3349

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

Лекция

Физика

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса План лекции: Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул. Распределение Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления...

Русский

2012-10-29

377.5 KB

71 чел.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

План лекции:

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
  2.  Распределение Больцмана.
  3.  Средняя длина свободного пробега молекул.
  4.  Явления переноса:

а).диффузия;

б).внутреннее трение (вязкость);

в).теплопроводность.

  1.  Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от  и  для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул N будет обладать скоростями в интервале от  и ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул  значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

~

Введем коэффициент пропорциональности f(.

,       

где f( называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции  известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от  до .

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от  до .

,        (2)

- распределение Максвелла показывает, какая доля  общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от  до .

Из уравнений  и  следует вид функции

-     (3)

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции  зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

 

График функции  асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие в, встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

Sобщ.= 1.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. Sобщ.= 1.

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем  на максимум.

,        4,

,                  .

,  .

Ранее было показано, что

,          ,

  .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

                         числу молекул.

.

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является в.

  1.  Распределение Больцмана.

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой.

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

 

где плотность газа на высоте h.

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

    

   или      .

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т=const (не зависит от высоты).

.

при h=0   , ,  ,

,  ,  ,

- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

,   

Т. к. , а

где  - потенциальная энергия молекулы на высоте h.

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

  1.  Средняя длина свободного пробега молекул.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина  называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d. Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием   и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

 .

Для большинства газов при нормальных условиях

.

Средняя длина свободного пробега  - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время t пути к числу соударений за это время:

  

Для большинства газов при нормальных условиях .

обратно пропорциональна концентрации молекул.

Поскольку     

При T =const      ,  обратно пропорциональна давлению.

  1.  Явления переноса.

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, количества движения, энергии. К явлениям переноса относятся диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. В основе всех 3-х процессов лежит один механизм - хаотическое движение и перемешивание молекул, поэтому их закономерности должны быть похожи, а количественные характеристики тесно связаны друг с другом.

Нарушение равновесия приводит к возникновению пространственной неоднородности какой-либо физической величины (плотности, температуры, скорости упорядоченного движения слоёв).

Движение молекул выравнивает эти неоднородности. Каждая молекула обладает массой , импульсом , энергией .

Явление переноса в газах и жидкостях состоят в том, что в этих веществах возникает упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение), внутренней энергии (теплопроводность). При этом в газах нарушается полная хаотичность движения молекул и максвелловское распределение молекул по скоростям.

а). Диффузией называется самопроизвольное взаимное проникновение и перемещение молекул двух соприкасающихся газов, жидкостей или твердых тел.

Рассмотрим это явление вначале с макроскопической точки зрения, а затем с позиции МКТ.

1) S  оси ОХ (рис.6). Пусть в 2-х точках, отстоящих друг от друга на х, плотность отличается на .

Согласно закону Фика, установленному экспериментально, масса газа , переносимая за время t через площадку S, прямо пропорциональна величине этой площадки, времени t и градиенту плотности

                       (4)

где - плотность газа,  - градиент плотности, т.е. изменение плотности на единице длины в направлении наиболее быстрого её возрастания, D - коэффициент диффузии.

Градиент (от лат gradiens - шагающий) - мера измерения какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины в направлении наиболее быстрого её возрастания. Если отношение  непостоянно, его следует заменить производную . Знак “-” показывает, что перенос массы осуществляется в направлении убывания плотности.

            .

Согласно кинетической теории газов .

Коэффициент D - численно равен массе вещества, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте плотности, равном единице. Величина D зависит от вида газа и условий, при которых он находится.

2) Рассмотрим явление диффузии с точки зрения МКТ.

Для простоты рассмотрим два одинаковых взаимно проникающих газа, т.е. массы молекул одинаковы. При одинаковых условиях у таких молекул одинаковы  и . Плоскость, которой принадлежит площадка S, делит систему газов на две области: I и II (рис.7).

Ввиду хаотичности движения молекул считаем, что 1/3 их движется вдоль ОХ, а к площадке S - 1/6 от общего числа молекул. За время t через S из I в II перейдут N1 молекул:

       

а в обратном направлении

       

Уточним, к каким точкам областей I и II следует отнести концентрации молекул n1 и n1 . Через S проходят молекулы только из того места, где они испытали последнее столкновение, т.е. с расстояния, равного .

