3383

Изучение свободных колебаний математического и пружинного маятников

Лабораторная работа

Физика

Изучение свободных колебаний математического и пружинного маятников Цель работы: изучение физических основ свободных незатухающих колебаний, определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника и коэффициента упругости пружины...

Русский

2012-10-30

398.5 KB

109 чел.

Изучение свободных колебаний математического и пружинного маятников

Цель работы: изучение физических основ свободных незатухающих колебаний; определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника и коэффициента упругости пружины пружинного маятника.

Приборы и оборудование: нитяной маятник, миллиметровая линейка, секундомер,  пружина, набор грузов известной массы.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

1.1. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением вида:

     (1)

Решением этого уравнения является выражение:

                                  ,                                          (2)

где  – амплитуда колебаний (максимальное отклонение  колеблющейся величины  от её среднего значения),

– фаза колебания в момент времени , ;

 - круговая (или циклическая) частота, ;

- начальная фаза (т.е. фаза колебания в момент времени с), ;

Период колебаний такого гармонического осциллятора  равен

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный,  физический и математический маятники при малых амплитудах колебаний и электрический колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, при которых элементы контура можно считать линейными).

1.2. Пружинный маятник

Пружинным маятником называется груз массой , укреплённый на абсолютно упругой, невесомой  пружине, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где  – жесткость пружины.

Рассмотрим свободные колебания горизонтального пружинного маятника (см. рис. 1)

Он состоит из тележки массой , прикреплённой к вертикальной стене пружиной жёсткостью , которая может  практически без трения перемещаться по горизонтальной поверхности. При любых положениях тележки сила тяжести  и сила реакции опоры  уравновешивают друг друга. При смещении тележки из положения равновесия на величину  на неё начинает действовать сила упругости со стороны пружины , под действием которой тележка будет совершать свободные колебания.

Уравнение движения пружинного маятника в проекции на ось Х на основании второго закона Ньютона будет иметь вид:

или    .    (3)

Если ввести обозначение , то уравнение (3) примет вид   .               (4)

Уравнение (4) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Таким образом, мы получили, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону   с циклической частотой  и периодом колебаний .

Эти формулы справедливы в пределах выполнения закона Гука, то есть при малых деформациях пружины, а так же при условии, что  масса пружины мала по сравнению с массой тела.

1.3. Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити и совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити

(см. рис. 2).

В этом случае момент инерции математического маятника можно определить по формуле

,      (5)

где - длина маятника (реально - это расстояние от точки подвеса до центра масс шарика)

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив уравнение (8) в формулу (7), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:

.

Таким образом, математический маятник при небольших отклонениях от вертикалибудет также совершать гармонические колебания по закону

с периодом колебаний      и циклической частотой   .

1.4. Физический маятник

Физическим маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания в вертикальной плоскости вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела (см. рис 3). 

Найдём период колебаний физического маятника.

Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент сил относительно оси качания маятника создает только сила тяжести , действующая на маятник (момент силы реакции опоры равен нулю, так как сила реакции проходит через ось маятника).

При отклонении маятника на угол  эта сила создает момент , стремящийся возвратить маятник в положение равновесия .

Запишем основное уравнение динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Так как , где  и , то                           (6)

(знак минус в уравнении (6) обусловлен тем, что знаки величин  и согласно правилу буравчика или правилу правого винта  всегда оказываются противоположными).

В уравнении (6):

- расстояние от центра масс маятника  С до оси качания О, ;

- момент инерции маятника относительно оси качания, ,

- ускорение свободного падения, ; - масса маятника, .

Если маятник отклонить на небольшой угол , то  можно заменить .  В этом случае уравнение (3) примет вид

   .

Если ввести обозначение , то получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний

                 ,                             (7)

решением  которого является уравнение вида

                                                        ,                                                                      

где - амплитуда колебаний, ; - начальная фаза колебаний, .

Из уравнения (7) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия  физический маятник будет совершать гармонические колебания (т.е. колебания, совершаемые по закону или ) с круговой частотой     и периодом колебаний     ,                                 (7)

где величина  называется  приведенной длиной физического маятника (т.е. это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, то есть ).


2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

  1.  Начертить таблицу 1 для занесения результатов измерений и расчетов.

Таблица 1.

