3379

Введение в лабораторный практикум по физике

Книга

Физика

Введение в лабораторный практикум по физике Какова цель лабораторной практики в высшем учебном заведении. Таких целей несколько. Лабораторные работы позволяют:  проиллюстрировать теоретические положения физики; познакомиться с приборами...

Русский

2012-10-30

436.5 KB

50 чел.

Введение в лабораторный практикум по физике

Какова цель лабораторной практики в высшем учебном заведении? Таких целей несколько. Лабораторные работы позволяют:

  •  проиллюстрировать теоретические положения физики;
  •  познакомиться с приборами;
  •  приобрести опыт в проведении экспериментов;

Рассмотрим все по порядку.

Демонстрация опыта часто весьма способствует пониманию физического явления. Например, наша интуиция не подсказывает нам, что возможна интерференция света. Утверждения о том, что два пучка света могут погасить друг друга и дать темноту, с трудом принимаются на веру, и для многих необходима наглядная демонстрация такого явления. Но демонстрация не может заменить объяснения, которое основано на геометрических и фазовых соотношениях. Таким образом, первая задача практикума – иллюстрация теоретических положений – хотя и важная, но довольно ограниченная.

Вторая задача, по-видимому, важнее, но здесь следует сразу же четко выяснить, что мы понимаем под прибором. В любом курсе практических работ вы столкнетесь с такими простыми приборами как потенциометры, микрометры, электронные осциллографы и т.п., и опыт работы с ними будет, несомненно, полезен. Но когда вы займетесь самостоятельными научными исследованиями, обилие приборов, с которыми придется работать, покажется невероятным. И ни один курс практических работ, по-видимому, не сможет научить вас пользоваться каждым из них. В ходе же лабораторных работ перед вами ставится задача приобрести опыт работы с приборами вообще. У экспериментатора, имеющего дело с приборами, должна быть особая психология, и курс лабораторных работ должен помочь вам выработать такую психологию. Здесь мы соприкасаемся уже с третьей задачей, наиболее важной из всех.

Слова «опыт в проведении экспериментов» могут показаться не совсем ясными, так что нам нужно разобраться в этом подробнее. Главная задача физического практикума состоит в том, чтобы научить вас:

  •  планировать эксперимент так, чтобы точность измерений соответствовала поставленной цели;
  •  учитывать возможность систематических ошибок и принимать меры для их устранения;
  •  оценивать точность окончательного результата;
  •  анализировать результаты экспериментов и делать правильные выводы;
  •  вести запись измерений и расчетов аккуратно, ясно и коротко.

Выполнить все это вместе взятое и означает подготовить квалифицированного экспериментатора. Но тот курс может дать и нечто большее. Он может дать представление о том, каков общий метод физики.

Физика – одна из наук, цель которой – познание природы. Когда физик сталкивается с каким-либо явлением природы, он старается выделить те особенности явления, которые ему кажутся самыми важными (иначе невозможно изучить данное явление из-за бесчисленного числа его связей с другими). Затем, обобщая то, что выделили, строим теорию, из которой следуют те или иные выводы. Выводы же проверяем путем эксперимента. Но теоретические выводы обычно относятся к идеализированной или упрощенной ситуации. Чтобы проверить их, нужно создать такую же упрощенную ситуацию в окружающем нас мире, что не всегда легко сделать.

На лекциях вы изучаете теорию. При этом рассматриваете те стороны реального мира, которые существующая теория считает самыми важными. Может получиться так, что ваше знакомство с миром природы ограничится только этими сторонами, и вы будете уверены, что это и есть весь реальный мир, а не отдельные его стороны. К тому же в такой картине мира все столь хорошо увязано, что легко утратить представление о том, каких усилий потребовалось человеческому гению для ее создания. Самое лучшее лекарство от подобной болезни – идти в лабораторию и там убедиться в сложности реального мира.

Занимаясь экспериментальной физикой, вы, прежде всего, узнаете, как трудно бывает проверить теорию, измерить именно то, что вы хотите, а не что-то иное, и научитесь преодолевать такие трудности. Но кроме всего прочего у вас появится взгляд на физику в целом, на взаимоотношение между теорией и экспериментом, которое составляет главное содержание предмета.

НЕКОТОРЫЕ СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

§ 1. Введение

Извлечь из работ практикума максимальную пользу можно, только относясь к каждой задаче как к небольшой самостоятельной работе. Описания задач – только стержни, вокруг которых строится работа. Объем навыков и сведений, которые будут получены вами при выполнении работы, определится, главным образом, не описанием, а вашим подходом к выполнению работы. Бесполезно приступать к выполнению работы без четкого представления об основных понятиях теории изучаемого явления. Не имея ясности в основных теоретических вопросах, вы не сможете отделить изучаемое явление от случайных и несущественных помех, часто не сможете даже обнаружить, что установка неисправна и непригодна к работе.

Главное условие успешного выполнения измерений заключается во внимательном и неторопливом ознакомлении с установкой перед измерениями, в ее тщательной проверке и наладке. Прежде чем приступать к систематическим измерениям, убедитесь, что вы знаете, как установка работает, т.е. что чем регулируется. Никогда не следует жалеть времени на эту предварительную стадию эксперимента из опасения не успеть сделать измерения. Эти затраты времени всегда окупаются при дальнейшей работе над задачей.

Работу с незнакомыми приборами можно начинать, лишь прочтя до конца инструкции и выяснив все необходимые предосторожности. Не следует вскрывать чувствительные приборы, прикасаться пальцами к оптическим поверхностям и тонким деталям, переносить с места на место гальванометры и весы в неарретированном состоянии. Нужно вырабатывать в себе умение бережно обращаться с оборудованием. С другой стороны, ознакомление с прибором должно быть активным, нужно не только осмотреть и понять прибор, но наладить и проверить его, смазать, если нужно, трущиеся части, установить нулевые показания стрелок, удалить пыль с оптических поверхностей и т.п. Нельзя рассчитывать в этом деле на других. Перед началом работы с помощью нескольких простых опытов, результат которых может быть надежно заранее предсказан, убедитесь в исправности аппаратуры. Вы можете сказать, что все это очевидно, и это на самом деле так. И, тем не менее, очень многие не могут взять в толк простых вещей, когда дело доходит до экспериментальной работы.

Если задача не ладится, нужно обязательно искать и пробовать, выдвигать и проверять различные предположения до тех пор, пока неисправность не будет обнаружена. Тот опыт и знания, которые помогают найти и устранить неполадки, составляет золотой фонд экспериментатора: их нельзя приобрести никаким другим способом.

§ 2. Проверка очевидного

Если считается, что установка механически устойчива, проверьте, не качается ли она.

Если считается, что основание прибора установлено горизонтально, все же взгляните и проверьте хотя бы приблизительно, так ли это. Если потом потребуется выверить установку точнее, то можно всегда воспользоваться уровнем.

При проведении оптических экспериментов убедитесь, что все отражающие и преломляющие поверхности выглядят достаточно чистыми. Для недорогостоящей оптики известен прекрасный способ – подышать на поверхность и быстро ее протереть. Ни никогда не протирайте тряпкой или носовым платком дорогостоящие линзы! Они изготавливаются из мягкого стекла и к тому же часто покрыты очень тонким слоем – толщиной около 100 нм – минеральных солей для уменьшения отражающей способности. Такие линзы легко поцарапать. Их никогда не следует касаться пальцами и хранить открытыми. Чаще всего с них достаточно просто смахнуть пыль мягкой кисточкой или, в крайнем случае, осторожно протереть специально предназначенной тканью.

