3349

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

Лекция

Физика

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса План лекции: Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул. Распределение Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления...

Русский

2012-10-29

377.5 KB

71 чел.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

План лекции:

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
  2.  Распределение Больцмана.
  3.  Средняя длина свободного пробега молекул.
  4.  Явления переноса:

а).диффузия;

б).внутреннее трение (вязкость);

в).теплопроводность.

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от  и  для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул N будет обладать скоростями в интервале от  и ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул  значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

~

Введем коэффициент пропорциональности f(.

,       

где f( называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции  известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от  до .

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от  до .

,        (2)

- распределение Максвелла показывает, какая доля  общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от  до .

Из уравнений  и  следует вид функции

-     (3)

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции  зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

 

График функции  асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие в, встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

Sобщ.= 1.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. Sобщ.= 1.

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем  на максимум.

,        4,

,                  .

,  .

Ранее было показано, что

,          ,

  .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

                         числу молекул.

.

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является в.

  1.  Распределение Больцмана.

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой.

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

 

где плотность газа на высоте h.

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

    

   или      .

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т=const (не зависит от высоты).

.

при h=0   , ,  ,

,  ,  ,

- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

,   

Т. к. , а

где  - потенциальная энергия молекулы на высоте h.

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

  1.  Средняя длина свободного пробега молекул.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина  называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d. Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием   и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

 .

Для большинства газов при нормальных условиях

.

Средняя длина свободного пробега  - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время t пути к числу соударений за это время:

  

Для большинства газов при нормальных условиях .

обратно пропорциональна концентрации молекул.

Поскольку     

При T =const      ,  обратно пропорциональна давлению.

  1.  Явления переноса.

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, количества движения, энергии. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. В основе всех 3-х процессов лежит один механизм - хаотическое движение и перемешивание молекул, поэтому их закономерности должны быть похожи, а количественные характеристики тесно связаны друг с другом.

Нарушение равновесия приводит к возникновению пространственной неоднородности какой-либо физической величины (плотности, температуры, скорости упорядоченного движения слоёв).

Движение молекул выравнивает эти неоднородности. Каждая молекула обладает массой , импульсом , энергией .

Явление переноса в газах и жидкостях состоят в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение), внутренней энергии (теплопроводность). При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и максвелловское распределение молекул по скоростям.

а). Диффузией называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемещение молекул двух соприкасающихся газов, жидкостей или твердых тел.

Рассмотрим это явление вначале с макроскопической точки зрения, а затем с позиции МКТ.

1) S  оси ОХ (рис.6). Пусть в 2-х точках, отстоящих друг от друга на х, плотность отличается на .

Согласно закону Фика, установленному экспериментально, масса газа , переносимая за время t через площадку S, прямо пропорциональна величине этой площадки, времени t и градиенту плотности

                       (4)

где - плотность газа,  - градиент плотности, т.е. изменение плотности на единице длины в направлении наиболее быстрого её возрастания, D - коэффициент диффузии.

Градиент (от лат gradiens - шагающий) - мера измерения какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины в направлении наиболее быстрого её возрастания. Если отношение  непостоянно, его следует заменить производную . Знак “-” показывает, что перенос массы осуществляется в направлении убывания плотности.

            .

Согласно кинетической теории газов .

Коэффициент D - численно равен массе вещества, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте плотности, равном единице. Величина D зависит от вида газа и условий, при которых он находится.

2) Рассмотрим явление диффузии с точки зрения МКТ.

Для простоты рассмотрим два одинаковых взаимно проникающих газа, т.е. массы молекул одинаковы. При одинаковых условиях у таких молекул одинаковы  и . Плоскость, которой принадлежит площадка S, делит систему газов на две области: I и II (рис.7).

Ввиду хаотичности движения молекул считаем, что 1/3 их движется вдоль ОХ, а к площадке S - 1/6 от общего числа молекул. За время t через S из I в II перейдут N1 молекул:

       

а в обратном направлении

       

Уточним, к каким точкам областей I и II следует отнести концентрации молекул n1 и n1 . Через S проходят молекулы только из того места, где они испытали последнее столкновение, т.е. с расстояния, равного .