№ опыта

Длина нити маятника l1 = … м

Длина нити маятника l2 = … м

Количество полных колебаний N

Время N  полных колебаний  t1, с

Период колебаний Т1, с

Абсолютная погрешность периода колебаний T1, с

Количество полных колебаний N

Время N  полных колебаний  t2, с

Период колебаний Т2, с

Абсолютная погрешность периода колебаний T2, с

1

2

3

4

5

Среднее значение

Среднее значение

  1.  Установить шарик маятника в нижней части на вертикальной прямой и измерить длину нити маятника.
  2.  Заставить маятник качаться, но так, чтобы угол отклонения был достаточно мал (не превышал 4-60). Измерить секундомером время N = (20 - 30) полных колебаний маятника и вычислить период колебаний маятника: .
  3.  Это измерение произвести 4-5 раз для данной длины маятника l1 и каждый раз вычислить Т1. Таким образом, получить несколько значений для Т1, найти их среднеарифметическое значение  и абсолютные погрешности .
  4.  Вычислить среднюю абсолютную погрешность периода  по формуле , где где tkn - коэффициент Стьюдента, зависящий от заданной вероятности k и числа измерении n. Для = 0,95, принятой в студенческом практикуме, коэффициент Стьюдента для различного числа измерения n указан в таблице ниже.

Количество измерений, n

3

4

5

6

7

8

9

10

Коэффициент Стьюдента, tkn

4,3

3,2

2,6

2,4

2,3

2,0

1,8

1,5

  1.  Изменить длину маятника на 10-15 см. Теперь длина l2. Определить период колебания Т2 этого маятника тем же способом, что и первого маятника. Измерения повторить также 4-5 раз, вычислив потом среднеарифметическое значение , абсолютные погрешности  и  среднюю абсолютную погрешность периода .
  2.  Подставив среднее значение периодов , , измеренную разность длины маятников в формулу  вычислить величину ускорения силы тяжести, приняв .
  3.  Вычислить относительную погрешность ускорения свободного падения по формуле: , где принять .
  4.  Вычислить абсолютную погрешность ускорения свободного падения по следующей формуле:
  5.  Записать результат в виде:

2.2. Определение коэффициента упругости пружины пружинного маятника

1. Начертить таблицу 2 для занесения результатов измерений и расчетов.

Таблица 2.

№ опыта

Масса грузов m1 = … кг

Масса грузов m2 = … кг

Количество полных колебаний N

Время N  полных колебаний  t1, с

Период колебаний Т1, с

Абсолютная погрешность периода колебаний T1, с

Количество полных колебаний N

Время N  полных колебаний  t2, с

Период колебаний Т2, с

Абсолютная погрешность периода колебаний T2, с

1

2

3

4

5

Среднее значение

Среднее значение

2. Подвесить на пружине маятника несколько грузов известной массы.

3. Заставить маятник совершать колебания малой амплитуды. Измерить секундомером время N = (20 - 30) полных колебаний маятника и вычислить период колебаний маятника: .

4. Измерения повторить 4-5 раз, вычислив потом среднеарифметическое значение , абсолютные погрешности  и  среднюю абсолютную погрешность периода  аналогично заданию 2.1.

5. Изменить массу грузов, подвесив дополнительно или убрав с пружины несколько грузов. Теперь масса грузов m2. Определить период колебания Т2 этого маятника тем же способом, что и первого маятника. Измерения повторить также 4-5 раз, вычислив потом среднеарифметическое значение , абсолютные погрешности  и  среднюю абсолютную погрешность периода .

6. Подставив среднее значение периодов , , измеренную разность масс грузов в формулу  вычислить величину коэффициента упругости пружины, приняв .

8. Вычислить относительную погрешность коэффициента упругости пружины по формуле: , где принять .

9. Вычислить абсолютную погрешность коэффициента упругости пружины по следующей формуле:

10. Записать результат в виде:

11. Сформулировать вывод работы.

Контрольные вопросы

  1.  Что такое колебания? Какие колебания называются гармоническими? Запишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Нарисуйте график гармонических колебаний.
  2.  Дайте определение и раскройте физический смысл следующих понятий: амплитуда, период, частота, фаза.
  3.  Дайте определения пружинного, математического и физического маятников и запишите уравнения для нахождения периодов колебаний этих маятников.
  4.  Что такое приведенная длина физического маятника?
  5.  Выведите уравнение периода колебаний физического маятника.
  6.  Чем отличается математический маятник от физического?
  7.  Как измениться период колебаний маятника, если

а) его перенести с Земли на ее полюс;                                                  

б) его перенести с Земли на Луну?