Убедитесь в том, что оптические детали, которые должны быть соосными, действительно соосны и линзы расположены примерно под прямым углом к направлению светового пучка. Просто удивительно, как часто приходится наблюдать такую картину: студент мучается с оптической системой, не замечая, что важнейшая ее линза покрыта пленкой жира, стоит на несколько миллиметров выше или ниже, чем нужно, или повернута примерно на 10°относительно нормали.

В опытах по электричеству, когда вам приходится иметь дело с клеммными соединениями проводов, проверьте, хорошо ли последние зачищены, – если необходимо, зачистите их, – убедитесь, что клеммы плотно затянуты. Если вы пользуетесь гальванометром или другим аналогичным прибором с переключателем чувствительности, то сначала всегда ставьте переключатель в положение, соответствующее наименьшей чувствительности.

Когда вы собираете электросхему, которая питается от сети, всегда включайте ее в сеть в самую последнюю очередь, и если вам надо в ней что-то изменить, не полагайтесь на выключенный тумблер сети, а выньте штепсель из сетевой розетки. Подключить источник питания можно только после того, как вся схема тщательно проверена. На первом курсе эту проверку должен производить преподаватель. Право на самостоятельное включение схем студенты получают лишь после того, как они приобретут некоторый лабораторный опыт. Это право дается преподавателем индивидуально каждому студенту. Следует помнить, что нарушение правил включения электрических схем неминуемо приведет к авариям и порче приборов.

§ 3. Повторение измерений

В точности измерения большую роль играет внимание и сосредоточенность экспериментатора, умение выбрать разумный план работы и спокойно, удобно организовать измерение. Нужно правильно расположить оборудование, обеспечить достаточно яркое и равномерное освещение, выбрать удобную позу, периодически делать перерывы в измерениях, своевременно обдумывать предварительные результаты опыта и т.д. Поспешно сделанные измерения обычно никуда не годятся!

Измерение отдельной величины необходимо повторить несколько раз. Такое повторение:

  •  помогает избежать ошибки при снятии показаний приборов и их записи;
  •  дает возможность оценить ошибку измерения.

В вопросе повторения измерения есть одна сторона, которую можно пояснить на одном не столь уж гипотетическом примере. При выполнении задачи к преподавателю обращается студент, который встал перед дилеммой. Он измерил угол призмы при помощи гониометра и получил такие результаты: 56°30' и 60°12'. Точность измерений он оценивает примерно в 5' и, проверив выкладки, приходит к выводу, что один из результатов неверен. (Остановитесь и подумайте, как следовало бы поступить).

Студент спрашивает преподавателя, какой из двух результатов следует считать правильным. Конечно, это смешно. Ведь цель эксперимента – что нибудь найти. Студент же так ничего и не нашел, разве только то, что один из его результатов неверный. (А вполне возможно, что неверны оба). В подобном случае вы обязаны провести дополнительные измерения. Измерения следует повторять до тех пор, пока результаты не приобретут какой-то смысл. А до этого с ними нельзя производить никаких, даже простейших действий. Если следующее измерение дает 56°34', то можно будет подумать, что неверен, вероятно, второй результат. Нужно еще раз измерить угол призмы, и если он окажется равным 56°35', то вы можете быть почти уверены, что оно так и есть. Вы можете даже задуматься над тем, как это вы сумели получить угол, равный 60°12'. Но этого, пожалуй, уже никогда не удастся установить. По-видимому, во время измерений была случайно сдвинута призма, или, что более вероятно, была сбита установка зрительной трубы, или просто неверно произведен отчет. Досадно, когда появляется неверный результат, и вы не можете его объяснить, но так бывает, и если это случается редко, то не следует расстраиваться. Беспокоиться придется в том случае, если:

  •  вы произвольно решите, что угол призмы равен 60°, и поэтому примете второй результат или
  •  решите усреднить первые два результата.

§ 4. Число измерений

Если в задаче исследуется зависимость одной величины от другой, число отдельных точек на различных участках кривой выбирается с таким расчетом, чтобы подробно исследовать места изгибов, максимумов, крутых скачков. В тех участках, где кривая идет плавно, ставить особенно много точек не имеет большого смысла.

Область изменения переменных следует брать как можно шире, т.к. на границах широкого интервала часто нагляднее обнаруживаются недостатки аппаратуры и новые явления, влияние которых начинает обычно сказываться существенно раньше, но не может быть там с достоверностью обнаружено. Перед началом работы полезно произвести несколько предварительных измерений по всему диапазону изменения переменных, чтобы сразу познакомиться с основными чертами явления и правильно спланировать ход эксперимента.

В конце работы обязательно надо возвращаться к началу кривой и повторить первые измерения. Это позволит проверить стабильность установки. Еще лучше проделать все измерения в обратном порядке. При этом могут быть обнаружены и новые интересные подробности в самом явлении (гистерезис).

 

Использованная литература

  1.  Кондрашов А.П., Шестопалов Е.В. Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений. – М.: Атомиздат, 1977.
  2.  Кассандров О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. – М.: Наука, 1970.
  3.  Сквайрс Дж. Практическая физика. – М.: Мир, 1971.
  4.  Яковлев Г.П., Алексеева З.З., Сушкевич А.А. Введение в статистические методы обработки результатов наблюдений. – Челябинск: ЧПИ, 1979.
  5.  Трофимов В.Г., Белозеров Б.П. Некоторые способы математической обработки экспериментальных результатов, – Челябинск: ЧелГУ, 1978.
  6.  Руководство к лабораторным занятиям по физике /Под ред. Л.Л.Гольдина. – М.: Наука, 1973.
  7.  Физический практикум /Под ред. В.И.Ивероновой. – М.: Наука, 1967.
  8.  Торбеев С.А. Лабораторные занятия по физике. – Миасс: ЧПИ, 1977.
  9.  Методы физических измерений /Под ред. Р.И.Солоухина. – Новосибирск: Наука, 1975.
  10.  Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики.– М: Высшая школа, 1970.
  11.  Артемьев Б.Г., Голубев С.М. Справочное пособие для работников метрологических служб.– М: Изд–во стандартов, 1982.

ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

§ 1. Таблицы

Старайтесь всегда записывать результаты измерений в виде таблиц. Такая запись компактнее и проще для чтения. Значения одной и той же величины лучше всего записывать в вертикальный столбик, ибо глазу легче сопоставлять цифры, расположенные столбиком. В начале каждого столбца напишите название или символ соответствующей величины и укажите единицу измерения. Для удобства следует придать единице измерения такой десятичный множитель, чтобы записываемые значения были заключены в интервале примерно от 0.1 до 1000.

Рассмотрим таблицу, которая представляет собой лишь начало большой таблицы значений модуля Юнга для разных материалов.

Материал

Модуль Юнга E, 1011 H·м-2

Железо

2.11

Модуль Юнга для железа равен 2.11·1011 H·м-2 . Рекомендуем вам пользоваться записью, при которой после физической величины просто ставят запятую и указывают единицу измерения – в данном случае 1011 H·м-2. Такая запись понятна и вряд ли может вызвать недоумение. Коль скоро единица измерения указана в начале столбца, нет необходимости повторять ее при каждом значении. Вообще следует избегать ненужных повторений. Это потеря времени, энергии и загромождение записи. Чем меньше второстепенного, тем легче увидеть главное.

§ 2. Запись измерений

Все результаты измерений следует записывать немедленно и без какой либо обработки. Из этого правила нет исключений. Не производите никаких – даже самых простых –арифметических расчетов в уме, прежде чем записать результат измерения. Допустим, например, что для получения тока в амперах показания амперметра следует делить на 2. Прежде всего, запишите показания прибора в делениях шкалы и не делите предварительно пополам. Почему следует так поступать, ясно: если при делении в уме вы допустите ошибку, то позже исправить ее уже не сможете. При проведении и записи измерений хорошо проверить то, что вы записали, взглянув еще раз на прибор. Итак: посмотрите, запишите, проверьте.

