3349

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

Лекция

Физика

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса План лекции: Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул. Распределение Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления...

Русский

2012-10-29

377.5 KB

71 чел.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

План лекции:

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
  2.  Распределение Больцмана.
  3.  Средняя длина свободного пробега молекул.
  4.  Явления переноса:

а).диффузия;

б).внутреннее трение (вязкость);

в).теплопроводность.

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от  и  для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул N будет обладать скоростями в интервале от  и ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул  значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

~

Введем коэффициент пропорциональности f(.

,       

где f( называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции  известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от  до .

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от  до .

,        (2)

- распределение Максвелла показывает, какая доля  общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от  до .

Из уравнений  и  следует вид функции

-     (3)

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции  зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

 

График функции  асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие в, встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

Sобщ.= 1.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. Sобщ.= 1.

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем  на максимум.

,        4,

,                  .

,  .

Ранее было показано, что

,          ,

  .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

                         числу молекул.

.

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является в.

  1.  Распределение Больцмана.

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой.

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

 

где плотность газа на высоте h.

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

    

   или      .

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т=const (не зависит от высоты).

.

при h=0   , ,  ,

,  ,  ,

- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

,   

Т. к. , а

где  - потенциальная энергия молекулы на высоте h.

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

  1.  Средняя длина свободного пробега молекул.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина  называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d. Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием   и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

 .

Для большинства газов при нормальных условиях

.

Средняя длина свободного пробега  - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время t пути к числу соударений за это время:

  

Для большинства газов при нормальных условиях .

обратно пропорциональна концентрации молекул.

Поскольку     

При T =const      ,  обратно пропорциональна давлению.

  1.  Явления переноса.

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, количества движения, энергии. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. В основе всех 3-х процессов лежит один механизм - хаотическое движение и перемешивание молекул, поэтому их закономерности должны быть похожи, а количественные характеристики тесно связаны друг с другом.

Нарушение равновесия приводит к возникновению пространственной неоднородности какой-либо физической величины (плотности, температуры, скорости упорядоченного движения слоёв).

Движение молекул выравнивает эти неоднородности. Каждая молекула обладает массой , импульсом , энергией .

Явление переноса в газах и жидкостях состоят в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение), внутренней энергии (теплопроводность). При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и максвелловское распределение молекул по скоростям.

а). Диффузией называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемещение молекул двух соприкасающихся газов, жидкостей или твердых тел.

Рассмотрим это явление вначале с макроскопической точки зрения, а затем с позиции МКТ.

1) S  оси ОХ (рис.6). Пусть в 2-х точках, отстоящих друг от друга на х, плотность отличается на .

Согласно закону Фика, установленному экспериментально, масса газа , переносимая за время t через площадку S, прямо пропорциональна величине этой площадки, времени t и градиенту плотности

                       (4)

где - плотность газа,  - градиент плотности, т.е. изменение плотности на единице длины в направлении наиболее быстрого её возрастания, D - коэффициент диффузии.

Градиент (от лат gradiens - шагающий) - мера измерения какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины в направлении наиболее быстрого её возрастания. Если отношение  непостоянно, его следует заменить производную . Знак “-” показывает, что перенос массы осуществляется в направлении убывания плотности.

            .

Согласно кинетической теории газов .

Коэффициент D - численно равен массе вещества, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте плотности, равном единице. Величина D зависит от вида газа и условий, при которых он находится.

2) Рассмотрим явление диффузии с точки зрения МКТ.

Для простоты рассмотрим два одинаковых взаимно проникающих газа, т.е. массы молекул одинаковы. При одинаковых условиях у таких молекул одинаковы  и . Плоскость, которой принадлежит площадка S, делит систему газов на две области: I и II (рис.7).

Ввиду хаотичности движения молекул считаем, что 1/3 их движется вдоль ОХ, а к площадке S - 1/6 от общего числа молекул. За время t через S из I в II перейдут N1 молекул:

       

а в обратном направлении

       

Уточним, к каким точкам областей I и II следует отнести концентрации молекул n1 и n1 . Через S проходят молекулы только из того места, где они испытали последнее столкновение, т.е. с расстояния, равного .