Определим разность между числом молекул N1 и N2, проходящих через S за t в обоих направлениях:

         

,

- масса газа, перешедшая через S за t 

 -   (5)

на основе МКТ.

(4) и (5) совпадают, если положить .

При нормальных условиях .

Т.к.  то  (т.к.  не зависит от р) - в разреженных газах диффузия идет быстрее.

Т.к.  то  D ~

б). Внутреннее трение в газах (вязкость).

Вязкостью газов (жидкостей) называется их свойство оказывать сопротивление перемещению одних слоев относительно других. Явление вязкости связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями. Со стороны более быстрого слоя на медленный действует ускоряющая сила , а со стороны медленного – задерживающая  (рис. 8). Силы трения направлены по касательной к поверхности слоев и определяются эмпирической формулой 

      (6)

где - динамическая вязкость,  - градиент скорости, S - площадь слоя.

Формула (6) определяет модуль двух противоположно направленных сил  и , с которыми слои действуют друг на друга, поэтому отношение  тоже берем по модулю.

   ·с=

Коэффициент  численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности раздела параллельно движущимся слоям при градиенте скорости равном 1.

= - кинематическая вязкость.

У газов с ростом температуры динамическая вязкость растёт.

МКТ объясняет вязкость переносом импульса молекул от одного слоя другому.

Выделим в газе два слоя, движущиеся с  и  (рис. 9). Каждая молекула одновременно участвует в двух движениях

1).хаотическом с ;

2).упорядоченном с .

Скорость  одинакова для всех молекул данного слоя и различна для разных слоёв. Вследствие теплового движения молекулы переходят из слоя в слой. За время t через площадку S в обоих направлениях перейдёт одинаковое количество молекул:

.

Попав в другой слой при соударении, молекула отдаёт или приобретает избыток импульса, в результате импульс быстро движущегося слоя убывает, а медленного - возрастает.

Молекулы, перешедшие из 1-го слоя во 2-й за t перенесут через S импульс , из 2-го в 1-й - :

          =,      .

В результате через площадку S за t перенесен импульс

,

где .

Каждая молекула, пересекая S, переносит импульс, полученный в момент её последнего соударения с другой  молекулой, происшедшего на расстоянии  от S, т.е. наименьшее расстояние, на котором возможно возникновение градиента скорости между слоями, .

;  .

Знак минус указывает, что импульс передается в направлении убывания скорости.

Поскольку

           (7)

Из сравнения (6) и (7) следует, что

.

Большое значение имеет знание вязкости газов и жидкостей в военной технике - гидравлические амортизаторы, насосы, трубопроводы, движение летательных аппаратов в атмосфере.

в) Теплопроводность газов.

Явление теплопроводности  возникает, если различные слои газа имеют разную температуру, т.е. обладают разной внутренней энергией. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности состоит в переносе количества теплоты от более нагретого тела к менее нагретому.

Согласно эмпирическому закону Фурье

.

Количество теплоты , переносимое за время t через площадь S, пропорционально градиенту температуры , площади S и времени t.

- коэффициент теплопроводности

Знак минус указывает на то, что тепло переносится в сторону убывания температуры.

         .

Коэффициент теплопроводности - физическая величина, численно равная количеству теплоты, переносимой за единицу времени через единицу площади при градиенте температуры, равном единице.

С точки зрения МКТ перенос количества теплоты  означает перенос через площадку S некоторого количества кинетической энергии беспорядочного движения молекул.

По аналогии с предыдущими случаями

, где  - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Макроскопическая теория

Молекулярно-кинетическая

теория

Явление

Перенесенная

физическая

величина

Закон переноса

Закон переноса

Коэффициент переноса

Диффузия

Масса

Внутр.