Об обработке результатов будет подробно рассказано в последующих разделах, а здесь мы сделаем лишь общее замечание. Очень плохо, когда проводят все новые и новые измерения, а их результаты обрабатывают лишь в конце эксперимента. При обработке части результатов нередко обнаруживается какое-либо расхождение, которое приводит к необходимости внести те или иные изменения в аппаратуру. Кроме того, сама работа часто ведется так, что одной серией результатов может определиться дальнейшее направление эксперимента.

И уж самое глупое, что можно сделать, – это разобрать сложную установку до того, как обработать результаты (так тоже случается).

§ 3. Избегайте переписывания

У многих студентов очень плохая привычка записывать результаты наблюдений сначала на клочке бумаги или в «черновой» тетради, затем переписывать их в «чистовую» тетрадь, а оригинал уничтожать. Против этого можно выдвинуть три возражения:

  •  это приводит к большой потере времени;
  •  при переписывании возможны ошибки;
  •  почти невозможно избежать отбора.

Последнее обстоятельство особенно важно, и его следует разобрать подробнее. В большинстве экспериментов используются не все данные измерения. Часто мы приходим к заключению, что некоторые из них либо не очень показательны, либо получены в неподходящих условиях, либо просто не имеют отношения к делу. Иными словами, мы отбираем. Все это совершенно правильно, если при отборе мы руководствуемся объективными критериями. Но все первичные данные измерений надо обязательно сохранять. В дальнейшем может понадобиться и другой отбор. Во всяком случае, все экспериментальные данные должны быть налицо, чтобы и другие могли судить по ним о правильности произведенного отбора и о характере самих измерений.

Важная задача практического курса физики состоит в том, чтобы научить четкой и эффективной записи, и, прежде всего, нужно научиться записывать непосредственно измеряемые величины. На первом этапе в этом вам помогут готовые формы таблиц, приводимые в описаниях работ, затем такие таблицы вы должны будете составлять самостоятельно. Постепенно вы накопите опыт, и дело пойдет на лад. И если ваша запись не будет выглядеть так красиво, как бы она выглядела после переписывания, не это важно. В записи красота, конечно, важна, но еще важнее ясность.

§ 4. Схемы

Есть древняя китайская пословица: «Один рисунок лучше тысячи слов». Важное значение схем в записях эксперимента и в отчетах об эксперименте вряд ли можно переоценить. Дополненная несколькими словами схема часто оказывается самым простым и самым хорошим способом объяснения идеи эксперимента, описания установки и введения обозначений. Для примера приведем два разных описания одного и того же элемента установки для исследования колебаний пары связанных маятников.

Рис. 1

Описание 1. К горизонтальному стержню в точках A и B привязана нить. К ней в точках P1 и P2 прикреплены скользящими узлами еще две нити, на которых подвешены шары S1 и S1. Длины участков AB, AP1, BP2 и P1P2 обозначены через a1, y1, y2 и x. Расстояние от узла P1 до центра шара S1 равно l1, а расстояние от узла P2 до центра шара S2 равно l2. Связь между маятниками изменяем, изменяя расстояние x. Для этого узлы P1 и P2 перемещаем вдоль нити AP1P2B так, чтобы система оставалась симметричной, т.е. всегда y1 = y2.

Описание 2. Схема установки представлена на рис.1. AP1P2B – цельный отрезок нити, P1 и P2– скользящие узлы. Связь изменяем, изменяя х за счет перемещения узлов, причем y1 = y2.

Комментарии к этим описаниям излишни. Схема не должна быть художественным или фотографически точным изображением установки. Она должна быть как можно проще, и на ней должно быть указано только то, что имеет отношение к эксперименту. Далее, хотя часто бывает полезно вычертить полную схему установки с приблизительным соблюдением масштаба, на других схемах без всяких колебаний следует сильно искажать масштаб, если это позволяет четче выявить ту или иную особенность.

§ 5. Что еще способствует ясности

Схемы и таблицы – это две формы записи, которые позволяют добиться большой ясности. Но следует приветствовать и все иное, что направлено к той же цели. Группы данных измерения разных величин необходимо разделять достаточно большими пробелами и каждой из них давать заголовок. Если серию измерений вы сводите к одному значению, скажем к среднему, то полезно его не только соответственно обозначить, но и подчеркнуть, или как-то иначе выделить. Вообще говоря, при ведении записи не нужно слишком экономить бумагу.

Привычка к исправлению цифр – враг ясности. Не заставляйте всякого, читающего ваши записи, да и себя тоже, по истечении некоторого времени ломать голову над исправленными цифрами. Лучше зачеркнуть неверные цифры и написать рядом правильно.

 

ГРАФИКИ

§ 1. Для чего нужны графики?

В экспериментальной физике графиками пользуются для разных целей. Во-первых, графики строят, чтобы определить некоторые величины, – обычно наклон или отрезок, отсекаемый на оси координат, прямой, изображающей зависимость между двумя переменными. Хотя в элементарных курсах физики упор часто делается именно на это, на самом деле роль графика здесь сравнительно невелика. Ведь при методе наименьших квадратов наклон прямой определяют, конечно, не по графикам, как таковым, а по исходным числовым данным. Непосредственно же по графику определить наклон можно только в том случае, если провести через точки на глаз наилучшую прямую. Это довольно грубый метод. Его не следует сбрасывать со счета, но он пригоден лишь тогда, когда мы оценивает результат, полученный наиболее точным методом или когда наклон кривой не очень важен для окончательного результата.

Во-вторых, и это, пожалуй, самое главное, – графиками пользуются для наглядности. Допустим, например, что мы измеряем скорость течения воды по трубке как функцию перепада давления с целью определить, когда поток перестает быть ламинарным и становится турбулентным. Полученные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Перепад давления, Н·м-2

Средняя скорость, мм/c

Перепад давления, Н·м-2

Средняя скорость, мм/с

7,8

35

78,3

245

15,6

65

86,0

258

23,4

78

87,6

258

31,3

126

93,9

271

39,0

142

101,6

277

46,9

171

109,6

284

54,7

194

118,0

290

62,6

226

  

  

Пока поток остается ламинарным, скорость его пропорциональна перепаду давления. Глядя на цифры, приведенные в таблице, трудно сказать, где пропорциональность начинает нарушаться. Другое дело, когда те же данные, представлены графиком (рис.2). В этом случае сразу видна точка, в которой нарушается пропорциональность. Графики позволяют также более наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой. Нанося результаты измерений на график, очень удобно следить за тем, как идет эксперимент.

Рис. 2

В-третьих, графиками пользуются в экспериментальной работе, чтобы установить эмпирическое соотношение между двумя величинами. Например, градуируя свой термометр по какому-либо образцовому прибору, мы определяем поправку как функцию показаний термометра, (см. рис.3). На графике через полученные точки проводим плавную кривую (рис.4), которой и пользуемся для введения поправки в показаниях термометра.

Рис. 3

Рис. 4

§ 2. Масштаб

В физике на графиках принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Короче говоря, по горизонтали откладывается «причина», а по вертикали – «следствие».