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30623. Психология творчества 14.47 KB
  Современная психология делит людей творческого склада на два типа:Дивергент от латинского дивергере обнаруживать расхождение: способны к широкому спектру творческой деятельности легко устанавливают отдаленные связи между несоединимыми и несопоставимыми понятиями и явлениями; ориентированы на деятельность требующую богатого воображения оригинального подхода к проблеме своеобразного восприятия ситуации и выраженной индивидуальности; могут настойчиво выступать против общепринятых суждений ставших штампом; отличаются...
30624. План анализа поэтического текста 15.82 KB
  Жанр стихотворения: элегия ода стансы лирическое стихотворение фрагмент послание сонет и другие. Построение стихотворения связано с логикой развития поэтической мысли от начала к финалу делением на строфы или отсутствием такового взаимоотношением и связью смысловых частей произведения если они выделяются в тексте. Важно не столько найти троп или фигуру в тексте сколько определить их роль в создании того или иного образа воплощении темы или идеи стихотворения.
30625. Герои и проблематика сатиры М.Е. Салтыкова-Щедрина в романе «История одного города» 14.99 KB
  СалтыковаЩедрина в романе История одного города М. СалтыковаЩедрина по праву считается История одного города которую он начал писать в 1868 году а закончил в 1870 году.Цензура и некоторые критики поняли Историю одного города как сатиру относящуюся исключительно к прошлому России и главным образом к 18му веку.Главный герой Истории одного города народ обобщенный образ которого раскрывается из главы в главу все шире.
30626. Герои и сюжет баллады В.А. Жуковского «Светлана» 20.15 KB
  Жуковского Светлана В. Светлана самое знаменитое произведение Жуковского это переводпереложение баллады немецкого поэта Бюргера Леонора. Однако Светлана произведение радостное несмотря на присутствие в нем загробной жизни. Светлана молится о том чтобы вернулся ее возлюбленный в полночь во время гадания жених неожиданно появляется и зовет Светлану венчаться.
30627. Тема противостояния героя и толпы в ранней поэзии В.В. Маяковского 13.38 KB
  Люди исчезли и потому герой готов целовать умную морду трамвая чтобы забыть окружающих:Ненужных как насморки трезвых как нарзан.Лирический герой Маяковского одинок в этом мире. За своим амплуа хулигана герой скрывает тонкую ищущую любви душу защищая ее от тех кто грубее жестче сильнее. Это стихотворение вдохновенная мечта о красоте мира:ПослушайтеВедь если звезды зажигают значит это комунибудь нужноГерой тоскует видя беззвездное небо.
30628. Смысл названия драмы «Гроза» 18.37 KB
  С одной стороны гроза непосредственный участник действия пьесы с другой стороны символ идеи этого произведения. Гроза играет важную роль в композиции драмы. Почти сразу после этого надвигается гроза...
30629. Стихотворение Г.Р. Державина «Река времен в своем стремленье…». Восприятие, истолкование, оценка. Выразительное чтение наизусть 17.09 KB
  А если что и остаётся Чрез звуки лиры и трубы То вечности жерлом пожрётся И общей не уйдёт судьбы. Автор размышляет о вечности о том что абсолютно все человеческие дела и стремленья рано или поздно будут забыты. Экспрессия стихотворения создается концентрацией метафор река времён пропасть забвенья жерло вечности и фонетической организацией повтор [р] определяет напряженную тональность восьмистишия; последовательность ударных гласных в третьей и предпоследней строках о о э э о о. В стихотворении 2 образа: образы времени и вечности.
30630. «Диалектика души» героев романа Л.Н. Толстого «Война и мир» (на примере одного из персонажей по выбору экзаменуемого) 13.54 KB
  Толстой известен не только как гениальный писатель но и как удивительно глубокий и тонкий психолог. Лев Толстой делает акцент на искренности детской доверчивости доброте и чистоте помыслов своего героя. Толстой замечает: повиновение даже не представлялось ему добродетелью а счастьем. Толстой подчеркивает оптический самообман героя отчужденного от повседневной жизни: в обыденном он не способен рассмотреть великое и бесконечное видит только одно ограниченное мелкое житейское бессмысленное.
30631. Диалог времен и культур в стихотворении О.Э. Мандельштама «За гремучую доблесть грядущих веков…» 14.23 KB
  В своем творчестве поэт опирается на богатые традиции мировой культуры включая в свои произведения идеи и образы художников разных эпох и разных народов события многовековой давности и нетленного искусства. Поэт пишет в первом четверостишии:За гремучую доблесть грядущих вековЗа высокое племя людейЯ лишился и чаши на пире отцовИ веселья и чести своей. Жестокость этого выбора поэт выражает в эпитете векволкодав:Мне на плечи кидается векволкодавНо не волк я по крови своей. Поэтому лирический герой решает уйти от этого общества.