33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

10 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42655. Строение полукружных каналов, их функциональное значение, связь с другими отделами уха и черепа 14.75 KB
  Задний лабиринт представлен системой полукружных каналов. Это три костных трубки просветом до 0.5 мм, изогнутые полукругом. Оба конца полукружных каналов открываются в преддверие.
42656. Строение перепончатой улитки, особенности звуковосприятия, нарушения слуха при поражении кортиева органа 15.29 KB
  Кортиев орган - рецепторная часть слухового анализатора, расположенная внутри перепончатого лабиринта. Воспринимает колебания волокон, расположенных в канале внутреннего уха, и передаёт в слуховую зону коры больших полушарий, где и формируются звуковые сигналы.
42657. Розробка програм зі складеними типами даних 14.81 KB
  Аномалии развития. Чаще всего отмечаются отклонения в строении надгортанника. Он может быть недоразвитым и даже совсем отсутствовать. Иногда надгортанник оказывается резко деформированным: расщепленным на несколько долей, свернутым в трубку. Существенного влияния на функцию голосоречеобразования дефекты надгортанника обычно не оказывают.
42658. Место расположения и строения Кортиева органа, его назначение, нарушения слуха при его патологии 14.77 KB
  В большинстве врожденных дефектов внутреннего уха отмечается недоразвитие кортиева органа, причем неразвившимся оказывается именно специфический концевой аппарат слухового нерва — волосковые клетки
42659. Роль органов дыхания в механизмах фонации. Строение и функция дыхательных мышц и их иннервация. Теории голосообразования 14.7 KB
  При обычном дыхании голосовая щель широко раскрыта и имеет форму равнобедренного треугольника. Вдыхаемый и выдыхаемый воздух при этом беззвучно проходит через широкую голосовую щель.
42660. Преддверно-улитковый нерв, его периферический и центральный отделы. Нарушения слуха проводникового и центрального характера 15.31 KB
  Преддверно-улитковый нерв - (VIII пара черепно-мозговых нервов) нерв специальной чувствительности, отвечающий за передачу слуховых импульсов и импульсов, исходящих из вестибулярного отдела внутреннего уха.
42661. Строения и функция черпаловидных хрящей, их связь с голосообразованием, иннервация 14.77 KB
  Черпаловидные хрящи имеют приблизительно форму трехгранных пирамид, вершина которых обращена кверху, а основание лежит на «печатке» перстневидного хряща, образуя в этом месте перстне-черпаловидный сустав
42662. Звукопроводящий и звуковоспринимающий характер нарушения слуха. Их проявление на аудиограмме 14.66 KB
  Звукопроводящий аппарат состоит из органов наружного и среднего уха: ушной раковины, слухового прохода, барабанной перепонки и системы слуховых косточек.
42663. Три части полости гортани. Их строение и функции. Голосообразование 15.37 KB
  Гортань выполняет функции дыхания, звукообразования и защиты нижних дыхательных путей от попадания в них инородных частиц.Полость гортани. В полости гортани различают три отдела: преддверие, межжелудочковый отдел и подголосовую полость.