоростей движения падающих шариков на трубе имеются две метки, расстояние S между которыми измеряется линейкой. На том же штативе, над трубой укреплена воронка, в которую опускают шарик, чтобы он падал по центру трубы. Скорость установившегося равномерного падения шарика в жидкости

  (3)

где t - время падения шарика между отметками на трубе.

На металлический шарик, падающий в вязкой покоящейся жидкости, действуют, как это показано на рис. 1:

Рис. 1

1. Сила тяжести

  (4)

где D - диаметр шарика; 2 - плотность его материала; g = 9,8 м/с2 - ускорение свободного падения.

2. Выталкивающая сила (сила Архимеда)

  (5)

где 1 - плотность жидкости.

3. Обусловленная внутренним трением слоев жидкости сила сопротивления движению

  (6)

где   - скорость падения шарика в жидкости.

Примечание. Фактически при падении металлического шарика в жидкости имеет место не трение шарика о жидкость, а трение слоев жидкости друг о друга. Действительно, при соприкосновении шарика с жидкостью к его поверхности тотчас же прилипают молекулы жидкости. Шарик обволакивается слоями молекул, связанных с ним межмолекулярными силами. Непосредственно прилегающий к поверхности шарика слой жидкости движется вместе с шариком со cкоростью его падения . Строго говоря, именно скорость движения  прилегающего к шарику слоя должна учитываться в выражении (6). Следует заметить также, что выражение (6) применимо лишь для небольших скоростей.

Направления сил, действующих на падающий в жидкости шарик, указаны на рис. 1. Из рис. 1 видно, что равнодействующая R сил, действующих на падающий шарик, равна

  (7)

В нашем случае после падения в воздухе шарик попадает в жидкость с относительно большой скоростью. Вследствие этого в первый момент на шарик в жидкости, согласно выражениям (6) и (7), действует тормозящая сила R. Это приводит к резкому торможению шарика. Однако, по мере снижения скорости  шарика уменьшается и величина тормозящей силы R и быстро наступает момент, начиная с которого R = 0, т.е.

  (8)

С этого момента движение шарика в жидкости становится равномерным со скоростью . Если размеры шарика невелики, а жидкость имеет заметную вязкость, то установление равномерности падения шарика в жидкости происходит практически мгновенно.

Подставляя в выражение (8) соответствующие соотношения для сил P, F и F1 из выражения (4)-(6), получим для коэффициента внутреннего трения

  (9)

Учитывая, что g = 9,8 м/с2, а также, что = S/t, окончательно получим в СИ

  (10)

Выражение (10) является окончательным расчетным соотношением данной лабораторной работы.

Значения плотностей 2 и 1 указаны на установке.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Измерить линейкой расстояние S между метками на трубе. Записать полученное значение S в исходные данные.

2. Определить диаметр шарика-дробинки с помощью микрометра. Найденное значение диаметра D записать в таблицу результатов измерения. Под таблицей запишите значения плотности жидкости 1 и материала шарика 2 (указаны на установке), а также расстояние S и комнатную температуру T (определить по термометру).

3. Установив глаз против верхней метки на трубе, опустить шарик в воронку. В момент прохождения шарика верхней метки включить секундомер. В момент прохождения шариком нижней метки секундомер выключить. Полученное значение времени падения шарика  ti  между метками записать в таблицу.

Таблица

Номер опыта

Di,

мм

ti,

с

i, Пас

i, Пас

(i)2,

Пас2

  =  (i)2=

4. Повторить указанные измерения еще для 4-5 шариков различных диаметров Di .

5. Используя полученные значения S , Di , ti , а также указанное на установке значение разности плотностей (2 - 1), по формуле (10) вычислить для каждого шарика в отдельности значение коэффициента вязкости i. Вычисление i производить с точностью до трех значащих цифр.

6. Вычислить среднее значение коэффициента вязкости жидкости

  

7. Вычислить погрешность  измеренного значения

  P = 0,68.

8. Соответствующим образом, округлив погрешность  и результат измерения, записать окончательный результат измерений

  P = 0,68.

9. Произвести анализ полученного результата (например, сравнить полученное значение коэффициента вязкости глицерина с его табличным или теоретическим значением). Произвести оценку метода измерений (удобен или неудобен, точен или неточен и т.д.).

Примечание. Внутреннее трение в жидкостях существенно зависит от температуры, поэтому для анализа результата измерений необходимо записать температуру в лаборатории, равную температуре исследуемой жидкости.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Как объясняется явление внутреннего трения в жидкостях и газах с точки зрения молекулярно-кинетической теории?

2. Каков физический смысл коэффициента внутреннего трения? От чего зависит его величина?

3. Какие силы действуют на металлический шарик, падающий в вязкой среде? Укажите направление действия каждой из этих сил.

4. Почему движение шарика в вязкой среде быстро становится равномерным?

5. Имеет ли значение форма шарика и его материал при измерении коэффициента вязкости жидкостей?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, §128-130.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель доц. Г.В.Гусев

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА

Характерной чертой теплового молекулярного движения является его беспорядочность. Непрерывное хаотическое движение молекул обуславливает самопроизвольное и необратимое возвращение молекулярных систем в равновесное состояние после нарушения равновесия.

Так, при наличии пространственных неоднородностей (градиентов) плотности, температуры или скорости упорядоченного движения отдельных слоев газа тепловое движение газовых молекул стремится выровнять эти неоднородности: возникают явления диффузии, теплопроводности и внутреннего трения, объединяемые общим теоретическим подходом и названием - “явления переноса” [1].

В случае внутреннего трения (вязкости) сила трения между двумя слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями, возникает благодаря переносу хаотически движущимися молекулами импульса направленного движения из одного слоя газа в другой.

С макроскопической точки зрения вязкость газов в одномерном случае ( = f(x)) описывается уравнением Ньютона

  (1)

где F - сила внутреннего трения, действующая касательно к поверхности S cоприкасающихся слоев газа; - градиент скорости направленного движения слоев (по оси Х);  - коэффициент вязкости (внутреннего трения).

Из выражения (1) следует, что коэффициент вязкости  числено равен силе трения между двумя слоями газа единичной площади при единичном градиенте скорости (S = 1, d/dx = 1). Знак “минус” указывает на то, что сила F ведет к выравниванию скоростей слоев, то есть к снижению градиента скорости.

В настоящей работе коэффициент вязкости воздуха определяется по скорости его течения через круглый капилляр малого радиуса.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Объем газа, протекающего за время t через капилляр круглого сечения, зависит от его радиуса r и длины L, от перепада давлений р на концах капилляра и от вязкости газа  и дается формулой Пуазейля (вывод формулы смотри, например, в курсе физики [2]).

  (2)

откуда для коэффициента вязкости  имеем

  (3)

Все необходимые для вычисления  величины измеряются с помощью лабораторной установки, изображенной на рисунке, приведенном ниже.

Она состоит из бюретки 1, нижний конец которой соединен резиновой трубкой с воронкой 4, заполненной водой, а верхний - через кран 2 с капилляром 3 и водяным манометром 5. Воронка 4 снабжена ручкой 6 и винтом 7, позволяющим перемещать ее вертикально по штативу 8.

