33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

12 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8998. Немецкая классическая философия. Нравственная философия 234.5 KB
  Немецкая классическая философия. Основная часть. И. Кант: Теория познания. Нравственная философия. Г.В.Ф. Гегель: О философии. Наука логики. О природе деалектического. Всемирная история. Основная часть. В конце XVIII - XIX вв. в Германии насту...
8999. Философия материализма. Сущность человека и критика религии 403 KB
  Философия материализма. Основная часть. Фейербах Л. О философии. Сущность человека и критика религии. К. Маркс, Ф. Энгельс. О философии. Природа и сущность человека. Отчужденный труд. Материалистическое понимание истории. Теория коммунистического ра...
9000. Философия жизни. О нашем поведении относительно миропорядка и судьбы 162 KB
  Философия жизни. Основная часть. А. Шопенгауэр О том, что есть индивид. О нашем поведении относительно миропорядка и судьбы. Ф. Ницше Смерть Бога. Нигилизм. Низложение христианства. Жизнь и воля к власти. Вечное возвращение. сверхчеловек...
9001. Философия экзистенциализма. Ж.П. Сартр. Экзистенциализм - это гуманизм 245.5 KB
  Философия экзистенциализма. Основная часть. Ж.П. Сартр. Экзистенциализм - это гуманизм. К. Ясперс. Человек. М. Бубер. Я и Оно. М. Хайдеггер. Отрешенность. Приложение. Основная часть. Экзистенциализм (от позднелат. Existentia - существ...
9002. Философия и мировоззрение. Специфика философии 39 KB
  Философия и мировоззрение. Специфика философии Философия - учение о мире в целом, об общих принципах и закономерностях его бытия и познания. Органическое соединение в философии двух начал - научно-теоретического и практически-духовного...
9003. Предмет, структура и функции философии, всеобщие свойства и связи 43.5 KB
  Предмет, структура и функции философии Предметом философии являются всеобщие свойства и связи (отношения) действительности - природы, общества, человека, отношения объективной действительности и субъективного мира, материального и идеального, б...
9004. Философия Древнего Востока. Проблема совершенного человека 38.5 KB
  Философия Древнего Востока. Проблема совершенного человека Буддизм - религиозно-философское учение, возникшее в древней Индии в VI – V вв. до н. э. и превратившееся в ходе его развития в одну из трех - наряду с христианством и исламом...
9005. Ранняя греческая философия. Древнегреческая философия 40.5 KB
  Ранняя греческая философия Древнегреческая философия представляет собой совокупность учений, развившихся с VI в. до н.э. по VI в. н.э. (от формирования архаических полисов на ионийском и италийском побережьях до расцвета демократических Афин и после...
9006. Философия Платона. Теория идей, познание, человек и государство у Платона 42.5 KB
  Философия Платона. Теория идей, познание, человек и государство у Платона После казни Сократа один из его лучших учеников Аристокл, получивший за свои широкие плечи прозвище Платон («широкоплечий»), надолго покинул Афины. Тяжело переживая смерть учи...