Существуют различные виды бумаги для графиков, но из них в физике наиболее употребительны два: с обычным линейным масштабом (миллиметровая) и логарифмическая. Последняя бывает двух видов: полулогарифмическая, когда логарифмический масштаб взят только на одной оси координат, и двойная логарифмическая, когда такой масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Полулогарифмическая бумага удобна в том случае, когда связь между переменными логарифмическая или экспоненциальная (y = Bo + B1ekx). Если же эта связь имеет вид y ~ xk , где k – неизвестная величина, то лучше взять двойную логарифмическую бумагу.

Рис.5. Неудачный выбор масштаба.

Рис.6. Более удачный выбор масштаба

Допустим, что мы взяли миллиметровую бумагу. При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений: 

  1.  Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом. Из рисунка 5 довольно трудно извлечь полезную информацию. Поэтому лучше выбирать такой масштаб, чтобы расположить точки с разумным интервалом, как на рис.6 . Если начальные значения x и y отличаются намного от нуля, то предпочтительнее начинать отсчет делений на соответствующей оси с некоторого значения, которое лишь немногим меньше найденного на опыте наименьшего значения переменного, откладываемого на данной оси, иначе на графике будет необоснованно много пустого места. После нанесения масштабных делений на осях около них пишут необходимые цифры;
  2.  Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (или 10; 100; 0.1 единицы и т.д.) соответствует 1 см. Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1 см соответствовал 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать просто потому, что иначе при нанесении точек на график придется производить арифметические подсчеты в уме;
  3.  Иногда приходится выбирать масштаб из теоретических соображений. Так, если нас интересует, в какой мере результаты удовлетворяют соотношению y = kx, то на нашем графике зависимости y от x обязательно должно быть начало координат.

§ 3. Единицы измерения

Как и в случае с таблицами, десятичный множитель удобнее отнести к единице измерения. Тогда деления на графике можно помечать цифрами 1, 2, 3 ... или 10, 20, 30 ..., а не 10000, 20000 и т.д., или 0.0001, 0.0002 и т.д. На осях координат следует указать название или символ (или то и другое). Единицы измерений нужно указывать тем же способом, что и в таблицах, а именно десятичный множитель относить к единице измерения. См. на рис.7 пример, показывающий, как делать надписи вдоль осей графика и как указывать единицы измерения.


Рис.7. Зависимость модуля Юнга от температуры Т.

§ 4. Как строить графики

Графики делают в основном для того, чтобы наглядно представить результаты эксперимента, и потому они должны быть предельно ясными. Ниже мы дадим ряд общих советов по вычерчиванию графиков. Пользоваться ими нужно с учетом особенностей каждого конкретного случая.

  •  Когда на графике для сравнения с экспериментальными данными проводят теоретическую кривую, то точки, по которым ее проводят, выбирают по своему усмотрению. Наносить их надо без нажима, лучше всего карандашом, чтобы при необходимости можно было стереть. Экспериментальные же данные следует отмечать жирными, хорошо выделяющимися точками. Примеры смотри на рис.8 и 9.

                       

Рис.8.

Рис.9

Рис.8 – пример неудачного графика, на котором экспериментальные точки очень мелкие и не отличаются от расчетных точек, по которым проведена теоретическая кривая.

Рис.9 – расчетные точки не видны, а экспериментальные точки четко выделяются.

  •  Полезно иногда через экспериментальные точки проводить «наилучшую» плавную кривую. Обратите внимание на слово плавную. Начинающие нередко соединяют экспериментальные точки просто ломаной линией, как показано на рис.10. Но тем самым как бы указывается, что соотношение между двумя величинами носит скачкообразный характер, а это, вообще говоря, весьма маловероятно. Скорее следует ожидать, что данное соотношение описывается какой-либо плавной кривой (рис.11),

                   

Рис.10.

Рис.11

а отклонения точек вызваны«шумом» эксперимента, случайными ошибками при измерениях.

При проведении кривой следует руководствоваться правилами:

  1.  чем больше изгибов и неровностей имеет кривая, тем она менее вероятна (выписывать изгибы можно лишь при высокой точности измерений);
    1.  проводить кривую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам и чтобы по обе стороны оказалось приблизительно равное их количество;
    2.  по возможности не должно быть очень больших отклонений точек от кривой, лучше иметь два–три небольших отклонения, чем одно большое.

Если на графике имеется теоретическая кривая, то «плавную» кривую через экспериментальные точки лучше не проводить. Такая кривая, может быть, не совсем соответствует фактическим данным, и тогда она будет мешать прямому сравнению эксперимента с теорией.

  •  Чтобы различать экспериментальные данные, относящиеся к разным условиям или разным веществам, можно воспользоваться разными значками, например, темными или светлыми кружками, крестиками, или точками разного цвета. Но при этом нужно знать меру: если график начинает выглядеть загроможденным, то лучше для каждой группы данных построить специальный график.
  •  Размечать деления на осях координат и наносить график экспериментальные точки лучше всего сначала карандашом. Вдруг вы решите изменить масштаб или окажется, что какая-либо точка случайно поставлена неверно. Если с масштабом и расположением точек все в порядке, то нетрудно обвести все тушью или чернилами и сделать жирные экспериментальные точки. В результате вам удастся избежать переделок и лишних затрат графической бумаги. По окончании построения пишут заголовок, который должен содержать краткое и точное содержание того, что показывает график.

§ 5. Как указывать ошибки

Ошибку в экспериментальном значении можно указать следующим образом:   или

        Рис.12.

         Рис.13

Экспериментальная точка находится в середине отрезка, изображающего величину ошибки. Поскольку нанесение таких значков – дополнительный труд и приводит к усложнению графика, это следует делать лишь в том случае, когда без такой информации обойтись нельзя, т.е. когда от ошибок может зависеть значимость отклонения экспериментальных данных от теоретической кривой (см. рис.12 и 13). Отклонения экспериментальных точек от прямой линии на обоих графиках одинаковы, но на рис.12 отклонения вряд ли значимы, а на рис.13, по-видимому, значимы. Ошибки обычно указывают и еще в одном случае, – когда они неодинаковы для разных экспериментальных точек.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

§ 1. Виды измерений

Измерением какой-либо величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Все измерения можно разбить на два типа: прямые и косвенные.

ПРЯМЫЕ – это такие измерения, при которых измеряется непосредственно интересующая нас физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.).

КОСВЕННЫЕ – это такие измерения, при которых интересующая нас величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.

Общая черта измерений – невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Объясняется это как принципиально ограниченной точностью измерения, так и природой самих измеряемых объектов. Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения.

Например, мы измерили фокусное расстояние линзы f и написали, что

f = (256 ± 2) мм        (1)

Это означает, что фокусное расстояние лежит в пределах от 254 до 258 мм. Но на самом деле это равенство (1) имеет вероятностный смысл. Мы не можем с полной уверенностью сказать, что величина лежит в указанных пределах, имеется лишь некоторая вероятность этого, поэтому равенство (1) нужно дополнить еще указанием вероятности, с которой это соотношение имеет смысл (ниже мы сформулируем это утверждение точнее). Оценка ошибок необходима, т.к., не зная, каковы они, нельзя сделать определенных выводов из эксперимента.

Обычно рассчитывают абсолютную и относительную ошибку. Абсолютной ошибкой Δx называется разность между истинным значением измеряемой величины μ и результатом измерения x, т.е. Δx = μx. Отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины ε = (μ - x)/μ и называется относительной ошибкой. Абсолютная ошибка характеризует погрешность метода, который был выбран для измерения. Относительная ошибка характеризует качество измерений. Точностью измерения называют величину, обратную относительной ошибке, т.е. 1/ε.

§ 2. Классификация ошибок

Все ошибки измерения делятся на три класса: промахи (грубые ошибки), систематические и случайные ошибки.