Если кран 2 перевести в положение II, тем самым соединив бюретку с капилляром и с манометром, и быстро поднять воронку 4, то уровень воды в бюретке, а следовательно, и давление заключенного в ней воздуха повысятся. Из-за избыточного давления воздух начнет выходить из бюретки через капилляр в атмосферу; при

Рис. 1

этом необходимо поддержать разность давлений р на концах капилляра, измеряемую разность уровней воды h в коленах манометра, постоянной, поднимая воронку 4 с помощью ручки 6. Объем воздуха, вытесненного из бюретки через капилляр за некоторое время t, измеряется по разности конечного и начального уровней воды в ней.

Так как

  (4)

где  = 103 кг/м3 - плотность воды; h - разность уровней воды в коленах манометра.

Окончательно выражение для коэффициента вязкости воздуха получаем в следующем виде:

  (5)

Для данной установки r = 0,15 мм и L = 385 мм.

Подставляя в соотношение (5) все постоянные для нашей установки величины, получаем рабочую формулу для вычисления коэффициента вязкости воздуха

  (6)

где измеряемые на опыте величины h, t и V должны быть выражены в СИ; при этом условии значение  будет также получено в единицах СИ (Паc).

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Для измерения времени протекания воздуха через капилляр получить у лаборанта секундомер.

2. Ознакомиться с установкой, в особенности с механизмом перемещения воронки 4: винт 7 служит для быстрого и грубого перемещения, тогда ручка 6 - для медленного и плавного.

Определить также цену деления бюретки 1.

3. Поворотом крана 2 в положение I соединить бюретку с атмосферой. Опустить воронку 4 в нижнее положение: для этого вращать ручку 6 против часовой стрелки до упора, после чего отвернуть винт 7 и осторожно опустить воронку. При этом в манометре должна установиться нулевая разность уровней. Если уровни воды в манометре выравниваются медленно, проверить, нет ли перегиба трубки, соединяющей воронку с бюреткой.

4. Поворотом крана 2 в положение II соединить бюретку с капилляром и манометром. Поднять воронку 4 так, чтобы разность уровней в манометре составила h = 10-12 см. Зафиксировать винтом 7 положение воронки 4.

5. Записать начальный объем воздуха в бюретке и одновременно включить секундомер.

6. Вращением ручки 6 по часовой стрелке поднимать по мере необходимости воронку 4, поддерживая разность уровней в манометре неизменной. Запомнить это значение и занести его потом в таблицу результатов измерений.

7. Одновременно наблюдать за подъемом уровня воды в бюретке. Когда объем вытесненного из бюретки и протекшего через капилляр воздуха составит 2-5 см3, выключить секундомер. Записать в таблицу результатов измерений объем V, прошедшего через капилляр воздуха, время t его протекания и соответствующую разность h уровней воды в манометре.

8. Повторить опыты еще четыре раза, варьируя значения разности уровней h и объемов воздуха V.

9. Подставляя в формулу (6) значения измеренных величин, выраженные в единицах СИ, вычислить для каждого опыта коэффициент вязкости воздуха  с точностью до трех значащих цифр и записать эти значения в таблицу.

Таблица

Номер опыта

hi,

см

ti,

с

Vi,

см3

i,

Пас

i

(i)2

 =

(i)2=

10. Полагая полученные значения i случайными величинами, их дальнейшую обработку произвести как для результатов косвенных невоспроизводимых измерений.

11. Округлив надлежащим образом доверительную погрешность  и среднее значение, записать окончательный результат измерений в стандартной форме с указанием доверительной вероятности.

12. Сравнить полученное значение коэффициента вязкости воздуха с его табличным и теоретическим значениями. Сделать выводы в письменной форме.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Какие явления относят к явлениям переноса? Почему их так называют?

2. В чем заключается явление внутреннего трения (вязкость)?

3. Что такое градиент какой-либо физической величины (например, температуры)? Что он определяет? Вектор это или скаляр?

4. Дайте определение коэффициента вязкости.

5. В чем суть метода определения коэффициента вязкости в данной работе? Как можно назвать такой метод?

6. Какую физическую величину нужно поддерживать постоянной в ходе каждого опыта? Зачем это необходимо?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, § 128, 132.

2. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и  молекулярная физика. - М.: Наука, 1969, § 119.

3. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и  анализ  результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители доц. В.И.Грачев, доц. Ю.И.Соколов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ
ВОЗДУХА МЕТОДОМ АДИАБАТИЧЕСКОГО
РАСШИРЕНИЯ

Для характеристики тепловых свойств тел в термодинамике пользуются понятием теплоемкости

  (1)

Теплоемкость газов существенным образом зависит от условий нагревания: различают теплоемкость газов при постоянном объеме Сv  и при постоянном давлении Cp. Отношение этих теплоемкостей = Cp / Cv является характерной величиной для каждого газа и входит в уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

  (2)

Из теории [1] известно, что

  (3)

где  i  -  число степеней свободы газовых молекул.

В настоящей лабораторной работе величина показателя адиабаты   воздуха измеряется методом адиабатического расширения.

ОПИСАНИЕ  УСТАНОВКИ  И  МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

Экспериментальная установка, изображенная на рис. 1, состоит из стеклянного баллона 1 с пробкой 2, соединенного с манометром 3 и через кран (зажим) с насосом 5.

Рис. 1

Если при закрытой пробке 2 в баллон при помощи насоса быстро накачать некоторое количество воздуха, то давление и температура воздуха внутри баллона повысятся. Вследствие теплообмена с окружающей средой через некоторое время температура воздуха внутри баллона сравнивается с комнатной температурой Т1, а давление станет равным

  

где p0 - атмосферное давление; h1 - избыточное давление, измеряемое разностью уровней жидкости (воды) в манометре.

Таким образом, состояние воздуха внутри баллона характеризуется параметрами p1, V1, T1 (точка 1 на рис. 2).

Если теперь открыть на короткое время пробку 2, то воздух в баллоне быстро расширится. Этот  процесс  можно считать адиабатическим (кривая 1-2 на рис. 2). Строго говоря, адиабатическими называются процессы, протекающие без теплообмена с окружающей средой. В нашей же установке теплоизоляция баллона далеко не идеальна. Тем не менее очевидно, что в силу быстроты расширения теплообменом за время расширения можно пренебречь. В результате этого процесса давление воздуха в баллоне станет равным атмосферному p0, а температура и объем соответственно Т2 и V2 (точка 2 на рис. 2). Для адиабатического перехода воздуха из состояния 1 в состояние 2 справедливо уравнение Пуассона

  (4)

Рис. 2

Тотчас же после расширения воздуха пробку закрывают, и охладившийся при адиабатическом расширении воздух в баллоне через некоторое время нагревается вследствие теплообмена до комнатной температуры Т1; при этом его давление повышается до p0 + h2, где h2 - новая разность уровней жидкости в манометре. Этот процесс происходит при постоянном объеме и изображается прямой 2-3 на рис. 2.