Определим разность между числом молекул N1 и N2, проходящих через S за t в обоих направлениях:

         

,

- масса газа, перешедшая через S за t 

 -   (5)

на основе МКТ.

(4) и (5) совпадают, если положить .

При нормальных условиях .

Т.к.  то  (т.к.  не зависит от р) - в разреженных газах диффузия идет быстрее.

Т.к.  то  D ~

б). Внутреннее трение в газах (вязкость).

Вязкостью газов (жидкостей) называется их свойство оказывать сопротивление перемещению одних слоев относительно других. Явление вязкости связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями. Со стороны более быстрого слоя на медленный действует ускоряющая сила , а со стороны медленного – задерживающая  (рис. 8). Силы трения направлены по касательной к поверхности слоев и определяются эмпирической формулой 

      (6)

где - динамическая вязкость,  - градиент скорости, S - площадь слоя.

Формула (6) определяет модуль двух противоположно направленных сил  и , с которыми слои действуют друг на друга, поэтому отношение  тоже берем по модулю.

   ·с=

Коэффициент  численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности раздела параллельно движущимся слоям при градиенте скорости равном 1.

= - кинематическая вязкость.

У газов с ростом температуры динамическая вязкость растёт.

МКТ объясняет вязкость переносом импульса молекул от одного слоя другому.

Выделим в газе два слоя, движущиеся с  и  (рис. 9). Каждая молекула одновременно участвует в двух движениях

1).хаотическом с ;

2).упорядоченном с .

Скорость  одинакова для всех молекул данного слоя и различна для разных слоёв. Вследствие теплового движения молекулы переходят из слоя в слой. За время t через площадку S в обоих направлениях перейдёт одинаковое количество молекул:

.

Попав в другой слой при соударении, молекула отдаёт или приобретает избыток импульса, в результате импульс быстро движущегося слоя убывает, а медленного - возрастает.

Молекулы, перешедшие из 1-го слоя во 2-й за t перенесут через S импульс , из 2-го в 1-й - :

          =,      .

В результате через площадку S за t перенесен импульс

,

где .

Каждая молекула, пересекая S, переносит импульс, полученный в момент её последнего соударения с другой  молекулой, происшедшего на расстоянии  от S, т.е. наименьшее расстояние, на котором возможно возникновение градиента скорости между слоями, .

;  .

Знак минус указывает, что импульс передается в направлении убывания скорости.

Поскольку

           (7)

Из сравнения (6) и (7) следует, что

.

Большое значение имеет знание вязкости газов и жидкостей в военной технике - гидравлические амортизаторы, насосы, трубопроводы, движение летательных аппаратов в атмосфере.

в) Теплопроводность газов.

Явление теплопроводности  возникает, если различные слои газа имеют разную температуру, т.е. обладают разной внутренней энергией. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности состоит в переносе количества теплоты от более нагретого тела к менее нагретому.

Согласно эмпирическому закону Фурье

.

Количество теплоты , переносимое за время t через площадь S, пропорционально градиенту температуры , площади S и времени t.

- коэффициент теплопроводности

Знак минус указывает на то, что тепло переносится в сторону убывания температуры.

         .

Коэффициент теплопроводности - физическая величина, численно равная количеству теплоты, переносимой за единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице.

С точки зрения МКТ перенос количества теплоты  означает перенос через площадку S некоторого количества кинетической энергии беспорядочного движения молекул.

По аналогии с предыдущими случаями

, где  - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Макроскопическая теория

Молекулярно-кинетическая

теория

Явление

Перенесенная

физическая

величина

Закон переноса

Закон переноса

Коэффициент переноса

Диффузия

Масса

Внутр.

