33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

12 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21561. Балансы международных расчетов 99 KB
  Методы государственного регулирования платежного баланса. Сальдо данного баланса отражает международную расчетную позицию страны: если сальдо активное то страна является неттокредитором и в будущем она должна получить валютные поступления; если сальдо пассивное то страна является неттодолжником и в будущем она должна будет осуществлять валютные платежи. Баланс международной задолженности широко используется в международной практике и отличается от расчетного баланса набором статей. В основе составления платежного баланса лежат...
21562. Внешнеторговая политика государства 384.5 KB
  Крайняя форма протекционизма – экономическая автаркия – означает стремление страны ограничить импорт только теми товарами которые в данной стране производится не могут а экспорт допускается в той мере в которой он обеспечивает необходимый импорт. P Sd Внутренняя цена с тарифом Pd А В С Д T Мировая цена Pw...
21563. Международная миграция капитала 271 KB
  Международная миграция капитала: сущность и формы вывоза капитала. На современном этапе развития мирового хозяйства одним из основных факторов развития МЭО считается вывоз капитала. Для возникновения только возможности экспорта капитала требовались достаточно значительные накопления его в стране.
21564. Понятие мирового хозяйства. Международное разделение труда 139 KB
  Обычно эти страны имеют много общих черт как в плане экономического развития так и в институциональном и структурном плане. Западные экономисты традиционно классифицировали страны по принадлежности к первому второму или третьему миру. Страны первого мира располагали высокоэффективной экономикой и высоким уровнем дохода. К этой группе принадлежат промышленно развитые и некоторые нефтедобывающие страны получающие высокие доходы от торговли топливными ресурсами.
21565. Структура мирового хозяйства. Мировая экономика 303 KB
  Одной их центральных проблем изучаемых современной наукой является проблема обеспечения населения земного шара и отдельных стран необходимыми природными ресурсами в настоящее время в ближайшей и отдаленной перспективе. Изучением трудовых ресурсов и движением народонаселения занимается наука демография. Целью демографических исследований мировой экономики является прогноз изменений народонаселения стран регионов в мировом хозяйстве в целом. Две тысячи лет назад на Земле проживало более 200 миллионов человек но и тогда большая часть...
21566. Международная экономическая интеграция. Отношения ЕС и России 46 KB
  Трех организаций: Европейского объединения угля и сталиЕОУС;Парижский договор о создании ЕОУС вступил в силу 1951г.; Европейского экономического сообществаЕЭС; Римский договор о создании ЕЭС заключен в 1957г.; Европейского сообщества по атомной энергииЕвратом; договор вступил в силу с1958 г. Интересы европейцев на международном уровне представляются рядом общих институтов: Европейская Комиссия Совет министров Европейский Парламент Суд Счетная палата Кроме этого главы государств и правительств и...
21567. Международная миграция рабочей силы 124.5 KB
  Международная миграция рабочей силы. Лекция: Международная миграция рабочей силы. План: Сущность формы и причины международной миграции рабочей силы. Мировой рынок рабочей силы.
21568. Жизненный цикл: эпигенез идентичности 34.25 KB
  [10;100] Каждый человек идет своим путем развития переживает свои кризисы и находит их разрешение теми способами которые должны быть здесь описаны последовательно проходя от начала до конца выделенные стадии.[10;107] В этом смысле можно говорить об инкорпоративной вбирающей стадии на которой ребенок если можно так выразиться берет то что ему предлагают. [10;107] На второй оральной стадии окончательно формируются способности добиваться и получать удовольствие в более активной и определенно направленной инкорпоративной...
21569. Проблема психического развития ребенка 19.9 KB
  Ключевые слова: Психические процессы Ведущий тип деятельности Стадия Психофизиологических функциях .в изучении развития психики ребенка следует исходить из анализа развития его деятельности так как она складывается в данных конкретных условиях его жизни. Только при таком подходе исходящем из анализа содержания самой развивающейся деятельности ребенка может быть правильно понята и ведущая роль воспитания воздействующего именно на деятельность ребенка на его отношения к действительности и поэтому определяющего его психику его...