ПРОМАХ вызван резким нарушением условий измерения при отдельных наблюдениях. Это ошибка, связанная с толчком или поломкой прибора, грубым просчетом экспериментатора, непредвиденным вмешательством и т.д. грубая ошибка появляется обычно не более чем в одном–двух измерениях и резко отличается по величине от прочих ошибок. Наличие промаха может сильно исказить результат, содержащий промах. Проще всего, установив причину промаха, устранить его в процессе измерения. Если в процессе измерения промах не был исключен, то это следует сделать при обработке результатов измерений, использовав специальные критерии, позволяющие объективно выделить в каждой серии наблюдений грубую ошибку, если она имеется.

СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ называют составляющую погрешности измерений, остающуюся постоянной и закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические ошибки возникают, если не учитывать, например, теплового расширения при измерениях объема жидкости или газа, производимых при медленно меняющейся температуре; если при измерении массы не принять во внимание действие выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы и т.д. Систематические ошибки наблюдаются, если шкала линейки нанесена неточно (неравномерно); капилляр термометра в разных участках имеет разное сечение; при отсутствии электрического тока через амперметр стрелка прибора стоит не на нуле и т.д.

Как видно из примеров, систематическая ошибка вызывается определенными причинами, величина ее остается постоянной (смещение нуля шкалы прибора, неравноплечность весов), либо изменяется по определенному (иногда довольно сложному) закону (неравномерность шкалы, неравномерность сечения капилляра термометра и т.д.). Можно сказать, что систематическая ошибка – это смягченное выражение, заменяющее слова «ошибка экспериментатора». Такие ошибки возникают из-за того, что:

  1.  неточны измерительные приборы;
  2.  реальная установка в чем-то отличается от идеальной;
  3.  не совсем верна теория явления, т.е. не учтены какие-то эффекты.

Как поступать в первом случае, мы знаем, – нужна калибровка или градуировка. В двух других случаях готового рецепта не существует. Чем лучше вы знаете физику, чем больше у вас опыта, тем больше вероятность, что вы обнаружите подобные эффекты, а значит, и устраните их. Общих правил, рецептов для выявления и устранения систематических ошибок нет, но некоторую классификацию можно провести. Выделим четыре типа систематических ошибок.

  1.  Систематические ошибки, природа которых вам известна, а величина может быть найдена, следовательно, и исключена введением поправок.

Пример. Взвешивание на неравноплечных весах. Пусть разность длин плеч – 0.001 мм. При длине коромысла 70 мм и массе взвешиваемого тела 200 г систематическая ошибка составит 2.86 мг. Систематическую ошибку этого измерения можно устранить, применяя специальные методы взвешивания (метод Гаусса, метод Менделеева и т.д.).

  1.  Систематические ошибки, о которых известно, что величина их не превышает некоторого определенного значения. В этом случае при записи ответа может быть указано их максимальное значение.

Пример. В паспорте, прилагаемом к микрометру, написано: «допустимая погрешность составляет ±0.004 мм. Температура +20 ± 4° C. Это означает, что, измеряя данным микрометром размеры какого-нибудь тела при указанных в паспорте температурах, мы будем иметь абсолютную погрешность, не превышающую ± 0.004 мм при любых результатах измерений. Часто максимальная абсолютная ошибка, даваемая данным прибором, указывается с помощью класса точности прибора, который изображается на шкале прибора соответствующим числом, чаще всего взятым в кружок. Число, обозначающее класс точности, показывает максимальную абсолютную ошибку прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения измеряемой величины на верхнем пределе шкалы.

Пусть в измерениях использован вольтметр, имеющий шкалу от 0 до 250 В, класс точности его – 1. Это значит, что максимальная абсолютная ошибка, которая может быть допущена при измерении этим вольтметром, будет не больше 1% от наибольшего значения напряжения, которое можно измерить на этой шкале прибора, иначе говоря:

δ = ±0.01·250В = ±2.5В.

Класс точности электроизмерительных приборов определяет максимальную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, потому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбрать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы. Если класс точности прибора не указан и нет паспортных данных, то в качестве максимальной ошибки прибора берется половина цены наименьшего деления шкалы прибора.

Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0.05 мм, а сантиметровые не хуже, чем с точностью 0.1 мм. Погрешность измерений, производимых с точностью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз (≤0.5 мм). Деревянными и пластиковыми линейками лучше не пользоваться, их погрешности могут оказаться неожиданно большими. Исправный микрометр обеспечивает точность 0.01 мм, а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т.е. точностью нониуса (обычно 0.1 мм или 0.05 мм).

  1.  Систематические ошибки, обусловленные свойствами измеряемого объекта. Эти ошибки часто могут быть сведены к случайным.

Пример. Определяется электропроводность некоторого материала. Если для такого измерения взят отрезок проволоки, имеющей какой-то дефект (утолщение, трещину, неоднородность), то в определении электропроводности будет допущена ошибка. Повторение измерений дает такое же значение, т.е. допущена некоторая систематическая ошибка. Измерим сопротивление нескольких отрезков такой проволоки и найдем среднее значение электропроводности данного материала, которая может быть больше или меньше электропроводности отдельных измерений, следовательно, ошибки, допущенные в этих измерениях, можно отнести к так называемым случайным ошибкам.

  1.  Систематические ошибки, о существовании которых ничего не известно.

Пример. Определяем плотность какого-либо металла. Вначале находим объем и массу образца. Внутри образца содержится пустота, о которой мы ничего не знаем. В определении плотности будет допущена ошибка, которая повторится при любом числе измерений. Приведенный пример прост, источник погрешности и ее величину можно определить без больших затруднений. Ошибки, такого типа можно выявить с помощью дополнительных исследований, путем проведения измерений совсем другим методом и в других условиях.

СЛУЧАЙНОЙ называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений – некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности. Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.

Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения (рис.14). Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного значения (рис.15).

Рис. 14 Рис. 15

Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника – все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок. Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.

Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.

Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п. Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.

Следует иметь в виду, что если случайная погрешность, полученная из данных измерений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой точностью прибора, то, очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной погрешности – все равно результаты измерений не станут от этого точнее. Наоборот, если случайная погрешность больше приборной (систематической), то измерение следует провести несколько раз, чтобы уменьшить значение погрешности для данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

§ 3. Обработка результатов прямого измерения

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :

x1, x2, x3, ... xn.      (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx        (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм,    (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм . Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P. Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

     (4)

где Δx – отклонение от величины истинного значения; σ – истинная среднеквадратичная ошибка; σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной. На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2).

Рис. 16

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

,     (5)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

.    (6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

σ = lim S.      (7)

                                                                                                            n → ∞

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

.     (8)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений. Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

,     (9)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t. Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t.    (10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического. Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2.

