33937

Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Доклад

Социология, социальная работа и статистика

Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...

Русский

2013-09-06

19.28 KB

12 чел.

60 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

    Теоретические значения результативного признака, уравнению парной корреляции (уравнению парной регрессии) будут рассчитываться следующим образом:

                                                    (6)

где  xi – текущее значение факторного признака для единиц статистической совокупности, объем которой равен п; а и b – параметры уравнения парной регрессии.

   Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции, которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

          Критерий метода наименьших квадратов:

                                                                                          (7)

Применение метода наименьших квадратов для определения параметров прямой а и b, наиболее соответствующих эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

                                                          (8)

или

                                                     (9)

 Функция двух переменных S(a,b) может достичь экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е.

                                                                                                         (10)

                                                                                                                     (11)

   S – сложная функция от а и b(сумма квадратов), поэтому ее можно обозначить как:

                                  S = Σ и²i                                                              (12)

где                     ui = yi – a – bxi                                                             (13)

         Найдем производные этой функции.

         Формула (10) для сложной функции будет имеет вид:

                                                                                                  (14)

                                                                                                     (15)

(Производная суммы квадратов равна сумме произведения 2 на и)

                                                                            (16)

     В данном случае переменная только а, а другие слагаемые формулы  (15) принимаются за постоянные величины.

Подставляем выражения (15) и (16) в (14) (с учетом формулы 13) и получаем:

                                                                           (17)

или

                                                                                    (18)

   

 Тогда уравнение (10) будет иметь вид:

                                                                               (19)

  Это первое уравнение искомой системы двух уравнений.

   Теперь продифференцируем функцию S по b (см. формулы (12) и (13)):

                                                                                          (20)

     По аналогии  с формулами (15) и (16)

                                                                              (21)

                                                                                                        (22)

   Теперь формула (20) может быть преобразована следующим образом:

             (23)

   Тогда уравнение (11) будет иметь вид:

                                                                     (24)

  Это второе уравнение искомой системы двух уравнений.

    Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (a, b):

                                    

                                                                                             (25)

                                   

    Осуществляем несложные преобразования. Сначала делим оба уравнения на 2. Затем просуммируем каждое слагаемое уравнений. В итоге имеем систему нормальных уравнений, полученную на основе метода наименьших квадратов, для определения параметров a и b уравнения парной регрессии по эмпирическим данным.

                                                                                           (26)

                                                          

где Σa = na, так как а – const для совокупности, объем которой равен п.

      Из первого уравнения системы определим параметр а:

                                                                    (27)

или

                                                                                  (28)

где   и  – средние значения х и у, определенные на базе эмпирических данных.

   Подставляем значение а (формула 28) во второе уравнение системы (26), делим каждое слагаемое на п, делаем другие несложные преобразования и определяем b.

                                                     (29)

                                                              (30)

                                                         (31)

                                                            (32)

                                                                             (33)

      Таким образом, мы показали, как на базе эмпирического материала можно определить параметры a и  b для линейного уравнения парной регрессии (см. формулы 28 и 33).

Аналогично определяются параметры и для других форм зависимост


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63735. Порядок заключения гражданско-правового договора 15.78 KB
  Для заключения договора необходимо согласовать все его существенные условия в требуемой в подлежащих случаях форме. Поскольку договор является одним из видов сделок к его форме применяются общие правила о форме сделок.
63736. Содержание и толкование условий гражданско-правового договора 18.2 KB
  Однако договорами являются лишь те сделки в которых выражается соглашение двух или более сторон. К договорам применяются правила о двух и многосторонних сделках. В науке гражданского права имеет место понимание договора не только как юридического факта...
63737. Понятие и содержание трудового договора 13.45 KB
  Трудовой договор соглашение между работодателем и работником в соответствии с которым работодатель обязуется предоставить работнику работу по обусловленной трудовой функции обеспечить условия труда предусмотренные трудовым законодательством и иными нормативными...
63738. Заключение трудового договора 16.07 KB
  Ограничения отказа в заключении трудового договора. Стоит отдельно отметить что есть категории граждан по отношению к которым не допускается необоснованный отказ в заключении трудового договора.
63739. Изменение трудового договора 15.21 KB
  После заключения трудового договора могут возникнуть различные обстоятельства требующие пересмотра условий состоявшегося трудового договора их изменения или даже прекращения его действия расторжения.
63740. Прекращение трудового договора 25 KB
  Перевод работника с его соглашения к другому нанимателю или на выборную должность Расторжение трудового договора заключенного не определённый срок по желанию работника Расторжение контракта по требованию работника...
63741. Контракт как вид трудового договора 14.99 KB
  Преимущество письменной формы контракта состоит в том что все условия контракта фиксируются в едином акте обязательном для сторон. Письменная форма повышает гарантии сторон в реализации достигнутых договоренностей по важнейшим условиям труда.
63742. Рабочее время 14.64 KB
  К рабочему относится также время работы выполненной по предложению распоряжению или с ведома нанимателя сверх установленной продолжительности рабочего времени сверхурочная работа работа в государственные праздники праздничные и выходные дни.
63743. Время отдыха 15.34 KB
  Термин время отдыха означает: во-первых совокупность правовых норм регулирующих составную часть элемент трудовых отношений между нанимателем и работником а именно отношения по поводу осуществления конституционного права на отдых.