33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

10 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13914. Кіномистецька спадщина Олександра Довженка. Кіноповість як новий жанр у літературі, його характерні ознаки. Проблеми народу та війни, історичної пам’яті в кіноповісті «Україна в огні» 66 KB
  Урок літератури 11 клас Тема. Кіномистецька спадщина Олександра Довженка. Кіноповість як новий жанр у літературі його характерні ознаки. Проблеми народу та війни історичної пам’яті в кіноповісті Україна в огні. Мета: ознайомити учнів з творчим д
13915. Урок. Я НАРОДИВСЯ І ЖИВ ДЛЯ ДОБРА І ЛЮБОВІ (життєвий і творчий шлях Олександра Довженка) 115.5 KB
  Урок української літератури 11 клас Я НАРОДИВСЯ І ЖИВ ДЛЯ ДОБРА І ЛЮБОВІ життєвий і творчий шлях Олександра Довженка Мета уроку: поглибити знання учнів про життєвий і творчий шлях Довженка словесно намалювати живий образ письменника славного сина нар
13916. Анимация объектов 1.47 MB
  Урок 13. Анимация объектов Под анимацией сцены в max понимается автоматизированный процесс визуализации серии изображений называемых также кадрами frames каждое из которых фиксирует некоторые изменения состояния этой сцены. Эти изменения могут касаться положений объект
13917. Съемочные камеры 1.35 MB
  Урок 12. Съемочные камеры В max имеется два типа камер: нацеленная Target камера характеризуется точкой съемки eye position в которой помещается сама камера и точкой нацеливания или мишенью target point то есть точкой в трехмерном пространстве на которую направлена ли
13918. Работа с диапазонами. Относительная адресация 33.88 KB
  Тема: Работа с диапазонами. Относительная адресация Тип урока: комбинированный Цели: Сформировать представление у учащихся о понятии диапазона сортировке таблицы; Познакомить с функциями обработки диапазона принципами относительной адресации; Выработка
13919. Права ребенка 70 KB
  Цель: 1. Обобщить знания учащихся об основных правах ребенка. 2. Развести понятия €œправо€ €œправа€ €œобязанности€ показать единство прав и обязанностей для детейподростков. 3. Повышать социальноправовую компетентность старшеклассников. 4. Воспитыват
13920. Защита прав потреителей 45 KB
  Цели урока: формировать у школьников рациональное потребительское поведение; развать интуицию самостоятельность гибкость мышления; научить отстаивать права потребителя; показать знания основ экономической теории; повторить статьи Закона €œО з...
13921. Технические средства мультимедиа 226 KB
  Тема урока: Технические средства мультимедиа. Цели урока: способствовать формированию у обучающихся устойчивых представлений по основным понятиям темы. развивать навыки работы учащихся на компьютере. Оборудование: мультимедийная презентация интерактивная ...
13922. Основы работы с CorelDRAW. Графические примитивы 328.5 KB
  сновы работы с CorelDRAW. Графические примитивы 1. Растровая и векторная графика. Понятие объекта в CorelDRAW CorelDRAW Х4 в настоящее время один из самых мощных редакторов векторной графики который широко используется в издательской деятельности полиграфии и рекл