Из сказанного следует:

  1.  Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
  2.  При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата. Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента

n

Значения Р

0.6

0.8

0.95

0.99

0.999

2

1.376

3.078

12.706

63.657

636.61

3

1.061

1.886

4.303

9.925

31.598

4

0.978

1.638

3.182

5.841

12.941

5

0.941

1.533

2.776

4.604

8.610

6

0.920

1.476

2.571

4.032

6.859

7

0.906

1.440

2.447

3.707

5.959

8

0.896

1.415

2.365

3.499

5.405

9

0.889

1.397

2.306

3.355

5.041

10

0.883

1.383

2.262

3.250

4.781

11

0.879

1.372

2.228

3.169

4.587

12

0.876

1.363

2.201

3.106

4.437

13

0.873

1.356

2.179

3.055

4.318

14

0.870

1.350

2.160

3.012

4.221

15

0.868

1.345

2.145

2.977

4.140

16

0.866

1.341

2.131

2.947

4.073

17

0.865

1.337

2.120

2.921

4.015

18

0.863

1.333

2.110

2.898

3.965

19

0.862

1.330

2.101

2.878

3.922

20

0.861

1.328

2.093

2.861

3.883

21

0.860

1.325

2.086

2.845

3.850

22

0.859

1.323

2.080

2.831

3.819

23

0.858

1.321

2.074

2.819

3.792

24

0.858

1.319

2.069

2.807

3.767

25

0.857

1.318

2.064

2.797

3.745

26

0.856

1.316

2.060

2.787

3.725

27

0.856

1.315

2.056

2.779

3.707

28

0.855

1.314

2.052

2.771

3.690

29

0.855

1.313

2.048

2.763

3.674

30

0.854

1.311

2.045

2.756

3.659

31

0.854

1.310

2.042

2.750

3.646

40

0.851

1.303

2.021

2.704

3.551

60

0.848

1.296

2.000

2.660

3.460

120

0.845

1.289

1.980

2.617

3.373

0.842

1.282

1.960

2.576

3.291

Таблица 3

Необходимое число измерений для получения ошибки Δ с надежностью Р

Δ=Δx/σ

Значения Р

0.5

0.7

0.9

0.95

0.99

0.999

1.0

2

3

5

7

11

17

0.5

3

6

13

18

31

50

0.4

4

8

19

27

46

74

0.3

6

13

32

46

78

127

0.2

13

29

70

99

171

277

0.1

47

169

273

387

668

1089

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

  1.  Результат каждого измерения запишите в таблицу.
  2.  Вычислите среднее значение из n измерений

= Σ x i / n.

  1.  Найдите погрешность отдельного измерения

.

  1.  Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx 1)2, (Δx 2)2, ... , (Δx n)2.

  1.  Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

  1.  Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).
  2.  Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.
  3.  Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx = · t.

  1.  Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

  1.   Окончательный результат запишите в виде

.

  1.  Оцените относительную погрешность результата измерений

.

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

Таблица 4

n

d, мм

1

4.02

+ 0.01

0.0001

2

3.98

- 0.03

0.0009

3

3.97

- 0.04

0.0016

4

4.01

+ 0 .00

0.0000

5

4.05

+ 0.04

0.0016

6

4.03

+ 0.02

0.0004

Σ

24.06

0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

,

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить. Окончательный результат запишем в виде

d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95.

§ 4. Округление результатов

Обработка результатов измерений в лабораториях проводятся на калькуляторах и ПК, и просто удивительно, как магически действует на многих студентов длинных ряд цифр после запятой. «Так точнее» – считают они. Однако легко видеть, например, что запись a = 2.8674523 ± 0.076 бессмысленна. При ошибке 0.076 последние пять цифр числа не означает ровно ничего.

Если мы допускаем ошибку в сотых долях, то тысячным, тем более десятитысячным долям веры нет. Грамотная запись результата была бы 2.87 ± 0.08. Всегда нужно производить необходимые округления, чтобы не было ложного впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результатов.

Правила округления

  1.  Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу.
    Примеры:

8.27 ≈ 9

0.237 ≈ 0.3

0.0862 ≈ 0.09

0.00035 ≈ 0.0004

857.3 ≈ 900

43.5 ≈ 50

  1.  Результаты измерения округляют с точностью «до погрешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.
    Примеры:

243.871±0.026≈243.87±0.03;
243.871±2.6≈244±3;
1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

  1.  Округление результата измерения достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5.

Примеры:

8.337 (округлить до десятых) ≈ 8.3;

833.438 (округлить до целых) ≈ 833;

0.27375 (округлить до сотых) ≈ 0.27.

  1.  Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5 , (а за ней одна или несколько цифр отличны от нуля), то последняя из остающихся цифр увеличивается на единицу.
    Примеры:

8.3351 (округлить дл сотых) ≈ 8.34;

0.2510 (округлитьь до десятых) ≈ 0.3;

271.515 (округлить до целых) ≈ 272.

  1.  Если отбрасываемая цифра равна 5 , а за ней нет значащих цифр (или стоят одни нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, когда она нечетная, и оставляют неизменной, когда она четная.

     Примеры:

0.875 (округлить до сотых) ≈ 0.88;

0.5450 (округлить до сотых) ≈ 0.54;

275.500 (округлить до целых) ≈ 276;

276.500 (округлить до целых) ≈ 276.

Примечание.

  1.  Значащими называют верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, 0,00807 – в этом числе имеется три значащих цифры: 8, ноль между 8 и 7 и 7; первые три нуля незначащие.  8.12 · 103 – в этом числе 3 значащих цифры.
  2.  Записи 15,2 и 15,200 различны. Запись 15,200 означает, что верны сотые и тысячные доли. В записи 15,2 – верны целые и десятые доли.
  3.  Результаты физических экспериментов записывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуля цифры, а число умножают на десять в соответствующей степени. Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записывают так: 4,35·10-3 и 2,34·105. Подобная запись упрощает вычисления, особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.

§ 5. Обработка косвенных измерений

В лабораторной практике большинство измерений – косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N = ƒ (x, y, z, ...)  (13)

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (13) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

 ¯N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...)  (14)

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

   (15)  или

,   (16)

где частные производные функции N = ƒ(x, y, z, ...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные; δx, δy, δz – систематические ошибки аргументов. Формулой (15) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (16) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

  (17)   или

, (18)

где Δx, Δy, Δz, ... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, ... . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz, ... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P1 = P2 = ... = Pn = P. В этом случае надежность для доверительного интервала ΔN будет тоже P. Формулой (17) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (18) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

.

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения ΔN = ε ¯N найти абсолютную погрешность. Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

  1.  Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.
  2.  Оцените точность результата косвенных измерений по формулам (15) – (16), где производные вычислите при средних значениях величин.
    Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак
    d заменить на Δ (или δ).
  3.  Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте. Результат измерения запишите в виде:

N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.

  1.  Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений

ε =   Δƒ  · 100%.

                                                                            ¯ƒ¯

Приведем примеры расчета ошибки косвенного измерения.

Пример 1. Находится объем цилиндра по формуле V = π d2 h  ,

                                    ¯¯¯4¯¯

где d – диаметр цилиндра, h – высота цилиндра. Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты: d = (4.01 ± 0.03) мм , h = (8.65 ± 0.02) мм, при одинаковой надежности Р = 0.95. Среднее значение объема, согласно (14) равно V = 3.14 · (4.01)2 · 8.65  = 109.19 мм3

                                ¯¯¯¯¯¯¯¯¯4¯¯¯¯¯¯¯¯

Воспользовавшись выражением (18) имеем:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

 ;

 ;

 ;

 .

Так как измерения производились микрометром, цена деления которого 0.01 мм, систематические ошибки δd = δh = 0.01 мм. На основании (16) систематическая ошибка δV будет

 .

Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

 .

Таким образом, результат измерения оказывается V = (109 ± 2) мм3 при P = 0.95

 .

Пример 2. Найти абсолютную и относительную погрешности для следующей функциональной зависимости:

 .

В этом случае удобнее сначала искать относительную погрешность. Тогда

= d[ln(m1 + m2 - m3)] - d(ln2) - d(ln m1) - d(ln m2) =

 .

До сих пор подразумевается математический смысл дифференциала, и знаки слагаемых учитываются. Раскроем теперь выражение d(m1 + m2 - m3) = dm1 + dm2 - dm3 и разделим почленно на знаменатель. Затем объединим все члены, содержащие дифференциалы одной и той же переменной:

 .

Используя формулу (18), получим

 .