Точки 3 и 1 расположены на одной изотерме 1-3, соответствующей комнатной температуре Т1, то есть

  (5)

Исключая из уравнения (4) и (5) отношение V2/V1, получим

  (6)

откуда

  (7)

Учитывая, что значения h1 и h2 значительно меньше р0, воспользуемся для вычисления логарифмов приближенными формулами:

  (8)

и аналогично

  (9)

Подставляя эти выражения в (7), окончательно получим

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Убедившись в том, что пробка 2 плотно закрыта, осторожно с помощью насоса накачайте воздух в баллоне до тех пор, пока разность уровней жидкости не достигнет 20-25 см.

2. Перекрыв сообщение между баллоном с помощью зажима 4, выждите, пока разность уровней жидкости в манометре перестанет уменьшаться и сделайте отсчет h1.

3. На очень короткое время (порядка одной секунды) откройте пробку 2 - уровни жидкости в манометре сравняются - и тотчас ее закройте.

4.После закрытия пробки давление воздуха в баллоне начнет расти в результате нагревания; при этом разность уровней жидкости в манометре будет увеличиваться. Выждав, пока давление перестанет меняться, сделайте отсчет разности уровней h2.

5. Повторите опыт (пункты 1-4) не менее 7 раз; результаты измерений занесите в прилагаемую ниже таблицу.

6. По рабочей формуле (10) вычислите  с точностью до 3-4 значащих цифр для каждого опыта в отдельности.

7. Считая величину  в каждом опыте случайной величиной, дальнейшую обработку результатов производите как при невоспроизводимых косвенных измерениях (то есть аналогично обработке прямых многократных измерений).

Таблица

Номер опыта

h1,

см

h2,

см

i

i

(i)2

1

2

3

4

 =  (i)2=

8. Округлив надлежащим образом доверительную погрешность и среднее значение , запишите окончательный результат с указанием доверительной вероятности.

9. Считая воздух идеальным двухатомным газом, по формуле (3) вычислите теоретическое значение , сравните его с полученным экспериментально и сделайте выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Почему теплоемкость газов при постоянном давлении Ср больше, чем при постоянном объеме Сv? Как связаны между собой соответствующие молярные теплоемкости газов ср и сv?

2. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной? Как она связана с постоянной Больцмана?

3. Что такое число степеней свободы молекулы? Чему оно равно для одноатомной молекулы? для двухатомной? для многоатомной?

4. Каково теоретическое значение  для одноатомных газов? для двухатомных? для многоатомных?

5. Что такое адиабатический процесс? Как его осуществить на практике?

6. Напишите уравнение Пуассона для адиабатического процесса. Как отличаются графики адиабатического и изотермического процессов для одной и той же массы газа?

7. Объясните ход работы и выведите рабочую формулу (10).

8. На графике p(v) изобразите последовательно все процессы, реализуемые в данной работе.

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, § 87, 88, 97.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель  доц. Ю.И.Соколов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19
ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ ПРИ ИЗОХОРИЧЕСКОМ
ОХЛАДЖЕНИИ ВОЗДУХА

Согласно второму началу термодинамики [1], самопроизвольный переход любой изолированной системы из одного макросостояния в другое обязательно сопровождается увеличением энтропии S. Другими словами, все процессы в изолированных системах протекают в направлении возрастания энтропии. В неизолированных системах возможны процессы, происходящие как с возрастанием, так и с убыванием энтропии.

В настоящей лабораторной работе определяется уменьшение энтропии при изохорическом охлаждении воздуха.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ  И  МЕТОДА  ИЗМЕРЕНИЙ

Лабораторная установка, изображенная на рис. 1, состоит из стеклянного баллона 1 с пробкой 2, соединенного трубками и шлангами с водяным U-образным манометром 3 и ручным насосом 4. Сообщение баллона с насосом перекрывается краном (зажимом) 5.

Рис. 1

Если пробку 2 баллона открыть, то в баллоне устанавливается атмосферное давление р0, а разность  уровней h в коленах манометра равна нулю; температура воздуха в баллоне при этом равна комнатной. Если теперь пробку 2 плотно закрыть и быстро накачать насосом 4 в баллон некоторое добавочное количество воздуха, то вследствие адиабатического сжатия температура воздуха в баллоне повысится до некоторого значения Т1, а давление станет равным

  (1)

где   р0  –  атмосферное  давление  воздуха  в   лаборатории;    = 103 кг/м3 - плотность воды; h1 - разность уровней воды в манометре непосредственно после накачки воздуха в баллон.

Так как температура воздуха в баллоне Т1 выше комнатной, то это обусловит передачу тепла из сосуда через его стенки в окружающую среду. Воздух в сосуде при этом изохорически охлаждается: его давление и температура падают, а энтропия убывает. Когда температура воздуха в баллоне сравняется с температурой Т2 воздуха в лаборатории, давление перестанет изменяться и станет равным

  (1)

где h2 - установившаяся после охлаждения разность уровней воды в коленах манометра.

Найдем выражение для изменения энтропии газа при изохорическом процессе. Изменение энтропии при любом процессе, переводящем систему из некоторого состояния 1 в другое состояние 2, равно

  (3)

где dQ - бесконечно малое количество тепла, полученное или отданное системой в любом обратимом (равновесном) процессе, также переводящем систему из состояния 1 в состояние 2; Т - абсолютная температура.

В частности, в случае изохорного процесса для идеального газа все переданное ему тепло dQ идет на изменение его внутренней энергии dU [2].

  (4)

где  М/ - число  молей  данного  газа  (М - масса,   - масса  моля);  i  –  число  степеней  свободы  молекул  данного  газа;  R = 8,31 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная; dT – изменение температуры газа, соответствующее dU.

Подставляя выражение (4) в (3) и интегрируя, получим

  (5)

где T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа.

Уравнение Менделеева-Клапейрона для состояний 1 и 2 газа с учетом постоянства объема запишется в виде

  (6)

  (7)

откуда

  (8)

  (9)

Подставляя последние два выражения в формулу (5), получаем для изменения энтропии S газов, близких по своим свойствам к идеальным, при изохорическом процессе

  (10)

Используя выражения (1) и (2) для давлений р1 и р2, преобразуем соотношение (10) к виду

  (11)

или

  (12)

Учитывая, что << 1, можем с достаточно хорошей точностью заменить давление р2 атмосферным давлением р0, а значения логарифмов – их приближенными выражениями, получаем

  (13)

где h = h2 h1.

Воздух является смесью, в основном, двухатомных газов, для которых  число  степеней  свободы i = 5;  объем  баллона  в нашей установке V = 0,02 м3; используя также вышеприведенные численные значения плотности воды и ускорения свободного падения, получим в СИ окончательное расчетное соотношение для изменения энтропии воздуха в данном эксперименте

  (14)

В нашем случае изохорного охлаждения воздуха в баллоне  разность уровней в коленах манометра понижается, то есть h < 0, следовательно, энтропия воздуха убывает: S < 0.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Плотно закрыть пробку 2 и с помощью насоса накачать воздух в баллон так, чтобы разность уровней воды в манометре была равна указанной преподавателем величине (в пределах 40-60 см). Зажимом 5 быстро перекрыть сообщение между баллоном и насосом и в этот момент записать показание манометра h1.

