33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

10 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14624. Решение прямой задачи кинематики манипулятора 294 KB
  Лабораторная работа №3: Вариант 1 Решение прямой задачи кинематики манипулятора. Цель работы: решение прямой задачи о положении манипуляционной системы на ЭВМ на основе формализованного описания кинематических цепей Геометрические характеристики звеньев: ...
14625. Изучение метода преобразования систем координат промышленных роботов и кодирования кинематических цепей «иркутским методом» на примере робота МП-9С (Ритм -01-02) 196.5 KB
  Лабораторная работа №2: Вариант 1 Изучение метода преобразования систем координат промышленных роботов и кодирования кинематических цепей иркутским методом на примере робота МП9С Ритм 0102 . ЦЕЛЬ РАБОТЫ: – выбор абсолютной и связанных систем координат ПР; –
14626. Изучение методики разработки программ в системе MATLAB при изучении кинематического управления роботами 156.5 KB
  Лабораторная работа №1: Вариант 1 Изучение методики разработки программ в системе MATLAB при изучении кинематического управления роботами. Изучение методики разработки программ в системе MATLAB при изучении кинематического управления роботами Цель работы: Изу...
14627. ИЗУЧЕНИЕ ДЕЙСТВИЯ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ НА ВЕЩЕСТВО И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКА 54.5 KB
  2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ИЗУЧЕНИЕ ДЕЙСТВИЯ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ НА ВЕЩЕСТВО И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКА ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить свойства ультразвука его взаимодействие с веществом; ознакомиться с устройством и работой ультразву...
14628. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ НА УДАРНЫЙ ИЗГИБ 452 KB
  ДИНАМИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ НА УДАРНЫЙ ИЗГИБ Методические указания к лабораторным и практическим работам по специальным дисциплинам для студентов металловедческих специальностей Данные методические указания включают в себя понятие ударной вязкости и методы ее опред
14629. Особенности устройства и работы твердотельных лазеров 1.22 MB
  Методические указания к лабораторным работам Особенности устройства и работы твердотельных лазеров Твердотельные лазеры ТТЛ с которых в 1960 г началась лазерная эра первым в мире был сконструирован ТТЛ на кристалле рубина 1960г; в 1961 г был создан лазер на неодимовом...
14630. Трёхступенчатая токовая защита линий с односторонним питанием 550 KB
  Лабораторная работа Трёхступенчатая токовая защита линий с односторонним питанием Цель работы: ознакомление с принципом работы трехступенчатой токовой защиты расчёт параметров срабатывания защиты и реле проверка селективности чувствительности и быстродейст...
14631. Определение потерь тепла через систему охлаждения автомобильного двигателя 534 KB
  Лабораторная работа №4 Определение потерь тепла через систему охлаждения автомобильного двигателя Цель работы: Изучение теплового баланса двигателя и практическое определение потерь тепла через систему охлаждения автомобильного двигателя. Оборудование: дви
14632. Определение твердости материалов вдавливанием 1.3 MB
  Определение твердости материалов вдавливанием: Методическая разработка к лабораторным и практическим работам по специальным дисциплинам / В.А.Хотинов И.Ю.Пышминцев. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУУПИ 2004. 19 с. Рассмотрены методы определения твердости по Бринеллю Викке