трение

Импульс

Тепло-проводность

Внутренняя

энергия

ис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

0

Рис. 6

0

Рис. 7

I

II

Рис. 8

0

Рис. 9

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80787. Понятие и виды юридической ответственности за нарушение правовых экологических требований 30.62 KB
  Под юридической ответственностью за экологические правонарушения понимается отношение между государством в лице специально уполномоченных органов в области охраны окружающей среды правоохранительных органов иными уполномоченными субъектами и совершившим экологическое правонарушение лицом физическим должностным или юридическим по применению к нарушителю соответствующего взыскания. Сущность юридической ответственности заключается в неблагоприятных последствиях наступающих для нарушителя. Посредством применения юридической ответственности...
80788. Ответственность за экологические преступления 30.98 KB
  К числу таковых отнесены незаконная добыча водных животных и растений незаконная охота нарушение законодательства Российской Федерации о континентальном шельфе и исключительной экономической зоне нарушение правил охраны и использования недр незаконная порядка леса уничтожение или повреждение лесов загрязнение водоемов и атмосферного воздуха загрязнение моря вредными веществами нарушение режима особо охраняемых природных территорий и природных объектов нарушение правил обращения экологически опасных веществ и отходов и др. Субъектами...
80789. Дисциплинарная и материальная ответственность за экологические правонарушения 31.43 KB
  Материальная ответственность заключается в обязанности работника возместить в установленном порядке и в определенных размерах имущественный ущерб причиненный по его вине предприятию организации в результате ненадлежащего исполнения им своих трудовых обязанностей. Для привлечения работника к материальной ответственности необходимы следующие условия ее наступления: 1 причинение работником прямого действительного ущерба. Неполученные доходы улучшенная выгода взысканию с работника не подлежат ст.
80790. Административная ответственность за экологические правонарушения 35.2 KB
  Понятие и виды экологического вреда. Принципы и порядок возмещения экологического вреда Вред причиняемый нарушением правовых экологических требований называется в доктрине экологического права экологическим или экогенным вредом. Новым для российского экологического права элементом экологического вреда является моральный вред. Так как природа удовлетворяет эстетические духовные потребности человека уничтожение к примеру зеленых насаждений в городах также может рассматриваться как фактор причинения морального вреда и соответственно должно...
80791. Правовая охрана земель 36.31 KB
  Охрана земель осуществляется на основе комплексного подхода к земельным угодьям как к сложным природным образованиям и ставит следующие цели: предотвратить деградацию и разрушение земель другие неблагоприятные последствия хозяйственной деятельности путем стимулирования природоохранных технологий производства; обеспечить улучшение и восстановление земель подвергшихся деградации или нарушению; создать механизм учета и проверки экологического состояния земель ст. 100 Земельного кодекса РСФСР. Законодательством предусматривается...
80792. Правовая охрана недр 49.69 KB
  правовые меры охраны водных объектов Статья 55. Основные требования к охране водных объектов 1. Собственники водных объектов осуществляют мероприятия по охране водных объектов предотвращению их загрязнения засорения и истощения вод а также меры по ликвидации последствий указанных явлений. Охрана водных объектов находящихся в федеральной собственности собственности субъектов Российской Федерации собственности муниципальных образований осуществляется исполнительными органами государственной власти или органами местного самоуправления в...
80793. Правовые меры охраны морской воды 36.9 KB
  Конкретизированы экологически значимые виды деятельности которые могут ими осуществляться проведение исследований разведка и разработка добыча водных биологических ресурсов и других природных ресурсов внутренних морских вод и территориального моря а также другая деятельность в том числе с борта летательного аппарата. Экономические отношения по эксплуатации природных ресурсов внутренних морских вод и территориального моря строятся на основе принципов: платности пользования; ответственности за нарушения условий хозяйственной...
80794. Правовое регулирование охоты и рыболовства 34.38 KB
  Законодательство о рыболовстве и сохранении водных биоресурсов основывается на следующих принципах: 1 учет значения водных биоресурсов как основы жизни и деятельности человека согласно которому регулирование отношений в области рыболовства и сохранения водных биоресурсов осуществляется исходя из представлений о них как о природном объекте охраняемом в качестве важнейшей составной части природы природном ресурсе используемом человеком для потребления в качестве основы осуществления хозяйственной и иной деятельности и одновременно как об...
80795. Правовая охрана атмосферного воздуха 34.01 KB
  Это Федеральный закон Об охране атмосферного воздуха акты федерального уровня о санитарноэпидемиологическом благополучии населения об отходах и т. Российское законодательство об охране атмосферного воздуха базируется на принципах приоритета охраны жизни и здоровья человека обеспечения благоприятных условий для жизни труда и отдыха недопущения необратимых последствий загрязнения атмосферного воздуха для окружающей среды обязательности государственного регулирования выбросов загрязняющих веществ и вредных физических воздействий на...