33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

12 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61726. Имя прилагательное. Обобщение 19.63 KB
  Цели и задачи урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся об имени прилагательном как части речи; закрепить навыки правописания безударных падежных окончаний имён прилагательных упражнять в склонении имён прилагательных и определении рода...
61727. Закрепление. Связь слов в предложении 325 KB
  Цели урока: Образовательные: развитие умений конструировать предложение из слов, анализировать его структуру; совершенствуются навыки работы с текстом (составление из слов предложений в тексте)...
61728. Работа над ошибками. Упражнения в умении определять слова, обозначающие предмет, признак предмета 30.31 KB
  Цели урока: Образовательные: проверить прочность усвоения тем: имя существительное и имя прилагательное; отработка умения анализировать объекты с целью выделения признаков; Развивающие: развитие умений находить и исправлять ошибки при постановке вопросов к словам и поиске...
61730. Как делаются слова. Снова суффиксы слов, называющих предметы 17.83 KB
  Словарный диктант. Жук жучек Еж ежик Конь конек Кот котик Как образовались новые слова При помощи чего Что такое суффикс Для чего он служит Сообщение темы урока. Научимся находить и в словах и выделять.
61731. Раздельное написание предлогов со словами 20.72 KB
  Карандаши лежат где Яблони и груши растут где Медведь живёт где Получил посылку где Всё лето мы отдыхали где Моя мама работает где Получил письмо от кого Петя пошел в магазин за чем Упражнение 5 на стр. Карандаши лежат где...
61732. Сочинение по картине В.Д. Поленова «Первый снег» («Ранний снег») 16.17 KB
  Подготовка учащихся к восприятию картины а Какой сейчас месяц ноябрь К какому времени года относится ноябрь к поздней осени Какие изменения происходят в природе характерные поздней осени Небо солнце осадки почва...
61733. Образование глаголов из других частей речи 12.33 KB
  На какие вопросы отвечают выписанные глаголы Какую часть называем глаголом III Постановка темы урока Мы продолжим изучать глаголы будем упражняться в их распознавании среди других частей речи и образовывать глаголы...