Абсолютную случайную погрешность найдем из выражения

Δτ = ε ·¯¯τ

Используя формулу (16) получаем

 .

Абсолютную систематическую ошибку найдем из выражения  δτ = ε ·¯¯τ

Приведем таблицы 5 и 6 

Таблица 5 расчета систематических погрешностей для простейших функций.

N

ƒ

δƒ

ε =δƒ/ƒ

N

ƒ

δƒ

ε =δƒ/ƒ

1

x + y

δx + δy

(δx + δy)/(x + y)

6

x1/n

δx / (n · x(n-1)/n)

δx/(nx)

2

x - y

δx + δy

(δx + δy)/(x - y)

7

sin x

cos x· δx

δx/tg x

3

x · y

xδy + yδx

(δx/x) + (δy/y)

8

cos x

sin x· δx

tg x· δx

4

x/y

(xδy + yδx)/y2

(δx/x) + (δy/y)

9

tg x

δx/cos2x

2δx/sin 2x

5

xn

nxn-1 · δx

nδx/x

10

ln x

δx/x

δx/(x · ln x)

Таблица 6 расчета случайных погрешностей для простейших функций.

N

ƒ

Δƒ

ε =Δƒ/ƒ

N

ƒ

Δƒ

ε =Δƒ/ƒ

1

x + y

6

2

x - y

7

3

8

4

9

5

10

§ 6. Метод наименьших квадратов

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:                                               x1, x2, ..., xi, , ... , xn;

y1, y2, ..., yi, , ... , yn.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [yi – ƒ(xi)]2 была наименьшей. На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx    или  y = a + bx.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ2, то на графике строят зависимость n от λ-2.

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

.

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум


или
   (19)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

,   (20)

где – n число измерений.

Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат). Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений xi, yi найти наилучшие значения a и b. Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек xi, yi от прямой

и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум

 ;

 

Совместное решение этих уравнений дает

  (21)

.  (22)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

  (23)

.  (24)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)–(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 7.

Таблица 7

n

M, Н · м

ε, c-1

M2

M · ε

ε - kM

(ε - kM )2

1

1.44

0.52

2.0736

0.7488

0.039432

0.001555

2

3.12

1.06

9.7344

3.3072

0.018768

0.000352

3

4.59

1.45

21.0681

6.6555

-0.08181

0.006693

4

5.90

1.92

34.81

11.328

-0.049

0.002401

5

7.45

2.56

55.5025

19.072

0.073725

0.005435

123.1886

41.1115

0.016436

По формуле (19) определяем:

.

Отсюда

.

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)

= 0.005775 кг-1 · м-2 .

По формуле (18) имеем

.

SJ = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м2.

Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м2.

Результаты запишем в виде:

J = (3.0 ± 0.2) кг · м2;

.

Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

Rt = R0(1 + α t°) = R0 + R0 α t°.

Свободный член определяет сопротивление R0 при температуре 0°C, а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R0.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 8).

Таблица 8

n

t°, c

r, Ом

t t

(t t)2

(t t)r

r - bt - a

(r - bt - a)2,10-6

1

23

1.242

-62.8333

3948.028

-78.039

0.007673

58.8722

2

59

1.326

-26.8333

720.0278

-35.581

-0.00353

12.4959

3

84

1.386

-1.83333

3.361111

-2.541

-0.00965

93.1506

4

96

1.417

10.16667

103.3611

14.40617

-0.01039

107.898

5

120

1.512

34.16667

1167.361

51.66

0.021141

446.932

6

133

1.520

47.16667

2224.694

71.69333

-0.00524

27.4556

515

8.403

8166.833

21.5985

746.804

∑/n

85.83333

1.4005

По формулам (21), (22) определяем

,

R0 = ¯R- α R0¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .

Отсюда:

.

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:

.

Пользуясь формулами (23), (24) имеем

 ;

= 0.014126 Ом.

Тогда

.

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град-1.

α = (23 ± 4) · 10-4 град-1 при P = 0.95.

.

Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона rm и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением

r2m = mλR - 2d0R,

где d0 – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы), λ – длина волны падающего света.

Пусть                                                       λ = (600 ± 6) нм;

r2m = y;

m = x;

λR = b;

-2d0R = a,

тогда уравнение примет вид y = a + bx.

Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 9.

Таблица 9

n

x = m

y = r2, 10-2 мм2

mm

(mm)2

(mm)y

y - bx - a, 10-4

(y - bx - a)2, 10-6

1

1

6.101

-2.5

6.25

-0.152525

12.01

1.44229

2

2

11.834

-1.5

2.25

-0.17751

-9.6

0.930766

3

3

17.808

-0.5

0.25

-0.08904

-7.2

0.519086

4

4

23.814

0.5

0.25

0.11907

-1.6

0.0243955

5

5

29.812

1.5

2.25

0.44718

3.28

0.107646

6

6

35.760

2.5

6.25

0.894

3.12

0.0975819

21

125.129

17.5

1.041175

3.12176

∑/n

3.5

20.8548333

Рассчитываем:

1.   a и b по формулам (21), (22).

;

a = ¯ r2 - b¯m = (0.208548333 - 0.0594957 · 3.5) = 0.0003133 мм2.

2.   Рассчитаем среднеквадратичные ошибки для величин b и a по формулам (23), (24)

 ;

3.   При надежности P = 0.95 по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6 находим t = 2.57 и определяем абсолютные ошибки

Δb = 2.57 · 0.000211179 = 6·10-4 мм2;

Δa = 2.57 · 0.000822424 = 3· 10-3 мм2.

4.   Записываем результаты

b = (595 ± 6)·10-4 мм2 при Р = 0.95;

a = (0.3 ± 3)·10-3 мм2 при Р = 0.95;

Из полученных результатов опыта следует, что в пределах ошибки этого опыта прямая r2m = ƒ(m) проходит через начало координат, т.к. если ошибка значения какого-либо параметра окажется сравнимой или превысит значение параметра, то это означает, что скорей всего, настоящее значение этого параметра равно нулю.

В условиях данного эксперимента величина a не представляет интереса. Поэтому мы ею больше заниматься не будем.

5.   Подсчитаем радиус кривизны линзы:

R = b / λ = 594.5 / 6 = 99.1 мм.

6. Так как для длины волны дана систематическая ошибка, подсчитаем и для R систематическую ошибку по формуле (16), взяв в качестве систематической ошибки величины b ее случайную ошибку Δb.

.

Записываем окончательный результат R = (99 ± 2) мм   ε ≈ 3% при P = 0.95.

§ 7. Вычисления

Цель эксперимента – получить некоторую числовую величину, и поэтому точность при вычислениях также важна, как и при измерениях. Ведь ошибка в вычислениях может свести насмарку прекрасно задуманный и умело осуществленный эксперимент. У студентов иногда возникает ложное представление, что числовые выкладки – это тривиальное и не очень важное дело. И неспособность к ним даже говорит о наличии математического таланта.

Существует и другая точка зрения, – что ошибки в расчетах происходят независимо от воли людей. По этому поводу заметим, что хотя никто не застрахован от ошибки, во-первых, при рациональном подходе к вычислениям можно уменьшить вероятность их появления и, во-вторых, от нее есть средство, а именно проверка вычислений.

Рассмотрим эти вопросы.

Способы борьбы с арифметическими ошибками.

  1.  Избегайте ненужных выкладок. Чем меньше вы делаете выкладок, тем меньше вероятность ошибиться и тем больше умственной энергии вы сохраните для вычислений, которые действительно необходимы.