2. Нагревшийся при сжатии воздух вследствие теплообмена через стенки баллона с наружным воздухом будет охлаждаться, при этом его давление в замкнутом объеме будет падать. Выждав, пока давление перестанет изменяться (то есть воздух в баллоне примет температуру комнаты Т2), записать значение h21 установившейся разности уровней воды в манометре.

3. Открыть пробку 2 и выпустить воздух из баллона.

4. Повторить операции 1-3 еще 6 раз, устанавливая одно и то же исходное значение h1 и записывая в таблицу результатов измерений соответствующие значения h2i.

5. Определить по термометру температуру воздуха Т2 в лаборатории и записать ее значение рядом с таблицей.

6. По формуле (14) вычислить с точностью до трех значащих цифр изменение энтропии Si для каждого опыта в отдельности.

Таблица

Номер опыта

h1, см

h2i,

см

hi, см

Si, Дж/К

Si,

Дж/К

(Si)2

S =

(Si)2=

 Т2 =

7. Считая величины Si случайными, обработать их как результаты невоспроизводимых косвенных измерений, а именно, найти их среднее значение

и доверительную погрешность

  P = 0,68.

8. Округлив надлежащим образом полученные значения погрешности и среднего результата измерений, записать окончательный результат в стандартной форме

  P = 0,68.

Сделать необходимые заключения и выводы в письменной форме.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Что такое энтропия? Что она определяет?

2. Какие определения энтропии Вы знаете?

3. Что такое внутренняя энтропия системы? Напишите выражение для внутренней энергии идеального газа.

4. Что такое число степеней свободы? Как определяется это число различных систем?

5. Сформулируйте первое начало термодинамики. Как выглядит его запись для изохорического процесса в газе? Для других изопроцессов?

6. Напишите уравнение состояния идеального газа.

7. Сформулируйте второе начало термодинамики.

8. Может ли изменение энтропии быть отрицательным? Когда это имеет место?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982, т. 1, § 87, 97, 103, 104,107.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. – СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители доц. В.И.Грачев, доц. Г.В.Гусев, доц.

Соколов Ю.И.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20
ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ ПРИ НАГРЕВАНИИ
И ПЛАВЛЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Изменение энтропии при любом переходе термодинамической системы из некоторого состояния 1 в другое состояние 2 равно

  (1)

где dQ – бесконечно малое количество тепла, полученное или отданное системой в любом обратимом (равновесном) процессе, также  переводящем систему из состояния 1 в состояние 2; Т – абсолютная температура.

В настоящей лабораторной работе определяется изменение энтропии некоторой массы олова при его нагревании и плавлении.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Установка для выполнения лабораторной работы, схематически изображенная на рисунке представленном ниже, состоит из

Рис. 1

муфельной электротигель 2 с исследуемым сплавом олова и рабочим спаем термопары 3. Миллиамперметр 4 измеряет термоэлектрическую силу, пропорциональную разности температур спаев термопары Т.

Измерительная часть работы состоит в определении температуры плавления олова, которая находится из графика зависимости его температуры от времени нагревания. Действительно, при постоянной мощности нагревателя на таком графике наблюдается горизонтальный участок, соответствующий процессу плавления, в течение которого температура Тпл не изменяется несмотря на продолжающийся подвод тепла.

Для вычисления изменения энтропии олова при его нагревании и плавлении представим общее выражение S (1) в виде суммы двух интегралов, соответствующих нагреванию и плавлению

  (2)

где  Тk – комнатная температура; Тпл – температура плавления олова; dQн  и dQпл – элементарные количества теплоты, получаемые веществом соответственно при его нагревании и плавлении.

Так как плавление происходит при постоянной температуре Тпл, то

  (3)

где Qпл = m - количество тепла, необходимое для расплавления данной массы олова при его температуре плавления (здесь m – масса олова,  - его удельная теплота плавления).

Учитывая, что при нагревании

  

где С – удельная теплоемкость металлического олова, получаем после интегрирования

  (4)

Соотношение (4) в данной работе является расчетным.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Ознакомиться с миллиамперметром и с приложенным к установке графиком зависимости разности температур спаев термопары от показаний милливольтметра.

2. По лабораторному термометру определить комнатную температуру и записать ее значение.

3. Включить электропечь. Как только показания милливольтметра начнут изменяться (что соответствует нагреванию олова), включить секундомер  и каждую минуту записывать отсчет по шкале милливольтметра в табл. 1 до тех пор, пока не будет пройден горизонтальный участок графика зависимости температуры олова от времени.

4. По прилагаемому графику градуировки милливольтметра и термопары определить разности температур спаев термопары T для каждого из записанных показаний милливольтметра и занести их в таблицу. Вычислить соответствующие температуры олова T = Tk - T и записать их в таблицу.

Таблица

Результаты измерения температуры олова

Время t, мин.

1

2

3

4

5

6

7

и т.д.

Отсчет по милливольтметру, дел.

Разность температур спаев T, К

Температура олова, К

5. На миллиметровой бумаге построить график зависимости температуры олова T от времени t его нагревания; при этом масштабы по осям координат выбрать таким образом, чтобы наклонная часть графика располагалась примерно под углом 450 к осям.

6. Из построенного графика определить температуру плавления олова Тпл.

7. По расчетной формуле (4) вычислить изменение энтропии при нагревании и плавлении олова с точностью до 3-4 значащих цифр.

При вычислениях принять:

              m = (0,200  0,001) кг,             Р = 0,68;

      = (5,80  0,05)104 Дж/кг,       Р = 0,68;

   С = (2,50  0,05)102 Дж/(кгК),  Р = 0,68.

8. Вывести формулу для вычисления погрешности (S) результата измерений и вычислить погрешность с точностью до двух значащих цифр при доверительной вероятности Р = 0,68. При вычислениях погрешности Тпл определить по формуле

  

где Tk = P Tпр – погрешность лабораторного термометра,

(T) = P (Tпр) – погрешность определения температуры олова по графику, равная цене одного деления графика по оси температур.

9. Надлежащим образом округлив значения погрешности (S) и результата измерений S, записать окончательный результат в стандартной форме с указанием доверительной вероятности.

10. Проанализировать полученные данные и сделать необходимые выводы в письменном виде.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Как определяется макро- и микросостояние системы?

2. Что такое статический вес?

3. Что такое энтропия? Какие определения этой величины Вы знаете? В чем их различие?

4. Какие Вы знаете функции состояния системы?

5. Что такое свободная энергия системы?

6. Сформулируйте второе начало термодинамики. Почему его относят к законам сохранения?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982, т. 1, § 103, 104, 107.

2. Рейф Ф. Берклеевский курс физики. – М.: Наука, 1977, т. 5, § 4.1, 5.5.

3. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. – СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель ст.пр. Штычкова Т.П.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 38
ИЗМЕРЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА

Целью работы является опытная проверка закона Дюлонга и Пти, согласно которому ( и классической теории теплоемкости [1]) молярная теплоемкость химически простых веществ в кристаллическом состоянии при не слишком низких температурах одинакова и равна

  Дж/(моль К).  (1)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И ПРИНЦИПА ЕЕ ДЕЙСТВИЯ

В настоящей лабораторной работе для измерения молярной теплоемкости

   (2)

простых твердых веществ используется специальная печь-калориметр. Схема установки представлена на рис. 1. Калориметр представляет собой латунный корпус 1 с конической полостью 2 внутри, в которую может плотно вставляться притертый к ней конический цилиндр-образец 3 из исследуемого материала (медь, сталь, алюминий и т.д.). В корпусе калориметра уложена нагревающая его спираль 4, теплоизолированная от внешней среды слоями асбеста 5 и пенопласта 6. Калориметр закрыт алюминиевым кожухом 7 с закрывающейся крышкой 8. С лицевой стороны под крышкой калориметр замурован слоем 9 огнеупорного материала (шамот). На задней стороне калориметра в его корпусе углублен терморезистор 10 – датчик измерения температуры и имеет винт 11 для выталкивания нагретых образцов.

Напряжение и ток в нагревающей спирали 4 регистрируется вольтметром 12 и амперметром 13. Их изменения осуществляются латром 14, включенным в сеть 220 В.

Схема установки для измерения теплоемкости твердых тел

Рис. 1

1 – корпус, 2 – полость, 3 – образец, 4 – нагревающая

спираль, 5 – слои асбеста, 6 – пенопласт, 7 – кожух,

8 – крышка калориметра, 9 – шамот, 10 – терморезистор,

11 – винт, 12 – вольтметр, 13 – амперметр, 14 – латр,

15 – микроамперметр, 16 – вентилятор

Терморезистор 10 соединен с микроамперметром 15, нижняя шкала которого градуирована в 0С.

Для ускорения охлаждения нагретого калориметра используется настольный вентилятор 16.

При нагревании на Т градусов калориметра с помещенным в него исследуемым телом энергия электрического тока идет на нагрев калориметра, тела и потери тепла в окружающую среду, или, с учетом выражения (2):

  (3)

где J и U – ток и напряжение на нагревателе; Мк и М – массы калориметра и тела; С, к и С - молярные теплоемкости материалов калориметра и тела; 2 – время нагревания; Q – потери тепла.

Нагревание пустого калориметра на те же Т градусов потребует меньшего времени  1. Потери тепла Q в обоих случаях одинаковы – они зависят только от разности температур Т, т.е. при этом

  (4)

Вычитая выражение (3) и (4) друг из друга, имеем

  (5)

где  = 2 - 1 – разность времен нагрева калориметра с образцом и без него.

Из выражения (5) искомая молярная теплоемкость исследуемого вещества

  (6)

Формула (6) – основное расчетное соотношение настоящей лабораторной работы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Вывести ручку латра против часовой стрелки до упора.

2. Включить в сеть вольтметр и схему терморезистора (общий шнур питания). При этом на шкале вольтметра высвечивается световой зайчик (в положении U = 0), а стрелка микроамперметра показывает температуру калориметра в  0С (нижняя шкала).

3. Убедиться в том, что начальная температура калориметра не превышает 25 0С. В противном случае охладить его ниже этой температуры с помощью вентилятора.

4. Плотно вставить образец исследуемого материала в калориметр. Включить латр в сеть и с его помощью установить (по указанию преподавателя) ток по амперметру в диапазоне J = (0,8-1) А.

ВНИМАНИЕ! Установку латра по напряжению и току в дальнейшем не изменять в течение всей работы (не трогать ручку латра).

5. По достижении калориметром температуры t0 = 28 0C включить секундомер, отмечая затем и записывая в таблицу времена его нагрева 2 через каждые 4 0С. Проведя 2-3 измерения, записать перед таблицей установившиеся значения тока J и напряжения U. При температуре 48 0С остановить секундомер и отключить латр от сети.

6. Винтом 11 вытолкнуть тело из калориметра. Охладить установку вентилятором до 25 0С.

ПРИМЕЧАНИЕ.  Охлаждение займет 15-20 мин. За этом время можно вычислить разности T = t – t0, записать значения  М и  исследуемого  вещества,  оформить бланк, получить консультацию преподавателя и т.д.

7. Закрыть крышку 8. Снова включить латр в сеть (по-прежнему не изменяя его установку). При температуре t0 = 28 0С включить секундомер, снова отмечая времена 1 нагрева калориметра через каждые 4 0С (как и в первом случае) и записывая их в таблицу. При 48 0С отключить латр от сети.

8. Вычислить разности времен нагрева = 2 - 1 для каждой соответствующей разности температур T = t – t0 и найти  отношения /T. Результаты расчетов занести в таблицу.

Результаты измерений

М = кг;      =  кг/моль;     J = А;     U = В

t, 0С

2, с

1, с

T=t – t0,

K

=

2-1,

c

/T,

c/K

C i,

  Дж  
мольК

C i,

 Дж  
мольК

(C i)2,

  Дж  
мольК

28

32

36

40

44

48

-

4

8

12

16

20

 С = (С i)2=

9. Для каждой строки таблицы, начиная со второй, по формуле

  

с учетом постоянства коэффициента J U/M и найденных значений /T вычислить ряд значений молярной теплоемкости исследуемого вещества.

10. Обработать полученные значения С, i по алгоритму расчета результатов прямых многократных измерений и записать ответ

11. Сравнить полученный результат с теоретическим значением С = 3 R = 25 Дж/(мольК). Сделать необходимые выводы и заключения (в письменной форме).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется молярной теплоемкостью веществ? Какие еще теплоемкости тел имеют употребление?

2. Почему теплоемкости твердых тел практически не зависят от давления и объема? Так ли это для газов?

3. Что такое число степеней свободы? Связано ли оно с теплоемкостью тел? Какова эта связь? Каково число степеней свободы для твердых тел?

4. Зависит ли теплоемкость тел от температуры, как и почему?

5. Сформулируйте закон Дюлонга и Пти. Согласуется ли этот закон с классической теорией теплоемкостей? Каков примерно температурный диапазон, в котором он справедлив?

6. Для чего нужно знать теплоемкости тел? Приведите примеры.

7. Как связаны между собой значения молярной и удельной теплоемкостей для одного и того же вещества?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука. - 1982. - С. 363-365.

2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составители доц. Г.В. Гусев, доц. Ю.И. Соколов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 22
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЗАКОНА
СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Цель работы: экспериментально проверить закон сохранения и превращения энергии на примере перехода механической энергии во внутреннюю энергию взаимодействующих тел. Для этого: а) экспериментально определить коэффициент трения скольжения; б) на основе закона сохранения энергии рассчитать путь, который соскользнувшая с наклонной плоскости шайба пройдет по горизонтальной поверхности. Сравнить расчетное значение с экспериментальным.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Сила трения скольжения в случае сухого трения вызывается механическим зацеплением между неровностями соприкасающихся поверхностей и сцеплением между молекулами обоих тел в областях непосредственного соприкосновения. В приближенных расчетах можно считать, что сила трения скольжения - Fтр прямо пропорциональна силе нормального давления - , оказываемого телом на поверхность (закон Амонтона 1699 г.):

  (1)

где k - безразмерный коэффициент, зависящий от свойств материала тел. Из треугольника рисунка видно, что при равномерном

Плоскость с изменяемым углом наклона

движении шайбы составляющая силы тяжести в направлении наклонной плоскости, равна силе трения по абсолютной величине: . Составляющая силы тяжести в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости, является силой нормального давления -f = и согласно (1)

  (2)

Для шайбы, скатывающейся с высоты h-b (где b половина толщины шайбы), и при угле наклона плоскости, равном , запасенная потенциальная энергия расходуется на преодоление сил трения  на наклонной плоскости и на горизонтальной поверхности:

  (3)

Из этой формулы путь l2, проходимый шайбой по горизонтальной поверхности, равен

  (4)

где l1 - путь, пройденный шайбой по наклонной поверхности, , - наименьший угол, при котором шайба начинает равномерно скользить по наклонной плоскости.

ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

1. Для измерения угла , по которому рассчитывается коэффициент трения k, необходимо плавно увеличивать угол наклона плоскости, медленно двигая штатив 1 (рисунок) до тех пор, пока шайба не начнет равномерное скольжение. Значение этого угла измеряют 10 - 12 раз с помощью транспортира.

2. Шайбу кладут на наклонную плоскость на расстоянии l1 (0,40,5) м от начала горизонтальной поверхности. Увеличивают угол наклона до значения , при котором путь l2, проходимый шайбой по горизонтальной плоскости, был бы не менее 0,2 м. Значение l2 измеряют 10 - 12 раз при одних и тех же l1, h и . Высота h измеряется до середины центра масс шайбы с помощью прямоугольного треугольника, один из катетов которого опирается на продолжение горизонтальной поверхности. (Из-за конечной толщины шайбы нельзя выразить l1 через h: и, таким образом, уменьшить число необходимых измерений).

3. Штангенциркулем измеряют толщину шайбы. Половина этого значения равно b. В таблицу измерений записываются: 10-12 значений угла и l2, по одному значению , h и l1 (погрешность , h и l1 равна цене деления транспортира, треугольника и линейки соответственно).

Расчет  пути - l2, пройденного шайбой по горизонтальной поверхности  и доверительной погрешности

По формуле (1.4) рассчитывается среднее значение l2:

  (5)

где .

Доверительная погрешность l2 рас находится по формуле

(6)

( и  подставляются в (1.6) в радианах).

  (7)

  (8)

После расчета доверительной погрешности сравните значение , найденное по формуле (5) с усредненным экспериментальным значением по формуле (7). Их совпадение в пределах доверительной погрешности подтверждает закон сохранения и превращения энергии, который формулируется так: при любых процессах, происходящих в изолированной системе, ее полная энергия не изменяется. Потенциальная энергия шайбы израсходовалась на преодоление сил трения скольжения, т. е. перешла во внутреннюю энергию шайбы и плоскости скольжения, увеличив их температуру.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Докажите, что путь, проходимый телом после скатывания с наклонной плоскости, не зависит от массы тела.

2. Что называется изолированной системой?

3. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.

4. Какие силы называются консервативными, диссипативными?

5. Как оценить, насколько нагреется шайба при скатывании с наклонной плоскости?

6. Как в технике уменьшают и увеличивают силу трения?

7. Подумайте, как распределяется выделяющееся при трении тепло между шайбой и поверхностью скольжения? Как оценить, насколько нагреется шайба при скатывании с наклонной плоскости?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. - М.: Наука. 1982. Т.15.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1971. - С.53-57.

3. Александров Н.В., Яшин А.Я. Курс общей физики. Механика. - М.: Просвещение, 1978. -С.82-92.

4. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель  проф. К.Г.Иванов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 25
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ
ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

Цель работы: экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера с помощью физического маятника.

ОПИСАНИЕ  ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ  ЧАСТИ  РАБОТЫ

Физический маятник - твердое тело, которое может вращаться под действием своей силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр тяжести тела (рис.1) и называемой осью качания маятника.

mg

o

c

d

Рис. 1

Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С. Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной оси качания, называется точкой подвеса маятника. Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент относительно оси качания маятника создает только его сила тяжести mg. При отклонении маятника на угол  эта сила создает момент, численно равный mgd sin и стремящийся повернуть маятник в положение равновесия. В этом случае основной закон динамики для вращательного движения запишется

 , (1)

где  - угол поворота маятника вокруг оси качания из положения равновесия, d = ОС - расстояние от центра масс маятника до оси качания, J -момент инерции маятника относительно той же оси, m - масса маятника. При малых колебаниях маятника sin   и уравнение движения маятника запишется

 , (2)

т.е. в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими:

 , (3)

где 0 - амплитуда колебаний угла , а

 ,    -  (4)

циклическая частота и период малых колебаний физического маятника соответственно.

ТЕОРЕМА  ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Пусть эти оси О и А перпендикулярны к плоскости рис. 1 и пересекают ее в точках О и А.

Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиусы- векторы одной из них, проведенные от осей О и А и параллельные плоскости рисунка, обозначим соответственно, тогда . Следовательно,

Рис.2

Интеграл слева есть момент инерции тела относительно оси А, первый интеграл справа - момент инерции относительно оси О. Таким образом,

   (5)

Последний интеграл можно представить в виде

 , 

где -радиус - вектор центра масс С тела относительно оси О. Пусть ось О проходит через центр масс С тела. Тогда =0, и (5) упрощается, принимая вид формулы

 , (6)

в которой обозначили через Jс - момент инерции относительно центра масс тела. Это соотношение называется теоремой Гюйгенса- Штейнера. Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной , где - расстояние между осями.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ  ПРОВЕРКА  

ТЕОРЕМА  ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА

Из формулы (4) следует, что период колебаний математического маятника связан с его моментом инерции, который, как это видно из теоремы Гюйгенса-Штейнера (6) зависит от расстояния между центром масс маятника и его точкой подвеса (отметим,  что d = ). Поэтому, если взять математический маятник с известным моментом инерции Jc , то отношение периодов колебаний для различных d можно рассчитать по формуле

 =bрас. (7)

С другой стороны, величина b находится экспериментально из измерений периодов колебаний физического маятника с Jc для различных d. Совпадение рассчитанного значения b с измеренным экспериментально в пределах доверительной погрешности будет указывать на справедливость теоремы Гюйгенса-Штейнера.

МЕТОДИКА  ИЗМЕРЕНИЯ

В работе используется цилиндр с моментом инерции , где m - масса цилиндра, R - его радиус. В цилиндре параллельно его оси просверлены отверстия на различном расстоянии d от его оси симметрии рис. 3.

d2

d1

R

Рис. 3

Цилиндр одевается на расстоянии d1 на стержень, закрепленный на штативе. Приводится в колебательное движение и измеряется период колебаний T1 (50.-.70 колебаний). Затем берется расстояние d2 и измеряется период T2. Находится экспериментальное отношение T1/T2 = bэкс.. Это значение сравнивается с вычисленным по формуле

  

                 . (8)

РАСЧЕТ  ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ  ПОГРЕШНОСТИ

Для того, чтобы вывести формулу погрешности для bрас., необходимо взять дифференциал от выражения (8) по трем переменным: d1, d2, R

            

             (9)

Экспериментальная погрешность находится следующим образом:

  (10)

Расчет d1, d2, R, t., а также доверительной вероятности P производить в соответствии с теорией погрешностей.

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

1. Что такое момент инерции тела?

2. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

3. Увеличится ли энергия маховика, если сместить ось вращения параллельно его оси симметрии?

4. Почему балансируют колеса машин?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. - М.: Наука. 1982. Т. 15

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.-М.: Наука, 1971. - С.71-72.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. - М.: Наука. 1979.

4. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель  проф. К.Г. Иванов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 26
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СЫПУЧИХ И ПОРИСТЫХ ТЕЛ

Распределение массы тела по его объему характеризуют с помощью физической величины, называемой плотностью.

Если тело однородно, т.е. свойства его во всех точках одинаковы, то плотность определяют по формуле:

 , (1)

где m - масса; V - объем тела.

Если масса тела неравномерно распределена по объему, то определяют плотность в данной точке тела:

 . (2)

Уменьшение V может продолжаться лишь до определенной величины, которая, с одной стороны, достаточно мала для того, чтобы свойства тела в пределах V можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велика для того, чтобы не могла проявиться дискретность вещества.

При определении плотности тела масса находится взвешиванием, что же касается объема, то он может измеряться различными методами в зависимости от формы и размеров тела, от его фазового состояния и т.д.

В случае сыпучих и пористых тел, если они гигроскопичны, объем можно определить, используя законы идеального газа. Собственный объем пористого или сыпучего тела (объем скелета) несколько меньше его номинального объема. Сыпучее или открыто пористое тело, заключенное в замкнутом сосуде, можно считать находящимся в газовой среде, так как газ проникает во все поры тела. При достаточно медленном изменении состояния газа в сосуде можно определить собственный объем сыпучего или открыто пористого тела.

На рис.1 изображен цилиндр с поршнем и указаны параметры начального и конечного состояния газа, находящегося в цилиндре под поршнем.

Рис. 1

В первом случае состояние газа изменяется при отсутствии исследуемого тела в цилиндре (рис. 1, а), во втором случае – при наличии исследуемого тела (рис. 1, б).

Начальное давление в обоих случаях одинаково и равно атмосферному давлению . Если начальное и конечное положения поршня одинаковы в обоих случаях, то изменение объема будет одинаковым и равным , где - ход поршня, а - его площадь. При достаточно медленном перемещении поршня процесс будет изотермическим.

Для газа, находящегося под поршнем в случаях, показанных на рис. 1, можно на основании закона Бойля-Мариотта соответственно записать:

 . (3)

Из рис. 1 видно, что , , где - собственный объем исследуемого тела. Тогда систему уравнений (3) можно записать иначе:

. (4)

Начальные объемы газа ( и ) в обоих случаях неодинаковы, увеличение же объема () одинаково; уменьшения давлений в первом и втором случаях соответственно равны и . Тогда конечные давления и можно выразить через начальное давление и изменения давлений и следующим образом:

 . (5)

Учитывая выражения (5), можно уравнения (4) записать в виде:

 .

Исключая из этой системы уравнений и решив ее относительно объема исследуемого тела V, получим

 . (6)

Величины , , , могут быть измерены. При определении и с помощью водяного манометра можно записать:

 , (7)

где - плотность воды; - ускорение свободного падения; - разность уровней в коленах манометра при отсутствии исследуемого тела; - разность уровней в коленах манометра при наличии исследуемого тела.

Подставив значения и из (7) и (6) и проведя преобразования, получим

 .

Так как

 ,

где - внутренний диаметр трубки манометра, формула (1) имеет вид:

 . (8)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Основными элементами установки, схема которой представлена на рис.2, являются: набор одинаковых сосудов 1, один из которых пустой, а остальные заполнены исследуемыми веществами, а также водяной манометр, подвижное колено 2 которого может соединяться с объемами сосудов посредством гибкой трубки 3 и соединенной с ней через стеклянный разветвитель 4 стеклянной трубки 5. Подвижное колено 2 соединено с неподвижным коленом 6 гибкой трубкой 7. Для герметичности соединения сосуды 1 и трубка 5 снабжены коническими шлифами.

Рис.2

Объемы подвижного колена манометра и соединенного с ним сосуда могут сообщаться с атмосферой при помощи крана 8, соединенного с разветвителем 4. Подвижное колено манометра снабжено шкалой 9. предназначенной для измерения величины 1 (т.е. хода поршня, роль которого выполняет вода в подвижном колене манометра). Неподвижная шкала 10 служит для измерения разностей уровней и воды в коленах манометра при отсутствии и при наличии исследуемого вещества в сосудах 1.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Предложенный в данной работе метод позволяет определить объем сыпучего или открыто пористого вещества.

Целью данной лабораторной работы является определение плотности пористого тела, например, волокна или сыпучего тела, например песка, крупы и т.п., размеры частиц которых трудно определить путем непосредственных измерений.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Подвижное колено манометра переместить в крайнее нижнее положение.

2. Соединить подвижное колено манометра с объемом пустого сосуда.

3. Поворотом крана 8 выровнять уровни воды в коленах манометра, после чего перекрыть кран. Заметить положение уровня воды в подвижном колене по шкале 9.

4. Переместить подвижное колено манометра вверх так, чтобы уровень воды в нем достиг красной отметки на шкале подвижного колена.

5. Измерить величину , т.е. разницу уровней воды в подвижном колене до и после перемещения.

6. Измерить разницу уровней в коленах манометра по шкале 10.

7. Все действия по пунктам 1-6 по измерению повторить не менее 3х раз, результаты занести в табл. 1.

8. Аналогично пунктам 1-7 провести измерения величины для сосудов с исследуемыми веществами, результаты занести в табл.

Таблица

Разница уровней для

Разница уровней для сосуда

с исследуемым веществом

опыта

пустого сосуда

, мм

, мм

(вещество 1)

, мм

(вещество 2)

1

2

3

=    =

=    =

9. Измерить барометром атмосферное давление .

10.Произвести вычисления плотностей веществ по формуле 8, воспользовавшись необходимыми данными, указанными на установке.

11. Расчет погрешностей измерения выполнить по методике определения погрешностей косвенных измерений с доверительной вероятностью = 0,68.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется плотностью вещества?

2. Чем отличаются друг от друга понятия "бесконечно малый объем" и "физически бесконечно малый объем"?

3. В каких случаях данный метод определения плотности предпочтителен по отношению к методу, основанному на измерении объемов тел путем их погружения в жидкость?

4. Какие факторы влияют на точность и чувствительность данного метода?

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1982, т. 1, § 39, 86.
  2. Гусев Г.В., Буркова Л.А. Учебное пособие. Обработка и анализ результатов лабораторного физического эксперимента. - СПб.: СПГУТД, 1995.

Составитель  доц. А.Ю.Пастухов

ТАБЛИЧНЫЕ  ДАННЫЕ

I. Основные физические постоянные

1. Число Авогадро   

2. Постоянная Больцмана   Дж/К

3. Ускорение свободного падения

4. Универсальная газовая постоянная

5. Скорость света в вакууме   м/с

6. Атомная единица масса

   (массы нейтрона и протона)  

7. Масса покоя электрона   кг

8. Часто встречающиеся величины ;  ; ;

; ;

9. Плотность воздуха (при н.у.)

