3349

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

Лекция

Физика

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса План лекции: Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул. Распределение Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления...

Русский

2012-10-29

377.5 KB

71 чел.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

План лекции:

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
  2.  Распределение Больцмана.
  3.  Средняя длина свободного пробега молекул.
  4.  Явления переноса:

а).диффузия;

б).внутреннее трение (вязкость);

в).теплопроводность.

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от  и  для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул N будет обладать скоростями в интервале от  и ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул  значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

~

Введем коэффициент пропорциональности f(.

,       

где f( называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции  известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от  до .

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от  до .

,        (2)

- распределение Максвелла показывает, какая доля  общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от  до .

Из уравнений  и  следует вид функции

-     (3)

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции  зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

 

График функции  асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие в, встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

Sобщ.= 1.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. Sобщ.= 1.

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем  на максимум.

,        4,

,                  .

,  .

Ранее было показано, что

,          ,

  .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

                         числу молекул.

.

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является в.

  1.  Распределение Больцмана.

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой.

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

 

где плотность газа на высоте h.

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

    

   или      .

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т=const (не зависит от высоты).

.

при h=0   , ,  ,

,  ,  ,

- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

,   

Т. к. , а

где  - потенциальная энергия молекулы на высоте h.

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

  1.  Средняя длина свободного пробега молекул.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина  называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d. Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием   и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

 .

Для большинства газов при нормальных условиях

.

Средняя длина свободного пробега  - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время t пути к числу соударений за это время:

  

Для большинства газов при нормальных условиях .

обратно пропорциональна концентрации молекул.

Поскольку     

При T =const      ,  обратно пропорциональна давлению.

  1.  Явления переноса.

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, количества движения, энергии. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. В основе всех 3-х процессов лежит один механизм - хаотическое движение и перемешивание молекул, поэтому их закономерности должны быть похожи, а количественные характеристики тесно связаны друг с другом.

Нарушение равновесия приводит к возникновению пространственной неоднородности какой-либо физической величины (плотности, температуры, скорости упорядоченного движения слоёв).

Движение молекул выравнивает эти неоднородности. Каждая молекула обладает массой , импульсом , энергией .

Явление переноса в газах и жидкостях состоят в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение), внутренней энергии (теплопроводность). При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и максвелловское распределение молекул по скоростям.

а). Диффузией называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемещение молекул двух соприкасающихся газов, жидкостей или твердых тел.

Рассмотрим это явление вначале с макроскопической точки зрения, а затем с позиции МКТ.

1) S  оси ОХ (рис.6). Пусть в 2-х точках, отстоящих друг от друга на х, плотность отличается на .

Согласно закону Фика, установленному экспериментально, масса газа , переносимая за время t через площадку S, прямо пропорциональна величине этой площадки, времени t и градиенту плотности

                       (4)

где - плотность газа,  - градиент плотности, т.е. изменение плотности на единице длины в направлении наиболее быстрого её возрастания, D - коэффициент диффузии.

Градиент (от лат gradiens - шагающий) - мера измерения какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины в направлении наиболее быстрого её возрастания. Если отношение  непостоянно, его следует заменить производную . Знак “-” показывает, что перенос массы осуществляется в направлении убывания плотности.

            .

Согласно кинетической теории газов .

Коэффициент D - численно равен массе вещества, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте плотности, равном единице. Величина D зависит от вида газа и условий, при которых он находится.

2) Рассмотрим явление диффузии с точки зрения МКТ.

Для простоты рассмотрим два одинаковых взаимно проникающих газа, т.е. массы молекул одинаковы. При одинаковых условиях у таких молекул одинаковы  и . Плоскость, которой принадлежит площадка S, делит систему газов на две области: I и II (рис.7).

Ввиду хаотичности движения молекул считаем, что 1/3 их движется вдоль ОХ, а к площадке S - 1/6 от общего числа молекул. За время t через S из I в II перейдут N1 молекул:

       

а в обратном направлении

       

Уточним, к каким точкам областей I и II следует отнести концентрации молекул n1 и n1 . Через S проходят молекулы только из того места, где они испытали последнее столкновение, т.е. с расстояния, равного .

Определим разность между числом молекул N1 и N2, проходящих через S за t в обоих направлениях:

         

,

- масса газа, перешедшая через S за t 

 -   (5)

на основе МКТ.

(4) и (5) совпадают, если положить .

При нормальных условиях .

Т.к.  то  (т.к.  не зависит от р) - в разреженных газах диффузия идет быстрее.

Т.к.  то  D ~

б). Внутреннее трение в газах (вязкость).

Вязкостью газов (жидкостей) называется их свойство оказывать сопротивление перемещению одних слоев относительно других. Явление вязкости связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями. Со стороны более быстрого слоя на медленный действует ускоряющая сила , а со стороны медленного – задерживающая  (рис. 8). Силы трения направлены по касательной к поверхности слоев и определяются эмпирической формулой 

      (6)

где - динамическая вязкость,  - градиент скорости, S - площадь слоя.

Формула (6) определяет модуль двух противоположно направленных сил  и , с которыми слои действуют друг на друга, поэтому отношение  тоже берем по модулю.

   ·с=

Коэффициент  численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности раздела параллельно движущимся слоям при градиенте скорости равном 1.

= - кинематическая вязкость.

У газов с ростом температуры динамическая вязкость растёт.

МКТ объясняет вязкость переносом импульса молекул от одного слоя другому.

Выделим в газе два слоя, движущиеся с  и  (рис. 9). Каждая молекула одновременно участвует в двух движениях

1).хаотическом с ;

2).упорядоченном с .