трение

Импульс

Тепло-проводность

Внутренняя

энергия

ис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

0

Рис. 6

0

Рис. 7

I

II

Рис. 8

0

Рис. 9

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22127. Эволюция органов и функций 82 KB
  Количество часов: 2 Эволюция органов и функций Принципы филогенетического преобразования органов и функций. Взаимосвязь морфофизиологических преобразований органов и систем в филогенезе. Принцип компенсации функций Принципы филогенетического преобразования органов и функций. Филогенетические изменения органов весьма разнообразны.
22128. Происхождение и развитие жизни на Земле 191 KB
  Количество часов: 6 Происхождение и развитие жизни на Земле Жизнь как особая форма движения материи. Гипотезы происхождения жизни Краткие сведения о геохронологии Возникновение жизни. Но не преувеличивают ли загадочности жизни. Второе перенос жизни через мировые пространства довольно трудно допустить.
22129. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЭВОЛЮЦИИ 92 KB
  Количество часов: 2 В биологии все наполняется смыслом лишь тогда когда истолковывается с эволюционной точки зрения. Значение эволюционной теории Основные доказательства эволюции. Значение эволюционной теории Происхождение жизни на Земле одна из центральных проблем современного естествознания и исходная точка любой религии. Целью эволюционной теории является выявление закономерностей развития органического мира объектом служат организмы в процессе их исторического развития к методам изучения относятся палеонтологический...
22130. Экологические основы эволюции 104.5 KB
  Понятие биогеоценоза очень важно в теории эволюции поскольку в них существуют и эволюционируют популяции. Некоторые виды состоят из огромного числа популяций другие из немногих или даже из одной популяции. Характеристики популяции оказывают влияние на действие эволюционных факторов. По пространственному распределению выделяют три основных типа популяций: 1 большие непрерывные популяции популяции злаков растущих на равнинах и покрывающих площади шириной в десятки или сотни километров; 2 мелкие изолированные колониальные популяции...
22131. Осадка. Распределение накопленной деформации (εi) по объему осаженной заготовки 182 KB
  Расчет силы деформирования при осадке и построение графика технологических нагрузок. Мощность и работа пластической деформации при продольной осадке цилиндра. Работа деформирования при продольной осадке.Схема осадки:1 нижняя плита; 2 верхняя подвижная плита; 3 цилиндрическая заготовка при продольной осадке; 4 цилиндрическая заготовка при поперечной осадке.
22132. Метод баланса работ 36 KB
  В основу метода положено следующее положение: при пластической деформации работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе внутренних сил работе пластической деформации. Работа пластической деформации 2 Если упрочнение отсутствует то Чаще принимают равным выбранному по АВ работа внешних сил: активной силы силы деформирования; сил трения. Работа сил трения берется со знаком минус. 3 где X Y Z проекции силы действующей по участку поверхности dF на оси координат а UX UY UZ ...
22133. Феноменологическая теория разрушения металлов при холодной пластической деформации 98 KB
  Феноменологическая теория базируется на сложившихся в настоящее время физических представлениях о закономерностях разрушения металла при пластической деформации. Различными экспериментальными методами было показано что величина пластического разрыхления возрастает пропорционально степени деформации сдвига. Авторами данной теории была выдвинута следующая гипотеза: 1 где степень разрыхления частицы накопленная частицей деформация сдвига ab коэффициенты...
22134. Выдавливание. Расчет силы деформирования и построение графика технологических нагрузок 617.5 KB
  Основы теории штамповки выдавливанием на прессах М. Прямое выдавливание технологическая операция в процессе которой происходит истечение металла 2 заключенного в замкнутой полости контейнер 3 в направлении движения рабочего инструмента 1 через отверстие поперечное сечение которого определяет поперечное сечение выдавливаемой части деформируемой заготовки. Обратное выдавливание технологическая операция в процессе которой происходит истечение металла из замкнутой полости в направлении обратном встречном движению рабочего...
22135. Вытяжка без утонения 314 KB
  Схема операции вытяжка из осесимметричной полой заготовки. При этом величина зазора между матрицей и пуансоном составляет не менее толщины исходной листовой заготовки Рис. Пример заготовки и детали.