10. Ангстрем, нанометр  1 Å = м; 1 нм =м


II. Физические свойства некоторых веществ

Вещество

Плотность

103,

кг/м3

Удельная теплоемкость

кДж/кгК

Температура плавления

0 0С

Удельная теплота плавления

кДж/кг

Температура кипения при норм. давлении

Удельная теплота парообр. при норм. давлении

мДж/кг

Лед

Медь

Алюминий

Олово

Свинец

Серебро

Сталь

(железо)

0,9

8,9

2,7

7,3

11,3

10,5

7,8

2,1

0,38

0,88

0,23

0,13

0,21

0,46

0

1083

660

232

327

960

1400

330

180

380

59

25

87

82

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Вода

Керосин

Ртуть

Спирт

1,0

0,8

13,6

0,79

4,2

2,1

0,13

2,4

-

-

-

-

-

-

-

-

100

-

357

78

2,3

-

0,29

0,85

III. Постоянные газов (при нормальных условиях)

Газ

Молярная масса кг/моль

Теплопроводность,

Вязкость

, Па  с

Диаметр молекулы

d, м

He

Ar

H2

N2

O2

CO2

H2O

Воздух

4

40  10-3

2  10-3

28  10-3

32  10-3

44  10-3

18  10-3

29  10-3

1,63

1,67

1,41

1,40

1,40

1,30

1,32

1,4

141,5  10-3

16,2  10-3

168,4  10-3

24,3  10-3

24,4  10-3

23,2  10-3

15,8  10-3

24,1  10-3

18,9  10-6

22,1  10-6

8,4  10-6

16,7  10-6

19,2  10-6

 14  10-6

  9  10-6

17,2  10-6

 2  10-10

3,5  10-10

2,7  10-10

3,7  10-10

3,5  10-10

 4  10-10

 3  10-10

3,5  10-10

IV. Постоянные жидкостей и твердых тел

Вещество

Удельная теплоемкость

Удельная теплота парообразования

Удельная теплота плавления

Поверхностное натяжение

Вода

Глицерин

Ртуть

Спирт

Алюминий

Железо

Лед

Свинец

Медь

4,18  103

2,42  103

0,14  103

2,42  103

0,9  103

0,46  103

2,09  103

0,13  103

0,39  103

2,25  105

-

2,84  105

8,53  105

3,21  105

 2,7  105

3,33  105

2,5  105

1,75  105

73  10-3

66  10-3

490  10-3 

22  10-3


ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИИ

1.  Студент должен заранее ознакомится с теоретическим материалом по теме лабораторной работы, которую ему предстоит выполнить и письменно ответить на контрольные вопросы.

2.  При подготовке заранее оформляется бланк отчета (образец находится в лаборатории на стенде). Используемые в работе измерительные приборы и инструменты обязательно должны быть описаны и занесены в таблицу. На бланке записываются основные теоретические сведения и расчетные формулы для искомых величин и их погрешностей. Изображается схема лабораторной установки, подготавливается таблица измеряемых величин.

3. Перед работой студент должен получить допуск к работе. Для этого нужно побеседовать с преподавателем, ответить на несколько вопросов по теории и лабораторной установке, продемонстрировать правильность оформления бланка отчета.

4. Получив допуск (подпись преподавателя), студент может приступить к выполнению работы. За помощью в регулировании лабораторной установки и подключении ее к источникам питания можно обращаться к лаборанту или преподавателю.

5.  Результаты измерений заносятся ручкой на бланк отчета. Не допускается исправление уже написанных цифр.

6.  Необходимо аккуратно записать в отчет данные установки.

7.  Желательно произвести контрольные расчеты искомых величин.

8.  Блан отчета с результатами измерений и контрольных расчетов обязательно подписывается преподавателем.

9. Обработка результатов измерений, вычисление искомых величин, построение графиков на миллиметровой бумаге может производиться дома.

10. Каждая работа должна быть сдана в сроки, предусмотренные планом.

Внимание!

В лаборатории необходимо выполнять правила техники безопасности, бережно относиться к приборам и инструментам. По окончании выполнения работы рабочее место должно быть приведено в порядок, приборы отключены от источников питания.

2 *  При определении натяжения учитывается вес чашки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1435. Уровневые фронтальные лабораторные работы 231.52 KB
  Составной частью исследуемой проблематики является уровневый подход к формированию практических умений и навыков школьников. Для реализации этой цели учителем разработаны уровневые фронтальные лабораторные работы, и примеры использования проектной технологии как возможности вариативной организации учебных занятий.
1436. Алгоритм решения задачи с использованием программ Microsoft Excel и MathCAD 265.69 KB
  Данная работа посвящена автоматизации процессов расчетов. Ее целью является закрепление знаний по всем разделам дисциплины Информатика, проверка навыков практической работы с программными средствами обработки информации.
1437. Основные модели данных 182.57 KB
  В зависимости от используемой модели СУБД называются соответственно: сетевыми, иерархическими и реляционными. Манипулирование данными. Сетевая база данных. Достоинства и недостатки иерархических и сетевых СУБД.
1438. Теоретическое и экспериментальное исследование процесса сушки абрикос с применением токов высокой частоты 3.32 MB
  Современные теоретические представления о тепло- массопереносе в процессах сушки. Электрофизические параметры абрикос и их влияние на объемное тепловыделение. Экспериментальное определение электрофизических параметров абрикос. Математическая модель динамики изменения электрофизических параметров абрикос.
1439. Использование распознавания образов для обработки и восстановления музыкальных сигналов 7.15 MB
  Определение полного перечня признаков, характеризующих объекты, преобразование информации при распознавании музыкального сигнала. Статический подход к распознаванию образов. Общая характеристика современной техники восстановления.
1440. Лингвопереводческие концепции американских переводоведов второй половины ХХ-начала ХХІ века 19.04 MB
  Перевод как один из древнейших видов человеческой деятельности, его роль в развитии социума, особая роль лингвопереводческих концепций Ю.А. Найды в развитии теории и практики межъязыковой коммуникации в США. Предпосылки развития генеративной лингвистики, формальная и динамическая эквивалентность, роль рецептора перевода.
1441. Методика складання розкладу занять 213.34 KB
  Важливим елементом організації роботи навчального закладу є науковий підхід до складання розкладу занять, розглянутий у роботі В.Пайкеса Методика складання розкладу занять у загальноосвітній установі. Раціонально складений розклад занять сприяє ефективності НВП, зниженню і ліквідації перевантажень учнів, підвищенню працездатності учнів і вчителів.
1442. Прогнозирование курсов валют на рынке Forex 196.69 KB
  Главная задача любого инвестора — купить дешевле и продать дороже. Чем выше изменчивость цен актива, тем больше имеется возможностей для проведения выигрышных стратегий торговли, но они сопряжены с высоким риском. Ключевым вопросом при этом является определение направления, величины и волатильности (изменчивости) будущих цен на основе прошлых данных. В статье дается пример прогноза курсов валют на рынке Forex, полученного с применением нейронных технологий.
1443. Основы экономического управления 170 KB
  Конечные производственные результаты (выручка от реализации всей продукции). Внешняя норма доходности. Жизненный цикл проекта. Разработка концепции проекта. Показатели бюджетной эффективности. Сальдо накопленных реальных денег.