Пример: Допустим, что вы исследуете зависимость средней арифметической скорости молекул от температуры, и взяли лишь шесть значений температуры: T1, T2, ..., T6. Стоит ли рассчитывать шесть значений скоростей, каждый раз вычисляя выражение под корнем? Гораздо выгоднее рассчитать один раз выражение и затем найти шесть значений скоростей по формуле .

  1.  Будьте аккуратны. Вычисления следует производить как можно последовательно и аккуратно. При этом записывайте их так, чтобы было много свободного места. Неаккуратная и неразборчивая запись выкладок часто оказывается причиной арифметических ошибок. Почти все, что было сказано о записи измерений, относится и к записи вычислений.
  2.  Проверка арифметических выкладок. Проверку следует рассматривать как необходимую часть вычислений. Вычисления можно разбить на две категории – «самопроверяющиеся» и «несамопроверяющиеся». Допустим, например, что мы измеряем две величины и после каких-то арифметических действий получаем пары числовых значений xi, yi. Результаты измерений наносим на график, и они укладываются приблизительно на прямую линию. В этом случае можно обойтись без очень тщательной проверки выкладок для каждой пары значений ибо на графике допущенная ошибка легко обнаруживается (рис.17). Это пример самопроверяющихся вычислений. При вычислении координат точки B почти наверняка была допущена ошибка.

Рис. 17

Но предположим, что в конце опыта на основании полученных нами данных необходимо вычислить величину

 .     (25)

В этом случае мы имеем дело с несамопроверающимися вычислениями. Если вы работаете с напарником, то лучше каждому из вас произвести расчет самостоятельно. Если оба результата согласуются, то почти наверняка оба верны. Если вы работаете один, то надо постараться привести проверки выкладок другим способом.

Некоторые могут подумать, что вычислять результат двумя способами – излишняя предосторожность. Но ошибки вычислений – главная причина того, что экспериментатору приходится понапрасну тратить время. Тщательная же проверка в итоге приводит к сбережению времени. Помните, что если в учебной лаборатории кто-то может проверить вашу работу и найти ошибки, то потом уже никто не сделает этого. Вы должны выработать у себя привычку при вычислениях всегда прикидывать результат в уме хотя бы с точностью 30%

Например, в случае выражения (25) следует прикинуть в уме примерно так:

;
2 · 9.81 · 873 ≈ 20000;
(0.7156)
2 · π2 ≈ 0.5 · 10 = 5.

Значит, z ≈ 4000.

Если при проверке получен результат, не согласующийся с первоначальным, то сначала пересмотрите ход проверочного расчета, ибо он наверняка проводился менее аккуратно. Рассказывают, что один новенький аспирант–теоретик как-то принес показать результаты сложных расчетов своему руководителю, известному физику. Проглядев их, руководитель сказал: «Если взять следующий частный случай, то ваш результат должен свестись к тому-то и тому». Он набросал на обложке две строчки выкладок и сказал: «Видите, не получается. Вы где-то ошиблись». Смущенный аспирант забрал работу и потратил целый месяц, чтобы повторить все заново. Потом снова пришел к руководителю.

– Ну, как, – спросил именитый ученый, – нашли ошибку?

– Да, – ответил тот, – в двух строчках ваших выкладок.

§ 8. О написании вывода

Не зря говорят, что конец – всему делу венец. Вывод по работе должен логически завершить ее. Многие студенты, как правило, затрудняются сформулировать вывод, не знают, что же им писать, и в итоге появляются однообразные фразы – «в результате работы мы получили то-то и то-то», – и все, на этом вывод заканчивается.

На что же нужно обратить внимание при написании вывода? Главное внимание должно быть обращено на анализ результатов.

Здесь нужно провести:

  1.  Сопоставление с другими аналогичными результатами, если они имеются (в таблицах, справочниках и т.п.).
  2.  Сопоставление с соответствующими выводами теории.
  3.  Анализ исследуемой проблемы в свете полученных вами данных.

Нужно выяснить – надежно ли подтверждают полученные вами результаты выводы теории, в чем причина возможных отклонений. Сравнивая результаты с данными таблиц и результатами товарищей, не следует при несовпадении сразу считать свои данные ошибочными. Нужно тщательно продумать методику измерений, стараясь вскрыть расхождения. Может быть, это влияние отдельных теоретических упрощений; или недостатки данной методики измерения (предложите другую); или велики приборные погрешности используемой аппаратуры (какие именно?); или сказалось влияние каких-либо внешних факторов (что именно?) и т.д. Обратитесь к книгам, обсудите вопрос с напарником, поразмышляйте, а потом изложите итог ваших размышлений в выводе. При сдаче работы с «плохими» результатами вы, после обсуждения с преподавателем, можете получить значительно больше пользы, чем при наличии «хороших» результатов.

Отметим еще отдельные моменты.

  1.  Студентам обычно не советуют употреблять в своих работах местоимение «я» хотя, казалось бы, для этого нет особых оснований. Когда вы говорите о проведенном вами эксперименте, вполне естественно говорить «я». Тем не менее, нельзя не согласиться, что в наше время это как-то не принято. Поэтому, если вы склонны следовать общепринятому, избегайте писать от первого лица. Ну, а если вы все же употребляете такую форму, то в данном вопросе вы оказываетесь заодно с Ньютоном, Максвеллом и Томсоном, а это неплохое общество.
  2.  Избегайте многословных, окольных способов выражения. В следующих примерах следует отдать предпочтение вторым вариантам фраз: Расчеты проводились на основе довольно грубого приближения. Были проведены приближенные расчеты. Аналогичный анализ можно провести и в случае меди с целью проверить, насколько теория в состоянии обеспечить правильную оценку упругих свойств этого металла. Для проверки теории можно тем же способом рассчитать упругие свойства меди.
  3.  В выводах студентов часто встречается такой недостаток – деепричастный оборот не согласуется со словом, которое он поясняет, например: «Измеряя зависимость h от t , было установлено …».

Последнее слово здесь пусть скажет не физик, а – великий Сервантес: «Старайтесь вразумительно выражать свои Мысли и выставлять их в самом правильном свете, работая как можно больше над тем, чтобы не оставлять их темными и запутанными, а сделать ясными и понятными».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49544. Проект системы автоматического регулирования (САР) частоты вращения двигателя постоянного тока 8.87 MB
  При дальнейшем анализе системы второстепенными возмущениями будем пренебрегать. Принцип работы системы. Рассматриваемая САР относится к системам с последовательной коррекцией так как корректирующее устройство включается последовательно со звеньями системы. Передаточные функции системы.
49548. РАКИ ОТДЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ (лёгкого, желудка, молочной железы, шейки и тела матки) 4.81 MB
  В настоящем учебно-методическом пособии рассмотрены вопросы патологической анатомии рака пяти локализаций – лёгкого, желудка, молочной железы, шейки и тела матки, соответственно теме практического занятия.
49549. Проектирование системы контроля доступа и видеонаблюдения 210 KB
  Анализ комплекса мер направленных на реализацию системы контроля и управления доступом и системы видеонаблюдения. Выбор и обоснование выбора оборудования и программного обеспечения СКУД и системы видеонаблюдения с учетом внешних и внутренних характеристик объекта. Расчет стоимости спроектированной системы.
49550. Проектирование работоспособной машины 4.61 MB
  Литературный поиск выбор принципиальной компоновочной схемы проектируемой машины. Целью данного курсового проекта является проектирование работоспособной машины отвечающая всем стандартам предъявляемой к технике данной отрасли. Провести оценку эксплуатационных свойств проектируемой машины сделать соответствующие выводы о целесообразности использования данной машины. hrvester жнец собиратель урожая многооперационные лесосечные машины предназначенные для выполнения комплекса операций: валка обрезка сучьев...