33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

10 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10619. Философия Платона. Учение о бытии и небытии 204.23 KB
  Философия Платона Введение В истории мировой культуры Платон –великое явление. Он жил в древнегреческом обществе но как деятель –философ учёный писатель –принадлежит всему человечеству. Платон один из учителей философии. Учителем его делает не только то что в...
10620. Философия Аристотеля. Аристотелевский вопрос 114 KB
  Философия Аристотеля 1. Аристотелевский вопрос 1.1. Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель...
10621. Плотин и философия неоплатонизма. Биография Плотина 59 KB
  Плотин и философия неоплатонизма Биография Плотина Неоплатонизм это обширное философское направление конца античного мира III–VI вв. н. э. основным содержанием которого являлось учение Платона и Аристотеля в сплаве с элементами пифагорейства и стоицизма о диалект...
10622. Предпосылки средневековой западноевропейской философии 237.15 KB
  Предпосылки средневековой западноевропейской философии 1. Средневековая западноевропейская философия как синтез античной философской и религиозных традиций Средневековая западноевропейская философия развивалась на базе античной философии испытывая мощное в...
10623. Периодизация западноевропейской средневековой философии, ее отличительные черты и проблемы 48 KB
  Периодизация западноевропейской средневековой философии ее отличительные черты и проблемы В исторической науке период средневековья в Западной Европе датируют V ХV вв. Однако по отношению к философии такая датировка не совсем корректна. Средневековая европейская ф...
10624. Святой Августин и апогей патристики 297.24 KB
  Святой Августин и апогей патристики Жизнь духовная эволюция и сочинения Августина Августин Аврелий родился в 354 г. в Тагасте Нумидия Африка. Его отец Патриций был мелким собственником связанным с язычеством крещен был лишь в конце жизни. Напротив его мать Мон
10625. Философия Фомы Аквинского 214.67 KB
  Философия Фомы Аквинского ФОМА АКВИНСКИЙ 1225 или 1226-1274 центральная фигура средневековой философии позднего периода выдающийся философ и богослов систематизатор ортодоксальной схоластики основатель одного из двух господствующих ее направлений томизма. Исх
10626. Основные черты философии эпохи Возрождения 24.43 KB
  Основные черты философии эпохи Возрождения Философия эпохи Возрождения особый этап в истории западноевропейской философии характеризующийся утверждением новой специфической формы философствования строящейся на принципиально иных независимых от философской ...
10627. Философия Нового времени: ХVII- ХVIII вв 23.44 KB
  Философия Нового времени: ХVII ХVIII вв. К 1617 вв. вся европейская культура подверглась глубочайшим трансформациям выражением которых явились социальная революция в обществе связанная с переходом от феодализма к капитализму эпоха ранних буржуазных революций и научна