Определим разность между числом молекул N1 и N2, проходящих через S за t в обоих направлениях:

         

,

- масса газа, перешедшая через S за t 

 -   (5)

на основе МКТ.

(4) и (5) совпадают, если положить .

При нормальных условиях .

Т.к.  то  (т.к.  не зависит от р) - в разреженных газах диффузия идет быстрее.

Т.к.  то  D ~

б). Внутреннее трение в газах (вязкость).

Вязкостью газов (жидкостей) называется их свойство оказывать сопротивление перемещению одних слоев относительно других. Явление вязкости связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями. Со стороны более быстрого слоя на медленный действует ускоряющая сила , а со стороны медленного – задерживающая  (рис. 8). Силы трения направлены по касательной к поверхности слоев и определяются эмпирической формулой 

      (6)

где - динамическая вязкость,  - градиент скорости, S - площадь слоя.

Формула (6) определяет модуль двух противоположно направленных сил  и , с которыми слои действуют друг на друга, поэтому отношение  тоже берем по модулю.

   ·с=

Коэффициент  численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности раздела параллельно движущимся слоям при градиенте скорости равном 1.

= - кинематическая вязкость.

У газов с ростом температуры динамическая вязкость растёт.

МКТ объясняет вязкость переносом импульса молекул от одного слоя другому.

Выделим в газе два слоя, движущиеся с  и  (рис. 9). Каждая молекула одновременно участвует в двух движениях

1).хаотическом с ;

2).упорядоченном с .

Скорость  одинакова для всех молекул данного слоя и различна для разных слоёв. Вследствие теплового движения молекулы переходят из слоя в слой. За время t через площадку S в обоих направлениях перейдёт одинаковое количество молекул:

.

Попав в другой слой при соударении, молекула отдаёт или приобретает избыток импульса, в результате импульс быстро движущегося слоя убывает, а медленного - возрастает.

Молекулы, перешедшие из 1-го слоя во 2-й за t перенесут через S импульс , из 2-го в 1-й - :

          =,      .

В результате через площадку S за t перенесен импульс

,

где .

Каждая молекула, пересекая S, переносит импульс, полученный в момент её последнего соударения с другой  молекулой, происшедшего на расстоянии  от S, т.е. наименьшее расстояние, на котором возможно возникновение градиента скорости между слоями, .

;  .

Знак минус указывает, что импульс передается в направлении убывания скорости.

Поскольку

           (7)

Из сравнения (6) и (7) следует, что

.

Большое значение имеет знание вязкости газов и жидкостей в военной технике - гидравлические амортизаторы, насосы, трубопроводы, движение летательных аппаратов в атмосфере.

в) Теплопроводность газов.

Явление теплопроводности  возникает, если различные слои газа имеют разную температуру, т.е. обладают разной внутренней энергией. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности состоит в переносе количества теплоты от более нагретого тела к менее нагретому.

Согласно эмпирическому закону Фурье

.

Количество теплоты , переносимое за время t через площадь S, пропорционально градиенту температуры , площади S и времени t.

- коэффициент теплопроводности

Знак минус указывает на то, что тепло переносится в сторону убывания температуры.

         .

Коэффициент теплопроводности - физическая величина, численно равная количеству теплоты, переносимой за единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице.

С точки зрения МКТ перенос количества теплоты  означает перенос через площадку S некоторого количества кинетической энергии беспорядочного движения молекул.

По аналогии с предыдущими случаями

, где  - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Макроскопическая теория

Молекулярно-кинетическая

теория

Явление

Перенесенная

физическая

величина

Закон переноса

Закон переноса

Коэффициент переноса

Диффузия

Масса

Внутр.