Скорость  одинакова для всех молекул данного слоя и различна для разных слоёв. Вследствие теплового движения молекулы переходят из слоя в слой. За время t через площадку S в обоих направлениях перейдёт одинаковое количество молекул:

.

Попав в другой слой при соударении, молекула отдаёт или приобретает избыток импульса, в результате импульс быстро движущегося слоя убывает, а медленного - возрастает.

Молекулы, перешедшие из 1-го слоя во 2-й за t перенесут через S импульс , из 2-го в 1-й - :

          =,      .

В результате через площадку S за t перенесен импульс

,

где .

Каждая молекула, пересекая S, переносит импульс, полученный в момент её последнего соударения с другой  молекулой, происшедшего на расстоянии  от S, т.е. наименьшее расстояние, на котором возможно возникновение градиента скорости между слоями, .

;  .

Знак минус указывает, что импульс передается в направлении убывания скорости.

Поскольку

           (7)

Из сравнения (6) и (7) следует, что

.

Большое значение имеет знание вязкости газов и жидкостей в военной технике - гидравлические амортизаторы, насосы, трубопроводы, движение летательных аппаратов в атмосфере.

в) Теплопроводность газов.

Явление теплопроводности  возникает, если различные слои газа имеют разную температуру, т.е. обладают разной внутренней энергией. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности состоит в переносе количества теплоты от более нагретого тела к менее нагретому.

Согласно эмпирическому закону Фурье

.

Количество теплоты , переносимое за время t через площадь S, пропорционально градиенту температуры , площади S и времени t.

- коэффициент теплопроводности

Знак минус указывает на то, что тепло переносится в сторону убывания температуры.

         .

Коэффициент теплопроводности - физическая величина, численно равная количеству теплоты, переносимой за единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице.

С точки зрения МКТ перенос количества теплоты  означает перенос через площадку S некоторого количества кинетической энергии беспорядочного движения молекул.

По аналогии с предыдущими случаями

, где  - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Макроскопическая теория

Молекулярно-кинетическая

теория

Явление

Перенесенная

физическая

величина

Закон переноса

Закон переноса

Коэффициент переноса

Диффузия

Масса

Внутр.

трение

Импульс

Тепло-проводность

Внутренняя

энергия

ис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

0

Рис. 6

0

Рис. 7

I

II

Рис. 8

0

Рис. 9

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51227. Дослідження процесів теплообміну та порівняння потоків теплоти через різні поверхні термодинамічної системи 470 KB
  Основною метою роботи є визначення коефіцієнта співвідношення теплових потоків що виходять з заданої термодинамічної системи через дві поверхні відкриту поверхню води та стінки сосуду тобто оцінка ефективності теплоізолюючих параметрів стінок сосуду. Порядок виконання роботи Залити в сосуди визначену кількість гарячої води з температурою t1. Визначити початкові дані температуру води і зовнішнього середовища tзс і занести в таблицю 3. де c питома теплоємкість рідини теплоємність води с = 4187 Дж кг˚С; m маса води у сосуді...
51228. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ 644.81 KB
  Определить основную погрешность и вариацию показаний поверяемого миллиамперметра или вольтметра на постоянном токе. Погрешность и вариация определяются для 6 8 точек шкалы с обязательным включением в число поверяемых точек всех числовых отметок. Определить основную погрешность поверяемого прибора длячего: а указатель поверяемого прибора последовательно установить наповеряемые отметки шкалы сначала при плавном увеличении измеряемой величины а затем на те же отметки при плавном уменьшенииизмеряемой величины; б для всех поверяемых отметок...
51229. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ В ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМАХ 305.66 KB
  Поскольку в практике встречаются сигналы различной формы то важно учитывать тип детектора и в каких значениях напряжения проградуирована шкала вольтметра. Прежде чем приступить к измерению напряжения необходимо на основании предварительного анализа сигнала форма частота возможный порядок напряжения и участка цепи к которому будет подключаться вольтметра характер цепи эквивалентное сопротивление цепи а также с учетом требований к точности результата измерений выбрать тип вольтметра. При этом следует использовать сведения о MX...
51231. Проблемы редакционной подготовки изданий Венедикта Ерофеева 591 KB
  В основе теоретической части лежит обзор русскоязычных изданий произведений Венедикта Ерофеева. В первой главе описана история публикаций и их основные характерные черты, во второй главе рассматриваются особенности редакторской подготовки поэмы «Москва – Петушки». В приложении представлены отличия текстологической подготовки двух изданий поэмы – одного из первых и одного из последних
51232. Средства объектно-ориентированного программирования в Visual Basic 662.35 KB
  Цель данной лабораторной работы состоит в изучении средств, приемов и получении практических навыков разработки, написания и отладки проектов, использующих объектно-ориентированную технологию, стандартные модули и классы при решении различных задач.
51234. Организации импортной деятельности предприятия ООО «Курганхиммаш» на рынке продукции химического машиностроения 118.49 KB
  Изучить историю создания и развития предприятия, его организационную структуру; изучить положение об отделе внешнеэкономической деятельности ООО «Курганхиммаш» и должностной регламент сотрудников отдела: функции отдела и задачи отдела; ознакомиться с нормативно – правовой базой деятельности отдела ВЭД: нормативно – правовые акты, регламентирующие деятельность отдела, информационные базы данных отдела, методические разработки и рекомендации, используемые в работе должностными лицами отдела...
51235. Роль аэробики в системе оздоровления детей школьного возраста 70.35 KB
  Дать характеристику основным движениям аэробики с применением терминологии; Описать содержание, структуру и методику проведения занятий аэробикой; Обосновать влияние занятий аэробикой на физическую подготовленность детей школьного возраста.