33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

12 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43879. Процесс влияния состояния основных средств на деятельность таможенных органов 547 KB
  Еще одно принципиальное нововведение - глубокий аналитический учет, обязательный и единообразный для всех субъектов бюджетного учета. Это достигается путем интеграции кодов бюджетной классификации в номер бухгалтерского счета. Кроме того, вводится еще один вид бюджетной классификации - классификация операций сектора государственного управления.
43880. Программный комплекс расчета комплексной нетранзитивности отношения превосходства на группе объектов 7.88 MB
  Требования к помещениям для работы с ПЭВМ Требования к уровням электромагнитного и электростатического полей в помещениях с ВДТ и ПЭВМ Требования к режиму работы пользователя ПЭВМ Вредные факторы возникающие при работе на ПЭВМ Вид работы Вредные факторы Действие на организм Средства Защиты Пользователь ПЭВМ Отклонение параметров микроклимата от нормы Охлаждение или перегрев Системы отопления или кондиционирования Неправильное освещение
43881. Организация управленческого учета на примере ООО «Фабрика мебели «Роникон» 840 KB
  Теоретические основы управленческого учета Сущность субъект и объект цели и задачи методы и принципы управленческого учета Пути совершенствования системы управленческого учета на ООО Фабрика мебели Роникон
43882. Визначення та наукове обгрунтування психолого-педагогічних умов подолання особистісної тривожності у дітей молодшого шкільного віку та пятикласників 959.5 KB
  Підходи науковців до реалізації наступності зорієнтовані передусім на інтеграцію двох ланок освіти, усунення суперечок між запитами школи і амбіційним завищеними вимогами окремих батьків щодо підготовки їхніх дітей; між непідготовленістю окремих учнів, які не відвідували дошкільних установ, і необхідністю враховувати специфіку дошкільної освіти.
43883. Экономика и управление на предприятии АПК». Методические указания 605 KB
  В методических указаниях рассматриваются вопросы подготовки написания процедуры защиты дипломных работ раскрыты требования по оформлению работы. ПОДГОТОВКА КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ Выбор темы дипломной работы Назначение руководителя дипломной работы и выдача дипломного задания.
43884. Створення когнітивно-семантичного підґрунтя вибору варіантів перекладу одиниць на позначення концепту “Кількість” 249 KB
  Кількість як узагальнений когнітивний зміст великий фрагмент кодованої засобами мови картини світу того чи іншого етносу. На першому етапі необхідно чітко визначити поняття âкартина світуâ âмовна картина світуâ âконцептâ для чого слід виконати критичний аналіз наукової літератури. Новизна одержаних результатів визначається тим що в ньому виявлено спільні і відмінні ознаки репрезентації концепту âКількістьâ в англійській та українській мовних картинах світу встановлені абсолютні і варіантні еквіваленти перекладу в...
43885. Проектування поліграфічного підприємства 3.18 MB
  Вибір напруги живлячої мережі. Вибір напруги розподільчої мережі. Характеристика джерела живлення Підприємство можна заживити від районних підстанцій що мають три рівні напруги.
43886. Изучение и систематизация теоретических аспектов организации финансов на ООО "Компания ОГАТ" 599 KB
  Финансы предприятий будучи частью общей системы финансовых отношений отражают процесс образования распределения и использования доходов на предприятиях различных отраслей народного хозяйства и тесно связаны с предпринимательством поскольку предприятие является формой предпринимательской деятельности. Целью данной дипломной работы является систематизация теоретических аспектов организации финансов на предприятиях различных форм собственности изучение аналитических сведений практической деятельности финансового состояния конкретного...
43887. Оценка уровня организации и планирования работы транспортного хозяйства на предприятии ТЧУП «Передовые технологии» на основе АВС-XYZ анализа 878 KB
  Структура и динамика грузов перевозимых предприятием и их характеристика Классификация грузов и грузовых перевозок предприятия на основе анализа АВС и XYZ Выбор рациональной структуры перевозимых грузов и видов грузовых перевозок на основе правила 80 20 и матрицы АВСXYZ анализа В третьей главе мы рассмотрим основные направления совершенствования транспортной деятельности предприятия за счет выбора рациональной структуры перевозимых грузов и видов грузовых перевозок на основе правила 80 20 и матрицы АВСXYZ анализа.