трение

Импульс

Тепло-проводность

Внутренняя

энергия

ис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

0

Рис. 6

0

Рис. 7

I

II

Рис. 8

0

Рис. 9

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24606. Внутрішній аудит суть, об’єкти і суб’єкти 36.5 KB
  Мета внутрішнього аудиту допомогти членам суб'єкта господарювання ефективно виконувати свої функції. Завдання внутрішнього аудиту: ♦ перевірка системи економічних регламентів і регуляторів на предмет достатності та відповідності чинним правовим актам і статуту; ♦ перевірка правильності складання та умов виконання господарських договорів; ♦ перевірка: наявності стану правильності оцінки майна; ефективності використання матеріальних фінансових і трудових ресурсів; дотримання чинного порядку встановлення та застосування цін тарифів;...
24607. Облік витрат виробництва 52 KB
  Облік витрат виробництва Витратами звітного періоду визнають або зменшення активів або збільшення зобов’язань що призводять до зменшення власного капіталу за умови що ці витрати можна достовірно оцінити. Згідно з ПсБО №16 Витрати€ – витрати визнають витратами певного періоду одночасно з визнанням доходу для отримання якого їх здійснено. Якщо витрати неможливо прямо пов’язати з доходом певного періоду їх відображають у складі витрат того звітного періоду у якому вони були здійснені. Економічна класифікація витрат: за способами...
24608. Облік готової продукції та її реалізації 27.5 KB
  Облік готової продукції та її реалізації До готової продукції належить продя обробка якої закінчена та яка пройшла випробування приймання укомплектування згідно з умовами договорів відповідає затвердженим стандартам пройшла технічний контроль та здана на склад або замовнику. продя має вартісну характеристику у гривневому еквіваленті. Супутня продя продя отримана в одному технологічному циклі одночасно з основною. Побічна продя – яка утворюється паралельно з основною і не потребує додаткових витрат.
24609. Облік фінансових інвестицій 36 KB
  Фінансова інвестиції – активи які утримуються підприємством з метою збільшення прибутку зростання вартості капіталу. первісно оцінюються за собівартістю з:ціни придбання комісійних винагород мита податків зборів та ін. за Дт придбання Кт зменшення їх вартості та вибуття.35 за варт.
24610. Облік власного капіталу 44.5 KB
  Облік власного капіталу В момент створення підпрва його страховий капітал втілюється в активах інвестованих засновниками і представляє собою варт. Власний капітал ВК – частина в активах підпрва яка залишається після вирахування всіх його зобов’язань К=АЗ. Складові: статутний капітал рах. капіт.
24611. Облік розрахунків векселями 38.5 KB
  Облік розрахунків векселями Облік розрахунків за векселями регламентується постановою Верховної Ради України Про застосування векселів в господарському обороті України. Вексель являє собою письмове боргове зобов'язання векселедавця сплатити векселедержцю власнику векселя по настанні строку суму вказану у векселі.Розрізняють векселі прості і переказні. У простому векселі беруть участь дві сторони: векселедавець І векселедержєць.
24612. Облік кредитів банку 41.5 KB
  Синтетичний облік розрахунків по банківських кредитах здійснюється на пасивних рахунках 60 Короткострокові позики 50 Довгострокові позики. На рахунку 60 Короткострокові позики ведеться облік розрахунків у національній і іноземній валюті по кредитах банків строк повернення яких не перевищує 12 місяців з дати балансу та за позиками строк погашення яких минув.По кредиту рахунка 60 Короткострокові позики відображаються суми одержаних кредитів позик по дебету сума їх погашення та переведення до довгострокових зобов'язань у разі...
24613. Облік фінансових результатів діяльності підприємства 39 KB
  Облік фінансових результатів діяльності підприємства Формування доходів і витрат за видами діяльності і функціями. Фінансові результати за видами діяльності в результаті яких вони виникають поділяються на прибуток збиток від звичайної діяльності та від надзвичайних подій.Під звичайною діяльністю розуміють будьяку діяльність підприємства а також операції які забезпечують її або які виникають внаслідок здійснення такої діяльності.Прикладом звичайної діяльності є виробництво і реалізація продукції робіт послуг розрахунки з...
24614. Склад та призначення фінансової звітності підприємства 37 KB
  Склад та призначення фінансової звітності підприємства За видами звітність поділяється на бухгалтерську статистичну та оперативну. Бухгалтерська звітність містить показники виробничофінансової діяльності підприємства. Оперативна звітність призначена для поточного контролю та управління всередині підприємства на момент здійснення господарських операцій або одразу ж після їх завершення. В ній містяться дані про виконання плану поставок матеріалів виробництва продукції а також про дотримання укладених договорів та фінансовий стан підприємства...