33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

12 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7170. Економічна система суспільства 79 KB
  Економічна система суспільства План 1. Сутність і основні структурні елементи економічної системи 2. Продуктивні сили як матеріальна основа економічної системи 3. Економічні відносини як соціальна форма і спосіб організації економічної системи. Екон...
7171. В чем заключаются сущность и принципиальные различия между либеральной, консервативной и социалистической идеологиями 61.08 KB
  В чем заключаются сущность и принципиальные различия между либеральной, консервативной и социалистической идеологиями? Либерализм (либеральная идеология) - учение и общественно-политическое течение, содержащее установку на обеспечение свободы л...
7172. Охорона праці. Методичні вказівки до дипломної роботи 73.49 KB
  Питання наукової організації праці, культури виробництва, ефективності та якості праці нерозривно пов'язані з умовами й охороною праці. Хоч насиченість сучасного виробництва найновітнішою технікою служить...
7173. Теоретичні основи впровадження рейтингової системи педагогічного контролю у процес професійної підготовки майбутніх фахівців з фізичного виховання 289 KB
  Теоретичні основи впровадженнярейтингової системи педагогічного контролюу процес професійної підготовкимайбутніх фахівців з фізичного виховання ЗМІСТ Вступ Розділ І. Аналіз літератури 1.1. Кваліметрія знань як компонент концепції н...
7174. Проверка поведения, ее теоретические основы и ее практическое выполнение 114 KB
  Рудольф Менцель Проверка поведения, ее теоретические основы и ее практическое выполнение I РАЗДЕЛ: Принципиальное наблюдение за поведением защитно-караульной собаки Введение Выращивание — это формирование определенных форм в живом мире. Заводчи...
7175. Металлургия черных металлов. Учебное пособие по дипломному проектированию 2.01 MB
  Введение Во второй части пособия авторы представили методику расчета количества рабочих и ИТР, показан пример расчета фонда заработной платы, расчет себестоимости продукции, дан расчет показателей экономической эффективности проектируемо...
7176. Фобос и Деймос -спутники Марса 263.71 KB
  Кроме того,они открыли две маленькие звезды,или два спутника,обращающиеся около Марса,из которых внутренний удален от центра планеты на 3 ее диаметра,а внешний - на 5 первый обращается в пространств...
7177. Формирование и история развития российского менеджмента 162 KB
  Введение В отличие от западного мира, российский опыт менеджмента современного периода имеет короткий, порядка 20 лет, опыт управления в условиях рыночной экономики. Этот опыт основан на творческой переработке и синтезе зарубежного опыта с учетом ос...
7178. Общая психология. Учебно-методическое пособие 455 KB
  Учебно-методическое пособие содержит в обобщенном виде основное содержание курса общей психологии, что способствует более глубокому и прочному усвоению понятий и категорий в области данной дисциплины, значительно облегчает процесс овладения ее знани...